正态分布的概率密度与分布函数(修)
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正态分布（一）正态分布正态分布的概率密度如果连续型随机变量的概率密度为，(4.29)其中，，则称随机变量服从参数为，的正态分布，记作。
正态分布的数学期望和方差正态分布的图形有如下性质：1.它是一条以直线为对称轴的钟形曲线；2.它以横轴为渐近线，并且在处有拐点；3.它在处取得最大值，最大值为：由此可见，标准差越大，的图形就越平缓，标准差越小，的图形就越陡峭。
正态分布的分布函数，(4.30)（二）标准正态分布标准正态分布的概率密度参数，的正态分布，称为标准正态分布，记为。
标准正态分布的概率密度通常用表示，，(4.31)的图形如图４.12所示，它是一条以纵轴为对称轴的钟形曲线。
图4.12 标准正态分布概率密度函数标准正态分布的分布函数标准正态分布的分布函数通常用表示，，(4.32)图4.13 标准正态分布函数标准正态分布函数表对于非负的实数，可由标准正态分布函数表，直接查出的数值。
对于负的实数，根据标准正态分布的对称性，可由下式(4.33)计算出数值。
标准正态分布分位数设随机变量服从标准正态分布，对于给定的概率水平，满足等式（4.34）的正数，称为标准正态分布的水平的双侧分位数；满足等式（4.35）的正数，称为标准正态分布的水平的上侧分位数。
图4.14 正态分布双侧分位数例4.21假设，求下列概率：1.；2.；3.；4.。
解1.2.3.4.（三）正态分布与标准正态分布的关系如果，则于是，在正态分布与标准正态分布的概率密度和、分布函数和之间存在下列关系式：1.（4.36）2.(4.37)3.（4.38）这就是说，计算任一正态分布随机变量的概率都能通过标准正态分布来实现。
例4.22设，求下列概率：1.2.解因为，所以。
1.2.例4.23设，求下列概率：1.2.3.解1.2.3.从上面的结果可以看出，事件的概率很小，因此的取值几乎全部落在区间内，超出这个范围的可能性还不到。
这就是在产品质量控制中有重要应用的准则。
1.正态分布的概率密度与分布函数
1 P(2 X 100 2) 1[ (2) (2)]
0.6 1[0.9772 (1 0.9772)] 0.0456 4.56%.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
1
(
t) et2
2dt
2 π
e t2 2dt
t
e t 2
2dt.
2 π
2 π
因为 e t2 2dt 2 π , t et2 2dt 0 ,所以
E(X ) .
概率论与数理统计
§4.2 正态分布的数字特征
D(X ) 1
(x
)2
e(
x )2 2 2
dx
2 π
2 t 2 et2 2dt . 2 π
当 y 0 时，
FY ( y) 0 ;
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
当 y 0 时，
y
FY ( y) P( y X y)
y
1
y x2
e 2 dx
2π y
所以，Y 的分布函数为
y o
yx
FY ( y)
2
y x2
e 2 dx ,
2π 0
0,
y 0; y 0.
e
(
x )2 2 2
,
x
.
2.标准正态分布N(0 ,1)的概率密度与分布函数：
(x) Φ(x)
1
x2
e 2,
2π
x
.
1
x t2
e 2 dt.
2 π
概率论与数理统计
概率分布正态化总结讲解
a
1 b
(
1
1)
b
0.5772
2
标准差
ab 23
x (e 2 1)e(2 2 )
1
ab
( 2 1) [( 1 1)]2
b
b
1 6
x
4 2
统计参数向分布参数的转化
第一章：为什么要研究随机变量的分布
目前概率论预测方法的应用已经遍及自然科学和社会科学 的各个领域。从电子、航空、宇航、核能等尖端工业部门扩展 到电机与电力系统、机械设备、动力、土木建筑、冶金、化工 等部门。可靠性的应用也从复杂航天器的设计推广普及到日常 生活中的机电产品设计之中,并贯穿于产品的开发研制、设计、 制造、试验、使用、运输、保管及维修保养等各个环节。
第二章：常见的随机变量的分布类型
正态分布 均匀分布 指数分布 对数正态分布 极值分布（ Gumbel ） 瑞利分布（Rayleigh） 韦伯分布（ Weibull ）
正态分布概要
正态分布是在统计以及许多统计测试中最广泛应用的一 类分布。在概率论中, 正态分布是几种连续分布和离散分布 的极限分布。各种各样的心理学测试和物理现象都被发现近 似地服从正态分布。
正态分布概要
由上图可以看出约68%的数值分布在距离平均值有1个标准 差之内的范围，约95%数值分布在距离平均值有2个标准差之内 的范围，以及约99.7%数值分布在距离平均值有3个标准差之内 的范围。称为 "68-95-99.7法则"或"经验法则".
关于非正态分布需要转化的一些说明
由于正态分布具有上述一些优良的特性，而且工程界的大 多数参数都是服从正态分布的，因此在目前比较成熟的可靠 性分析方法中，很多方法（改进一次二阶矩方法，一次、二 次响应面法）往往都是针对正态分布展开的，因此我们对非 正态分布变量需要采用当量正态化。具体方法将在第三章中 详细介绍，为了能更好的理解各种分布类型的相关特性，对 实验数据的获得提供相应参考，本章将对一些常见的非正态 变量的分布类型分类进行简要阐述。
《正态分布》说课稿
《正态分布》说课稿正态分布是统计学中非常重要的一个概念，它描述了大量随机变量的分布规律，被广泛应用于各个领域的数据分析和预测中。
本文将介绍正态分布的基本概念、性质、应用以及如何利用正态分布进行统计推断。
一、正态分布的基本概念1.1 正态分布的定义：正态分布又称高斯分布，是一种连续概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，左右对称，中间最高。
1.2 正态分布的特点：正态分布具有唯一的均值和标准差，均值决定了曲线的中心位置，标准差决定了曲线的宽度。
1.3 正态分布的标准化：通过标准化可以将正态分布转化为标准正态分布，即均值为0，标准差为1的正态分布。
二、正态分布的性质2.1 正态分布的均值和中位数相等：正态分布的均值和中位数相等，即曲线对称中心位置处的值。
2.2 正态分布的68-95-99.7法则：约68%的数据落在均值附近的一个标准差范围内，约95%的数据落在两个标准差范围内，约99.7%的数据落在三个标准差范围内。
2.3 正态分布的线性组合仍然是正态分布：对于正态分布的线性组合，如两个正态分布的和或差，仍然是正态分布。
三、正态分布的应用3.1 在自然科学中的应用：正态分布常用于测量误差、实验数据分析等领域，如物理学、化学等。
3.2 在社会科学中的应用：正态分布被广泛应用于人口统计、心理学研究、经济学分析等领域。
3.3 在工程技术中的应用：正态分布在质量控制、可靠性分析、风险评估等方面有重要应用。
四、利用正态分布进行统计推断4.1 正态分布的参数估计：通过样本数据估计总体的均值和标准差，得到对总体的估计。
4.2 正态分布的假设检验：利用正态分布进行假设检验，判断总体参数是否符合某种假设。
4.3 正态分布的置信区间估计：通过正态分布的性质，构建总体参数的置信区间，对总体参数进行估计。
五、结语正态分布作为统计学中重要的概念，具有丰富的性质和广泛的应用。
通过深入理解正态分布的基本概念和性质，我们可以更好地应用正态分布进行数据分析和推断，为各个领域的研究和实践提供有力支持。
正态分布的概率密度与分布函数(修)
P ( X − µ < 2σ ) = 2Φ (2) − 1 = 0.9544,
第四章
正态分布
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
概率论与数理统计教程（第四版）
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布是最常见因而也是最重要的分布: 正态分布是最常见因而也是最重要的分布: 1. 很多随机现象可以用正态分布描述或近似描述； 2. 在一定条件下，某些概率分布可以利用正态分布 近似计算； 3. 在非常一般的充分条件下， 大量独立随机变量的 和近似地服从正态分布； 4. 数理统计中:(1)某些常用分布是由正态分布推导 得到的.(2) 统计推断中常用正态分布的统计量.
σ = Φ (k ) − Φ (−k )
σ
= Φ (k ) − [1 − Φ (k )]
= 2Φ (k ) − 1, k = 1 ,2 ,3 ,L.
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
查附表2得 P ( X − µ < σ ) = 2Φ (1) − 1 = 0.6826,
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布 N ( µ ,σ 2 ) 的分布函数为
1 F(x) = ∫e 2πσ
F (x )
1
( x−µ)2 x − 2σ 2 −∞
dx , − ∞ < x < +∞.
0.5
O
µ
x
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
1.正态分布的概率密度与分布函数
解：(1) P( X 1.96) (1.96) 0.975;
(2) P(1.6 X 2.5)
(2.5) (1.6) (2.5) [1 (1.6)] (2.5) 1 (1.6) 0.9938 1 0.9452
0.9390.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布的概率计算
定理. 设 X ~ N ( , 2 ) , 则
P( x1
X
x2
)
(
x2
) ( x1
).
证： P(x1 X x2 )
t
xμ σ
1
2π
x2 t2
e 2 dt
x1
1
e dx x2
(
x )2 2 2
标准正态分布的概率密度：
(x)
1 2π
x2
e2
,
ห้องสมุดไป่ตู้
x
;
标准正态分布的分布函数：
Φ(x) 1
x t2
e 2 dt .
2 π
(x) 的性质：
(0) 0.5; () 1; (x) 1 (x).
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例1.设X服从标准正态分布N (0 ,1) , 求
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例4.设随机变量 X 服从标准正态分布 N (0 ,1) , 求随
机变量函数 Y X 2 的概率密度.
解：已知随机变量X 的概率密度
fX (x)
1
x2
e 2,
2π
x .
正态分布 课件
总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。
正态分布在概率和统计中占有重要地位。
4、正态曲线的性质
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（μ－σ，μ＋σ]
0.6826
（μ－2σ，μ＋2σ]
0.9544
（μ－3σ，μ＋3σ]
0.9974
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（4）曲线与x轴之间的面积为1.
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
（5）若 固定, 随 值的变化而沿x轴平移, 故 称为位置参数
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定 .σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
5、特殊区间的概率:
m-a
m+a
x=μ
若X~N ,则对于任何实数a>0,概率 为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面积随着 的减少而变大。这说明 越小, 落在区间 的概率越大，即X集中在 周围概率越大。
4
0.04
[0.5,1)
8
0.08
[1,1.5)
15
0.15
[1.5,2)
22
0.22
[2,2.5)
25
0.25
[2.5,3)
14
0.14
[3,3.5)
6
0.06
[3.5,4)
4
0.04
[4,4.5)
2
0.02
11
高尔顿钉板实验的 频率分布直方图
这条曲线具有 “中间高，两头低” 的特征，像这种类型的曲线, 就是（或近似地是）以下函数的图像:
表示标准正态分布的概率密度函数,用Φ(x)
第三节 连续型随机变量的分布
2.3、连续型随机变量的分布
2.3.1、连续型随机变量的概率密度函数
由于连续型随机变量取值可以充满某个区间， 为了研究其概率分布，类似于质量分布的求法， 已知质量分布的线密度函数 μ(x) 时，在区间 [a,b]上分布的质量m可由质量密度函数积分求 得，即
m b(x)dx a
3
3
3
(2)P(2 X 10) P( 2 5 X 5 10 5) P(1 X 5 1.67)
3
3
3
3
(1.67) (1) 0.9525 (1 (1)) 0.7938
一般,设 X ~ N(, 2 ) , 则有
P(a
X
b)
( b
)
( a
)
案例分析见2.16~2.18
案例分析
【解答】(3). P{| X | 2} 1 P{| X | 2}
1 P{2 X 2}
1 [( 2 3 ) ( 2 3)]
2
2
1 [(2.5) (0.5)]
1 (0.9938 0.6915)
0.6977.
(4). P{ X 3} 1 P{ X 3}
1 (0)
x
1
x2
e2
2
x
x
( x) (t)dt
1 t2 e 2 dt
2
标准正态分布的概率密度函数和分布函数 的图形
图2-6 标准正态分布的重要性在于，一般的正态分布都 可以转化为标准正态分布进行研究.
定理 设 X ~ N(, 2 ), 则 Y X ~ N (0,1)
证明 P(a Y b) P(a X b)
1
xa a xb
xb
正态分布概率公式(部分)
图 6-2 正态分布概率密度函数的曲线正态曲线可用方程式表示。
当n→∞时，可由二项分布概率函数方程推导出正态分布曲线的方程：f(x)= （6.16 ）式中： x —所研究的变数； f(x) —某一定值 x 出现的函数值，一般称为概率密度函数（由于间断性分布已转变成连续性分布，因而我们只能计算变量落在某一区间的概率，不能计算变量取某一值，即某一点时的概率，所以用“概率密度”一词以与概率相区分），相当于曲线 x 值的纵轴高度； p —常数，等于 3.14 159 ……； e —常数，等于 2.71828 ……；μ为总体参数，是所研究总体的平均数，不同的正态总体具有不同的μ ，但对某一定总体的μ 是一个常数；δ 也为总体参数，表示所研究总体的标准差，不同的正态总体具有不同的δ ，但对某一定总体的δ 是一个常数。
上述公式表示随机变数 x 的分布叫作正态分布，记作N( μ , δ2 ) ，读作“具平均数为μ，方差为δ2 的正态分布”。
正态分布概率密度函数的曲线叫正态曲线，形状见图 6-2 。
（二）正态分布的特性1 、正态分布曲线是以x= μ 为对称轴，向左右两侧作对称分布。
因的数值无论正负，只要其绝对值相等，代入公式（ 6.16 ）所得的 f(x) 是相等的，即在平均数μ 的左方或右方，只要距离相等，其 f(x) 就相等，因此其分布是对称的。
在正态分布下，算术平均数、中位数、众数三者合一位于μ点上。
2 、正态分布曲线有一个高峰。
随机变数 x 的取值范围为（ - ∞，+ ∞ ），在（ - ∞ ，μ ）正态曲线随 x 的增大而上升，；当 x= μ 时， f(x) 最大；在（μ ，+ ∞ ）曲线随 x 的增大而下降。
3 、正态曲线在︱x-μ︱=1 δ 处有拐点。
曲线向左右两侧伸展，当x →± ∞ 时，f(x) →0 ，但 f(x) 值恒不等于零，曲线是以 x 轴为渐进线，所以曲线全距从 -∞到+ ∞。
正态分布的概率密度与分布函数(修)
正态分布的概率密度函数表达式为：$f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(xmu)^2}{2sigma^2}}$，其中$mu$是均值， $sigma$是标准差。
正态分布在实数轴上对称分布，其 概率密度函数关于均值$mu$对称。
参数解释
1 2
均值（$mu$） 正态分布的对称轴，决定了分布的位置。
正态分布在统计学中的应用
在回归分析中的应用
线性回归分析
正态分布是线性回归分析中误差分布的常用假设，它有助于估计未知参数和预测 未来观测值。
逻辑回归分析
在逻辑回归分析中，正态分布用于解释分类变量与连续变量之间的关系，通过概 率转换实现分类目的。
在质量管理中的应用
控制图
正态分布用于制作均值和标准差控制 图，监控生产过程中的产品质量波动。
与t分布的关系
01
t分布是正态分布在样本量较小或数据变异较大时的
近似分布。
02
t分布的形状由自由度决定，当自由度逐渐增大时，t
分布趋近于正态分布。
03
在统计推断中，t检验和t分布经常用于分析小样本数
据或异常值较多的数据集。
与F分布的关系
1
F分布是两个正态分布的比值的分布，常用于方 差卡尔·弗里德里希·高斯 （Carl Friedrich Gauss）在1809 年首次对正态分布进行了系统研究， 并将其应用于误差分析。
后续发展
随着统计学和概率论的不断发展， 正态分布在各个领域得到广泛应用， 成为概率论和统计学中的基础分布 之一。
定义
正态分布是一种连续概率分布，其概率 密度函数（pdf）呈钟形曲线。
正态分布的分布函数形式为：$F(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} int_{-infty}^{x} e^{-frac{(tmu)^2}{2sigma^2}} dt$，其中$mu$和$sigma$分别为均值 和标准差。
关于正态分布
正态分布图的解释来源normal distribution正态分布一种概率分布。
正态分布是具有两个参数μ和σ^2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ^2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ^2 )。
服从正态分布的随机变量的概率规律为取与Μ邻近的值的概率大，而取离Μ越远的值的概率越小；Σ越小，分布越集中在Μ附近，Σ越大，分布越分散。
正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。
它的形状是中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。
当μ=0，σ^2 =1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。
μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。
多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。
V结合分析理解：用户ARPU变动值，方差越小，则证明图形越靠近中心，也就是可以看出这样的用户ARPU变动不十分大，属于较为稳定的用户类型。
正态分布的特征正态分布的特征：服从正态分布的变量的频数分布由μ、σ完全决定。
1.集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。
2.对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。
均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。
正态分布有两个参数，即均数μ和标准差σ，可记作N（μ，σ）：均数μ决定正态曲线的中心位置；标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。
σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平。
3.u变换：为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。
μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。
正态分布以X=μ为对称轴，左右完全对称。
正态分布的均数、中位数、众数相同，均等于μ。
Σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，Σ越大，数据分布越分散，Σ越小，数据分布越集中。
正态分布及随机变量函数的分布
在概率论中，大数定律可以帮助我们预测某一事件发生的概率，例如在赌博游戏中，大数定律可以帮助我们预测 长期赌博的胜率。
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证明过程
需要用到概率论和数理统计中的一些高级概念，如大数定律 、特征函数等。
中心极限定理的应用
01
在统计学中，中心极限定理是 用来推导各种统计量的分布的 重要依据，如样本均值、样本 中位数、样本方差等。
02
在金融领域，中心极限定理用 于分析股票价格波动、收益率 分布等问题。
03
在生物学和医学研究中，中心 极限定理用于研究遗传学、流 行病学等领域的数据分析。
在科学研究领域，实验数 据的统计分析也常常用到 正态分布。
Part
02
随机变量
随机变量的定义
STEP 01
随机变量
STEP 02
离散随机变量
在随机试验中，每一个样 本点用一个实数来表示， 这个实数称为随机变量。
STEP 03
连续随机变量
如果随机试验的结果不能 一一列出，则称这种随机 变量为连续随机变量。
数学表述
设随机变量 X1,X2,...,Xn 是来自总体 X 的简单随机样本，当 n 充分大时，样本均值 X_bar 的分布近似服 从均值为 μX ，标准差为 σX / sqrt(n) 的正态分布。
中心极限定理的证明
证明方法
数学证明通常采用级数收敛的方法，通过将样本均值表示为 无穷级数，并证明这个级数在概率上收敛于正态分布。
正态分布的性质
集中性
正态分布曲线是关于均值 μ对称的，大多数数据值 集中在均值μ附近。
均匀性
随着数据值远离均值μ， 数据值出现的概率逐渐减 小，且速度逐渐减慢。
《正态分布》说课稿
《正态分布》说课稿引言概述：正态分布是概率统计学中重要的一种概率分布，也被称为高斯分布。
它在自然界和社会科学中的应用非常广泛，被广泛用于描述各种随机变量的分布情况。
本文将从五个方面详细介绍正态分布的概念、性质、应用以及计算方法。
一、正态分布的概念1.1 正态分布的定义：正态分布是一种连续型的概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，摆布对称，以均值μ为中心，标准差σ决定曲线的宽窄。
1.2 正态分布的特点：正态分布具有惟一的均值和标准差，均值决定了曲线的位置，标准差决定了曲线的形状。
1.3 正态分布的标准化：通过标准化可以将正态分布转化为标准正态分布，使得计算更加方便。
二、正态分布的性质2.1 正态分布的对称性：正态分布的概率密度函数在均值处对称，即摆布两侧的曲线形状彻底相同。
2.2 正态分布的稳定性：正态分布具有稳定性，即多个独立的正态分布的和仍然服从正态分布。
2.3 正态分布的中心极限定理：根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似服从正态分布。
三、正态分布的应用3.1 统计判断：正态分布在统计判断中起到重要的作用，例如通过样本均值的正态分布来判断总体均值的置信区间。
3.2 质量控制：正态分布在质量控制中被广泛应用，例如通过控制图来判断产品质量是否稳定。
3.3 金融领域：正态分布在金融领域中的应用也非常广泛，例如股票收益率的分布通常被假设为正态分布。
四、正态分布的计算方法4.1 正态分布的概率计算：可以使用标准正态分布表或者计算机软件来计算正态分布的概率。
4.2 正态分布的参数估计：可以使用最大似然估计或者最小二乘法来估计正态分布的参数。
4.3 正态分布的抽样方法：可以使用随机抽样方法来获取符合正态分布的样本。
五、结语正态分布作为概率统计学中重要的一种分布，具有丰富的性质和广泛的应用。
通过深入了解正态分布的概念、性质、应用以及计算方法，我们可以更好地应用正态分布进行数据分析和判断，为各个领域的决策提供科学依据。
几种常见的概率分布率-(1)分解
➢ 标准正态分布的偏斜度γ1和峭度γ2均为零。
以下一些特征值很重要：
-3 -2 -1
1 23
68.27%
95.45%
99.73%
P（-1≤u＜1）=0.6826 P（-2≤u＜2）=0.9545 P（-3≤u＜3）=0.9973
4.822），求：
（1）X<161cm的概率； （2）X>164cm的概率； （3）152<X<162的概率。
x-
=
161 - 156.2 4.82
=
1.00
x
=
164 - 156.2 4.82
=
1.62
x
=
152 - 156.2 4.82
=
-0.87
x
=
162 - 156.2 4.82
=
1.20
四、 正态分布的单侧分位数和双侧分位数
x
[(1-
-1
p) ]p - p(n-x)
（当n→∞时，系数的极限为1，且nφ =μ）Βιβλιοθήκη x!= x e-x!
1
-1
e = lim (1 z) z，lim (1 - p) p = e
z0
p0
二、 服从泊松分布的随机变量的特征数
➢ 平均数：μ=λ ➢ 方差： σ2 = λ
➢ 偏斜度： 1=
1
➢
峭度：
标轴从－∞到u所夹的面积，该曲线下的面积即表示随机 变量U 落入区间（－∞，u）的概率；
➢ 标准正态分布查表常用的几个关系式：
• P（0<U <u1）=F（u1）－0.5 • P（U >u1）=F（－u1）=1－F（u1） • P（∣U∣>u1）=2F（－u1） • P（∣U∣<u1）=1－ 2F（－u1） • P（u1<U <u2）=F（u2）－F（u1）
正态分布
3、正态曲线的性质
ϕµ,σ ( x) =
y µ= -1 σ=0.5
1
2πσ y
e
−
( x − µ )2 2σ 2
, x ∈ (−∞, +∞)
y µ=1
µ=0 σ=1 σ=2 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x
-3 -2 -1 0
1 2
x
-3 -2 -1 0
1 2 3 x
轴的上方， 轴不相交. （1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交. 曲线在 轴的上方 轴不相交 它关于直线x=µ对称 对称. （2）曲线是单峰的 它关于直线 ）曲线是单峰的,它关于直线 对称 处达到峰值(最高点 （3）曲线在 ）曲线在x=µ处达到峰值 最高点 处达到峰值 最高点) 轴之间的面积为1 （4）曲线与 轴之间的面积为 ）曲线与x轴之间的面积为
若某一随机变量的概率密度函数（频率曲线方程） 为上式，则称该变量X服从参数为µ和σ的正态分布， 记为：X～N（µ,σ2）。 函数方程中µ为位置参数，σ为形状参数。 在σ不变的情况下，函数曲线形状不变，若µ变大 时，曲线位置向右移；若µ变小时，曲线位置向左 移。 在µ不变的情况下，函数曲线位置不变，若σ变大 时，曲线形状变的越来越“胖”和“矮”；若σ变 小时，曲线形状变的越来越“瘦”和“高”。
选修2-3 高二数学 选修
正态分布
引入
正态分布在统计学中是很重要的分布。 正态分布在统计学中是很重要的分布。我们知 离散型随机变量最多取可列个不同值， 道，离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于 某一特定实数的概率可能大于0， 某一特定实数的概率可能大于 ，人们感兴趣的是 它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列； 它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列； 连续型随机变量可能取某个区间上的任何值， 连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等 于任何一个实数的概率都为0， 于任何一个实数的概率都为 ，所以通常感兴趣的 是它落在某个区间的概率。 是它落在某个区间的概率。离散型随机变量的概率 分布规律用分布列描述， 分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率 分布规律用密度函数（曲线）描述。 分布规律用密度函数（曲线）描述。
正态分布及其性质
x2 2
标准正态总体N(0,1)的概率问题:
由于标准正态总体 N 0,1 在正态总体的研究 中有非常重要的地位，已专门制作了“标准正态 分布表” 。
P(| | 3) (
3
2.5 2.5 (1.90) ( 1.90)
) (
3
)
(1.90) [1 (1.90)] 2(1.90) 1 0.9426 P( 5 0.8) P( 4)
C 5 (0.9426) 0.0574 (0.9426)
（2）对称区域面积相等。
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)
对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
x2 x1
知识点：标准正态曲线
当μ＝0，σ＝1时，正态总体称为标准正态 总体，其相应的函数表达式是
1 f ( x) e , x R 2
( 2)若 ~ N (u, 2 )， 则的分布函数 用F ( x )表示， 且有P ( ≤ x ) = F ( x ) = ( x-u
)
7.标准正态分布与一般正态分布的关系:
(1).若 ~ N(, ), 则 ~ N(0,1). 2 ( 2). ~ N(, ), b a P(a b ) ( ) ( ), 然后，通过查标准正态 分布表中 a b x ,x 的( x)值.(课本P58页) 2
ex : 一批灯泡的使用时间 (单位 : 小时)服从 正态分布N， (10000 ,4002 )则这批灯泡中使用 时间超过10800 小时的灯泡的概率为
表示标准正态分布的概率密度函数用φx
05 标准正态分布在数据分析 中的应用
在回归分析中的应用
标准化回归系数
在多元回归分析中，标准正态分布可用于计算标准化回归系数， 以比较不同解释变量对因变量的影响程度。
模型诊断
标准正态分布用于评估回归模型的残差分布，通过观察残差的正态 性检验模型的假设是否成立。
预测区间
基于标准正态分布，可以计算因变量的预测区间，为预测未来观测 值提供参考。
概率密度函数的应用
描述
标准正态分布的概率密度函数在多个领域都有应用，如统计学、概率论、金融、生物统 计学等。
实例
在金融领域，标准正态分布的概率密度函数用于描述股票价格波动的情况；在生物统计 学领域，用于描述人类的身高、体重等特征的分布情况。
优势
标准正态分布的概率密度函数具有一些优良性质，如概率密度函数曲线下的面积表示概 率，且该曲线具有对称性和可加性等。
的分布情况。
概率密度函数的图像
1 2
描述
标准正态分布的概率密度函数图像呈钟形曲线， 最高点位于纵轴上，对称轴为纵轴。
特点ห้องสมุดไป่ตู้
随着 x 值从 -∞ 到 +∞ 的变化，φ(x) 的值从 0 逐渐增加到 1，然后再逐渐减小到 0。
3
应用
通过标准正态分布的概率密度函数图像，可以直 观地了解随机变量的分布情况，并用于概率计算 和统计分析。
在统计决策中的应用
风险决策
标准正态分布用于风险决策分析，通过计算期望值和标准差等指标， 评估不同方案的风险和收益。
质量控制
在质量控制中，标准正态分布用于监控生产过程中的关键指标，通 过控制图和过程能力指数等方法，确保生产过程的稳定性和可靠性。
可靠性分析
在可靠性工程中，标准正态分布用于分析产品的寿命和故障模式，为 产品的设计和改进提供依据。
正态分布的概率密度与分布函数(修)
一般正态分布的概率计算
[定理]
设 X ~ N( , 2) , 则Biblioteka P(x1Xx2
)
(
x2
)
( x1
).
证：
t
x
P(x1 X x2 )
1
x2 t2
e 2 dt
2 π x1
1
e dx x2
(
x )2 2 2
2 x1
1
x2 t 2
e 2 dt
2 π
1
x1 t 2
e 2 dt
正态分布(或高斯分布).
记作：
X ~ N ( , 2). 特别，当 0, 1时称 X 服从标准正态分布.
记为：
X ~ N (0 ,1).
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布的概率密度与分布函数
正态分布 N ( , 2 )的概率密度
f (x) 的图形：
f (x)
分布曲线的特征：
1
2
即 P( X 168 x 168) 0.99, ( x 168) 0.99,
由于
7
7
(2.33) 0.9901 0.99, 可取
7 x 168 2.33
x 184.31
7
故车门高度应设计为
184.31 厘米。
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
[例6] 设随机变量
X 服从标准正态分布
2 π
( x2 ) ( x1 ).
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
[例2] 设随机变量
X 服从正态分布
P(1.6 X 2.4).
N (1 ,22 ) , 求概率
解： P(1.6 X 2.4) (2.4 1) (1.6 1)
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(k) [1 (k)] 2 (k) 1, k 1 ,2 ,3 ,.
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
查附表2得
P( X ) 2 (1) 1 0.6826, P( X 2 ) 2 (2) 1 0.9544, P( X 3 ) 2 (3) 1 0.9973. 说明： 若 X ~ N ( , 2 ) , 则 P( X 3 ) 1 P( X 3 )
(x)
1 2
π
x2
e2
,
x
;
标准正态分布的分布函数：
Φ(x)
(x) 的性质：
1
x t2
e 2 dt .
2 π
(0) 0.5; () 1; (x) 1 (x).
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
[例1] 设 X 服从标准正态分布 N (0 ,1) , 求 (1) P(X 1.96); (2) P(1.6 X 2.5).
2(2) 1 0.9544
故产品的正品率为 0.9544
[例5]
公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的
机会在 0.01 以下来设计的。 设男子的身高
X ~ N (168, 72 ). 问车门的高度应如何确定？
解 设车门高度为 x(cm), 则 P( X x) 0.01
于是 P( X x) 0.99
[定理] 设 X ~ N( , 2) , 则
P(x1
X
x2
)
(
x2
)
( x1
).
证：
t
x
P(x1 X x2 )
1
x2 t2
e 2 dt
2 π x1
1
e dx x2
(
x )2 2 2
2 x1
1
x2 t 2
e 2 dt
2 π
1
x1 t 2
e 2 dt
2 π
( x2 ) ( x1 ).
[例4]
某机器生产的螺栓的长度（cm)服从正态分布
N (10.05, 0.062 ) ,规定长度在范围 10.05 0.12
内为正品， 求产品的正品率。
解 X ~ N (10.05, 0.062 ) P( x 10.05 0.12) P( x 10.05 2) 0.06 (2) (2)
第四章
正态分布
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布是最常见因而也是最重要的分布:
1. 很多随机现象可以用正态分布描述或近似描述；
2. 在一定条件下， 近似计算；
某些概率分布和近似地服从正态分布；
大量独立随机变量的
即 由于
P( X 168 x 168) 0.99, (
7
7
(2.33) 0.9901 0.99,
可取
x
x 168) 0.99, 7
168 2.33
x 184.31
7
故车门高度应设计为 184.31 厘米。
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
[例6] 设随机变量 X 服从标准正态分布 N (0 ,1) , 求随
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
[例3] 设随机变量 X 服从正态分布 N ( , 2 ) , 求 X 落 在区间 ( k , k ) 内的概率， 这里 k 1 ,2 ,3 ,.
解：
P( X k ) P( k X k )
( k ) ( k )
(k) (k)
正态分布(或高斯分布). 记作：
X ~ N ( , 2). 特别，当 0, 1 时称 X 服从标准正态分布. 记为：
X ~ N (0 ,1).
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布的概率密度与分布函数
正态分布 N ( , 2 ) 的概率密度 f (x) 的图形：
f (x)
分布曲线的特征：
4. 数理统计中:(1)某些常用分布是由正态分布推导
得到的.(2) 统计推断中常用正态分布的统计量.
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布的定义
[定义] 若随机变量 X 的概率密度为
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x ,
2 π
其中 及 都是常数， 0. 则称随机变量 X 服从
1
2
1.关于直线 x 对称；
2.在 x 处达到最大值；
3.在 x 处有拐点；
O
x
4. x 时曲线以 x 轴为渐近线.
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
5. 固定 , 改变 . 则图形沿 x 轴平移而不改变
其形状.
f (x)
6. 固定 , 改变 , 则当 很小时，
曲线的形状与一尖塔相似；
1 0.9973 0.0027 0.003.
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
由此可知 X 落在 ( 3 , 3 ) 之外的概率小于 3 ‰， 根据小概率事件的实际不可能性原理， 通常把区间 ( 3 , 3 ) 看作是随机变量 X 的实际 可能的取值 区间. 这一原理叫做 “三倍标准差原理” (或"3 法则").
当 值增大时，
曲线将趋于平坦.
O
1
1.5 3 7.5 x
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布 N ( , 2 ) 的分布函数为
F(x) 1
x
(
e
x )2 2 2
dx
,
x .
2 π
F (x)
1
0.5
O
x
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
标准正态分布的概率密度：
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
[例2] 设随机变量 X 服从正态分布 N (1 ,22 ) , 求概率 P(1.6 X 2.4).
解：P(1.6 X 2.4) (2.4 1) (1.6 1)
2
2
(0.7) (1.3)
(0.7) [1 (1.3)]
0.7580 (1 0.9032) 0.6612.
解：(1) P( X 1.96) (1.96) 0.975;
(2) P(1.6 X 2.5)
(2.5) (1.6) (2.5) [1 (1.6)] (2.5) 1 (1.6) 0.9938 1 0.9452
0.9390.
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
一般正态分布的概率计算
机变量函数 Y X 2 的概率密度.
解： 已知随机变量 X 的概率密度
fX (x)
1
x2
e 2,
2π
x .
先求随机变量 Y 的分布函数：