高中数学竞赛考试大纲
全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及全部定理内容
全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容一、平面几何1、数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。
三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
4、几何不等式。
5、简单的等周问题。
了解下述定理：在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。
在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
6、几何中的运动：反射、平移、旋转。
7、复数方法、向量方法。
平面凸集、凸包及应用。
二、代数1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
2、第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。
3、ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
4、复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。
5、圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
6、一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
7、简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。
三、立体几何1、多面角，多面角的性质。
三面角、直三面角的基本性质。
2、正多面体，欧拉定理。
3、体积证法。
4、截面，会作截面、表面展开图。
四、平面解析几何1、直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
2、二元一次不等式表示的区域。
3、三角形的面积公式。
4、圆锥曲线的切线和法线。
5、圆的幂和根轴。
五、其它抽屉原理。
容斤原理。
极端原理。
集合的划分。
2016全国高中数学联赛试题及评分标准
2016全国高中数学联赛试题及评分标准9月将至，开学的同时，每年一年一度的全国高中数学联赛也即将来了，同学们可知道高中联赛的前世今生吗？从1956年起，在华罗庚、苏步青等老一辈数学家的倡导下，开始举办中学数学竞赛，在北京、上海、福建、天津、南京、武汉、成都等省市都开展了数学竞赛，并举办了由京、津、沪、粤、川、辽、皖合办的高中数学联赛。
1979年，我国大陆上的29个省、市、自治区都举办了中学数学竞赛。
1980年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年9月第二个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”。
竞赛分为一试和二试，在这项竞赛中取得优异成绩的全国约200名学生有资格参加由中国数学会奥林匹克委员会主办的“中国数学奥林匹克(CMO)暨全国中学生数学冬令营”(每年元月)。
各省的参赛名额由3人到8人不等，视该省当年的联赛考试成绩而定，且对于承办方省份有一定额外的优惠。
在CMO中成绩优异的60名左右的学生可以进入国家集训队。
经过集训队的选拔，将有6名表现最顶尖的选手进入中国国家代表队，参加国际数学奥林匹克(IMO)。
为了促进拔尖人才的尽快成长，教育部规定：在高中阶段获得全国数学联赛省、市、自治区赛区一等奖者便获得保送重点大学的资格，对于没有保送者在高考中加分，加分情况根据各省市政策而定，有些省、市、自治区保留了竞赛获奖者高考加5分到20分不等，而部分省级行政区已经取消了竞赛加分。
对二、三等奖获得者，各省、市、自治区又出台了不同的政策，其中包括自主招生资格等优惠录取政策。
为严格标准，中国数学会每年限定一等奖名额1000名左右，并划分到各省、市、自治区。
各省、市、自治区在上报一等奖候选人名单的同时，还要交上他们的试卷，最终由中国数学会对其试卷审核后确定获奖名单。
☆ 试题模式自2010年起，全国高中数学联赛试题新规则如下：联赛分为一试、加试（即俗称的“二试”）。
高中数学新课标考试大纲
高中数学新课标考试大纲高中数学新课标考试大纲主要分为必修和选修两个部分，旨在培养学生的数学素养，提高学生解决实际问题的能力。
以下是大纲的主要内容：1. 必修内容：- 集合与简易逻辑：包括集合的概念、运算，以及简易逻辑的基本知识。
- 函数：函数的概念、性质、图像，以及基本初等函数。
- 三角函数：三角函数的定义、图像、性质和应用。
- 立体几何：空间几何体的性质、体积和表面积的计算。
- 解析几何：直线和圆的方程，以及它们的几何性质和应用。
- 概率与统计：概率的基本概念，随机事件的概率计算，以及统计的基础知识。
2. 选修内容：- 数学史与数学文化：介绍数学的发展历史，以及数学在文化中的作用。
- 微积分初步：导数、微分、积分的基本概念和计算方法。
- 线性代数初步：矩阵、行列式、向量空间的基础知识。
- 离散数学：包括组合数学、图论、逻辑和集合论等。
- 数学建模：数学建模的基本方法，以及如何应用数学解决实际问题。
- 算法初步：算法的概念，以及基本的算法设计和分析。
3. 考试要求：- 学生需要掌握数学基础知识和基本技能。
- 能够运用数学知识解决实际问题。
- 具备一定的数学思维能力和创新能力。
- 能够理解和运用数学概念、定理和公式。
- 能够进行数学推理和证明。
4. 考试形式：- 考试通常包括选择题、填空题和解答题。
- 选择题和填空题主要测试学生对基础知识的掌握。
- 解答题则更侧重于考察学生的综合应用能力和解题技巧。
5. 考试范围：- 考试内容将覆盖上述必修和选修内容。
- 考试难度将根据学生所学课程的深度和广度来设定。
6. 考试准备：- 学生应该系统地复习所学内容，加强对重点和难点的理解。
- 通过做历年真题和模拟题来提高解题速度和准确率。
- 注重培养数学思维，提高分析问题和解决问题的能力。
请注意，具体的考试大纲可能会根据不同地区的教育部门有所调整，因此建议学生和教师参考最新的官方文件和指导。
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高中数学竞赛校本课程纲要
高中数学竞赛校本课程纲要一.课程目标数学是研究空间形式和数量关系的科学，也是研究模式与秩序的一门学科。
数学本身的特点决定了它作为科学基础的地位，中学数学的内容与其中蕴含的数学思想方法，尤其是通过数学学习培养的思考问题、解决问题的数学能力将在更深一层次的科学研究中大有作为。
理科班学生作为未来国家科技拔尖人才，必须对他们的中学数学学习提出更高的要求。
本课程的目标，可以简单概括为以下几点：1.夯实学生数学基础，使学生熟练掌握各种数学基本技能；全面提高学生演绎推理、直觉猜想、归纳抽象、体系构建、算法设计等诸多方面的能力，并在此基础上培养学生学习新的数学知识的能力，数学地提出、分析、解决问题的能力，数学表达与交流的能力；发展学生数学应用意识与数学创新意识。
2.努力扩展学生的数学视野，全面渗透研究性学习，激发学生学习数学的兴趣，使学生能欣赏数学的美学魅力，认识数学的价值，崇尚数学的思考，培养从事科学研究的精神与方法。
3.多角度衔接高等教育，大胆引入现代数学基本理念，为学生继续从事高深科学领域的学习奠定所必需的数学基础。
4.为高层次的学科竞赛准备必须的知识基础。
二.编写原则本课程始终围绕理科班这一特殊学生群体设计，从他们的学习与发展的实际学情为基本出发点。
课程的内容的选择是严格的，它具有鲜明的针对性，能体现理科班数学教学的特点。
本课程设计向要突现以下几点：1.注重发展学生的数学综合能力“学以致用”，数学知识的学习必须进入运用的层次，接受实践的考验。
20世纪下半叶以来，数学的最大发展是应用，这也对数学教学产生了深刻的影响。
本课程在数学知识的理论应用与实践运用上大大加强，数学的融会贯通与“数学建模”成为主体；加强了数学各分支间的结合，以重要的数学思想方法来贯穿数学学习。
本课程通过在每一章设置“综合应用”来强化数学的综合应用，促使学生在不断的学习与实践中形成数学的应用意识，培养运用数学知识解决问题的实践能力。
2.重视数学思想与数学方法养成的创新学习理念传授数学知识不是理科班数学教学的重点，‘授人以鱼，不若授之以渔’。
高二数学竞赛考的知识点
高二数学竞赛考的知识点高二数学竞赛是一项对学生数学能力的全面考核，并且考察的知识点涵盖了高一和高二的数学课程内容。
在这篇文章中，我们将详细介绍高二数学竞赛考试中涉及的各个知识点。
1.函数与方程函数与方程是高中数学的基础，也是竞赛中经常考察的内容。
其中包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数以及三角函数等。
考生需要理解各种函数的性质、图像特点，以及函数之间的关系。
此外，求解各种方程及不等式也是必备的技能。
2.数列与数列极限数列是一种特殊的函数，是将自然数映射到实数的一种方式。
高二数学竞赛中经常涉及到数列的性质、递推公式、通项公式等。
同时，数列极限也是重点考察的内容，包括数列的极限存在性、极限计算、极限的性质等。
3.概率与统计概率与统计是数学中的应用部分，也是高二数学竞赛中的重要内容。
其中包括事件的概率、条件概率、随机变量与概率分布以及统计图表的分析等。
考生需要掌握概率计算的方法和技巧，同时能够灵活运用统计学的基本理论进行问题求解。
4.立体几何立体几何是高中数学中的一大难点，也是高二数学竞赛中的考点之一。
重点包括立体图形的投影、表面积和体积的计算。
此外，还需要理解立体几何中的一些定理和推理思路，并能够应用到复杂的立体几何问题中。
5.平面向量平面向量是高二数学竞赛中的重要知识点，也是数学与物理结合的桥梁。
平面向量包括向量的性质、向量的加法与减法、数量积和向量积等。
考生需要掌握向量的运算方法和性质，并能够运用向量进行几何证明和问题求解。
6.三角函数与三角恒等式三角函数与三角恒等式是高二数学中的重要内容，也是竞赛考点之一。
考生需要熟练掌握三角函数的基本定义、性质和图像，以及能够灵活运用三角函数的恒等式解决各种三角函数的计算和证明题。
7.数学证明数学证明是高中数学中的重要部分，也是高二数学竞赛中的要求之一。
考生需要具备一定的证明思维能力，能够独立完成数学证明题。
在证明过程中，要注重逻辑严谨、推理准确，并能够灵活运用所学知识和定理。
高中数学竞赛考试大纲及必备辅导书汇总,尖子生请收好
高中数学竞赛考试大纲及必备辅导书汇总，尖子生请收好！首先，强调一点：不是所有学生都可以学数学竞赛，要想学习数学竞赛必须同时具备以下条件：•高考数学可以轻松应对；•对数学竞赛有兴趣，自发选择学习数学竞赛；•具备自主学习能力；•高考涉及的其他学科不存在太大问题，或个人的竞赛前景远优于高考前景。
数学竞赛需要的时间和精力都是很大的，并且如果因为学习竞赛受挫而导致对数学产生负情绪是得不偿失的，因此，我从不提倡“全民竞赛”。
当然，如果你恰好符合以上的四个条件，那么你一定要学习竞赛。
为什么？因为学习数学竞赛的好处很多。
与其他学科竞赛一样，学习数学竞赛除了能在升入高校方面获得保送或降分的优惠外，还能培养学生的自主学习能力，这对学生的整个大学学习乃至今后的学术研究或是社会工作是尤为重要的。
当然，对于大部分学生来说，高校的吸引力是最大的。
而2016年新发布的高校自主招生政策中，其中的变化值得深思：•取消“校荐”，考生需自己报名；•“年级排名”不再是报名条件；•门槛抬高，审核更为严格；•报考专业一定要与特长匹配；•试点高校自主招生考核统一安排在高考结束之后、高考成绩公布前进行。
我们最需要关注的点有三个：① 由于校荐被取消，年级排名也被废除，原本校内成绩突出的学生很难走自招，而自招的报名人数会上升，竞争更加激烈；② 据了解，985高校自招的初审底线是竞赛拿到省二以上，而北清更是要求拿到省一，门槛的提高导致了28万申请自招的学生只有4万余人通过初审，8千余人获得资格，初审和复审的通过率均低于20%；③ 现在的自招考试要求不超过两科，考试的科目和专业是相匹配的，而绝大多数专业的考试科目都有数学，因此数学竞赛的比重是很高的。
总的来说，新的政策直接导致的是各高中年级排名较高的学生更难上清北（难以进入博雅领军，难以获得自招资格，裸考进清北的人更少），而间接导致的是更多的学生走上了竞赛这条道路。
因此，若你有足够的实力，精力和时间，那么竞赛将是你们的不二之选。
高中数学竞赛讲义（五）──数列
⾼中数学竞赛讲义（五）──数列⾼中数学竞赛讲义（五）──数列⼀、基础知识定义1 数列，按顺序给出的⼀列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和⽆穷数列两种，数列{a n}的⼀般形式通常记作a1, a2, a3,…，a n或a1, a2, a3,…，a n…。
其中a1叫做数列的⾸项，a n是关于n的具体表达式，称为数列的通项。
定理1 若S n表⽰{a n}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，a n=S n-S n-1.定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有a n+1-a n=d（常数），则{a n}称为等差数列，d叫做公差。
若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：S n=；3）a n-a m=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，则a n+a m=a p+a-q；5）对任意正整数p, q，恒有a p-a q=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B⾄少有⼀个不为零，则{a n}是等差数列的充要条件是S n=An2+Bn.定义3 等⽐数列，若对任意的正整数n，都有，则{a n}称为等⽐数列，q叫做公⽐。
定理3 等⽐数列的性质：1）a n=a1q n-1；2）前n项和S n，当q1时，S n=；当q=1时，S n=na1；3）如果a, b, c成等⽐数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等⽐中项；4）若m+n=p+q，则a m a n=a p a q。
定义4 极限，给定数列{a n}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|a n-A|<，则称A为n→+∞时数列{a n}的极限，记作定义5 ⽆穷递缩等⽐数列，若等⽐数列{a n}的公⽐q满⾜|q|<1，则称之为⽆穷递增等⽐数列，其前n项和S n的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
全国高中数学联赛实施细则
全国高中数学联赛实施细则一、竞赛内容和方式1、联赛分第一试和第二试。
2、第一试的内容不超出现行高中数学教学大纲，其中包括六道选择题、六道填空题和三道解答题，难度维持在高考中高档试题的水平，能力要求略有提高。
3、第二试共有三道题。
其中一道平面几何题、一道代数或数论题、一道组合题。
内容以竞赛大纲为准。
二、时间1、全国高中数学联赛的举办时间确定在每年10月中旬的第一个星期日上午。
2、各省级赛区应严格遵照全国高中数学联赛组织委员会发出的通知，在规定时间内将报名人数上报承办单位，将一等奖试卷寄送承办单位复评。
不按照规定时间上报或寄送的。
承办单位有权不再受理。
三、报名1、由省级赛区按照全国高中数学联赛组织委员会的通知组织报名。
2、省级赛区应向参赛学生公布与联赛有关的文件，让学生自愿报名，不得摊派。
3、报名表至少应包括“学生姓名、性别、考号、年级、所在学校”，如果需要，还可包括“辅导教师”。
四、命题1、命题工作分四步进行。
第一步，征集试题；第二步，承办单位建立命题委员会，写出试卷初稿；第三步，初稿寄送中国数学会普及工作委员会高中命题的有关负责人，征求意见；第四步，由承办单位组织有主办单位相关负责人参加的命题会议，确定正式试卷、标准答案与评分标准。
2、上一届和下一届的承办单位指派专人列席参加当年的命题会议，以便上下传承，吸取经验。
六、赛场1、对参赛考场具体要求应参照高考考试办法中的相关规定执行。
2、考试开始前监考老师需向参赛学生宣布竞赛时间与纪律。
3、各考点负责人于考前10分钟将试卷发到考场，由考场监考教师在开始考前5分钟当众拆封。
4、竞赛时间不得自行增减。
试题内容不得更改。
5、考试结束后由监考教师当场立即将答题纸和试卷装订加封，填写考场记录并签名,交至考点负责人，再由考点负责人集中送至各省级赛区负责人统一阅卷。
6、各考场需准备装订所需的打孔器和线绳等工具。
7、为防备破损等意外情况，每处考点需额外准备3％的机动试卷，由各考点负责人集中掌握，考试结束后随学生试卷一起送交各省负责人。
高中数学竞赛标准讲义：第12章：立体几何
高中数学竞赛标准讲义：第12章：立体几何2021高中数学竞赛标准讲义：第十二章：立体几何一、基础知识公理1 一条直线。
上如果有两个不同的点在平面。
内．则这条直线在这个平面内，记作：a?a．公理2 两个平面如果有一个公共点，则有且只有一条通过这个点的公共直线，即若P∈α∩β，则存在唯一的直线m，使得α∩β=m,且P∈m。
公理3 过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。
即不共线的三点确定一个平面．推论l 直线与直线外一点确定一个平面．推论2 两条相交直线确定一个平面．推论3 两条平行直线确定一个平面．公理4 在空间内，平行于同一直线的两条直线平行．定义1 异面直线及成角：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线，这两条直线所成的角中，不超过900的角叫做两条异面直线成角．与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线，公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离．定义2 直线与平面的位置关系有两种；直线在平面内和直线在平面外．直线与平面相交和直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外．定义3 直线与平面垂直：如果直线与平面内的每一条直线都垂直，则直线与这个平面垂直．定理1 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直．定理2 两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．定理3 若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也和这个平面垂直．定理4 平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离，若一条直线与平面平行，则直线上每一点到平面的距离都相等，这个距离叫做直线与平面的距离．定义5 一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线．由斜线上每一点向平面引垂线，垂足叫这个点在平面上的射影．所有这样的射影在一条直线上，这条直线叫做斜线在平面内的射影．斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角．结论1 斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角．定理4 (三垂线定理)若d为平面。
全国高中数学联赛试题新规则和考试范围
全国高中数学联赛试题新规则和考试范围──高中数学竞赛大纲（修订稿）在“普及的基础上不断提高”的方针指引下，全国数学竞赛活动方兴未艾，特别是连续几年我国选手在国际数学奥林匹克中取得了可喜的成绩，使广大中小学师生和数学工作者为之振奋，热忱不断高涨，数学竞赛活动进入了一个新的阶段。
为了使全国数学竞赛活动持久、健康、逐步深入地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《数学竞赛大纲》以适应当前形势的需要。
本大纲是在国家教委制定的全日制中学“数学教学大纲”的精神和基础上制定的。
《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。
”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。
同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。
《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的最低要求。
在竞赛中对同样的知识内容的理解程度与灵活运用能力，特别是方法与技巧掌握的熟练程度，有更高的要求。
而“课堂教学为主，课外活动为辅”是必须遵循的原则。
因此，本大纲所列的课外讲授内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，这样才能加强基础，不断提高。
自2010年起，全国高中数学联赛试题新规则如下：全国高中数学联赛试题新规则联赛分为一试、加试（即俗称的“二试”）。
各个省份自己组织的“初赛”、“初试”、“复赛”等等，都不是正式的全国联赛名称及程序。
一试和加试均在每年10月中旬的第一个周日举行。
一试考试时间为上午8：00-9：20，共80分钟。
试题分填空题和解答题两部分，满分120分。
其中填空题8道，每题8分；解答题3道，分别为16分、20分、20分。
全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及定理内容
全国高中数学联赛竞赛大纲（修订稿）及定理内容命题要求：根据现行“高中数学竞赛大纲”的要求，“全国高中数学联赛（一试）”所涉及的知识范围不超过教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高．主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况，以及综合运用和灵活运用的能力。
试卷包括6道选择题，6道填空题和3道解答题，全卷满分为150分。
“全国高中数学联赛加试（二试）”与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲以外的内容，试卷包括3道解答题，其中一道是平面几何题，全卷满分为150分。
参赛对象：在校高中学生，坚持以自愿原则报名参加竞赛。
参加“全国高中数学联赛”的学生可以自愿选择是否参加“联赛加试”。
但是有意参加全国中学数学冬令营的学生必须两次考试都参加，并把两次考试的总分作为选拔冬令营营员的标准。
《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的最低要求。
在竞赛中对同样的知识内容的理解程度与灵活运用能力，特别是方法与技巧掌握的熟练程度，有更高的要求。
而“课堂教学为主，课外活动为辅”是必须遵循的原则。
因此，本大纲所列的课外讲授内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，这样才能加强基础，不断提高。
一试全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。
二试1、平面几何基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。
三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
几何不等式。
简单的等周问题。
了解下述定理：在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。
2024年集英苑冬季竞赛高中数学试题卷附答案解析
2024年集英苑冬季竞赛高中数学试题卷本试题满分150分，考试时间140分钟．选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．2log 4=（）A ．1-B ．0C ．1D ．22．平面向量(1,1),(2,3)a b == ，则||a b +=（）A ．3B ．5C ．7D ．113．已知实数x ，y 满足约束条件1,2,1,x y x y x ≥-⎧⎪≥⎨⎪≤+⎩该约束条件在坐标平面上表示的区域如图所示，则y 的取值范围是（）A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[2,1]-D ．[1,2]-4．已知等比数列{}n a 满足1231a a a =>，若1n a =，则n =（）A ．2B ．3C ．4D ．55．设,R a b ∈，集合{}{}22,1,,1A a a B b b =+=+．则“A B =”是“a b =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．某考试评定考生成绩时，采取赋分制度：只有原始分排名前3%的同学才能赋分97分及以上．若这些学生的原始分的最大值为a ，最小值为b ，令()f x 为满足()100,()97f a f b ==的一次函数．对于原始分为()x b x a ≤≤的学生，将()f x 的值四舍五入得到该学生的赋分．已知小赵原始分96，赋分100；小叶原始分81，赋分97；小林原始分89，他的赋分是（）A ．97B ．98C ．99D ．98或997．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知222π,cos 3C a b ac A =-=，则tan A =（）A．2B．2C ．1D8．随机事件A ，B ，C 满足(|)(|)(|)1P A B P B C P C A ++=，则()()()P A P B P C ++的取值范围是（）A ．91,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．90,7⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．()0,2非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．9．函数2sin y x =的最小正周期是．10．椭圆2212x y +=经过双曲线222(0)x y a a -=>的焦点，则=a ．11．已知圆锥AO 的高等于底面半径r ，则圆锥AO 与半径为r 的球的表面积之比是．12．若数列{}n a 满足对任意n *∈N ，数列{}n a 的前2n 项至少有n 项大于n ，且0n a ≥，则称数列{}n a 具有性质2M ．若存在具有性质2M 的数列{}n a ，使得其前n 项和n S n λ≤恒成立，则整数．．λ的最小值是．三、解答题：本大题共5小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，1AC ⊥平面111,A B C AB BC ⊥．D ，E 分别是11,BC AC的中点．(1)证明：//DE 平面111A B C ;(2)设1AC 与平面11ABB A 所成角的大小是α，若1AD BC ⊥，证明：BAC α∠=．14．设a ∈R ，函数()()ln ,()ln()f x x a x g x x x a =+=+.(1)当0a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)是否存在a ，使得()f x 是(0,)+∞上的单调递增函数，且()g x 是(,)a -+∞上的单调递增函数？若存在，试求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.15．设M 是由复数组成的集合，对M 的一个子集A ，若存在复平面上的一个圆，使得A 的所有数在复平面上对应的点都在圆内或圆周上，且M A ð中的数对应的点都在圆外，则称A 是一个M 的“可分离子集”．(1)判断{1,2,3}是否是{,1,2,3}i 的“可分离子集”，并说明理由；(2)设复数z 满足0Re()1,0Im()1z z <<<<，其中Re(),Im()z z 分别表示z 的实部和虚部．证明：{,}z z 是{1,i ,,}z z z 的“可分离子集”当且仅当||1z <．16．已知A 是抛物线22(0)y px p =>上一点（异于原点），斜率为1k 的直线1l 与抛物线恰有一个公共点A （1l 与x 轴不平行）．(1)当132k p =时，求点A 的纵坐标；(2)斜率为2k 的直线2l 与抛物线交于B ，C 两点，且ABC 是正三角形，求12k k 的取值范围．17．春节将至，又是一年万家灯火的团圆之时．方方正正的小城里，住着21000户人家，恰好构成了坐标平面上集合{(,)1,1000,,}A x y x y x y =≤≤∈Z ∣的所有点．夜里，小城的人家挂上大红灯笼，交相辉映，将小城的夜晚编织成发光的大网．在坐标平面上看，A 中的每个点均独立地以概率p 被点亮，或以1p -的概率保持暗灭．若A 中两个点的距离为1，则这两个点被称为是相邻的．若A 中的n 个被点亮的点()1n ≥构成一依次相邻的点列1,,n A A ⋯，则称这n 个点组成的集合{}1,,n A A ⋯是长度为n 的“相邻灯笼串”．规定空集是长度为0的“相邻灯笼串”．(1)给定A 中3个依次相邻的点123(1,1),(2,1),(3,1)A A A ，记随机变量X 为集合{}123,,A A A 包含的“相邻灯笼串”的长度的最大值，试直接写出随机变量X 的分布列（用p 表示）；(2)若0.3p =，证明：存在长度为1000的“相邻灯笼串”的概率小于0.01；(3)若0.9p =，证明：存在长度为1000的“相邻灯笼串”的概率大于0.99．1．D【分析】对数运算可解.【详解】222log 4log 22==.故选：D 2．B【分析】根据平面向量数量积的坐标表示及模的坐标表示即可求解.【详解】因为(1,1),(2,3)a b ==，所以()()()1,12,33,4a b +=+= ，所以||5a b +==.故选：B 3．A【分析】如图求出直线交点A B 、的坐标即可解.【详解】如图，求解12x y x =-⎧⎨=⎩，得12x y =-⎧⎨=-⎩，则()1,2A --，求解12y x y x =+⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，则()1,2B ，如图可知，y 的取值范围是[2,2]-.故选：A4．C【分析】根据给定条件，求出数列{}n a 的公比q 的范围，再结合通项公式及单调性求解即得.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由123a a a =，得1123a a q =，解得311q a=，而11a >，则01q <<，又11n n a a q -=，因此数列{}n a 是递减数列，又3411n a a q a ===，所以4n =.故选：C 5．C【分析】利用集合相等的定义得到关于,a b 的方程组，推得充分性成立；再简单证得必要性也成立即可得解.【详解】因为{}{}22,1,,1A a a B b b =+=+，当A B =时，则有2211a ba b =⎧⎨+=+⎩，或2211a b a b ⎧=+⎨+=⎩，若2211a ba b =⎧⎨+=+⎩，显然解得a b =；若2211a b a b ⎧=+⎨+=⎩，则()2211b b ++=，整理得()()22012b b b b -+++=，因为22131024b b b ⎛⎫+=-+ ⎝⎭->⎪，22172024b b b ⎛⎫+=++ ⎝⎭+>⎪，所以()()22012b b b b -+++=无解；综上，a b =，即充分性成立；当a b =时，显然A B =，即必要性成立；所以“A B =”是“a b =”的充分必要条件.故选：C.6．D【分析】根据题意设()f x mx n =+，得到99.59610096.58197m n m n ≤+≤⎧⎨≤+≤⎩，从而得到87(89)89(96)(81)1515f m n m n m n =+=+++，代入不等式即可求解.【详解】设()f x mx n =+(m ,n 为常数)，由题可得99.5(96)96100f m n ≤=+≤，96.5(81)8197f m n ≤=+≤，即99.59610096.58197m n m n ≤+≤⎧⎨≤+≤⎩，由于(89)89f m n =+，令89(96)(81)m n s m n t m n +=+++，即9681891s t s t +=⎧⎨+=⎩，解得：815715s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以8789(96)(81)1515m n m n m n +=+++，则878799.596.5891009715151515m n ⨯+⨯≤+≤⨯+⨯，即98.18998.6m n ≤+≤，所以小林原始分89，他的赋分是98或99.故选：D 7．C【分析】利用正弦定理及2π3C =，得到22sin sin sin cos A B A A -，将π3B A =-代入，化简得到sin cos A A =，求出答案.【详解】22cos a b ac A -=，由正弦定理得22sin sin sin sin cos A B A C A -=，又2π3C =，故sin 2C =，即22sin sin sin cos 2A B A A -=，其中π3A B +=，所以π3B A =-，故22πsin sin cos 23A A A A ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=，即22s s ππcos cos n in 3i sin co 3s A A A A A ⎛⎫- ⎪⎝-⎭=，故221s cos s n 2in sin co 2i s 2A A A A A ⎛⎫- ⎝⎭=⎪-⎪，化简得222o 3s 2cos sin c 331in sin c s sin 4s 42o A A A A A A A =+--，即222cos sin 0s 314n 4i A A A --=，22cos in 334s 4A A =，因为π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos A A =，tan 1A =.故选：C 8．D【分析】根据概率性质结合条件概率以及互斥事件的定义分析判断.【详解】由题意可知：()()()0,,P A P B P C <，例如A B =，,A C 为互斥事件，则()()()0,,1P A P B P C <<，可知()()()()()()(),0,1P A P B P AB P AC P BC P B P C ====+≤，则(|)1,(|)(|)0P A B P B C P C A ===，满足题意，所以()()()()12P A P B P C P A ++≤+<，显然()()()0P A P B P C ++>，即()()()P A P B P C ++的取值范围包含()0,2，结合选项可知D 正确.故选：D.9．π【分析】首先利用降幂公式化简函数，再求函数的最小正周期.【详解】21cos 2sin 2x y x -==，所以函数的最小正周期2ππ2T ==.故答案为：π10．1【分析】将双曲线的焦点坐标代入椭圆方程，解方程求得a 的值即可.【详解】由题可得双曲线的焦点坐标为(,0)，代入椭圆方程得21(22)a ±=(0)a >，解得1a =.故答案为：111．14【分析】求出圆锥AO 的侧面积和底面积，得到表面积，得到半径为r 的球的表面积，求出比值.【详解】圆锥AO 的母线长l ==，故侧面积为2πrl r ，圆锥AO 22πr r +，半径为r 的球的表面积为24πr ，故圆锥AO 与半径为r 的球的表面积之比为222π14π4r r r +=.故答案为：1412．2【分析】先根据特例得到2λ≥，再通过特例检验等号成立，故可求整数λ的最小值.【详解】因为{}n a 为2M 的数列，故{}n a 的前1项至少有1项大于1，即11a >，所以11S λ≤⨯，故1λ>即2λ≥.构造如下数列：1112a =+，对于任意2n ≥，2211212n n a n -=-+,22211222n n a n --=-+,0k a =,其中()2212n k n -<≤-，则数列{}n a 的前2n 项比n 大的有121111,1,,21222n n n n n n +-+++-+ ，共n 个，满足题设条件.下证：{}k a 满足2k S k ≤恒成立.证明：对任意*k ∈N ，存在n ∈N ，使得()221n k n <≤+，当1n ≥时，若()21k n =+，则()2211111232122n n S n ++=++++++++ ()()()222111211232212n n n n n n +=+++-<++≤+，若()211k n =+-，则()22221111123222n n n n S S n ++-==+++++++ ()222121121242nn n n n n n =++-<++<+，当()2212n k n <≤+-，221111232122k n n S S n -==++++-+++ ()2211211222n n n n k -=-+-<<.所以2k S k ≤恒成立.综上，λ的最小值为2.故答案为：2.【点睛】方法点睛：离散型变量的最值问题，可以先根据题设条件得到变量的一般范围，再通过特例检验等号成立即可.13．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据线面平行的判定定理，先判断线线平行，再判断线面平行.（2）根据线面角，二面角的概念构造出直线1AC 与平面11ABB A 所成的角以及二面角111A A B C --，明确两角的关系，再找BAC ∠与线面角的关系.【详解】（1）由D ，E 分别是1BC ，1AC 的中点知//DE AB ．又因为111ABC A B C -是三棱柱，所以11//AB A B ，故11//DE A B ，又DE 不在平面111A B C 上，11A B ⊂平面111A B C ，因此//DE 平面111A B C ．（2）设锐二面角111A A B C --的平面角的大小是β，连接1AB ，由1AC ⊥平面111A B C 知π2αβ+=．又AB BC ⊥，故1111A B B C ⊥，因此11AB C β∠=，11B AC α∠=，11111tan B C B AC AC ∠=．由1AD BC ⊥，D 是1BC 的中点知1AC AB =．又tan BCBAC AB∠=，而11BC B C =，得11tan tan BAC B AC ∠=∠，故11BAC B AC α∠=∠=．14．(1)()f x 的单调递减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)不存在，理由见解析【分析】（1）求导函数，解不等式即可求解函数的单调区间；（2）由题意及图象平移知()()ln g x a x a x -=-是(0,)+∞上的单调递增函数，则()()()2ln F x f x h x x x =+=是(0,)+∞上的单调递增函数，根据（1）中函数结论即可判断.【详解】（1）当0a =时，()ln ,0f x x x x =>，()1ln f x x '=+，令()0f x '>得1e x >，令()0f x '<得10ex <<，所以()f x 的单调递减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.（2）不存在，理由如下：假设存在a ，使得()f x 是(0,)+∞上的单调递增函数，且()g x 是(,)a -+∞上的单调递增函数.令()()()ln h x g x a x a x =-=-，则()h x 是(0,)+∞上的单调递增函数.又()f x 也是(0,)+∞上的单调递增函数，令()()()2ln F x f x h x x x =+=，则()F x 是(0,)+∞上的单调递增函数.但由（1）知函数()2ln F x x x =在(0,)+∞上不单调.故不存在a ，使得()f x 是(0,)+∞上的单调递增函数，且()g x 是(,)a -+∞上的单调递增函数.15．(1)是，理由见解析(2)证明见解析【分析】（1）取复平面上的圆{||22}z z -=∣，得到复数1，2，3在复平面上对应的点都在圆内，复数i 在复平面上对应的点在圆外，得到结论；（2）先证明必要性，令复数1(1||)Re()2a z z =-，取复平面上的圆{||||}a z a ωω-=-∣，得到{,}z z 是{1,i ,,}z z z 的“可分离子集”；再证明充分性，只需证当||1z ≥时，{,}z z 不是{1,i ,,}z z z 的“可分离子集”，得到结论.【详解】（1）是，理由如下：取复平面上的圆{||22}z z -=∣，则复数1，2，3在复平面上对应的点都在圆内．而|2i |-=故复数i 在复平面上对应的点在圆外．因此，{1,2,3}是{,1,2,3}i 的“可分离子集”．（2）必要性：当||1z <时，令复数1(1||)Re()2a z z =-，取复平面上的圆{||||}a z aωω-=-∣，则,z z 在复平面上对应的点在圆周上，又|1|||12||0a z a a z --->-->，故1在复平面上对应的点在圆外．由222||||2Re()z a z a z a -=-+，222|i |||2Im()z a z a z a -=++，知|i |||z a z a ->-．故iz 在复平面上对应的点在圆外．因此，当||1z <时，{,}z z 是{1,i ,,}z z z 的“可分离子集”．充分性：只需证当||1z ≥时，{,}z z 不是{1,i ,,}z z z 的“可分离子集”．假设存在复平面上的一个圆，使得,z z 在复平面上对应的点在圆内或圆周上，且1，i z 在复平面上对应的点在圆外．设圆心表示的复数为,Re(),Im()x y ωωω==．再设Re(),Im()b z c z ==．由|||1|z ωω-<-知2222()()(1)x b y c x y -+-<-+，故22(1)21||0b x cy z --<-<．由|||1|z ωω-<-知2222()()(1)x b y c x y -++<-+，故22(1)21||0b x cy z -+<-<．进而2222(1)0b x c y -->，0x <，由|||i |z z ωω-<-知2222()()()()x b y c x c y b -++<++-，故0x y ->，进而()222222(1)1||20b x c y z b y --<--<．这与2222(1)0b x c y -->矛盾，故所假设的圆在复平面上不存在．即当||1z ≥时，{,}z z 不是{1,i ,,}z z z 的“可分离子集”，充分性证毕，综上，{,}z z 是{1,i ,,}z z z 的“可分离子集”当且仅当||1z <.【点睛】集合新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.16．(1)132(2)1(1,0)0,7⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】（1）设(,)A A A x y ，直线1l 代入抛物线方程，根据方程有两个相等的实根即可求出A y ，根据132k p =即可求解；（2）设直线():A A AB y y t x x -=-，代入抛物线22y px =求出B y 和A y 的关系式，设直线():A A AC y y s x x -=-，同理求出C y 和A y 的关系，不妨设A ，B ，C 是绕着ABC 的重心逆时针排列，由3BAC π∠=求出s 和t 的关系式，据此即可求解.【详解】（1）由题意可设(,)A A A x y ，直线()11:A A l y y k x x -=-，代入抛物线22y px =得211220A A y py y p x k k ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，由题意，方程有两个相等的实根，故1A py k =，又132k p =，所以点A 的纵坐标132A y =；（2）由题意可设直线():A A AB y y t x x -=-，代入抛物线22y px =得2220A A y p y y p x t t ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，故2B A p y y t =-，设直线():A A AC y y s x x -=-，同理可得2C A py y s=-，由||||AB AC =知()()22221111B A C A y y y y t s ⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不妨设A ，B ，C 是绕着ABC 的重心逆时针排列的，由π3BAC ∠=知3s t ⎛=≠⎭，代入化简得)2A A p t y t p y t ⎛⎫⎛⎫-=±-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，由图易知0t >时B A y y -与C A y y -同号，当t =C点不存在，所以t ≠对于t <，想象这个图顺时针转了一个小角度，AC 直线延长和抛物线的交点在x轴下面，所以t <，所以3A p y =，又22B C B C B C y y p k x x y y -==-+，进而121112B C A A y y k p k y t s y +⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，代入化简得1221117648k k ==-⎛+⎪⎭0,t ⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭，得121111,,00,227k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈--⋃-⋃ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当t AC x ⊥轴，B 位于坐标原点，此时12122B C A y y k k y +==-，而30,3t =均不符合题意，因此，12k k 的取值范围是1(1,0)0,7⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭．【点睛】关键点点睛：本题关键在于不妨设A ，B ，C 是绕着ABC 的重心逆时针排列，由π3BAC ∠=求出s 和t 的关系式.17．(1)分布列见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由题干可知，随机变量X 的可能取值为：0、1、2、3，并计算出对应的概率，列出分布列即可；（2）先计算出长度为1000的“相邻灯笼串”的所有点的选法可能情况，再乘以对应的概率即可判断对应的概率范围；（3）从对立面出发，找到长度为1000的“暗灭灯笼串”的所有点的选法，乘以对应的概率，再用1减去即可验证.【详解】（1）A 中3个依次相邻的点123(1,1),(2,1),(3,1)A A A ，则随机变量X 为集合{}123,,A A A 包含的“相邻灯笼串”的长度的最大值，随机变量X 的可能取值为：0、1、2、3.则X 的分布列为：X0123P 3(1)p -(1)(32)p p p --22(1)p p -3p （2）长度为1000的“相邻灯笼串”的所有点的选法小于2998100043⨯⨯种．因此，P (存在长度为1000的“相邻灯笼串”)29981000430.3⨯⨯⨯0.01<．（3）现定义，若A 若A 中的m 个暗灭的点构成一依次相接的点列1,,m B B ⋯，则称这m 个点组成的集合{}1,,m B B ⋯是长度为m 的“暗灭灯笼串”．若不存在长度为1000的“相邻灯笼串”，则不存在“相邻灯笼串”同时包含横坐标为1和1000的被点亮的点，那么一定存在“暗灭灯笼串”同时包含纵坐标为1和1000的点，于是一定存在长度为1000的“暗灭灯笼串”．长度为1000的“暗灭灯笼串”的所有点的选法小于2998100087⨯⨯种，故P (存在长度为1000的“暗灭灯笼串”)29981000100087(10.9)<⨯⨯⨯-0.01<．因此，存在长度为1000的“相邻灯笼串”的概率大于0.99．。
第十三章排列组合与概率(高中数学竞赛标准教材)
第十三章排列组合与概率(高中数学竞赛标准教材)第十三章排列组合与概率一、基础知识．加法原理：做一件事有n类办法，在第1类办法中有1种不同的方法，在第2类办法中有2种不同的方法，……，在第n类办法中有n种不同的方法，那么完成这件事一共有N=1+2+…+n种不同的方法。
．乘法原理：做一件事，完成它需要分n个步骤，第1步有1种不同的方法，第2步有2种不同的方法，……，第n步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=1×2×…×n种不同的方法。
．排列与排列数：从n个不同元素中，任取个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出个元素的一个排列，从n个不同元素中取出个元素的所有排列个数，叫做从n个不同元素中取出个元素的排列数，用表示，=n…=,其中,n∈N,≤n,注：一般地=1，0！=1，=n!。
．N个不同元素的圆周排列数为=!。
．组合与组合数：一般地，从n个不同元素中，任取个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出个元素的一个组合，即从n个不同元素中不计顺序地取出个构成原集合的一个子集。
从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出个元素的组合数，用表示：．组合数的基本性质：；；；；；。
．定理1：不定方程x1+x2+…+xn=r的正整数解的个数为。
[证明]将r个相同的小球装入n个不同的盒子的装法构成的集合为A，不定方程x1+x2+…+xn=r的正整数解构成的集合为B，A的每个装法对应B的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。
反之B中每一个解,将xi作为第i个盒子中球的个数，i=1,2,…,n，便得到A的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n份，共有种。
故定理得证。
推论1不定方程x1+x2+…+xn=r的非负整数解的个数为推论2从n个不同元素中任取个允许元素重复出现的组合叫做n个不同元素的可重组合，其组合数为．二项式定理：若n∈N+,则n=.其中第r+1项Tr+1=叫二项式系数。
高中数学函数题考试大纲2024版
高中数学函数题考试大纲2024版一、函数的概念与表示11 函数的定义理解函数的概念，包括定义域、值域和对应关系。
能够判断给定的关系是否为函数。
12 函数的表示法掌握函数的三种表示方法：解析式法、图象法和列表法。
能够根据不同的情境选择合适的表示方法。
能够进行函数的解析式与图象之间的相互转化。
二、函数的基本性质21 单调性理解函数单调性的定义。
能够利用定义判断函数的单调性。
掌握常见函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数等。
能够利用函数的单调性求函数的最值。
22 奇偶性理解函数奇偶性的定义。
能够判断函数的奇偶性。
掌握常见奇函数和偶函数的特点。
三、指数函数与对数函数31 指数函数理解指数函数的概念。
掌握指数函数的图象和性质。
能够进行指数运算。
32 对数函数理解对数函数的概念。
掌握对数函数的图象和性质。
能够进行对数运算。
四、幂函数41 幂函数的定义理解幂函数的概念。
42 常见幂函数的图象和性质掌握常见幂函数（如 y ＝ x，y ＝ x²，y ＝ x³等）的图象和性质。
五、函数的综合应用51 函数的零点理解函数零点的概念。
掌握函数零点存在性定理。
能够利用函数零点求方程的根。
52 函数模型及其应用能够建立函数模型解决实际问题。
掌握常见的函数模型，如一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型等。
六、函数与方程、不等式的关系61 函数与方程的关系理解函数与方程的等价关系。
能够利用函数图象求解方程的根。
62 函数与不等式的关系理解函数与不等式的关系。
能够利用函数图象求解不等式的解集。
七、三角函数与函数的结合71 正弦函数、余弦函数与函数性质研究正弦函数、余弦函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性。
理解正弦函数、余弦函数的图象特征。
72 正切函数与函数性质研究正切函数的定义域、值域、周期性和单调性。
理解正切函数的图象特征。
八、反函数81 反函数的概念理解反函数的定义。
能够判断两个函数是否互为反函数。
高中数学奥林匹克竞赛试题
高中数学奥林匹克竞赛试题高中数学奥林匹克竞赛试题一、选择题（共20小题，每小题2分，共40分。
从每题四个选项中选择一个正确答案，将其标号填入题前括号内）1. 已知函数f(x) = 2x^2 + bx + c, f(1) = 5, f(2) = 15，则b + c的值是：A. 4B. 6C. 8D. 122. 设等差数列{an}的公差为d，已知a₁ + a₃ + a₅ = 9d，a₂ + a₄ + a₆= 15d，则a₇的值为：A. 8dB. 9dC. 10dD. 11d3. 若复数z = a + bi满足|z - 1| = |z + 1|，则a的值为：A. -1B. 0C. 1D. 24. 若直线y = kx + m与椭圆(x + 2)²/9 + y²/16 = 1相交于点P，请问此时P点的横坐标x的取值范围是：A. [0, -4/3]B. [0, -2]C. (-∞, -2]D. (-∞, 0]5. 已知正整数a、b满足a + b = 10，ab = 15，则a/b的值是：A. 1/2B. 2/3C. 3/2D. 3/5二、填空题（共10小题，每小题4分，共40分）6. 若正整数x满足5x ≡ 15 (mod 17)，则x的最小正整数解为_______。
7. 在平面直角坐标系中，一次函数y = kx + c经过点(1, 2)，且该直线与x轴交于点(3, 0)，则k的值为_______。
8. 设二次函数y = ax² + bx + c的图象与x轴交于A、B两点，若A、B两点间的距离为10，且判别式Δ = b² - 4ac > 0，则a/b的值为_______。
9. 设U为自然数集合，函数f: U → U满足f(f(f(x)))) = 1 + x，则f(2019)的值为_______。
10. 若平面上直线y = kx + 1与曲线y = x² + 2x相切于点P，请问k的取值范围是_______。
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高中数学竞赛大纲（修订稿）
在“普及的基础上不断提高”的方针指引下，全国数学竞赛活动方兴未艾，特别是连续几年我国选手在国际数学奥林匹克中取得了可喜的成绩，使广大中小学师生和数学工作者为之振奋，热忱不断高涨，数学竞赛活动进入了一个新的阶段。
为了使全国数学竞赛活动持久、健康、逐步深入地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《数学竞赛大纲》以适应当前形势的需要。
本大纲是在国家教委制定的全日制中学“数学教学大纲”的精神和基础上制定的。
《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性”。
具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养......，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。
同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。
《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的最低要求。
在竞赛中对同样的知识内容的理解程度与灵活运用能力，特别是方法与技巧掌握的熟练程度，有更高的要求。
而“课堂教学为主，课外活动为辅”是必须遵循的原则。
因此，本大纲所列的课外讲授内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，这样才能加强基础，不断提高。
一试
全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。
二试
1、平面几何
基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。
三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
几何不等式。
简单的等周问题。
了解下述定理：
在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。
在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
几何中的运动：反射、平移、旋转。
复数方法、向量方法。
平面凸集、凸包及应用。
2、代数
在一试大纲的基础上另外要求的内容：
周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。
ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
复数的指数形式，欧拉公式，棣莫佛定理，单位根，单位根的应用。
圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。
3、立体几何
多面角，多面角的性质。
三面角、直三面角的基本性质。
正多面体，欧拉定理。
体积证法。
截面，会作截面、表面展开图。
4、平面解析几何
直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
二元一次不等式表示的区域。
三角形的面积公式。
圆锥曲线的切线和法线。
圆的幂和根轴。
5、其它
抽屉原理。
容斤原理。
极端原理。
集合的划分。
覆盖。