有关于π的奇妙数学知识

有关于π的奇妙数学知识

——数学系数学生丙寅

读初中时，数学是不是经常让人头疼？那时候学会一首“古诗”,至今没忘：山巅一寺一壶酒（3.14159），尔乐苦煞吾（26535），把酒吃（897），酒杀尔（932），杀不死（384），乐而乐（626）。现在，圆周率π小数点后你还能记得几位?

π最早发源于希腊词汇περιφρεια（peripheria），即边缘，边界之意。尽管四大古文明中早有它的身影，π真正作为一个通用常数被定义仍然要回溯到17世纪。可确证的史料中，π第一次出现是在威廉奥特瑞德1631年的著作《数学之钥》里。紧接着，威廉琼斯在他编写的数学教材《新数学导论》（1706年）中同样提到了这个常数。1748年，数学家欧拉通过在他的著作《无穷小分析引论》中定义并使用π，才真正将它带进了数学界的认识中。可能是因为定义简单以及在数学公式中随处可见，π在流行文化中的出现频率及地位远远高于其他数学常数。

π是无理数，无法用分数表示。但它有许多种近似。最常见的是十进位的无限不循环小数：3.14159265…，以及用分数表示的22/7、333/106、355/113、52163/16604...。在60进制的系统中，π还可以被表示成3+8/60+30/60^2+...。莱布尼茨则用数列求和的方法表示圆周率：

π/4=1-1/3+2/5–1/7+1/9–1/11+…

苏格兰数学家詹姆斯·格雷果里将这个近似表示成另一种形式，即我们熟知的，arctan的泰勒级数展开。

除了这些本身的数学特征外，π在很多实际问题中，也经常出现。

1、π决定了曲流河的蜿蜒程度

一条平原上的河流，它的曲折程度——也就是河道的总长度除以源头到入海口的直线距离——随着时间推移会趋向于π。这是π在现实中最惊人的应用之一。1996年数学家Hans-Henrik Stolum在《科学》上发表论文证明了这一点。现实中没有那么理想的河流，平原河的这个数值更可能比π稍微低一点儿。不过这也没那么神秘，想象一下一条由许多圆弧交替拼接组成的河流，就能直觉上理解为何这个数值是π了。

2、π里包含了所有可能的数字组合吗？答案是“不知道，大概吧”

这个观点至今还没有被证明。因为π是无理数，所以有可能包含了所有的数字组合。但不是任何无理数都会包含所有可能的数字组合，举个简单的例子：0.909009000900009.......一直这样下去，这个数也是无理数，但它只有9和0的数字组合。

3、重力加速度g和π的平方很接近

你算过π的平方吗？掏出计算器算一下看看，你会发现它约等于9.87。做过高中物理题的同学可能会意识到，这和地球表面的重力加速度g——9.81m/s^2——在数值上很接近了。π是没有单位的，所以怎么着都是这个数。但是重力加速度是有单位的，所以如果当年对标准单位定义变了，那这个数也会变。而历史上第一个“米”的定义，就是恰好能让π^2和g在数值上相等。但这算不上是巧合，1668年提出这种方案的英国人约翰·威尔金斯是根据“秒摆”来定义的。所谓秒摆就是从一头到另一头正好花费1秒的单摆（也就是周期为2秒），他把秒摆的长度定义为1米。那么，根据单摆的周期公式

T=2π（L/g）^1/2

T=2秒，L=1米，就立刻能够得出g=π^2m/s^2。听起来是很方便合

理的定义公式嘛。但到了1791年，法国大革命期间，法国科学院要设立一种新的度量衡——也就是今天的米制。竞争的双方，就是秒摆定义和地球周长定义。不过最终科学院选择了周长定义——把1米定义为地球子午线长度的400万分之1。这是因为，当时已经发现重力加速度在地球各个表面是不同的，所以一个秒摆换了地方就不是很准确了。

4、π经常在各种学科里出现，比如——概率论

在几何问题中，圆周率显然很重要；但奇怪的是，π也驰骋于几何以外的其它数学领域，它在概率问题中的频繁出现让人们得以通过实验模拟估算它的值。比如鼎鼎有名的布丰投针问题：地板上画一系列间距为2a的平行线，将一根长度为a的针随机投向地面n次，那么针与平行线相交的概率是多少？1777年，布丰本人给出了解答——

相交概率为1/π。很多人甚至依靠此实验推算π的近似值。1850年，一位叫沃尔夫的人在投掷5000多次后，得到π的近似值为3.1596。

由投针问题引入的计算π的方法，不但因其奇妙而让人叫绝，而且还开创了随机数处理确定性数学问题的先河。

5，π还在最美数学公式里出现

最美数学公式也叫欧拉公式

πi e

+

1=

欧拉公式包括了五个基本的数学常数0,1,i,e和π，以及它们之间的等号，加号和指数，以一种神秘而又有用的方式，组成了这个七字符的公式。

正是因为π有这么多神奇的应用，国际数学协会，特地在每年的3月14日，定为国际数学节，或者圆周率日，同时以此来几年数学

家祖冲之，他首次将圆周率精算到小数第七位。直到16世纪，阿拉伯数学家阿尔·卡西才打破了这一纪录。