工程电磁场1-矢量场的环量与旋度剖析
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矢量场的环量旋度
如果矢量场的旋度为零，则称为无旋场(或保守场)；如果 矢量场散度为零，则称为无源场。
旋度描述场分量在与其垂直的方向上的变化规律；散度描 述场分量沿着各自方向上的变化规律。
【例题1】求矢量场A=x(z-y)ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点M(1，0， 1)处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度。
§1.3 矢量场的环量 旋度
一、矢量场的环量与环量面密度
A1(、r)矢矢沿量量闭场场合的路A(环径r)量l沿的场环中量的。一条闭合路径
l
的曲线积分称为矢量场
S nS
A dl
l
P
A
C
环流的计算
物理意义：若某一矢量场的环量不等于零，则场中有产生该矢
量场的旋涡源。
2、环量面密度
A dl
rotn A
在点M(1，0，1)处沿n方向的环量面密度
A
M
n
2 7
6 7
2
3 7
17 7
【例题2】在坐标原点处放置一点电荷q，在自由空间产生的
电场强度为
E
q
4 r 3
r
q
4 r 3
( xex
yey
zez
)
求自由空间任意点(r≠0)电场强度的旋度。
【解】
ex ey ez
E
q
4 x y z
xyz r3 r3 r3
ex
ey
ez
A
x y z
Ax Ay Az
在圆柱坐标系中的表示
e 1
A
e
ez
z
A A Az
在球坐标系中的表示
A
矢量场的环量和旋度
)
(c)
l A dl S ( A) dS
【例1-11】求矢量 A yex xey cez （c是常量）沿曲线 (x 2)2 y2 R2 , z 0 的环量。
y
R
O (2,0) l
【解】：曲线l是以（2，0）为圆心，R为
半径的圆，故线元 dl dxex dyey
l 方向的单位矢量
lo
l l
1 3 (ex 2ey 2ez )
在点 M (1, 2,3)处沿 l 方向的环量面密度为：
A lo 5 8 6 19
M
333 3
内容小结
主要概念：
环量 旋度
旋涡源
若环量（旋度）等 于零，该矢量场为 无旋场或保守场
主要定理：
3
3
3 (1,2,3) 3
②
ex
ey
ez
rot A A
x
y
z
x(z y) y(x z) z(y x)
(z y)ex (z x)ey ( y x)ez
在点M (1, 2,3) 处旋度为
rot A (1,2,3)
5ex
4ey
3ez
在点M (1, 2,3) 处沿方向 l ex 2ey 2ez 的环量面密度。 ①直接应用环量面密度的计算公式； ②作为旋度在该方向的投影。
【解】：
①矢量 l ex 2ey 2ez 的方向余弦为
cos 1 , cos 2 , cos 2
3
3
3
矢量场为 A x(z y)ex y(x z)ey z(y x)ez 由环量面密度公式
13矢量场的旋度
证明： A dS A dl
S
C
将 S 分成许多面元 S1,S2,Si , 其相应面元的边界为 C1,C2,Ci
对每一个面元 Si，其边界Ci 的环绕方向
均取与大回路 C一致的环绕方向。
则：相邻两面元 Si 、S j的边界 Ci 、C j
在公共边界上的积分等值异号，相互抵消。
1.3 矢量场的旋度
１.３.１、矢量场的环流（环量）：
A线
1 、定义：
A
量在矢A量沿A某的一场闭中合，路矢径
的线积分，称为该矢量
dl
环量是一个标量；
沿此闭合路径的环流。
可正、可负。
A dl Acosdl
C
C
2019/12/5
1
2 、有旋场、无旋场（保守场）：
在某一矢量 A的场中， 矢量 A 沿任意闭合路径的线
积分，恒等于零，则该矢量场
为无旋场，在曲线Ｃ内没有产 生矢量场 A 的旋涡源；反之， 为有旋场，在Ｃ内必然有产
生矢量场 A 的旋涡源。
A dl Acosdl
C
C
2019/12/5
A线 A
dl
2
１.３.２、矢量场的旋度：
故
rotA A
x y z
2019/12/5
Ax Ay Az
6
例点：M求（矢1，量0场，A1 ） ex处x(z的 旋y) 度ey及y(x沿 zl)
ezz(
y
x)
2ex 6ey
在
3ez
方向的环流密度。
矢量场的旋度
C2
A dl
故
C
A d l A d S
S
证毕
例1.4 已知A x, y e x x e y x y 2 。现有一个在x y 面内的 闭合路径C，此闭合路径由0,0 和 2, 2 之间的一段抛物
2
线 y 2 x 和两段平行于坐标轴的直线组成，如图所示。 求：（1）矢量场的A旋度； （2）计算环流 C A dl 。积分区域 为如图所示的闭合路径C； （3）验证斯托克斯定理。
任意方向的环流密度 即
2、旋度的定义：
C
A dl rot A dS
３、旋度的物理意义
矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数；
矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度；
旋度的计算
在直角坐标系下：
Az Ay Ax Az Ay Ax rotA ex ( ) ey ( ) ez ( ) y z z x x y
A dl ＜ A 与 en 有一夹角 ，则 C
讨论：
A en A dl
A
max
dl
C
M
A 与 S不在同一平面上
max
A
en
当 的法向分量 en 垂直），环流密度有最大值，此即被 en 的方向就称为 A 旋度的方 称为 A 的旋度大小； 向。
0 2 0 2
利用y2 x消去一个自变量y, 有dy dx /(2 x ), y 2 dy
C
2 y dy
2
0 2
2 x x x 2 dx
《电磁场与电磁波》矢量分析
梯度:增加最快的方向
l M0 g el
方向导数=梯度在该方向上的投影
小结 等值面:只能反映标量分布的总体趋势 梯度:场中每点变化最快的方向和最大的变化率
求场
解：
在点(0,0.5,1) 处的梯度。
矢量场的通量和散度
矢量线：描述矢量场的线 形象直观地描述矢量场
大小：疏密 方向：切线方向
矢量线的疏密可定性表征矢量场的大小 实际需定量描述，故引入通量
A dS
V 0 V S
对散度作体积分，就得到通量
高斯公式 通量=散度的体积积分 矢量函数的面积分与体积分的相互转换
S A dS 面
divA lim 1
A dS 点
V 0 V S
体
实现了“面-点-体 ”的转化
矢量场的环量和旋度
通量: 有向曲面上的面积分值，表示体积内 的通量源,分布强度用散度来描述
A B AB cos =Ax Bx Ay By Az Bz
Bcosθ:B在A方向上的投影 B
A ex 2ey 3ez
B 4ex 5ey 6ez
A
B cos
A B 14 25 36 32
矢量标量积满足交换律和结合律
AB B A
kA pB kpA B AB+C A B AC
l M0 =0, 沿l方向不变
l M0
几个问题：
1）方向导数是标量？矢量？ 标量 2）不同方向的变化快慢是一样的？ 不是
l 方向改变，方向导数值也变 3）方向导数能反映哪方向的变化率最大？ 不能 4）标量能准确刻画标量场的空间变化率？不能
3 梯度
l M0 g el | g | cos(g, el )
场中的每一点只与一等值面/线对应 等值面的稀密程度反映场量的空间分布
工程电磁场导论(第三次课)解读
为了给出空间任意点矢量场与旋涡源
J
的关系，当闭合曲线L所围的面积 n
F
趋于零时，矢量场对回路L的环量
与旋涡源对于L所围的面积的通量
成正比，即：
lim A dl lim J s
s0
s0
s
l
矢量场旋度定义为：矢量场在M点处的旋度 为一矢量，其数值为包含M点在内的小面元 边界的环量与小面元比值极限的最大值， 其方向为极限取得最大值时小面积元的法 线方向，即：
• 2 2 2 x2 y 2 z 2
六、Helmholtz定理
对于矢量场必需考虑如下问题： （1）场的特性：矢量场除有散和有旋特性外，
是否存在别的特性？ （2）源的特性：是否存在不同于通量源和旋
涡源的其它矢量场的激励源？ （3）场的唯一性：如何唯一的确定一个矢量
（一）矢量场的环量
例：磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲 线所围曲面的电流成正比，即：
Bx, y,z dL 0I 0 J x, y,z ds
L
s
上式建立了磁场与电流的关系。
引入环量概念。矢量场对于闭合曲线L的环量定义 为该矢量对闭合曲线L的线积分，记为：
度为零，即：
则称A为无旋场。 A 0
性质一：在无旋场中，A沿场域V的任何闭合路径L 的环量为零。即：
LA dl 0
性质二：无旋场可以表示为某标量场的梯度场。
A grad
（三）、调和场 散度和旋度都等于零的矢量场，称为调和场。
根据其无旋性可得：
A
根据其无源性可得：
• A • 0
引入Laplacian算子
• 2 2 2 x2 y 2 z 2
电磁场与电磁波--矢量场的散度及旋度
evz Fz
v F
1.4 矢量场的通量和散度
散度的表达式：
直角坐标系
v F
Fx
Fy
Fz
x y z
圆柱坐标系
v F
1 h h hz
h hz F
h hz F
z
h h Fz
1( F ) 1FFz z球坐标系
v F
1 hr h h
r
(h h Fr )
(hr h F
)
F
(hr
h
F
)
1 r2
方向相反大小 相等结果抵消
n
S
C
图 1.曲5.5 面曲面的的剖划分分
1.5 矢量场的环流与旋度
4. 散度和旋度的区别
v
v
F 0; F 0
v
v
F 0; F 0
v
v
F 0; F 0
v
v
F 0; F 0
1.5 矢量场的环流与旋度
例1 .5 点电荷q在离其 rv处产生的电场强度为
1.4.4 散度定理
从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等 于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即
vv
v
ÑS F dS V FdV
高斯（散度）定理
散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁 理论中有着广泛的应用。
1.4 矢量场的通量和散度
vv
v div F
r div F 0
1.4 矢量场的通量和散度
直角坐标系下散度表达式的推导
不失一般性，令包围P点的 微体积V 为一直平行六面 体，如图所示。则
蜒S Fv
v dS
S
电磁场与电磁波中七个矢量的散度、旋度和边界条件分析.
通过积分形式的麦克斯韦第三方程可以得到磁感应强度矢量的边 界条件：，表明磁感应强度的法向分量在分界面上式连续的。 4.磁场强度 的散度：
对于各向同性的磁介质来说，。因为，所以有： 。 的旋度：
由于，根据上边磁感应强度矢量的旋度表达式得：。表明磁介质中 某点的磁场强度的旋度等于该点的传导电流。
存在时变的电磁场时，，表明表明磁场的旋度源是传导电流和时变 的位移电流之和。 的边界条件：
由磁通连续性原理得到恒定磁场的散度：，结果表明磁感应强度的 散度恒为零，自然界中无孤立磁荷存在。 的旋度：
由安培环路定理可得到真空中磁感应强度的旋度为：，结果表明恒 定磁场是有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的漩涡源。
当有磁介质存在时，上式变为，为传导电流密度，为磁化电流密 度，既考虑磁化电流也是产生磁场的漩涡源。 的边界条件：
电磁场与电磁波中七个矢量的散度、旋度和边界
条件分析
《电磁场与电磁波》中共涉及到了七个矢量，它们是电场强度矢 量，电位移矢量，磁感应强度矢量，磁场强度矢量，极化强度，磁化强 度和电流密度矢量。亥姆霍兹定理指出，任一矢量场由它的散度、旋度 和边界条件唯一地确定，分析总结它们的散度、旋度和边界条件将有助 于我们加深对电磁场与电磁波的基本矢量的认识。
磁介质表面上的磁化电流面密度表达式为：，为磁介质表面法向 的单位矢量。则通过上面的表达式可推导出的边界条件是：。这表明磁 化强度在分界面切线方向不连续。 7. 电流密度矢量 的散度：
根据电荷守恒定律，单位时间内从闭合面内流出的电荷量应等于 闭合面所限定的体积内的电荷减少量，即，设定闭合面所限定的体积不 随时间变化，将全导数写成偏导数，变为：，应用散度定理。得到，从 而得到：。 的旋度：
对于各向同性介质，有，因此电位移矢量的旋度为 的边界条件：
对于各向同性的磁介质来说，。因为，所以有： 。 的旋度：
由于，根据上边磁感应强度矢量的旋度表达式得：。表明磁介质中 某点的磁场强度的旋度等于该点的传导电流。
存在时变的电磁场时，，表明表明磁场的旋度源是传导电流和时变 的位移电流之和。 的边界条件：
由磁通连续性原理得到恒定磁场的散度：，结果表明磁感应强度的 散度恒为零，自然界中无孤立磁荷存在。 的旋度：
由安培环路定理可得到真空中磁感应强度的旋度为：，结果表明恒 定磁场是有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的漩涡源。
当有磁介质存在时，上式变为，为传导电流密度，为磁化电流密 度，既考虑磁化电流也是产生磁场的漩涡源。 的边界条件：
电磁场与电磁波中七个矢量的散度、旋度和边界
条件分析
《电磁场与电磁波》中共涉及到了七个矢量，它们是电场强度矢 量，电位移矢量，磁感应强度矢量，磁场强度矢量，极化强度，磁化强 度和电流密度矢量。亥姆霍兹定理指出，任一矢量场由它的散度、旋度 和边界条件唯一地确定，分析总结它们的散度、旋度和边界条件将有助 于我们加深对电磁场与电磁波的基本矢量的认识。
磁介质表面上的磁化电流面密度表达式为：，为磁介质表面法向 的单位矢量。则通过上面的表达式可推导出的边界条件是：。这表明磁 化强度在分界面切线方向不连续。 7. 电流密度矢量 的散度：
根据电荷守恒定律，单位时间内从闭合面内流出的电荷量应等于 闭合面所限定的体积内的电荷减少量，即，设定闭合面所限定的体积不 随时间变化，将全导数写成偏导数，变为：，应用散度定理。得到，从 而得到：。 的旋度：
对于各向同性介质，有，因此电位移矢量的旋度为 的边界条件：
2.4矢量场的环量及旋度分析
2. 矢量场的旋度
旋度是一个矢量，
模值等于环量密度的最大值； 方向为最大环量密度的方向。 用 rot A 表示，即：
rot A n lim
c
A dl S
max
S 0
ˆ 表示矢量场旋度的方向； 式中：n
3. 旋度的物理意义
1）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数； 旋度完整的反映了矢量场的旋涡在各点上的分布情况。 而某个方向的环量密度是旋度在该方向上的投影。 2）矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度； 旋度可以反映引起矢量场旋涡的源（旋度源）在空间的 分布情况。
2) 在圆柱坐标系下：
1 (er e ez ) r r z 1 (rFr ) 1 F Fz F (r ) r r r z
3) 在球面坐标系下： 1 1 (er e e ( ) ) r r r sin
du el dl
max
式中：el 为垂直于等值面（线）的方向。
2、梯度的物理意义 1)、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数；
2)、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场 变化最快的方向，其幅度表示标量场的最大变化率。
3、梯度的运算
2 2 2 2 2 2 Az Az Ay Ay Ax Ax xy yx zx xz yz zy
=0
小结
1）矢量场的环量 2）环量密度
3）旋度的定义 4）旋度的计算 5）斯托克斯定理
思考题
1、矢量场的环量、环量密度及旋度各表示什么意义？ 2、环量与环量密度以及环量密度与旋度之间各有什么关系？ 3、斯托克斯定理中如果闭合线积分给定，那么积分面是唯一的吗？为什么？ 4、矢量场旋度的方向和使场涡旋的方向有什么关系？
第9讲矢量场的环量及旋度1
Q P ( Pdx Qdy) (( )dxdy x y l S
l 的方向为内边线顺时针，外边线逆时针。
2.环量面密度
环量只能描场中述以
通向任意方向
l
为边界的一块曲面
S
内
总的流（电流强度）；不能反映场中任意一点处
n 的流的密度（电流密度）。
n
流密度：矢量场中 M 点处沿任一方向
1.环量
dl ndl dl cos(t , x)i dl cos(t , y) j dl cos(t , z )k
dxi dyj dzk
l
t dl
cos(t , x), cos(t , y), cos(t , z) 为 l 切线矢量 t 的方向余弦。
《矢量分析与场论》
第9讲 矢量场的环量及旋度（1）
张元中
中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院
《矢量分析与场论》
主要内容
1. 环量 2. 环量面密度 3. 旋度
教材：第2章，第4节
1.环量
环量反映矢量场 A 和环线 l 之间的相互作用。 环线 l 为封闭曲线，其方向规定为：环线 l 和 流 I 成右手螺旋法则。
根据中值定理
[( R Q P R ) cos(n, x) ( ) cos(n, y ) y z z x
(
Q P ) cos(n, z )]M * S x y
2.环量面密度
其中 M *为 S 上的某一点，当 S M 时，有 M * M ， 于是
的
dl
A
在直角坐标系中，环量表示为：
A dl ( Pdx Qdy Rdz )
矢量场的环量和旋度课件
矢量场的环量和旋度
➢ 本节的研究目的
寻找能够度量和刻画矢量场变化情况的量。 旋度是描述矢量场中任一点旋转性质的量。
➢ 本节的研究内容
一、矢量场的环量 二、环量面密度 三、矢量场的旋度
一、矢量场的环量
在矢量场中，若L是一条有向闭合曲线，则矢量场
A 沿有向闭曲线 L的线积分，称为矢量A 沿有向闭
曲线L的环量，即
2. 旋度代表矢量场的涡旋源的特性：
A 0 该点矢量线有旋
A 0
该点矢量线无旋
三、矢量场的旋度(rotation)
旋度小结： 3. 经过点M 的任意方向的环量面密度，都可用 旋度在该方向上的投影获得，即
环量面密度 ( A)M en
4.在矢量场中，若 A J 0 ， 称之为有旋场， J 称为旋度源；
进一步整理，可得
•
环量面密度 ( A)M
en
A M
en cos
rot A A
三、矢量场的旋度(rotation)
A A z
y
Ay e z x
Ax z
Az x
x ey
Ay
x
Ax e y z
旋度小结：
1. 矢量场的旋度是一个矢量，它是描述矢量场中 任一点旋转性质的量。
A
d L
L
一、矢量场的环量
环量的物理意义：不同物理量的环量意义不同。
以河水中放置的水轮为例，水轮边缘受到的力
为 A ，则矢量A 沿水轮边界 L 的环量表示水流
沿整个水轮所作的功。
A
d L
L
Γ0
Γ0
一、矢量场的环量
根据环量的大小判断闭合曲线中是否存在涡旋源：
Γ0
(无涡旋源)
➢ 本节的研究目的
寻找能够度量和刻画矢量场变化情况的量。 旋度是描述矢量场中任一点旋转性质的量。
➢ 本节的研究内容
一、矢量场的环量 二、环量面密度 三、矢量场的旋度
一、矢量场的环量
在矢量场中，若L是一条有向闭合曲线，则矢量场
A 沿有向闭曲线 L的线积分，称为矢量A 沿有向闭
曲线L的环量，即
2. 旋度代表矢量场的涡旋源的特性：
A 0 该点矢量线有旋
A 0
该点矢量线无旋
三、矢量场的旋度(rotation)
旋度小结： 3. 经过点M 的任意方向的环量面密度，都可用 旋度在该方向上的投影获得，即
环量面密度 ( A)M en
4.在矢量场中，若 A J 0 ， 称之为有旋场， J 称为旋度源；
进一步整理，可得
•
环量面密度 ( A)M
en
A M
en cos
rot A A
三、矢量场的旋度(rotation)
A A z
y
Ay e z x
Ax z
Az x
x ey
Ay
x
Ax e y z
旋度小结：
1. 矢量场的旋度是一个矢量，它是描述矢量场中 任一点旋转性质的量。
A
d L
L
一、矢量场的环量
环量的物理意义：不同物理量的环量意义不同。
以河水中放置的水轮为例，水轮边缘受到的力
为 A ，则矢量A 沿水轮边界 L 的环量表示水流
沿整个水轮所作的功。
A
d L
L
Γ0
Γ0
一、矢量场的环量
根据环量的大小判断闭合曲线中是否存在涡旋源：
Γ0
(无涡旋源)
矢量与场论课件—旋度
z轴）的环量面密度。 下面我们来推导直角坐标系中 环量面密度的计算公式。为了
n
S
en
M
简化计算，我们直接选择无限
dl
小的矩形回路，使场点M位于
F
矩形中心，并且使矩形的空间取向端正（它的边
或者与坐标轴平行，或者与坐标轴垂直）。
大理大学工程学院 罗凌霄编写 6
设空间有矢量场 E ，在平面yoz的平行平面上以任
定义 在矢量场 F 中，过任一点 M 作沿任意方向的 n 轴，过 M 点作 n 轴的垂直平面，在此平面内取任意
回路 l 圈围点 M ，并且使 l 的绕行方向与n 轴方向
en 符合右手螺旋关系。当回 路向M点无限收缩时，F 沿回
n
S en
M
路l 的环量与回路l
积 S 的比值
lim
圈l围F 的dl面
ex ey ez
rot E
x y z
Ex Ey Ez
大理大学工程学院 罗凌霄编写 14
因为
E =(ex
x
ey
y
ez
z
)
(ex
Ex
ey Ey
ez Ez )
ex
x
(ex Ex
ey
Ey
ez Ez
的大小等于该点处 E 的环量 面密度的最大值，矢量场
的旋度的方向沿着该点处 E 的环量面密度取最大值时
所环绕的 轴的方向。 矢量场 E 的旋度用rot E 表示。
大理大学工程学院 罗凌霄编写 12
《矢量分析与场论》 矢量场的环量及旋度
。
R Q P R Q P rotA ( )i ( ) j ( )k y z z x x y R Q P R Q P div(rotA) ( ) ( ) ( ) x y z y z x z x y
0
1.旋度运算的基本公式
例：设矢量场
A
的旋度为 rotA 0 ，若存在非零
函数 u ( x, y, z )使 uA 为某数量场 ( x, y, z) 的梯度， 即 uA grad，试证明 A rotA （习题5第10题）。
rot(uA) rot( grad ) 证： rot( grad ) 0 rot(uA) 0 rot(uA) urotA gradu A 0
电位矢量的旋度为，
qr rot D rot ( ) rot ( f (r )r ) 3 4r q f (r ) 4r 3
i rotr x x j y y k 0 z z
1.旋度运算的基本公式 例：设点电荷
电位移矢量 D
q
位于坐标原点，试证明其产生的
qr rot D rot ( ) rot ( f ( r ) r )0 3 4r
1.旋度运算的基本公式
例：设函数 u ( x, y, z ) 及矢量
第10题）(1) 证：（1）
A P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k 的
2u 2u zx xz
1.旋度运算的基本公式
例：设函数 u ( x, y, z ) 及矢量
第10题）(1) 证：（1）
A P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k 的
电磁场与电磁波(矢量分析)2
显然，在上面结果中将 ' ，则
R ' R aR R ' R 3
1 1 a ' R 2 R R R ' R 0
2014-9-29
信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民
11/62
域中，则矢量场由其散度和旋度唯一确定，并且可以表示
为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和， 即
F (r ) Fl (r ) Fs (r )
Fl 0 Fl 0 Fl
l l
l3
l4
x
( ydx xdy) 4 ( ydx xdy)
l l1
4 ( R x)dx ( R y )dy 4 R 2 R R
0 0
改变路径绕 向，结果为 负值
环量与路径形状、大小及其绕向有关。
2014-9-29 信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民 3/62
重要定理 ——斯托克斯定理 A dl A ds
l s
闭合线积分 —— 面积分
2014-9-29
信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民
7/62
1.4 矢量场的环量与旋度
举例： xa x ya y 已知矢量 A 求点M(2,1,0)的旋度以 y x 及该点处沿 l ay az 的环量密度。
格林定理表明，场量是一个体积分与一个面积分的和， 面积分代表边界上的场，体积分代表所求区域内的场。格
林定理给出了由边界条件和区域内场源求解场的方法。
2014-9-29
信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民
R ' R aR R ' R 3
1 1 a ' R 2 R R R ' R 0
2014-9-29
信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民
11/62
域中，则矢量场由其散度和旋度唯一确定，并且可以表示
为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和， 即
F (r ) Fl (r ) Fs (r )
Fl 0 Fl 0 Fl
l l
l3
l4
x
( ydx xdy) 4 ( ydx xdy)
l l1
4 ( R x)dx ( R y )dy 4 R 2 R R
0 0
改变路径绕 向，结果为 负值
环量与路径形状、大小及其绕向有关。
2014-9-29 信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民 3/62
重要定理 ——斯托克斯定理 A dl A ds
l s
闭合线积分 —— 面积分
2014-9-29
信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民
7/62
1.4 矢量场的环量与旋度
举例： xa x ya y 已知矢量 A 求点M(2,1,0)的旋度以 y x 及该点处沿 l ay az 的环量密度。
格林定理表明，场量是一个体积分与一个面积分的和， 面积分代表边界上的场，体积分代表所求区域内的场。格
林定理给出了由边界条件和区域内场源求解场的方法。
2014-9-29
信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民
矢量场的环量__旋度
Biblioteka rotn Alim
S 0
l
S
在矢量场中，一个给定点 M 处沿不同方向n，其环量面密度
的值是不同的。
二、矢量场旋度
1、旋度的定义
方向：环量面密度取最大值的面元正法线方向。
大小：等于该环量面密度最大值。即
rotA
nlim
A dl
l
S0 S
max
2、旋度在坐标系下的表示
rotA A
在直角坐标系中的表示
§1.3 矢量场的环量 旋度
一、矢量场的环量与环量面密度
1、矢量场的环量
矢量场 A(r) 沿场中的一条闭合路径 l 的曲线积分称为矢量场
A(r) 沿闭合路径 l 的环量。
S nS
A dl
l
P
A
C
环流的计算
物理意义：若某一矢量场的环量不等于零，则场中有产生该矢
量场的旋涡源。
2、环量面密度
A dl
ex ey ez A
x y z
Ax Ay Az
在圆柱坐标系中的表示
e e ez
A
1
z
A A Az
在球坐标系中的表示
er re r sine
A
1
r 2 sin r
Ar rA r sinA
3、旋度的性质
矢量场的旋度是一个矢量。
矢量场在某点处的旋度表示该点的旋涡源密度。
矢量场在某点处沿 n方向的环量面密度，等于旋度在该
l
四、旋度与散度的区别
矢量场的旋度是矢量函数，矢量场的散度是标量函数。 旋度描述场量与旋涡源的关系，散度描述场量与通量源的关系。
如果矢量场的旋度为零，则称为无旋场(或保守场)；如果 矢量场散度为零，则称为无源场。
S 0
l
S
在矢量场中，一个给定点 M 处沿不同方向n，其环量面密度
的值是不同的。
二、矢量场旋度
1、旋度的定义
方向：环量面密度取最大值的面元正法线方向。
大小：等于该环量面密度最大值。即
rotA
nlim
A dl
l
S0 S
max
2、旋度在坐标系下的表示
rotA A
在直角坐标系中的表示
§1.3 矢量场的环量 旋度
一、矢量场的环量与环量面密度
1、矢量场的环量
矢量场 A(r) 沿场中的一条闭合路径 l 的曲线积分称为矢量场
A(r) 沿闭合路径 l 的环量。
S nS
A dl
l
P
A
C
环流的计算
物理意义：若某一矢量场的环量不等于零，则场中有产生该矢
量场的旋涡源。
2、环量面密度
A dl
ex ey ez A
x y z
Ax Ay Az
在圆柱坐标系中的表示
e e ez
A
1
z
A A Az
在球坐标系中的表示
er re r sine
A
1
r 2 sin r
Ar rA r sinA
3、旋度的性质
矢量场的旋度是一个矢量。
矢量场在某点处的旋度表示该点的旋涡源密度。
矢量场在某点处沿 n方向的环量面密度，等于旋度在该
l
四、旋度与散度的区别
矢量场的旋度是矢量函数，矢量场的散度是标量函数。 旋度描述场量与旋涡源的关系，散度描述场量与通量源的关系。
如果矢量场的旋度为零，则称为无旋场(或保守场)；如果 矢量场散度为零，则称为无源场。
电磁场之矢量场的环量及旋度
CQU
有关旋度的几个关系式
• 位置矢量的旋度为零，即 R 0 • f(r)与F(r)之积 fF 的旋度有恒等式
( f F ) f ( F ) f F
• f(R) 与 R 之积的旋度，有
f (R)R 0
证明： f (R)R f (R) R f (R) R
1.4 矢量场的环量及旋度
不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同 于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合 的，它对于任何闭合曲面的通量为零。
CQU
1、环量
（1）定义：矢量场的环量就是指矢量场沿闭合线l的线积分 下面从变力作功问题引入矢量场环量的概念。
Ai Fi li cosi Fi li
Δz
z
F (x, y, z ) Δ sx Fy (x, y, z )y Fz (x, y , z ) z y z F l y (x,y,z) F F (x,y+Δy,z) Δy Fy (x, y , z ) Fy (x, y, z ) z y Fz (x, y , z )z o y z x F F F F y y ( z )yz ( z )S x 推导旋度的直角坐标式所 y z y z 取的面元和它的围线 F d l F F 于是得 (curlF ) x lim l z y S x 0 S x y z
F d l lim
l s 0
s
1.4 矢量场的环量及旋度
旋度直角坐标式的推导
先计算x分量
CQU
F dl F (x, y, z )y F (x, y y, z )z
l y z
z
有关旋度的几个关系式
• 位置矢量的旋度为零，即 R 0 • f(r)与F(r)之积 fF 的旋度有恒等式
( f F ) f ( F ) f F
• f(R) 与 R 之积的旋度，有
f (R)R 0
证明： f (R)R f (R) R f (R) R
1.4 矢量场的环量及旋度
不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同 于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合 的，它对于任何闭合曲面的通量为零。
CQU
1、环量
（1）定义：矢量场的环量就是指矢量场沿闭合线l的线积分 下面从变力作功问题引入矢量场环量的概念。
Ai Fi li cosi Fi li
Δz
z
F (x, y, z ) Δ sx Fy (x, y, z )y Fz (x, y , z ) z y z F l y (x,y,z) F F (x,y+Δy,z) Δy Fy (x, y , z ) Fy (x, y, z ) z y Fz (x, y , z )z o y z x F F F F y y ( z )yz ( z )S x 推导旋度的直角坐标式所 y z y z 取的面元和它的围线 F d l F F 于是得 (curlF ) x lim l z y S x 0 S x y z
F d l lim
l s 0
s
1.4 矢量场的环量及旋度
旋度直角坐标式的推导
先计算x分量
CQU
F dl F (x, y, z )y F (x, y y, z )z
l y z
z
工程电磁场1-矢量场的环量与旋度
2015-6-18
华北电力大学电气与电子工程学院
25
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
5） div( A B) B rotA A rotB 6） div(rotA) 0 公式 4)可根据梯度和旋度在直角坐标系 中的计算公式直接证明。 公式 6)可利用旋度和散度在直角坐标系中 的计算公式直接证明。
Ax ( )dxdy x y
2015-6-18 28
Ay
华北电力大学电气与电子工程学院
工程电磁场
斯托克斯定理的解释：
主讲人： 王泽忠
环量：法向环量面密度的面积分 环量：矢量闭合线积分 环量面密度＝旋度在法线方向的投影 矢量闭合线积分＝旋度的面积分（通量） （1．5 结束）
2015-6-18
2015-6-18
华北电力大学电气与电子工程学院
31
工程电磁场
只是一种运算
主讲人： 王泽忠
不是函数，不是物理量，
当它以一定方式作用于空间函数时， 所得的矢量或标量空间函数才具有意义。 应用 算子的目的， 是为了使场论中的有关公式更为简洁， 便于记忆和运算。
2015-6-18
华北电力大学电气与电子工程学院
主讲人： 王泽忠
例 已知 A a( yex xe y ) ， a 为常数，求 rotA 。 解
Ax ay ， Ay ax ， Az 0
Ay Ax Ax Az Az Ay rotA ( )ex ( )e y ( )ez y z z x x y
以点积方式作用于矢量函数，得标量函数
A (e x e y e z ) Ax e x Ay e y Az e z x y z Ax Ay Az = x y z
电磁场1.矢量分析
矢量函数在上述三种坐标系内应有的关系为：
F ( r ) F ( x , y , z ) e x Fx ( x , y , z ) e y F y ( x , y , z ) e z Fz ( x , y , z ) F ( r , , z ) e r F r ( r , , z ) e F ( r , , z ) e z F z ( r , , z ) F ( r , , ) e r F r ( r , , ) e F ( r , , ) e F ( r , , )
0
er d er
0
d e r 2
而应将柱坐标的单位矢量变换成直角坐标的单位矢量后来求：
2 0
er d
2 0
2 2 ( e x co s e y sin ) d e x co s d e y sin d 0
三维场
dx dy Fx ( r ) Fy (r )
dz Fz ( r )
§1.2 矢量与矢量场的不变特性
不变 ---------即与坐标系无关，而只与两矢量的数值及它们之间 的夹角有关。
描绘物理状态空间分布的标量函数 Φ（r）和矢量函数F（r）， 在时间为一定值的情况下，它们是唯一的，其大小或方向与所 选择的坐标系无关。 即对于坐标系的变换，Φ（r）和 F（r）的大小与方向保持不变。 常用的正交坐标系有三种：
矢量的点积 （标积）
两个矢量A和B的点积定义为：
C AB
点积的结果C是一个数量（标 量），而不是一个矢量，其结 果为： C A B A B cos 如右图所示。在直角坐标系中， y A y e z Az B ex B x e y B y ez B z
3通量和环量
第一章 矢量分析
1.1 矢量场的通量与散度 1.2 矢量场的环量与旋度 1.3 亥姆霍兹定理
工程电磁场 第一章 矢量分析1 Nhomakorabea1.1 矢量场的通量与散度
1.1.1 通量 1、定义 有向曲面S——其大小为S、方向沿曲面 的垂直方向ds的曲面。 如果在该矢量场中取一曲面S， 通过该 曲面的矢线量总和称为通量。
a n 与 Rm 重合。此时 max Rm ，说明Rm 当 Rm，an 0 时，
指向环量面密度最大的方向。
看出旋度是一个矢量，其大小为沿单位面积上的最大环 量（最大环量面密度或最大环量源强度），其方向为曲面 取向使环量最大时，该曲面的法线方向。 旋度用于表示旋涡源产生的旋涡场，其矢量线为包围旋
对式（1.56）分别取散度和旋度，由式（1.57a、b）知
F Fn g(1.58a) F Ft G(1.58b)
S S1 S2 S3
S4
S5
S6
Fx Fy Fz 整个封闭曲面的总通量： xyz S F dS y z x
工程电磁场 第一章 矢量分析 7
该闭合曲面所包围的体积： V xyz
divF lim S
V 0
界定面积S 的法向矢量 a n 呈右旋关系（见图1.26），当
S 趋近于零时，F在点P处的环量面密度定义为如下比值的极
限，表明环绕 a n 方向旋转的强弱情况。
n
F dl lim (1.45)
l S 0
9
1.2 矢量场的环量与旋度
1. 环量（环流）： 有向曲线 l ——其大小为 l ，方向 沿 l 的切线方向 a t 的曲线。 在矢量场中，任意取一闭合曲线 ， 将矢量沿该曲线积分称之为环量。
1.1 矢量场的通量与散度 1.2 矢量场的环量与旋度 1.3 亥姆霍兹定理
工程电磁场 第一章 矢量分析1 Nhomakorabea1.1 矢量场的通量与散度
1.1.1 通量 1、定义 有向曲面S——其大小为S、方向沿曲面 的垂直方向ds的曲面。 如果在该矢量场中取一曲面S， 通过该 曲面的矢线量总和称为通量。
a n 与 Rm 重合。此时 max Rm ，说明Rm 当 Rm，an 0 时，
指向环量面密度最大的方向。
看出旋度是一个矢量，其大小为沿单位面积上的最大环 量（最大环量面密度或最大环量源强度），其方向为曲面 取向使环量最大时，该曲面的法线方向。 旋度用于表示旋涡源产生的旋涡场，其矢量线为包围旋
对式（1.56）分别取散度和旋度，由式（1.57a、b）知
F Fn g(1.58a) F Ft G(1.58b)
S S1 S2 S3
S4
S5
S6
Fx Fy Fz 整个封闭曲面的总通量： xyz S F dS y z x
工程电磁场 第一章 矢量分析 7
该闭合曲面所包围的体积： V xyz
divF lim S
V 0
界定面积S 的法向矢量 a n 呈右旋关系（见图1.26），当
S 趋近于零时，F在点P处的环量面密度定义为如下比值的极
限，表明环绕 a n 方向旋转的强弱情况。
n
F dl lim (1.45)
l S 0
9
1.2 矢量场的环量与旋度
1. 环量（环流）： 有向曲线 l ——其大小为 l ，方向 沿 l 的切线方向 a t 的曲线。 在矢量场中，任意取一闭合曲线 ， 将矢量沿该曲线积分称之为环量。
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A dl Acosdl A dl
t l l l
称为矢量场 A 按所取方向沿曲线 l 的环量 环量描述矢量场旋转特征 是一个标量。 它不仅与场矢量 A 有关， 而且与回路 l 的形状和取向有关。
2018/11/17
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5
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
2．环量面密度
S 是环量的平均面密度。
取极限得到在 M 点的环量面密度。 若极限存在，则环量面密度与 en 有关， 与 l 的形状无关。 大小反映了 A 在 M 点绕 en 方向旋转的强弱。 在空间的一点，方向 en 可以任意选取。 随着 en 方向改变，环量面密度将连续变化。
2018/11/17
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工程电磁场
1．矢量场的环量
矢量场中选取一闭合曲线 l
主讲人： 王泽忠
表示曲线的走向，切线方向为曲线的正方向 过 M 点曲线的切线方向， 其单位 矢量为 e t 取一弧元 dl
2018/11/17
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4
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
矢量函数 A 沿有向闭合曲线 l 的线积分
当 S 以任意方式收缩到 M 点时， 若极限
l lim lim S 0 S S 0 S
A dl
存在，则称该极限值为 矢量场 A 在 M 点，沿方向 en 的环量面密度。
2018/11/17
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7
工程电磁场
l
主讲人： 王泽忠
A dl
8
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
3．旋度的定义
环量面密度是与方向有关的标量。 对比，方向导数是与方向有关的标量。 梯度矢量的方向是方向导数最大的方向， 其模值是最大方向导数的值， 它在某一方向的投影，就是该方向的方向导数。
2018/11/17
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9
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
华北电力大学电气与电子工程学院
10
工程电磁场
4．旋度的计算
主讲人： 王泽忠
环量面密度定义式中的极限与所取小曲面边缘的形状无关。 现取如图所示平行于 yoz 坐标平面的小矩形面， 小矩形面的法向矢量与 ex 平行， 小矩形面的面积为 Sx 4yz
2018/11/17
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11
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
以 M 点为中心，在其周围 将 A 展开成泰勒级数并忽略高阶项， 则 A 沿 lx 的线积分为 （ lx 沿逆时针方向）
2018/11/17
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12
工程电磁场
lx 1 2
主讲人： 王泽忠
A dl A dl A dl A dl A dl
2018/11/17
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18
工程电磁场
lz 1 2
主讲人： 王泽忠
设 M 为矢量场中的一点，在 M 点取一单位矢量 en ， 并在 M 点周围取小闭合回路 l ， 令 l 的环绕方向与 en 构成右手螺旋关系； 作以 l 为边界， en 为法线方向， 且过点 M 的小曲面 S 。
2018/11/17
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工程电磁场
主讲人： 王泽忠
若在矢量场 A 中的一点 M 处存在矢量 R , 它的方向是 A 在该点环量面密度最大的方向， 其模值是最大的环量面密度， 则称矢量 R 为矢量场 A 在点 M 的旋度， 记为
rotA R
A 绕 en 方向的环量面密度就是 rotA 在 en 上的投影。
en 方向的环量面密度
2018/11/17
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
工程电磁场
王泽忠
2018/11/17
华北电力大学电气与电子工程学院1 矢量分析与场论基础
2018/11/17
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工程电磁场
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1.5
矢量场的环量和旋度
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3
2018/11/17
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得
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rot x A lim
lx
A dl
S x
S x 0
Az Ay = y z
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工程电磁场
主讲人： 王泽忠
取如图的平行于 zox 坐标平面的小矩形面， 小矩形面的法向矢量与 ey 平行， 小矩形面的面积为 S y 4zx 将 A 展开成泰勒级数并忽略高阶 项， 则 A 沿 l y 的线积分为
2018/11/17
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工程电磁场
l y 1 2
主讲人： 王泽忠
A dl A dl A dl A dl A dl
3 4
Ax Az = Az x 2z Ax z 2x x z Ax Az Az x 2z Ax z 2x x z Ax Az = 4zx x z
3 4
Ay Az = Ay z 2y Az y 2z z y Ay Az Ay z 2y Az y 2 z z y Az Ay = 4yz z y
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得
rot y A lim
l y
A dl S y
S y 0
Ax Az = z x
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取如图的平行于 xoy 坐标平面的小矩形面， 小矩形面的法向矢量与 ez 平行， 小矩形面的面积为 Sz 4xy ， 将 A 展开成泰勒级数并忽略高阶项， 则 A 沿 lz 的线积分为