1.1.1集合的概念 - 一课时集合的含义(新教材配套学案)
学案1：1.1.1第1课时 集合的含义
1．1．1集合的含义使用说明：“自主学习”10分钟，发现问题，小组讨论，展示个人成果，教师对重点概念点评。
“合作探究”10分钟，小组讨论，互督互评，展示个人成果，教师对重点讲评。
“巩固练习”10分钟，组长负责，组内点评。
“个人总结”5分钟，根据组内讨论情况，指出对规律，方法理解不到位的问题。
能力展示5分钟，教师作出总结性点评。
通过本节学习应达到如下目标:(1)初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法.,初步了解“∈”关系的意义.。
.(2)通过实例,初步体会元素与集合的”属于”关系,从观察分析集合的元素入手,正确地理解集合.(3)观察关于集合的几组实例,并通过自己动手举出各种集合的例子,初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义.(4)学会借助实例分析、探究数学问题(如集合中元素的确定性、互异性).(5)在学习运用集合语言的过程中,增强认识事物的能力,初步培养实事求是、扎实严谨的科学态度.学习重点：集合概念的形成。
学习难点：理解集合的元素的确定性和互异性.学习过程（一）自主学习阅读课本，完成下列问题：1、一般地，我们把研究对象称为.，把一些元素组成的总体叫做。
2、集合的元素必须是不能确定的对象不能构成集合。
3、集合的元素一定是的，相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个元素。
4、集合通常用大写的拉丁字母表示，如 。
元素通常用小写的拉丁字母表示，如 。
5、如果 a 是集合A 的元素,就说 a 属于A ,记作 ,读作” ”。
如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于A ,记作 ，读作” ”。
6、非负整数集（或自然数集） ，正整数集 ，整数集 ，有理数集 ，实数集 。
答案：1.元素 集合2. 确定的3. 互不相同4. A,B,C a,b,c5. a ∈A a 属于集合A a ∉A a 不属于集合A6. N N*或N + Z Q R（二） 合作探讨1、.给出下列四个命题：(1)很小的实数可以构成集合；(2)集合{y |y =x 2-1}与集合{(x,y )|y =x 2-1}是同一个集合； (3)1,23,46,21-,0.5这些数字组成的集合有5个元素； (4)集合{(x,y )|xy ≤0,x,y ∈R }是指第二象限或第四象限内的点的集合.以上命题中,正确命题的个数是( )A .0B .1C .2D .3答案：A2.已知集合A 由x ＜1的数构成，则有( )A ．3∈AB ．1∈AC ．0∈AD ．－1∉A 解析： 很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．答案： C（三）巩固练习1．如果具有下述性质的x 都是集合M 中的元素，其中：x ＝a ＋b 2(a ，b ∈Q )，则下列元素中不属于集合M 的元素个数是______个．①x＝0，②x＝2，③x＝3－22π，④x＝13－22，⑤x＝6－42＋6＋4 2.解析：①当a＝b＝0时，x＝0；①正确；②当a＝0，b＝1时，x＝2，②正确；③当a＝3，b＝－2π时，b∉Q，x＝3－22π∉M，③不正确；④当x＝3，b＝2时，x＝3＋22＝13－22，④正确；⑤x＝6－42＋6＋42＝2－2＋2＋2＝4当a＝4，b＝0时，x＝4，⑤正确．答案： 12．已知集合A由元素a－3,2a－1，a2－4构成，且－3∈A，求实数a的值．解析：∵－3∈A，A＝{a－3,2a－1，a2－4}，∴a－3＝－3或2a－1＝－3或a2－4＝－3.若a－3＝－3，则a＝0，此时集合A＝{－3，－1，－4}，符合题意．若2a－1＝－3，则a＝－1，此时集合A＝{－4，－3，－3}，不满足集合中元素的互异性．若a2－4＝－3，则a＝1或a＝－1(舍去)，当a＝1时，集合A＝{－2,1，－3}，符合题意．综上可知，a＝0，或a＝1.(四)个人收获1、集合的概念2、集合元素的三个特征，其中“集合中的元素必须是确定的”应理解为：对于一个给定的集合，它的元素的意义是明确的.“集合中的元素必须是互异的”应理解为：对于给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.3、常见数集的专用符号.（五）预习内容预习集合的表示法。
高中数学 1.1.1 集合的含义与表示教案 新人教A版必修1
1.1.1集合的含义与表示（第一课时）教学目标：1.理解集合的含义。
2.了解元素与集合的表示方法及相互关系。
3.熟记有关数集的专用符号。
4.培养学生认识事物的能力。
教学重点：集合含义教学难点：集合含义的理解教学方法：尝试指导法教学过程：引入问题（I）提出问题问题1：班级有20名男生，16名女生，问班级一共多少人？问题2：某次运动会上，班级有20人参加田赛，16人参加径赛，问一共多少人参加比赛？讨论问题：按小组讨论。
归纳总结：问题2已无法用学过的知识加以解释，这是与集合有关的问题，因此需用集合的语言加以描述（板书标题）。
复习问题问题3：在小学和初中我们学过哪些集合？（数集，点集）（如自然数的集合，有x-<的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合，到一理数的集合，不等式73条线段的两个端点距离相等的点的集合等等）。
（II）讲授新课1．集合含义通过以上实例，指出：（1）含义：一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合(set)（简称为集）。
说明：在初中几何中，点，线，面都是原始的，不定义的概念，同样集合也是原始的，不定义的概念，只可描述，不可定义。
（2）表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。
问题4：由此上述例中集合的元素分别是什么？（1）确定性：设A是一个给定的集合，a是某一具体的对象，则a或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种而且只有一种成立。
如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）“中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉两种)若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。
1.1.1 集合的含义及其表示教案
§1.1.1 集合的含义及其表示一、教学目标（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；初步了解属于关系和集合相等的意义（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；（3）熟记有关数集,培养学生认识事物的能力二、教学重点集合的基本概念与表示方法；三、教学难点运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；四、教学过程1、创设情境，引入新课在小学和初中我们已经接触了一些集合，例如自然数的集合，有理数的集合，不等式x-7<3的解的集合，到一个定点的距离的定长的集合（即圆），到一条线段的两个端点距离相等的点的集合（即这条线段的垂直平分线）……那么集合的含义是什么呢？我们再来看看下面的一些例子：（1）1~20以内的所有质数（2）2010年4月1日之前与我国建立外交关系的所有国家（2）所有的正方形（3）高一<2>班的学生在上数学课（4）方程x2+3x-2=0的所有实数解上面这些例子有什么共同的特征？2、推进新课（1）元素与集合的概念：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。
（2）集合的性质○1确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。
○2互异性：集合中的元素必须是互不相同的（即没有重复现象），相同的元素在集合中只能算作一个。
○3无序性：集合中的元素间是无次序关系的。
（3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。
练习：1.判断以下元素的全体是否组成集合（1）大于3小于11的偶数。
（2）我国的小河流。
2.说出集合A=｛a,b,c｝和集合B=｛b, a,c｝的关系。
（4）集合与元素的表示：集合通常用大括号或大写的拉丁字母表示,如{1，2，3，4，5}与{高一（2）班的所有学生}，又如A、B、C、P、Q……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A。
【新教材】新人教A版必修一 集合的含义与表示 学案
1．1。
1集合的含义与表示第1课时集合的含义学习目标1.通过实例理解集合的有关概念；2.初步理解集合中元素的三个特性；3。
体会元素与集合的属于关系;4。
了解常用数集及其专用符号，学会用集合语言表示有关数学对象．知识点一集合的概念思考有首歌中唱道:“他大舅他二舅都是他舅"你能从集合的角度解读一下这句话吗？答案“某人的舅”是一个集合，某人的大舅、二舅都是这个集合中的元素．元素与集合的概念:(1）把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母a,b，c，…表示．(2）把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．知识点二元素与集合的关系思考1是整数吗?错误!是整数吗？答案1是整数；错误!不是整数．一般地，元素与集合的关系有两种,分别为属于、不属于，数学符号分别为∈、∉。
知识点三元素的三个特性思考1某班所有的“帅哥"能否构成一个集合?某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合?集合元素确定性的含义是什么？答案某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准．高于175厘米的男生能构成一个集合，因标准确定．元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．思考2构成单词“bee"的字母形成的集合，其中的元素有多少个？答案2个．集合中的元素互不相同，这叫元素的互异性．思考3“中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说:北京、上海、天津、重庆;乙同学说:上海、北京、重庆、天津，他们的回答都正确吗？由此说明什么？怎么说明两个集合相等？答案两个同学都说出了中国直辖市的所有城市，因此两个同学的回答都是正确的，由此说明集合中的元素是无先后顺序的，这就是元素的无序性，只要构成两个集合的元素一样，我们就称这两个集合是相等的．一般地，元素的三个特性是指确定性、互异性、无序性．知识点四常用数集及表示符号类型一集合的概念例1考察下列每组对象能否构成一个集合．(1)不超过20的非负数；(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；（3)某校2014年在校的所有高个子同学；(4)错误!的近似值的全体．解(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；（2)能构成集合;(3)“高个子"无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合;(4)“错误!的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．反思与感悟判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准,对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．跟踪训练1(1）下列给出的对象中，能构成集合的是（)A．著名数学家B．很大的数C．聪明的人D．小于3的实数（2)下列各组对象可以组成集合的是()A．数学必修1课本中所有的难题B．小于8的所有素数C．直角坐标平面内第一象限的一些点D．所有小的正数答案(1)D（2)B解析（1）只有选项D有明确的标准，能构成一个集合．(2)A中“难题”的标准不确定,不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点"无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定,因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合;D中没有明确的标准,所以不能构成集合．类型二元素的三个特性的应用例2已知集合A有三个元素：a－3，2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素0，1，x。
学案2：1.1.1第1课时 集合的含义
第一课时集合的含义 (预习学案)一、预习目标1．初步理解集合的含义，常用数集及其记法；2．集合中的元素的特性；3．理解属于关系和相等的意义；集合的分类；4．集合的分类.二、课前自我检测1．集合的含义：构成一个集合(set).注意：（1）集合是数学中原始的、不定义的概念，只作描述.（2）集合是一个“整体.（3）构成集合的对象必须是“确定的”且“不同”的答案：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体2．集合中的元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素（element）.简称元.集合一般用大写拉丁字母表示，如集合A,元素一般用小写拉丁字母表示.如a,b,c……等.思考:构成集合的元素是不是只能是数或点？【答】提示：在初中几何中，点，线，面都是原始的，不定义的概念，同样集合也是原始的，不定义的概念，只可描述，不可定义。
3．集合中元素的特性：（1）确定性.设A 是一个给定的集合，x是某一元素，则x是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.（2）互异性.对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.（3）无序性.集合与其中元素的排列次序无关.4．常用数集及其记法：一般地，自然数集记作_________正整数集记作__________或________整数集记作________有理数集记作_______实数集记作________答案：N N* N+Z Q R5．元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就记作__________读作“___________________”；如果a不是集合A的元素，就记作______ __读作“_______________”；答案：a∈A a属于集合A a∉A a不属于集合A6．集合的分类：按它的元素个数多少来分：（i） _________________叫做有限集；（ii）________________________叫做无限集；（iii） _______________叫做空集，记为_____________答案：（i）含有限个元素的集合（ii）含无限个元素的集合（iii）不含任何元素的集合Φ。
学案4：1.1.1 第1课时 集合的含义
1.1.1 第1课时 集合的含义【自主学习】知识点一 集合的含义1．元素：一般地，我们把 统称为元素． 2．集合：把一些元素组成的 叫做集合． 3．元素与集合的符号表示表示⎩⎪⎨⎪⎧元素：通常用小写拉丁字母 表示.集合：通常用大写拉丁字母 表示.点拨 集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．知识点二 集合中元素的特征与集合相等 1．集合中元素的特征2.集合相等只要构成两个集合的 ，我们就称这两个集合是 ．例如，集合{－1,1}与集合{1，－1}是相等的． 知识点三 元素与集合的关系点拨对元素和集合之间关系的两点说明(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．知识点四常用数集及符号表示常用数集的字母表示点拨准确认识集合的含义(1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的．(2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素．【小试身手】1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)你班所有的姓氏能组成集合．()(2)新课标数学人教A版必修1课本上的所有难题能组成集合．()(3)一个集合中可以找到两个相同的元素．()2．下列各项中，不能组成集合的是()A．所有的正数B．所有的老人C．不等于0的数D．我国古代四大发明3．已知集合A由x<1的数构成，则有()A．3∈A B．1∈AC．0∈A D．－1∉A4．下列三个命题：①集合N 中最小的数是1；②－a ∉N ，则a ∈N ；③a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值是2.其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【课堂探究】类型一 集合的概念例1 下列对象能构成集合的是( )A ．高一年级全体较胖的学生B ．sin 30°，sin 45°，cos 60°，1C ．全体很大的自然数D ．平面内到△ABC 三个顶点距离相等的所有点 方法归纳,判断一组对象组成集合的依据判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．跟踪训练1 下列各项中，不可以组成集合的是( ) A ．所有的负数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数D ．不等于0的偶数类型二 元素与集合的关系例2 (1)下列关系中，正确的有( ) ①12∈R ；②2∉Q ；③|－3|∈N ；④|－3|∈Q . A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个(2)满足“a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ”，有且只有2个元素的集合A 的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 方法归纳判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可．此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．, 跟踪训练2 下列说法正确的是( )A．0∉N B.2∈Q C．π∉R D.4∈Z类型三集合元素的特性例3已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．方法归纳由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤跟踪训练3(1)若集合M中的三个元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是() A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形(2)已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．【参考答案】【自主学习】知识点一 集合的含义 1．研究对象 2．总体3．a ，b ，c ，…A ，B ，C ，…知识点二 集合中元素的特征与集合相等 2.元素是一样的相等的知识点三 元素与集合的关系 a ∈Aa ∉A【小试身手】1．答案：(1)√ (2)× (3)×2．解析：“老人”无明确的标准，对于某个人是否“老”无法客观地判断，因此“所有的老人”不能构成集合，故选B. 答案：B3．解析：很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式． 答案：C4．解析：根据自然数的特点，显然①③不正确．②中若a ＝32，则－a ∉N 且a ∉N ，显然②不正确． 答案：A【课堂探究】类型一 集合的概念 例1【解析】 由于较胖与很大没有一个确定的标准，因此A ，C 不能构成集合；B 中由于sin 30°＝cos 60°不满足互异性；D 满足集合的三要素，因此选D. 【答案】 D 跟踪训练1解析：由于接近于0的数没有一个确定的标准，因此C 中的对象不能构成集合．故选C. 答案：C类型二 元素与集合的关系 例2【解析】 (1)12是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数．因此，①②③正确，④错误．(2)∵a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ，若a ＝0，则4－a ＝4，此时A ＝{0,4}满足要求；若a ＝1，则4－a ＝3，此时A ＝{1,3}满足要求；若a ＝2，则4－a ＝2，此时A ＝{2}不满足要求．故有且只有2个元素的集合A 有2个，故选C. 【答案】 (1)C (2)C 跟踪训练2解析：A.N 为自然数集，0是自然数，故本选项错误；B.2是无理数，Q 是有理数集合，2∉Q ，故本选项错误；C.π是实数，即π∈R ，故本选项错误；D.4＝2,2是正整数，则4∈Z ，故本选项正确．故选D. 答案：D类型三 集合元素的特性 例3【解析】 因为－3∈A ，A ＝{a －3,2a －1}，所以a －3＝－3或2a －1＝－3. 若a －3＝－3，则a ＝0，此时集合A ＝{－3，－1}，符合题意． 若2a －1＝－3，则a ＝－1，此时集合A ＝{－4，－3}，符合题意． 综上可知，满足题意的实数a 的值为0或－1. 跟踪训练3解析：(1)由集合中元素的互异性可知，集合中的任何两个元素都不相同，故选D. (2)若1∈A ，则a ＝1或a 2＝1，即a ＝±1. 当a ＝1时，集合A 有重复元素．所以a ≠1；当a ＝－1时，集合A 含有两个元素1，－1，符合元素的互异性，所以a ＝－1. 答案：(1)D (2)－1。
高中数学 1.1.1 集合的含义与表示教案 新人教A版必修1
1.1.1集合的含义与表示一．教学目标：l.知识与技能(1)通过三张图片，了解集合的含义，理解元素与集合之间的属于关系；(2)掌握集合中元素的三要素：确定性.互异性.无序性；(3)掌握常用数集及其专用记号；会用列举法或描述法表示集合。
2. 过程与方法(1)通过生活中的实例，让学生理解、感知事物的共性，启发、引导学生归纳出集合的含义.(2)快速阅读教材，让学生归纳整理本节所学知识.3. 情感、态度与价值观本节课是高中的入门课，也是比较抽象的一节课，通过不同的图片展示，使学生感受集合其实就存在于我们的生活，化抽象为具体，进而培养学生抽象概括的能力，增强学习的积极性.二. 教学重点、难点：重点：集合的含义与表示方法.难点：集合中元素的三要素：确定性、互异性、无序性.三.学习方法与教学用具1. 学习方法：小组合作、探究式学习.2. 教学用具：多媒体.四. 教学过程(一)自学指导：1．教师首先提出问题：通过PPT图片，启发引导学生找到三张图片的共同特征，并引导学生举出一些集合的例子。
通过举例说明和互相交流.做好教师对学生的活动的梳理引导，并给予积极评价.2.教师帮助学生修改所总结的定义，并指出：这就是我们这一堂课所要学习的内容.3.用6分钟时间预习教材P2～P5，完成下列内容：（1）、集合：一般地，我们把统称为元素，把一些元素组成的叫做集合，简称为：。
（2）、集合元素的三要素（三特征）：、、。
（3）、元素与集合的关系：若a是集合A的元素，则记作：a A；若a不是集合A的元素，则记作：a A。
（4）、常用数集的记法：自然数集：；有理数集：；整数集：；实数集：；正实数集：；正整数集： .（二）师生互动：1.利用多媒体向学生展示三张图片，找出图片的共性；2．回归教材，利用多媒体设备向学生投影出下面8个实例：（1）1～20以内所有的质数；（2）我国在1991～2003年这13年内所发射的所有人造卫星；（3）某汽车厂2003年生产的所有汽车；（4）2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家；（5）所有的正方形；（6）到直线l 的距离等于定长d 的所有的点；（7）方程0232=-+x x 的所有实数根；（8）新华中学2013年9月入学的高一学生的全体.教师组织学生分组讨论：这8个实例的共同特征是什么?3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出8个实例的特征，并给出集合的含义.一般地，我们把研究对象统称为元素（element ）,把一些元素组成的总体叫做集合（set ）(简称为集)。
高中数学1.1.1集合的含义与表示教案新人教版必修1
１．１集合的含义与表示一、关于教学内容的思考教学任务：帮助学生理解集合及集合相等的含义，掌握集合的两种表示方法，理解集合的三个属性，熟记四个常用集合的表示记号，教学目的：引导学生初步认识和运用集合语言．教学意义：培养学生抽象概括能力，严谨的表达能力．二、教学过程１．引言学习集合是现代数学的基本语言，用它表达数学内容简洁，准确。
２．通过教材的例子等，给出集合概念的描述性说明：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。
（质数：也称素数，指除１和自身外不能被其他自然数整除的数）只要是构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合是相等的。
３．阐述元素与集合的关系。
“属于”记为“∈”；“不属于”记为“∉”。
一般地，元素用小写字母表示；集合用大写字母．４．常用集合记法：①全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作Ｎ；所有正整数组成的集使称为正整数集，记作*N 或N +；②全体整数组成的集合称为整数集，记作Ｚ；③全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Ｑ；④全体实数组成的集合称为实数集，记作Ｒ。
５．结合教材“思考”，通过举例帮助学生明确集合的三个属性：集合中的元素确定性；互异性，无序性。
6.通过教材思考与例题介绍表示集合的方法：①列举法（用于其元素有限个，或元素个数较少时）②描述法（用于其元素无限个，或元素不宜一个个列举）三、教材节后练习（可以在课堂上随着教学内容穿插进行）四、教学备用例子１．下列各组对象能否构成一个集合：①著名的数学家；×②某校高一（６）班所有高个子的同学；×③不超过１０的非负数；√④方程x x =2在实数范围内的解；√2.给出下列命题的正确性进行判断:①Q ∈7.0；√②}0{0∈；√③N ∈0；√④若N a ∉-，则N a ∈；×⑤若a N ∈，则a N -∉；×⑥若,a N b N ∈∈，则a b +的最小值是２；×３．设b a ,是非零实数，那么bb a a ||||+可能取的值组成集合的元素是 ．2，-2，0 ４．由实数332,|,|,,x x x x x --所组成的集合，最多含几个元素？2５．用恰当的表示方法表示下列集合①所有奇数；②所有偶数；③大于3的全体偶数；}1,2|{Z k k k x x ∈>=且④直角坐标系内所有第一象限的点；}0,0|),{(>>y x y x （R y R x ∈∈,此处可省略） ⑤所有被4除余1的正整数；},14|{N k k x x ∈+=6.说说这三个集合}1{},1{},1|{==y y y 的关系。
(新教材)【人教A版】高一数学《1.1.1集合的含义》
【解析】1.选A.A中a=0时,显然不成立. 2.选A.a= + < + =4<5, 所以a∈A. a+1< + 2 +1=35, 4 4 所以a+1∈A,
44
a2=( )2+2 × +( )2=5+2 >5,
所以a22∉A, 2 3 3
6
=
<5,
所1 以 ∈1A.
3 2
第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念
第1课时 集合的含义
1.元素与集合 (1)元素:把研究对象统称为元素,常用小写的拉丁字母 a,b,c,…表示. (2)集合:一些元素组成的总体,简称集,常用大写拉丁 字母A,B,C,…表示.
(3)集合相等:指构成两个集合的元素是一样的. (4)集合中元素的特性:确定性、互异性和无序性.
【延伸·练】
数集A满足条件:若a∈A,则 ∈A(a≠1).若 ∈A,
求集合中的其他元素. 1 a
1
1 a
3
【解析】因为
1
∈A,所以
1
1 3
=2∈A,所以
1
2
=
3
1 1
1 2
-3∈A,所以1 3=-
1
∈A,所以
3 1
1 2
=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1∈A.故当 1 ∈A
13 2
1 1 3
3
2
时,集合中的其他元素为2,-3,- 1 .
31 22
含有4个元素.其中正确的是 ( ) A.①②④ B.②③ C.③④ D.②④ 【解析】选B.①中的元素不能确定,④中的集合含有3 个元素,②③中的元素是确定的,所以②③能构成集合.
高中数学 1.1.1集合的含义与表示教案 新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学教案
课题：§1.1 集合教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。
另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。
课型：新授课教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；教学重点：集合的基本概念与表示方法；教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；教学过程：一、引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。
阅读课本P2-P3内容二、新课教学（一）集合的有关概念1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
2.一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。
3.思考1：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。
4.关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样5.元素与集合的关系；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong ∈to）A，记作a∉A（或a A）（举例）6.常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R（二）集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。
高一数学1.1.1集合的含义与表示教案新人教版必修1
1.1.1 集合的含义与表示教学设计教学过程：一、创设情境，新课引入（1）请第一组的全体同学站起来？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是第一组的同学）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。
二、师生互动，新课讲解1、集合的有关概念集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。
课本P2：例子(1)—(8),都构成一个集合。
2、集合的表示方法：（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A，B，C，P，Q，X，Y，等；集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如a,b,c, 等。
（2）如果a是集合A的元素，就说 a 属于集合A，记作a A;如果a 不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A(或a A)。
3、常用的数集及其记法：全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作：N；（注意：0．是自然．．．数．）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作：N+或N*。
全体整数的集合通常简称整数集，记作：Z；全体有理数的集合通常简称有理数集，记作：Q；全体实数的集合通常简称实数集，记作：R。
学生练习：用符号或填空：1 N ，0 N, -3 N, 0.5 N,2 N1 Z , 0 Z, -3 Z, 0.5 Z,2 Z,1 Q , 0 Q, -3 Q, 0.5 Q,2 Q,1 R , 0 R, -3 R, 0.5 R,2 R.4、集合的表示方法：先介绍记号：大括号“{ }”，在集合里表示总体，而后提出集合的两种表示方法：（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写出大括内表示集合的方法。
例如：“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}。
教学设计1：1.1.1 集合的概念
§1.1.1集合的概念一. 教学目标：l.知识与技能(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；(2)知道常用数集及其专用记号；(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性；(4)会用集合语言表示有关数学对象；(5)培养学生抽象概括的能力.2. 过程与方法(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义.(2)让学生归纳整理本节所学知识.3. 情感.态度与价值观使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性.二. 教学重点.难点重点：集合的含义与表示方法.难点：表示法的恰当选择.三. 学法与教学用具1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.2. 教学用具：投影仪.四. 教学思路(一)创设情景，揭示课题1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗?引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价.2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容.（二）研探新知1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例：(1)1—20以内的所有质数；(2)我国古代的四大发明；(3)所有的安理会常任理事国；(4)所有的正方形；(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥；(6)到一个角的两边距离相等的所有的点；(7)方程2560x x -+=的所有实数根；(8)不等式30x ->的所有解；(9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体.2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么?3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义.一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这个集合的元素.4.教师指出：集合常用大写字母A ，B ，C ，D ，…表示，元素常用小写字母,,,a b c d …表示.(三)质疑答辩，排难解惑，发展思维1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等.2．教师组织引导学生思考以下问题： ( 让学生充分发表自己的见解).例1下列所给的对象能构成集合的是__________．(1)所有正三角形；(2)新课标人教A 版数学必修1课本上的所有难题；(3)比较接近1的正整数全体；(4)某校高一年级的16岁以下的学生；(5)平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点的集合；(6)参加伦敦奥运会的年轻运动员；(7)a ，b ，a ，c ．解析：点技巧一组对象能否构成集合的判断技巧判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的．．．判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．3. 让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子，并说明理由.教师对学生的学习活动给予及时的评价.4.教师提出问题，让学生思考(1)如果用A表示高—(3)班全体学生组成的集合，用a表示高一(3)班的一位同学，b是高一(4)班的一位同学，那么,a b与集合A分别有什么关系?由此引导学生得出元素与集合的关系有两种：属于和不属于.∈.如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a A∉.如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A谈重点对符号“∈”与“∉”的理解(1)由集合中元素的确定性可知，对任意的元素a与集合A，在“a∈A”与“a∉A”这两种情况中必有一种且只有一种成立．(2)符号“∈”和“∉”只表示元素与集合之间的关系，而不能用于表示其他关系．(3)“∈”和“∉”具有方向性．．．，左边是元素，右边是集合．例2设不等式3－2x＜0的解集为M，下列关系中正确的是()A．0∈M,2∈M B．0∉M,2∈MC．0∈M,2∉M D．0∉M,2∉M解析：本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x＜0的解即可，当x＝0时，3－2x＝3＞0，所以0∉M；当x＝2时，3－2x＝－1＜0，所以2∈M．答案：B5.教师引导学生回忆数集扩充过程，然后阅读教材中的相交内容，写出常用数集的记号.常用数集谈重点＋0．(2)通常情况下，大写英文字母N，N*，Z，Q，R不再表示其他的集合，否则会引起“混乱”；虽然正整数集有两种字母表示：N*或N＋，但是本书中主要用N*表示正整数集．例3用符号∈或∉填空：(1)3____N；3____Z；3____N*；3____Q；3____R．(2)3.1____N；3.1____Z；3.1____N*；3.1____Q；3.1____R．解析：观察空白处横线的两边，可看出本题是判断数与常用数集之间的关系，依据这些字母所表示集合的意义来判断．(1)因为3是自然数，也是整数，也是正整数，也是有理数，也是实数，所以有：3∈N；3∈Z；3∈N*；3∈Q；3∈R．(2)因为3.1不是自然数，也不是整数，也不是正整数，是有理数，也是实数，所以有：3.1∉N；3.1∉Z；3.1∉N*；3.1∈Q；3.1∈R．答案：(1)∈∈∈∈∈(2)∉∉∉∈∈(四)巩固深化，反馈矫正下列说法正确的是()A．数学成绩较好的同学可以组成一个集合B．所有绝对值接近于零的数组成一个集合C．集合{1,2,3}与集合{3,2,1}表示同一个集合D．1,0.5，12，23，46组成一个含有5个元素的集合解析：对于A项，“成绩较好”没有标准，不符合元素的确定性，故不正确；对于B项，“绝对值接近于零的数”标准不明确，不构成集合，故不正确；对于C项，集合{1,2,3}与{3,2,1}元素相同，是相等集合，因此正确；对于D项，1,0.5，12，23，46组成一个含有3个元素的集合121,,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故不正确．答案：C(五)归纳整理，整体认识在师生互动中，让学生了解或体会下例问题：1．本节课我们学习过哪些知识内容?2．你认为学习集合有什么意义？3．选择集合的表示法时应注意些什么?(六)承上启下，留下悬念1．课后书面作业：第13页习题1.1A组第4题.。
高中数学 1.1.1集合的含义与表示全册精品教案 新人教A版必修1
第1课时集合的含义与表示（一）教学目标1．知识与技能（1）初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法．（2）初步了解“属于”关系的意义．理解集合相等的含义.（3）初步了解有限集、无限集的意义，并能恰当地应用列举法或描述法表示集合. 2．过程与方法（1）通过实例，初步体会元素与集合的“属于”关系，从观察分析集合的元素入手，正确地理解集合．（2）观察关于集合的几组实例，并通过自己动手举出各种集合的例子，初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义．（3）学会借助实例分析、探究数学问题（如集合中元素的确定性、互异性）．（4）通过实例体会有限集与无限集，理解列举法和描述法的含义，学会用恰当的形式表示给定集合掌握集合表示的方法.3．情感、态度与价值观（1）了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．（2）在学习运用集合语言的过程中，增强学生认识事物的能力．初步培养学生实事求是、扎实严谨的科学态度．（二）教学重点、难点重点是集合的概念及集合的表示．难点是集合的特征性质和概念以及运用特征性质描述法正确地表示一些简单集合.（三）教学方法尝试指导与合作交流相结合．通过提出问题、观察实例，引导学生理解集合的概念，分析、讨论、探究集合中元素表达的基本要求，并能依照要求举出符合条件的例子，加深对概备选例题例1（1）利用列举法表法下列集合：①{15的正约数}；②不大于10的非负偶数集.（2）用描述法表示下列集合：①正偶数集；②{1，–3，5，–7，…，–39，41}.【分析】考查集合的两种表示方法的概念及其应用.【解析】（1）①{1，3，5，15}②{0，2，4，6，8，10} （2）①{x | x = 2n ，n ∈N *}②{x | x = (–1) n –1·(2n –1)，n ∈N *且n ≤21}.【评析】（1）题需把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合，多用于集合中的元素有有限个的情况.（2）题是将元素的公共属性描述出来，多用于集合中的元素有无限多个的无限集或元素个数较多的有限集.例2 用列举法把下列集合表示出来：（1）A = {x ∈N |99x-∈N }； （2）B = {99x-∈N | x ∈N }； （3）C = { y = y = – x 2+ 6，x ∈N ，y ∈N }；（4）D = {(x ，y ) | y = –x 2+6，x ∈N }； （5）E = {x |pq= x ，p + q = 5，p ∈N ，q ∈N *}. 【分析】先看五个集合各自的特点：集合A 的元素是自然数x ，它必须满足条件99x-也是自然数；集合B 中的元素是自然数99x-，它必须满足条件x 也是自然数；集合C 中的元素是自然数y ，它实际上是二次函数y = – x 2+ 6 (x ∈N )的函数值；集合D 中的元素是点，这些点必须在二次函数y = – x 2+ 6 (x ∈N )的图象上；集合E 中的元素是x ，它必须满足的条件是x =pq，其中p + q = 5，且p ∈N ，q ∈N *. 【解析】（1）当x = 0，6，8这三个自然数时，99x-=1，3，9也是自然数. ∴ A = {0，6，9}（2）由（1）知，B = {1，3，9}.（3）由y = – x 2+ 6，x ∈N ，y ∈N 知y ≤6. ∴ x = 0，1，2时，y = 6，5，2 符合题意. ∴ C = {2，5，6}.（4）点 {x ，y }满足条件y = – x 2+ 6，x ∈N ，y ∈N ，则有：0,1,2,6,5, 2.x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩∴ D = {(0，6) (1，5) (2，2) }（5）依题意知p + q = 5，p ∈N ，q ∈N *，则0,1,2,3,4,5,4,3,2, 1.p p p p p q q q q q =====⎧⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨⎨=====⎩⎩⎩⎩⎩ x 要满足条件x =Pq，∴E = {0，14，23，32，4}.【评析】用描述法表示的集合，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应该符合什么条件，从而准确理解集合的意义.例3 已知–3∈A = {a –3，2a – 1，a2 + 1}，求a的值及对应的集合A.–3∈A，可知–3是集合的一个元素，则可能a –3 = –3，或2a –1 = –3，求出a，再代入A，求出集合A.【解析】由–3∈A，可知，a –3 = –3或2a–1 = –3，当a–3 = –3，即a = 0时，A = {–3，–1，1}当2a– 1 = –3，即a = –1时，A = {– 4，–3，2}.【评析】元素与集合的关系是确定的，–3∈A，则必有一个式子的值为–3，以此展开讨论，便可求得a.。
教学设计3：1.1.1第1课时 集合的含义
1.1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义一．教学目标1.知识与技能①通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系.②知道常用数集及其专用记号.③会用集合语言表示有关数学对象.2.过程与方法①让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义.②让学生归纳整理本节所学的知识.3.情感、态度与价值观增强学生的社会责任感，增强学习的积极性.二．教学重点与难点1.重点：集合的含义与表示方法.2.难点：用描述法表示集合.三．教学设计（一）创设情境，揭示课题同学们看一下，这两个图形分别是什么？他们的定义是什么？那么，集合的含义是什么呢？我们这节课就来学习一下……（二）研探新知如果把昌江中学高一（1）班的每一个同学作为元素，这些元素的全体就是一个集合.请全体女生起立，如果把我们班的每一个女同学作为元素，这些元素的全体也是一个集合.思考：下面的例子也都能组成集合吗？他们的元素分别是什么？① 1~20以内的所有质数；②所有的正方形；③到直线L的距离等于定长d的所有的点；④方程x2+3x+2=0的所有实数根.1.集合的含义一般地，我们把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）. 给定一个集合，它的元素必须是确定的，例如，我们班的全体同学构成一个集合，你们每个同学都在这个集合中，隔壁班的同学不在这个集合中.“美女”能构成一个集合吗？不能.因为组成它的元素是不确定的.我们班有模样相同的两个同学吗？没有.说明集合中的元素是互不相同的.我们班每个星期都会换座位，我们班所有同学组成的集合改变了吗？没变.说明只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.思考：判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：①大于3小于11的偶数；②我国的小河流；③中国的直辖市；④身材较高的人.2.元素与集合的关系通常用大写的拉丁字母A ，B ，C ，…表示集合，小写的拉丁字母,b,c ,…表示集合中的元素.如果是集合A 的元素，就说属于集合A ，记作∈A ；如果不是集合A 的元素，就说不属于集合A ，记作A .如果用A 表示“我们班的所有女生”组成的集合，xx 属于A ，xxx 不属于A .3.常见的数集及其记法：自然数集N ；正整数集N *或N +；整数集Z ;有理数集Q ；实数集R .记忆.随机提问例1.已知集合M ={m ∈N |8-m ∈N },则集合M 中元素个数是( )A .6B .7C .8D .9 答案：C a a a a a a ∉a例2.用符号“∈”或“∉”填空：0_______N ,______N ,______N . 答案：∈ ∉ ∈（三）小结1.集合的含义.2.元素与集合.3.集合的表示:①自然语言；②字母表示；③列举法；④描述法.（四）作业: P5 练习1.2.四．板书1.1.1 集合的含义与表示1.集合的含义.集合相等2.元素与集合∈AA五．教学反思516a ∉a。
高中数学 1.1.1第1课时集合的含义学案 新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学学案
1．1 集合1．1.1 集合的含义与表示第1课时集合的含义[学习目标] 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用．[知识链接]1．在初中，我们学习数的分类时，学过自然数的集合，正数的集合，负数的集合，有理数的集合．2．在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合．3．解不等式2x－1＞3得x＞2，即所有大于2的实数集在一起称为这个不等式的解集．4．一元二次方程x2－3x＋2＝0的解是x＝1，x＝2.[预习导引]1．元素与集合的概念(1)元素：一般地，我们把研究的对象统称为元素．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．(4)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．2．元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A的元素，就说a属于a∈A a属于集合A 集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a∉Aa不属于集合A3.常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R要点一集合的基本概念例1 下列每组对象能否构成一个集合：(1)我们班的所有高个子同学；(2)不超过20的非负数；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；(4)3的近似值的全体．解(1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合．(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以(4)不能构成集合．规律方法判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．跟踪演练1 下列所给的对象能构成集合的是________．(1)所有正三角形；(2)必修1课本上的所有难题；(3)比较接近1的正整数全体；(4)某校高一年级的16岁以下的学生．答案(1)(4)解析 (1)能，其中的元素满足三条边相等；(2)不能，“难题”的标准是模糊的、不确定的，所以元素不确定，故不能构成集合；(3)不能，“比较接近 1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；(4)能，其中的元素是“16岁以下的学生”． 要点二 元素与集合的关系例2 所给下列关系正确的个数是( ) ①－12∈R ；②2∉Q ；③0∈N *；④|－3|∉N *.A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 －12是实数，2是无理数，所以①②正确．N *表示正整数集，所以③和④不正确．规律方法 1.由集合中元素的确定性可知，对任意的元素a 与集合A ，在“a ∈A ”与“a ∉A ”这两种情况中必有一种且只有一种成立．2．符号“∈”和“∉”只表示元素与集合之间的关系，而不能用于表示其他关系． 3．“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合．跟踪演练2 集合A 中的元素x 满足63－x ∈N ，x ∈N ，则集合A 中元素有__________．答案 0,1,2解析 当x ＝0时，63－0＝2；当x ＝1时，63－1＝3；当x ＝2时，63－2＝6；当x ≥3时不符合题意，故集合A 中元素有0,1,2. 要点三 集合中元素的特性及应用例3 已知集合B 含有两个元素a －3和2a －1，若－3∈B ，试求实数a 的值． 解 ∵－3∈B ，∴－3＝a －3或－3＝2a －1. 若－3＝a －3，则a ＝0.此时集合B 含有两个元素－3，－1，符合题意； 若－3＝2a －1，则a ＝－1.此时集合B 含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.规律方法 1.由于集合B 含有两个元素，－3∈B ，本题以－3是否等于a －3为标准，进行分类，再根据集合中元素的互异性对元素进行检验．2．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准． 跟踪演练3 已知集合A ＝{a ＋1，a 2－1}，若0∈A ，则实数a 的值为________． 答案 1解析 ∵0∈A ，∴0＝a ＋1或0＝a 2－1.当0＝a ＋1时，a ＝－1，此时a 2－1＝0，A 中元素重复，不符合题意． 当a 2－1＝0时，a ＝±1.a ＝－1(舍)，∴a ＝1.此时，A ＝{2,0}，符合题意．1．下列能构成集合的是( ) A ．中央电视台著名节目主持人 B ．我市跑得快的汽车 C ．上海市所有的中学生 D ．香港的高楼 答案 C解析 A 、B 、D 中研究的对象不确定，因此不能构成集合． 2．集合A 中只含有元素a ，则下列各式一定正确的是( ) A ．0∈A B ．a ∉A C ．a ∈A D ．a ＝A 答案 C解析 由题意知A 中只有一个元素a ，∴0∉A ，a ∈A ，元素a 与集合A 的关系不能用“＝”，故选C.3．设A 表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳________A ；广州________A (填∈或∉)． 答案 ∉ ∈解析 深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会．4．已知①5∈R ；②13∈Q ；③0∈N ；④π∈Q ；⑤－3∉Z .正确的个数为________．答案 3解析①②③是正确的；④⑤是错误的．5．已知1∈{a2，a}，则a＝________.答案－1解析当a2＝1时，a＝±1，但a＝1时，a2＝a，由元素的互异性知a＝－1.1．判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看元素是否确定．若元素不确定，则不能构成集合．2．集合中的元素是确定的，某一元素a要么满足a∈A，要么满足a∉A，两者必居其一．这也是判断一组对象能否构成集合的依据．3．集合中元素的三种特性：确定性、互异性、无序性．求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性．一、基础达标1．有下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④直角三角形的全体．其中能构成集合的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．5答案 A解析①不能构成集合，“接近”的概念模糊，无明确标准．②不能构成集合，“比较小”也是不明确的，小的精确度没明确标准．③④均可构成集合，因为任取一个元素是否是此集合的元素有明确的标准可依．2．已知集合A由x＜1的数构成，则有( )A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．－1∉A答案 C解析很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．3．若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 答案 D解析 根据集合中元素的互异性可知，一定不是等腰三角形．4．已知集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，则a 为( ) A ．2 B ．2或4 C ．4 D ．0 答案 B解析 若a ＝2∈A ，则6－a ＝4∈A ；或a ＝4∈A ，则6－a ＝2∈A ；若a ＝6∈A ，则6－a ＝0∉A .故选B.5．已知集合A 中只含有1，a 2两个元素，则实数a 不能取的值为________． 答案 ±1解析 由a 2≠1，得a ≠±1.6．若x ∈N ，则满足2x －5＜0的元素组成的集合中所有元素之和为________． 答案 3解析 由2x －5＜0，得x ＜52，又x ∈N ，∴x ＝0,1,2，故所有元素之和为3. 7．判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)参加2012年伦敦奥运会的所有国家构成一个集合； (2)未来世界的高科技产品构成一个集合； (3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素；(4)我校的年轻教师构成一个集合．解 (1)正确．因为参加2012年伦敦奥运会的国家是确定的，明确的． (2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝12，在这个集合中只能作为一个元素，故这个集合含有三个元素． (4)不正确．因为年轻没有明确的标准． 二、能力提升8．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 的值为( )A ．2B ．3C ．0或3D ．0,2,3均可 答案 B解析 因为2∈A ，所以m ＝2或m 2－3m ＋2＝2，解得m ＝0或m ＝2或m ＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m 的所有取值进行一一验证可得m ＝3，故选B.9．已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2＜x ＜a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________. 答案 6解析 ∵x ∈N,2＜x ＜a ，且集合P 中恰有三个元素， ∴结合数轴知a ＝6.10．设a ，b ∈R ，集合A 中有三个元素1，a ＋b ，a ，集合B 中含有三个元素0，ba，b ，且A ＝B ，则a ＋b ＝________. 答案 0解析 由于B 中元素是0，b a，b ，故a ≠0，b ≠0. 又A ＝B ，∴a ＋b ＝0.11．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求实数a . 解 由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ， ∴a ＝－1或a ＝－32.则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去． 当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3，∴a ＝－32.三、探究与创新12．已知集合M 中含有三个元素2，a ，b ，集合N 中含有三个元素2a,2，b 2，且M ＝N .求a ，b 的值．解 方法一 根据集合中元素的互异性，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a ，b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.再根据集合中元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.方法二 ∵两个集合相同，则其中的对应元素相同．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2a ＋b 2，a ·b ＝2a ·b 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b b －1＝0， ①ab ·2b －1＝0，②∵集合中的元素互异，∴a ，b 不能同时为零． 当b ≠0时，由②得a ＝0，或b ＝12.当a ＝0时，由①得b ＝1，或b ＝0(舍去)． 当b ＝12时，由①得a ＝14.当b ＝0时，a ＝0(舍去)．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.13．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a ∈A (a ≠1)．求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素； (2)集合A 不可能是单元素集． 证明 (1)若a ∈A ，则11－a ∈A .又∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A .∵－1∈A ，∴11－－1＝12∈A .∵12∈A，∴11－12＝2∈A.∴A中另外两个元素为－1，1 2 .(2)若A为单元素集，则a＝11－a，即a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠11－a，∴集合A不可能是单元素集．。
(新教材)202年高中数学人教A版必修第一册教案：1.1集合的概念 1.1.1集合的含义(含解析)
第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念【素养目标】1.通过实例，能说出集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2.记住集合元素的特性以及常用数集；3.会用集合元素的特性解决相关问题． 【重点】用元素与集合的“属于”关系判断元素与集合的关系；用集合元素的特性解答相关问题． 【难点】集合元素特性的应用．1.1.1 集合的含义 要点整合夯基础 基础知识定义元素一般地，我们把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a ，b ，c ，…表示．集合把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A ，B ，C ，…表示．集合相等指构成两个集合的元素是一样的．集合中元素的特性： 确定性、互异性和无序性(1)河北《红对勾》书业的员工；(2)平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手； (3)一次函数()0y kx b k =+≠的图象上的若干个点；(4)不超过2019的非负数．提示：(1)能构成集合．河北《红对勾》书业的员工是确定的，因此有一个明确的标准，可以确定出来．所以能构成一个集合．(2)“滑得很快”无明确的标准，对于某位选手是否“滑得很快”无法客观地判断，因此，“平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手”不能构成一个集合．(3)“若干个点”是模糊的概念，因此与之对应的对象都是不确定的，自然它们不能构成集合，故“一次函数()0y kx b k =+≠的图象上的若干个点”不能构成一个集合．(4)任给一个实数x ，可以明确地判断x 是不是“不超过2019的非负数”，即“02019x ≤≤”与“0x <或2019x >”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过2019的非负数”能构成一个集合．思考2：若集合A 由0,1与x 三个元素组成，则x 的取值有限制吗？为什么？ 提示：有限制，0x ≠且1x ≠.因为集合中的任意两个元素必须是互异的．知识点二 元素与集合的关系如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于(belong to)集合A ，记作∈；如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于(not belong to)集合A ，记作∉.思考3：若集合A 是由元素1,2,3,4所组成的集合，问1与A ,5与A 有什么关系？ 提示：1A ∈,5A ∉.名称非负整数集（或自然数集）正整数集整数集有理数集 实数集思考4：常用的数集符号N ，*N ，N ＋有什么区别？提示：(1)N 为非负整数集(即自然数集)，而*N 或N ＋表示正整数集，不同之处就是N 包括元素0，而*N 或N ＋不包括元素0.(2)*N 和N ＋的含义是一样的，初学者往往误记为*N 或N ＋，为避免出错，对于*N 和N ＋可形象地记为“星星(*)在天上，十字架(＋)在地下”． 思考5：用符号“∈”或“∉”填空．(1)1∈*N ；(2)3-∉N ；(3)13∈Q ；∉Q ；(5)12-∈R .典例讲练破题型 题型探究类型一 集合的概念【例1】下列所给的对象能构成集合的是__(1)(4)(5)______． (1)所有的正三角形；(2)高中数学必修第一册课本上的所有难题； (3)比较接近1的正数全体；(4)某校高一年级的16岁以下的学生；(5)平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合； (6)参加里约奥运会的年轻运动员．【解析】(1)能构成集合．其中的元素需满足三条边相等；(2)不能构成集合．因“难题”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成集合；(3)不能构成集合．因“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合； (4)能构成集合．其中的元素是“16岁以下的学生”；(5)能构成集合．其中的元素是“到坐标原点的距离等于1的点”；(6)不能构成集合．因为“年轻”的标准是模糊的，不确定的，故而不能构成集合． 【通法提炼】判断元素能否构成集合，关键是集合中元素的确定性，即能否找到一个明确的评判标准来衡量元素是否为集合中的元素，若标准明确则可以构成集合，否则不可以. 【变式训练1】下列对象能组成集合的是( )B.某个班级中学习好的所有同学C.2018年全国高考数学试卷中所有难题D.屠呦呦实验室的全体工作人员【解析】D 中的对象都是确定的，而且是不同的．A 中的“近似值”，B 中的“学习好”，C 中的“难题”标准不明确，不满足确定性，因此A ，B ，C 都不能构成集合．类型二 集合中元素的特性命题视角1：集合元素的互异性【例2】已知集合A 中含有两个元素a 和2a ，若1A ∈，求实数a 的值．【分析】本题中已知集合A 中有两个元素且1A ∈，根据集合中元素的特点需分1a =或21a =两种情况讨论，另外还要注意集合中元素的互异性．根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验．另外，利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用． 【解析】若1A ∈，则1a =或21a =，即1a =±.当1a =时，2a a =，集合A 有一个元素，∴1a ≠.当1a =-时，集合A 含有两个元素1，1-，符合互异性． ∴1a =-.【通法提炼】当一个集合中的元素含字母时，可根据题意并结合集合中元素的确定性求出集合中字母的所有取值，再根据集合中元素的互异性进行检验.【变式训练2】(1)若集合M 中的三个元素是ABC ∆的三边长，则ABC ∆一定不是( D ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形(2)由2a ,2a -,4组成一个集合A ，且集合A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是( C ) A ．1B ．2-C ．6D ．2【解析】(1)集合中任何两个元素不相同．(2)由题意知24a ≠,24a ≠-，22a a ≠-，解得2a ≠±，且1a ≠.结合选项知C 正确．故选C命题视角2：集合元素的无序性【例3】集合A 中含有三个元素0，ba ，b ，集合B 中含有三个元素1，a b +，a ，若A ，B两个集合相等，求20192019ab +的值． 【分析】由两个集合相等，所含元素相同列出a ，b 的关系式，解出a 与b ，再求20192019ab +的值．【解析】由两个集合相等易知0a ≠，1a ≠，故0a b +=，且1b =或1b a =.若1b =，由0a b +=得1a =-，经验证，符合题意； 若1b a =，则a b =，结合0a b +=，可知0a b ==，不符合题意． 综上知1a =-，1b =.所以20192019201920191(10)a b =++-=. 【通法提炼】两个集合相等，元素相同，因为集合元素无序，所以要进行讨论.同时还需要对集合求值问题代入验证，注意集合中元素的互异性.【变式训练3】集合A 由1,3,5,7四个元素组成，已知实数a ，b A ∈，那么ab 的不同值有( B )A ．12个B ．13个C ．16个D ．17个【解析】a ，b 是集合A 的元素，ab 的值会因a ，b 的顺序不同而不同．a ，b 所取的值按顺序分别为：1,1；3,3；5,5；7,7；1,3；3,1；1,5；5,1；1,7；7,1；3,5；5,3；3,7；7,3；5,7；7,5，其对应的ab 有13个不同的值． 类型三 元素与集合的关系【例4】(1)给出下列关系：①12∈RQ ；③||3∉N -；④|∈Q ；⑤0∉N .其中正确的个数为( B ) A ．1 B ．2C ．3 D ．4(2)集合A 中的元素x 满足63Nx ∈-，x ∈N ，则集合A 中的元素为____0,1,2____． 【解析】(1)12|33|-=是自然数；|是无理数；0是自然数．故①②正确，③④⑤不正确．(2)由63Nx ∈-，x ∈N 知0x ≥，603x ≥-，且3x ≠，故03x ≤<.又x ∈N ，故0,1,2x =.当0x =时，6320N -=∈，当1x =时，6331N-=∈，当2x =时,6362N-=∈.故集合A 中的元素为0,1,2.【通法提炼】判断一个元素是否属于某一集合，就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件.若满足，就是“属于”关系；若不满足，就是“不属于”关系.特别注意，符号“∈”与“∉”只表示元素与集合的关系.【变式训练4】已知不等式320x +>的解集为M . (1)试判断元素1-,0与集合M 的关系；(2)若1a -是集合M 中的元素，求a 的取值范围．【解析】(1)∵21(10)3⨯+=-<-，∴1-不是集合M 中的元素，∴1M ∉-. 又30220⨯+=>，∴0是集合M 中的元素，∴0M ∈. (2)∵1a M -∈，∴()3120a -+>.∴31a >，∴13a >.课堂达标练经典1．下列各组对象不能构成集合的是(B) A ．某中学所有身高超过1.8米的大个子 B ．约等于0的实数 C ．某市全体中学生D ．北京大学建校以来的所有毕业生【解析】由于“约等于0”没有一个明确的标准，因此B 中对象不能构成集合． 2．下列命题中，正确命题的个数是(C )①集合*N 中最小的数是1；②若*a ∉N -，则*a ∈N ；③若*a ∈N ，*b ∈N ，则a b +的最小值是2；④244x x +=的解集是{2,2}．A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】*N 是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当0a =时，*a ∉N -，*a ∉N ，故②错误；若*a ∈N ，则a 的最小值是1，同理，*b ∈N ，b 的最小值也是1，∴当a 和b 都取最小值时，a b +取最小值2，故③正确；由集合中元素的互异性，知④是错误的．3．已知a ，b 是非零实数，代数式||||||a b ab a b ab ++的值组成的集合是M ，则下列判断正确的是( B )A ．0M ∈B ．1M -∈C ．3M ∉D ．1M ∈【解析】当a ，b 全为正数时，代数式的值是3；当a ，b 全是负数时，代数式的值是1-；当a ，b 是一正一负时，代数式的值是1-.综上可知B 正确．4．集合A 由元素1-和2构成，集合B 是方程20x ax b ++=的解，若A B =，则a b +=__3-__.【解析】∵A B =，∴方程20x ax b ++=的解是1-或2. ∴1a =-，2b =-，∴3a b +=-.5．已知集合A 由21a a -+，|1|a +两个元素构成，若3A ∈，求a 的值．【解析】∵3A ∈，∴213a a -+=或||13a +=.①若213a a -+=，则2a =或1a =-.当2a =时，||13a +=，此时集合A 中含有两个3，因此应舍去． 当1a =-时，||103a +=≠，满足题意． ②若||13a +=，则4a =-或2a =(舍去)．当4a =-时，21213a a +=≠-，满足题意． 综上可知1a =-或4a =-.课时作业 A 组 素养自测一、选择题1．下列各组对象能组成一个集合的是( C )①某中学高一年级所有聪明的学生；②在平面直角坐标系中，所有横坐标与纵坐标相等的点；③所有不小于3A ．①②B ．③④C ．②③D ．①③【解析】①④不符合集合中元素的确定性．故选C ． 2．若集合A 只含有元素a ，则下列各式正确的是( C ) A ．0A ∈B ．a A ∉C ． a A ∈D ．a A =【解析】由题意知A 中只有一个元素a ，∴0A ∉，a A ∈，元素a 与集合A 的关系不应该用“＝”，故选C ． 3．若以方程2560x x +=-和220x x --=的解为元素组成集合M ，则M 中元素的个数为( C ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】方程2560x x +=-的解为2x =或3x =，220x x --=的解为2x =或1x =-，所以集合M 中含有3个元素． 4．由实数x ，x -，x( A )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】∵x，x=-，故当0x =时，这几个实数均为0；当0x >时，它们分别是x ，x -，x ，x ，x -；当0x <，它们分别是x ，x -，x -，x -，x .最多表示2个不同的数，故集合中的元素最多为2个．5．设x ∈N ，且1x ∈N，则x 的值可能是( B ) A ．0 B ．1 C ．1- D ．0或1【解析】∵1N -∉，∴排除C ；0∈N ，而10无意义，排除A 、D ，故选B ．6．如果集合A 中含有三个元素2,4,6，若a A ∈，且6a A -∈，那么a 为( B ) A ．2 B ．2或4 C ．4 D ．0【解析】∵a A ∈，∴当2a =时，64a -=，∴6a A -∈；当4a =时，62a -=，∴6a A -∈；当6a =时，60a -=，∴6a A -∉，故2a =或4.二、填空题7．设A 表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳__∉__A ，广州__∈__A (填“∈”或“∉”)． 【解析】深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会．8．设直线23y x =+上的点集为P ，点(2,7)与点集P 的关系为(2,7)__∈__P (填“∈”或“∉”)．【解析】直线23y x =+上的点的横坐标x 和纵坐标y 满足关系：23y x =+，即只要具备此关系的点就在直线上．由于当2x =时，2237y =⨯+=，∴(2,7)P ∈. 9．已知集合A 含有三个元素1,0，x ，若2x A ∈，则实数x 的值为__1-__.【解析】因为2x A ∈，所以21x =或20x =或2x x =，解得1x =-,0,1.经检验，只有1x =-时，满足集合元素的互异性．三、解答题10．记方程20x x m --=的解构成的集合为M ，若2M ∈，试写出集合M 中的所有元素． 【解析】因为2M ∈，所以2220m --=，解得2m =.解方程220x x --=，即2)10()(x x -=+，得1x =-或2x =.故M 含有两个元素1-,2.11．由a ，ba ，1组成的集合与由2a ，ab +,0组成的集合是同一个集合，求20202020ab +的值．【解析】由a ，b a ，1组成一个集合，可知0a ≠，1a ≠，由题意可得0ba =，即0b =，此时两集合中的元素分别为a ,0,1和2a ，a ,0，因此21a =，解得1a =-或1a =(不满足集合中元素的互异性，舍去)，因此1a =-，且0b =，所以202020202020(10)1ab +-+==.B 组 素养提升一、选择题1．如果a 、b 、c 、d 为集合A 的四个元素，那么以a 、b 、c 、d 为边长构成的四边形可能是( D )A ．矩形B ．平行四边形C ．菱形D ．梯形【解析】由于集合中的元素具有“互异性”，故a 、b 、c 、d 四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等．2．已知集合A 是由0，m ，232m m -+三个元素组成的集合，且2A ∈，则实数m 的值为( B )A ．2B ．3C ．0或3D ．0或2或3【解析】因为2A ∈，所以2m =，或2322m m +=-，解得0m =或3m =.又集合中的元素要满足互异性，对m 的所有取值进行一一检验可得3m =，故选B ．3．(多选题)已知集合A 中元素满足31x k =-，k ∈Z ，则下列表示正确的是( BC ) A ．2A -∈ B ．11A -∉ C ．231k A -∈ D ．34A -∉ 【解析】令312k -=-，解得13k =-，13-∉Z ，∴2A -∉；令3111k -=-，解得103k =-，103-∉Z ，∴11A -∉；∵2k ∈Z ，∴231k A -∈；令3134k -=-，解得11k =-，11-∈Z ， ∴34A -∈．故选BC ． 4．已知x ，y都是非零实数，||||||x y xy x y y z x ++=可能的取值组成的集合为A ，则下列判断正确的是( B )A ．3A ∈，1A -∉B ．3A ∈，1A -∈C ．3A ∉，1A -∈D ．3A ∉，1A -∉ 【解析】当0x >，0y >时，1113z =++=； 当0x >，0y <时，1111z =--=-； 当0x <，0y >时，1111z =-+-=-； 当0x <，0y <时，1111z =--+=-. 所以3A ∈，1A -∈．故选B ． 二、填空题5．用适当的符号填空：已知{|}32,A x x k k Z ==+∈，{|}61,B x x m m Z ==-∈，则17__∈__A ；5-__∉__A ；17__∈__B ．【解析】令3217k +=，得5k =,5∈Z ，所以17A ∈；令325k +=-，得73k =-，73-∉Z ，所以5A -∉；令6117m -=，得3m =,3∈Z ，所以17B ∈．6．若11aa A -+∈，且集合A 中只含有一个元素a ，则a 的值为【解析】由题意，得11aa a-+=，∴2210a a -=+且1a ≠-，∴1a =-7．(2019·江苏泰州期末)集合A 中含有两个元素x 和y ，集合B 中含有两个元素0和2x ，若A ，B 相等，则实数x 的值为__1__，y 的值为__0__.【解析】因为集合A ，B 相等，所以0x =或0y =.①当0x =时，20x =，此时集合B 中的两个元素为0和0，不满足集合中元素的互异性，故舍去；②当0y =时，2x x =，解得0x =或1x =，由①知0x =应舍去，经检验，1x =符合题意，综上可知，1x =，0y =. 三、解答题8．已知集合A 中含有两个元素3a -和21a -. (1)若2-是集合A 中的元素，试求实数a 的值；(2)5-能否为集合A 中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由． 【解析】(1)因为2-是集合A 中的元素， 所以23a -=-或221a -=-. 若23a -=-，则1a =，此时集合A 含有两个元素2-,1，符合要求；若221a -=-，则12a =-， 此时集合A 中含有两个元素72-，2-，符合要求．综上所述，满足题意的实数a 的值为1或12-.(2)不能．理由：若5-为集合A 中的元素，则35a -=-或215a -=-.当35a -=-时，解得2a =-，此时212215()a -⨯--==-，显然不满足集合中元素的互异性；当215a -=-时，解得2a =-，此时35a -=-显然不满足集合中元素的互异性． 综上，5-不能为集合A 中的元素．9．已知集合,{|},A x x m m n Z ==∈．(1)试分别判断1x2x23(1x -=与集合A 的关系；(2)设12,x x A ∈，证明：12·x x A ∈． 【解析】(1)10()1x =-+=0,1-∈Z ，所以1x A ∈；2112x ==+，因为1∈Z ，但12∉Z，所以2x A ∉；23(()1994x --+==-9,4-∈Z ，所以3x A ∈．(2)因为12,x x A ∈，所以可设111x m =，222x m =，且1122,,,m n m n ∈Z ，所以121212()·()x x m m =12211212)2m m m n m n n n =+＋12122112())2m m n n m n m n =++．因为12122m m n n ∈Z +，2112m n m n ∈Z +，所以12·x x A ∈．课堂小结本课堂需掌握的三个问题：1．理解集合的概念，关键是抓住集合中元素的三个特性：确定性、互异性和无序性．特别是处理含有参数的集合问题时，一定要注意集合中元素的互异性，即在求出参数的取值或取值范围后，一定要检验集合中元素的互异性．2．关于特定集合N ，*()N N ＋，Z ，Q ，R 等的意义是约定俗成的，解题时作为已知使用，不必重述它们的意义．3．对于一个元素a 与一个集合A 而言，只有“a A ∈”与“a A ∉”这两种结果，“∈”与“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合．。
学案1：1.1.1 第1课时 集合的概念
1.1.1 第1课时集合的概念【课标要求】1．了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．2．能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．【核心扫描】1．了解集合相等的意义，体会集合中元素的“确定性”、“互异性”和“无序性”．(重点)2．初步掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法．(难点)自学导引1．集合中的元素的三个特性是指、和．2．元素与集合的两种关系为和，符号表示为和.3．集合的表示法主要有和两种，有时还可以用Venn图表示集合．4．集合按含有限个元素和无限个元素可以分为和，不含有任何元素的集合称为，记作.5．如果两个集合所含的元素(即A中的元素的元素，B中的元素)，那么称两个集合相等．想一想：1.集合{0}是空集吗？集合{∅}是空集吗？2．集合中元素的确定性，互异性和无序性的含义是什么？名师点睛1．集合中的元素具有确定性、互异性和无序性，其中互异性是重点，在求解集合中字母的取值时，一定要检验它是否满足集合中元素的互异性．2．集合的描述法就是通过概括集合中所有元素具有的共同特征的方式来表示集合的方法，它的一般形式为{x|p(x)}，其中p(x)表示元素x应满足的性质(共同特征)．3．认识一个集合，首先要分清集合的表示法，其次是对描述法中代表元素的理解，另外，在不引起混淆的情况下，为了方便，有些集合用描述法表示时，可省去竖线及其代表元素，比如整数构成的集合可写成{整数}，但不能写成{整数集}或{所有整数}等.题型一有关集合的概念及元素的互异性【例1】已知A＝{a－1,2a2＋5a＋1，a2＋1}，且－2∈A，求a的值．[思路探索] 注意到a2＋1≥1，由－2∈A知a－1＝－2或2a2＋5a＋1＝－2，解方程检验可得a值．规律方法对于此类含有参数的集合问题，一定要检验结果是否符合元素的互异性．【训练1】已知x2∈{1,0，x}，求实数x的值．题型二元素与集合的关系【例2】已知集合M＝{x|x＝a＋b2，a，b∈Z}，判断下列对象是否是集合M中的元素，并说明理由．(1)x＝x1＋x2，x1，x2∈M；(2)x′＝x1x2，x1，x2∈M.[思路探索] 检验x1＋x2，x1x2能否表示成a＋b2的形式，若能则是M中元素，否则不是M中元素．规律方法判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特性．【训练2】已知集合M＝{x|x＝a2－b2，a，b∈Z}，求证：(1)若k∈Z，则2k＋1∈M；(2)若p、q∈M，则pq∈M.题型三综合与创新题【例3】已知集合A＝{x|kx2－3x＋2＝0}．(1)若A无元素，求实数k的取值范围；(2)若A是单元素集，求k的值及集合A.[思路探索] 本题综合考查集合的概念的意义及一元二次方程根的判别方法．规律方法对于含参变量系数的方程要注意对系数分类讨论，注意理解集合元素的特征．【训练3】已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R，x∈R}．(1)若A中只有一个元素，求a的值；(2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．误区警示对集合中的参数理解不透，导致错误【示例】设A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，C＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}．a∈A，b∈B，则下列判断：①a＋b∉A；②a＋b∈B；③a＋b∈C.其中正确的是________．[错解] ①②③思维突破对于不同集合中的参数虽然属于同一范围，但不能确定它们就取相同值，在解题时一定要分开讨论，以免出错．将集合A，B中的k混为一谈．设a＝2k，b＝2k＋1.k ∈Z，则a＋b＝4k＋1，∴a＋b∉A，a＋b∈B，a＋b∈C，事实上，集合A中的k取某个特定值，并不能决定集合B中k的取值，因此，开始设a＝2k，b＝2k＋1就错了．∵a∈A，b∈B，∴可设a＝2k1，k1∈Z，b＝2k2＋1，k2∈Z，则a＋b＝2(k1＋k2)＋1，∵k1∈Z，k2∈Z，∴k1＋k2∈Z，∴a＋b∉A，a＋b∈B，当k1＋k2＝2n，n∈Z时，a＋b＝4n＋1∈C，当k1＋k2＝2n＋1，n∈Z时，a＋b＝4n＋3∉C，∴③是错误的，正确答案是①②.[正解] ①②追本溯源正确理解集合元素的特征是解决问题的关键.参考答案自学导引1．确定性互异性无序性．2．属于和不属于 ∈ ∉.3．列举法 描述法4．有限集 无限集 空集 ∅.5．相同 都是B 中 都是A 中的元素想一想：1.提示 集合{0}是以0为元素的集合．集合{∅}是以∅为元素的集合．而空集是不含任何元素的集合，所以集合{0}和{∅}都不是空集．2.提示 确定性：对于给定一个元素a 和一个集合A ，a ∈A 或a ∉A ，二者必居其一． 互异性：对集合A 中的任意两个元素a 和b ，则a ≠b .无序性：即对集合A 中元素是没有顺序的，如集合{1,2,3}和集合{2,1,3}是两个相等的集合．题型一 有关集合的概念及元素的互异性【例1】 解 ∵－2∈A ，且a 2＋1≥1，∴a －1＝－2或2a 2＋5a ＋1＝－2，解得a ＝－1或a ＝－32. 当a ＝－1时，A ＝{－2，－2,2}不符合元素的互异性，舍去．当a ＝－32时，A ＝{－52，－2，134}符合题意． ∴a 的值为－32. 【训练1】解 若x 2＝0，则x ＝0，此时集合为{1,0,0}，不符合集合中元素的互异性，舍去；若x 2＝1，则x ＝±1，当x ＝1时，集合为{1,0,1}，舍去；当x ＝－1时，集合为{1,0，－1}，符合条件；若x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1，由上面可知，x ＝0和x ＝1都舍去．综上所述，x ＝－1.题型二 元素与集合的关系【例2】 解 (1)x ∈M ，理由如下：设x 1＝a 1＋b 12，x 2＝a 2＋b 22，a 1，b 1，a 2，b 2∈Z ，则x ＝x 1＋x 2＝(a 1＋a 2)＋2(b 1＋b 2)，且a 1＋a 2，b 1＋b 2∈Z ，所以x ∈M .(2)x ′∈M ，理由如下：设x 1＝a 1＋b 12，x 2＝a 2＋b 22，a 1，b 1，a 2，b 2∈Z ，则x ′＝x 1x 2＝(a 1＋2b 1)(a 2＋2b 2)＝(a 1a 2＋2b 1b 2)＋2(a 1b 2＋a 2b 1)，且a 1a 2＋2b 1b 2，a 1b 2＋a 2b 1∈Z ，所以x ′∈M .【训练2】 证明 (1)2k ＋1＝(k ＋1)2－k 2∈M .(2)设p ＝a 21－b 21，q ＝a 22－b 22，a 1，a 2，b 1，b 2∈Z, 则pq ＝(a 21－b 21)(a 22－b 22)＝(a 1a 2＋b 1b 2)2－(a 1b 2＋a 2b 1)2∈M .题型三 综合与创新题【例3】解 (1)A 无元素即方程kx 2－3x ＋2＝0无解，若k ＝0，方程有唯一根x ＝23，不合题意，则k ≠0；若k ≠0，要使方程kx 2－3x ＋2＝0无解，则Δ＝9－8k ＜0，即k ＞98. 故使A 无元素的k 的取值范围是{k |k ＞98}. (2)当k ＝0时，由(1)可知A ＝{23}，符合题意； 当k ≠0时，要使方程有两个相等的实根，则Δ＝9－8k ＝0，即k ＝98，此时A ＝{43}. 综上所述，当k ＝0时，A ＝{23}；当k ＝98时，A ＝{43}． 【训练3】 解 (1)当a ＝0时，原方程变为2x ＋1＝0，x ＝－12符合题意，当a ≠0时，原方程为一元二次方程，此时Δ＝4－4a ＝0，即a ＝1，方程的根为x ＝－1符合题意． 所以当a ＝0或a ＝1时，A 中只有一个元素．(2)A 中至多有一个元素，等价于A 中有一个元素或A 中没有元素．当a ≠0，Δ＝4－4a ＜0，即a ＞1时，原方程无实数根．由(1)知，当a ＝0或a ≥1时，A 中至多有一个元素．故a 的取值范围为{a |a ＝0或a ≥1}．。
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1.1集合的概念
第一课时 集合的含义
【学习目标】
1、初步理解集合的含义，了解集合元素的性质。
2、知道常用数集及其记法。
3.了解“属于”关系的意义，记住常用数集的表示符号并会应用。
【自主学习】
一、设计问题，创设情境
问题1：你能把小学、初中所学过的数总结一下吗？可以怎样分类？
问题2：研究下面几个例子：
（1）1～10之间的所有偶数；
（2）邹平一中今年入学的全体高一学生；
（3）所有的正方形；
（4）到直线l 的距离等于定长d 的所有点；
（5）方程0232=+-x x 的所有实数根；
（6）地球上的四大洋.
你能发现这些问题中所包含的数、学生、图形、点、根、海洋（研究对象）所具有的特性吗？ 你还能举出这样的例子吗？
二、学生探索、尝试解决
问题3：上面的例（3）到例（6）都能组成集合吗？它们的元素分别是什么？
问题4：根据问题2中的例子总结集合是什么？集合中的元素有什么性质？尝试解决。
例1 判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由。
（1） 与定点A,B 等距离的点。
（2） 高中学生中的游泳能手。
问题5：如果把1～10之间的所有偶数所组成的集合记作A ，那么元素1，2与集合A 分别是什么关系？怎么表示这种关系？
问题6：既然集合可以用大写拉丁字母A ，B ，C 来表示，对于常用数集我们用特定的字母来表示，你能记清楚、记熟练吗？
三、运用规律，解决问题
例2 用符号“∈”或“∉”填空：
（1）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A,美国 A,印度 A.
（2）0 N;5 Z;13 Q. 四、变练演练，深化提高
例3 判断下列说法是否正确，并说明理由。
（1） 大于3小于5的所有自然数构成一个集合。
（2） 直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合。
（3） 方程2
(1)(2)0x x -+=所有解组成的集合有3个元素。
例4 集合A 中的元素x 满足6
,,3N x N x ∈∈-则集合A 中的元素为
例5 已知集合A 中元素满足20,,x a a R +>∈,若1,2,A A ∉∈则实数a 的取值范围。
五、信息交流，教学相长
问题7：为什么要学习集合？它的意义是什么？这体现了什么思想？
当堂检测
1. 若集合()(){}1,2,3,4A =，则集合A 中元素的个数是（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2. 含有三个实数的集合可以表示为}1,,{x y
x ，也可以表示为},,0{y x x +，则35y x -的值为（
） A ． 1 B ．-1 C ．0 D ．-1或1
3. 设集合A={－1,0,1},B={0,1,2},若x ∈A,且x ∉B,则x 等于
A.－1
B.0
C.1
D.2
4. 若{}22111a a ∈++，，，则a =（ ）
A. 2
B. 1或－1
C. 1
D. －1
5. 已知集合{}20,,32A m m m =-+，且2A ∈，求实数m 的值______．
分层作业
必做 课时分层作业（1）A,B 组
选做 C 组。