高考数学最值问题

专题十六最值问题

【考点聚焦】

考点1向量的概念、向量的加法和减法、向量的坐标运算、平面向量的数量积

考点2:解斜三角形.

考点3:线段的定比分点、平移.

考点4:向量在平面解析几何、三角、复数中的运用

考点5:向量在物理学中的运用.

【自我检测】

1求函数最值的方法：配方法，单调性法，均值不等式法，导数法，判别式法，三角函数有界性，图象法，

2、求几类重要函数的最值方法；

(1)二次函数：配方法和函数图像相结合；

a

(2) f (x) =x (a = 0, a • R):均值不等式法和单调性加以选择；

x

(3)多元函数：数形结合成或转化为一元函数•3、实际应用问题中的最值问题一般有下列两种模型：直接法，目标函数法(线性规划，曲函数的最值)

【重点•难点•热点】

问题1:函数的最值问题

函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问题最后总是转化为函数(特别是二次函数)的最值问题•求函数最值的方法有：配方法、均值不等式法、单调性、导数法、

判别式法、有界性、图象法等•

例1: (02 年全国理1)设a 为实数，f (x) =x2+ x —a +1(x^ R)，

(1)讨论f (x)的奇偶性；(2)求f (x)的最小值.

思路分析：(1)考察f(x)与f (-x)是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证.(2)二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像，当对称轴与所给区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论.

(1)解法一：(利用定义)f (一x) =x2+ x + a +1, - f (x) = -x2- x -a T.

若f(x)为奇函数，贝V f(-x) = -f(x),即2x2+ x + a +|x-a +2 = 0.此等式对R

都不成立，故f(x)不是奇函数；

若f (x)为偶函数，则f (―x) = f (x)，即x2+ x + a +1 = x2+|x —a +1,此等式对x・R

恒成立，只能是a = 0 .

a式0

故a=0时，f(x)为偶数；时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

解法二：(从特殊考虑)f (0) =|a +1,又X E R，故f(x)不可能是奇函数.

若a = 0 ,则f (x)二f (_x) = x2 - x 1，f (x)为偶函数；

a式0 a式0 若，则f (a)二a21, f(-a)二a22a 1，知f (-a) = f (a)，故f (x)在

时，既不是奇函数又不是偶函数.

2 1 2 3

(2)当x玄a时，f (x) = x2- x • a • 1 = (x ) a ，由二次函数图象及其性

4

1

质知：若a乞㊁，函数f (x)在(-：：，a］上单调递减，从而函数 f (x)在(-：：，a］上的最小值

1 1 3

为f (a)二a2• 1 ；若a ,函数f (x)在(-：：,a］上的最小值为f () ,且1

f(2)-f (a)-

2 1 2 3

当x 亠a时，函数f (x) = x2• x-a • 1 = (x ) -a -

2 4

1 13 1

若a ，函数f (x)在［a, •：：)上的最小值为f( ) a，且f ( ) _ f (a)；

1

若a空『2 ,函数f (x)在［a,=)上单调递增，从而函数函数f (x)在［a「：)上的最小

值为f (a)二a21.

1 3 11

综上所述，当a 时，函数f (x)的最小值是 a ;当 a 时，函数f (x)

2 4 2 2

1 3

的最小值为a2 1 ；当a 时，函数f (x)的最小值是a -.

2 4

点评：1.研究函数奇偶性的关键是考察函数的定义域是否关于原点对称以及 f (x)与

f(-x)是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证.

2 •二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像•当对称轴与所给定义域区间

的相对位置关系不确定，则需分类讨论.

3 •本题根据绝对值的定义去绝对值后，变形为分段函数，分段函数的最值，有些

同学概念不清，把每段函数的最小值都认为是整个函数的最小值，从而出现了一个函数有几个最小值的错误结论.

演变1 : ( 05年上海)已知函数f(x)=kx+b 的图象与x、y轴分别相交于点A、

2

2

B, AB =2i 2j (i 、j 分别是与x 、y 轴正半轴同方向的单位向量

),函数g(x)=x — x — 6.

g(x) +1

(1)求k 、b 的值;(2)当x 满足f(x)> g(x)时,求函数

的最小值.

f (x)

点拨与提示：由f(x)> g(x)得x 的范围，-g(x)_1 = x x 5 = x+2+—1 — 5,用不 f(x) x + 2 x + 2 等式的知识求其最小值.

演变2： (05年北京卷)已知函数 f(x)= — x 3 + 3X 2+ 9X + a .

(I) 求f(x)的单调递减区间；

(II) 若f(x)在区间［—2, 2］上的最大值为20,求它在该区间上的最小值. 点拨与提示：本题用导数的知识求解.

问题2:三角函数、数列、解析几何中的最值问题

将问题转化为函数问题，禾U 用求函数最值的方法求解.

焦点，点P 在椭圆上，且位于 x 轴上方，PA_ PF .

(1) 求点P 的坐标；

(2) 设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于| MB |，求椭圆上的点 到点M 的距离d 的最小值.

思路分析：将d 用点M 的坐标表示出来，

d 2 =(x -2)2 y 2 =x -4x 2 4 20-5x 2

=4

(X 「9

)2 15，然后求其最小值.

9 9 2

解：(1)由已知可得点 A( — 6,0),F(0,4)

T

T

设点 P(x , y ),则 AP ={ x +6, y }, FP ={ x — 4, y },由已知可得

'2 2

y_=1 36 20

(x 6)(x-4) y 2 =0

3

5J3

3 5P ''3

由于y >0,只能x =,于是y =

- •

•••点P 的坐标是(二，二^)

2

2

2 2

(2)直线AP 的方程是x —

J y +6=0 .

m + 6

设点M( m ,0),则M 到直线AP 的距离是

x 2

例2: (05年上海)点A 、B 分别是椭圆 一-

36 2

y 20

=1长轴的左、右端点，点

F 是椭圆的右

则 2X 2

+9 x — 18=0,解得

x =3或 x =—6.

2