材料力学内力图绘制详解
材料力学专题一梁的内力和内力图
专题一 梁的内力和内力图例1求图1(a)所示梁截面 A 、C 的剪力和弯矩。
解：1）求反力kN 5=A F ，kN 4=B F2）求A 左截面的内力，如图(a)所示。
0=∑i Y ， 0=+左SA p F F ，kN 3-=左SA F0=∑O M ，02=+⨯左A p M F ， m kN 6⋅-=左A M3）求A 右截面的内力，如图(b)所示。
0=∑i Y ，0=+--A SA p F F F 左，kN 2=左SA F0=∑O M ，02=+⨯右A p M F ， m kN 6⋅-=右A M4）求C 左截面的内力，如图(c)所示。
0=∑i Y ，02=-⨯--左SC P A F q F F ，0=左SC F0=∑O M ，01224=+⨯⨯+⨯-⨯左C A p M q F F ，=左C M m kN 4⋅-=5）求C 右截面的内力，如图(d)所示。
0=∑i Y ，02=-⨯--右SC P A F q F F ，0235=--=右SC F 0=∑O M ，012241=++⨯⨯+⨯-⨯右C A p M M q F F ，=右C M m kN 6⋅-=【小结】①求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致。
一般取外力比较简单的一段进行分析。
②在解题时，通常假设截面上把内力为正，若最后计算结果是正，则表示假设的内力方向（转向）与实际是相同的，否则是相反的。
③该题也可以不画受力图，不写平衡方程而由前面的结论直接求得结果。
图1(a)(b)(c)(d) (e)例2试计算图2所示各梁指定截面（标有细线者）的剪力与弯矩。
解：(a)取A +截面左段研究，, 0SA A F F M ++==取C 截面左段研究，, 2SC C Fl F F M == 取B -截面左段研究， , SB BF F M Fl ==(b) 求A 、B 处约束反力如图(d)所示，l M F F e B A /==取A +截面左段研究，, e SA A A e M F F M M l++=-=-=取C 截面左段研究，, 22e e SC A A e A M Ml F F M M F l +=-=-=-⨯=取B 截面右段研究，, 0e SB B B MF F M l=-=-=(c) 求A 、B 处约束反力 取A +截面右段研究，233, 22248SA A l ql l l ql F q M q ++=⨯==-⨯⨯=-取C -截面右段研究，2, 22248SC C l ql l l ql F q M q --=⨯==-⨯⨯=-取C +截面右段研究，2, 22248SC C l ql l l ql F q M q ++=⨯==-⨯⨯=-取B -截面右段研究，0, 0SB B F M --==图2 (b) (a) qB (c) B图(d)例3试写出图3所示梁的内力方程，并画出剪力图和弯矩图。
计算内力与画内力图的技巧
ＯＣＣＵＰＡＴＩＯＮ2012 0926交流E XPERIENCE计算内力与画内力图的技巧余瀚欣 夏志娟 韩美娥 余茂武在材料力学四种基本变形的学习中，计算内力与画内力图是各种基本变形强度与刚度计算的基础。
一般情况下构件不同截面上的内力是不同的，内力随横截面位置而变化。
由于在进行强度与刚度计算时，需要知道各横截面上内力的最大值以及所在截面位置即危险面，因此必须知道内力随截面变化的规律。
为了便于形象直观地看到内力的变化规律，通常是将内力沿构件轴线的变化用图形来表示，这种图形称为内力图。
计算内力画内力图，是每位学者都觉得很头疼的事，而职业院校的学生由于基础相对薄弱学起来就更难，因此对其技巧的探索与研究势在必行。
有不少从教者做了很大的努力，总结不少好的方法，但相比本文介绍的方法还是麻烦了点。
本文介绍的方法简便易行，学生易于接受，增强了学习的主动性和积极性。
下面以三种不同的方法计算扭转变形时的内力、画内力图为例，通过比较说明第三种方法的可行性、简便性与实用性。
例：一传动轴如图１所示。
已知其上作用有外力偶m １＝１００Ｎｍ，m ２＝５０Ｎｍ，m ３＝２０ＫＮｍ，m ４＝３０Ｎｍ，试求轴的扭矩，并画出扭矩图。
一、第一种方法：截面法1.计算轴各段扭矩（见图1）AB 段：Σm x =0，m 2+M n 1=0,M n 1=-m 2=-50Nm （取截面以左分析）BC 段：Σm x =0，m 2+m 3+M n 2=0,M n 2=-m 2-m 3=-70Nm （取截面以左分析）CD 段：Σm x =0，m 4-M n 3=0,M n 3=+m 4=-30Nm （取截面以右分析）1-1，2-2截面扭矩计算出现负值，说明图1中b ）、c )中的假设的扭矩转向与实际相反，实际扭矩矢量方向与横截面的外法线方向相反。
按扭矩正负符号规定，该扭矩为负。
3-3截面扭矩计算出现正值，说明图1d ）中的假设的扭矩转向与实际相同，实际扭矩矢量方向与横截面的外法线方向相同。
材料力学基本第二章 内力与内力图
CB段： BA段：
FN x1 0
FQ x1 F
M x1 Fx1
FN x2 F
FQ x2 0
M x2 F a
0 x1 a
0 x1 a
0 x1 a 0 x2 l
0 x2 l
0 x2 l
2.绘制剪力图和弯矩图
五、平面曲杆的内力图
平面曲杆：轴线为平面曲线的杆件。 内力的符号规定为：弯矩以使曲杆轴线曲率增加者为正，轴力和剪力的符 号规定与前面的相同。
2.6 结论与讨论
结
结论
论 与
• 一个重要概念
讨 论
• 三个微分方程
结
• 一套方法
论
讨论
结
论
与
比较前面三个梁的受力、剪力
讨 论
和弯矩图的相同 之处和不同
之处，从中能得到什么重要结
讨
论？
论
FQ
结
论
与
讨
FQ
论
讨
FQ
论
确定控
结 论 与 讨
制面上剪力 和弯矩有几 种方法？怎
论 样确定弯矩
图上极值点
讨 处的弯矩数
4. 在梁的某一截面上剪力为零，则在这一截面上弯矩有极值。
5. 在梁的某一截面上若作用有集中力，则此处剪力图有突变，突变的值 恰好等于集中力的数值。
6. 在梁的某一截面上若作用有集中力偶，则剪力图不发生变化，但此处 弯矩图会发生突变，突变的值恰好等于集中力偶的数值。
二、剪力、弯矩与载荷集度之间的积分关系
AD段 MeD T3 0
C
d) T3
D
T /Nm
T3 MeD 1018.6 N m e)
1018.6 (+)
材料力学--第2章杆件的内力与内力图
轴力图的画法
画轴力图的步骤：求约束反力、求控制截面上的轴 力、画轴力图。 求任一横截面轴力的简便方法：任一横截面上的轴 力等于该截面一侧杆件上所有外力（包括反力）的代数和； 外力背离截面产生拉力，外力指向截面产生压力。 在分布轴向外力作用下，轴力图为斜直线或曲线。 没有分布轴向外力作用时，整个杆件轴力图为平行于杆件
外加扭力矩Me确定后，应用截面法可以确定横截面上 的内力──扭矩，圆轴两端受外加扭力矩Me作用时，横截 面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心 的合力矩，称为扭矩（twist moment），用Mx表示。
Me Me
Me
Mx
n
－ 右手螺旋定则
第2章 杆件的内力和内力图
◎ 扭矩与扭矩图
如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线 方向所有横截面上的扭矩都是相同的，并且都等于作用在 轴上的外力偶矩。 当轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴
D
E
2
FA
40kN
FN2
F
x
0， FN2 FA 40 0， FN2 50kN(拉)
第2章 杆件的内力和内力图
求CD段内的轴力
◎ 轴力与轴力图
FA
A
40kN B
55kN
25kN
20kN
C
3
D
E
FN3
25kN
20kN
F
x
0， FN3 25 20 0， FN3 5kN(压)
第2章 杆件的内力和内力图
同理，求得AB、 BC、CD段内力分 别为： FN2 B FB FN3 C FC C FC FN4 FN 2F 5F
◎ 轴力与轴力图
材料力学第4讲-利用微分关系绘制梁内力图
在CD和DB段，剪力为负值，弯矩图
1.7 为向下倾斜的直线.
最大弯矩发生在剪力改变正、负号的 C
截面处.说明剪力图和弯矩图是正确的.
27 +
例题3-4-2 一简支梁受均布荷载作用，其集度 q=100kN/m ,如图 所示.试用简
易法作此梁的剪力图和弯矩图. 解：（1） 计算梁的支反力
FRA FRB 0.5 100 1.6 80kN
（1）梁的载荷集度函数、剪力函数和弯矩函数之间的 微分关系
（2）利用微分关系的绘制简单梁的内力图 （3）利用微分关系绘制多跨静定的内力图 （4）根据梁的内力图反推梁的荷载图 2.5 应用叠加原理绘制梁的内力图（待学习） 2.6 刚架和组合变形杆件的内力分析（待学习）
2.4 利用微分关系绘制梁的内力图
dFS ( x) q( x) dx
dM ( x) dx
FS
(
x)
（3）内力的极值点位置的判断 1）最大剪力可能发生在集中力所在截面的一侧;或
发生在剪力图有转折的截面处或杆件的端部.
2）梁上最大弯矩 Mmax可能发生在均布荷载作用区段 内FS(x) = 0 的截面上; 或发生在杆件中部弯矩发生
转折或突变处，或发生在杆件的端部。
将梁分为 AC、CD、DB 三段.
AC和DB上无荷载，CD 段有向下的
均布荷载.
（2）剪力图 AC段 水平直线
FSA右 FRA 80kN
CD段 向右下方的斜直线
FRA
A C
0.2 1
FS
(kN)
80
q
FRB
B
D
1.6
2
+
FSC FRA 80kN
FSD FRB 80kN
材料力学内力图绘制详解
一、由外力直接绘制轴力图例 5.4 如图 5.18(a)所示为一绳子受力图，右端固定，试绘制该绳的轴力图。
解 根据外力直接绘制轴力图（见图5.18(b)），绘图分析过程及步骤如下。
从左向右绘制，始终取右边部分为研究体。
在截面A 有集中力F 1，使研究体拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 1大小，此时 F N =（0+500）N =500 N ；在AB 段没有外力，故轴力不变；在截面B 有集中力F 2，使研究体受拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 2大小,此时F N =（500+420）N =920 N ；在BC 段没有外力，故轴力不变；在截面C 有集中力F 3，使研究体受压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 3大小，此时F N =(920-280)N =640 N ；在CD 段没有外力，故轴力不变；在截面D 有集中力F 4，使研究体受压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 4大小，此时 F N =(640-800)N =-160 N ；在DE 段没有外力，故轴力不变；在截面E 有集中力，由于轴力曲（b ）(a)线与轴线围成封闭图形，故轴力突变为0。
例5.5有一根阶梯轴受力如图5.19(a)所示，试绘制阶梯轴的轴力图。
图5.19解从右向左绘制，始终取左变部分为研究体。
根据外力直接绘制轴力图（见图5.19(b)），绘图分析过程及步骤如下：在截面A有集中力F1，使研究体压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F1大小,此时F N=（0-10）kN=-10 kN；在AB段有均匀分布载荷，使研究体受拉伸变形，故轴力以斜直线规律向正方向渐变，轴力渐变大小为均匀分布载荷大小，此时F N=（-10+10×2）kN=10 kN；在截面B没有力，故此截面轴力没有变化；在BC段没有外力，故轴力不变；在截面C有集中力F2，使研究体受拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F2大小，此时F N=（10+10）kN=20 kN；在CD段没有外力，故轴力不变；在截面D有集中力，由于轴力曲线与轴线围成封闭图形，故轴力突变为0.二、由外力直接绘制扭矩图制其内力图。
材料力学第4讲-利用微分关系绘制梁内力图
求支座反力的顺序；中间铰接处和刚接处剪力图和弯矩图的特点。
（4）根据梁的内力图反推梁的荷载图
内力图与荷载图的对应关系；微分关系的应用。
2.4（1）梁的荷载集度函数、剪力 函数和弯矩函数之间的微分关系
设梁上作用有任意分布荷载，
其集度 q = q (x) 规定 q (x)向上为正. 将 x 轴的坐标原点取在梁的左端. 假想地用坐标为 x 和 x+dx的两
算出截面C上的剪力为 (3-
24)kN=-5kN,即可确定这条
4m
斜直线（如图所示）. FS/kN 3
M=10kN·m C 2m
F=2kN FRB
B
D
2m
2
x
截面C和B之间梁上无分布载荷,
剪力图为水平线.
5
截面B上有一集中力FRB,从B的左侧到B得右侧,建立了图发生突然变化, 变化的数值即等于FRB.故FRB右侧截面上的剪力为(-5+7)kN=2kN.
x1
等号右边积分的几何意义是x1 , x2两横截面间分布荷载图的面积.
dM ( x) dx
FS
(
x)
若横截面x= x1，x=x2 间无集中力偶作用则得
M ( x2 ) M ( x1 )
x2 x1
FS
(
x
)dx
等号右边积分的几何意义是 x1 , x2两个横截面间剪力图的面积.
例题3-4-1 一简支梁受两个力F作用,如图所示.已知 F= 25.3kN,
dFS ( x) q( x) dx
dM ( x) dx
FS
(
x)
（3）内力的极值点位置的判断 1）最大剪力可能发生在集中力所在截面的一侧;或
【材料力学课件】平面刚架和曲杆的内力图
5-5 平面刚架和曲杆的内力图杆系结构若在结点处为刚性连接，则这种结构称为刚架。
各杆连接处称为刚结点。
刚架变形时，刚结点处各杆轴线之间的夹角保持不变。
★请看动画演示→★请看动画演示→平面刚架各杆的内力，除了剪力和弯矩外，还有轴力。
作刚架内力图的方法和步骤与梁相同，但因刚架是由不同取向的杆件组成，习惯上按下列约定：弯矩图，画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。
剪力图及轴力图，可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架外侧），但须注明正负号；剪力和轴力的正负号仍与前述规定相同。
，(2)画BC杆的内力图由于AB及BC杆中间没有作用集中力及分布载荷，只需求出各杆端点的内力即可画出内力图。
对于BC杆，1截面的内力(考虑右半部分杆件)：轴力剪力弯矩剪力的正负号仍与梁中规定相同，可以看出，不论从杆件的上方或下方来观察此杆件，1截面的剪力都是正的。
2截面的内力(考虑右半部分杆件)，，(上边受拉)根据1、2截面所求得的内力，可画出其内力图如图5-14b、c、d所示。
作轴力 N 图及剪力 Q 图时，内力图画在杆件哪一边都可以，但须注明正负号。
对于弯矩 M ，由于从不同方向观察会得到不同的正负号，故规定将 M 图画在杆件受拉的一边，但不标正负号。
（3）画AB杆的内力图对于AB杆，3截面的内力（考虑上半部刚架），，(左边受力)4截面的内力（考虑上半部刚架），，(左边受力)（4）对刚结点的平衡进行校核画出整个刚架的内力图后，一般应校核刚结点处是否满足平衡条件。
根据所绘的内力图，可画出刚结点的受力图如图5－15所示，按刚结点的平衡条件可得，，由此可见，对于图5-15所示连接两相互垂直杆件的刚结点，若结点上没有作用载荷，则一杆的剪力绝对值应等于另一杆的轴力绝对值，两杆在刚结点处的弯矩值相等，且受拉边也相同。
对于连接两根以上杆件的刚结点(图5-16a)或结点上作用载荷的刚结点，平衡条件仍必须满足。
例如对于图5-16b所示在结点处作用外力偶m的刚结点，力矩平衡条件应为，由于中间无集中载荷，只需求出端截面的内力值即可画内力图。
材料力学第3讲-绘制梁内力图的基本方法
m dx
②弯矩的正负号规定
(Sign convention for bending moment)
Mm
M
+
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半
部受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
-
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
m
m （受压）
【例题2-3-3】图示梁的计算简图.已知 F1、F2,且 F2 > F1 ,尺寸a、b、c 和 l 亦均为已知.试求梁在E、F 点处横截面处的剪力和弯矩.
B
l
Fx 0 , FRAx 0
MA 0 ,
FRB
Fa l
FRAxA
F B
Fy 0 ,
FRAy
F (l l
a)
FRAy
FRB
求内力——截面法
Fy 0 , MC 0 ,
FS
FRAy
F
(l l
a)
M FRAy x
FRAx A FRAy
剪力
x
1）受弯构件的内力
弯矩
①弯矩(Bending moment)) M
《材料力学》第3讲 绘制梁内力图的基本方法
土木工程学院 马守才 2020年3月
授课提纲
复习与提问：上一次课中我们学习了哪些这门课程的哪
些内容？其中比较重要的内容是什么？ 新课导入：如何对梁进行内力分析？
讲授新课
2. 杆件的内力分析（本单元共有6节，分5次学习） 2.1 轴力方程与轴力图 （已学习） 2.2 扭矩方程与扭矩图 （已学习） 2.3 绘制梁内力图的基本方法 ？√
n
FS
Fi
i 1左（右）
第一讲 内力及内力图的绘制
（二） 利用截面法确定控制截面 1、梁的分段点； 2、分布载荷段内Fs = 0,的点； 3、集中力作用处； 4、集中力偶作用处。
（三）梁上无分布载荷作用， 剪力图为水平直线：——— ； 弯矩图为斜直线： 剪力为正，弯矩图右上斜直线 剪力为负，弯矩图右下斜直线
＋
； 。
－
（四）梁上有向下的分布载荷作用 剪力图为右下斜直线 。
1、在中间铰处拆开， 求中间铰处的约束反力； 2、绘内力图时 看作两个独立的梁； 结论 1、中间铰只传递剪力 不传递弯矩； 2、若中间铰处没有外力偶，弯矩恒等于零
刚架内力图的画法
作刚架内力图的方法和步骤与梁相同；
但因刚架是由不同取向的杆件组成，习惯上按下列约定：
弯矩图，画在各杆的受拉一侧； 不注明正、负号。 剪力图及轴力图，可画在刚架轴线的任一侧 。
考研是一次人生的历练，是强化所学 知识的基本概念、基本理论和基本方法的 训练，重在强化所学知识的理解和掌握， 掌握获取知识和运用知识的方法，提高获 取知识和运用知识的能力、分析问题和解 决问题的能力。 复习考研如古人曰：故立志者，以学 为心也；以学者，立志为事也。复习考研 是意志的磨练、汗水的浇灌、知识的升华、 能力的提高。
x
FS ＋
O
qa/2
（五）危险截面位置 qa/2
x
qa/2
M －
FS max＝ql
M max＝ ql 2 / 2
－
qa2/2
qa2/2
典型题6
利用微分关系绘制梁的内力图。
q
qa2
B
C a
q
A
a （一）计算梁的支座反力 B FB a
D
qa2
D
C FC
材料力学课程中计算内力规则和画内力图的技巧
的右段杆受力图列平衡方程
解得
ＦＮ＇－２Ｆ－Ｆ ＝０
ＦＮ＇＝ＦＮ ＝２Ｆ＋Ｆ ＝３Ｆ （３）
２４
可见，轴力 ＦＮ 也等于右段杆上各轴向外 力 Ｆｉ的代数和。外力 ２Ｆ和 Ｆ对 ｍ截面是拉 力，取“＋”号。式（３）同样可表示为
ＦＮ ＝ΣＦｉ右
（４）
无论取左段还是取右段来计算，均可得
出相同的计算结果。因此，在计算内力时，掌
材料力学主要是研究处于平衡状态的杆件 的内力、变形和失效规律，提出保证杆件具有足 够的强度、刚度和稳定性的设计方法和设计准 则。而杆件内力计算和内力图是计算强度、刚 度的基础。对于受力杆件，首先计算在外力作 用下产生的内力，绘制内力图，再根据内力图判 断危险截面，从而进行强度和刚度的计算。
材料力学中内力计算主要是计算杆件的 轴力、扭矩、剪力和弯矩。内力计算的基本方 法是截 面 法。截 面 法 的 步 骤 一 般 分 ４步： （１）截开；（２）保 留；（３）代 替；（４）平 衡。 按 照截面法步骤，首先在需计算内力的截面处 用假想的截面将杆件截成 ２段，留下其中受 力比较简单的一段作为研究对象。另一段对 留下的这段的作用力用内力表示，然后画出 受力图，根据受力图列平衡方程，解出该截面
握计算 技 巧，取 受 力 较 简 单 的 一 段 来 计 算
即可。
式（２）和式（４）表明：任意截面上的轴力
ＦＮ 等于该截面一侧（左侧或右侧）杆件上轴 向外力 Ｆｉ的代数和。这便是根据平衡方程 总结出来的求轴力的规则。按照这个规则可
以不用画受力图，不用列平衡方程，只需根据
杆件上的外力就可以直接计算出任一截面上
一、根据截面法总结出内力计算的 规则
在教学过程中，首先要求学生必须理解 内力的含义，掌握内力计算的基本方法即截
《材料力学》课件4-3平面刚架和曲杆的内力图
感谢您的观看
THANKS
机械工程中的应用
机械零部件
在机械工程中，平面刚架和曲杆结构被广泛应用于各种机械零部件 的设计中，如轴承、齿轮等。
传动系统
在传动系统中，平面刚架和曲杆结构被用于实现动力的传递和分配， 以提高机械设备的效率和稳定性。
航空航天
在航空航天领域中，由于对结构和性能的要求非常高，平面刚架和曲 杆结构也得到了广泛应用，如飞机机身、火箭发动机等。
内力分析的方法包括截面法和节点法。截面 法是通过截取部分杆件进行分析的方法，节 点法则通过分析节点处的平衡状态来确定各 杆件的内力。
内力分析是结构设计和强度校核的 基础，对于保证结构的稳定性和安 全性至关重要。
刚架的内力计算
内力计算是根据已知的力和力矩，计算出各杆 件的内力大小和方向的过程。
内力计算的方法包括静力学方法和动力学方法。 静力学方法适用于分析静载作用下的结构，动 力学方法则适用于分析动态作用下的结构。
内力计算的结果可以用于进一步的结构分析和 设计，如强度校核、稳定性分析和优化设计等。
02
曲杆的内力图
曲杆的组成与分类
曲杆的组成
曲杆由若干直杆和若干节点组成，节 点之间通过直杆连接。
曲杆的分类
根据形状和受力特点，曲杆可分为平 面曲杆和空间曲杆。平面曲杆又可分 为单向弯曲曲杆和双向弯曲曲杆。
曲杆的内力分析
内力的概念
内力是指物体在受力过程中，内部各部分之间相互作用的力量。在材料力学中， 内力通常用截面法来测量。
内力的分析方法
对于曲杆，内力的分析方法主要有截面法和转角法。截面法是通过在曲杆上截 取一个微段，然后分析该微段的受力情况来计算内力；转角法是通过分析节点 或直杆的转角变化来计算内力。
基本变形构件内力图简易画法[汇总]
![基本变形构件内力图简易画法[汇总]](https://img.taocdn.com/s3/m/38fa841953ea551810a6f524ccbff121dd36c5ad.png)
基本变形构件内力图简易画法四种内力的计算是用同一种方法，任一指定截面的内力等于该所在截面以左或以右所有外力的代数和，其正负号由外力的正负号确定。
（1）轴向拉伸和压缩外力符号的规定：在拉伸压缩变形中, 规定力的矢量背离所计算截面为正；力的矢量指向所计算截面为负。
（2）扭转外力符号的规定：用右手螺旋法则将外力偶矩表示为一矢量, 在扭转变形中，规定力偶矩矢的矢量背离所计算截面为正；力偶矩矢的矢量指向所计算截面为负。
梁发生横力弯曲时,横截面上有两种内力:剪力和弯矩。
剪力是与横截面相切的内力,弯矩是作用在横截面上的外力偶矩。
（3）切力外力符号的规定：切力的正负,由外力使脱离体旋转方向判定,若外力对所求截面产生顺时针旋转趋势时,取正号,反之取负号。
（4）弯矩外力符号的规定：弯矩的正负则由梁的变形确定,若外力使梁发生上凸变形,取正,反之取负。
内力图绘制基本方法在画内力图时, 其基本方法为: 内力从零开始(因无限接近左端截面上的内力为零) , 在集中力或集中力偶所在的截面处内力图开始突变, 突变值为该集中力或集中力偶的大小, 突变方向由外力决定, 正的外力(包括力偶矩) 向上突变, 负的外力, 向下突变, 内力图在最后一个集中力或集中力偶突变后, 其终点落在x 轴上。
即内力由零开始, 到零结束。
以上作法仅适用于从左端开始向右端绘制内力图。
由于从左端开始向右端绘制内力图，故外力的符号可以简化为：（1）在拉伸压缩变形中, 规定向左的外力为正, 向右的外力为负, 即“左正右负”。
（2）在扭转变形中, 外力偶矩矢矢量方向向左为正, 反之为负, 即“左正右负”。
（3）梁发生横力弯曲时，切力规定截取左端研究时，向上的外力为正, 向下的外力为负。
（3）梁发生横力弯曲时，弯矩规定截取左端研究时，向上的外力为正, 向下的外力为负。
顺时针的外力偶为正, 逆时针的外力偶为负。
从上面的分析可以发现，四种内力图绘制是用同一种方法，学生容易掌握，容易记忆，在近几年的高职教学实践中,取得了很好的教学效果。
(参考资料)材料力学中内力图的直接画法
材料力学中内力图的直接画法摘要:介绍一种关于材料力学中轴力、扭矩、剪力和弯矩等内力图的直接画法，建立内力的增减与外力方向之间的关系。
关键词:内力图；直接画法；内力；外力。
画内力图是材料力学学习过程中的一个重点，而不少学生在学习这部分内容时感到不好理解，总是不清楚题目要求的截面上的内力应该怎么求。
尤其是弯曲内力中的剪力与弯矩。
为了使同学更好地理解构件的内力、画好内力图,经过摸索与思考，我总结出了关于内力图的一种简单的画法。
本文中约定在各内力图中向上的方向为正向，画图时从左向右画。
希望老师和同学予以指正。
1.轴力、扭矩图轴力图完全可直接根据外力的大小与方向直接画出来。
以水平杆为例，如杆左端有约束，首先求出约束力(外力)，向左的外力会引起轴力增加，而向右的外力会引起轴力减小。
例如:图1中所示的杆的A、B、C、D点分别作用有大小为5P、8P、4P、P的力，方向如图1，试画出杆的轴力图。
解：用截面法求OA段内力N1设置截面如图1.X=OV1-P A+P B-P C-P D=0N1-5P+8P-4P-P=0N1=2P同理，求得AB、BC、CD段内力分别为：N2=-3P,N3=5P,N4=P。
轴力图如图1所示。
如果用直接法，只需要求出O截面的约束力R。
由平衡方程R=2P，方向向左，故O截面的轴力从0增加到2P。
OA段无外力，轴力均为2P。
A截面作用有外力PA=5P，方向向右，轴力在该截面将减小5P，即从2P降为-3P。
AB段无外力，轴力均为-3P。
B截面作用有外力8P，方向向左，该截面轴力将增加8P，即从-3P升到5P。
ＢＣ段轴力为５Ｐ，Ｃ截面有外力４Ｐ，方向向右，轴力在该截面下降４Ｐ。
ＣＤ段轴力为Ｐ，Ｄ截面有外力Ｐ，方向向右，该截面轴力下降Ｐ，最终为Ｏ轴力图终点与ｘ轴重合。
关于扭矩图中扭矩正负的规定，用直接法，将外力偶用右手螺旋法则进行矢量化，矢量沿轴线方向，一水平轴为例，向左的外力偶矩将引起扭矩的增加，向右的外力偶矩将引起扭矩下降，因此在直接法中，扭矩图的画法与轴力图的画法完全一样。
材料力学教材--内力与内力图
F1 1 kN F2 3 kN
例 最大剪力。
L 10 m d 1 m
求图示结构中梁的最大弯矩和
梁中弯矩图呈如图形状，故弯
RA RB
矩极大值出现在 C 截面或 D 截面。
设 C 截面到 A 端距离为 ， 可得 A 端支反力
L L d 1 RA F1 F2 37 4 L L 10 1 M C RA 37 4 2 故有 C 截面弯矩 10
C
YB 14 kN
m
F
0
X C 5 kN
X 0
X B 11 kN
例
画出结构的剪力和弯矩图。
F=5 2 kN/m XXF F
画剪力图
4m 4m
2 kN/m
E XE=8 YF=10 YF Y X XA =11 YEE=4CC=5 C XB B=11 B X =5
YA=4
4m 4m助 学 习 资 料
重 点 与 难 点
◆ 应透彻理解内力符号规定与外力的区别，尤其应熟练掌握轴力和
弯矩的正负规定。 ◆ 截面法是建立内力方程的最基本的方法，应熟练掌握。注意先将 未知内力设正，建立方程时，内力和外力在一起按理论力学的规则进 入方程。因此建立内力方程过程中事实上用了两套符号规定。 ◆ 但是在求某个指定截面的内力时，尽量用更简便的方法，不必通 过建立内力方程求解。 ◆ 计算梁横截面的内力时，应特别注意外力的方向与其引起的内力 符号的关系，以保证内力的正负号正确。 ◆ 正确地计算支座反力是绘制内力图的关键，应确保无误。利用平 衡方程求出支反力后，应进行校核。
例
画出结构的内力图。
A
P1 在 BC 段引起剪力和弯矩。
z
L
孙训方《材料力学》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第4~5章【圣才出品】
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库规频学习平台
图 4-2-3（a）（b）
（2）建立如图 4-2-3（b）所示坐标系
根据平衡方程求得固定端支反力：FA＝45kN，MA＝127.5kN·m。
剪力方程为： 弯矩方程为：
45
(0 x 2)
FS(x) 45 15x (2 x 3)
10 / 123
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库规频学习平台
0.6 0.2x (0 x 8) FS(x) 0.6 0.2x (8 x 10)
弯矩方程为：
M
(x)
0.6x 0.1x2
0.6x
0.1x2
4
(0 x 8) (8 x 10)
绘制内力图如图 4-2-3（d）所示。
7 / 123
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库规频学习平台
图 4-2-2 解：（1）建立如图 4-2-3（a）所示坐标系 剪力方程为： FS（x）＝－（1/2）·（q0/l）x·x＝－q0 x2/（2l）（0≤x≤l） 弯矩方程为： M（x）＝－（1/2）·（q0/l）x·x·（x/3）＝－q0x3/（6l）（0≤x＜l） 做内力图如图 4-2-3（a）所示。
一、弯曲的概念和梁的计算简图 1．弯曲的概念（见表 4-1-1）
表 4-1-1 弯曲的概念
2．梁的计算简图 根据支座对梁在荷载作用平面的约束情况，支座通常简化为三种基本形式：固定端、固 定铰支座、可动铰支座，主要内容见表 4-1-2。
表 4-1-2 梁的计算简图
1 / 123
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库规频学习平台
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库规频学习平台
材料力学图文 (4)
a FS2 FBy l F
0x2 b
(c)
M
2
FBy
x2
bF l
x2
0x2 a
(d)
第4章 弯曲内力
（3）画剪力、弯矩图。根据式(a)、(c)画剪力图（见图
4－11(d)）；根据式(b)、(d)画弯矩图（见图4－11
(e)）。由图可看出，横截面C处的弯矩最大，其值为
M
m
a
x
ab l
F
如果a>b，则CB段的剪力绝对值最大，其值为
3 4
qa,
FB
5 4
qa
第4章 弯曲内力
（2） 计算各指定截面的内力。 对于截面5－5，取该截
面右侧部分为研究对象， 其余各截面均取相应截面左侧部
分为研究对象。 根据静平衡方程可求得:
1－1截面：
FS1
FA
3 4
qa;
M1 FA0
（因为1－1截面从右端无限接近支座A，即Δ→0，以下同样理解。）
2－2截面：
4
如图 4-13c 所示。
第4章 弯曲内力
第4章 弯曲内力
4.1 引言 4.2 梁的计算简图 4.3 弯曲内力及内力图 4.4 剪力、 弯矩与载荷集度间的微分关系 4.5 平面刚架与曲杆的内力
第4章 弯曲内力
4.1 引 言
图 4－1
第4章 弯曲内力
图 4－2
第4章 弯曲内力
图 4－3
第4章 弯曲内力
一般来说， 当杆件承受垂直于轴线的外力， 或在其轴 线平面内作用有外力偶时， 杆的轴线将由直线变为曲线。 以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲。 以弯曲为主 要变形的杆件称为梁。
中载荷F的作用。试作梁的剪力图和弯矩图。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、由外力直接绘制轴力图
例 5.4 如图 5.18(a)所示为一绳子受力图，右端固定，试绘制该绳的轴力图。
解 根据外力直接绘制轴力图（见图5.18(b)），绘图分析过程及步骤如下。
从左向右绘制，始终取右边部分为研究体。
在截面A 有集中力F 1，使研究体拉伸变形，
故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 1大小，此时 F N =（0+500）N =500 N ；在AB 段没有外力，故轴力不变；在截面B 有集中力F 2，使研究体受拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 2大小,此时F N =（500+420）N =920 N ；在BC 段没有外力，故轴力不变；在截面C 有集中力F 3，使研究体受压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 3大小，此时F N =(920-280)N =640 N ；在CD 段没有外力，故轴力不变；在截面D 有集中力F 4，使研究体受压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 4大小，此时 F N =(640-800)N =-160 N ；在DE 段没有外力，故轴力不变；在截面E 有集中力，由于轴力曲
（b ）
(a)
线与轴线围成封闭图形，故轴力突变为0。
例5.5有一根阶梯轴受力如图5.19(a)所示，试绘制阶梯轴的轴力图。
图5.19
解从右向左绘制，始终取左变部分为研究体。
根据外力直接绘制轴力图（见图5.19(b)），绘图分析过程及步骤如下：
在截面A有集中力F1，使研究体压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F1大小,此时F N=（0-10）kN=-10 kN；在AB段有均匀分布载荷，使研究体受拉伸变形，故轴力以斜直线规律向正方向渐变，轴力渐变大小为均匀分布载荷大小，此时F N=（-10+10×2）kN=10 kN；在截面B没有力，故此截面轴力没有变化；在BC段没有外力，故轴力不变；在截面C有集中力F2，使研究体受拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F2大小，此时F N=（10+10）kN=20 kN；在CD段没有外力，故轴力不变；在截面D有集中力，由于轴力曲线与轴线围成封闭图形，故轴力突变为0.
二、由外力直接绘制扭矩图
外力扭矩图
无外力
不变
集中力F P突变。
方向：右手螺旋法则，四指指向外力偶方向，拇指离开为正；
大小：集中力偶大小F P
均布力偶在分布力的起始和终止截面，扭矩没有突变。
以斜直线渐变。
方向：右手螺旋法则，四指指向外力偶方向，拇指离开为正；
大小：M q
制其力图。
图5.25
解从右向左绘制，始终取左部分为研究体。
根据外力偶直接绘制扭矩图，绘制分析过程及步骤如下：
在截面A有集中力偶M1，变形方向由右手螺旋法则判断，拇指背离截面，故扭矩在此截面向正方向发生突变，扭矩突变大小为集中力偶M1大小，此时m
kN
1
)1
0(•
=
+
=
x
M；在AB段无外载荷，故扭矩不变；在截面B有集中力偶M2，变形方向由右手螺旋法则判断，拇指指向截面，故扭矩在此截面向负方向发生突变，扭矩突变大小为集中力偶M2大小此时M x=1-2=-1m
kN•；在BC段无外载荷，故扭矩不变；在截面C有集中力偶M3，变形方向由右手螺旋法则判断，拇指背离截面，故扭矩在此截面向正方向发生突变，扭矩突变大小为集中力偶M3大小m
kN
2
)3
1
(•
=
+
-
=
x
M；在CD段有无外载荷，故扭矩不变；在截面D有集中力，由于扭矩曲线与轴线围成封闭图形，故扭矩突变为零。
扭矩图如图5.25（b）所示。
M q
三、由外力直接绘制剪力图和弯矩图
剪力、弯矩与分布载荷间的关系
例5.10如图5.28(a)所示，简支梁AB，在C点承受集中载荷F=6 kN作用,跨度l=3 m，a，试绘制梁的力图。
2
m
解 （1）求支座反力。
取整段梁为研究对象，受力分析如图5.28(b)，由平衡条件得
0)(A =∑F M ⇒0B =⋅-⋅a F l F
解得
kN 4B =F
0=∑y F ⇒0B A =-+F F F
解得
kN 2A =F
（2）由外力直接绘制力图。
从A 截面开始，有一向上的集中力F A ，故在此截面剪力向上突变，突变大小等于F A ,弯矩没有变化；AC 段没有外力，故剪力在该段没有变化，由于剪力大于零，故在该段弯矩以斜直线规律向正向变化，从截面A 到截面C 弯矩变化大小为AC 段剪力与x 轴围成的面积即
m kN 4A •=•a F ；在截面C 有一向下的集中载荷F ，故在此截面剪力向下突变F ，弯矩
没有变化；在CB 段没有外力，故剪力在该段没有变化，由剪力小于零，则该段弯矩以斜直
线规律向负向变化，从截面C 到截面B 弯矩变化大小为CB 段剪力与x 轴围成的面积即
m kN 4)(B •=-•a l F 变为0。
例5.11 如图5.29(a)所示外伸梁，试计算其力并画出力图。
图5.29
解 （1）先求支座反力。
取整段梁研究，其受力如图5.29(a)，由平衡条件得
∑=-⋅+⋅⇒=020)(2
A B AB q AB F BC F F M
∑=⋅--+⇒=00B A y
AB q F F F F
解得
kN 35,kN 15B A ==F F
（2）由外力直接绘制力图。
从截面A 开始，有一向上的集中力F A ，故在此截面剪力向上突变，突变大小等于F A ,弯
矩没有变化；AB 段有向下的均布力系，故剪力在该段以斜直线规律向下渐渐变化，从截面A 到截面B 剪力值变化q AB ⋅，弯矩以开口向上的抛物线规律渐渐变化，在剪力为零的截面D
弯矩为极值，从截面A 到截面D 变化值为小三角形面积
m kN 625.52
251515
215•=+⨯
⨯，从截面D 到截面B 变化大三角形面积
m kN 625.152
251525
225•=+⨯
⨯；在截面B 有一向上的集中力F B ，故在该截面剪力向上突变，突变大小等于F B 的大小，弯矩没有变化；BC 段没有外力，故剪力在该段没有变化，由于剪力大于零，故该段弯矩以斜直线规律向正向变化，从截面C 到截面B 弯矩变化大小为BC 段剪力与x 轴围成的面积。
所绘力图如图5.29(b)、(c)所示。
（3）检查图形是否封闭。
例5.12 如图5.30(a)所示外伸梁，集中力F =10 kN ，均布载荷集度q =10 kN /m ，试利用剪力、弯矩与载荷集度的微分关系绘制出梁的剪力图、弯矩图。
图5.30
解：（1）求A 处约束力。
取整体研究，受力如图5.30(a)，建立平衡方程。
0)(A
=∑F M
⇒05.2D =⨯⋅-⋅-⋅BD q AC F AD F
解得
kN 5.17D =F
∑=+⋅--⇒=010D A y
F q F F F
解得
kN 5.2A =F
（2）由外力直接绘制力图。
从截面A 开始，有一向上的集中力F A ，故在此截面剪力向上突变，突变大小等于F A ,弯矩没有变化；AC 段没有外力，故剪力在该段没有变化，由于剪力大于零，则该段弯矩以斜直线规律向正向变化，从截面C 到截面B 弯矩变化大小为AC 段剪力与x 轴围成的面积；截面C 有一向下的集中力F ，故在此截面剪力向下突变，突变大小等于F 的大小,弯矩没有变化；CD 段没有外力，故剪力在该段没有变化，由于剪力小于零，则该段弯矩以斜直线规律向负向变化，从截面C 到截面D 弯矩变化大小为CD 段剪力与x 轴围成的面积; 截面D 有一向上的集中力F D ，故在此截面剪力向上突变F D ,弯矩没有变化；DB 段有向下的均布力系，故剪力在该段以斜直线规律向下渐渐变化，从截面D 到截面B 剪力值变化DB q ⋅，弯矩以开口向上的抛物线规律渐渐变化，在剪力为零的截面D 弯矩为极值，从截面D 到截面B 变化大小为小三角形面积。
（3）检查图形是否封闭。