高中数学竞赛试题汇编七《直线与圆》讲义

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《直线和圆的方程-大单元教学设计》示范公开课教学课件【高中数学人教】

学科核心素养
1.能用解方程组的方法判断两条直线的位置关系（相交、平行和重合），并能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；2. 探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；3. 通过建立二元一次方程组的解的情况、两条直线的交点个数与相应两条直线的位置关系的联系，体会数形结合思想及坐标法思想.；4. 通过两点间的距离公式、点到直线的距离公式，两条平行直线的距离这个内容探索，体会研究几何度量“距离”的研究方法，进一步体会“坐标法”的思想，体会通过代数方法研究几何问题的一般思路. 在两点间距离公式、点到直线的距离公式、两条平行线之间的距离的公式的探究和推导中，蕴涵着丰富的转化与化归、数形结合、函数与方程等重要的数学思想，发展学生的数学运算、逻辑推理等核心素养.
学科核心素养
1. 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程和圆的一般方程；2. 通过对圆的标准方程和圆的一般方程的探索，渗透坐标法，体会类比的数学思想，化归与转化的思想，发展学生的数学推理、数学运算、几何直观核心素养.
圆的方程大单元设计专题概览
再见
直线与圆、圆与圆的位置关系大单元设计专题概览
通过抽象概括，认识直线，建立他们的方程
本单元中，无论是直线的倾斜角和斜率的确定，还是直线方程的建立，本质上都是将确定直线的几何要素代数化的过程，体现了坐标法的思想。本单元的学习，还蕴含着数形结合、特殊与一般、分类与整合、化归与转化等数学思想方法，利于发展学生直观想象、逻辑推理的数学核心素养
学科核心素养
主题
单元主题
本单元教学目标
整体设计
几何与代数
直线的交点坐标与距离公式
四基四能
能用解方程组的方法求两直线的交点；探索并掌握平面上两点间的距离的距离公式，点到直线的距离公式。

高中数学竞赛_直线与圆的方程【讲义】

第十章直线与圆的方程一、基础知识1．解析几何的研究对象是曲线与方程。

解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系，即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射，则方程叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。

如x 2+y 2=1是以原点为圆心的单位圆的方程。

2．求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合；(3)用坐标表示条件，列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上，且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。

3．直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x 轴正方向所成的小于1800的正角，叫做它的倾斜角。

规定平行于x 轴的直线的倾斜角为00，倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。

根据直线上一点及斜率可求直线方程。

4．直线方程的几种形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）点斜式：y-y 0=k(x-x 0)；（3）斜截式：y=kx+b ；（4）截距式：1=+b ya x ；（5）两点式：121121y y y y x x x x --=--；（6）法线式方程：xcos θ+ysin θ=p（其中θ为法线倾斜角，|p|为原点到直线的距离）；（7）参数式：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x （其中θ为该直线倾斜角），t 的几何意义是定点P 0（x 0, y 0）到动点P （x, y ）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号，若P 0P 方向向上则取正，否则取负）。

5．到角与夹角：若直线l 1, l 2的斜率分别为k 1, k 2，将l 1绕它们的交点逆时针旋转到与l 2重合所转过的最小正角叫l 1到l 2的角；l 1与l 2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。

若记到角为θ，夹角为α，则tan θ=21121k k k k +-,tan α=21121k k k k +-.6．平行与垂直：若直线l 1与l 2的斜率分别为k 1, k 2。

人教A版高中数学选择性必修第一册《直线与圆的位置关系》名师课件

= ,拱高 = ,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑,
求支柱的高度(精确到0.01m).
解析
建立如图所示的直角坐标系,则P (, ), (, ) 都在圆上.
设圆的方程为: + −

=
+ − =
= −.
得൝
弦得中点为,则 ⊥ (为坐标原点),
所以 =
−+
+ −
所以 = =

= ,

−
=

−

= .
典例讲授
例3、已知过点(−, −)的直线被圆 + + − = 截得
的弦长为 ,求直线的方程.
− + − =
△< 0
n=0
直线与圆相离
△= 0
n=1
直线与圆相切
△> 0
n=2
直线与圆相交
探究新知
直线与圆的位置关系的判定方法
(2)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：
d
aA bB C
A B
2
2
d>r
直线与圆相离
d=r
d<r
直线与圆相切
直线与圆相交
几何法
典例讲授
3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．
学科核心素养：
通过研究直线与圆的位置关系,提升逻辑推理、数学运算、直观想象的
数学素养.
探究新知
“大漠孤烟直,长河落日圆” 是唐朝诗人王维的诗句,它描述了黄昏日
落时分塞外特有的景象.如果我们把太阳看成一个圆,地平线看成一
条直线,那你能想象一下,直线和圆的位置关系有几种吗？

2024年高中数学新高二暑期衔接讲义第12讲直线与圆、圆与圆的位置关系(十大题型)(学生版)

第12讲直线与圆、圆与圆的位置关系【题型归纳目录】题型一：不含参数(含参数)的直线与圆的位置关系题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标题型三：切线与切线长问题题型四：弦长问题题型五：判断圆与圆的位置关系题型六：由圆的位置关系确定参数题型七：公共弦与切点弦问题题型八：公切线问题题型九：圆中范围与最值问题题型十：圆系问题【知识点梳理】知识点一：直线与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点；(2)直线与圆相切，只有一个公共点；(3)直线与圆相离，没有公共点.2、直线与圆的位置关系的判定：(1)代数法：判断直线/与圆。

的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线/与圆。

有公共点.有两组实数解时，直线/与圆C相交；有一组实数解时，直线/与圆C相切；无实数解时，直线/与圆c相离.(2)几何法：由圆C的圆心到直线I的距离日与圆的半径尸的关系判断：当d<r时，直线/与圆。

相交；当d=r时，直线/与圆。

相切；当d>r时，直线/与圆。

相离.知识点诠释：(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.知识点二：圆的切线方程的求法1、点M在圆上，如图.M法一：利用切线的斜率％与圆心和该点连线的斜率幻肱的乘积等于-1,即k OM•吟=—L.法二：圆心。

到直线/的距离等于半径尸.2、点(Jr。

,％)在圆外，则设切线方程：y-y0=^(x-x0),变成一般式：kx-y+y Q-kx Q=O,因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出奴知识点诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上.常见圆的切线方程：(1)过圆f+,2二广上一点尸(柘为)的切线方程是x0x+y0y=r2；(2)过圆(x-。

【高中数学复习讲义】第8讲直线与圆-原卷版

直线与圆知识与方法1.内容概要直线与圆是初中平面几何的重要研究对象,也是高中解析几何起始阶段的重要内容.通过引入坐标系,建立直线与圆的方程,进而用代数的方法研究几何位置关系,并依据直线方程、圆的方程讨论其性质,体现形与数的结合.其内容结构如下:2.圆的切线方程,切点弦方程已知圆222:()()(0)C x a y b r r -+-=>及点()00,P x y , (1)若点()00,P x y 在圆C 上,则过点()00,P x y 的切线方程:()()()()200x a x a y b y b r --+--=.(2)若点()00,P x y 在圆C 外,则过点()00,P x y 作圆的两条切线,切点分别为,A B ,则切点弦AB 的方程:()()()()200x a x a y b y b r --+--=.3.阿波罗尼斯圆在平面上给定两点,A B ,设点P 在同一平面上且满足PA PBλ=,当0λ>且1λ≠时,点P 的轨迹是圆,称为阿波罗尼斯圆(1λ=时点P 的轨迹是线段AB 的中垂线),其中阿波罗尼斯圆的直径为221a λλ-.典型例题【例1】直线()2110x a y +++=的倾斜角的取值范围是（）A.0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭D.3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【例2】设m ∈R ,过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y (点P 与点,A B 不重合),则PAB 面积的最大值是（）A. B.5 C.52【例3】(多选题)设圆222220x y x y +---=的圆心为点C ,直线l 过点()0,3且与圆C 交于,A B 两点,且AB =则直线l 的方程是（） A.4390x y -+= B.34120x y +-=C.0x =D.4390x y +-=【例4】直线()20mx y m +-=∈R 与圆22:210C x y y +--=相交于,A B 两点，弦长AB 的最小值为________;若ABC 则m 的值为________.【例5】已知圆22:1O x y +=上存在点P ，直线:40l kx y -+=上存在点Q ，使得6PQO π∠=,则实数k 的取值范围是（）A.⎡⎣B.(),∞∞-⋃+C.⎡⎣D.(),∞∞-⋃+【例6】在平面直角坐标系xOy 中,已知圆224x y +=上有且只有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1,则实数c 的取值范围是________.【例7】过点()00,P x y 分别作圆221:1C x y +=与圆221:211C x y -+-=（）（）的切线，切点为,A B .若PA PB =,则2200x y +的最小值为（）B.54D.5【例8】已知P 是函数()2f x x =图像上的一点，过点P 作圆22:430M x y y +--=的两条切线,切点分别为,A B ,则PA PB ⋅的最小值为（）A.328- B.3C.0D.32【例9】已知两点()()2,0,2,0A B --以及圆222:(4)(3)(0)C x y r r ++-=>.若圆C 上存在点P ,满足0PA PB ⋅=,则实数r 的取值范围为（） A.[]3,6B.[]3,7C.[]4,7D.[]4,6【例10】在平面直角坐标系xOy 中,已知两定点()()2,2,0,2A B -,动点P 满足PA PB=(1)求动点P 的轨迹C 的方程;(2)轨迹C 上有两点,E F ,它们关于直线:40l kx y +-=对称,且满足4OE OF ⋅=,求OEF 的面积.强化训练1.直线2cos 30,63x y ππαα⎛⎫⎡⎤--=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的倾斜角的变化范围是（） A.,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2.已知直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ,线段AB 是圆22:(1)(1)4C x y +++=上一条动弦,且AB =则PA PB +的最大值为（）A. B. C. D.23.已知过点()3,0P 的直线与圆22:(2)(1)4C x y -+-=交于,A B 两点(点A 在x 轴上方).若3BP PA =,直线AB 的斜率为________.4.已知直线:0l ax by c ++=被圆22:16C x y +=截得的弦的中点为M .若320,a b c O +-=为坐标原点,则点M 的轨迹方程为________,OM 的最大值为________.5.在设点()01,P y ,若圆22:1O x y +=上存在点Q ,使得6OPQπ∠,则0y 的取值范围是________.6.若圆222(3)(5)x y r -++=上有且只有两个点到直线432x y -=的距离等于1,则半径r 的取值范围是（） A.(]4,6 B.[)4,6C.()4,6D.[]4,67.已知22:2220M x y x y +---=,直线:220,l x y P ++=为l 上的点,过点P 作M的切线,PA PB ,切点分别为,A B .当PM AB ⋅最小时,直线AB 的方程为（） A.210x y --= B.210x y +-= C.210x y -+= D.210x y ++=8.过点32,4m A m +⎛⎫ ⎪⎝⎭向圆22:4690C x y x y +-++=作切线,切点为B .若AB λ>,则实数λ的取值范围为（）A.()1∞-B.(∞-C.()2∞-D.(∞-9.已知点((,A B ,作直线l ,使得点,A B 到直线l 的距离均为d ,且这样的直线l 恰有4条,则d 的取值范围是（）A.[)1,∞+B.()0,1C.(]0,1D.()0,210.已知圆22:230C x y x +--=,若等边PAB 的一边AB 为圆C 的一条弦,则线段PC 长度的最大值为（）B. C.4D.。

金典艺术生高考数学复习资料--七直线和圆教师版

直线与圆1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。

当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围[)π,0。

如（1）直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是5[0][)66，，πππ ；（2）过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[ππα∈值的范围是_42≥-≤m m 或_2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；（3）直线的方向向量(1,)a k =，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线： AB BC k k =。

如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的既不充分也不必要条件；（2）实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则xy 的最大值、最小值分别为_2,13-__3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。

（2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。

（3）两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为121121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线。

（4）截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+by a x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。

数学竞赛辅导讲义——直线与圆的方程

数学竞赛辅导讲义——直线与圆的方程一、例题例1 求函数()[]()3cos 02sin f θθθπθ+=∈-，的值域.例2 当实数x ，y 满足()2211x y +-=时，不等式0x y m ++≥恒成立，求实数m的取值范围.例3 过直线:5l x =上一动点M 作圆22:16C x y +=的两条切线，切点分别为1T ，2T ，试求12MTT ∆的垂心H 的轨迹方程.二、练习题1. 若直线1:440l x y +-=，2:0l mx y +=与3:2340l x my --=能围成一个三角形，则实数m 的取值范围是.2. 方程||1x -=.3. 以两圆221:410C x y x y ++++=与222:2210C x y x y ++++=的公共弦为直径的圆的方程为.4. 已知当a ∈R 且1a ≠时，圆2222(2)20x y ax a y +-+-+=总与直线l 相切，则直线l 的方程是.5. 在平面直角坐标系中，横纵坐标都是有理数的点称为有理点，则过点且其上至少存在两个有理点的直线的条数为.6. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，则平面上的整点到直线54:35l y x =+的距离的最小值是.7. 已知矩形ABCD 的顶点C 的坐标为(4,4)，顶点A 在圆22:9(,0)O x y x y +=≥上移动，且AB ，AD 两边始终分别平行于x 轴，y 轴，求矩形ABCD 面积的最小值，以及取得最小值时点A 的坐标.8. 已知直线:l y x b =+与圆22:(1)1C x y ++=相交于A ，B 两点，点P 在l 上，且||||2PA PB ⋅=.当b 变化时，求点P 的轨迹方程.9.（2012年全国联赛）在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的边长为4，且||||6OB OD ==.（1）求证：||||OA OC ⋅为定值；（2）当点A 在半圆22:(2)4(24)M x y x -+=≤≤ 上运动时，求点C 的轨迹.10. 直线l 与O 相离，点P 为l 上任意一点，过点P 引O 的两条切线，切点分别为A ，B ，求证：直线AB 过定点.数学竞赛辅导讲义——直线与圆的方程参考答案1.1214.63m m ⎧⎫≠--⎨⎬⎩⎭，，，2.两个半圆.3.2261210.55x y x y ++++=4.0.x y -=5.答案：1.分析：显然，若存在这样的直线，则该直线必有斜率.下面用反证法．．．证明斜率必为零.假设斜率不为零，设点11()A p q ，与22()B p q ，为该直线上的两个不同的有理点，则有2121q qp p -=-，注意到等号的左边是个无理数，而右边是有理数，矛盾.因此假设错误，即满足条件的直线的斜率必为零. 注：此题属竞赛级别. 6.分析：平面上的整点()a b ，到直线54:35l y x =+的距离 lP(,)d a b==因5(53)a b-为5的倍数，故当且仅当5(53)10a b-=-，即532a b-=-，亦即32a k=+，54b k=+（k∈Z）（根据数论中的孙子定理，当然若想简单一点，取1a b==-便可）时，(,)d a b取最小值.注：此题属竞赛级别.7.当且仅当点A的坐标为4422⎛+⎝⎭，或4422⎛⎝⎭，时，矩形ABCD面积最小且最小值为72.8.答案：点P的轨迹方程为22(1)3(11)x y y x++=<-<.分析：易见点P在圆C的外部，即点P在点A、B的同侧.否则，若点P在线段AB 上，则22||||22||||122PA PB rPA PB+⎛⎫⎛⎫=⋅≤≤=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（这里r为圆C的半径），矛盾.利用切割线定理，设直线PT与圆C相切于点T，则有2||||||2PT PA PB=⋅=，于是222||||213PC PT r=+=+=，这表明点P在以(0,1)C-但不能说这个圆就是点P的轨迹，因为点P还有其他约束条件，即点P在直线l上，而l是要与圆C相交的.9.（1）（从几何关系入手）设点E为菱形ABCD的对角线的交点，则22222 2222222||||(||||)(||||)||||(||||)|| =||(||||)||||6420.OA OC OE AE OE EC OE AE OB BE AE OB BE AE OB AB⋅=-⋅+=-=---+=-=-=注：此题的条件可以简化一下.（2）（利用圆的参数方程）因点A在半圆22:(2)4(24)M x y x-+=≤≤上运动，故可设点A的坐标为(22cos2sin)([])22ππααα+∈-，，，再利用（1）的结论，可得点C的参数方程为55tan2xyα=⎧⎪⎨=⎪⎩，（α为参数，且[]22ππα∈-，），l13.x-1PTBAPCO即点C 的轨迹是一条线段，端点为(55)-，，(55)，.10. 如图建立直角坐标系，设圆O 的半径为r ，直线l 的方程为()x a a r =>，l 上的动点()P a t ，，切点1122()()A x y B x y ，，，，则切线PA ，PB 的方程分别为211x x y y r +=，222x x y y r +=，因点()P a t ，在切线PA ，PB 上，故211x a y t r +=，222x a y t r +=，上述两个方程表明A B ，都在直线2ax ty r +=上，这恰是直线AB 的方程.据此方程可知，直线AB 恒过定点2(0)r a，. 换个角度，由于OA AP ⊥，OB BP ⊥，故点A ，B 在以OP 为直径的圆M 上，从而直线AB 成为圆O 与圆M 的公共弦所在的直线了.注：直线AB （也称切点弦）的方程与圆的切线方程非常类似，能记住最好不过了.第一种方法妙不可言，将来可以移植到椭圆、抛物线上.15.,t )。

全国高中数学联赛讲义第十讲直线和圆线性规划

第十讲直线和圆线性规划一、直线中的元素：斜率及范围、过定点、对称专题、两条直线的位置关系1、倾斜角与斜率（1）直线的斜率1k ≥，求倾斜角的取值范围；（2）直线的斜率1k ≤，求倾斜角的取值范围；（3）(1,4)(3,1)(1,1)A B C --、、，过C 点的直线l 与线段AB 相交，求l 的取值范围。

（4）若直线:230l kx y k ---=与直线240x y -+=的交点位于第二象限，则直线l 斜率的取值范围是 2、（19年吉林预赛）3、（07年联赛真题）4、已知直线1()l y kx k k R =+-∈：，若存在实数k ，使直线l 与曲线C 交于两点A B 、，且=AB k ，则称曲线C 具有性质P ，给出下列三条曲线方程：① 1y x =-- ② 222210x y x y +--+= ③ 2y x = 其中，具有性质P 的曲线序号是二、圆的方程参数方程半圆方程直线和圆的位置关系1、已知圆()()22:cos sin 1M x y θθ++-=，直线:l y kx =下面四个命题：（1）对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切；（2）对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；（3）对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 和圆M 相切; （4）对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 和圆M 相切. 其中真命题的序号是______________2、设有一组圆()224*:(1)(3)2k C x k y k k k N -++-=∈ ，下列四个命题： ① 存在一条定直线与所有圆均相切 ② 存在一条定直线与所有圆均相交 ③ 存在一条定直线与所有圆均不相交 ④ 所有圆均不经过原点其中真命题的序号是______________3、设直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ+-=≤≤，对于下列7个命题： ① 存在一个圆与所有直线相交 ② 存在一个圆与所有直线不相交 ③ 存在一个圆与所有直线相切④ M 中的直线所能围成的正三角形面积相等 ⑤ M 中的所有直线均过一个定点 ⑥ 存在定点P 不在M 中的任一条直线上⑦ 对任意正整数(3)n n ≥，存在正n 边形，所有边均在M 中的直线上其中真命题的序号是______________ 4、（04年联赛真题）已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ≠∅，则b的取值范围是 A ．[－62，62] B ．(－62，62) C ．(－233，233] D ．[－233，233] 【答案】A【解析】点(0，b )在椭圆内或椭圆上，⇒2b 2≤3，⇒b ∈[－62，62]．选A ．5、若直线(2)4y k x =-+与曲线214y x 有两个交点，则实数k 的取值范围是6、（19年江苏预赛）7、（19年广西预赛）8、（04年联赛真题）在平面直角坐标系xOy 中，给定两点M (－1，2)和N (1，4)，点P 在x 轴上移动，当∠MPN 取最大值时，点P 的横坐标为【答案】1【解析】当∠MPN 最大时，⊙MNP 与x 轴相切于点P (否则⊙MNP 与x轴交于PQ ，则线段PQ 上的点P '使∠MP 'N 更大)．于是，延长NM 交x 轴于K (－3，0)，有KM ·KN=KP 2，⇒KP=4．P (1，0)，(－7，0)，但(1，0)处⊙MNP 的半径小，从而点P 的横坐标=1．9、（19年江苏预赛）10、（09年联赛真题）已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为．【答案】[]36，【解析】设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒，由直线AC 与圆M 相交，得d 36a ≤≤． 11、（19年山东预赛）实数)0(>k k ，在平面直角坐标系内已知抛物线2kx y =与圆222)()r b y a x =-+-（至少有3个公共点，其中一个是原点，另外两个在直线b kx y +=上，那么实数b 的最小值是答案：212、（19年联赛真题）练习：1、已知P 是直线3480x y ++=上动点，PA PB 、是圆22(1)(1)1x y -+-=的两条切线，A B 、是切点，C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为2、设点0(,1)M x ，若在221O x y +=：上存在点N ，使得=45OMN ∠︒，则0x 的取值范围是 3、已知222:240C x y l x y +=+-=：，，点00(,)P x y 在直线l 上，若C 上存在点Q 是，使得4OPQ π∠=，则0x 的取值范围是4、设直线22:340,:(2)2l x y a C x y ++=-+=，若在直线l 上存在一点M ，使得过M 的圆C 的切线()MP MQ P Q 、、为切点满足=90PMQ ∠︒，则a 的取值范围是三、向量与圆1、（20年四川预赛）答案：122、点A B 、是221O x y +=：上的两个动点，且AB P 是22(3)(4)1C x y -+-=：上的动点，PA PB +的取值范围是3、已知点P 是221O x y +=：上的一个动点，A B 、是22(3)(4)1C x y -+-=：上的两个动点，且=2AB ，则PA PB ⋅的取值范围是4、平面上两个点(1,0)(1,0)A B -、,P 是22-3-44C x y +=：（）（）上的一个动点，则22+PA PB 的最小值为四、隐性圆1、过定点P 的直线10l ax y +-=：与过定点Q 的直线m 30x ay -+=：相交于点M ，则22+MP MQ 的值为2、设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=与过定点B 的直线30mx y m --+=相交于点(,)P x y ，则+PA PB 的取值范围是（）A BC D ⎡⎣、3、已知点-P （1,0），过点Q （1,0）作直线2()20(,0)ax a b y b a b +++=不同时为的垂线，垂足为H ，则PH 的最小值为（）A 、B 、C 、 1D 、4、若不全为0的实数a b c 、、成等差数列，点(1,2)A 在动直线0l ax by c ++=：上的射影为P ，点Q 在直线1-4120l x y +=：3上，则线段PQ 长度的最小值为5、若不全为0的实数a b c 、、成等差数列，点(1,0)P -在动直线0l ax by c ++=：上的射影为M ，点(0,3)N ，则MN 的最小值为五、线性规划1、（19年吉林预赛）2、定义在R 上的)(x f 满足)2(f = 1，)(x f '为)(x f 的导函数.若)(x f y '=图象如图所示,若正数b a ,满足1)2(>+b a f ，则21--a b 的取值范围是3、已知M 为圆22:414450C x y x y +--+=上任意一点，且点(2,3)Q -、(,)M m n 求：①32n m -+的最大值和最小值； ②22m n +的最大值和最小值。

高中数学《直线与圆的位置关系》说课

《直线与圆的位置关系》说课稿一、说教材《直线与圆的位置关系》是高中人教版必修2第四章第二节的内容，直线和圆的位置关系是本章的重点内容之一。

从知识体系上看，它既是点与圆的位置关系的延续与提高，又是学习切线的判定定理、圆与圆的位置关系的基础。

从数学思想方法层面上看它运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程以及相关知识间的内在联系，渗透了数形结合、分类讨论、类比、化归等数学思想方法，有助于提高学生的思维品质。

二、说学情学生初中已经接触过直线与圆相交、相切、相离的定义和判定;且在上节的学习过程中掌握了点的坐标、直线的方程、圆的方程以及点到直线的距离公式;掌握利用方程组的方法来求直线的交点;具有用坐标法研究点与圆的位置关系的基础;具有一定的数形结合解题思想的基础。

三、说教学目标(一)知识与技能目标:能够准确用图形表示出直线与圆的三种位置关系;可以利用联立方程的方法和求点到直线的距离的方法简单判断出直线与圆的关系。

(二)过程与方法目标:经历操作、观察、探索、总结直线与圆的位置关系的判断方法，从而锻炼观察、比较、概括的逻辑思维能力。

(三)情感态度价值观目标:激发求知欲和学习兴趣，锻炼积极探索、发现新知识、总结规律的能力，解题时养成归纳总结的良好习惯。

四、说教学重难点(一)重点:用解析法研究直线与圆的位置关系。

(二)难点:体会用解析法解决问题的数学思想。

五、说教学方法根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，以几何画板为平台，通过图形的动态演示，变抽象为直观，为学生的数学探究与数学思维提供支持.在教学中采用小组合作学习的方式，这样可以为不同认知基础的学生提供学习机会，同时有利于发挥各层次学生的作用，教师始终坚持启发式教学原则，设计一系列问题串，以引导学生的数学思维活动。

六、说教学过程(一)导入新课教师借助多媒体创设泰坦尼克号的情景，并从中抽象出数学模型：已知冰山的分布是一个半径为r的圆形区域，圆心位于轮船正西的l处，问，轮船如何航行能够避免撞到冰山呢?如何行驶便又会撞到冰山呢?教师引导学生回顾初中已经学习的直线与圆的位置关系，将所想到的航行路线转化成数学简图，即相交、相切、相离。

高中数学《直线和圆的位置关系》优秀课件

的方程为:
x2 y2 9
轮船航线所在直线 l 的方程为：
4x 7 y 28 0
y 港口
问题归结为圆与直线l有无公共点,
O
也即是说要找直线与圆的位置关系
问题：能否用的方法去判断它们之间的位置关系？
轮x 船
问题：如何用高中所学在直线和圆的方程的情况下去判断它们之间的位置关系？也就是说要用直线和圆的方程
解：代数法
y
联立圆和直线的方程得
y x6
①
x2
y2
2y
4
0
②
把①代入②得：
C
x2 5x 10 0 ③
(5)2 41 (10) 15 0
O x
所以方程③没有实数根所以直线l与圆没有交点，它们相离。
位置关系
相交
相切
相离
知识小结
图形几何特征方程特征
有两个公共点
有两组实数解
的范围是半径长为30km的圆形区域．港口位于台风
中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么
它是否会受到台风的影响？
y
为解决这个问题，我们以台
港口
风中心为原点 O，东西方向为
x 轴，建立如下图的直角坐标
系，其中取 10km 为单位长度．
O
轮x
船
实例引入
这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的圆
求出公共点个数，或者求出圆心到直线的距离？
y 港口
O
轮x
船
例1 如图，已知直线l： 3x y 6 和0 圆心为C的圆 x2 y2 2y 4 0 ，判断直线 l 与圆的位置关系；如
果相交，求它们交点的坐标．
分析：判断由它们的方程组成的方程组有几组实数解；

《直线与圆的位置关系(1)》示范公开课教学课件【高中数学北师大】

分析：
分析： 1. 几何法：圆心到直线的距离与半径的大小关系.设圆心到直线的距离为，则圆心到直线的距离(不全为0).当时，直线与圆相交，当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相离. 2. 代数法：方程组解的情况. 由方程组，求解得：（1），有两组实数解，直线与圆相交；（2），有一组实数解，直线与圆相切；（3）无实数解，直线与圆相离.
解法：圆的方程可转化为.可以看出，圆心的坐标为，半径长为.故点到直线的距离所以，直线与圆的相交，有两个公共点.由，解得，把代入方程，；把代入方程，.故直线与圆有两个交点，它们的坐标分别是
解：由圆的方程，可知圆心，半径为又因直线与圆有公共点，所以可知圆心到直线的距离为则，因此a的取值范围为.
解：（1）因为直线平分圆，所以圆心在直线上，即有.（2）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，所以=2，故，即时，直线l与圆相切.（3）直线与圆有两公共点，，即<2，所以时有两个公共点.
解析：方法将直线代入圆的方程，化简整理得.故当时，即时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当时，即时，直线与圆相切，即直线与圆有一个公共点；当时，即时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.
解析：方法已知圆的方程可化为，即圆心为半径为.圆心到直线的距离为.当时，即时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；或当时，即时，直线与圆相切，即直线与圆有一个公共点；当时，即时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.
2.直线与圆的位置关系及判定：
位置关系
公共点个数
几何法判定
代数法判定
相交
2
பைடு நூலகம்相切
位置关系
公共点个数
几何法判定
代数法判定
相交
2
相切

(新高考)高考数学冲刺专项课件：专题七解析几何第一讲直线与圆

养成良好的答题习惯，是决定高考数学成败的决定性因素之一。做题前，要认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查，查漏补缺，纠正错误。总之，在最后的复习阶段，学生们不要加大练习量。在这个时候，学生要尽快找到适合自己的答题方式，最重要的是以平常心去面对考试。数学最后的复习要树立信心，考试的时候遇到难题要想“别人也难”，遇到容易的则要想“细心审题”。越到最后，考生越要回归基础，单词最好再梳理一遍，这样有利于提高阅读理解的效率。另附高考复习方法和考前30天冲刺复习方法。
3 4 a 8 3 4 ，得 5 a 7 .故 D 正确.
2 33
『规律总结』
求圆的方程有两类方法： (1) 几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的半径和圆心，得出圆的方程； (2) 代数法，求圆的方程必须具备三个独立条件，利用“待定系数法”求出圆心和半径．
(2)三种距离公式 ①两点间的距离：若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ x2－x1 2＋ y2－y1 2． ②点到直线的距离：点 P(x0，y0)到直线 Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝|Ax0＋By0＋C|．
A2＋B2 ③两平行线的距离：若直线 l1，l2 的方程分别为 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两平行线的距离 d＝ |C2－C1| ．
[跟踪训练]
2.已知过抛物线 C : y2 4x 的焦点 F 的直线 l
与抛物线交于 A x1, y1 ， B x2 , y2 两点，若 x1 x2 x1x2 y1 y2 0 ，

江苏省苏州市第五中学2020届高考数学专题讲练七直线与圆1(无答案)

高三数学专题讲座之七直线与圆本讲要点：1、直线与圆的方程（以圆方程为主）的探求；2、应用直线与圆、圆与圆的位置关系的判定和性质、结合代数运算解决下列一些问题：最值与范围问题；定点与定值问题等第一部分：小题热身1. 直线(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的斜率等于 .2．已知点()2,3A -，()3,2B --，存在斜率k 的直线l 过点()1,1P ，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是______________.3．在平面直角坐标系中，设直线l ：kx －y ＋2＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，OM →＝OA →＋OB →，若点M 在圆C 上，则实数k ＝________.4．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－(6－2m )x －4my ＋5m 2－6m ＝0，直线l 经过点(1，0)．若对任意的实数m ，定直线l 被圆C 截得的弦长为定值，则直线l 的方程为．5．设m ，n ∈R 若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是________．6．已知圆()()()22:10C x a y a a -+-=>与直线3y x =相交于两点,P Q ，且0CP CQ >u u u r u u u rg，则实数a 的取值范围是_________________________.7．已知点()()2,0,0,2A B -和圆22:0C x y kx ++=，实数k 是常数，,M N 是圆C 上两个不同的点，且关于直线10x y --=对称，P 是圆C 上的动点，则PAB ∆的面积的最大值是_____________________.8．如图，点C 为半圆的直径AB 延长线上一点，2AB BC ==，过动点P 作半圆的切线PQ ．若2PC PQ =，则PAC ∆的面积的最大值为．第二部分大题精讲问题一、直线与圆的方程的求解策略：（1）求直线方程的策略：合理选式、正确求解、简化运算；注意点：运用点斜式或斜截式求解时，务必要考虑斜率是否存在？真题回放：（2020）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：.设圆的半径为1，圆心在l 上. (1) 若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2) 若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.（2020/18）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1∶(x +3)2+(y −1)2=4和圆C 2∶(x −4)2+(y −5)2=4．（1）若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等．试求所有满足条件的点P 的坐标．1．已知直线l 过定点()6,4A ，它与直线4y x =相交于第一象限内的点Q , 与x 轴正半轴相交于点P 。

中考总复习数学竞赛辅导讲义及习题解答第20讲直线与圆

第二十讲直线与圆直线与圆的位置有相交、相切、相离三种情形，既可从直线与圆交点的个数判定，也可以从圆心到直线的距离与圆的半径的大小比较考察．讨论直线与圆的位置关系的重点是直线与圆相切，直线与圆相切涉及切线的性质和判定、切线长定理、弦切角的概念和性质、切割线定理等丰富的知识，这些丰富的知识对应着以下基本图形、基本结论：注：点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系的确定有共同的精确判定方法，即量化的方法(距离与半径的比较)，我们称“由数定形”，勾股定理的逆定理也具有这一特点．【例题求解】【例1】如图，AB 是半圆O 的直径，CB 切⊙O 于B ，CD 切⊙O 于D ，交BA 的延长线于E ，若EA=1，ED=2，则BC 的长为．思路点拨从C 点看，可用切线长定理，从E 点看，可用切割线定理，而连OD ，则OD ⊥EC ，又有相似三角形，先求出⊙O 的半径．注：连结圆心与切点是一条常用的辅助线，利用切线的性质可构造出直角三角形，在圆的证明与计算中有广泛的应用．【例2】如图，AB 、AC 与⊙O 相切于B 、C ，∠A=50°，点P 是圆上异于B 、C 的一个动点，则∠BPC 的度数是( )A ．65°B ．115°C ．60°和115°D ．130°和50°(山西省中考题) 思路点拨略【例3】如图，以等腰△ABC 的一腰AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，过D 作DE ⊥AC 于E ，可得结论：DE 是⊙O 的切线．问：(1)若点O 在AB 上向点B 移动，以O 为圆心，OB 为半径的圆的交BC 于D ，DE ⊥AC 的条件不变，那么上述结论是否还成立?请说明理由；(2)如果AB=AC=5cm ，sinA=53，那么圆心O 在AB 的什么位置时，⊙O 与AC 相切?(2001年黑龙江省中考题)思路点拨 (1)是结论探索题，(2)是条件探索题，从切线的判定方法和性质入手，分别画图，方能求解．【例4】如图，已知Rt △ABC 中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P 是AB 边上的动点(与点A 、B 不重合)，Q 是BC 边上的动点(与点B 、C 不重合)．(1)当PQ ∥AC ，且Q 为BC 的中点时，求线段PC 的长；(2)当PQ 与AC 不平行时，△CPQ 可能为直角三角形吗?若有可能，求出线段CQ 的长的取值范围；若不可能，请说明理由． (广州市中考题)思路点拨对于(2)，易发现只有点P 能作为直角顶点，建立一个研究的模型——以CQ 为直径的圆与线段AB 的交点就是符合要求的点P ，从直线与圆相切特殊位置入手，以此确定CQ 的取值范围．注：判定一直线为圆的切线是平面几何中一种常见问题，判定的基本方法有： (1)从直线与圆交点个数入手；(2)利用角证明，即证明半径和直线垂直；(3)运用线段证明，即证明圆心到直线的距离等于半径．一个圆的问题，从不同的条件出发，可有不同的添辅助线方式，进而可得不同的证法，对于分层次设问的问题，需整体考虑；【例5】如图，在正方形ABCD 中，AB=1，︵AC 是以点B 为圆心，AB 长为半径的圆的一段弧，点E 是边AD 上的任意一点（点E 与点A 、D 不重合），过E 作︵AC 所在圆的切线，交边DC 于点F ，G 为切点．（1）当∠DEF=45°时，求证点G 为线段EF 的中点；（2）设AE=x ，FC=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）将△DEF 沿直线EF 翻折后得△D 1EF ，如图，当EF=65时，讨论△AD 1D 与△ED 1F 是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由．思路点拨图中有多条⊙B 的切线，由切线长定理可得多对等长线段，这是解(1)、(2)问的基础，对于(3)，由(2)求出x 的值，确定E 点位置，这是解题的关键．注：本例将几何图形置于直角坐标系中，综合了圆的有关性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质等丰富的知识，并结合了待定系数法、数形互助等思想方法，具有较强的选拔功能．学力训练1．如图，AB 为⊙O 的直径，P 点在AB 延长线上，PM 切⊙O 于M 点，若OA=a ， FM=a 3，那么△PMB 的周长为．2．PA 、PB 切⊙O 于A 、B ，∠APB=78°，点C 是⊙O 上异于A 、B 的任意一点，则 ∠ACB= ．3．如图，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠F=46°，∠DCF=32°，则∠A 的度数是．4．如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O 交BC 于D ，过点D 作⊙O 的切线交AC 于E ，要使DE ⊥AC ，则△ABC 的边必须满足的条件是．5．1l 、2l 表示直线，给出下列四个论断：①1l ∥2l ；②1l 切⊙O 于点A ；③2l 切⊙O 于点B ；④AB 是⊙O 的直径．若以其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，可以构造出一些命题，在这些命题中，正确命题的个数为( ) 1 B ．2 C ．3 D ．46．如图，圆心O 在边长为2的正方形ABCD 的对角线BD 上，⊙O 过B 点且与AD 、DC 边均相切，则⊙O 的半径是( )A ．)12(2-B ．)12(2+C ．122-D ．122+7．直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD+BC<DC ，若腰DC 上有一点P ，使AP ⊥BP ，则这样的点( )A ．不存在B ．只有一个C ．只有两个D ．有无数个8．如图，圆内接△ABC 的外角∠ACH 的平分线与圆交于D 点，DP ⊥AC 于P ，DH ⊥BH于H ，下列结论：①CH=CP ；②A D=DB；③AP ＝BH ；④DH 为圆的切线，其中一定成立的是( )A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③9．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠ACB=45°，∠ABC=120°，⊙O 的半径为1， (1)求弦AC 、AB 的长；(2)若P 为CB 的延长线上一点，试确定P 点的位置，使PA 与⊙O 相切，并证明你的结论． 10．如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，弦CD ⊥AB 于E ，且PC 2=PE ·PO ． (1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)若OE ：EA=1：2，且PA ＝6，求⊙O 的半径；(3)求sin ∠PCA 的值．11．(1)如图a ，已知直线AB 过圆心O ，交⊙O 于A 、B ，直线AF 交⊙O 于F(不与B 重合)，直线l 交⊙O 于C 、D ，交AB 于E 且与AF 垂直，垂足为G ，连AC 、 AD ，求证：①∠BAD=∠CAG ；②AC ·AD=AE ·AF ．(2)在问题(1)中，当直线l 向上平行移动与⊙O 相切时，其他条件不变． ①请你在图b 中画出变化后的图形，并对照图a 标记字母；②问题(1)中的两个结论是否成立?如果成立，请给出证明；如不成立，请说明理由．12．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，⊙O 分别与AB 、AC 相切于点E 、F ，圆心O 在BC 上，若AB=a ，AC=b ，则⊙O 的半径等于．13．如图，AB 是半圆O 的直径，点M 是半径OA 的中点，点P 在线段AM 上运动(不与点M 重合)，点Q 在半圆O 上运动，且总保持PQ=PO ，过点Q 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点C ．(1)当∠QPA=60°时，请你对△QCP 的形状做出猜想，并给予证明． (2)当QP ⊥AB 时，△QCP 的形状是三角形．(3)由(1)、(2)得出的结论，请进一步猜想当点P 在线段AM 上运动到任何位置时，△QCP 一定是三角形．⌒ ⌒14．如图，已知AB 为⊙O 的直径，CB 切⊙O 于B ，CD 切⊙O 于D ，交BA 的延长线于E ，若AB=3，ED=2，则BC 的长为( )A ．2B ．3C ．3．5D ．415．如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 切点，直线OP 交⊙O 于C 、D ，交AB 于E ，AF 为⊙O 的直径，下列结论：(1)∠APB=∠AOP ；(2)BC=DF ；(3)PC ·PD=PE ·PO ，其中正确结论的个数有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个16．如图，已知△ABC ，过点A 作外接圆的切线交BC 的延长线于点P ，22=PA PC ，点D 在AC 上，且21=CD AD ，延长PD 交AB 于点E ，则BE AE 的值为( ) A ．41 B ．42 C ．21 D ．2217．如图，已知AB 为半圆O 的直径，AP 为过点A 的半圆的切线．在AB 上任取一点C(点C 与A 、B 不重合)，过点C 作半圆的切线CD 交AP 于点D ；过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E ．连结BD ，交CE 于点F ．(1)当点C 为AB 的中点时(如图1)，求证：CF ＝EF ；(2)当点C 不是AB 的中点时(如图2)，试判断CF 与EF 的相等关系是否保持不变，并证明你的结论．18．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=3，点D 在AC 边上，以D 为圆心的⊙D 与AB 切于点E ．(1)求证：△ADE ∽△ABC ；(2)设⊙D 与BC 交于点F ，当CF=2时，求CD 的长；⌒ ⌒⌒⌒(3)设CD=a ，试给出一个a 值，使⊙D 与BC 没有公共点，并说明你给出a 的值符合的要求．19．如图，PA 、PB 与⊙O 切于A 、B 两点，PC 是任意一条割线，且交⊙O 于点E 、C ，交AB 于点D ．求证：BDADBC AC 2220．如图，⊙O ˊ与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，圆心O ˊ的坐标是(1，一1)，半径是5，(1)求A 、B 、C 、D 四点的坐标； (2)求经过点D 的切线的解析式；(3)问过点A 的切线与过点D 的切线是否垂直?若垂直，请写出证明过程；若不垂直，试说明理由．21．当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想? 如图，设墙壁上的展品最高处点P 距离地面a 米，最低处点Q 距离地面b 米，观赏者的眼睛点E 距离地面m 米，当过 P 、Q 、E 三点的圆与过点E 的水平线相切于点E 时，视角∠PEQ 最大，站在此处观赏最理想．(1)设点E 到墙壁的距离为x 米，求a 、b 、m ，x 的关系式； (2)当a=2.5，b=2，m=1.6时，求：(a)点E 和墙壁距离x 米；(b)最大视角∠PER 的度数(精确到1度)．参考答案。

高中数学题型讲义(直线与圆)汇编

重点难点：直线间关系难点：对称关系；直线旋转一定角度后的斜率计算，如过圆外固定点的两条切线或割线斜率计算。

直线与圆间关系圆与圆间关系温馨提示：时刻不要忘记斜率不存在情况的讨论思维路径直线方程直线与圆题型库（1）知识精髓倾斜角范围讨论 JIT1***已知*三[一，一），求直线2xcosa 3y 1的倾斜角范围？ T2（SDM10）**** xcosa •、3y • 2 =0，求其倾斜角范围？温馨提示：倾斜角范围一般由斜率范围反演，有两种情形：两边和中间，即： ①k 丄k 0或k ^k 0 :②& 三k 2it兀斜率逆时针增大：0 ■二，跨过y 轴后，0正切函数在[0, — ）和（一，二）上单增 2 2 斜率绝对值越大，直线越靠近 y 轴，绝对值越小，直线越靠近 x 轴。

斜率范围讨论 T1***直线I 过点P （ -1,2）,且与以A （-2, -3）,（3,0）为端点的线段相交，求直线 I 的斜率范围？求直线方程（求斜率和过点，点斜式是根本） T1***直线经点P （2,3），且两坐标上的截距相等，求直线方程？ 2cos a<3 _宀 5兀T1: k,cosa (0,],= k [-,0),= 倾斜角 a [，二)2 36T2 : k = - °曲V3如图：直线越靠近，因为"cosa+3y 轴，斜率绝对值越大，反之亦然本题中二一丰兰，其绝对值|看弓，直线J3 3越靠— 5- 近x 轴，所以倾斜角是 [0,—]•[—，兀） 6 6T1:求直线斜率范围，要重点分析动直线是否存在“垂直状态”情形，若存在，则分两类：＞0和＜0,若不存在，则要么是在.＞0类范围，要么在＜0类范围。

通过图形可知本题动直线存在“垂直状态”的情况，因此分两类讨论。

T2****过点P （2,1）的直线I 交两轴于A,B 两点，求（1 ）当 AOB 面积最小时直线方程？（ 2）PA * PB 最小时直线方程？T1 :这种类型的题高考不会考，属于基本功题型；但必须熟练掌握，为高考题打下基础； T2 :这类题属于条件约束下的直线方程问题，通解思路就是根据条件选择合适直线方程形式，写出含参的直线方程形式，根据约束条件建立参数方程，进而求出参数即可。

2019-2020年高中数学圆板块七直线和圆的综合问题完整讲义(学生版)

2019-2020年高中数学圆板块七直线和圆的综合问题完整讲义（学生版）【例1】如图，在平面直角坐标系中，是一个与轴的正半轴、轴的正半轴分别相切于点、的定圆所围成的区域（含边界），、、、是该圆的四等分点．若点、点满足且，则称优于．如果中的点满足：不存在中的其它点优于，那么所有这样的点组成的集合是劣弧（）A ．B ．C ． D ．Ωy x O D C B A 【例2】求半径为，与圆相切，且和直线相切的圆的方程．【例3】据气象台预报：在城正东方的海面处有一台风中心，正以每小时的速度向西北方向移动，在距台风中心以内的地区将受其影响．从现在起经过约，台风将影响城，持续时间约为．（结果精确到）【例4】有一种大型商品，、两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离地的运费是地的运费的倍．已知、两地距离为千米，顾客选择地或地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求、两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．【例5】设有半径为的圆形村落，、两人同时从村落中心出发，向北直行，先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与相遇．设、两人速度一定，其速度比为，问两人在何处相遇？【例6】已知：过点斜率为的直线与⊙：相交与、两点．⑴ 求实数的取值范围；⑵ 求证：为定值；⑶ 若为坐标原点，且，求的值．典例分析轨迹问题【例7】已知定点，点在圆上运动，是线段上的一点，且，则点的轨迹方程是．【例8】设为两定点，动点到点的距离与到点的距离的比为定值，求点的轨迹．【例9】由动点向圆引两条切线、，切点分别为、，，则动点的轨迹方程是．【例10】如图，圆与圆的圆心都在轴上，半径都是，，且两圆关于轴对称，过动点分别作圆、圆的切线、，、分别为切点，且，试求动点的轨迹方程．【例11】已知两定点，，如果动点满足，则点的轨迹所包围的面积等于（）A ． B ． C ． D ．【例12】已知点，动点到、的距离之比为，求⑴ 点的轨迹方程．⑵ 点在什么位置时，的面积最大，并求出最大面积．P B O y x 【例13】如图所示，已知圆与轴的正方向交于点，点在直线上运动，过做圆的切线，切点为，求垂心的轨迹．H C B A O y x 【例14】从抛物线的顶点引两条互相垂直的弦、，作．则点的轨迹方程为．【例15】直线与圆相交于两个不同点，当取不同实数值时，求中点的轨迹方程．【例16】已知直线与圆相交于、两点，以、为邻边作平行四边形，求点的轨迹方程．【例17】已知圆的方程为，圆内有定点，圆周上有两个动点、，使，求矩形的顶点的轨迹方程．直线系与圆系【例18】已知圆22:(cos )(sin )1M x y ，直线，下面四个命题：① 对任意实数与，直线和圆相切；② 对任意实数与，直线和圆有公共点；③ 对任意实数，必存在实数，使得直线与和圆相切；④ 对任意实数，必存在实数，使得直线与和圆相切．其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）【例19】设直线系:cos (2)sin 1(02π)M x y ≤≤，对于下列四个命题：A ．中所有直线均经过一个定点B ．存在定点不在中的任一条直线上C ．对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上D ．中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．【例20】设有一组圆224*:(1)(3)2()k C x k y k k k N ．下列四个命题：Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不．相交Ｄ．所有的圆均不．经过原点其中真命题的代号是．（写出所有真命题的代号）。