高等数学曲面积分与曲线积分之格林公式

连通区域从而变成(2)的情形.
高 Q P 等 )dxdy P( x, y )dx Q( x, y )dy中取 在公式 D ( 数 x y L 学 电 子 P y, Q x ，即得 案
2 dxdy xdy ydx
D L
1 S dxdy xdy ydx D 2 L
高 例2 设C是任意一条分段光滑的闭曲线,计算 等 2 3 2 数 2 x ydx x dy C 3 学 电 子 解：记 P 2x 2 y, Q 2x3 / 3, 则 案
Q P 2 P 2 Q 2x , 2x , 0 x y x y
2 3 2 x ydx x dy 0dxdy 0 C D 3

C1
Pdx Qdy Pdx Qdy
C2
则称该曲线积分在D内与积分路径无关.
高 如果与路径无关,再注意一下曲线积分 等 数 的方向,可把上式写成 学 电 Pdx Qdy Pdx Qdy C C 子 案
1 2
y
C2
C-2 A D
B
C1
x

C1
Pdx Qdy
高 等 若L是平面区域D的边界曲线，规定L的正向如下： 数 学 电 我们沿L的方向行走时，D内在我们近处的那一部分总在我们 子 案 的左边.
例如:D为复连通区域，其边界曲线为L与l. 作为D的正向边界， L的正向是逆时针方向，l的正向是顺时针方向.
l
L
高 定理1 (格林公式) 设平面有界闭区域D由分段光滑闭曲线L 等 围成，P(x, y)、Q(x, y)在D上有一阶连续偏导数，则 数 Q P 学 P( x, y )dx Q( x, y )dy D ( x y )dxdy 电 L 子 案 其中L为D的取正向的边界曲线.

4 1 cos 4 a 2 2 a 4 sin 2 2d 2 2 a 4 d 0 0 2 2


高 等 解法二: 利用圆的参数方程转化为定积分计算 数 学 x a cos ,dx a sin d 电 y a sin ,dy a cosd 2 2 y xdy x ydx 子 L 案
2
高 等 数 学 电 子 案
dxdy , 其中D是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点 D Y A B 的三角形闭区域.
例3 求
e
y2
Q P y 2 y2 e , P 0, Q xe 解: x y
O
y2
1
x
e
D
y2
dxdy
高 等 数 学 电 子 案
二
平面上曲线积分与路径无关的条件
在计算对坐标的曲线积分时,有的曲线积分和积分曲线的 路径无关而只与曲线的起点和终点有关.这时我们可以取简
单的积分路径处理. 现在我们来讨论这个问题.
设P(x, y), Q(x, y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，在D 内任意指定两点A、B，从A到B任取两条在D内的路线C1和 C2，若有
高 等 数 学 电 子 案
例1 求椭圆 x a cos , y b sin 的面积S.
解： S
1 xdy ydx 2 C
1 1 2 S (a cos b cos b sin a sin )d abd ab 2 C 2 0
0 dxdy 0
D
高 (2)当(0,0) D时, 选取适当小的r>0，作位于D内的圆周 等 Y 数 L : x2 y 2 r 2 . 对C和L所围成的闭区域应用 C 学 电 格林公式，得 D1 子 L 案 ( Q P )dxdy Pdx Qdy Pdx Qdy 0 D C L
高 同理，设D:{(x, y)| c≤y≤d，x1(y)≤x≤x2(y)}，可证明 等 数 Q Q( x, y )dy 学 D x dxdy L 电 子 两式同时成立,合并后得到格林公式. 案
(2)若D是一般单连通区域,这时可用几段光滑曲线将D分成 若干个既是X型又是Y型的区域. (3)若D为复连通区域，这时可用光滑曲线将D分成若干个单
y
0
x
x dy dx y
y
L
2
xdy x ydx 4
2
a
0
x y x dx x 2 ydx y
2
8 x 2 a 2 x 2 dx 8 2 a 4 sin 2 cos 2 d
0 0
a
x a sin dx a cosd
是沿G内任意闭曲线的曲线积分为零)的充分必要条件是
Q P x y
在G内恒成立.
高 等 数 学 电 子 案
证明：(充分性)
在G内任取一闭曲线C,因为G是不带“洞”的单连通区域,
所以由பைடு நூலகம்围成的闭区域D完全包含在G内,由于在G内有
Q P x y
所以由格林公式
Q P C Pdx Qdy D ( x y )dxdy 0
L
P( x, y)dx

a b
AB
P( x, y1 ( x))dx 0
BE EF FA a
b
b
P( x, y2 ( x))dx 0 [ P( x, y2 ) P( x, y1 )]dx
a
P dxdy P( x, y )dx D y L
1 高 ( ydx xdy), 判断它是否与路径 例 1 设有曲线积分 2 2 C 等 x y 数 学 有关?其中C是平面区域D的边界曲线(取正向) 电 子 2+y2≤1; (2)D为1<x2+y2≤4的圆环域. (1)D 为圆域 (x-3) 案
y x P Q y2 x2 解：(1) P 2 ,Q 2 , 2 2 2 2 x y x y y x （x y 2）
Q P L Pdx Qdy K ( x y )dxdy 0
高 等 其中L是k的边界,这样就与在G内任意闭曲线积分为零的假 数 学 设矛盾.因此G内的这样的点M 不可能存在,即证明了在G内 0 电 Q P 子 案 处处有 x y
注:定理中要求平面区域G内不能有“洞”(即一定要单连通 区 域),且P,Q在G内具有一阶连续偏导数,这两个条件缺一不可.
三
二元函数的全微分求积
现在讨论：函数P(x,y),Q(x,y)满足什么条件时,表达式
C

2
Pdx Qdy 0
C1 C2
Pdx Qdy 0
其中C1+C2-形成一个通过A,B两点的闭路,而且是任意的闭路,
因此我们得到:如果在D内曲线积分与路径无关,那么沿D内
任意闭曲线积分为零;反过来若沿D内的任意闭路曲线积分
为零,则该曲线积分在D内与路径无关.
高 等 定理2 设G一个单连通区域,P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连 数 学 电 续的偏导数,则曲线积分 L Pdx Qdy 在G内与路线无关(或 子 案
1
x
y

x
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy
C L L

C
2 2 2 2 2 cos sin xdy ydx d 2 2 2 0 x y
2
高 等 数 学 电 子 案
例6 计算 I
ANO
x r cos , y r sin (1 r 2)
1 则： C 2 2 ( ydx xdy) x y 2 1 [( r sin )( r sin ) r cos r cos ]d 0 r2
d 2 0
0
2
高 等 数 学 电 子 案
在此区域内,dP/dy,dQ/dx连续且处处相等.由定理2可知,积分 和路径无关.
高 等 数 学 电 子 案
(2)此时的区域D为1<x2+y2≤4,是一个带“洞”的环形域,虽然
在D内有
P Q y 2 x 2 2 y x x y 2
但是它得不出积分与路线无关的结果.我们取C:
高 等 数 学 电 子 案
Q P 0 (必要性) 用反证法,假设在M0(x0, y0)处 x y
作以M0为中心, 足够小的ξ>0为半径的小圆域: (x-x0)2+(y-y0)2≤ ξ2 记这小圆域为k,由dP/dy和dQ/dx的连续性,那么在k内处处有
Q P x y
再由格林公式:
证明: (1)先证D是X型又是Y型的情形. 设平面域D:{(x,y)|a≤x≤b,y1(x)≤y≤y2(x)}，因
P 连续，故 y
y
y2(x) F A a D y1(x)
E C B b x
高 等 数 学 电 子 案
b y2 ( x ) P b P D y dxdy a dxy1 ( x) y dy a [ P( x, y2 ) P( x, y1 )]dx

顺时针
y 2 xdy x 2 ydx
逆时针
y 2 xdy x 2 ydx
Q p ( )dxdy ( x 2 y 2 )dxdy D x D y

2
0
d 2 d
0
a
a 4
2
高 等 数 学 电 子 案
ydx xdy , 例5 计算 C 2 2 x y
高 等 数 学 电 子 案
第三节
一 格林公式
格林公式及其应用
格林公式建立了重积分与曲线积分的联系，我们先从
特殊的区域来看这种联系，然后再推广到一般的情况. 平面单连通区域：如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D， 则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域. 通俗的说，平面单连通区域是不含有“洞”的区域.
(e x sin y m y)dx (e x cos y m)dy
y
其中A(a,0),o(0,0),ANO是沿x2+y2=ax
N
x
的上半圆.
o
解: P e x sin y my, Q e x cos y m
A(a,0)
P e x cos y m, y
Q e x cos y x
oA AB BO
0 xe
y2
dy
OA
xe
dy 0 0
xe
0
1
x2
1 dx (1 e 1 ) 2
高 等 数 学 电 子 案
2 2 2 2 2 y xdy x ydx x y a 其中L是圆周 例4 计算
方向是顺时针方向.
2 2 2 解法一 : x y a 2 xdx 2 ydy 0
其中C是一条不经过原点的分段
光滑的不自相交的简单闭曲线，方向取逆时针方向.
解:
y x P 2 ,Q 2 2 x y x y2
y
C
2 2 Q y x P x 2 y 2 0时，有 2 x ( x y 2 ) 2 y
D
x
下面分两种情况计算.
ydx xdy Q P ( )dxdy (1)当(0,0) D时, 则C 2 2 D x x y y
Q P m x y
高 等 数 学 电 子 案
OA :y 0, dy 0
Pdx Qdy 0
OA
I
ANO

OA

ANOA
Pdx Qdy
Q P a 2 a 2 ( )dxdy m dxdy m ( ) D x D y 2 2 8

2
0
[a 4 sin 2 cos2 a 4 sin 2 cos2 ]d
2
2 sin 2 cos2
0
a 4
2
高 等 数 学 电 子 案
解法三：利用格林公式计算
Q y 2 x, Q P y 2 , P x 2 y, x2 x y