数轴绝对值培优

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七年级数学上册数轴、绝对值培优训练

七年级数学上册数轴、绝对值培优训练一、阅读与思考数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的。

我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助于几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是一种重要的数学思想。

运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在以下几个方面：1、利用数轴能形象地表示有理数；2、利用数轴能直观地解释相反数；3、利用数轴比较有理数的大小；4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。

二、知识点反馈1、利用数轴能形象地表示有理数；例1：已知有理数a 在数轴上原点的右方，有理数b 在原点的左方，那么（） A ．b ab < B ．b ab > C ．0>+b a D ．0>-b a 拓广训练：1、如图b a ,为数轴上的两点表示的有理数，在a b b a a b b a ---+,,2,中，负数的个数有（）A ．1B ．2C ．3D ．42、把满足52≤<a 中的整数a 表示在数轴上，并用不等号连接。

2、利用数轴能直观地解释相反数；例2：如果数轴上点A 到原点的距离为3，点B 到原点的距离为5，那么A 、B 两点的距离为。

拓广训练：1、在数轴上表示数a 的点到原点的距离为3，则._________3=-a2、已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于。

3、利用数轴比较有理数的大小；例3：已知0,0<>b a 且0<+b a ，那么有理数b a b a ,,,-的大小关系是。

（用“<”号连接）拓广训练：1、若0,0><n m 且n m >，比较m n n m n m n m --+--,,,,的大小，并用“>”号连接。

例4：已知5<a 比较a 与4的大小拓广训练：1、已知3->a ，试讨论a 与3的大小2、已知两数b a ,，如果a 比b 大，试判断a 与b 的大小4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。

绝对值培优类型题

绝对值培优类型题一、绝对值的代数意义绝对值表示一个数在数轴上所对应点到原点的距离。

用“|a|”来表示，读作“绝对值”。

二、绝对值的几何意义一个数的绝对值就是表示该数的点离开原点的距离。

三、绝对值的基本性质1. 当a为非负数时，|a|=a；当a为负数时，|a|=-a；当a=0时，|a|=0。

2. 绝对值总是非负的，即|a|≥0。

3. 若|a|=|b|，则a=b或a=-b。

4. 若几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0。

四、绝对值的运算性质1. |a|=-|a|当且仅当a=0；|a|=|b|当且仅当a=b或a=-b。

2. 两个负数，绝对值大的反而小。

3. 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

4. |ab|=|a||b||ab|=|a||b|。

5. 互为相反数的两个数的绝对值相等。

6. 符号法则：正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数，0的绝对值是0。

五、绝对值的取值范围一个数的绝对值越小，则该数越接近于0；反之，一个数的绝对值越大，则该数越远离于0。

六、绝对值在函数中的应用1. 一次函数：y=kx+b，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。

其中b是y轴上的截距，可以表示该函数在y轴上的取值范围。

函数的图象是一条直线。

当直线在x轴上方时，y为正值；在x轴下方时，y为负值。

因此，一次函数的绝对值表示该函数在x轴上方的部分所对应的面积。

2. 二次函数：y=ax²+bx+c，函数的图象是一条抛物线。

当抛物线开口向上时，最低点为该函数的极小值点；当抛物线开口向下时，最高点为该函数的极大值点。

抛物线与x轴的交点表示该函数在x轴上的取值情况。

因此，二次函数的绝对值表示该函数在x轴上方的部分所对应的面积。

3. 分式函数：y=f(x)=x/m(x≠±√m)，函数的图象是一条折线段。

由于分母不为零，因此该函数在x轴上方的部分所对应的面积即为该函数的正值范围。

走进重高培优讲义七上第二讲数轴和绝对值

第二讲数轴和绝对值例1 若有理数m 在数轴上对应的点为M ，且满足1||>m 且,0<m 则下列数轴表示正确的是( )．例2 已知a 是最大的负整数的相反数，,2|4|=+b 且.0|3||5|=++-d c(1)写出d c b a ,,,的值．(2)计算||||||d b c a -+-+的值．例3 如图，数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，点A 表示-4，点G 表示8．(1)点B 表示的有理数是________，表示原点的是点________.(2)图中的数轴上另有点M 到点A 、点G 的距离之和为13，则这样的点M 表示的有理数是_______．(3)若相邻两点之间的距离不变，将原点取在点D ，则点C 表示的有理数是_______，此时点B 与点____表示的有理数互为相反数．例4 如图，数轴上从左到右的三个点A ，B ，C 所对应的数分别为a ，b ，c ，其中点A 、点B 两点间的距离AB 的长是2019，点B 、点C 两点间的距离BC 的长是1000.(1)若以点C 为原点，直接写出点A ，B 所对应的数．(2)若原点0在A ，B 两点之间，求||||||c b b a -++的值．(3)若O 是原点，且,19=OB 求c b a -+的值.例5 (1)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A 重合，右端与点B 重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B 时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A 时，它的左端在数轴上所对应的数为5(单位：cm)，由此可得木棒的长为 cm.(2)由题(1)的启发，请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要34年才出生；你若是我现在这么大，我就116岁了，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在多少岁了.例观察下列每对数在数轴上的对应点之间的距离：4与-2，3与5，-2与-6，-4与3，回答下列各题．(1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？(2)若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为-1，则点A 与点B 两点间的距离可以表示为______.(3)结合数轴求得|3||2|++-x x 的最小值为________，取得最小值时x 的取值范围为__________.(4)满足3|4||1|>+++x x 的x 的取值范围为__________.拓展训练A 组1．如图，数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，其中到原点距离相等的两个点是( )．（第1题）A.点B 与点D B ．点A 与点C C ．点A 与点D D ．点B 与点C2．符号语言“”)0(||≤-=a a a 所表达的意思是( )．A.正数的绝对值等于它本身 B ．负数的绝对值等于它的相反数C.非正数的绝对值等于它的相反数 D ．负数的绝对值是正数3．如图，点A 表示的有理数是a ，则1,,a a -的大小顺序为( )．1.<-<a a A 1.<<-a a B a a C -<<1. a a D <-<1.（第3题）（第4题）4．如图，将刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是1 cm)，刻度尺上“0 cm”和“3 cm”分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上“5.4 cm”对应的数轴上的数为( )．4.5.A 4.2.-B 6.2.-C 6.1.-D5．已知点A 在数轴上的位置如图，则点A 表示的数的相反数是．（第5题）（第6题）6．如图，数轴上点Q 、点P 、点R 、点S 和点T 分别表示五个数，如果点R 和点T 表示的数互为相反数，那么这五个点所表示的数中，点__________对应的数绝对值最大．7．推理题．(1)5的相反数是5,5--的相反数是______，那么-x 的相反数是________n m 21,+的相反数是______. (2)数轴上到点2和点6距离相等的点表示的数是4，有这样的关系),62(214+=那么到点100和到点999距离相等的点表示的数是_______，到点m 和点一n 距离相等的点表示的数是 ________.(3)数轴上点4和点9之间的距离为5个单位，有这样的关系,495-=那么点10和点-3之间的距离是_________，点m 和点n 之间的距离是__________.8．阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当0≥a 时，;||a a =当0<a 时，.||a a -=根据以上阅读完成：=-|14.3|)1(π_______________.(2)计算：⋅-++-+-+-|1001991||4131||3121||211| 9．已知,0|5||3||2|=-+++-z y x 求：z y x ,,)1(的值．||||||)2(z y x ++的值．10.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是____；表示-3和2的两点之间的距离是_________，一般地，数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于.||n m -如果表示数a 和一2的两点之间的距离是3，那么=a ___________.(2)若数轴上表示数a 的点位于-4与2之间，求|2||4|-++a a 的值．11.有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图，且a ，b ，c 满足条件.10||2||5||10===c b a(1)求a ，b ，c 的值．(2)求|2||2||2|a c c b r b -+----α的值．（第11题）12.如图1，已知数轴上有三点A ，B ，C ，它们对应的数分别为a ，b ，c ，且,a b b c -=-点C 对应的数是10.(1)若.15=BC 求a ，b 的值．(2)如图2，在(1)的条件下，0为原点，动点_P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，点P 向左运动，运动速度为每秒2个单位长度，点Q 向右运动，运动速度为每秒1个单位长度，N 为OP 的中点，M 为BQ 的中点．①用含t 的代数式表示PQ ．MN.②在点P ，Q 的运动过程中，PQ 与MN 存在一个确定的等量关系，请指出它们之间的关系，并说明理由．（第12题）B 组13.对于任何有理数n ，下列一定为负数的是( )． )3(.a A +-- a B -. |1|.+-a C 1||.--a D14.有理数a ，b 在数轴上的对应位置如图，则下列四个选项正确的是( )．a b b a A -<-<<. b a b a B <-<-<.0.>-b a C 0.>+-b a D（第14题）（第15题）15.如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的4等分点处分别标上数字0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示数-1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示数-2020的点与圆周上表示数字( )的点重合．0.A 1.B 2.C 3.D16.根据给出的数轴，解答下面的问题．（第16题）(1)请你根据图中A ，B （在一2，-3的正中间）两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A ：________，B ：__________．(2)在数轴上画出与点A 的距离为2的点（用不同于A ，B ，M ，N 的其他字母表示），并写出这些点所表示的数：____________．(3)若经过折叠，点A 与-3表示的点重合，则点B 与数___________表示的点重合.(4)若数轴上M ，N 两点之间的距离为9(M 在N 的左侧)，且M ，N 两点经过(3)中的折叠后重合，那么M ，N 两点表示的数分别是：M____，N____．17.如图，从数轴上的原点开始，先向左移动2 cm 到达点A ，再向左移动4cm 到达点B ，然后向右移动10 cm 到达点C(1)用1个单位长度表示lcm ，请你在题中所给的数轴上表示出A ，B ，C 三点的位置．(2)把点C 到点A 的距离记为CA ，则=CA ________.cm(3)若点B 以每秒3 cm 的速度向左移动，同时点A ，C 分别以每秒lcm ，5 cm 的速度向右移动，设移动时间为t(s)(t>0)，试探究CA-AB 的值是否会随着t 的变化而变化，请说明理由．（第17题）18.当x 为何值时，下列各式有最小值？请求出它们的最小值．..|3||2||1|)1(-+-++x x x.|1||3||2||1|)2(-+-+-++x x x x.|20||6||4||2|)3(-++-+-+-x x x x走进重高1．【娄底】已知点M,N ，P ，Q 在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是( )．M A . N B . P C . Q D .（第1题）（第2题）2．【贵阳】如图，数轴上的单位长度为1，有三个点A ，B ，C ，若点A ，B 表示的数互为相反数，则图中点C 对应的数是( )．2.-A 0.B 1.C 4.D3．【福建】已知A ，B ，C 是数轴上的三个点，且点C 在点B 的右侧，点A ，B 表示的数分别是1，3，如图，若,2AB BC =则点C 表示的数是________.（第3题）（第5题）4．如果一个零件的实际长度为a ，测量结果是b ，则称||a b -为绝对误差，a a b ||-为相对误差．现有一零件实际长度为5.0 cm ，测量结果是4.8 cm ，则本次测量的相对误差是_________.5．如图，数轴上点A 表示的数为1，现点A 做如下移动：第1次点A 向左移动3个单位长度至点,1A第2次从点,1A 向右移动6个单位长度至点,2A 第3次从点2A 向左移动9个单位长度至点 3A 按照这种移动方式进行下去，点2019A 表示的数是_________.6．已知数轴上两点A ，B ，其中点A 表示的数为-2，点B 表示的数为2，若在数轴上存在一点C ，使得,n BC AC =+则称点C 为点A ，B 的“n 节点”，例如：若点C 表示的数为0，有2=+BC AC ,42=+ 则称点C 为点A ，B 的“4节点”，请根据上述规定回答下列问题：(1)若点C 为点A ，B 的“n 节点”，且点C 在数轴上表示的数为-4，求n 的值．(2)若点D 是数轴上点A ，B 的“5节点”，请你直接写出点D 表示的数：____．(3)若点E 在数轴上（不与点A ，B 重合），满足,21AE BE =且此时点E 为点A ，B 的“n 节点”，求n 的值．（第6题）高分夺冠1．如图，在数轴上有A ，B ，C ，D 四个整数点（即各点均表示整数），且.32CD BC AB ==若A ，D 两点表示的数分别为-5和6，E 为线段BD 的中点，则中点E 表示的数为( )．0.A 1.B 2.C 3.D（第1题）（第2题）2．已知a 在数轴上的位置如图所示，则1|||1|-+a a 的值为________. 3．如图，正方形的周长为8个单位．在该正方形的4个顶点处分别标上0，2，4，6，先让正方形上表示数字6的点与数轴上表示-3的点重合，再将数轴按顺时针方向环绕在该正方形上，则数轴上表示2021的点与正方形上表示数字____ 的点重合．（第3题）4．【归纳】(1)观察下列各式的大小关系：|,36||3||6||,32||3||2|+->+-+->+-|8||0||,32||3||2|-+--=-+-.|80|-= 归纳：||||b a +⋅__________||b a +（填””“”“”““≥=<>或”“≤)．【应用】(2)根据上题中得出的结论，若,1||,13|ln ||=+=+n m m 求m 的值，【延伸】(3)当a ，b ，c 满足什么条件时，.||||||||c b a c b a ++>++5．已知202021,,,x x x 都是不等于0的有理数，请你探究以下问题：(1)若,||111x x y =则=1y ___________. (2)若,||||22112x x x x y +=则=2y __________. (3)若,||||||3322113x x x x x x y ++=求3y 的值． (4)由以上探究可知，,||||||2020202022112020x x x x x x y +++=共有___________个不同的值；在2020y 这些不同的值中，最大的值和最小的值的差等于_________2020,y 的这些所有的不同的值的绝对值的和等于_______.。

2024年浙教版七年级上册数学期末培优复习第2招与绝对值有关的常见题型

的序号是(
A. ①④
B. ①③
C. ②③
D. ②④
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分类训练
绝对值的非负性在求字母取值中的应用
3. 如果｜－2 a ｜＝－2 a ，那么 a 的取值范围是(
A. a ＞0
B. a ≥0
C. a ≤0
D. a ＜0
4. 如果｜ x －2｜＝2－ x ，那么 x 的取值范围是
C
)
x ≤2
.
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分类训练
5. 已知｜ x －2｜＋｜ y －3｜＝0.
(1)求 x ， y 的值；
【解】由题意得， x －2＝0， y －3＝0，
所以 x ＝2， y ＝3.
(2)已知｜ x ＋ y ＋ z ｜＝7，求 z 的值.
【解】因为 x ＝2， y ＝3，｜ x ＋ y ＋ z ｜＝7，
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分类训练
(4)当 m 为何值时，式子8－｜ m －2｜有最大值？最大值
是多少？
【解】要使式子8－｜ m －2｜有最大值，则｜ m －2｜
取得最小值.
因为｜ m －2｜≥0，所以当 m ＝2时，｜ m －2｜取得
最小值，最小值为0，
所以当 m ＝2时，式子8－｜ m －2｜取得最大值，最大
值为8－0＝8.
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分类训练
绝对值在数轴中的应用

培优专题一绝对值

专题一绝对值题型一、基本定义化简【典型例题】例1、（1）已知数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简a b a b b c +++-- (2)已知有理数a , b, c,在数轴上的位置如图所示，化简：a c c b b a ++--+.例2、已知00x z xy y z x <<>>>，，，那么x z y z x y +++--= 例3、已知0,>-<ba b a ，化简a b a b ab -+++【课后练习】 1、实数,,a b c 在数轴上的对应点如图，化简a c b a b a c +--++-0cb a2、已知有理数,,a b c 在数轴上的位置如图所示，化简a a b c b a c -++-++3、⑴若有理数a 、b 满足|a+4|+|b-1|=0，则a+b=_______⑵若|a|=5,|b|=3,且|a-b|=b-a ，则a+b=________.⑶若m 是有理数，则|m|-m 一定是( ) A.零 B.非负数 C. 正数 D 负数⑷如图，有理数b a 、在数轴上的位置如图所示，则在b a +，a b 2-，a b -，b a -，2+a ，4--b 中，负数共有（）A ． 1个B ．2个C ．3个D ．4个-232b a1-1题型二、绝对值零点分段化简【典型例题】例4、阅读下列材料并解决相关问题：我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：·⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题： ⑴分别求出2x +和4x -的零点值 ⑵化简代数式24x x ++-【课后练习】化简： ⑴3x- ⑵12x x +++⑶523x x ++- ⑷212x x ---⑸12m m m +-+- ⑹121x x --++（7）3243m m m ++-+- （8）32264m m m ++-+-题型三、关于aa的探讨应用【典型例题】例5、已知a b c abc x a b c abc =+++，且a b c ，，都不等于0，求x 的所有可能值。

人教版七年级上册数学第1章有理数数轴与绝对值综合培优练习题

人教版七年级上册数学第1章有理数数轴与绝对值综合培优练习题一．数轴动点综合1．已知快递公司坐落在一条东西走向的街道上，某快递员从快递公司取件后在这条街道上送快递，他先向东骑行1千米到达A店，继续向东骑行2千米到达B店，然后向西骑行5千米到达C店，最后回到快递公司．（1）以快递公司为原点，以向东方向为正方向，用1厘米表示1千米，画出数轴，并在数轴上表示出A，B，C三个店的位置．（2）C店离A店有多远？（3）快递员一共骑行了多少千米？2．已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣8和4，点P为数轴上一动点，若规定：点P到A的距离是点P 到B的距离的3倍时，我们就称点P是关于A→B的“好点”．（1）若点P到点A的距离等于点P到点B的距离时，求点P表示的数是多少；（2）①若点P运动到原点O时，此时点P 关于A→B的“好点”（填是或者不是）；②若点P以每秒1个单位的速度从原点O开始向右运动，当点P是关于A→B的“好点”时，求点P的运动时间；（3）若点P在原点的左边（即点P对应的数为负数），且点P，A，B中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点P表示的数．3．如图，在数轴上，点A表示﹣10，点B表示11，点C表示18．动点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒2个单位的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位的速度匀速运动．设运动时间为t秒．（1）当t为何值时，P、Q两点相遇？相遇点M所对应的数是多少？（2）在点Q出发后到达点B之前，求t为何值时，点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等；（3）在点P向右运动的过程中，N是AP的中点，在点P到达点C之前，求2CN﹣PC的值．4．如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B 重合．（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为cm；（2）图中点A所表示的数是，点B所表示的数是；（3）由（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：一天，琪琪去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大，我就119岁啦！”请问奶奶现在多少岁了？5．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C表示的数分别是1，4，5，此时点B是点A，C的“倍分点”．（1）当点A表示数﹣2，点B表示数2时，下列各数，0，1，4是点A、B的“倍分点”的是；（2）当点A表示数﹣10，点B表示数30时，P为数轴上一个动点，①若点P是点A，B的“倍分点”，求此时点P表示的数；②若点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“倍分点”，直接写出此时点P表示的数．二．绝对值与最值问题6．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝3，那么x＝；（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是，最小距离是．（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|＝．7．我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离．进一步地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离就表示为|a﹣b|；反过来，|a﹣b|也就表示A，B两点之间的距离．下面，我们将利用这两种语言的互化，再辅助以图形语言解决问题．例，若|x+5|＝2，那么x为：①|x+5|＝2，即|x﹣（﹣5）|＝2．文字语言：数轴上什么数到﹣5的距离等于2．②图形语言：③答案：x为﹣7和﹣3．请你模仿上题的①②③，完成下列各题：（1）若|x+4|＝|x﹣2|，求x的值；①文字语言：②图形语言：③答案：（2）|x﹣3|﹣|x|＝2时，求x的值：①文字语言：②图形语言：③答案：（3）|x﹣1|+|x﹣3|＞4．求x的取值范围：①文字语言：②图形语言：③答案：（4）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的最小值．①文字语言：②图形语言：③答案：8．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|．根据以上知识解题：（1）若数轴上两点A、B表示的数为x、﹣1，①A、B之间的距离可用含x的式子表示为；②若该两点之间的距离为2，那么x值为．（2）|x+1|+|x﹣2|的最小值为，此时x的取值是；（3）已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣3|+|y+2|）＝15，求x﹣2y的最大值和最小值．9．已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x．（1）如果点P到点A，点B的距离相等，那么x＝；（2）当x＝时，点P到点A，点B的距离之和是6；（3）若点P到点A，点B的距离之和最小，则x的取值范围是；（4）在数轴上，点M，N表示的数分别为x1，x2，我们把x1，x2之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即MN＝|x1﹣x2|．若点P以每秒3个单位长度的速度从点O沿着数轴的负方向运动时，点E以每秒1个单位长度的速度从点A沿着数轴的负方向运动、点F以每秒4个单位长度的速度从点B沿着数轴的负方向运动，且三个点同时出发，那么运动秒时，点P到点E，点F的距离相等．10．数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB ＝|a﹣b|．利用数形结合思想回答下列问题：①数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是．②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为．数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为．③若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+3|的最小值＝．④若x表示一个有理数，且|x+3|+|x﹣2|＝5，则满足条件的所有整数x的是．⑤若x表示一个有理数，当x为，式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣5|有最小值为．三．有理数大小比较与化简问题11．已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示．（1）用“＜”号把a，b，c连接起来；（2）化简：|a﹣b|+|b﹣c|﹣|c﹣a|．12．a、b、c在数轴上的位置如图，则：（1）用“＞、＜、＝”填空：a 0，b 0，c 0．（2）用“＞、＜、＝”填空：﹣a 0，a﹣b 0，c﹣a 0．（3）化简：|﹣a|﹣|a﹣b|+|c﹣a|．13．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，（1）用“＞”或“＜”填空：c+b 0，ac 0，abc 0，ab+c 0．（2）＝．14．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示：（1）判断正负，用“＞”、“＜”或“＝”填空：a+b 0，a﹣b 0，a+b+c 0；（2）化简：|a+c|﹣|a+b+c|+|a﹣b|．15．（1）在数轴上分别画出表示下列3个数的点：﹣（﹣4），﹣|﹣3.5|，+（﹣）．（2）有理数x，y在数轴上对应点如图所示：①在数轴上表示﹣x，|y|；②试把x，y，0，﹣x，|y|这五个数从小到大用“＜”号连接．③化简：|x+y|﹣|y﹣x|+|y|．。

绝对值培优

和绝对值有关的问题例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ A ）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。

脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。

这道例题运用了数形结合的数学思想，由a、b、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。

例2．已知：，，且，那么的值（ C ）A．是正数 B．是负数C．是零D．不能确定符号解：由题意，x、y、z在数轴上的位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。

这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。

虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。

例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。

那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。

解：设甲数为x，乙数为y由题意得：，（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若x在原点左侧，y在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6若x在原点右侧，y在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6（2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若x、y在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12若x、y在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12例4．（整体的思想）方程的解的个数是（ D ）A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个分析：这道题我们用整体的思想解决。

沪科版数学七年级上册(培优练习)1.2《数轴、相反数和绝对值》

《1.2 数轴、相反数和绝对值》培优练习1. 已知有理数a，b，c满足|a－1|＋|b－3|＋|c－4|＝0，则a，b，c的值分别为( ). A．1，－3，4 B．－1，3，4 C．－1，－3，－4 D．1，3，42. 如果|m|＝6，m的相反数是小于0的数，则|m－4|＝( ).A. －2B. 2C. 10D. －103. 某汽车配件厂生产一批圆形的橡胶垫，从中抽取6件进行检验，比标准直径长的毫米数记作正数，比标准直径短的毫米数记作负数，检查结果如下：则质量最好的零件是( ).A．第1个 B. 第2个 C. 第3个 D. 第4个4. 一探险队，要沿着一条东西走向的河流进行考察，第一天沿河岸向上游走了5 km，第二天又向上游走了4.3 km，第三天开始计划有变，第三天又向下游走了4.8 km，第四天又向下游走了3 km，你知道第四天之后，该探险队在出发点的上游还是下游吗？距离出发点多远？5. a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，化简式子：|a|a +|b|b+|c|c.答案和解析【答案】1. D2. B3. D4. 探险队在出发点的上游，距离出发点1.5 km.5. 1．【解析】1. 解：因为|a－1|≥0，|b－3|≥0，|c－4|≥0，且|a－1|＋|b－3|＋|c－4|＝0，所以|a－1|＝0，|b－3|＝0，且|c－4|＝0.所以a＝1，b＝3，c＝4.应选D.根据绝对值的非负性，由|a－1|＋|b－3|＋|c－4|＝0可知，|a－1|＝0，|b－3|＝0，|c－4|＝0，进而可以求出a、b、c的值.此题考查的是绝对值的非负性，任意一个数的绝对值都大于等于0，解题关键是由绝对值的非负性分析出|a－1|＝0，|b－3|＝0，|c－4|＝0.2. 解：因为m的相反数是小于0的数，所以m大于0，又因为|m|＝6，所以m＝6，所以|m－4|＝|6－4|＝2.故选B.根据m的相反数是小于0的数可知，m大于0，进而可以得到m的值，最后求出|m－4|的值即可.此题考查的是对相反数和绝对值的理解，解题关键是掌握相反数和绝对值的定义.3. 解：因为|＋0.5|＝0.5，|－0.3|＝0.3，|＋0.1|＝0.1，|0|＝0，0.5＞0.3＞0.1＞0，所以第4个零件的质量最好．故选D.质量的好坏取决于质量偏离标准质量的绝对数值，即偏离标准质量的数值越小越好．此题考查的是绝对值的实际应用，解题关键是要明确偏离标准质量的数值越小，零件的质量越好.4. 解：设出发点为原点，向上游走为正方向，那么向下游走为负，画出数轴如图所示．利用数轴分析，得第四天后，探险队在出发点的上游，距离出发点1.5 km.根据题意，规定正方向，画出数轴，然后借助数轴进行分析即可.本题主要考查了数轴的应用，解题关键是结合题意，借助数轴，画出探险队的运动轨迹.5. 解：观察数轴上a ，b ，c 的位置知：a 是正数，b 是正数，c 是负数，因此|a|＝a ，|b|＝b ，|c|＝－c ，则|a |a +|b |b +|c |c =a a +b b +c c =1+1−1=1. 观察数轴可知，a 是正数，b 是正数，c 是负数，进而可以得到|a|＝a ，|b|＝b ，|c|＝－c ，代入求出|a |a +|b |b +|c |c 的值即可.本题考查的是对数轴和绝对值的应用，解此题的关键是结合数轴可知a 是正数，b 是正数，c 是负数，进而可以确定|a |a ，|b |b ，|c |c 的值.。

7年级培优创新题

七年级综合能力创新题一、有理数（一）数轴与绝对值1.如图,将一刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是1cm)，刻度尺上“1cm”和“9cm”分别对应数轴上的−3和x，那么x的值为___ ；解：先确定原点的位置为4，则x=9-4=52.将数轴对折，使表示-3与1的两个点重合，若此时表示-5的点与另一个表示数x的点重合，则x=3. 阅读下列材料：|x|＝，即当x＞0时，；当x＜0时，．用这个结论可以解决下面问题：（1）已知a、b是有理数，当ab≠0时，求的值．（2）已知a、b是有理数，当abc≠0时，求+的值．（3）已知a、b、c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值．4. 如图，数轴上有点a，b，c三点（1）用“＜”将a，b，c连接起来．（2）b﹣a 1（填“＜”“＞”，“＝”）（3）化简|c﹣b|﹣|c﹣a+1|+|a﹣1|= ；（4）用含a，b的式子表示下列的最小值：①|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为；②|x﹣a|+|x﹣b|+|x+1|的最小值为；③|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的最小值为．5. 同学们都知道，在数轴上表示3的点与表示5的点，这两点之间的距离是2，而|5﹣3|＝2，其表示5与3之差的绝对值，实际上可以理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离为2．试探索：（1）求|4﹣（﹣3）|＝（2）我们知道|x|＝4表示的是x与原点两数在数轴上所对的两点之间的距离为4，此时x可以为4或﹣4，类似地，|x﹣3|＝4可以理解为x与3两数在数轴上所对的两点之间的距离为4，此时，x＝（3）依据（2）的结论，找出所有符合条件的整数x，使得|x+2|+|x﹣4|＝6，这样的整数x是（4）由以上的探索猜想对于任何有理数x，|x﹣2|+|x﹣8|是否有最小值？如果有，写出最小值，如果没有，请说明理由．6. 阅读材料：如图1所示，点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．例如：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．（1）如图2所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是﹣2，利用数形结合思想，请参照下图并思考，完成下列各题：①数轴上表示2与﹣5的两点之间的距离是个单位长度．②若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为﹣1，则A与B两点的距离可以表示为；若|x+1|＝3，则x为．③如果点A表示数﹣1，将A点向右移动18个单位长度，再向左移动13个单位长度终点为B，那么A，B两点间的距离是．（2）若数轴上的点A表示的数为x且x为整数，则当x为时，|x+5|与|x﹣7|的值相等．（二）数轴上的动点问题1.点A表示数轴上的一个点,将点A向右移动7个单位,再向左移动4个单位,终点恰好是原点,则点A表示的数是；解法一：逆向思维：0+4-7=-3；解法二：方程思想：x+7-4=0 ，解得x=-3；2. 已知a是最大的负整数，b是﹣5的相反数，c＝﹣|﹣2|，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．（1）求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C．（2）若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？（3）在数轴上找一点M，使点M到A、B、C三点的距离之和等于12，请求出所有点M对应的数．3. 如图，在数轴上，点A表示﹣10，点B表示11，点C表示18．动点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒2个单位的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位的速度匀速运动．设运动时间为t秒．（1）当t为何值时，P、Q两点相遇？相遇点M所对应的数是多少？（2）在点Q出发后到达点B之前，求t为何值时，点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等；（3）在点P向右运动的过程中，N是AP的中点，在点P到达点C之前，求2CN﹣PC的值．（三）数的运算1. 计算：（1）…+（2）2. 计算：（1）1+2+3+4+…+2019+2020 （2）3. 计算：（1）…（2）(3) 1−2−22−23…−219+21204. 在数学中，为了简便，记．1!＝1，2!＝2×1，3!＝3×2×1，…，n!＝n×（n﹣1）×（n﹣2）×…×3×2×1，则＝．5. 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作a，读作“a的圈n次方”．初步探究（1）直接写出计算结果：2③＝，⑤＝；（2）关于除方，下列说法错误的是A．任何非零数的圈2次方都等于1；B．对于任何正整数n，1n＝1；C.3④＝4③D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．深入思考我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣3）④＝；5⑥＝；⑩＝．（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于；（3）算一算：24÷23+（﹣16）×2④．6.（1）在一列数：1a 、2a 、3a …na 中, 1a =3, 2a =7,从第三个数开始,每一个数都等于它前两个数之积的个位数字,则这一列数中的第2019个数是；（2）若x=123456789×123456786，y=123456788×123456787，则x y ；（3）观察下列算式：221=，422=，823=，1624=，…，请写出20192的个位数字是；（4）“！”是一种运算符号，并且1！=1，，，，…，则.（5）已知a 为有理数,{a}表示不大于a 的最大整数,如 {25}=0,{134}=1,{−0.3}=−1,{−312}=−4 等,则计算{−656}−{5}×{−34}÷{4.9}=___ （6）阅读材料：求201932122221+++++首先设S=201932122221+++++ ①则2S=20203212222++++ ②②−①得S=122020-即201932122221+++++ =122020-以上解法，在数列求和中，我们称之为：“错位相减法”请仿照以上方法求20193255551+++++ = ；7. 某路公交车从起点经过A 、B 、C 、D 站到达终点，一路上下乘客如下表所示．（用正数表示上车的人数，负数表示下车的人数）（1）到终点下车还有人；（2）车行驶在那两站之间车上的乘客最多？站和站；（3）若每人乘坐一站需买票1元，问该车出车一次能收入多少钱？写出算式．二、整式的加减（一）代数式1.x 表示一个两位数，y 表示一个三位数，如果把x 放在y 的左边组成一个五位数，则这个五位数可以表示为；2.若多项式422+-x x 的值是7，则多项式4362+-x x 的值是；3. 某种长途电话的收费方式如下：接通电话的前3min 收费a 元（a ＜8），之后的每分钟收费b 元（不足1min 的按1min 收费）.如果某人打该长途电话一共付费8元钱，则这个人的通话时间为；4. 某餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式：（1）当有n 张桌子时，两种摆放方式各能坐多少人？（2）一天中午餐厅要接待98位顾客共同就餐，但餐厅只有25张这样的餐桌，若你是这个餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆放餐桌为什么？5. 要建一个如下图所示的长方形养鸡场(分为两个区域)，养鸡场的一边靠着一面墙，另几条边用总长为am 的竹篱笆围成，每块区域的前面各开一个宽1m 的门。

部编数学七年级上册培优专题01借助数轴将数与形结合解析版含答案

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！培优专题01 借助数轴将数与形结合【专题精讲】在数学里“数”和“形”是有密切联系的,我们常用代数的方法来处理几何问题;反过来,也借助于几何图形来处理代数问题,寻找解题思路,这种“数”与“形”之间的相互作用叫数形结合,它是一种重要的数学思想。

运用数形结合思想解题的关键是建立“数”与“形”之间的联系,现阶段数轴是数形结合的有力工具,主要体现在以下几个方面：(1)利用数轴能形象地表示有理数；(2)利用数轴能直观地解释相反数;(3)利用数轴比较有理数的大小;(4)利用数轴解决与绝对值相关的问题;(5)巧用数轴可以探究动点的规律;(6)应用数轴解决行程问题◎类型一：利用数轴比较有理数的大小解题方法：利用“数轴上的点表示的数,右边的总比左边的大”的性质把有理数表示在数轴上,由相对位置得出大小.1．（2022·陕西咸阳·七年级阶段练习）在数轴上表示：3.5，0，2.5，－1，－3，－12，并把这些数由小到大用“＜”号连接起来．2．（2021·江苏盐城·七年级期中）已知一组数：12，0 ，－3.5，3，123-．(1)把这些数在下面的数轴上表示出来：(2)请将这些数按从小到大的顺序排列（用“＜”连接）．．；（2）顺序为：113.520332--＜＜＜＜．115 3.5140 2.522+---，，，，，，，并用“<”把这些数连接起来．用“<”符号连接为：114 3.510 2.5522-<-<-<<<<+．并用“＜”号连接．根据上图可知：4025-<<<-．【点睛】本题考查在数轴上表示数，有理数的大小比较，理解数轴上表示数的意义是解题◎类型二：利用数轴表示相反数、绝对值解题方法：确定数轴上点所表示的数,首先要确定原点的位置,再根据此点在原点的左右得到其符号,根据此点到原点的距离得到绝对值。

第一章有理数：绝对值与数轴培优训练人教版2024—2025学年七年级上册

第一章有理数：绝对值与数轴培优训练人教版2024—2025学年七年级上册知识归纳：1.代数意义：(0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩引申：.若x m =（m ＞0），则x m =±.若a ＞0，则1a a =；若a ＜0，则1aa=-. 2.几何意义：|a |表示的是数轴上表示数a 的点到原点的距离。

3．灵活运用绝对值基本性质:①2220;;;a a a a ab a b ===•≥②③④)0(≠=b ba b a；⑤a b +≤a b +.4.绝对值的非负性的应用：①若0a b +=，则0a b ==；②20a b +=，则0a b ==. 5.分类讨论思想6. 数轴上的线段与动点问题典型例题：例1 已知|4x ﹣3|+|2y +5|+|3z +1|＝0，求2x ﹣y +|﹣z |的值．变式1.若|a +2|+|b ﹣7|＝0，则a +b 的值为（） A ．﹣1B ．1C ．5D ．﹣5变式2.已知|x ﹣2|+|y ﹣3|＝0．（1）求x ，y 的值；（2）已知|x +y +z |＝7，求z 的值．例2若a +b +c ＜0，abc ＞0，则的值为．变式3.如果a •b ＜0，那么＝．变式 4.已知a 、b 、c 均为不等于0的有理数，则的值为．变式5.如果x 、y 都是不为0的有理数，则代数式的最大值是．变式6.已知a ，b ，c 都是有理数，且满足＝1，那么6﹣＝．变式7.若不等式|x ﹣2|+|x +3|+|x ﹣1|+|x +1|≥a 对一切数x 都成立，则a 的取值范围是．变式8.设abcd 是一个四位数，且a ≤b ≤c ≤d ，则式子|a ﹣b |+|b ﹣c |+|c ﹣d |+|d ﹣a |的最大值是．变式9.若a +b +c ＜0，abc ＞0，则的值为．变式10.若ab ≠0，那么+的取值不可能是（）A ．﹣2B ．0C ．1D ．2变式11.若ab ＞0，则++的值为（） A ．3B ．﹣1C ．±1或±3D ．3或﹣1 变式12.若非零有理数m 、n 、p 满足|m |m ＋|n |n ＋|p |p ＝1．则2mnp|3mnp |＝ .变式13.如果是非零有理数，且0=++c b a ，abc abcc c b b a a +++的所有可能的值为( )．A ．0B ． 1或一lC ．2或一2D ．0或一2c b a 、、变式14.阅读下列材料并解决有关问题：我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ 所以当0x >时，1x x x x ==；当0x <时， 1x x x x==--．现在我们可以用这个结论来解决下面问题：（1）已知a ，b 是有理数，当ab ≠0时，a ba b+= ；（2）已知a ，b 是有理数，当abc ≠0时，a b ca b c++= ；（3）已知a ，b ，c 是有理数，a+b+c =0，abc ＜0，则b c a c a ba b c+++++= ．例3.根据绝对值的性质，回答下面的问题：（1）当x 取何值时，5x -有最小值？这个最小值是多少？（2）当x 取何值时，39x --有最大值？这个最大值是多少？（3）当x 取何值时，5x -+1x -有最小值？这个最小值是多少？（4）当x 取何值时，5x -++1x 有最小值？这个最小值是多少？（5）不相等的有理数,,a b c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C ，如果||||||a b b c a c -+-=-，那么B 点在A 、C 的什么位置？变式15.式子|x ﹣2|+1的最小值是（） A ．0B ．1C ．2D ．3变式16.|x ﹣3|＝3﹣x ，则x 的取值范围是．变式17.若|5||2|7x x ++-=，求x 的取值范围。

1.2.2数轴培优训练人教版2024—2025学年七年级上册

1.2.2数轴培优训练人教版2024—2025学年七年级上册一、与数轴上的动点问题相关的基本概念数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离.主要涉及以下几个概念：1．数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值d =|a -b|,也即用右边的数减去左边的数的差.即数轴上两点间的距离=右边点表示的数—左边点表示的数.2．两点中点公式：线段AB 中点坐标=2a b 3．点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向左运动的速度看作负速度.这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标.即一个点表示的数为a ，向左运动b 个单位后表示的数为a—b ；向右运动b 个单位后所表示的数为a+b .4．数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系.二、数轴上的动点问题基本解题思路和方法1．表示出题目中动点运动后的坐标（一般用含有时间t 的式子表示）.2．根据两点间的距离公式表示出题目中相关线段长度（一般用含有时间t 的式子表示）.题型一：数轴与绝对值例1：已知有a 、b 、c 在数轴上所对应的点的位置如图，且|a |＝|c |．（1）求a +c 的值．（2）化简|a +b |﹣|a ﹣b |+2（a +c ﹣b ）．变式1：已知a ，b ，c 在数轴上对应点的位置如图所示．（1）用“＜”或“＞”填空：a +1 0；c ﹣b 0；b ﹣1 0；（2）化简：|a +1|﹣|c ﹣b |﹣|b ﹣1|．变式2：有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图．（1）用“＞”或“＜”填空：﹣b0，a﹣b0，b﹣c0，c ﹣a0．（2）化简：|a﹣b|﹣|b﹣c|+|c﹣a|．变式3：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示：（1）比较﹣a、b、c的大小（用“＜”连接）；（2）化简|c﹣b|﹣|b﹣a|+|a+c|．变式4：有理数a、b、c在数轴上的位置如图：（1）用“＞”或“＜”填空：b﹣c0，a+b0，c﹣a0．（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．变式5：如图，数轴上A，B两点表示的数分别是﹣1和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A，B分别到达M，N两点，且满足|MN|＝k|AB|（k为正整数，|MN|表示点M与点N的距离），我们称A，B两点完成了一次“准相向运动”．（1）A，B两点之间的距离为；（2）若A，B两点完成了一次“准相向运动”．①当k＝2时，M，N两点表示的数分别为，；①当k为任意正整数时，求M，N两点表示的数（用含字母k的式子表示）．变式6：数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是；数轴上表示1和﹣4的两点之间的距离是．（2）数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为；数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为．若|x+3|＝4，则x ＝．（3）若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+4|的最小值＝．（4）若x表示一个有理数，且|x+1|+|x﹣3|＝4，则满足条件的所有整数x的值为.则满足条件的所有整数x的和为．（5）若x表示一个有理数，当x为，式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值为．二、数轴上的动点问题例2：如图点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，且（a+2）2+|b﹣4|＝0．请回答以下问题：（1）点A表示的数为，点B表示的数为，A，B中点对应的数为．（2）若点C对应的数为﹣3，只移动C点，要使得A，B，C其中一点到另两点之间的距离相等，请写出所有的移动方法．（3）若点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向左做匀速运动，点Q 从B出发，以每秒5个单位长度的速度向左做匀速运动，P，Q同时运动，设运动时间为t秒，则：①当t为何值时，点P和点Q重合？①当t为何值时，P，Q之间的距离为3个单位长度？变式7：如图，在数轴上点A表示的数是﹣5，点B表示的数是10．（1）A、B两点之间的距离是；（2）若在数轴上存在一点C，且点C到点A的距离是到点B距离的2倍，则点C表示的数是；（3）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以每秒1个单位的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以每秒2个单位的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）．①分别表示出甲、乙两小球到原点的距离（用含t的代数式表示）；①当甲、乙两小球到原点的距离相等时，求t的值．变式8：在数轴上，点M和点N分别表示数x1和x2，可以用绝对值表示点M、N两点间的距离d（M，N），即d（M，N）＝|x1﹣x2|．（1）在数轴上，点A、B、C分别表示数﹣1、3、x，解答下列问题：①d（A，B）＝；①若d（B，C）＝2，求x的值；（2）在数轴上，点D、E、F分别表示数﹣4、3、12．动点P沿数轴从点D 开始向右以每秒1个单位长度的速度运动到点E，然后提速，以每秒3个单位长度的速度运动到达F点后立刻以每秒2个单位长度的速度返回，回到D点时停止运动．在整个运动过程中，若d（D，P）＝8，求点P的运动时间t的值．变式9：已知，A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且（a+5）2+|b﹣15|＝0．（1）数轴上点A表示的数是，点B表示的数是（2）若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，当C点在数轴上且满足AC＝3BC时，求C点对应的数．（3）若一动点P从点A出发，以3个单位长度/秒速度由A向B运动，当P 运动到B点时，再立即以同样速度返回，运动到A点停止；点P从点A出发时，另一动点Q从原点O出发，以1个单位长度/秒速度向B运动，运动到B 点停止．设点Q运动时间为t秒．当t为何值时，点P与点Q之间的距离为2个单位长度．变式10：如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB＝20，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）数轴上点B表示的数是；点P表示的数是（用含t的代数式表示）．（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒后与点Q相距4个单位长度？（3）若M为AP的中点，N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请用计算说明，并求出线段MN的长．变式11：如图1，数轴上的点A表示数a，点B表示数b，点B在点A的右侧．已知a，b满足（a+4）2+|b﹣8|＝0，则：（1）a＝，b＝；（2）若动点P、Q分别从点A、B处同时向右移动，点P的速度为4个单位长度/秒，点Q的速度为2个单位长度/秒，设运动时间为t秒．①当t为何值时，P、Q两点重合？①当t为何值时，P、Q两点相距8个单位长度？①如图2，点M是AP的中点，在点P、Q同时向右移动的过程中，试判断MB﹣PQ的值是否为定值？并说明理由．变式12：如图，数轴上有A、B、C、D四个点，分别对应a，b，c，d四个数，其中a＝﹣10，b＝﹣8，（c﹣14）2与|d﹣20|互为相反数，（1）求c，d的值；（2）若线段AB以每秒3个单位的速度，向右匀速运动，当t＝时，点A与点C重合，当t＝时，点B与点D重合；（3）若线段AB以每秒3个单位的速度向右匀速运动的同时，线段CD以每秒2个单位的速度向左匀速运动，则线段AB从开始运动到完全通过CD所需时间多少秒？（4）在（3）的条件下，当点B运动到点D的右侧时，是否存在时间t，使点B与点C的距离是点A与点D的距离的4倍？若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．变式13：如图，数轴上有A、B两点，且AB＝12，点P从B点出发沿数轴以3个单位长度/s的速度向左运动，到达A点后立即按原速折返，回到B点后点P停止运动，点M始终为线段BP的中点（1）若AP＝2时，PM＝；（2）若点A表示的数是﹣5，点P运动3秒时，在数轴上有一点F满足FM ＝2PM，请求出点F表示的数；（3）若点P从B点出发时，点Q同时从A点出发沿数轴以2.5个单位长度/s 的速度一直向右运动，当点Q的运动时间为多少时，满足QM＝2PM．例3：已知：关于x，y的多项式﹣24xy3﹣xy+2nxy3+nx2y2+3mx2y2﹣y不含四次项．数轴上A、B两点对应的数分别是m、n．（1）点A表示的数为；点B表示的数为；（2）如图1，线段CD在线段AB上，且CD＝4，点M为线段AD的中点，若AM＝BD，求点C表示的数；（3）如图2，在（2）的条件下，线段CD沿着数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从B点出发，以每秒4个单位长度的速度向左运动，是否存在时间t，使AM﹣DC＝BC，若存在，求出C点表示的数；若不存在，说明理由．变式14：已知数轴上两点M、N对应的数分别为﹣8、4，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．（1）MN的长为．（2）当点P到点M、点N的距离相等时，求x的值；（3）数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是20？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．（4）如果点P以每秒1个单位长度的速度从点M出发沿数轴向右运动，同时点Q从点N出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达点M时，点P与Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．当点P、点Q与点M三个点中，其中一个点到另外两个点的距离相等时，直接写出t 的值．变式15：如图，A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，且满足|a+3|+（b﹣9）2＝0，点O为原点．（1）请直接写出a＝，b＝；（2）一动点P从A出发，以每秒2个单位长度向左运动，一动点Q从B出发，以每秒3个单位长度向左运动，设运动时间为t（秒）．①试探究：P、Q两点到原点的距离可能相等吗？若能，请直接写出t的值；若不能，请说明理由；①若动点Q从B出发后，到达原点O后保持原来的速度向右运动，当点Q在线段OB上运动时，分别取OB和AQ的中点E，F，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．变式16：已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长AB＝2（单位长度），慢车长CD＝4（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是b．若快车AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且|a+8|与（b﹣16）2互为相反数．（1）求此时刻快车头A与慢车头C之间相距多少单位长度？（2）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头AC相距8个单位长度？（3）此时在快车AB上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P，他发现行驶中有一段时间t秒钟，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即P A+PC+PB+PD为定值）．你认为学生P发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由．变式17：如图，数轴上A，B两点表示的数分别为5a，3a（a为定值，且a＞0），C为数上异于点A的一点，且到原点O的距离与点A到原点O的距离相等．（1）请在图中标出原点O与点C（2）点A到点C的距离为．（用含a的式子表示）（3）P为数轴上一动点，其对应的数为x①当P是B，C之间的一动点时，点P到点B、点C的距离之和是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．①设点P到A、B、C三点的距离之和为S．在动点P从点B开始沿数轴的正方向运动到点A这一运动过程中，若S的最大值为m，最小值为n，请直接写出m+n的值．变式18：已知点A在数轴上表示的数为a，点B表示的数为b．（1）若a，b满足（a+4）2+|b﹣3|＝0，求线段AB的长；（2）在（1）的条件下，若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为t秒，当点P与点Q相距4个单位长度时，求t的值；（3）若动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒b个单位长度的速度也向右匀速运动，设运动t 秒后，点P表示的数为m，点Q表示的数为n．是否存在有理数a和b，使得无论t为何值，代数式3m﹣4n为定值3，若存在，求a，b的值；若不存在，请说明理由．变式19：已知数轴上的有理数﹣2，2，4，10所对应的点，分别用A，B，C，D 四个点表示．动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向数轴负方向运动，动点P从点D出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向数轴负方向运动，到达点A后立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴返回到点C，返回到点C后，点P和点Q停止运动．点P和点Q同时出发，设运动时间为t秒．（1）当0＜t＜3时，用含t的代数式表示：点P对应的数是，点Q对应的数是：；（2）中点：在数轴上M点表示m，N点表示n，则点M与点N的中点表示的数是．在点P、点Q运动过程中，若点E始终是线段PQ中点，当点E 与点B重合时，求t的值．（3）在点P的运动过程中，若P A+PB+PC+PD＝16个单位长度，求出t的值．变式20：已知数轴上O为原点，A、B两点对应的数分别为a、b，且满足|a+1|＝﹣（b﹣3）2．（1）求点A、B两点对应的有理数是、；（2）若点C到点A的距离正好是5，求点C所表示的数应该是多少？（3）若A、B分别以2个单位/秒、3个单位/秒的速度沿直线AB向右运动，D是线段AB上一点，且DA＝DB，在运动的过程中，是否存在常数m、n，使得mOD＝3nOB+AB恒成立？若存在，求出m、n值；若不存在，请说明理由．。

数轴与绝对值培优专题1

数轴与绝对值培优专题一、绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到___________叫做数a的绝对值，记作|a|。

(2)代数意义：①正数的绝对值是__________；②负数的绝对值是它的_________；③零的绝对值是______。

也可以写成：⎪⎩⎪⎨⎧=a例1、在数轴上任取一条长为312019个单位长度的线段，则此线段在数轴上最多能盖住的整数点的个数为（）A.2020 B.2019 C.2018 D.2017例2、三个有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，其中数a，b互为相反数，试求解以下问题：（1）判断a，b，c的正负性.（2）化简.baa++23例3、A. B分别为数轴上的两点，A点对应的数为−10，B点对应的数为90.(1)请写出与A，B两点距离相等的M点对应的数；(2)若当电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，经过多长的时间2只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度?例4、点A. B在数轴上分别表示有理数a、b，A. B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A. B两点之间的距离AB=|a−b|.回答下列问题：(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是_____，数轴上表示1和−3的两点之间的距离是___；(2)数轴上表示x和−2的两点之间的距离表示为_________；(3)若x表示一个有理数，则|x−1|+|x+3|有最小值吗?若有，请求出最小值；若没有，请说明理由。

说明：（Ⅰ）|a|____0即|a|是一个________数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含____________思想。

a c b二、精练1、数轴上与原点的距离小于3个单位长度的整数点所表示的数是______________2、若︱a ︱=3，︱b ︱=4，且a ＞b ，则a=___________，b=____________3、若,且,,则．4、若︱-a ︱=-a ，则a 的取值范围是________________5、已知︱x-3︱+︱y+2︱=0，则x+2y=________________6、________032232=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-b a b a ，则若 7、设a 是最小的自然数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数，则a+b-c 的值为______8、绝对值小于4的整数的乘积为___________9、一个有理数在数轴上对应的点为A ，将A 点向左移动3个单位长度，得到点B ，点B 所对应的数和点A 所对应的数的绝对值相等，则点A 所对应的数为_____________10、已知.__________________,43有最小值时，为当y x x y +-= 11、若x ，y 是两个负数，且x<y ，那么x _______y ．12、如图，数轴上的A ，B ，C 三点所表示的数分别是a ，b ，c ，其中AB ＝BC ，若a >b >c ，则该数轴的原点O 的位置应该在______．13、代数式23x -+的最小值是 ___________ 14、已知a b 、为有理数，且0a <，0b >，a b >，则（）A 、a b b a <-<<-B 、b a b a -<<<-C 、a b b a -<<-<D 、b b a a -<<-<15、绝对值小于π的整数有______________________16、若3-x 与5+y 互为相反数，则yx y x -+= 。