东北师大附属中学高三第一轮复习教案参数方程
吉林省东北师范大学附属中学高中数学 4.4.7参数方程的概念教案 新人教版选修4
第二章 参数方程【课标要求】1、了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。
2、理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用。
3、会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。
第一课时 参数方程的概念一、教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
二、教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
三、教学方法：启发诱导，探究归纳 四、教学过程（一）．参数方程的概念1.问题提出：铅球运动员投掷铅球，在出手的一刹那，铅球的速度为0ν，与地面成α角，如何来刻画铅球运动的轨迹呢？ 2．分析探究理解： （1）、斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα （2）、抽象概括：参数方程的概念。
说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。
（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
（3）平抛运动：为参数）t gt y t x (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== （4）思考交流：把引例中求出的铅球运动的轨迹的参数方程消去参数t 后，再将所得方程与原方程进行比较，体会参数方程的作用。
（二）、应用举例：例1、已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y t x (t 为参数)（1）判断点1M (0,1), 2M (5,4)与曲线C 的位置关系；（2）已知点3M (6,a )在曲线C 上，求a 的值。
分析：只要把参数方程中的t 消去化成关于x,y 的方程问题易于解决。
学生练习。
反思归纳：给定参数方程要研究问题可化为关于x,y 的方程问题求解。
例2、设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀速（角速度）运动，角速度为60πrad/s,试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程。
吉林省东北师范大学附属中学高考数学第一轮复习 导数的应用学案 理
课题：导数的应用一、知识梳理: （阅读选修教材2-2第18页—第22页）1.函数的单调性与导数的关系：利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤:()1求()f x ';()2确定()f x '在(),a b 内符号;()3若()0f x '>在(),a b 上恒成立，则()f x 在(),a b 上是增函数；若()0f x '<在(),a b 上恒成立，则()f x 在(),a b 上是减函数①()0f x '>⇒()f x 为增函数（()0f x '<⇒()f x 为减函数）. ②()f x 在区间(),a b 上是增函数⇒()f x '≥0在(),a b 上恒成立；()f x 在区间(),a b 上为减函数⇒()f x '≤0在(),a b 上恒成立.2.极值：极大值： 一般地，设函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x <，就说0()f x 是函数()f x 的一个极大值，记作y 极大值0()f x =，0x 是极大值点.极小值：一般地，设函数()f x 在0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x >就说0()f x 是函数()f x 的一个极小值，记作y 极小值0()f x =，0x 是极小值点. 极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：（1）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值. （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点. 判别0()f x 是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值.求可导函数()f x 的极值的步骤:()1确定函数的定义区间，求导数)(x f '()2求方程()0f x '=的根()3用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查)(x f '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么()f x 在这个根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点 .3.函数的最大值和最小值: 一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．说明：()1在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；()2函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．()3函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．()4函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个. 利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：()1求)(x f 在(,)a b 内的极值；()2将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值.二、题型探究 【探究一】：讨论函数的单调性例1：设 函数 ，试讨论函数的单调性(解析:注意讨论K 的范围,注意函数的定义域) 时，单调递增；时，单调递减；（，1）单调递增。
吉林省东北师范大学附属中学高三数学第一轮复习 导数的应用(2)教案 文
课题：导数的应用（2）五．课时作业 一、 选择题1.已知函数432()410f x x x x =-+，则方程()0f x =在区间[]1,2上的根有.A 3个 .B 2个 .C 1个 .D 0个2.（06郑州一中等四校联考）若函数()y f x =在R 上可导且满足不等式()()0xf x f x '+>恒成立，且常数,a b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是 .A ()()af a bf b > .B ()()af b bf a > .C ()()af a bf b < .D ()()af b bf a <3、（07届高三陕师大附中八模）如果()f x '是二次函数, 且()f x '的图象开口向上, 顶点坐标为(1,3)-, 那么曲线()y f x =上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是.A 2(0,]3π .B 2[0,)[,)23πππU .C 2[0,][,)23πππU .D 2[,]23ππ4、（08届厦门双十中学高三月考）如图，是函数d cx bx x x f +++=23)(的大致图像，则2221x x +等于.A 98 .B 910 .C 916 .D 9285、（06天津）函数()f x 的定义域是开区间(),a b , 导函数()f x '在(),a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间内有极小值点.A 1个 .B 2个 .C 3个 .D 4个6、（08届高三哈尔滨第三中学第一次月考） 函数x bx ax x f 2)(23-+=的图象如图所示， 且021<+x x ，则有.A 0,0>>b a .B 0,0><b a .C 0,0<<b a .D 0,0<>b a二、 填空题7、（1）使ax x y +=sin 为R 上增函数，则a 的范围是xyab()'y f x =O（2）使a ax x y ++=3为R 上增函数，则a 的范围是 （3）使5)(23-+-=x x ax x f 为R 上增函数，则a 的范围是三、解答题8、已知：1x >，证明不等式：()ln 1x x >+9、设x ax x f +=3)(恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求出这三个单调区间14．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x －2.(1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .又f ′(x )＝2x －2，所以a ＝1，b ＝－2，即f (x )＝x 2－2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等实根，所以Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1.故f (x )＝x 2－2x ＋1.(2)依题意，所求面积为S ＝⎠⎛01(x 2－2x ＋1)d x ＝(13x 3－x 2＋x )|10＝13.15．已知f (x )为偶函数且⎠⎛06 f (x )d x ＝8，则⎠⎛-66f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16解析：选D.原式＝⎠⎛-60f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ，∵原函数为偶函数，∴在y 轴两侧的图象对称．∴对应的面积相等．故选D.16．函数y ＝⎠⎛-xx (cos t ＋t 2＋2)d t (x >0)( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．非奇非偶函数D ．以上都不正确解析：选A.y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin t ＋t 33＋2t |x-x ＝2sin x ＋2x 33＋4x ，为奇函数．17．一物体的下落速度为v (t )＝9.8t ＋6.5(单位：米/秒)，则下落后第二个4秒内经过的路程是( )A ．249米B ．261.2米C ．310.3米D ．450米 解析：选B.所求路程为⎠⎛48(9.8t ＋6.5)dt＝(4.9t 2＋6.5t )|84＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4 ＝313.6＋52－78.4－26＝261.2(米)．18．由直线x＝12，x＝2，曲线y＝1x及x轴所围成图形的面积为( )A.154B.174C.12ln2 D．2ln219．若a＝⎠⎛2x2d x，b＝⎠⎛2x3d x，c＝⎠⎛2sin x d x，则a、b、c的大小关系是( ) A．a<c<b B．a<b<c C．c<b<a D．c<a<b解析：选D.a＝⎠⎛2x2d x＝13x3|20＝83，b＝⎠⎛2x3d x＝14x4|204，c＝⎠⎛2sin x d x＝－cos x|20＝1－cos2，因为1<1－cos2<2，所以c<a<b.20．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x＋1 (－1≤x<0)cos x (0≤x≤π2)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为A.32B．1 C．2 D.12解析：选 A.作出图象可知：S＝⎠⎛-10－1(x＋1)d x＋⎠⎜⎛π2cos x d x＝21．已知a∈[0，π2]，则当 d x取最大值时，a＝________.解析：⎠⎛a(cos x－sin x)d x＝(sin x＋cos x)|a0＝sina＋cos a－(sin0＋cos0)＝2sin(a＋π4)－1，当a＝π4时，⎠⎛a(cos x－sin x)d x取最大值2－1.答案：π422．⎠⎛-aa(2x－1)d x＝－8，则a＝________.解析：⎠⎛-aa (2x－1)d x＝(x2－x)|a-a ＝a2－a－[(－a)2－(－a)]＝a2－a－a2－a＝－2a＝－8，∴a＝4.23．如果⎠⎛1f(x)d x＝1，⎠⎛2f(x)d x＝－1，则⎠⎛12f(x)d x＝________.解析：∵⎠⎛2f(x)d x＝⎠⎛1f(x)d x＋⎠⎛12f(x)d x，∴⎠⎛12f(x)d x＝⎠⎛2f(x)d x－⎠⎛1f(x)d x＝－1－1＝－2.24．如图，设点P从原点沿曲线y＝x2向点A(2,4)移动，记直线OP、曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记为S1，S2，若S1＝S2，求点P的坐标．解：设直线OP的方程为y＝kx，P点的坐标为(x，y)，则⎠⎛x(kx－x2)d x＝⎠⎛x2(x2－kx)d x，即(12kx2－13x3)|x0＝(13x3－12kx2)|2x，解得12kx 2－13x 3＝83－2k －(13x 3－12kx 2)，解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为(43，169)．。
吉林省东北师范大学附属中学高考数学一轮复习 圆的方程导学案 文
吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习 圆的方程导学案 文一、知识梳理 1.圆的方程（1）圆的标准方程圆心为（a ，b ），半径为r 的圆的标准方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2. 说明：方程中有三个参量a 、b 、r ，因此三个独立条件可以确定一个圆. （2）圆的一般方程二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.（*）将（*）式配方得（x +2D ）2+（y +2E ）2=4422FE D -+.当D 2+E 2－4F ＞0时，方程（*）表示圆心（－2D ，－2E ），半径r =21F E D 422-+的圆，把方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0（D 2+E 2－4F ＞0）叫做圆的一般方程. 说明：①圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：（A x 2+B y 2+Cxy+Dx +Ey +F =0）a.x 2、y 2项系数相等且不为零.b.没有xy 项.②当D 2+E 2－4F =0时，方程（*）表示点（－2D ，－2E ），当D 2+E 2－4F ＜0时，方程（*）不表示任何图形.③据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程. 二、题型探究[题型探究一]圆的标准方程1.方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是A.－1<t <71B.－1<t <21C.－71<t <1 D .1<t <2解析：由D 2+E 2－4F >0，得7t 2－6t －1<0，即－71<t <1.答案：C2.点P （5a +1，12a ）在圆（x －1）2+y 2=1的内部，则a 的取值范围是A.｜a ｜＜1B.a ＜131C.｜a ｜＜51 D .｜a ｜＜131解析：点P 在圆（x －1）2+y 2=1内部⇔（5a +1－1）2+（12a ）2＜1⇔ ｜a ｜＜131.答案：D 3.已知圆的方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2（r >0），下列结论错误的是A.当a 2+b 2=r 2时，圆必过原点 B.当a =r 时，圆与y 轴相切 C.当b =r 时，圆与x 轴相切 D .当b <r 时，圆与x 轴相交 解析：已知圆的圆心坐标为（a ，b ），半径为r ，当b <r 时，圆心到x 轴的距离为|b |，只有当|b |<r 时，才有圆与x 轴相交，而b <r 不能保证|b |<r ，故D 是错误的.故选D .答案：D4.（2005年北京海淀区期末练习）将圆x 2+y 2=1按向量a 平移得到圆（x +1）2+（y －2）2=1，则a 的坐标为____________.解析：由向量平移公式即得a =（－1，2）.答案：（－1，2）5.已知P （1，2）为圆x 2+y 2=9内一定点，过P 作两条互相垂直的任意弦交圆于点B 、C ，则BC 中点M 的轨迹方程为____________.故所求轨迹方程为x 2+y 2－x －2y －2=0.答案：x 2+y 2－x －2y －2=0[题型探究二]圆的方程的应用：【例1】 （2003年春季北京）设A （－c ，0）、B （c ，0）（c >0）为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a （a >0），求P 点的轨迹.剖析：给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化；主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题.解：设动点P 的坐标为（x ，y ），由||||PB PA =a （a >0）得2222)()(yc x y c x +-++=a ，化简，得（1－a 2）x 2+2c （1+a 2）x +c 2（1－a 2）+（1－a 2）y 2=0.当a =1时，方程化为x =0.当a ≠1时，方程化为（x －1122-+a a c ）2+y 2=（122-a ac ）2.所以当a =1时，点P 的轨迹为y 轴；当a ≠1时，点P 的轨迹是以点（1122-+a a c ，0）为圆心，|122-a ac |为半径的圆.评述：本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求.同时也考查了分类讨论这一数学思想.【例2】 一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程.剖析： 利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.解：因圆与y 轴相切，且圆心在直线x －3y =0上，故设圆方程为（x －3b ）2+（y －b ）2=9b 2.又因为直线y =x 截圆得弦长为27，则有（2|3|b b -）2+（7）2=9b 2，解得b =±1.故所求圆方程为（x －3）2+（y －1）2=9或（x +3）2+（y +1）2=9.评述：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a 、b 、r 或D 、E 、F ；（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数.【例3】 已知⊙O 的半径为3，直线l 与⊙O 相切，一动圆与l 相切，并与⊙O 相交的公共弦恰为⊙O 的直径，求动圆圆心的轨迹方程.剖析：问题中的几何性质十分突出，切线、直径、垂直、圆心，如何利用这些几何性质呢？解：取过O 点且与l 平行的直线为x 轴，过O 点且垂直于l 的直线为y 轴，建立直角坐标系.设动圆圆心为M （x ，y ），⊙O 与⊙M 的公共弦为AB ，⊙M 与l 切于点C ，则|MA |=|MC|.∵AB 为⊙O 的直径，∴MO 垂直平分AB 于O .由勾股定理得|MA |2=|MO |2+|AO |2=x 2+y 2+9，而|MC |=|y +3|，∴922++y x =|y +3|.化简得x 2=6y ，这就是动圆圆心的轨迹方程.评述：求轨迹的步骤是“建系，设点，找关系式，除瑕点”. 三、方法提升：1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a 、b 、r 或D 、E 、F ）的值需要确定，因此需要三个独立的条件.利用待定系数法得到关于a 、b 、r （或D 、E 、F ）的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值.2.求圆的方程的一般步骤：（1）选用圆的方程两种形式中的一种（若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）；（2）根据所给条件，列出关于D 、E 、F 或a 、b 、r 的方程组；（3）解方程组，求出D 、E 、F 或a 、b 、r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程.3.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题. 四、反思感悟1.在二元二次方程中x 2和y 2的系数相等并且没有x 、y 项只是表示圆的必要条件而不是充分条件.2.如果问题中给出了圆心两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程.如果给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程.3.在一般方程中，当D 2+E 2－4F =0时，方程表示一个点（－2D ，－2E ），当D 2+E 2－4F <0时，无轨迹.4.在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的特殊几何性质，这样会使问题简单化.5.数形结合、分类讨论、函数与方程的思想在解决圆的有关问题时经常运用，应熟练掌握. 五、课时作业：1.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2＋E 2－4F ＞0）表示的曲线关于x +y =0成轴对称图形，则A.D +E =0B. B.D +F =0C.E +F =0D. D +E +F =0解析：曲线关于x +y =0成轴对称图形，即圆心在x +y =0上. 答案：A2.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有A.1条B.2条C.3条 D .4条解析：分别以A 、B 为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求.答案：B3.（2005年黄冈市调研题）圆x 2+y 2+x －6y +3=0上两点P 、Q 关于直线kx －y +4=0对称，则k =____________.解析：圆心（－21，3）在直线上，代入kx －y +4=0，得k =2. 答案：24.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P 为圆x 2+y 2=1上的动点，则点P 到直线3x －4y －10=0的 距离的最小值为____________.解析：圆心（0，0）到直线3x －4y －10=0的距离d =5|10|-=2. 再由d －r =2－1=1，知最小距离为1. 答案：15.（2005年启东市调研题）设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2+2x －6y +1=0上有两点P 、Q ，满足关于直线x +my +4=0对称，又满足·=0.（1）求m 的值；（2）求直线PQ 的方程.解：（1）曲线方程为（x +1）2+（y －3）2=9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆.∵点P 、Q 在圆上且关于直线x +my +4=0对称， ∴圆心（－1，3）在直线上.代入得m =－1. （2）∵直线PQ 与直线y =x +4垂直， ∴设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），PQ 方程为y =－x +b .将直线y =－x +b 代入圆方程，得2x 2+2（4－b ）x +b 2－6b +1=0.Δ=4（4－b ）2－4×2×（b 2－6b +1）>0，得2－32<b <2+32. 由韦达定理得x 1+x 2=－（4－b ），x 1·x 2=2162+-b b .y 1·y 2=b 2－b （x 1+x 2）+x 1·x 2=2162+-b b +4b .∵OP ·=0，∴x 1x 2+y 1y 2=0，即b 2－6b +1+4b =0.解得b =1∈（2－32，2+32）. ∴所求的直线方程为y =－x +1.6.已知实数x 、y 满足x 2+y 2+2x －23y =0，求x +y 的最小值.解：原方程为（x +1）2+（y －3）2=4表示一个圆的方程，可设其参数方程为x =－1+2cos θ， y =3+2sin θ22sin （θ+4π），当θ=4π5，即x =－1－2，y =3－2时，x +y 的最小值为3－1－22.（θ为参数，0≤θ<2π），则x +y =3－1+2（sin θ+cos θ）=3－+1。
12东北师大附属中学高三第一轮复习导学案函数与方程教
函数与方程A一、知识梳理：（阅读教材必修1第85页—第94页）1、方程的根与函数的零点(1)零点:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
这样，函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以方程f(x)=0有实根⟺函数y=f(x)的图象与x轴有交点⟺函数y=f(x)有零点。
（2）、函数的零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)∙f(b)<0那么，y=f(x)在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f(c)=0，这个C 也就是方程f(x)=0的实数根。
（3）、零点存在唯一性定理：如果单调函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)∙f(b)<0那么，y=f(x)在区间（a，b）内有零点，即存在唯一c∈（a，b），使得f(c)=0，这个C 也就是方程f(x)=0的实数根。
（4）、零点的存在定理说明：①求在闭间内连续，满足条件时，在开区间内函数有零点；②条件的函数在区间（a，b）内的零点至少一个；③间[a，b]上连续函数，不满足f(a)∙f(b)<0，这个函数在（a，b）内也有可能有零点，因些在区间[a，b]上连续函数，f(a)∙f(b)<0是函数在（a，b）内有零点的充分不必要条件。
2、用二分法求方程的近似解（1）、二分法定义：对于区间[a，b]连续不断且f(a)∙f(b)<0的函数y=f(x)通过不断把区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法。
（2）、给定精确度（ε）用二分法求函数f(x)的零点近似值步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)∙f(b)<0，给定精确度（ε）；②求区间（a，b）的中点c；③计算f(c)（I）若f(c)=0，则c就是函数的零点；（II）若f(a)∙f(c)<0，则令b=c，（此时零点x0∈（a，c））；（III）若f(b)∙f(c)<0，则令a=c，（此时零点x0∈（c，b））；④判断是否达到精确度ε，若|a-b|<ε，则得到零点的近似值a（或b），否则重复②--④步骤。
北师大版版高考数学一轮复习选修坐标系与参数方程参数方程教学案理
一、知识梳理１．参数方程和普通方程的互化（１）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．（２）如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么错误!就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．２．直线、圆和圆锥曲线的参数方程名称普通方程参数方程直线y—y0＝k（x—x0）错误!（t为参数）圆（x—x0）２＋（y—y0）２＝R２错误!（θ为参数且0≤θ<２π）椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）错误!（t为参数且0≤t<２π）抛物线y２＝２px（p>0）错误!（t为参数）１．直线参数方程的三个应用及一个易错点（１）三个应用：已知直线l经过点M0（x0，y0），倾斜角为α，点M（x，y）为l上任意一点，则直线l的参数方程为错误!（t为参数）．１若M１，M２是直线l上的两个点，对应的参数分别为t１，t２，则|错误!| |错误!|＝|t１t２|，|错误!|＝|t２—t１|＝错误!；２若线段M１M２的中点为M３，点M１，M２，M３对应的参数分别为t１，t２，t３，则t３＝错误!；３若直线l上的线段M１M２的中点为M0（x0，y0），则t１＋t２＝0，t１t２<0．（２）一个易错点：在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值．否则参数不具备该几何含义．２．掌握圆的参数方程的两种应用（１）解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题，通常可以转化为点与圆、直线与圆的位置关系．（２）求距离的问题，通过设圆的参数方程，就转化为求三角函数的值域问题．二、教材衍化１．曲线错误!（θ为参数）的对称中心（）Ａ．在直线y＝２x上Ｂ．在直线y＝—２x上Ｃ．在直线y＝x—１上Ｄ．在直线y＝x＋１上解析：选Ｂ．由错误!得错误!所以（x＋１）２＋（y—２）２＝１．曲线是以（—１，２）为圆心，１为半径的圆，所以对称中心为（—１，２），在直线y＝—２x上．２．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：错误!（t为参数）过椭圆C：错误!（φ为参数）的右顶点，则常数a的值为________．解析：直线l的普通方程为x—y—a＝0，椭圆C的普通方程为错误!＋错误!＝１，所以椭圆C的右顶点坐标为（３，0），若直线l过点（３，0），则３—a＝0，所以a＝３．答案：３一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）参数方程错误!中的x，y都是参数t的函数．（）（２）过M0（x0，y0），倾斜角为α错误!的直线l的参数方程为错误!（t为参数）．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M（x，y）为终点的有向线段M0M的数量．（）（３）方程错误!（θ为参数）表示以点（0，１）为圆心，以２为半径的圆．（）（４）已知椭圆的参数方程错误!（t为参数），点M在椭圆上，对应参数t＝错误!，点O为原点，则直线OM的斜率为错误!.（）答案：（１）√（２）√（３）√（４）×二、易错纠偏错误!错误!（１）不注意互化的等价性致误；（２）直线参数方程中参数t的几何意义不清致误；（３）交点坐标计算出错致错．１．若曲线C的参数方程为错误!（θ为参数），则曲线C上的点的轨迹是（）Ａ．直线x＋２y—２＝0Ｂ．以（２，0）为端点的射线Ｃ．圆（x—１）２＋y２＝１Ｄ．以（２，0）和（0，１）为端点的线段解析：选Ｄ．将曲线C的参数方程化为普通方程得x＋２y—２＝0（0≤x≤２，0≤y≤１）．故选Ｄ．２．已知直线错误!（t为参数）上两点A，B对应的参数值是t１，t２，则|AB|＝（）Ａ．|t１＋t２| Ｂ．|t１—t２|Ｃ．错误!|t１—t２| Ｄ．错误!解析：选Ｃ．依题意，A（x0＋at１，y0＋bt１），B（x0＋at２，y0＋bt２），则|AB|＝错误!＝错误!|t１—t２|.故选Ｃ．３．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C１的极坐标方程为ρ（cos θ＋sin θ）＝—２，曲线C２的参数方程为错误!（t为参数），则C１与C２交点的直角坐标为________．解析：由ρ（cos θ＋sin θ）＝—２，得x＋y＝—２１．又错误!消去t，得y２＝8x２．联立１２得错误!即交点坐标为（２，—４）．答案：（２，—４）参数方程与普通方程的互化（自主练透）１．将下列参数方程化为普通方程．（１）错误!（t为参数）；（２）错误!（θ为参数）．解：（１）由t２—１≥0⇒t≥１或t≤—１⇒0<x≤１或—１≤x<0．由错误!１式代入２式得x２＋y２＝１．其中错误!或错误!（２）由x＝２＋sin２θ，0≤sin２θ≤１⇒２≤２＋sin２θ≤３⇒２≤x≤３，错误!⇒错误!⇒错误!⇒２x＋y—４＝0（２≤x≤３）．２．已知曲线C１：错误!（t为参数），曲线C２：错误!（θ为参数）．化C１，C２的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．解：曲线C１：（x＋４）２＋（y—３）２＝１，曲线C２：错误!＋错误!＝１，所以曲线C１是以（—４，３）为圆心，１为半径的圆；曲线C２是中心为坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是３的椭圆．错误!将参数方程化为普通方程的方法（１）将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin２θ＋cos２θ＝１等．（２）将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．参数方程的应用（师生共研）（２0２0·安徽宣城模拟）在直角坐标系xOy中，圆O的参数方程为错误!（θ为参数），直线l的参数方程为错误!（t为参数）．（１）若直线l与圆O相交于A，B两点，求弦长|AB|，若点P（２，４），求|PA|·|PB|的值；（２）以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝２cos θ＋２错误!sin θ，圆O和圆C的交点为P，Q，求弦PQ所在直线的直角坐标方程．【解】（１）由直线l的参数方程错误!（t为参数），消去参数t可得x—y＋２＝0，即直线l的普通方程为x—y＋２＝0．圆O的参数方程为错误!（θ为参数），根据sin２θ＋cos２θ＝１消去参数θ，可得x２＋y２＝４，所以圆心O到直线l的距离d＝错误!＝错误!，故弦长|AB|＝２错误!＝２错误!.把直线l的参数方程标准化可得错误!将其代入圆O的方程x２＋y２＝４得t２＋6错误!t＋１6＝0，设A，B两点对应的参数分别为t１，t２，所以|PA|·|PB|＝|t１t２|＝１6．（２）圆C的极坐标方程为ρ＝２cos θ＋２错误!sin θ，利用ρ２＝x２＋y２，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，可得圆C的普通方程为x２＋y２＝２x＋２错误!y.因为圆O的直角坐标方程为x２＋y２＝４，所以弦PQ所在直线的直角坐标方程为４＝２x＋２错误!y，即x＋错误!y—２＝0．错误!（１）解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等．（２）根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M１，M２，所对应的参数分别为t１，t２.１弦长l＝|t１—t２|；２弦M１M２的中点⇒t１＋t２＝0；３|M0M１||M0M２|＝|t１t２|.１．（２0２0·日照模拟）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝４cos错误!，直线l过点P（0，—错误!）且倾斜角为错误!.（１）求曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（２）设直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．解：（１）曲线C：ρ＝４cos错误!⇒ρ＝４cos θcos 错误!＋４sin θsin 错误!，所以ρ２＝２ρcos θ＋２错误!ρsin θ，即x２＋y２＝２x＋２错误!y，得曲线C的直角坐标方程为（x—１）２＋（y—错误!）２＝４．直线l的参数方程为错误!（t为参数）．（２）将错误!（t为参数）代入曲线C的直角坐标方程，得错误!错误!＋错误!错误!＝４，整理得t２—7t＋9＝0，设点A，B对应的参数分别为t１，t２，则t１＋t２＝7，t１t２＝9，所以t１>0，t２>0，所以|PA|＋|PB|＝t１＋t２＝7．２．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为错误!（θ为参数），直线l的参数方程为错误!（t 为参数）．（１）若a＝—１，求C与l的交点坐标；（２）若C上的点到l距离的最大值为错误!，求a.解：（１）曲线C的普通方程为错误!＋y２＝１．当a＝—１时，直线l的普通方程为x＋４y—３＝0．由错误!解得错误!或错误!从而C与l的交点坐标为（３，0），错误!.（２）直线l的普通方程为x＋４y—a—４＝0，故C上的点（３cos θ，sin θ）到l的距离为d＝错误!＝错误!，φ满足tan φ＝错误!.当—a—４≤0，即a≥—４时，d的最大值为错误! .由题设得错误!＝错误!，所以a＝8；当—a—４>0，即a<—４时，d的最大值为错误!，由题设得错误!＝错误!，所以a＝—１6．综上，a＝8或a＝—１6．参数方程与极坐标方程的综合应用（师生共研）（２0２0·淄博模拟）在平面直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l的参数方程为错误!（α为参数）．在以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝错误!，直线l与曲线C相交于不同的两点A，B.（１）若α＝错误!，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（２）若|OP|为|PA|与|PB|的等比中项，其中P（错误!，２），求直线l的斜率．【解】（１）因为α＝错误!，所以直线l的参数方程为错误!（t为参数）．消t可得直线l的普通方程为x—错误!y＋错误!＝0．因为曲线C的极坐标方程ρ＝错误!可化为ρ２（１＋３cos２θ）＝４，所以曲线C的直角坐标方程为４x２＋y２＝４．（２）设直线l上两点A，B对应的参数分别为t１，t２，将错误!代入曲线C的直角坐标方程４x２＋y２＝４可得４（错误!＋t cos α）２＋（２＋t sin α）２＝４，化简得（４cos２α＋sin２α）t２＋（8错误!cos α＋４sin α）t＋１２＝0，因为|PA|·|PB|＝|t１t２|＝错误!，|OP|２＝7，所以错误!＝7，解得tan２α＝错误!.因为Δ＝（8错误!cos α＋４sin α）２—４8（４cos２α＋sin２α）>0即２sin α（２错误!cos α—sin α）>0，可知tan α>0，解得tan α＝错误!，所以直线l的斜率为错误!.错误!（１）涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．（２）数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．１．（２0２0·河南省第五次测评）在直角坐标系xOy中，曲线C１：错误!（α为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C２：ρ２＝４ρcos θ—３．（１）求C１的普通方程和C２的直角坐标方程；（２）若曲线C１与C２交于A，B两点，A，B的中点为M，点P（0，—１），求|PM|·|AB|的值．解：（１）曲线C１的普通方程为x２＋（y—２）２＝５．由ρ２＝x２＋y２，ρcos θ＝x，得曲线C２的直角坐标方程为x２＋y２—４x＋３＝0．（２）将两圆的方程x２＋（y—２）２＝５与x２＋y２—４x＋３＝0作差得直线AB的方程为x—y—１＝0．点P（0，—１）在直线AB上，设直线AB的参数方程为错误!（t为参数），代入x２＋y２—４x＋３＝0化简得t２—３错误!t＋４＝0，所以t１＋t２＝３错误!，t１t２＝４．因为点M对应的参数为错误!＝错误!，所以|PM|·|AB|＝错误!·|t１—t２|＝错误!×错误!＝错误!×错误!＝３．２．（２0１9·高考全国卷Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为错误!（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为２ρcos θ＋错误!ρsin θ＋１１＝0．（１）求C和l的直角坐标方程；（２）求C上的点到l距离的最小值．解：（１）因为—１＜错误!≤１，且x２＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!＝１，所以C的直角坐标方程为x２＋错误!＝１（x≠—１）．l的直角坐标方程为２x＋错误!y＋１１＝0．（２）由（１）可设C的参数方程为错误!（α为参数，—π＜α＜π）．C上的点到l的距离为错误!＝错误!.当α＝—错误!时，４cos错误!＋１１取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为错误!.[基础题组练]１．（２0２0·安徽巢湖模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：错误!（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝４sin（θ＋错误!）．（１）求曲线C的直角坐标方程．（２）设点M的直角坐标为（0，３），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|＋|MB|的值．解：（１）把ρ＝４sin错误!，展开得ρ＝２sin θ＋２错误!cos θ，两边同乘ρ得ρ２＝２ρsin θ＋２错误!ρcos θ１．将ρ２＝x２＋y２，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y代入１，即得曲线C的直角坐标方程为x２＋y２—２错误!x—２y＝0 ２．（２）将错误!代入２式，得t２＋３错误!t＋３＝0，点M的直角坐标为（0，３）．设这个方程的两个实数根分别为t１，t２，则t１＋t２＝—３错误!，t１·t２＝３，所以t１<0，t２<0．则由参数t的几何意义即得|MA|＋|MB|＝|t１＋t２|＝３错误!.２．（２0２0·太原模拟）在直角坐标系中，圆C的参数方程为：错误!（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同．（１）求圆C的极坐标方程；（２）若直线l：错误!（t为参数）被圆C截得的弦长为２错误!，求直线l的倾斜角．解：（１）圆C：错误!消去参数α得（x—１）２＋（y—错误!）２＝４，即x２＋y２—２x—２错误!y＝0，因为ρ２＝x２＋y２，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ.所以ρ２—２ρcos θ—２错误!ρsin θ＝0，ρ＝４cos错误!.（２）因为直线l：错误!的极坐标方程为θ＝φ，当θ＝φ时ρ＝４cos错误!＝２错误!.即cos 错误!＝错误!，所以φ—错误!＝错误!或φ—错误!＝—错误!.所以φ＝错误!或φ＝错误!，所以直线l的倾斜角为错误!或错误!.３．在平面直角坐标系xOy中，曲线C１的参数方程为错误!（t为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C２的极坐标方程为ρ＝错误!.（１）求曲线C２的直角坐标方程；（２）设M１是曲线C１上的点，M２是曲线C２上的点，求|M１M２|的最小值．解：（１）因为ρ＝错误!，所以ρ—ρcos θ＝２，即ρ＝ρcos θ＋２．因为x＝ρcos θ，ρ２＝x２＋y２，所以x２＋y２＝（x＋２）２，化简得y２—４x—４＝0．所以曲线C２的直角坐标方程为y２—４x—４＝0．（２）因为错误!所以２x＋y＋４＝0．所以曲线C１的普通方程为２x＋y＋４＝0．因为M１是曲线C１上的点，M２是曲线C２上的点，所以|M１M２|的最小值等于点M２到直线２x＋y＋４＝0的距离的最小值．不妨设M２（r２—１，２r），点M２到直线２x＋y＋４＝0的距离为d，则d＝错误!＝错误!≥错误!＝错误!，当且仅当r＝—错误!时取等号．所以|M１M２|的最小值为错误!.４．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为错误!（α为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为ρ＝４sin错误!.（１）写出曲线C的极坐标方程以及曲线D的直角坐标方程；（２）若过点A错误!（极坐标）且倾斜角为错误!的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为P，求错误!的值．解：（１）由题意可得曲线C的普通方程为错误!＋错误!＝１，将错误!代入曲线C的普通方程可得，曲线C的极坐标方程为错误!＋错误!＝１．因为曲线D的极坐标方程为ρ＝４sin错误!，所以ρ２＝４ρsin错误!＝４ρ错误!，又ρ２＝x２＋y２，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以x２＋y２＝２错误!y—２x，所以曲线C的极坐标方程为错误!＋错误!＝１；曲线D的直角坐标方程为x２＋y２＋２x—２错误!y ＝0．（２）点A错误!，则错误!所以A（２，２）．因为直线l过点A（２，２）且倾斜角为错误!，所以直线l的参数方程为错误!（t为参数），代入错误!＋错误!＝１中可得，错误!t２＋（8＋１8错误!）t＋１6＝0，设M，N对应的参数分别为t１，t２，由一元二次方程根与系数的关系得，t１＋t２＝—错误!，t１t２＝错误!，所以错误!＝错误!＝错误!.[综合题组练]１．（２0２0·广州模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C１：错误!（α为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C２的极坐标方程为ρ＝8cos θ，直线l的极坐标方程为θ＝错误!（ρ∈R）．（１）求曲线C１的极坐标方程与直线l的直角坐标方程；（２）若直线l与曲线C１，C２在第一象限分别交于A，B两点，P为曲线C２上的动点，求△PAB面积的最大值．解：（１）依题意得，曲线C１的普通方程为（x—２）２＋y２＝7，曲线C１的极坐标方程为ρ２—４ρcos θ—３＝0．直线l的直角坐标方程为y＝错误!x.（２）曲线C２的直角坐标方程为（x—４）２＋y２＝１6，设A错误!，B错误!，则ρ错误!—４ρ１cos 错误!—３＝0，即ρ错误!—２ρ１—３＝0，得ρ１＝３或ρ１＝—１（舍），又ρ２＝8cos 错误!＝４，则|AB|＝|ρ２—ρ１|＝１．C２（４，0）到l的距离d＝错误!＝２错误!，以AB为底边的△PAB的高的最大值为４＋２错误!，则△PAB的面积的最大值为错误!×１×（４＋２错误!）＝２＋错误!.２．（２0２0·南昌模拟）在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρcos θ—ρsin θ＝２，曲线C的极坐标方程为ρsin２θ＝２P cos θ（P>0）．（１）求直线l过点（—２，—４）的参数方程；（２）已知直线l与曲线C交于N，Q两点，M（—２，—４），且|NQ|２＝|MN|·|MQ|，求实数P 的值．解：（１）将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入直线l的极坐标方程，得直线l的直角坐标方程为x—y—２＝0．所以直线l过点（—２，—４）的参数方程为错误!（t为参数）．（２）由ρsin２θ＝２P cos θ（P>0），得（ρsin θ）２＝２Pρcos θ（P>0），将ρcos θ＝x，ρsin θ＝y代入，得y２＝２Px（P>0）．将直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程联立，得t２—２错误!（４＋P）t＋8（４＋P）＝0，（*）Δ＝8P（４＋P）>0．设点N，Q分别对应参数t１，t２，恰好为上述方程的根，则|MN|＝t１，|MQ|＝t２，|NQ|＝|t１—t２|.由题设得（t１—t２）２＝|t１t２|，即（t１＋t２）２—４t１t２＝|t１t２|.由（*）得t１＋t２＝２错误!（４＋P），t１t２＝8（４＋P）>0，则有（４＋P）２—５（４＋P）＝0，得P＝１或P＝—４．因为P>0，所以P＝１．３．（２0２0·栖霞模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为错误!（t为参数，a>0），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos错误!＝—４错误!.（１）设P是曲线C上的一个动点，当a＝２错误!时，求点P到直线l的距离的最小值；（２）若曲线C上所有的点都在直线l的右下方，求实数a的取值范围．解：（１）由ρcos错误!＝—４错误!，得到ρ（cos θ—sin θ）＝—8，因为ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，所以直线l的普通方程为x—y＋8＝0．设P（２错误!cos t，２sin t），则点P到直线l的距离d＝错误!＝错误!＝２错误!|sin错误!—２|，当sin错误!＝１时，d min＝２错误!，所以点P到直线l的距离的最小值为２错误!.（２）设曲线C上任意点P（a cos t，２sin t），由于曲线C上所有的点都在直线l的右下方，所以a cos t—２sin t＋8>0对任意t∈R恒成立．错误!sin（t—φ）<8，其中cos φ＝错误!，sin φ＝错误!.从而错误!<8．由于a>0，解得0<a<２错误!.即a∈（0，２错误!）．４．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为错误!（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos（θ＋错误!）＝—错误!.（１）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（２）设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任意一点，求A，B两点的极坐标和△PAB面积的最小值．解：（１）由错误!消去参数t，得（x＋５）２＋（y—３）２＝２，所以圆C的普通方程为（x＋５）２＋（y—３）２＝２．由ρcos （θ＋错误!）＝—错误!，得ρcos θ—ρsin θ＝—２，所以直线l的直角坐标方程为x—y＋２＝0．（２）直线l与x轴，y轴的交点分别为A（—２，0），B（0，２），化为极坐标为A（２，π），B错误!，设点P的坐标为（—５＋错误!cos t，３＋错误!sin t），则点P到直线l的距离为d＝错误!＝错误!.所以d min＝错误!＝２错误!，又|AB|＝２错误!.所以△PAB面积的最小值是S＝错误!×２错误!×２错误!＝４．。
高考数学一轮复习 第12章 选修4-4 第2节 参数方程教学案 理 北师大版-北师大版高三选修4-4
第二节 参数方程[最新考纲] 1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝gt并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程和普通方程 点的 轨迹 普通方程参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)圆 x 2＋y 2＝r 2⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)椭圆 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)[常用结论]根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2. (1)弦长l ＝|t 1－t 2|； (2)弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0； (3)|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.一、思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝gt中的x ，y 都是参数t 的函数．( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量．( )(3)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )(4)椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，那么直线OM 的斜率为 3.( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)× 二、教材改编1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上B [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2，所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆， 所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上．] 2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，那么线段AB 的中点坐标为( )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3)D [将直线方程代入圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋32t 2＝16，整理，得t 2－8t ＋12＝0，那么t 1＋t 2＝8，t 1＋t22＝4，故其中点坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12×4，y ＝－33＋32×4，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－ 3.]3．曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)，那么曲线C 的普通方程为________．y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1) [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)消去参数θ，得y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1)．]4．在平面直角坐标系xOy 中，假设直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，那么a ＝________.3 [直线l 的普通方程为x －y －a ＝0，椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，∴椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)，假设直线l 过(3,0)，那么3－a ＝0，∴a ＝3.]考点1 参数方程与普通方程的互化将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要出现增解．1.将以下参数方程化为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t ，y ＝1t t 2－1(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 21＋t2，y ＝4－2t21＋t2(t 为参数)．[解] (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫1tt 2－12＝1，∴x 2＋y 2＝1.∵t 2－1≥0，∴t ≥1或t ≤－1. 又x ＝1t，∴x ≠0.当t ≥1时，0＜x ≤1； 当t ≤－1时，－1≤x ＜0， ∴所求普通方程为x 2＋y 2＝1，其中⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤1，0≤y ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＜0，－1＜y ≤0.(2)∵y ＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ，sin 2θ＝x －2，∴y ＝－2x ＋4，∴2x ＋y －4＝0.∵0≤sin 2θ≤1，∴0≤x －2≤1，∴2≤x ≤3，∴所求的普通方程为2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)． (3)因为x ＝2t21＋t 2，y ＝4－2t 21＋t 2＝41＋t 2－6t 21＋t 2＝4－3×2t21＋t 2＝4－3x .又x ＝2t 21＋t2＝21＋t 2－21＋t 2＝2－21＋t2∈[0,2)，所以所求的普通方程为3x ＋y －4＝0(x ∈[0,2))．2.如下图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．[解] 圆的半径为12，记圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接CP ， 那么∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ，y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值X 围的扩大或缩小，必须根据参数的取值X 围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值X 围．考点2 参数方程的应用1.应用直线参数方程的注意点在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值，否那么参数不具备该几何含义．2．圆和圆锥曲线参数方程的应用有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值X 围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解．(1)(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝4t1＋t2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋3ρsin θ＋11＝0.①求C 和l 的直角坐标方程； ②求C 上的点到l 距离的最小值．(2)(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．①求α的取值X 围；②求AB 中点P 的轨迹的参数方程．[解] (1)①因为－1<1－t 21＋t 2≤1，且x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 2()1＋t 22＝1， 所以C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1(x ≠－1)．l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.②由①可设C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝2sin α(α为参数，－π<α<π)．C 上的点到l 的距离为|2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋117.当α＝－2π3时，4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋11取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为7.(2)①⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，那么l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋k 2＜1， 解得k ＜－1或k ＞1，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.综上，α的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4. ②l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数，π4＜α＜3π4)．设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ， 那么t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0. 于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝ ⎛⎭⎪⎫α为参数，π4＜α＜3π4.(1)对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题；(2)椭圆的参数方程实质是三角代换求点到直线距离的最大值，一般利用曲线的参数方程及点到直线的距离公式把距离最值转化为三角函数求最大值．[教师备选例题]曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．[解] (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.那么|PA |＝dsin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.1.(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)假设曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． [解] (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α，当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，那么t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－42cos α＋sin α1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.2．(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)假设a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)假设C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a . [解] (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425，从而C 与l 的交点坐标是(3,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425.(2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.考点3 极坐标、参数方程的综合应用处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．(1)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α≤π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，曲线C 3：ρ＝23cos θ.①求C 2与C 3交点的直角坐标；②假设C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求AB 的最大值．(2)(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝mk(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .①写出C 的普通方程；②以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．[解] (1)①曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎪⎫32，32. ②曲线C 1的极坐标为方程θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α≤π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)， 所以AB ＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π6时，AB 取得最大值，最大值为4.(2)①消去参数t ，得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m ，得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，y ＝1kx ＋2，消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)，所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．②C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)，联立⎩⎨⎧ρ2cos 2θ－sin 2θ＝4，ρcos θ＋sin θ－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交点M 的极径为 5.(1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标方程，然后求解；(2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断；(3)求参数方程与极坐标综合的问题．一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题．[教师备选例题]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，α∈[0，π))．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝4sin θ.(1)设M (x ，y )为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值X 围； (2)假设直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ，求|AB |的最小值．[解] (1)将曲线C 的极坐标方程ρcos 2θ＝4sin θ，化为直角坐标方程，得x 2＝4y . ∵M (x ，y )为曲线C 上任意一点， ∴x ＋y ＝x ＋14x 2＝14(x ＋2)2－1，∴x ＋y 的取值X 围是[－1，＋∞)．(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α代入x 2＝4y ，得t 2cos 2α－4t sin α－4＝0.∴Δ＝16sin 2α＋16cos 2α＝16>0，设方程t 2cos 2α－4t sin α－4＝0的两个根为t 1，t 2， 那么t 1＋t 2＝4sin αcos 2α，t 1t 2＝－4cos 2α，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝4cos 2α≥4，当且仅当α＝0时，取等号． 故当α＝0时，|AB |取得最小值4.1.(2019·某某摸底考试)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴．点P 的直角坐标为(1，－5)，点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2.假设直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C 以M 为圆心、4为半径． (1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；(2)试判定直线l 和圆C 的位置关系．[解] (1)直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋cos π3·t ，y ＝－5＋sin π3·t ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋12t y ＝－5＋32t (t 为参数)，M 点的直角坐标为(0,4)，圆C 的半径为4，∴圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝16，将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入，得圆C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋(ρsin θ－4)2＝16，即ρ＝8sin θ.(2)直线l 的普通方程为3x －y －5－3＝0，圆心M 到l 的距离为d ＝||－4－5－32＝9＋32>4， ∴直线l 与圆C 相离．2．(2019·某某第三次大联考)在直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋t cos α，y ＝1＋t sin α (t 为参数，0<α<π)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝41＋sin 2θ. (1)当α＝π6时，写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； (2)点P ()－1，1，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试确定||PA ·||PB 的取值X 围．[解] (1)当α＝π6时，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋32t ，y ＝1＋12t .消去参数t 得x －3y ＋1＋3＝0.由曲线C 的极坐标方程为ρ2＝41＋sin 2θ，得ρ2＋()ρsin θ2＝4， 将x 2＋y 2＝ρ2，及y ＝ρsin θ代入得x 2＋2y 2＝4，即x 24＋y 22＝1. (2)由直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0<α<π)，可知直线l是过点P (－1,1)且倾斜角为α的直线，又由(1)知曲线C 为椭圆x 24＋y 22＝1，所以易知点P (－1,1)在椭圆C 内，将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋t cos α，y ＝1＋t sin α代入x 24＋y 22＝1中，整理得 ()1＋sin 2αt 2＋2()2sin α－cos αt －1＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，那么t 1·t 2＝－11＋sin 2α， 所以||PA ·||PB ＝||t 1||t 2＝11＋sin 2α， 因为0<α<π，所以sin 2α∈(]0，1， 所以||PA ·||PB ＝||t 1||t 2＝11＋sin 2α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1， 所以||PA ·||PB 的取值X 围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.。
吉林省东北师范大学附属中学高考数学第一轮复习 函数与方程学案 理
函数与方程一、知识梳理：（阅读教材必修1第85页—第94页）1、方程的根与函数的零点(1)零点:对于函数,我们把使0的实数x叫做函数的零点。
这样，函数的零点就是方程0的实数根，也就是函数的图象与x轴交点的横坐标，所以方程0有实根。
（2）、函数的零点存在性定理：如果函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有那么，在区间（a，b）内有零点，即存在c，使得=0，这个C 也就是方程0的实数根。
（3）、零点存在唯一性定理：如果单调函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有那么，在区间（a，b）内有零点，即存在唯一c，使得=0，这个C 也就是方程0的实数根。
（4）、零点的存在定理说明：①求在闭间内连续，满足条件时，在开区间内函数有零点；②条件的函数在区间（a，b）内的零点至少一个；③间[a，b]上连续函数，不满足，这个函数在（a，b）内也有可能有零点，因此在区间[a，b]上连续函数，是函数在（a，b）内有零点的充分不必要条件。
2、用二分法求方程的近似解（1）、二分法定义：对于区间[a，b]连续不断且的函数通过不断把区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法。
（2）、给定精确度（）用二分法求函数的零点近似值步骤如下：①确定区间[a，b]，验证给定精确度（）；②求区间（a，b）的中点c；③计算（I）若=0，则c就是函数的零点；（II）若则令b=c，（此时零点）；（III）若则令a=c，（此时零点）；④判断是否达到精确度，若|a-b|，则得到零点的近似值a（或b），否则重复②--④步骤。
函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解，由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的程序，借助计算器或者计算机来完成计算。
二、题型探究[探究一]：考察零点的定义及求零点例1：已知函数(1)m为何值时，函数的图象与x轴只有一个公共点？（1或1/3）(2) 如果函数的一个零点为2，则m 的值及函数的另一个零点。
吉林省东北师范大学附属中学高三数学第一轮复习 导数(2)教案 文
导数（2）【探究二】：导数的运算：例2：求下列函数的导数（1）、sin2x（2）、(3)、【探究三】：求导运算后求切线方程例3：已知函数(1)、若a=1，点P 为曲线上的一个动点，求以点p 为切点的切线的斜率取最小值时的切线方程；(y=x+)（2）、求函数在（0，+）上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a 。
(a=1)【探究四】．研究函数的图象例4、（08届云南平远一中五模）函数)(x f y =在定义域)3,23(-内可导，其图象如图所示，记)(x f y =的导函数为)(x f y '=，则不等式0)(≤'x f 的解集为(A ).A [)3,2]1,31[Y - .B ]38,34[]21,1[Y - .C [)2,1]21,23[Y - .D ⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛--3,38]34,21[1,23Y Y 例5．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则不等式xf′(x)<0的解集为(B)A ．(-∞，12)∪(12,2)B ．(－∞，0)∪(12，2) C ．(－∞，12∪(12，＋∞) D ．(－∞，12)∪(2，＋∞) 解析：选B.由f (x )图象单调性可得f ′(x )在(－∞，12)∪(2，＋∞)大于0，在(12，2)上小于0，∴xf ′(x )<0的解集为(－∞，0)∪(12，2)． 三、方法提升1.利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，还要注意公式不能用混；2.求复合函数的导数的时候，应分析复合函数的结构，有时一个函数不能一次分解完成，这就需要进一步分解；3.可以利用导数求曲线的切线方程，要注意“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不尽相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点4.求参数范围的方法：①分离变量法；②构造（差）函数法.5.构造函数法是证明不等式的常用方法：构造时要注意四变原则：变具体为抽象，变常量为变量，变主元为辅元，变分式为整式.四、反思感悟：五、课后作业（1）一、选择题1.对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足()1()x f x -'≥0，则必有(D).A (0)(2)f f +()21f < .B (0)(2)f f +≤()21f.C (0)(2)f f +≥()21f .D (0)(2)f f +()21f >2． 设函数()f x ，()g x 在[],a b 上均可导，且()()f x g x '>'，则当a x b <<时，有(C).A ()()f x g x > .B ()()f x g x <.C ()()()()f x g a g x f a +>+ .D ()()()()f x g b g x f b +>+3、()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是(C)4、0()sin f x x =，10()()f x f x ='，21()()f x f x ='，…，1()()n n f x f x +='，n N ∈，则 =(A).A sin x .B sin x - .C cos x .D cos x -5、若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为(A).A 430x y --=；.B 450x y +-=；.C 430x y -+=；.D 430x y ++=6、曲线12x y e =在点()24,e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(D).A 29e 2.B 24e .C 22e .D 2e 二．填空题： 7、已知2()2(2)f x x xf =+'，则(2)f '= -48、已知1cos ()xf x xe-=，则()f x '= 三、解答题：9、求下列函数的导数： ()1()21sin y x =+； ()221y x =+；()32ln 1y x =+； ()411x x e y e +=-；()52sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ()6ln x y e x =⋅()7sin 1cos x y x=+； ()8()21sin cos y x x x x =-⋅+⋅10．设,点P （t ，0）是函数 与函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线。
46东北师大附属中学高三第一轮复习导学案-两条直线的位置关系与点到直线的距离A
29 28 , y0 ，所以反射光线 A’B 所在直线的方程为： 13 13
62 28 62 13 13 y ( x 3) ，得 13x－26y+85=0. 12 3 29 13 课时作业（二） 1．过两直线3x+y－1=0与x+2y－7=0的交点，并且与第一条直线垂直的直线 方程是（ B ） （A）x－3y+7=0 （B）x－3y+13=0 （C）2x－7=0 （D）3x－y－5=0 2． 过点P(1， 4)和Q(a， 2a+2)的直线与直线2x－y－3=0平行， 则a的值 （ B ） （A）a=1 （B）a≠1 （C）a=－1 （D）a≠－1 3．直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是（ C ） （A）平行 （B）垂直 （C）相交但不垂直 （D）不能确定，与m，n取值有关 4．经过两条直线2x+y－8=0和x－2y+=0的交点，且平行于直线4x－3y－7=0 的直线方程是 4x－3y－6=0 . 5．直线ax+4y－2=0与直线2x－5y+c=0垂直相交于点(1，m)，则a= 10 ， c= －12 ，m= －2 .
即前两条直线的交点为 (
5
东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 043A
9．光线由点A(－1，4)射出，在直线l：2x+3y－6=0上进行反射，已知反射 62 光线过点B(3， )，求反射光线所在直线的方程. 13 解：设点 A 关于直线 l：2x+3y－6=0 的对称点 A’的坐标为(x0，y0)，
五、课时作业（一）
1． 如果直线ax+2y+2=0与直线3x－y－2=0平行， 那么系数a的值为 （ B ） 3 2 （A）－ （B）－6 （C）－3 （D） 2 3 2．若直线(2a+5)x+(a－2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y－1=0互相垂直，则 （ C ） （A）a=2 （B）a=－2 （C）a=2或a=－2 （D）a=2，0，－ 3．如果直线ax+y－4=0与直线x－y－2=0相交于第一象限，则实数a的取值 范围是（ A ） （A）－1<a<2 （B）a>－1 （C）a<2 （D）a<－2或a>2 4．直线Ax+4y－1=0与直线3x－y－C=0重合的条件是（ D ） 1 （A）A=12，C≠0 （B）A=－12，C= 4 1 1 （C）A=－12，C≠－ （D）A=－12，C=－ 4 4 5．若两条直线l1，l2的方程分别为 A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0，l1与l2只有一个 公共点，则（ B ） （A）A1B1－A2B2=0 （B）A1B2－A2B1≠0 （C）
高考数学统考一轮复习 选修4-4 第二节 参数方程(教师文档)教案 文 北师大版
学习资料第二节参数方程授课提示：对应学生用书第201页［基础梳理］1．曲线的参数方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数错误!并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫作参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F（x,y)＝0叫普通方程．2．参数方程和普通方程的互化(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数．（2)普通方程化参数方程：如果x＝f（t）,把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t），则得曲线的参数方程错误!3．直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y－y0＝tan α（x－x0)（α≠错误!，点斜式）错误!（t为参数）圆(x－a）2＋（y－b）2＝r2错误!（θ为参数)椭圆错误!＋错误!＝1(a＞b＞0）错误!(φ为参数）1．参数方程化普通方程（1）常用技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等．（2)常用公式：cos2θ＋sin2θ＝1,1＋tan2θ＝1cos2θ.2．直线参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是错误!若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则（1）｜M1M2|＝|t1－t2|。
（2）若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝错误!，中点M到定点M0的距离｜MM0|＝｜t|＝错误!.（3)若M0为线段M1M2的中点,则t1＋t2＝0。
［四基自测］1．（基础点：直线与椭圆的参数方程）直线y＝x与曲线错误!（α为参数)的交点个数为（）A．0B．1C．2D．3答案：C2．（基础点:直线的参数方程)若直线的参数方程为错误!（t为参数)，则直线的斜率为________．答案：－33．(易错点：消参的等价性）曲线C的参数方程为错误!（θ为参数），则曲线C的普通方程为________．答案：y＝－2x2(－1≤x≤1）4．（基础点:椭圆的参数方程）椭圆错误!(θ为参数)的离心率为________．答案:错误!授课提示：对应学生用书第202页考点一参数方程与普通方程的互化［例］已知直线l的参数方程为错误!（t为参数)，圆C的参数方程为错误!（θ为参数）．(1)求直线l和圆C的普通方程；（2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．［解析](1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，圆C的普通方程为x2＋y2＝16。
吉林省东北师范大学附属中学高考数学一轮复习 y%3dAsinωx+φ的图象和性质教案 理
函数y=Asin()的图象和性质(教案)一、知识梳理： (阅读教材必修4第49页—第60页)1、在物理中，函数y=Asin()（A>0,>0）表示一个振动时，A叫做振动的振幅，T=称为振动的周期，f=称为振动的频率，称为振动的相位；叫做初相。
2、五点法画函数y=Asin()（A>0,>0）图象的简图，主要是先找了出确定曲线形状起关键作用的五个点，这五个点应使函数取得最大值和最小值及与x轴的交点，找出它们的方法是做变量代换，设X=，由X取0，，，，2来确定对应的x值。
3、变换法画函数y=Asin()（A>0,>0）图象的一般方法是①、②、③、④、⑤、⑥、二、题型探究探究一：五点法画函数y=Asin()（A>0,>0）图象例1：设函数y=sin cos (>0)的周期为。
（1）、求的它的振幅，初相； （2）、用“五点法”作出它在一个周期内的图象；（3）、说明函数是图象是由y=sin 的图象经过怎么的变换得到。
探究二：三角函数图象的变换 例2：下列函数中，周期为π，且在[,]42ππ上为减函数的是 （A ）sin(2)2y x π=+B ）cos(2)2y x π=+（C ）sin()2y x π=+D ）cos()2y x π=+ 例3：将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 （A ）sin(2)10y x π=-（B ）y =sin(2)5x π- （C ）y =1sin()210x π-（D ）1sin()220y x π=- 例4：16. （本小题满分12分） 已知函数2()sin 22sin f x x x =-（I ）求函数()f x 的最小正周期。
(II) 求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合。
探究三：求函数y=Asin()（A>0,>0）的解析式例5：将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 （A ）sin(2)10y x π=-（B ）sin(2)5y x π=-（C ）1sin()210y x π=-（D ）1sin()220y x π=- 解析：将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，所得函数图象的解析式为y ＝sin (x －10π) ， 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是y1-π1sin()210y x π=-.【答案】C例6: (1)、下列函数中，图象的一部分如图所示的是（ ） A 、y=sinB 、y=sinC 、y=cosD 、y=cos(2)、函数y=Asin()（>0，||，x ）的部分图象如图所示，则函数的表达式为 A 、y=-4sinB 、y=4sinC 、y=-4sinD 、y=4sin探究四：正弦型函数y=Asin()（A>0,>0）的性质-446-2O y-1例7：（1）、已知函数f(x)=(1+cos2x)si，x，则f(x)是（）A、最小正周期为的奇函数B、最小正周期为的奇函数C、最小正周期为的偶函数D、最小正周期为的偶函数（2）、已知函数f(x)=，对于上的任意的，有如下条件：①、>②、>③、>，其中能使f()> f()恒成立的条件序号是。
吉林省东北师范大学附属中学高三理科数学一轮复习教案用样本估计总体
一、知识梳理：（必修３教材6５—8３） １．作频率分布直方图的步骤：（１）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）； （２）决定组距与组数； （３）将数据分组； （４）列频率分布表； （５）画频率分布直方图注：频率分布直方图中小正方形的面积=组距×组距频率=频率。
２．频率分布折线图和总体密度曲线折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图总体密度曲线：当样本容量足够大，分组越多，折线越接近于一条光滑的曲线，此光滑曲线为总体密度曲线。
３．用茎叶图刻画数据的两个优点, （１）所有数据都可以从数据中得到;（２）茎叶图便于记录和表示,能够展示数据的分布情况,但当样本数据较多或数据较大时,茎叶图的效果就不是很好了.４．平均数、众数、中位数、标准差和方差（１）、平均数：平均数是用来表示数据的平均水平。
一般用来表示，计算公式：（２）、众数：一组数据中出现次数最多的数。
（３）、中位数：将数据从小到大的顺序排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数。
若有偶数个数，则中间两个数的平均数是中位数。
（４）、标准差：是样本数据到平均数的一种平均距离，用来刻画数据的分散程度，一般用s 来表示，计算公式： ，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小。
（５）方差：方差是标准差的平方，它也可以用来刻画数据的分散程度，计算公式： 。
５．有样本频率分布估计总体分布通常分为两种情况：（１）、当总体中的个体取不同值很少时，其频率分布表由所取样本的不同值及其相应频率表示，就是相应的条形图；（２）、当总体中的个体不同值很多时，就用频率分布直方图来表示相应的样本的频率分布。
6、利用频率分布直方图来估计众数、中位数、平均数在频率分布直方图中，众数的估计值．．．．．．是其中最高矩形底边中点的横坐标；中位数．．．的左边和右边的直方图面积相等；平均数．．．的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。
45东北师大附属中学高三第一轮复习导学案-直线的倾斜角与斜率,直线的方程A
）
② 30
③ 45
④ 60
⑤ 75
其中正确答案的序号是
.（写出所有正确答案的序号）
o
【解析】 解： 两平行线间的距离为 d | 3 1 | 2 ， 由图知直线 m 与 l 1 的夹角为 30 ，
11
l 1 的倾斜角为 45o ，所以直线 m 的倾斜角等于 30o 450 750 或 45
x y 1， a b 5 4 1 ，即 4a 5b ab 。 ∵直线 l 过点 P（-5，-4） ， a b 1 又由已知有 a b 5 ，即 ab 10 ， 2
解析：设所求直线 l 的方程为
5 4a 5b ab a 5 a 解方程组 ，得： 2 或 b 2 ab 10 b 4
即y
2
4 4 2 2 3 y 0, ( y ) 0。 3 3 3
该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角 因 此 ， 当 △ ABC 为 钝 角 三 角 形 时 ， 点 C 的 纵 坐 标 y 的 取 值 范 围 是
y
10 3 2 3 或y ( y 2 3) 。 3 9
由两点式方程得： 点评：直线方程的四种特殊形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下 的不同表现形式，要掌握好它们之间的互化。在解具体问题时，要根据问题的条件、 结论，灵活恰当地选用公式，使问题解得简捷、明了。 例 4．直线 l 经过点 P（-5，-4） ，且与两坐标轴围成的三角形面积为 5，求直线 l 的方 程。
x y x y 1。 1 ，或 5 4 5 2 2 即 8 x 5 y 20 0 ，或 2 x 5 y 10 0
67东北师大附属中学高中三年级第一轮复习导学案-参数方程A
参数方程(教案)A一、知识梳理：(阅读教材:选修4-4第21页至39页) 1、曲线的参数方程的概念:一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3．圆的参数方程设圆O （O 为坐标原点）的半径为r ，点M 从初始位置0M 出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，设(,)M x y ，则cos ()sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数。
这就是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程，其中θ的几何意义是0OM 转过的角度。
圆心为(,)a b ，半径为r 的圆的普通方程是222()()x a y b r -+-=，它的参数方程为：cos ()sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数。
4．椭圆的参数方程以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为22221(0),x y a b a b +=>>其参数方程为cos ()sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，其中参数ϕ称为离心角；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是22221(0),y x a b a b+=>>其参数方程为cos (),sin x b y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数其中参数ϕ仍为离心角，通常规定参数ϕ的围为ϕ∈[0，2π）。
67东北师大附属中学高三第一轮复习导学案-参数方程B
3．圆的参数方程
设圆O（O为坐标原点）的半径为 ，点M从初始位置 出发，按逆时 ，半径为 的圆的参数方程，其中 的几何意义是 转过的角度。
参数方程(学案)B
一、知识梳理：(阅读教材:选修4-4第21页至39页)
1、曲线的参数方程的概念:
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 都是某个变数 的函数 ①,并且对于 的每一个允许值,由方程组①所确定的点 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 的变数 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
四、反思感悟
五、课时作业
一、选择题
1．若直线的参数方程为 ，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
2．下列在曲线 上的点是（）
A． B． C． D．
3．将参数方程 化为普通方程为（ ）
A． B．
C． D．
4、方程 (t为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是（）
A．一个定点 B．一个椭圆 C．一条抛物线 D．一条直线
圆心为 ，半径为 的圆的普通方程是 ，
它的参数方程为：。
4．椭圆的参数方程
以坐标原点 为中心，焦点在 轴上的椭圆的标准方程为 其参数方程为,其中参数 称为离心角；焦点在 轴上的椭圆的标准方程是 其参数方程为 其中参数 仍为离心角，通常规定参数 的范围为 ∈[0，2 ）。
注：椭圆的参数方程中，参数 的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角 区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在 到 的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当 时，相应地也有 ，在其他象限内类似。
吉林省东北师范大学附属中学2020高中数学 4.4.8参数方程的概念学案(无答案)新人教版选修4
1．本节学习了哪会参数的意义
作业布置
学习反思
文科不要求双曲线参数方程
①一般来说，参数方程中参数的变化范围是有限制的；
②参数方程和普通方程是同一曲线的两种不同表达形式；
③一个曲线的参数方程是唯一的；
④在参数方程 和普通方程 中，自由变量都是只有一个。
A、① ②B、②
C、②③ D、①②④
5、方程 表示的曲线为（ ）
A、一条直线 B、两条射线 C、一条线段 D、抛物线的一部分
说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。
（2）参数是联系变量x，y的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
应用示例
例1．已知曲线C的参数方程是 (t为参数)
（1）判断点M1(0,1),M2(5,4)与曲线C的位置关系；
（2）已知点M3(6,a)在曲线C上，求a的值。
（教材P22例1）
解：
达标检测
问题1：由物理知识可知，物资投出机舱后，它的运动是下列两种运动的合成：
问题2：由方程组
，其中是 重力加速度（ ）
可知，在 的取值范围内，给定 的一个值，由方程组可以确定 的值。
比如，当 时， ， 。
归纳：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 都是某个变数 的函数 （1），并且对于 的每个允许值，由方程组（1）所确定的点 都在这条曲线上，那么方程（1）叫做这条曲线的参数方程，联系变数 的变数 叫做参变数，简称参数。相对参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
课题
学案 8参数方程的概念
学习目标
通过分析抛射物体运动中时间与物体位置的关系，了解一般曲线的参数方程，体会参数的意义
学习重点
了解一般曲线的参数方程
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一参数方程(教案)、知识梳理：(阅读教材：选修4-4第21页至39页)1. 曲线的参数方程的概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x, y都是某个变数t的函数x f(°①,并且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M (x,y)都y g(t)在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x, y的变数t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程•2. 参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过消去参数得到普通方程•(2)如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系，例如x f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y g(t),那么x f(t)就是曲线的参数方程，在y g(t)参数方程与普通方程的互化中，必须使x, y的取值范围保持一致•注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3. 圆的参数方程设圆0(0为坐标原点)的半径为r,点M从初始位置M o出发，按逆时针方向在圆0上作匀速圆周运动，设M(x,y)，贝V X rc°S (为参数)。
y rsi n这就是圆心在原点0,半径为r的圆的参数方程，其中的几何意义是OM0转过的角度。
圆心为(a,b)，半径为r的圆的普通方程是(x a)2 (y b)2 r2,x a r cos它的参数方程为：(为参数)。
y b r sin4•椭圆的参数方程以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为2 ）o注：椭圆的参数方程中，参数 的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处， 离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。
但当0x bCOt(为参数，其中 (0,2 )e 且 y acsc以上参数 都是双曲线上任意一点的离心角。
6.抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线y 2 2px （p 0）的参数方程为2 x2a2b 21(ax b 0）,其参数方程为yacosbsin（为参数），其中参数 称为离心角; 焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是2y 2a2x 2 1(a b 0),其参数方程为bbcosasin为参数）,其中参数 仍为离心角，通常规定参数的范围为 € [0 ,相应地也有02，在其他象限内类似。
5.双曲线的参数方程 以坐标原点（不要求掌握） O为中心，焦 占八轴上的双曲线的标准方程为2 x2 2a b 匸1(a0,b 0）,其参数x asec(为参数),其中 y bta n[0,2 )且2'焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是2 y 2a2x b 2 1（a 0,b 0）,其参数方程为y y tan (x X o ),而过M o (X 0,y o ),倾斜角为 的直线I 的参数方程为注：直线参数方程中参数的几何意义： 过定点M 0(x ),y 0)，倾斜角为X x 0 t cos的直线I 的参数方程为(t 为参数)，其中t 表示直线I 上以y y o tsin定点叫为起点，任一点 M(x,y)为终点的有向线段的数量，当点在 M 上方时，t >0；当点M 在凶0下方时，t v 0；当点M 与M o 重合时，t =0。
我们也可以把参数t 理解为以M o 为原点，直线I 向上的方向为正方向的数 轴上的点M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。
、题型探究探究一：把参数方程化为普通方程(1 )化G, C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;的距离的最小值。
G 为圆心是(-4 , 3),半径是1的圆。
G 为中心是坐标原点，焦点在 上‘轴上，长半轴长是 8,短半轴长是3的椭圆。
W3I = — © 丿 m - 6M(-2 十十一sin 的(H)当 2时，尸(-44)一0隔匚帖&3过刃，故 2C 3为直线x-2y-7=0 , M 到G 的距离7.直线的参数方程经过点M 0(X o ,y 。
)，倾斜角为 (丿的直线1的普通方程是X X t cos y y o tsin例1 :已知曲线C :W 嚟化为參数)C 2： fx = BcosO（y = S^inO为參数)(2)若C i 上的点P 对应的参数为Q 为C 2上的动点，求 PQ 中点M 到直线解答：（I ） C 1+ •=1,C 2 :2 2x y +64 9探究二：椭圆参数方程的应用例2:在平面直角坐标系xoy 中，点p(x,y)是椭圆3十歹 1的最大值故可设动点 P 的坐标为(「：；＞；一'.川匸)，其中-1--匚：因此，s=x+y=C ：g'环:+ ''0 +=2si n()所以，当探究三：直线参数方程的应用例3:过点•”. 作倾斜角为上的直线与曲线•亠甘 丄交于点M,N, 求|PM||PN|的最小值及相应的*買=冷2 y%仙药逾解析：设直线为 卜-门血业 ，代入曲线并整理得3■n咖 + (V10 tPsaX + -=0|磁| 犁=|花 | 二一尸戈，则 ......................... l-Fsm 3^所以当川「二1时，即 探究四：圆的参数方程的应用30 二 L 0 = r 5 ,sin 5从而cos 时,d 取得最小值 3u =-4，此时 2上的一个动点，求s=x+y解答:2X 2 —+ y= 1 因椭圆的参数方程为工盘叫0於数)的值。
X = 2 4- -/2 EOJ H V— Vi siTk it* 例4:已知曲线C 的参数方程是 相交于两点A B(1) 求曲线C 的普通方程；(2) 求弦AB 的垂直平分线的方程(3)求弦AB 的长Jt - 2 = -J2 GMi^1_ _f- , q no -纣十h =£』m3tn 存'为参数)，且曲线C 与直线 • =0解答：(1)由L所以，曲线C 的普通方程为(x — 2) 2+y 2=2 O'，|PM| |PN|的最小值为, 梧-(2 )因为-，所以AB 的垂直平分线斜率为:. 又垂直平分线过圆心(2, 0),所以其方程为(3) 圆心到直线 AB 的距离-一二三一；，圆的半径为r= 所以 T - I - 二二一 探究五：参数方程的综合应用x+y 的最值，例6: 过点(2,1)的直线被圆 x 2+y 2-2x+4y=0截得的最长弦所在的直线方程是_________ ;截得的最短弦所在的直线方程是 ______________ ;例7:若实数x,y 满足x 2+y 2-2x+4y=0 ,则x-2y 的最大值为 ____________________已知点P ( x ，y )是圆x 2 y 2 6x 4y 12 0 上动点,(1) 2 2x y 的最值,(3) P 到直线x+y-仁0 的距离d 的最值。
x 2y 26x 4y 120 即(x2 23) (y 2)1 , 用参数方程表示为{:3 cos 2 sin由于点P 在圆上，所以可设 P (3+cos 0, 2+sin 0), (1) x 2 y 2(3 cos )2 (2 sin )214 4 si n 6 cos14 2.13 sin()(其中tan=1.5)••• x 2y 2的最大值为14+2 5 -,最小值为14- 2⑵ x+y= 3+cos值为5 - J ：0 + 2+s in 0 =5+ 2 sin ()• x+y 的最大值为 5+ ■--，最小显然当sin ((3)时，d 取最大值，最小值，分别为 1 2 2 , 1 2 2 .四、反思感悟五、课时作业一、选择题1若直线的参数方程为x 1 2ty 2列为参数），则直线的斜率为（D）223A .B . C—D3322.下列在曲线3.将参数方程A.4、A. 方程一个定点二、填空题x 5.直线y x si n2y cos（为参数）上的点是（B ）sin2 sin2.2sin2(24tx3)2ty 5t2C . (2, . 3)D . (1^3)为参数）化为普通方程为（C• 一个椭圆2(0 y 1)0 （t为参数）所表示的一族圆的圆心轨迹是（D） C .一条抛物线 D .一条直线4t（t为参数）的斜率为5tt tx e e6 •参数方程t t 仇为参数）的普通方程为_________________________ 。
y 2（e t e t）x 1 3t7 •已知直线 h ：（t 为参数）与直线l 2 ：2x 4y 5相交于点 B ，又点y 2 4tA （1,2），则 AB _0.5__x 2 cos. ------- , ----------- 丁8、已知.（为参数），则（x 5） （y 4）的最大值是6。
y sin-x cosy 2 2y 的一个参数方程为（为参数）y 1 sin2%会癞被圆x 2 y 2 4截得的弦长为 両2（t 为参数）1 S2三、解答题11. （ 2012年高考23）.（本小题满分10分）选修4 — 4;坐标系与参数方程x = 2cos 6已知曲线C 的参数方程是y = 3sm （ 6为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是 p =2.正方形ABCD 的顶点都n在C 上，且A B 、C 、D 以逆时针次序排列，点 A 的极坐标为（2 ,—）.（I ）求点A B C 、D 的直角坐标;（n ）设P 为G 上任意一点，求|PA| 2+ |PB| 2 + |PC| 2+ |PD| 2的取值范围。
5 4（23）解：（I ）依题意，点A , B , C , D 的极坐标分别为（2, ）、（2, 5 ）、（2, 4）、9.曲线x 210 .直线x3 6 311⑵6).所以点A, B , C , D的直角坐标分别为（1, 3）、（3,1）、（ 1, 3）、（ 3, 1）；2 2 2 2(n)设P 2cos ,3sin ，则| PA | | PB | | PC | | PD |=(l-2cos0『—3sin°) +(—>/J_2cos0)+1 l-3sin (p\ +(-l-2cos°f + (—曲一3sin®) +(右一2cos0)+(-l-3sin=16cos2 0+36sin' 0+16 = 32 + 20sin2 0G [32,52].所以\PA\2 ^\PB\2+ PC|24|J3Z)|2^ 取值范圏为[32,52。