第十章 时间序列分析(计量经济学,南开大学)

二、自协方差函数和自相关函数 自协方差函数是描述时间序列随机型结构的重要工具。
一个随机过程Yt的两个元素Yt 和Yt k 之间的协方差为： cov( Yt , Yt k ) E ([Yt E (Yt )][Yt k E (Yt k )]) 称为自协方差（ autocovariance ）协方差度量了单一随 机过程两个元素之间 的线性依赖关系。对于 Yt Yt 1 et , 协方差 cov( Yt , Yt 1 ) E ([Yt 0][Yt k 0]) Y 对于非负整数k，有 cov( Yt , Yt k ) E (YtYt k ) E[Yt ( Yt k 1 et k 1 )] E (Yt Yt k 1 ) E (et k 1 ) E (YtYt k 1 ) E[Yt ( Yt k 2 et k 2 )] 2 E (YtYt k 1 ) k Y 这里 Y 是时间不变量， cov( Yt , Yt k )不依赖于时点t，仅依赖于两个随机变 量 之间的时间间隔 k，因此可以用 k 表示 cov( Yt , Yt k )。 k 是时间间隔k的函数, 且 k k。自协方差序列 k (k 1， 2， ）称为随机过程 Yt的自协方差函数 (autocovariance function )。
三、二次移动平均模型 对经过一次移动平均产生的序列才进行移动平均，即：
ˆ y ˆt 1 y ˆt 2 y ˆ t N 1 y ˆ ˆt t y ,t N N 由此构成的序列程为时间序列yt的二次移动平均数序列 ，该式表达的 模型称为二次移动平均 模型。
四、指数平滑模型 如果采用下式求得序列的平滑预测值：
自协方差函数 k 本质上依赖于随机变量 的计量单位。例如，工 资按美 元和按美分计量的自协 方差不同： E( Z t , Z t k ) E(100Yt ,100Yt k ) 10000 E(Yt , Yt k ) 将自协方差标准化：把 每个 k除以随机过程的方差 0 Y , 可以得到自相关 函数(autocorrel ation function , ACF )：
E(et ) 0, var(et ) e 0, 且cov( et , es ) 0(s t )
假定改随机过程的起点为 t0= - ∞，可以证明E(Yt)=0， var(Yt)=σy。这里每 个随机变量的曲志都依赖于其前期水平，这是依据现在和过去的观测值预 测未来值的基础。因此，度量时间序列元素之间的依赖性的协方差在序列 特性描述方面非常重要。
第一节 确定性时间序列模型
一、移动平均模型
对于时间序列： y1 , y2 , yT ˆt 平均数 y yt yt 1 yt 2 yt N 1 ,t N N 称为时间序列yt的移动平均数序列。该 表达式的模型称为移动 平均 模型。移动平均模型主 要作用是消除干扰，显 示序列的趋势性变化， 并用于趋势预测。
第十章 时间序列分析
我们对经济量进行分析的最终目的，是为了预测某些经济变量的未来 值。进行预测的方法有两种。一种是根据一定的经济理论，建立各种相互 影响的经济变量之间的关系模型，根据观测到的经济数据估计出模型参数， 利用模型来预测有关变量的未来值。这种方法的优点在于精确地考虑到了 各经济变量之间的相互影响，有理论依据，但是由于抽样信息不完备，经 济模型和经济计量模型不可能真正准确地反映了经济现实，因而得到的结 果不可能是相当准确。 另一种方法是利用要预测的经济变量的过去值来预测其未来值，而不 考虑变量值产生的经济背景。这种方法假定数据是由随机过程产生的，根 据单一变量的观测值建立时间序列模型进行预测。这种方法在短期预测方 面是很成功的。
ˆt y ˆt 1 ( yt 1 y ˆt 1 ) y
则称此预测模型为指数 平滑模型，其中 称为平滑常数， 0 1。 该式也可写为 ˆt yt 1 ˆt 1 y （ 1 ）y 即预测只是前期实际智 育预测值的加权和。 的选择：选择不同的
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带入模型，计算预测值 序列。以实际值与预测 值之差的平方和最 小为原则确定 的值。
二、加权移动平均模型
a0 yt a1 yt 1 a2 yt 2 aN yt N 1 ˆt 平均数 y ,t N N 称为时间序列 yt的加权移动平均数序列 。其中a0、a1、 、aN 为加权因子： ( ai ) / N 1
i 0 N 1
该式表达的模型称为加 权移动平均模型，其作 用除消除干扰、显示 序列的趋势变化外，还 可通过加权因子的选取 ，是趋势预测更加准确 。
五、二次指数平滑模型 在一次指数平滑模型的基础上再进行指数平滑计算，即构成二次指数 平滑模型。同样可以构成三次指数平滑模型。
第二节 随机时间序列模型的特征
一、随机过程（stochastic process） 一个特定的变量在不同的时点或时期的观测值y1，y2，…，yT，称为一 个时间序列。假设这些观测值是随机变量Y1， Y2， …， YT的实现，而随 机变量Y1， Y2， …， YT是无穷随机变量序列Yt0， Yt0+1， …， Y1， Y2， …的一部分(其中t0可以是-)。这个无穷随机变量序列Yt，t=1， 2，…，称为一个随机过程。 一个具有均值为零和相同有限方差的的独立随机变量序列et称为白噪声 (white noise)。如果et服从正态分布，则称为高斯白噪声。 例如，一个一阶自回归过程：Yt Yt 1 et ， 1 1, et是白噪声：