高考数学最值问题
高考数学导函数极值最值问题-解析版
高考数学导函数极值最值问题题型一：根据图像判断极值点情况【例1】.函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则()A．x=1是最小值点B．x=0是极小值点C．x=2是极小值点D．函数f(x)在(1，2)上单调递增【答案】C【解析】由图象得：f(x)在(−∞，0)递增，在(0，2)递减，在(2，+∞)递增∴x=2是极小值点故选 C变式训练1.函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点 ()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】由f′(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a,b)上的单调性依次是：增→减→增→减．由极小值点的定义可知，在区间(a,b)上有1个极小值点【备注】利用导数研究函数的极值．若在x0处函数的导数值为零，在x0左侧函数单减，右侧函数单增，则在x0处取得极小值．变式训练2.( 尖子班 ) 如下图，直线y=ax+2与曲线y=f(x)交于A、B两点，其中A是切点，记ℎ(x)=f(x)，g(x)=f(x)−ax，则下列判断正确的是()xA．ℎ(x)只有一个极值点B．ℎ(x)有两个极值点，且极小值点小于极大值点C．g(x)的极小值点小于极大值点，且极小值为−2D．g(x)的极小值点大于极大值点，且极大值为2【答案】D【解析】设切点A的坐标为(x0，f(x0))，则由条件得f′(x0)=a 且当x<x0时，f′(x)>a；当x>x0时，f′(x)<a∵g(x)=f(x)−ax∴g′(x)=f′(x)−a∴当x<x0时，g′(x)=f′(x)−a>0，g(x)单调递增当x>x0时，g′(x)=f′(x)−a<0，g(x)单调递减∴当x=x0时g(x)有极大值，且极大值为g(x0)=f(x0)−ax0=2同理g(x)有极小值，结合图形可得g(x)的极小值点大于极大值点选 D题型二：利用导数讨论函数极值点与求极值【例2】.函数y=14x4−13x3的极值点的个数为()A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】因为y=14x4−13x3所以y′=x3−x2=x2(x−1)由y′=0得x1=0，x2=1，当x变化时，y′，y的变化情况如下表x(−∞，0)0(0，1)1(1，+∞) y′−0−0+ y减无极值减极小值增由表可知，函数只有一个极值点故选 B变式训练.已知函数f(x)=2mx+1+lnx−m(m∈R)，试讨论函数f(x)的极值点情况．【答案】当m≤2时，f(x)无极值点当m>2时，f(x)的极大值点为x=m−1−√m2−2m极小值点为x=m−1+√m2−2m 【解析】由题得，f(x)的定义域为(0，+∞)f′(x)=1x−2m(x+1)2=x2+2(1−m)x+1x(x+1)2(m∈R)设g(x)=x2+2(1−m)x+1Δ=4(1−m)2−4=4m(m−2)①当m≤0时，对称轴x=m−1<0故g(x)在区间(0，+∞)上单调递增则g(x)>g(0)=1所以f′(x)>0在区间(0，+∞)上恒成立所以f(x)在区间(0，+∞)上单调递增，f(x)无极值②当0<m≤2时，Δ≤0，g(x)=x2+2(1−m)x+1≥0恒成立故f′(x)≥0在区间(0，+∞)上恒成立所以f(x)在区间(0，+∞)上单调递增，f(x)无极值③当m>2时，令g(x)=0，得x1=m−1−√m2−2mx2=m−1+√m2−2m令f′(x)>0，得0<x<x1或x>x2令f′(x)<0，得x1<x<x2所以f(x)在区间(0，x1)上单调递增，在区间(x1，x2)上单调递减，在区间(x2，+∞)上单调递增故f(x)的极大值点为x=m−1−√m2−2m，极小值点为x=m−1+√m2−2m.综上所述，当m≤2时，f(x)无极值点当m>2时，f(x)的极大值点为x=m−1−√m2−2m，极小值点为x=m−1+√m2−2m 【备注】由题得，求得f′(x)=x2+2(1−m)x+1x(x+1)2设g(x)=x2+2(1−m)x+1由Δ=4m(m−2)分m≤0、0<m≤2、m>2三种情况讨论，即可得到函数极值点的情况本题主要考查利用导数求解函数的极值（点）和不等式的恒成立问题求解，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力．导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题【例3】.已知x=−2是f(x)=(x2+ax−1)e x−1的极值点，则f(x)的极小值为()A．−1B．−2e−3C．5e−3D．1【答案】Ax3−4x+4的极大值为()变式训练.函数f(x)=13B．6A．283C．26D．73【答案】A【解析】定义域为R，f(x)=x2−4=(x+2)(x−2)f(x)在(−∞，−2)上单调递增在(−2，2)上单调递减在(2，+∞)上单调递增所以f(x)的极大值为f(−2)=283【备注】题目比较简单，直接求导，利用导数确定单调性求解函数极值即可题型三：已知极值求参数【例4】.已知函数f(x)=x(e x−2a)−ax2，若f(x)有极小值且极小值为0，求a的值．【答案】a=12【解析】f′(x)=(e x−2a)+xe x−2ax=(x+1)(e x−2a)，x∈R①若a≤0，则由f′(x)=0解得x=−1当x∈(−∞，−1)时，f′(x)<0，f(x)递减当x∈(−1，+∞)上，f′(x)>0，f(x)递增故当x=−1时，f(x)取极小值f(−1)=a−e−1（舍去）令a−e−1=0，得a=1e若a>0，则由e x−2a=0，解得x=ln(2a)时a．若ln(2a)<−1，即0<a<12e当x∈(−∞，ln(2a))上，f′(x)>0，f(x)递增当x∈(ln(2a)，−1)上，f′(x)<0，f(x)递增故当x=−1时，f(x)取极小值f(−1)=a−e−1（舍去）令a−e−1=0，得a=1e时，f′(x)≥0，f(x)递增不存在极值b．若ln(2a)=−1，即a=12e时c．若ln(2a)>−1，即a>12e当x∈(−∞，−1)上，f′(x)>0，f(x)递增x∈(−1，ln(2a))上，f′(x)<0，f(x)递减当x∈(ln(2a)，+∞)上，f′(x)>0，f(x)递增故当x=ln(2a)时，f(x)取极小值f(ln(2a))=−aln2(2a)=0得a=12满足条件故当f(x)有极小值且极小值为0时，a=12【备注】求出导函数f′(x)=(x+1)(e x−2a)，通过研究f′(x)=0的解，确定f′(x)>0和f′(x)<0的解集，以确定f(x)的单调性，从而确定f(x)是否有极小值，在有极小值时，由极小值为0，解得a值，如符合上述范围，即为所求【例5】.已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2，在x=−1时极值为0，则mn为()A．29B．13C．29或13D．不存在【答案】A【解析】∵f(x)=x3+3mx2+nx+m2∴f′(x)=3x2+6mx+n由题意{−1+3m−n+m2=03−6m+n=0且(6m)2−4×3×n>0解得m=2，n=9则mn =29故选 A变式训练.已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=−1处取得极值0，则m+ n=________ ．【答案】11【解析】由f(x)=x3+3mx2+nx+m2，得：f′(x)=3x2+6mx+n 因为函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=−1处取得极值0所以{f′(−1)=0 f(−1)=0所以{−1+3m−n+m2=0 3−6m+n=0解得：{m1=1n1=3或{m2=2n2=9当{m1=1n1=3时，f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0所以函数在R上为单调递增函数，与在x=−1处取得极值0相矛盾所以{m1=1n1=3不合题意，舍去当{m2=2n2=9时，f′(x)=3x2+12x+9=2(x+1)(x+3)所以，f′(−1)=0，且当−3<x<−1时，f′(−1)<0，函数f(x)在区间(−3，−1)上为减函数当x>−1时，f′(−1)>0，函数f(x)在区间(−1，+∞)上为增函数所以函数f(x)在x=−1处取得极值，所以符合题意所以m+n=2+9=11所以答案应填：11题型四：已知极值求参数范围【例6】.已知f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有极大值又有极小值，则a的取值范围是________．【答案】(−∞,−1)∪(2,+∞)【解析】f(x)有极大值又有极小值，故f′(x)=3x2+6ax+3(a+2)=0有两个不同的解即Δ=36a2−4×3×3(a+2)>0∴a∈(−∞,−1)∪(2,+∞)变式训练1.若函数f(x)=ax−x2−lnx存在极值，且这些极值的和不小于4+ln2，则a的取值范围为()A．[2,+∞)B．[2√2,+∞)C．[2√3,+∞)D．[4,+∞)【答案】C【解析】f(x)=ax−x2−lnx，x∈(0,+∞)，则f′(x)=a−2x−1x =−2x2−ax+1x，∵函数f(x)存在极值，∴f′(x)=0在(0,+∞)上有根，即2x2−ax+1=0在(0,+∞)上有根，∴Δ=a2−8⩾0，显然当Δ=0时，f(x)无极值，不合题意；∴方程必有两个不等正根，记方程2x2−ax+1=0的两根为x1，x2，则x1+x2=a2，x1x2=12，f(x1)，f(x2)是函数F(x)的两个极值，由题意得，f(x1)+f(x2)=a(x1+x2)−(x12+x22)−(lnx1+lnx2)=a22−a24+1−ln12⩾4+ln2化简解得a2⩾12，满足Δ>0，又x1+x2=a2>0，即a>0，∴a的取值范围是[2√3,+∞)．故选 C【备注】【考点】：利用导数研究函数的极值．本题考查导数与函数的单调性、极值的关系，求函数f(x)的定义域，求出f′(x)，利用导数和极值之间的关系将条件转化：f′(x)=0在(0,+∞)上有根，即2x2−ax+1=0在(0,+∞)上有根，根据二次方程根的分布问题列出方程组，根据条件列出关于a的不等式，求出a的范围，属于中档题．变式训练2.若函数f(x)=a(x−2)e x+lnx−x存在唯一的极值点，且此极值小于0，则实数a的取值范围为()A．(−1e2,1 e2 )B．(−1e ,1 e )C．(−1e2,0]D．(−1e,0]【答案】D【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性极值，先求导，再由f′(x)=0得到x=1或ae x−1x=0(∗)，根据(∗)无解和函数的极值小于0即可求出a的范围．f′(x)=a(x−1)e x+1x −1=(x−1)(ae x−1x)．由f′(x)=0得到x=1或ae x−1x=0(∗)．由于f(x)仅有一个极值点．关于x的方程(∗)必无解．①当a=0时，(∗)无解，符合题意．②当a≠0时，由(∗)得，a=1xe x．设g(x)=xe x．∴g′(x)=e x(x+1)>0恒成立．∴g(x)为增函数．∴函数y=1xe x为减函数．∴当x→+∞时，y→0．∴a<0．∴x=1为f(x)的极值点．∵f(1)=−ae−1<0．∴a>−1e．综上可得a的取值范围是(−1e,0]．故选 D题型五：利用导数求函数最值【例7】.已知函数f(x)=x3−12x+8在区间[−3,3]上的最大值、最小值分别为M，m，则M−m= ________【答案】32【解析】f′(x)=3x2−12．当x<−2或x>2时函数单调递增；当−2<x<2时函数单调递减．又f(−3)=17，f(−2)=24，f(2)=−8，f(3)=−1，比较以上几个数可得M=24，m=−8利用导数研究函数的最值，所以M−m=32．【备注】先判断函数的单调性，然后比较极值与端点处的函数值，从而得出函数的最大、最小值．变式训练.已知函数f(x)=2x3−3x．求f(x)在区间[−2,1]上的最大值；【答案】√2【解析】由f(x)=2x3−3x得f′(x)=6x2−3,令f′(x)=0，得x=−√22或x=√22,因为f(−2)=−10,f(−√22)=√2,f(√22)=−√2,f(1)=−1,所以f(x)在区间[−2,1]上的最大值利用导数研究函数的最值为f(−√2)=√2.【备注】本题考查利用导数确定函数最值的相关问题．题型六：根据最值求参数值【例8】.已知函数f(x)=12ax2−lnx,a∈R．(1) 求函数f(x)的单调区间；【答案】当a⩽0时，函数f(x)的单调减区间是(0,+∞)；当a>0时，函数f(x)的单调减区间是(0,√1a )，单调增区间为(√1a,+∞)．【解析】求导分析导数正负即可，注意对a进行分类讨论．①当a=0时，f′(x)=−1x<0，故函数f(x)在(0,+∞)上单调递减．②当a<0时，f′(x)<0恒成立,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.③当a>0时，令f′(x)=0，解得x=√1a．当x∈(0,√1a )时，f′(x)<0 , 所以函数f(x)在(0,√1a)单调递减.当x∈(√1a ,+∞)时, f′(x)>0，所以函数f(x)在(√1a,+∞)单调递增．综上所述，当a⩽0时，函数f(x)的单调减区间是(0,+∞)；当a>0时，函数f(x)的单调减区间是(0,√1a )，单调增区间为(√1a,+∞)．(2) 若函数f(x)在区间[1,e]的最小值为1，求a的值．【答案】a=2．【解析】分a⩽0和a>0两种情况来表示f(x)的最小值，令最小值等于1，求出a的值．①当a⩽0时，由（1）可知，f(x)在[1,e]上单调递减，所以f(x)的最小值为f(e)=12ae2−1=1，解得a=4e2>0舍去．②当a>0时，由（1）可知：当√1a⩽1，即a⩾1时，函数f(x)在[1,e]上单调递增，所以函数f(x)的最小值为f(1)=12a=1，解得a=2．当1<√1a <e，即1e2<a<1时，函数f(x)在(1,√1a)上单调递减，在(√1a,e)上单调递增，所以函数f(x)的最小值为f(√1a )=12+12lna=1，解得a=e舍去．当√1a ⩾e,即0<a⩽1e2时，函数f(x)在[1,e]上单调递减，所以函数f(x)的最小值为f(e)=1 2ae2−1=1，得a=4e2舍去．综上所述，a=2．变式训练.已知f(x)=2xlnx−mx+2e．(1) 若方程f(x)=0在(14，e)上有实数根，求实数m的取值范围；【答案】[0，2e2+2)【解析】方程f(x)=0可化为2xlnx=mx−2e令 g(x)=2xlnx ，则 g ′(x)=2(lnx +1)由 g ′(x)>0 可得 x >1e ，由 g ′(x)<0 可得 0<x <1e∴ g(x) 在 (0，1e ) 上单调递减，在 (1e ，+∞) 上单调递增∴ g(x) 的极小值为 g(1e )=−2e而 g(14)=−ln2， f(e)=2e ，则 g(14)<g(e)由条件可知点 (0，−2e ) 与 (e ，2e) 连线的斜率为 2e 2+2可知点 (0，−2e ) 与 (14，−ln2) 连线的斜率为 8e −4ln2，而 2e 2+2>8e −4ln2结合图像可得 0≤m <2e 2+2 时，函数 y =g(x) 与 y =mx −1e 有交点∴ 方程 f(x)=0 在 (14，e) 上有实数根时，实数 m 的取值范围是 [0，2e 2+2)【备注】令 f(x)=0，将其化为 2xlnx =mx −2e ，构造函数 g(x)=2xlnx ，利用导数研究函数的单调性与极值，结合图象可求得 m 的范围(2) 若 y =f(x) 在 [1，e] 上的最小值为 −4+2e ，求实数 m 的值．【答案】2ln2+2【解析】由 f(x)=2xlnx −mx +2e 可得 f ′(x)=2lnx −m +2① 若 m ≥4，则 f ′(x)≤0 在 [1，e] 上恒成立即 f ′(x) 在 [1，e] 单调递减则 f(x) 的最小值为 f(e)=2e −me +2e =−4+2e故 m =2+4e ，不满足 m ≥4，舍去② 若 m ≤2，则 f ′(x)≥0 在 [1，e] 上恒成立即 f ′(x) 在 [1，e] 单调递增则 f(x) 的最小值为 f(1)=−m +2e =−4+2e故m=4，不满足m≤2，舍去③若2<m<4，则x∈[1，e m−22)时，f′(x)<0x∈(e m−22，e]时，f′(x)>0∴f(x)在[1，e m−22)上单调递减，在[e m−22，e)上单调递增∴f(x)的最小值为f(e m−22)=−2e m−22+2e =−4+2e解之得m=2ln2+2，满足2<m<4∴综上可知，实数m的值为2ln2+2【备注】对f(x)求导，然后按m分类讨论函数的单调区间，结合最小值可求得m点的值求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图像，从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域．函数y=f(x)的零点就是f(x)=0的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象．方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理题型七：根据最值求参数取值范围【例9】.若函数f(x)=3x−x3在区间(a2−12,a)上有最小值，则实数a的取值范围是() A．(−1,√11)B．(−1,4)C．(−1，2]D．(−1,2)【答案】C【解析】【解答】由题f′(x)=3−3x2，令f′(x)>0解得−1<x<1；令f′(x)<0解得x<−1或x>1由此得函数在(−∞,−1)上是减函数，在(−1,1)上是增函数，在(1,+∞)上是减函数故函数在x=−1处取到极小值−2，判断知此极小值必是区间(a2−12，a)上的最小值∴a2−12<−1<a，解得−1<a<√11又当x=2时，f（2）=−2，故有a⩽2综上知a∈(−1，2]故选C．【分析】求函数f(x)=3x−x3导数，研究其最小值取到位置，由于函数在区间(a2−12，a)上有最小值，故最小值点的横坐标是集合(a2−12，a)的元素，由此可以得到关于参数a的等式，解之求得实数a的取值范围变式训练.函数f(x)=x3−3ax−a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为()A．0⩽a<1B．0<a<1C．−1<a<1D．0<a<12【答案】B【解析】f′(x)=3(x2−a)．若a⩽0，则函数f(x)在(0,1)上单增，此时没有最小值；所以a>0，此时函数f(x)在(0,√a)单减，(√a,1)单增．因为函数f(x)有最小值，所以√a< 1,解得a<1利用导数研究函数的最值．综上，0<a<1．【备注】本题需要对a的取值进行分类讨论，注意是在开区间内有最小值，所以最小值点一定在极小值点取到．精选精练1.函数f(x)的定义域为(a,b)，导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在(a,b)内有极值点________ 个【答案】3【解析】观察图象可得，导函数的变号零点有3个，因此函数f(x)在(a,b)内有3个极值点.2.已知函数y=x−ln(1+x2)，则函数y的极值情况是()A．有极小值B．有极大值C．既有极大值又有极小值D．无极值【答案】D【解析】y′=1−2x1+x2=(x−1)21+x2⩾0；∴该函数无极值．故选：D．求y′，从而可判断y′⩾0，从而得出该函数无极值．【备注】考查复合函数的导数公式，完全平方式，以及极值的定义．3.已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R)在x=−2处取极大值为0，则b= () A．3B．4C．−4D．−3【答案】C【解析】∵f(x)=x3+ax2+b，∴f′(x)=3x2+2ax，函数在x=−2处取极小值0，∴−23+4a+b=0，12−4a=04.对于在R上可导的任意函数f(x)，若满足(x−a)f′(x)⩾0，则必有()A ．f(x)⩾f(a)B ．f(x)⩽f(a)C ．f(x)>f(a)D ．f(x)<f(a)【答案】A【解析】由 (x −a)f ′(x)⩾0 知，当 x >a 时，f ′(x)⩾0；当 x <a 时，f ′(x)⩽0．所以当 x =a 时，函数 f(x) 取得最小值，则 f(x)⩾f(a)．5.已知函数 f(x)=e x x +k(lnx −x)，若 x =1 是函数 f(x) 的唯一极值点，则实数 k 的取值范围是( )A ．(−∞,e]B ．[0,e]C ．(−∞,e)D ．[0,e) 【答案】A【解析】对参数需要进行讨论．∵ 函数 f(x)=e x x +k(lnx −x)．∴ 函数 f(x) 的定义域是 (0,+∞)．∴f ′(x)=e x x−e xx 2+k(1x −1)=(e x −kx)(x−1)x 2．∵x =1 是函数 f(x) 的唯一一个极值点．∴x =1 是导函数 f ′(x)=0 的唯一根．∴e x −kx =0 在 (0,+∞) 无变号零点．令 g(x)=e x −kx ．g ′(x)=e x −k ．① k ≤0 时，g ′(x)>0 恒成立．g(x) 在 (0,+∞) 时单调递增的．g(x) 的最小值为 g(0)=1，g(x)=0 无解．② k >0 时，g ′(x)=0 有解为：x =lnk ．0<x <lnk 时，g ′(x)<0，g(x) 单调递减．lnk <x 时，g ′(x)>0，g(x) 单调递增．∴g(x) 的最小值为 g(lnk)=k −klnk ．∴k −klnk >0．∴k <e ．由 y =e x 和 y =ex 图象，它们切于 (1,e)．综上所述：k ≤e ．故选 A【备注】本题考查由函数的导函数确定极值问题．6.若函数f(x)=x 33−a 2x 2+x +1在区间(12,3)上有极值点，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 (2,103)【解析】若函数f(x)在区间( 12 ，3)上无极值，则当x ∈( 12 ，3)时，f ′(x)=x 2−ax +1⩾0恒成立或当x ∈(12,3)时，f ′(x)=x 2−ax +1⩽0恒成立．当x ∈(12,3)时，y =x +1x 的值域是[2,103)；当x ∈(12,3)时， f ′(x)=x 2−ax +1⩾0，即a ⩽x +1x 恒成立，a ⩽2；当x ∈(12,3)时，f ′(x)=x 2−ax +1⩽0，即a ⩾x +1x 恒成立，a ⩾103．因此要使函数f(x)在(12,3)上有极值点，则实数a 的取值范围是(2,103).故答案为(2,103)．【备注】本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，其中将问题转化为导函数的零点问题是解答此类问题最常用的办法．7.函数 f(x)=13x 3−x 2+a ，函数 g(x)=x 2−3x ，它们的定义域均为 [1,+∞)，并且函数 f(x)的图象始终在函数g(x)的上方，那么a的取值范围是 ()A．(0,+∞)B．(−∞,0)C．(−43,+∞)D．(−∞,43)【答案】A【解析】设ℎ(x)=13x3−x2+a−x2+3x，则ℎ′(x)=x2−4x+3=(x−3)(x−1),于是x∈(1,3)单调递减；x∈(3,+∞)单调递增，当x=3时，函数ℎ(x)取得最小值利用导数研究函数的最值，因为f(x)在g(x)上方，则有ℎmin(x)>0，即ℎ(3)=a>0，所以a的取值范围是(0,+∞)利用导数研究函数的图象与性质．【备注】可构造新函数ℎ(x)=f(x)−g(x)，所以问题等价于函数ℎ(x)在[1,+∞)上大于0恒成立．8.若函数f(x)=a(x−2)e x+lnx−x存在唯一的极值点，且此极值小于0，则实数a的取值范围为________ ．【答案】(−1e,0]【解析】先求导，再由f′(x)=0得到x=1或ae x−1x=0(∗)，根据(∗)无解和函数的极值大于0即可求出a的范围．f(x)=a(x−2)e x+lnx−x，x>0．∴f′(x)=a(x−1)e x+1x −1=(x−1)(ae x−1x)．由f′(x)=0得到x=1或ae x−1x=0(∗)．由于f(x)仅有一个极值点，关于x的方程(∗)必无解．①当a=0时，(∗)无解，符合题意．②当a≠0时，由(∗)得，a=1xe x．设g(x)=xe x．∴g′(x)=e x(x+1)>0恒成立．∴g(x)为增函数．∴函数y=1xe为减函数．∴当x→+∞时，y→0．∴a<0．∴x=1为f(x)的极值点．∵f(1)=−ae−1<0．∴a>−1e．综上可得a的取值范围是(−1e,0]．故答案为(−1e,0]．9.函数f(x)=ln xx的最大值为()A．1eB．eC．e2D．103【答案】A【解析】令y′=(lnx)⋅x−lnx⋅x′x2=1−lnxx2=0则x=e当x>e时，y′<0当0<x<e时，y′>0所以当x=e时，函数有极大值，极大值为1e因为函数在定义域内只有—个极值，所以y max=1e10.函数y=xcosx−sinx在[π2,3π2]的最小值为________ ．【答案】−π【解析】由已知，得y′=cosx−xsinx−cosx=−xsinx,当π2<x<π时，y′<0；当π<x<3π2时，y′>0．因此，y min=πcosπ−sinπ=−π.11.已知函数f(x)=(x2−7x+13)e x，求函数f(x)的极值【答案】y极大值=f(2)=3e2,y极小值=f(3)=e312.设0<x<π，则函数y=2−cosxsin x的最小值是 () A．3B．2 C．√3D．2−√3【答案】C【解析】y′=sin2x−(2−cosx)cosxsin x =1−2cosxsin x，∵0<x<π，∴当π3<x<π时，y′>0；当0<x<π3时，y′<0．∴x=π3时，y min=√3．13.已知函数f(x)=xlnx−ax2+a不存在最值，则实数a的取值范围是()A．(0,1)B．(0,12]C．[1,+∞)D．[12,+∞)【答案】D【解析】由题意，f′(x)=lnx+1−2ax令f′(x)=0，得lnx=2ax−1，函数f(x)不存在最值，等价于f′(x)=lnx−2ax+1最多1个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax−1的图象最多1个交点，当y=lnx和y=2ax−1相切时，设切点是(x0,lnx0)，∴{lnx0=2ax0−12a=1x0，解得：a=12，故当a=12时，直线y=2ax−1与y=lnx的图象相切，故a⩾12时，y=lnx与y=2ax−1的图象最多1个交点．则实数a的取值范围是[12,+∞)．故选：D．【备注】问题等价于函数y=lnx与y=2ax−1的图象最多1个交点，当y=lnx和y=2ax−1相切时，设切点是(x0,lnx0)，求出a的临界值即可．本题考查了导数的应用以及函数的最值问题，考查转化思想，是一道中档题．14.设函数f(x)=13x3−x+m的极大值为1，则函数f(x)的极小值为()A．−13B．−1C．13D．1【答案】A【解析】对函数f(x)=13x3−x+m求导得，f′(x)=x2−1．令f′(x)=0得，x2−1=0，解得x=±1．当x∈(−∞,−1)∪(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)为单调增函数．当x∈(−1,1)时，f′(x)<0，f(x)为单调减函数．所以f(x)在x=−1处有极大值为f(−1)=−13+1+m=1，解得m=13．f(x)在x=1处有极小值为f(1)=13−1+m=−13．故选 A【备注】本题考查了利用导数研究函数的极值，对函数 f(x)=13x 3−x +m 求导得 f′(x)=x 2−1，从而得 f(x) 在 (−∞,−1)，(1,+∞) 为单调增函数，在 (−1,1) 为单调减函数，故 f(x) 在 x =−1 处有极大值为 f(−1)=−13+1+m =1，即可解得 m ，进而得出极小值．15.已知 (a +1)x −1−lnx ⩽0 对于任意 x ∈[12,2] 恒成立，则 a 的最大值为( ) A ．0 B ．1 C ．1−2ln2 D ．−1+ln22【答案】C【解析】分离变量，题意转化为 a +1⩽1+lnx x在 [12,2] 上恒成立．16.已知函数f(x)=1−x ax+lnx ．若函数g(x)=f(x)−14x 在[1,e]上为增函数，求正实数a 的取值范围．【答案】[43,+∞)【解析】因为g(x)=f(x)−14x =1−x ax+lnx −14x ，所以g ′(x)=−ax 2+4ax−44ax 2(a >0)设φ(x)=−ax 2+4ax −4，由题意知，只需 φ(x)0在 [1,e] 上恒成立即可满足题意． 因为a >0，函数 φ(x)的图象的对称轴为x =2，所以只需φ(1)=3a −40，即 a 43即可．故正实数 a 的取值范围为[43,+∞)．17.已知函数 f(x)=x 3−ax +2 的极大值为 4，若函数 g(x)=f(x)+mx 在 (−3，a −1) 上的极小值不大于 m −1，则实数 m 的取值范围是( ) A ．[−9,−154) B ．(−9,−154] C ．(−154,+∞) D ．(−∞,−9)【答案】B【解析】∵f′(x)=3x2−a，∴当a⩽0时，f′(x)⩾0，f(x)无极值，当a>0时，易得f(x)在x=−√a3处取得极大值，则有f(−√a3)=4，即a=3，于是g(x)=x3+(m−3)x+2，g′(x)=3x2+(m−3)；当m−3⩾0时，g′(x)⩾0，g(x)在(−3，2)上不存在极小值；当m−3<0时，易知g(x)在x=√3−m3处取得极小值，依题意有{−3<√3−m3<2g(√3−m3)⩽m−1，解得−9<m⩽−154．故选 B【备注】【点睛】：本小题主要考查的数学知识是：函数与导数，导数与单调性、极值的关系，考查分类讨论的数学思想方法．涉及函数导数的问题，首先要求函数的定义域，然后对函数求导，令导函数为0，结合函数单调性可得极值，明确极大值和极小值的定义求解．18.设函数f(x)=x3−3ax+b,a≠0在点(2,f(2))处与直线y=8相切(1) 求实数a,b的值；【答案】a=4,b=24；【解析】f′(x)=3x2−3a，f′(2)=0,f(2)=8即12−3a=0,8−6a+b=8解得a=4,b= 24(2) 求函数f(x)在区间[0,3]上的最值。
一道高考二元条件最值问题的解法探究
一道高考二元条件最值问题的解法探究全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高考数学中有一道常见的二元条件最值问题，让许多学生感到困惑。
在考试中，能够快速、准确地解答这类问题，对于获得理想的成绩至关重要。
本文将探讨一道典型的高考二元条件最值问题，并提供解题方法和技巧，帮助读者更好地理解和解答这类问题。
题目：给定正实数x、y，且满足x + y = 10，求x*y 的最大值。
解题思路：我们观察到题目中给出了一个条件x + y = 10，这是一个二元条件，即两个数的和为常数。
根据数学知识，我们知道当两个数的和一定时，它们的积最大时，两个数相等。
我们可以推断出x 和y 相等时，乘积达到最大值。
接着，我们将x、y 代入条件x + y = 10 中，得到2x = 10，即x = 5。
此时，y = 10 - x = 10 - 5 = 5。
x*y 的最大值为5*5 = 25。
解题方法：1. 分析题目条件，找到关键信息。
在解答这类问题时，要仔细分析题目，找出关键信息，理清问题的关键点。
2. 利用条件列出方程。
根据题目中给出的条件，将其转化为方程，利用方程求解问题。
3. 求解方程得出结果。
求解方程，找到满足条件的x、y 的取值，得出最终的答案。
4. 检验结果。
在得出最终结果后，要进行检验，确保结果的正确性。
总结：通过以上的讨论，我们可以看出，解决高考二元条件最值问题的关键在于理清问题的关键点，利用条件列出方程，求解得出结果。
在解答题目时，要注意细节，避免计算错误，确保答案的准确性。
通过多练习这类问题，掌握解题方法和技巧，可以提高解题效率，提高考试成绩。
希望本文对读者理解和解答二元条件最值问题有所帮助。
第二篇示例：高考数学题中，常常涉及到二元条件最值问题，这类题目通常考查考生对于二元关系、最值性质以及解题思路的掌握程度。
本文将以一道典型的高考二元条件最值问题为例，探究其解法和解题技巧。
题目如下：已知实数x、y满足条件x^2 + y^2 = 1，求证当x不等于0时，2x + y的最小值为-√5。
高考数学技巧解决复杂的函数极值和最值问题
高考数学技巧解决复杂的函数极值和最值问题函数极值和最值问题在高考数学中占有重要地位，涉及到函数的最大值、最小值以及极大值、极小值等概念。
这些问题需要我们灵活运用数学知识和技巧来解决。
在本文中，我将介绍一些高考数学技巧，帮助大家解决复杂的函数极值和最值问题。
一、化简与转换在解决函数极值和最值问题时，我们常常会碰到复杂的函数表达式。
这时，我们可以通过化简与转换来简化问题。
具体方法如下：1. 代数化简：利用代数运算的性质，将函数表达式进行化简。
常见的代数化简技巧有因式分解、配方法、合并同类项等。
通过化简，我们可以得到更简洁的函数表达式，便于后续的处理。
2. 函数性质转化：对于一些特殊类型的函数，我们可以利用其性质进行转化。
比如，对于幂函数，可以利用对数函数的性质进行转化；对于三角函数，可以利用三角函数的周期性进行转化。
通过函数性质的转化，我们可以将原问题转化为更简单的形式，进而解决问题。
二、求导与判定求导是解决函数极值和最值问题的常用技巧。
通过求导，我们可以确定函数的增减性和极值点。
具体方法如下：1. 求导：首先，我们需要求出函数的导数。
对于一元函数，我们可以直接对函数进行求导；对于多元函数，我们需要利用偏导数的概念进行求导。
求导的结果是一个新的函数，表示了原函数的变化率。
2. 极值判定：通过求导，我们可以判定函数的增减性和极值点。
当导数为0或不存在时，表明函数可能存在极值点。
通过对导数符号的分析，我们可以确定极值点的位置和类型。
例如，导数从正变负时，函数可能存在极大值点；导数从负变正时，函数可能存在极小值点。
三、辅助图像与辅助直线辅助图像和辅助直线是解决函数极值和最值问题的有效工具。
通过绘制图像和直线，我们可以直观地理解问题，确定问题的范围和性质。
具体方法如下：1. 绘制函数图像：通过绘制函数的图像，我们可以观察函数的变化趋势和特点。
特别是对于一些特殊的函数，如三角函数、指数函数等，其图像可以揭示函数的周期性、单调性等性质。
高考数学利用基本不等式求最值8大题型(解析版)
利用基本不等式求最值8大题型命题趋势基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点，在解决数学问题中有着广泛的应用，尤其是在函数最值问题中。
题型通常为选择题与填空题，但它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等。
在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点。
在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用。
利用基本不等式求最值的方法1.直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系2.配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
3.代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；类型2：分母为多项式时方法1：观察法适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为3a +4b 与a +3b ，分子为a +2b ，设a +2b =λ3a +4b +μa +3b =3λ+μ a +4λ+3μ b∴3λ+μ=14λ+3μ=2 ，解得：λ=15μ=254.消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。
5.构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。
热点题型解读【题型1直接法求最值】【例1】(2022春·辽宁锦州·高三校考阶段练习)已知x >0,y >0，且x +y =12，则xy 的最大值为()A.16B.25C.36D.49【答案】C【解析】因为x >0,y >0，x +y =12≥2xy ，即xy ≤36，当且仅当x =y =6时取到等号，故xy的最大值为36.故选：C【变式1-1】(2022·四川广安·广安二中校考模拟预测)已知3x+9y=18，当x+2y取最大值时，则xy的值为( )A.2B.2C.3D.4【答案】B【解析】由已知3x+9y=18可得3x+32y=18，则18=3x+32y≥23x×32y=23x+2y，即3x+2y≤81，所以x+2y≤4，当且仅当x=2y=2时取等号，即x=2，y=1，此时xy=2.故选：B．【变式1-2】(2023·河南郑州·高三校联考阶段练习)已知正数a,b满足a2+2b2=1,则ab2的最大值是()A.13B.33C.39D.19【答案】C【解析】解:由题知1=a2+2b2=a2+b2+b2≥33a2b2b2,∴3a2b4≤1 3,当且仅当a=b=33时取等号，所以ab2≤39．故选:C．【变式1-3】(2022·上海·高三统考学业考试)已知x>1，y>1且lg x+lg y=4，那么lg x·lg y的最大值是( )A.2B.12C.14D.4【答案】D【解析】∵x>1，y>1，∴lg x>0，lg y>0，∴lg x⋅lg y≤lg x+lg y22=42 2=4，当且仅当lg x=lg y=2，即x=y=100时等号成立．故选：D.【变式1-4】(2022春·云南·高三校联考阶段练习)已知正数a,b满足a+5b2a+b=36，则a+2b的最小值为()A.16B.12C.8D.4【答案】D【解析】因为a+5b2a+b≤a+5b+2a+b22，所以9(a+2b)24≥36.又a>0,b>0.所以a+2b≥4，当且仅当a=83,b=23时，等号成立.故选：D【题型2配凑法求最值】【例2】(2022·全国·高三专题练习)已知-3<x<0，则f x =x9-x2的最小值为________．【答案】-9 2【解析】因为-3<x<0，所以f x =x9-x2=-9-x2⋅x2≥-9-x2+x22=-92，当且仅当9-x 2=x 2，即x =-322时取等，所以f x =x 9-x 2的最小值为-92.【变式2-1】(2022春·上海静安·高三上海市市西中学校考期中)函数f (x )=x +9x -1(x >1)的值域为______.【答案】7,+∞【解析】由题知，x >1，所以x -1>0，所以f (x )=x -1 +9x -1+1≥2x -1 ⋅9x -1+1=7，当且仅当x -1=9x -1，即x =4时取等号，所以函数f (x )=x +9x -1(x >1)的值域为7,+∞ .【变式2-2】(2022春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习)已知x >0,y >0，且x +y =7，则1+x 2+y 的最大值为()A.36B.25C.16D.9【答案】B【解析】由x +y =7，得x +1 +y +2 =10，则1+x 2+y ≤1+x +2+y 2 2=25，当且仅当1+x =2+y ，即x =4,y =3时，取等号，所以1+x 2+y 的最大值为25.故选：B .【变式2-3】(2022春·山东济宁·高三统考期中)已知向量m =a -5,1 ,n =1,b +1 ，若a >0,b >0，且m⊥n ，则13a +2b +12a +3b 的最小值为()A.15B.110C.115D.120【答案】A【解析】根据题意，m ⋅n =a -5+b +1=0，即a +b =4，则3a +2b +2a +3b =20，又a >0,b >0，故13a +2b +12a +3b =12013a +2b +12a +3b 3a +2b +2a +3b =1202+2a +3b 3a +2b +3a +2b 2a +3b≥120×2+22a +3b 3a +2b ×3a +2b 2a +3b =15，当且仅当2a +3b 3a +2b =3a +2b2a +3b，且a +b =4，即a =b =2时取得等号.故选：A .【题型3消元法求最值】【例3】(2022春·湖南永州·高三校考阶段练习)设x ≥0,y ≥0,x 2+y 22=1，则x 1+y 2的最大值为()A.1B.22C.324D.2【答案】C【解析】因为x 2+y 22=1，所以y 2=2-2x 2≥0，解得：x ∈0,1 ，故x 1+y 2=x 1+2-2x 2=x 3-2x 2=222x 23-2x 2 ≤22×2x 2+3-2x 22=324，当且仅当2x 2=3-2x 2，即x =32时，等号成立，故x 1+y 2的最大值为324.【变式3-1】(2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习)已知正数a ,b 满足a 2-2ab +4=0，则b-a4的最小值为()A.1 B.2C.2D.22【答案】B【解析】∵a ,b >0,a 2-2ab +4=0，则有b =a 2+2a，∴b -a 4=a 2+2a -a 4=a 4+2a≥2a 4⋅2a =2，当且仅当a 4=2a ，即a =22时等号成立，此时b =322，故选：B .【变式3-2】(2022春·广东广州·高三执信中学校考阶段练习)设正实数x 、y 、z 满足4x 2-3xy +y 2-z =0，则xy z的最大值为()A.0B.2C.1D.3【答案】C【解析】因为正实数x 、y 、z 满足4x 2-3xy +y 2-z =0，则z =4x 2-3xy +y 2，则xy z =xy 4x 2-3xy +y 2=14x y +y x -3≤124x y ⋅y x-3=1，当且仅当y =2x >0时取等号.故xy z 的最大值为1.故选：C .【变式3-3】(2023·全国·高三专题练习)设正实数x ，y ，z 满足x 2-3xy +4y 2-z =0，则当xyz取得最大值时，2x +1y -2z 的最大值为()A.0B.3C.94D.1【答案】D【解析】由正实数x ，y ，z 满足x 2-3xy +4y 2-z =0，∴z =x 2-3xy +4y 2．∴xy z =xy x 2-3xy +4y 2=1x y +4y x -3≤12x y ⋅4y x-3=1，当且仅当x =2y >0时取等号，此时z =2y 2．∴2x +1y -2z =22y +1y -22y2=-1y -1 2+1≤1，当且仅当y =1时取等号，即2x +1y -2z的最大值是1．故选：D 【变式3-4】(2022春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习)(多选)已知a ，b ，c 均为正实数，ab +ac=2，则1a +1b +c +8a +b +c的取值不可能是()A.1B.2C.3D.4【答案】ABC【解析】a ，b ，c 均为正实数，由ab +ac =2得：a b +c =2，即b +c =2a，所以1a +1b +c +8a +b +c =1a +a 2+8a +2a=2+a 22a +8a a 2+2，由基本不等式得：1a +1b +c +8a +b +c =2+a 22a +8a a 2+2≥22+a 22a ⋅8a a 2+2=4，当且仅当2+a 22a =8aa 2+2，即a =2±2时，等号成立.故选：ABC【变式3-5】(2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习)若x 21+y 21=4,x 22+y 22=4,x 1⋅y 2=-2，则x 2⋅y 1的最大值为___________．【答案】2【解析】x 2⋅y 1 2=4-y 22 4-x 21 =4-4x 214-x 21 =20-44x 21+x 21，由y 2=-2x 1，所以y 2 =-2x 1=2x 1≤2，所以1≤x 1 ≤2，所以x 2⋅y 1 2=20-44x 21+x 21≤20-4×24x 21⋅x 21=4，当且仅当|x 1|=2时，等号成立，所以x 2⋅y 1≤2，当且仅当x 2=2,y 1=2或x 2=-2,y 1=-2时取等号，所以x 2⋅y 1的最大值为2．【题型4代换法求最值】【例4】(2022春·上海崇明·高三上海市崇明中学校考阶段练习)已知x >0,y >0，且4x +y =1，则1x +9y的最小值是_____．【答案】25【解析】因为x >0,y >0，且4x +y =1，所以1x +9y =4x +y 1x +9y =4+36xy +y x+9≥13+236x y ⋅y x=25，当且仅当36x y =y x ，即x =110,y =35时，等号成立.【变式4-1】(2022春·江西·高三九江一中校联考阶段练习)已知a >0，b >0，a +b =2，则b a +4b的最小值为_______.【答案】22+2【解析】因为a >0，b >0，且a +b =2，所以b a +4b =b a +4b a +b 2 =b a +2a b +2≥2b a ×2a b+2=22+2，当且仅当b 2=2a 2时取等号故b a +4b 的最小值为22+2【变式4-2】(2022春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习)若正实数x ，y 满足2x +y =xy ，则x +2y 的最小值为______．【答案】9【解析】由2x +y =xy 得2y +1x=1，又因为x >0，y >0，所以x +2y =x +2y 2y +1x =2xy +2y x +5≥22x y ⋅2y x +5=9，当且仅当x =y =3时等号成立，故x +2y 的最小值为9．【变式4-3】(2022春·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考阶段练习)已知x >-2，y >0，2x +y =3，则x +2y +2x +2+7y的最小值为()A.4B.6C.8D.10【答案】B【解析】因为x >-2，y >0，2x +y =3，所以2x +2 +y =7，x +2>0，所以x +2y +2x +2+7y =x +2y +2x +2+2x +2 +y y =2+2y x +2+2x +2 y≥2+22yx +2⋅2x +2 y=6，当且仅当x +2=y ，即x =13，y =73时等号成立，即x +2y +2x +2+7y 的最小值为6，故选：B .【变式4-4】(2022·广西·统考一模)如图，在△ABC 中，M 为线段BC 的中点，G 为线段AM 上一点且AG=2GM ，过点G 的直线分别交直线AB 、AC 于P 、Q 两点，AB =xAP (x >0)，AC =yAQ (y >0)，则1x+1y +1的最小值为()A.34B.1C.43D.4【答案】B【解析】由于M 为线段BC 的中点，则AM =12AB +12AC又AG =2GM ，所以AM =32AG ，又AB =xAP (x >0)，AC =yAQ (y >0)所以32AG=x 2AP +y 2AQ ，则AG =x 3AP +y 3AQ因为G ,P ,Q 三点共线，则x3+y 3=1，化得x +y +1 =4由1x +1y +1=14x +y +1 1x +1y +1 =14x y +1+y +1x+2 ≥142x y +1⋅y +1x+2=1当且仅当x y +1=y +1x 时，即x =2,y =1时，等号成立，1x +1y +1的最小值为1故选：B 【题型5双换元法求最值】【例5】(2022春·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习)设x >-1,y >-2，且x +y =4，则x 2x +1+y 2y +2的最小值是__________.【答案】167【解析】令x +1=a (a >0)，y +2=b (b >0)，则x =a -1，y =b -2，因为x +y =4，则有a +b =7，所以x 2x +1+y 2y +2=(a -1)2a +(b -2)2b =a +1a -2+b +4b -4=7-2-4+1a +4b=1+17(a +b )1a +4b =1+171+4+b a +4a b≥1+17×5+2b a ×4a b =167当且仅当b =2a ，即a =73,b =143时取等号，则x ,y 分别等于43,83时，x 2x +1+y 2y +2的最小值是167.【变式5-1】(2022春·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习)已知正数x ，y 满足3x +2y y +83x +2y x=1，则xy 的最小值是()A.54B.83C.43D.52【答案】D 【解析】xy =xy 3x +2y y +83x +2y x=3x x +2y +8y 3x +2y ，令x +2y =m ，3x +2y =n ，则x =n -m 2，y =3m -n4，xy =3x x +2y +8y 3x +2y =3n 2m +6m n -72≥23n 2m ⋅6m n -72=52，当且仅当3n 2m =6m n 且3x +2y y +83x +2y x =1，即x =5，y =52时，等号成立，所以xy ≥52，故xy 有最小值52.故选：D .【变式5-2】(2022·全国·高三专题练习)设正实数x ,y 满足x >12,y >1，不等式4x 2y -1+y 22x -1≥m 恒成立，则m 的最大值为()A.8 B.16C.22D.42【答案】A【解析】设y -1=b ,2x -1=a ，则y =b +1b >0 ,x =12a +1 a >0 所以4x 2y -1+y 22x -1=a +1 2b +b +1 2a ≥2a +1b +1 ab =2ab +a +b +1ab=2ab +1ab +a +b ab ≥22ab ⋅1ab +2ab ab=2⋅2+2 =8当且仅当a =b =1即x =2,y =1时取等号所以4x 2y -1+y 22x -1的最小值是8，则m 的最大值为8.故选A【变式5-3】(2022春·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中)已知x >0,y >0，若x +y =1，则33x +2y+11+3y的最小值是___________.【答案】85【解析】设x +y +k =λ3x +2y +μ1+3y ，由对应系数相等得1=3λ1=2λ+3μk =μ，得λ=13k =μ=19所以x +y +19=133x +2y +191+3y整理得1=3103x +2y +1101+3y 即1=1109x +6y +1+3y所以33x +2y +11+3y =1109x +6y +1+3y 33x +2y +11+3y=1+11031+3y 3x +2y +9x +6y 1+3y≥85.经验证当x =y =12时，等号可取到.【题型6齐次化求最值】【例6】(2020春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习)已知a ,b 都是负实数，则a a +2b +ba +b的最小值是____________ .【答案】22-2【解析】a a +2b +b a +b =a 2+2ab +2b 2a 2+3ab +2b 2=1-ab a 2+3ab +2b2=1-1a b+2b a +3，因为a ,b 都是负实数，所以a b>0,2ba >0，所以a b +2b a ≥2a b ×2b a =22(当且仅当a b=2b a 时等号成立).所以a b +2b a +3≥22+3，所以1a b+2b a +3≤122+3，所以-1a b +2b a +3≥-122+3=22-3，所以1-1a b+2b a +3≥1+22-3=22-2.即a a +2b +b a +b的最小值是22-2.【变式6-1】(2021春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习)已知对任意正实数x ，y ，恒有x 2+y 2≤a x 2-xy +y 2 ，则实数a 的最小值是___________.【答案】2【解析】因为x >0,y >0，则x 2-xy +y 2=x -y 2+xy >0，则x2+y2≤a x2-xy+y2，即x2+y2x2-xy+y2≤a，又x2+y2x2-xy+y2=11-xyx2+y2，因为x2+y2≥2xy，所以1-xyx2+y2≥12，所以11-xyx2+y2≤2，即x2+y2x2-xy+y2≤2，当且仅当x=y时，取等号，所以x2+y2x2-xy+y2max=2，所以a≥2，即实数a的最小值是2.【变式6-2】(2022·全国·高三专题练习)已知x>0，y>0，则x2+3y2xy+y2的最小值为____．【答案】2【解析】∵x，y>0，则x2+3y2xy+y2=x2y2+3xy+1，设xy=t，t>0，则x2+3y2xy+y2=t2+3t+1=t+12-2t+1+4t+1=(t+1)+4t+1-2≥2t+1×4t+1-2=4-2=2，当且仅当t+1=4t+1，即t=1时取等号，此时x=y，故x2+3y2xy+y2的最小值为2.【题型7构造不等式法求最值】【例7】(2013春·浙江嘉兴·高三阶段练习)已知正实数a，b满足2ab=a+b+12，则ab的最小值是_____ ______.【答案】9【解析】由2ab=a+b+12得，2ab≥2ab+12，化简得ab-3ab+2≥0，解得ab≥9，所以ab的最小值是9.【变式7-1】已知x>0，y>0，2xy=x+y+4，则x+y的最小值为______．【答案】4【解析】由题知x>0,y>0,由基本不等式得xy≤x+y22，即x+y+4≤2×x+y22，令t=x+y，t>0，则有t+4≤2×t22，整理得t2-2t-8≥0，解得t≤-2(舍去)或t≥4，即x+y≥4，当且仅当x=y=2时等号成立，所以x+y的最小值为4.【变式7-2】(2022·全国·高三专题练习)若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是___________．【答案】2105【解析】∵4x 2+y 2+xy =1，∴(2x +y )2-3xy =1≥(2x +y )2-322x +y 2 2=58(2x +y )2，当且仅当2x =y 时，等号成立，此时(2x +y )2≤85，所以2x +y ≤2105，即2x +y 的最大值是2105.【变式7-3】(2020春·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习)若x >0，y >0，y +1x+4x +2y =5，则2x +y 的最小值为___________.【答案】8【解析】因为x >0，y >0，所以2x +y >0由y +1x +4x +2y=5两边同时乘xy ，得y 2+y +4x 2+2x =5xy ，即4x 2+y 2+4xy +2x +y =5xy +4xy ，则2x +y 2+2x +y =9xy ，因为2xy ≤2x +y 2 2=2x +y 24，所以9xy =92×2xy ≤92×2x +y 24=982x +y2，故2x +y 2+2x +y ≤982x +y 2，整理得2x +y 2-82x +y ≥0，即2x +y 2x +y -8 ≥0，所以2x +y ≥8或2x +y ≤0(舍去)，故2x +y 的最小值为8.【题型8多次使用不等式求最值】【例8】(2022春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)已知a >0,b >0，则4b +ba2+2a 的最小值为()A.22 B.42C.42+1D.22+1【答案】B【解析】因为a >0,b >0，所以4b +ba2+2a ≥24b ⋅b a 2+2a =4a+2a ≥24a⋅2a =42，当且仅当4b =b a2且4a =2a ，即a =2,b =22时取等号，即4b +ba2+2a 的最小值为4 2.故选：B .【变式8-1】(2022春·江苏淮安·高三校联考期中)当0<x <2a ,不等式1x 2+12a -x2≥1恒成立，则实数a 的取值范围是()A.2,+∞B.0，2C.0,2D.2,+∞【答案】B【解析】1x 2+12a -x 2≥1恒成立，即1x 2+12a -x 2 min≥1∵0<x <2a ,∴2a -x >0，又1x 2+1(2a -x )2≥21x 2(2a -x )2=2x (2a -x )≥2x +2a -x 22=2a 2，上述两个不等式中，等号均在x =2a -x 时取到，∴1x 2+12a -x 2min=2a 2，∴2a2≥1，解得-2≤a ≤2且a ≠0，又a >0，实数a 的取值范围是0，2 .故选：B .【变式8-2】(2022·全国·模拟预测)已知a >0，b >0，c >1，a +2b =2，则1a +2bc +2c -1的最小值为()A.92B.2C.6D.212【答案】D【解析】1a +2b =121a +2b a +2b =125+2b a +2a b≥125+4 =92，当且仅当a =b =23时等号成立，(应用基本不等式时注意等号成立的条件)所以1a +2bc +2c -1≥92c -1 +2c -1+92≥29c -1 2⋅2c -1+92=212，当且仅当9c -1 2=2c -1，即c =53且a =b =23时，等号成立，故最小值为212，故选：D【变式8-3】(2022春·安徽·高三校联考阶段练习)已知a ,b ,c ∈R +，θ∈-π2,π2，不等式2b a +c a 2+4b 2+c 2≤cos θ恒成立，则θ的取值范围是()A.-π2,π2B.-π3,π3C.-π4,π4D.-π6,π6【答案】C【解析】因为a ,b ,c ∈R +,θ∈-π2,π2 ，不等式2b a +c a 2+4b 2+c 2≤cos θ恒成立，所以2b a +c a 2+4b 2+c 2 max≤cos θ，因为a ,b ,c ∈R +，所以2ab =12×2a 2b ≤12a 2+2b 2 =12a 2+2b 2，当且仅当a =2b 时等号成立；2bc =12×2c 2b ≤12c 2+2b 2 =12c 2+2b 2，当且仅当c =2b 时等号成立.所以2b a +c a 2+4b 2+c 2=2ab +2bc a 2+4b 2+c 2≤12a 2+2b 2 +12c 2+2b 2a 2+4b 2+c 2=22，当且仅当a =2b =c 时等号成立，所以2b a +c a 2+4b 2+c2的最大值为22，所以cos θ≥22，又因为θ∈-π2,π2，所以θ∈-π4,π4.故选：C.【变式8-4】(2023·全国·高三专题练习)若a，b，c均为正实数，则ab+bca2+2b2+c2的最大值为()A.12B.14C.22D.32【答案】A【解析】因为a，b均为正实数，则ab+bca2+2b2+c2=a+ca2+c2b+2b≤a+c2a2+c2b×2b=a+c22a2+c2=12a2+2ac+c22a2+c2=1212+aca2+c2≤1212+ac2a2×c2=12，当且仅当a2+c2b=2b，且a=c，即a=b=c时取等号，则ab+bca2+2b2+c2的最大值为12．故选：A．限时检测(建议用时：60分钟)1.(2022春·江苏徐州·高三学业考试)若正实数x，y满足1x+2y=1，则x+2y的最小值为()A.7B.8C.9D.10【答案】C【解析】因为x，y是正数，所以有1x+2yx+2y=5+2yx+2xy≥5+22yx∙2xy=9，当且仅当2yx=2xy时取等号，即当且仅当x=y=3时取等号，故选：C2.(2022春·广东湛江·高三校考阶段练习)已知x>2,y=x+1x-2，则y的最小值为()A.2B.1C.4D.3【答案】C【解析】因为x>2，所以x-2>0,1x-2>0，由基本不等式得y=x+1x-2=x-2+1x-2+2≥2x-2⋅1x-2+2=4，当且仅当x-2=1x-2，即x=3时，等号成立，则y的最小值为4.故选：C3.(2022春·河南·高三安阳一中校联考阶段练习)已知a>1，b>1，且aln+4bln=2，则a elog+b e4log的最小值为()A.92lg B.212 C.252 D.12【答案】C【解析】a e log =1a ln ，b e 4log =4b ln ，因为a >1，b >1，故a >0ln ,b ln >0，a e log +b e 4log =1a ln +4b ln =12×a ln +4b ln 1a ln +4bln=12×17+4b ln a ln +4a ln bln≥12×17+24b ln a ln ⋅4a ln bln=252，当且仅当a ln =b ln 时，即a =b =e 25时等号成立．所以a e log +b e 4log 的最小值为252．故选：C4.(2022春·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习)已知正数a ,b 满足4a +9b =4，则ab 的最大值为()A.19B.16C.13D.12【答案】A【解析】正数a ,b 满足4a +9b =4，由基本不等式得：4a +9b =4≥24a ⋅9b ，解得：ab ≤19，当且仅当4a =9b ，即a =12,b =29时，等号成立，ab 的最大值为19.故选：A 5.(2022春·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末)已知a >0,b >0，9是3a 与27b 的等比中项，则a 2+2a +3b 2+1b 的最小值为()A.9+26 B.21+264C.7D.14+263【答案】B【解析】由等比中项定义知：3a ⋅27b =3a +3b =92，∴a +3b =4，∴a 2+2a +3b 2+1b =a +3b +2a +1b =4+142a +1b a +3b =4+145+6b a +a b≥4+145+26b a ⋅a b =4+5+264=21+264(当且仅当6b a =ab，即a =46-8，b =43-6 3时取等号)，即a 2+2a +3b 2+1b的最小值为21+264.故选：B .6.(2022春·河南南阳·高三校考阶段练习)在△ABC 中，过重心E 任作一直线分别交AB ，AC 于M ，N 两点，设AM =xAB ,AN =yAC ，(x >0，y >0)，则4x +y 的最小值是()A.43B.103C.3D.2【答案】C【解析】在△ABC 中，E 为重心，所以AE =23⋅12AB +AC =13AB +AC ，设AM =xAB ,AN =yAC ，(x >0，y >0)，所以AB =1x AM ,AC =1y AN ，所以AE =13⋅1x AM +13⋅1yAN .因为M 、E 、N 三点共线，所以13x +13y=1，所以4x +y 13x +13y=43+13+y 3x +4x 3y ≥53+2y 3x ⋅4x 3y =3(当且仅当y 3x =4x 3y ，即x =12，y =1时取等号)．故4x +y 的最小值是3．故选：C ．7.(2022春·四川德阳·高三阶段练习)已知实数a 、b >0，且函数f x =x 2-2a +b x +2a +b -1的定义域为R ，则a 2b +2a 的最小值是()A.4B.6C.22D.2【答案】A【解析】∵f x =x 2-2a +b x +2a +b -1定义域为R ，∴x 2-2a +b x +2a +b -1≥0在R 上恒成立，∴△=-2a +b 2-4×2a +b -1 ≤0，即：a +b 2-2a +b +1≤0∴a +b -1 2≤0，解得：a +b =1又∵a >0,b >0∴a 2b +2a =1-b 2b +2a =12b +2a -12=12b +2a a +b -12=a 2b +2ba +2≥2a 2b ⋅2b a+2=4当且仅当a 2b =2b a ，即a =23,b =13时取等号.故选：A .8.(2022春·江西宜春·高三校考阶段练习)设x >y >z ，且1x -y +1y -z ≥nx -zn ∈N 恒成立，则n 的最大值为()A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】因为x >y >z ，所以x -y >0，y -z >0，x -z >0，所以不等式1x -y +1y -z ≥n x -z 恒成立等价于n ≤x -z 1x -y +1y -z恒成立.因为x -z =x -y +y -z ≥2x -y y -z ，1x -y +1y -z≥21x -y ⋅1y -z ，所以x -z ⋅1x -y +1y -z≥4x -y y -z⋅1x -y ⋅1y -z =4(当且仅当x -y =y -z 时等号成立)，则要使n ≤x -z 1x -y +1y -z恒成立，只需使n ≤4n ∈N ，故n 的最大值为4.故选：C 9.(2022春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习)(多选)已知实数a ，b 满足4a 2-ab +b 2=1，以下说法正确的是()A.a ≤21515B.a +b <1C.45≤4a 2+b 2≤43D.2a -b ≤2105【答案】ACD【解析】由4a 2-ab +b 2=1，可得b 2-ab +4a 2-1=0，关于b 的方程有解，所以△=-a 2-44a 2-1 ≥0，所以a 2≤415，即a ≤21515，故A 正确；取a =0,b =1，4a 2-ab +b 2=1，则a +b =1，故B 错误；由4a 2-ab +b 2=1，可得4a 2+b 2=ab +1=1+12⋅2ab ，又-4a 2+b 22≤2ab ≤4a 2+b 22，令t=4a 2+b 2，则-t 2≤2t -1 ≤t 2，所以45≤t ≤43，即45≤4a 2+b 2≤43，故C 正确；由4a 2-ab +b 2=1，可得2a -b 2+3ab =1，所以2a -b 2=1-3ab =1+32⋅2a ⋅-b ，令u =2a -b ，由2a ⋅-b ≤2a -b 22，可得u 2≤1+38u 2，所以u 2≤85，即2a -b ≤2105，故D 正确.故选：ACD .10.(2022·浙江·模拟预测)(多选)已知a ，b 为正数，且2a +b -2=0，则()A.a 2+16>8a B.2a +1b≥9 C.a 2+b 2≥255D.32<a +b -5a -2<4【答案】ACD【解析】对于A 选项，a 2+16-8a =a -4 2≥0，当且仅当a =4时等号成立，当a =4时，由于2a +b -2=0，得b =2-2a =2-8=-6，与b 为正数矛盾，故a ≠4，即得a 2+16>8a ，故A 选项正确；对于B 选项，∵2a +b -2=0，∴a +b2=1.又∵a >0,b >0∴2a +1b =2a +1b a +b 2 =2+b a +a b+12≥52+2b a ⋅a b =92，当且仅当b a =a b，即a =b =23时等号成立；故B 选项不正确；对于C 选项，∵2a +b -2=0，∴b =2-2a ，a ∈0,1 .∵a 2+b 2=a 2+2-2a 2=5a 2-8a +4=5a -45 2+45，∴a 2+b 2≥45，当且仅当a =45时等号成立，∴a 2+b 2≥255，故C 选项正确；对于D 选项，∵2a +b -2=0，∴b =2-2a ，a ∈0,1 .∴a +b -5a -2=a +2-2a -5a -2=-a -3a -2=-a -2 -5a -2=-1-5a -20<a <1 ，当0<a <1时，-2<a -2<-1，∴-5<5a -2<-52，得32<-1-5a -2<4，即32<a +b -5a -2<4，故D 选项正确.故选：ACD11.(2022春·山西·高三校联考阶段练习)(多选)若a >b >1，且a +3b =5，则()A.1a -b +4b -1的最小值为24 B.1a -b +4b -1的最小值为25C.ab -b 2-a +b 的最大值为14 D.ab -b 2-a +b 的最大值为116【答案】BD【解析】由a >b >1，可知a -b >0，b -1>0，a -b +4b -1 =a +3b -4=5-4=1，1a -b +4b -1=a -b +4b -1 a -b +4a -b +4b -1 b -1=17+4b -1 a -b +4a -b b -1≥17+24b -1 a -b ⋅4a -b b -1=25当且仅当a -b =b -1=15 时，等号成立，1a -b +4b -1的最小值为25．又1=a -b +4b -1 ≥2a -b ⋅4b -1 =4a -b ⋅b -1 ．当且仅当a -b =4b -1 =12时，等号成立，所以ab -b 2-a +b =a -b ⋅b -1 ≤116，故ab -b 2-a +b 的最大值为116．故选：BD .12.(2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习)(多选)在下列函数中，最小值是4的是()A.y =x +4xB.y =x +5x +1x >0 C.y =x sin +4xsin ，x ∈0,π2D.y =4x +41-x【答案】BD【解析】对于A ，当x >0时，y =x +4x ≥2x ⋅4x =4，当且仅当x =4x，即x =2时取等号；当x <0时，y =x +4x =--x +-4x ≤-2x ⋅4x =-4，当且仅当-x =-4x ，即x =-2时取等号，所以y ∈-∞,-4 ⋃4,+∞ ，A 错误；对于B ，y =x +5x +1=x +1+4x +1=x +1+4x +1，因为x >0，所以x +1>1，x +1+4x +1≥2x +1⋅4x +1=4，当且仅当x +1=4x +1，即x =3时取等号，所以y =x +5x +1x >0 的最小值为4，B 正确；对于C ，因为x ∈0,π2，所以x sin ∈0,1 ，由对勾函数性质可知：y =x sin +4x sin ,x ∈5,+∞ ，C 错误；对于D ，4x >0，y =4x +41-x =4x +44x ≥24x ×44x =4，当且仅当4x =44x ，即x =12时取等号，所以y =4x +41-x 的最小值为4，D 正确.故选：BD13.(2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习)已知正实数x ，y 满足4x +7y =4，则2x +3y+12x +y的最小值为______.【答案】94【解析】因为4x +7y =4，所以2x +3y +12x +y =142x +3y +2x +y 2x +3y +12x +y ，所以2x +3y +12x +y =144+2x +3y 2x +y +22x +y x +3y +1，因为x ,y 为正实数，所以2x +3y 2x +y >0,22x +yx +3y>0，所以2x +3y 2x +y +22x +y x +3y≥22x +3y 2x +y ⋅22x +yx +3y =4，当且仅当x +3y =2x +y 4x +7y =4时等号成立，即x =815,y =415时等号成立，所以2x +3y +12x +y ≥144+4+1 =94，当且仅当x =815,y =415时等号成立，所以2x +3y +12x +y 的最小值为94.14.(2022春·天津静海·高三静海一中校考阶段练习)若a ,b ∈R ，且b 2-a 2=1，则a +b2-a 2b的最大值为___________.【答案】2【解析】由题知，a ,b ∈R ，且b 2-a 2=1，即b 2=a 2+1，所以a +b2-a 2b =a +1b ，当a =0时，b 2=1，即b =±1，此时a +1b =±1，所以a +b 2-a 2b的最大值为1，当a ≠0时，a +1b2=a 2+2a +1b 2=1+2a a 2+1≤1+2a 2a =2，当且仅当a =1时取等号，此时-2≤a +1b ≤2；所以a +a 2-b 2b 的最大值为2.综上，a +a 2-b 2b的最大值为2.15.(2022春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习)已知正数x ，y 满足83x 2+2xy +3xy +2y 2=1，则xy的最小值是_________．【答案】52【解析】根据题意，由83x 2+2xy +3xy +2y 2=1可得8xy +2y 2 +33x 2+2xy 3x 2+2xy xy +2y 2=1，即16y 2+9x 2+14xy =3x 3y +8x 2y 2+4xy 3=xy 4y 2+3x 2+8xy所以16y 2+9x 2+14xy 4y 2+3x 2+8xy =xy =16y 2x2+9+14y x 4y 2x2+3+8y x ；又因为x ，y 均是正数，令y x =t ∈0,+∞ ，则xy =f t =16t 2+14t +94t 2+8t +3所以， f t =16t 2+14t +94t 2+8t +3=4-18t +34t 2+8t +3=4-14t 2+8t +318t +3令 g t =4t 2+8t +318t +3，则g t =29t +1127+16918t +3=29t +16 +16918t +3+1027≥229t +16 ×16918t +3+1027=1827当且仅当29t +16 =16918t +3，即t =12时，等号成立；所以f t =4-14t 2+8t +318t +3≥4-11827=4518=52所以f t 的最小值为f t min =52;即当t =y x =12,x =2y =5时，即x =5,y =52时，等号成立.16.(2022春·陕西商洛·高三校联考阶段练习)已知正实数a ,b ,c 满足a 2+ab +b 2-12c 2=0，则当a +bx取得最大值时，a -b 2+c 的最大值为______.【答案】916【解析】由a 2+ab +b 2-12c 2=0，可得12c 2=a +b 2-ab ≥a +b 2-a +b 22=34a +b 2，即a +bc≤4，当且仅当a =b 时，等号成立，所以当a +b c 取得最大值时，a =b ，c =a +b 4=a 2，所以a -b 2+c =32a -a 2=-a -342+916，故当a =34,b =34,c =38时，a -b 2+c 取最大值916.。
2024年高考数学高频考点(新高考通用)等差数列中Sn的最值问题(精讲+精练)解析版
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展19等差数列中Sn 的最值问题（精讲+精练）一、等差数列的通项公式和前n 项和公式1.等差数列的通项公式如果等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，那么它的通项公式是1(1)=+-n a a n d ．2.等差数列的前n 项和公式设等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和11()(1)22+-=+=n n n a a n n S na d ．注：数列{}n a 是等差数列⇔2=+n S An Bn （、A B 为常数）．二、等差数列的前n 项和的最值1.公差0{}>⇔n d a 为递增等差数列，n S 有最小值；公差0{}<⇔n d a 为递减等差数列，n S 有最大值；公差0{}=⇔n d a 为常数列．2.在等差数列{}n a 中（1）若100，><a d ，则满足1+≥0⎧⎨≤0⎩m m a a 的项数m 使得n S 取得最大值m S ；（2）若100，<>a d ，则满足1+≤0⎧⎨≥0⎩m m a a 的项数m 使得n S 取得最小值m S ．即若100>⎧⎨<⎩a d ，则n S 有最大值（所有正项或非负项之和）；若100<⎧⎨>⎩a d ，则n S 有最小值（所有负项或非正项之和）．【典例1】（2022·全国·统考高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+．二、题型精讲精练一、知识点梳理又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，所以13n a n =-，即有1123210,0a a a a <<<<= .则当12n =或13n =时，()min 78n S =-．【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出n S 的最小值，适用于可以求出n S 的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．【题型训练-刷模拟】一、单选题若5，故②正确；当8n =或9n =时，n S 取得最大值，所以211k a b +-=或12，故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查的是等差数列的前n 项和最大值问题，思路是不难，大，即确定数列是递减数列，判断前多少项为非负项即可，但关键点在于如何求得正负项分界的项，即求得90a =，100a <，所以这里的关键是利用()217e 1ln 21a bS a b --≤≤-+，构造函数()e 1x f x x =--，利用导数判断函数单调性，结合最值解决这一问题.二、多选题三、填空题1四、解答题32．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1121526,a S S =-=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求n S ，并求n S 的最小值.【答案】(1)228n a n =-；(2)227n S n n =-，最小值为182-．【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列前n 项和公式由1215S S =列出方程即可解出d ，从而可得数列{}n a 的通项公式；（2）根据二次函数的性质或者邻项变号法即可判断何时n S 取最小值，并根据等差数列前n 项和公式求出nS。
高考数学导数：极值与最值问题解析
高考数学导数：极值与最值问题解析在高考数学中，导数部分的极值与最值问题一直是重点和难点，也是许多同学感到头疼的知识点。
但其实，只要我们掌握了正确的方法和思路，这类问题也并非不可攻克。
接下来，让我们一起深入探讨一下高考数学中导数的极值与最值问题。
一、极值与最值的基本概念首先，我们要明确极值和最值的定义。
极值是指函数在某个局部范围内的最大值或最小值。
也就是说，在函数的某个区间内，如果在某一点处的函数值比它附近其他点的函数值都大（小），那么这个点对应的函数值就是极大值（极小值）。
而最值则是指函数在整个定义域内的最大值或最小值。
需要注意的是，极值不一定是最值，最值也不一定是极值。
例如，函数在一个区间内可能有多个极值，但只有一个最大值和一个最小值。
二、求极值的方法1、求导数这是解决极值问题的关键步骤。
对于给定的函数，我们先对其求导，得到导函数。
2、令导数为 0求出导函数后，令其等于 0，解出这些方程的根。
这些根就是可能的极值点。
3、判断极值点通过导数的正负来判断极值点的类型。
如果在极值点的左侧导数为正，右侧导数为负，那么这个点就是极大值点；反之，如果在极值点的左侧导数为负，右侧导数为正，那么这个点就是极小值点。
例如，对于函数 f(x) ＝ x³ 3x²＋ 2，其导函数为 f'（x) ＝ 3x² 6x。
令 f'（x) ＝ 0，解得 x ＝ 0 或 x ＝ 2。
当 x ＜ 0 时，f'（x) ＞ 0；当 0 ＜x ＜ 2 时，f'（x) ＜ 0；当 x ＞ 2 时，f'（x) ＞ 0。
所以，x ＝ 0 是极大值点，极大值为 f(0) ＝ 2；x ＝ 2 是极小值点，极小值为 f(2) ＝－2。
三、求最值的方法1、求出函数在区间内的极值按照前面提到的求极值的方法，找出函数在给定区间内的所有极值。
2、求出区间端点处的函数值将区间的端点代入函数，得到相应的函数值。
高考数学最值问题及解题思路分享
高考数学最值问题及解题思路分享在高考数学中，最值问题是一道经典的题型，出现频率较高。
关于最值问题，我们可以从以下三个方面来进行探讨：最大值、最小值和最优解。
接下来，我们将从这三个方面入手，来一起学习解题思路。
一、最大值最大值问题通常可以通过以下步骤来解决：1. 求导数：首先需要对函数进行求导，找到导数为零的点，即可找到函数的最大值点。
2. 计算：将最大值点代入原函数，可得函数的最大值。
3. 可能存在的特殊情况：若导数不存在或导数为无穷大时，需要另外进行判断。
在多数情况下，最值点就是导数为零的点。
举个例子：已知函数$f(x)=x^3-3x+1$，求其在区间$[-2,2]$上的最大值。
解：首先，求导数：$f'(x)=3x^2-3$。
令$f'(x)=0$，可得极值点$x=\pm1$。
由此得出，当$x=\pm1$时，函数$f(x)$取得最大值。
将$x=\pm1$代入原函数，可得最大值为$f(1)=f(-1)=3$。
二、最小值与最大值问题类似，最小值问题也可以通过以下步骤解决：1. 求导数：首先需要对函数进行求导，找到导数为零的点，即可找到函数的最小值点。
2. 计算：将最小值点代入原函数，可得函数的最小值。
3. 可能存在的特殊情况：若导数不存在或导数为无穷大时，需要另外进行判断。
在多数情况下，最值点就是导数为零的点。
举个例子：已知函数$f(x)=(x-1)^3-x^2$，求其在区间$[0,2]$上的最小值。
解：首先，求导数：$f'(x)=3(x-1)^2-2x$。
令$f'(x)=0$，可得极值点$x=\frac{3}{4}$和$x=2$。
由此得出，当$x=\frac{3}{4}$和$x=2$时，函数$f(x)$取得最小值。
将$x=\frac{3}{4}$和$x=2$代入原函数，可得最小值为$f(\frac{3}{4})=\frac{-49}{64}$和$f(2)=-4$。
三、最优解在实际问题中，我们通常要找到一个最优解，这个解可能既不是最大值也不是最小值，而是在某种条件下最合适的解。
高考数学专题14 数列中的最值问题
一、选择题1．已知等差数列 的前 项和是 ,若,,则 最大值是A.B.C.D.【答案】C【解析】由等差数列的前 n 项和的公式可得：故则,故在数列 中,当时,,当,所以 时, 达到最大值.2．若等差数列 的前 项和,则的最小值为A．B.8C.6D.7【答案】D3.已知正项等比数列 的前 项和为 ,且,则为 A. 10 B. 15 【答案】CC. 20D. 25【解析】由题意可得：,由可得由等比数列的性质可得： 可得：成等比数列,则的最小值, ,综上,当且仅当时等号成立.综上可得,则的最小值为 20.4.已知数列 的通项公式为最大值为 A．4 【答案】CB．5C．6【解析】,记数列 的前 项和为,则使 D．8成立的 的 ,,,…,所以使成立的 的最大值为 ,故选 C.5．设数列 为等差数列, 为其前 项和,若,,,则 的最大值为A. 3 B. 4 C.D.【答案】B【解析】∵S4≥10,S5≤15,∴a1+a2+a3+a4≥10,a1+a2+a3+a4+a5≤15,∴a5≤5,a3≤3,a1+4d≤5,a1+2d≤3,两式相加得：2（a1+3d）≤8,∴a4≤4,故选 B.6. 等比数列 的前 项和（ 为常数）,若恒成立,则实数的最大值是 A. 3 B. 4 【答案】CC. 5D. 67. 正项等比数列｛an｝中,存在两项 am,a（n m,n的最小值为 A. 5 B. 6 【答案】BC. 7D. 8）使得 aman=16a12,且 a7=a6+2a5,则 +【解析】∵,∴∴,又,∴,,∴,即,,当且仅当,即时等号成立,∴的最小值为 6,故选 B．8. 等差数列 的公差为 ,关于 的不等式的解集为 ,则使数列的前 项和 最大的正整数 的值是 A． B． C． D． 【答案】B9. 已知等差数列 的公差,且 , , 成等比数列,若, 为数列 的前 项和,则的最小值为A． 4B．3【答案】A【解析】由已知有公式C． ,所以有D．2,数列 通项,所以,当且仅当,即时等号成立.故选A.10. 已知三个数 ,,成等比数列,其倒数重新排列后为递增的等比数列 的前三项,则能使不等式成立的自然数 的最大值为A．9 【答案】CB．8【解析】因为三个数C．7D．5等比数列,所以,倒数重新排列后恰好为递增的等比数列 的前三项,为,公比为 ,数列是以 为首项, 为公比的等比数列,则不等式等价为,整理,得,故选 C．11. 设等差数列 满足:,公差, 若当且仅当是A．B．【答案】A时, 的前 项和 取得最大值,则首项 的取值范围C．D.12. 设 数 列首项 ,当 取最大值时,,为的前 项和,若A． 4 【答案】DB．2C． 6D． 3【解析】由题意得,所以当且仅当时取等号,故选 D. 二、填空题 13.将 10 个数 1,2,3,…,9,10 按任意顺序排列在一个圆圈上,设其中连续相邻的 3 数之和为 , 则 的最大值不小于__________． 【答案】1814.已知 是等比数列,且,【答案】【解析,则 的最大值为__________． 】,即 的最大值为 .15．设等差数列 满足 __________． 【答案】-12 【解析】因为数列,,且是等差数列,且有最小值,则这个最小值为,所以,是一元二次方程,或,的二根,由 ,当,当得 时,时,取得最小值,由解得,时,取得最小值,此时 ,,当 ,当时,时,取得最小值,由解得,时,取得最小值,此时, 故答案为 .16．设等差数列 的前 项和为 ,且又,数列 的前 项和为 ,若最大值是__________. 【答案】2（ 是常数,）,,对恒成立,则正整数 的17.数列{an}是等差数列,数列{bn}满足 bn=anan+1an+2（n∈N*）,设 Sn 为{bn}的前 n 项和．若,则当 Sn 取得最大值时 n 的值等于_____．【答案】【解析】设 的公差为 ,由得,,即,所以,从而可知时,,,,,因为,所以中 最大,故答案为 16.,时,,,,所以,从而 ,故,所以 ,故18.已知等比数列 的首项为 ,公比为 ,前 项和为 ,则的最大值与最小值之和为__________． 【答案】【解析】由等比数列前 n 项和公式可得,令,当 为奇数时,单调递减,,当 为偶数时,单调递增,,则,即,令,函数单调递减,则：,最大值与最小值之和为. 19.等差数列 满足,则的取值范围是________.【答案】.三、解答题20．已知数列 的各项为正数,其前 项和为 满足,设. （1）求证：数列 是等差数列,并求 的通项公式； （2）设数列 的前 项和为 ,求 的最大值.（3）设数列 的通项公式为,问: 是否存在正整数 t,使得成等差数列？若存在,求出 t 和 m 的值；若不存在,请说明理由.21．已知数列 是首项等于 且公比不为 1 的等比数列, 是它的前 项和,满足．（1）求数列 的通项公式；（2）设且,求数列 的前 项和 的最值．【解析】（1）,,.整理得,解得或（舍去）..（2）.1）当 时,有增的等差数列.由,得 .所以数列是以为公差的等差数列,此数列是首项为负的递 . 的没有最大值.2）当时,有递减的等差数列.,得 ,,数列 是以为公差的等差数列,此数列是首项为正的. 的没有最小值.。
高考数学《与解三角形有关的最值问题》
高考数学 与解三角形有关的最值问题
例 2 在△ABC 中，已知角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，tanC＝csoinsAA＋ ＋scionsBB. (1) 求角 C 的大小； (2) 若△ABC 的外接圆直径为 1，求 a2＋b2＋c2 的取值范围． 解析：(1) 因为 tanC＝csoinsAA＋ ＋scionsBB，即csoinsCC＝csoinsAA＋＋csionsBB， 所以 sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB， 即 sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB，所以 sin(C－A)＝sin(B－C)． 所以 C－A＝B－C 或 C－A＝π－(B－C)(不成立)，即 2C＝A＋B，所以 C＝π3.
tanAtanBtanC 将问题作进一步处理．
因为 2sin2A＋sin2B＝2sin2C，所以由正弦定理可得 2a2＋b2＝2c2.
由余弦定理及正弦定理可得 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝4ba2b＝4ba＝4ssiinnBA.
高考数学 与解三角形有关的最值问题
又因为 sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC， 所以 cosC＝sinAcosC4s＋incAosAsinC＝co4sC＋4stiannCA， 可得 tanC＝3tanA，代入 tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC 得 tanB＝3ta4nta2AnA－1， 所以ta1nA＋ta1nB＋ta1nC＝ta1nA＋3ta4nta2AnA－1＋3ta1nA＝3ta4nA＋121ta3nA.
高考数学 与解三角形有关的最值问题
(2) 解法一：由 C＝π3可得 c＝2RsinC＝1× 23＝ 23， 且 a＝2RsinA＝sinA，b＝2RsinB＝sinB. 设 A＝π3＋α，B＝π3－α，0<A<23π，0<B<23π，知－π3<α<3π. 所以 a2＋b2＋c2＝34＋sin2A＋sin2B＝34＋1－c2os2A＋1－c2os2B ＝74－12cos23π＋2α＋cos23π－2α＝74＋12cos2α. 由－π3<α<π3知－23π<2α<23π，－12<cos2α≤1，故32<a2＋b2＋c2≤94.
高考数学：三角函数中的最值问题(4种方法)
三角函数中的最值问题（4种方法）基本方法1、直接法：形如f (x )＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b ),值域为[－|a |＋b ，|a |＋b ]，形如y＝asinx＋bcsinx＋c 的函数可反解出sinx，利用|sinx|≤1求解，或分离常数法.2、化一法：形如f (x )＝a sin x ＋b cos x ，f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＋c sin x cos x 的函数可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，利用正弦函数的有界性求解，给定x 范围时要注意讨论ωx ＋φ的范围，注意利用单位圆或函数图象．3、换元法：形如f (x )＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a cos 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a (sin x ±cos x )＋b sin x ·cos x 的函数可通过换元转化为二次函数在某区间上的值域求解．4、几何法（数形结合）：形如dx c bx a y ++=cos sin 转化为斜率问题，或用反解法.典型例题例1已知函数f (x )=(sin x+cos x )2+cos 2x ,求f (x )在区间.解：（化一法）因为f (x )=sin 2x+cos 2x+2sin x cos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=2sin 2 +1,当x ∈0,2 ∈由正弦函数y=sin x 当2x+π4π2,即x=π8时,f (x )取最大值2+1;当2x+π45π4,即x=π2时,f (x )取最小值0.综上,f (x )在0,上的最大值为2+1,最小值为0.例2求函数y ＝2＋sin x ＋cos x 的最大值.解：（化一法）y ＝2＋2sin(x ＋π4)，当x ＝π4＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝2＋2例3求函数f (x )＝cos2x ＋6cos(π2－x )的最大值.解：（换元法）f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2(sin x －32)2＋112.令sin x ＝t ，则t ∈[－1,1]，函数y ＝－2(t －32)2＋112在[－1,1]上递增，∴当t ＝1时，y 最大＝5，即f (x )max ＝5，例4已知x 是三角形的最小内角，求函数y ＝sin x ＋cos x －sin x cos x 的最小值.解：（换元法）由0≤x ≤π3，令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，又0<x ≤π3，∴π4<x ＋π4≤712π，得1<t ≤2；又t 2＝1＋2sin x cos x ，得sin x cos x ＝t 2－12，得y ＝t －t 2－12＝－12(t －1)2＋1，例5已知sin α＋sin β＝22，求cos α＋cos β的取值范围.解：（换元法）令cos α＋cos β＝t ，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝t 2＋12，即2＋2cos(α－β)＝t 2＋12⇒2cos(α－β)＝t 2－32，∴－2≤t 2－32≤2⇒－12≤t 2≤72，∴－142≤t ≤142，即－142≤cos α＋cos β≤142.例6求函数y ＝1＋sin x3＋cos x的值域解法一：（几何法）1＋sin x3＋cos x可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x3＋cos x满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为[0，34]．解法二：（反解法）由y ＝1＋sin x3＋cos x 得sin x －y cos x ＝3y －1，∴sin(x ＋φ)＝3y －11＋y2其中sin φ＝－y 1＋y 2，cos φ＝11＋y 2.∴|3y －11＋y2|≤1，解得0≤y ≤34.例7求函数y ＝2sin x ＋1sin x －2的值域解法一：（分离常数法）y ＝2sin x ＋1sin x －2＝2＋5sin x －2，由于－1≤sin x ≤1，所以－5≤5sin x －2≤－53，∴函数的值域为[－3，13]．解法二：（反解法）由y ＝2sin x ＋1sin x －2，解得sin x ＝2y ＋1y －2，∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤2y ＋1y －2≤1，解得－3≤y ≤13，∴函数的值域为[－3，13]．针对训练1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为____.此时x ＝____.2.函数xxy cos -3sin -4的最大值为.3.函数f (x )=sin 2x+3cos ∈的最大值是.4.函数y ＝12＋sin x ＋cos x的最大值是【解析】1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．2.解析式表示过A (cos x ,sin x ),B (3,4)的直线的斜率,则过定点(3,4)与单位圆相切时的切线斜率为最值,所以设切线的斜率为k ,则直线方程为y-4=k (x-3),即kx-y-3k+4=+11,∴k max3.由题意可知f (x )=1-cos 2x+3cos x-34=-cos 2x+3cos x+14=-cos -+1.因为x ∈0,cos x ∈[0,1].所以当cos f (x )取得最大值1.4.∵y ＝12＋2sin (x ＋π4)，又2－2≤2＋2sin(x ＋π4)≤2＋2∴y ≤12－2＝1＋22，含参问题一、单选题1．已知函数()sin cos (0,0)62af x x x a πωωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭，对任意x ∈R ，都有()f x ≤，若()f x 在[0,]π上的值域为3[2，则ω的取值范围是（）A．11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．12,33⎡⎤⎢⎣⎦C．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()sin cos 62af x x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos 2a x x ωω++max ()f x =02a a >∴= ，())3f x x πω∴=+0,0x πω≤≤> ，333x πππωωπ∴≤+≤+，3()2f x ≤ 2233πππωπ∴≤+≤，1163ω∴≤≤.故选：A2．已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，关于函数()g x ，下列说法正确的是（）A．在,42ππ⎡⎤⎢⎣⎦上是增函数B．其图像关于直线6x π=对称C．在区间,1224ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,1--D．函数()g x 是奇函数【解析】因()()cos 2sin 06f x x x x πωωωω⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，则()f x 的最小正周期为22T ππω==，即4ω=，所以()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得()2sin 42sin 42cos 46662f x g x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=，所以，()g x 为偶函数，故D 选项不正确；由4,k x k k Z πππ≤≤+∈，即,44k k x k Z πππ+≤≤∈，故()g x 在区间(),44k k k Z πππ+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以()g x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故A选项不正确；由4,2x k k Z ππ=+∈，即,48k x k Z ππ=+∈，所以()g x 图像关于,48k x k Z ππ=+∈对称，故B选项不正确；当,1224x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，4,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，则()21g x -≤≤-，所以C 选项正确.故选：C.3．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（）A．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．73,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．57,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为0>ω，所以当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[,]4424x ππωππω-∈--因为函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以52244πωπππ≤-≤，解得332ω≤≤，故选：B．4．已知函数()(2)f x x ϕ=+22ππϕ-≤≤，若()0f x >在5(0,)12π上恒成立，则3(4f π的最大值为（）B．0C．D．2-【解析】因为5(0,)12x π∈,故52(,)6x πϕϕϕ+∈+；由()0f x >，即1sin(2)2x ϕ+>-，得722266k x k πππϕπ-+<+<+，k Z ∈，故57(,)(2,2)666k k πππϕϕππ+⊆-++，k Z ∈，故2657266k k πϕπππϕπ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得2263k k πππϕπ-+≤≤+，k Z ∈；又22ππϕ-≤≤，故63ππϕ-≤≤，5．已知曲线()sin cos f x x m x ωω=+，()m R ∈相邻对称轴之间的距离为2π，且函数()f x 在0x x =处取得最大值，则下列命题正确的个数为（）①当0,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，m的取值范围是⎣；②将()f x 的图象向左平移04x 个单位后所对应的函数为偶函数；③函数()()y f x f x =+的最小正周期为π；④函数()()y f x f x =+在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点．故33()()42f ππϕϕ⎡⎤+++-⎢⎥⎣⎦，故3()4f π的最大值为0．故选：BA．1B．2C．3D．4【解析】函数()f x 的相邻对称轴之间的距离为2π，则周期为22T ππ=⨯=，∴22πωπ==，()sin 2cos 2f x x m x =+)x ϕ=+，其中cos ϕ=，sin ϕ=[0,2)ϕπ∈，()f x 在0x 处取最大值，则022,2x k k Z πϕπ+=+∈，0222k x πϕπ=+-，k Z ∈，①若0[,]126x ππ∈，则[2,2]63k k ππϕππ∈++，1sin 2ϕ≤≤，12解m ≤正确．②如()sin(28f x x π=+，0316x π=时函数取最大值，将()f x 的图象向左平移04x 个单位后得313()sin[2(4)sin(2)1688g x x x πππ=+⨯+=+，不是偶函数，错；③()()y f x f x =+中，()y f x =是最小正周期是π，()y f x =的最小正周期是2π，但()()y f x f x =+的最小正周期还是π，正确；④003[,44x x x ππ∈++时，()()0y f x f x =+=，因此在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有无数个零点，错；∴正确的命题有2个．故选：B．6．已知函数()cos 4cos 12=+-xf x x 在区间[0,]π的最小值是（）A．-2B．-4C．2D．4【解析】22()cos 4cos 12cos 14cos 12(cos 1)42222x x x x f x x =+-=-+-=+-，由[0,]x π∈知，[0,]22x π∈，cos [0,1]2x ∈，则当x π=时，函数()f x 有最小值min ()2f x =-.故选：A.7．已知()cos31cos xf x x=+,将()f x 的图象向左平移6π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12得到()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法中正确的个数为（）①函数()g x 的周期为2π;②函数()g x 的值域为[]22-,;③函数()g x 的图象关于12x π=-对称;④函数()g x 的图象关于,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称.A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】()()cos 2cos311cos cos x x xf x x x+=+=+cos 2cos sin 2sin 12cos 2cos x x x x x x -=+=.即：()2cos 2f x x =且,2x k k Z ππ≠+∈.()2cos(4)3g x x π=+且,62k x k Z ππ≠+∈.①因为函数()g x 的周期为2π，因此①正确.②因为,62k x k Z ππ≠+∈，故() 2.g x ≠-因此②错误.③令4,3x k k Z ππ+=∈，得,124k x k Z ππ=-+∈.故③正确k ππ二、填空题8．函数()2sin()sin()2sin cos 66f x x x x x ππ=-++在区间[0,2π上的值域为__________．【解析】由11(x)sinx cosx)(sinx cosx)sin 2x2222f =-++22312(sin x cos x)sin 2x 44=-+2231sin cos sin 222x x x=-+11cos 2sin 22x x =--+1x )24π=-当[0,]2x π∈时，2[,]444x ππ3π-∈-，则sin(2)[42x π-∈-，所以11(x)[,22f ∈-.故答案为：11[,22-9．若函数()()2cos 2cos 202f x x x πθθ⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭的图象过点()0,1M ，则()f x 的值域为__________.【解析】由题意可得()02cos 2cos 02cos 211f θθ=+=+=，得cos 20θ=，02πθ<<，02θπ∴<<，22πθ∴=，则4πθ=，()22cos cos 2cos 22sin 2sin 2sin 12f x x x x x x x π⎛⎫∴=++=-=--+ ⎪⎝⎭2132sin 22x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，令[]sin 1,1t x =∈-，则213222y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.当12t =-时，该函数取最大值，即max 32y =，当1t =时，该函数取最小值，即min 3y =-.因此，函数()y f x =的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.10．函数32()sin 3cos ,32f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域为_________．【解析】由题意，可得()3232ππf x sin x 3cos x sin x 3sin x 3,x ,,32⎡⎤=+=-+∈-⎢⎥⎣⎦，令t sinx =，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()32g t t 3t 3=-+，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()2g't 3t 6t 3t t 2=-=-，当t 0<<时，()g't 0>，当0t 1<<时，()g't 0>，即()y g t =在⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，在[]0,1为减函数，又g ⎛=⎝⎭()g 03=，()g 11=，故函数的值域为：⎤⎥⎣⎦．11．（2019·广东高三月考（文））函数()cos 2|sin |f x x x =+的值域为______．【解析】2219()cos 2|sin |12|sin ||sin |2|sin |48f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭,所以当1sin 4x =时,()f x 取到最大值98,当sin 1x =时,()f x 取到最小值0,所以()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
高考数学中的函数极值及最值问题及解题方法
高考数学中的函数极值及最值问题及解题方法在高中数学学习中，函数极值及最值问题是一个重要的考点，也是一个有难度的知识点。
在高考数学中，这个知识点被广泛地应用于各种数学题型中，涉及到的知识点和方法需要大家掌握好。
本文将就函数极值及最值问题及解题方法做一些简单的介绍和详解。
第一部分：什么是函数的最值和极值函数的最大值和最小值是这个函数在定义域内的函数值中的最大值和最小值，也就是说，最大值和最小值都是函数的取值，而不是函数本身。
函数的最大值就是这个函数在定义域内取到的最大值，而函数的最小值就是这个函数在定义域内取到的最小值。
函数的极值也是类似的，极大值指的是某个函数在一个特定的区间内取到的最大值，而极小值就是函数在这个特定的区间内取到的最小值。
第二部分：函数的最值和极值问题的解法1. 求函数的最值对于求函数的最值，一般有两种方法：一种方法是借助函数图像，根据函数图像的形态来看出函数的最值所在的位置。
另一种方法是通过求导数，然后借助导数定理来求解函数的最值。
求函数的最值需要用到极限、导数、函数的性质等多个数学知识点，需要考生们细心地掌握。
2. 求函数的极值对于求函数的极值，可以通过以下几种方法来实现：一种方法是通过求导数，然后求得导函数的零点，从而求出函数的极值点。
另一种方法是对函数求导数，然后再对导数进行求导数，直到得到导函数的函数表达式，从而得到函数的极值点。
还有一种方法是使用极限和数列的性质来求解函数的极值。
总的来说，求函数的极值需要使用到导数、函数的性质、函数图像的图形等多个数学知识点，需要考生们认真学习和练习。
第三部分：函数极值及最值问题的解题实例在高考数学中，函数极值及最值问题的解题实例非常丰富，接下来就给大家介绍一些常见的解题思路。
1. 求函数的最值比如，一道求函数最大值的题目：求函数f(x)=x2+2x+3的最小值。
解题思路：首先可以画出函数的图像，在图像上寻找最小值所在的位置。
另一方面，我们也可以通过求导数来求解函数的最值。
解三角形中的最值与范围问题-高考数学复习
∴f(x)＝x＋122－54∈(1,5)， ∴bc22＋bc－1∈(1,5)， ∴a＋b c的取值范围是(1,5).
课时精练
一、单项选择题 1.已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 B＝π3，a＝4，且
三角形有两解，则 b 的取值范围是
A.(2 3，＋∞)
√B.(2 3，4)
(2)求a＋b c的取值范围.
由(1)知，c2＝b2＋ab， ∴a＝c2－b b2，c>b， 由三角形三边关系可得ab＋ ＋bc>>ac， ，
代入化简可得b<c<2b，
∴a＋b c＝c2－bb22＋bc＝bc22＋bc－1， 令 x＝bc，则 x∈(1,2)，f(x)＝x2＋x－1,1<x<2，
以a12＋b12的最大值为2156.
解决此类题目，一是利用正余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于 正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等 变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解.
跟踪训练 3 (2023·浙江联考)已知△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别
所以1b＝sin A＝sin 2C，
所以a12＋b12＝sin2C＋sin22C＝1－c2os 2C＋(1－cos22C)＝－cos22C－
1 2cos
2C＋32，
因为△ABC为锐角三角形，且B＝C，
则有π4<C<π2，得π2<2C<π，所以－1<cos 2C<0， 由二次函数的性质可得，当 cos 2C＝－14时，a12＋b12取得最大值1265，所
解三角形中的最值与范围问题
重点解读
解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的 范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、 三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此 类问题的关键是建立起角与边的数量关系.
高考数学中的最大值最小值问题
高考数学中的最大值最小值问题在高考数学中，最大值最小值问题是一个经常出现的难点。
这类问题看似简单，但却需要深入的理解和灵活的处理方法，才能正确地解决问题。
本文将从概念入手，详细探讨最大值最小值问题的本质和解题技巧。
一、最大值最小值的概念在数学中，最大值最小值是指在一定条件下，某个函数或者方程所能取得的最大值或最小值。
举个例子，我们考虑一个函数y=2x+1，它的图像是一条斜率为2的直线。
那么在这个函数范围内，如何求出该函数的最大值或最小值呢？首先，我们需要考虑该函数有无最大值或最小值。
显然，因为是一条直线，它没有最大值或最小值。
但是如果我们把函数的自变量x限定在一个具体范围内，比如0≤x≤5，那么这条直线在这个范围内显然有最大值和最小值，并且这两个值的位置可以通过数学方法求出来。
对于更复杂的函数，我们需要通过求导、判定条件等方法来确定最大值最小值的位置。
二、解决最大值最小值问题的方法1. 求导对于一些简单的函数，我们可以通过求导的方法来确定函数的最大值和最小值。
比如y=x^2-4x+5这个函数，在它的定义域内显然有最小值，我们只需要求出函数的导数y'，并且令y'=0，就可以求出函数的最小值点。
令y'=0，有2x-4=0，解得x=2，代入原函数中可以得到最小值点为（2，1）。
2. 判定条件有些函数虽然比较复杂，但是它们有一些固定的特征，通过这些特征我们可以判断函数能否取到最大值最小值。
比如y=sin x，在它的定义域内没有最大值和最小值，因为sin x的取值范围是[-1，1]，不存在最大值和最小值。
对于一些复杂的函数，可以通过求导之后的符号变化来判断函数的增减性，从而判断函数的最大值最小值。
3. 化归为一元高次方程在某些情况下，最大值最小值问题可以化归为一元高次方程来解决。
比如y=x^3-3x^2+4，我们需要求出函数的最大值或最小值。
对这个函数进行求导之后，得到y'=3x^2-6x，令y'=0，得到x=0或x=2。
高考数学解题方法微专题(28)抛物线中的最值问题(含解析)
微专题(二十八) 抛物线中的最值问题求解与抛物线有关的最值问题方法较多，一般需要通过数形结合或利用函数思想来求最值，下面就抛物线最值问题的求法作一归纳．1．定义转换法[例1] 已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，B (－1,1)，点P 到直线l ：x ＝－12的距离为d ，求d ＋|PB |的最小值．解析：由题意得抛物线y 2＝2x 的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线l 是抛物线的准线，如图，连接BF ，PF ，所以d ＝|PF |，则d ＋|PB |＝|PF |＋|PB |≥|BF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－122＋(1－0)2＝132，当且仅当B ，P ，F 三点共线时取等号，所以d ＋|PB |的最小值为132. 名师点评 与抛物线上的点到准线距离有关的最值问题，一般都是利用抛物线的定义，将到准线的距离转化为到焦点的距离，然后通过数形结合直接判断出取得最值时所要满足的条件，这样就能避免烦琐的代数运算.[例2] 抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________．解析：解法一 如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x＋3y ＋b ＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0，消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，解得b ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝|8－43|5＝43.解法二 由y ＝－x 2，得y ′＝－2x .如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线与抛物线的切点是T (m ，－m 2)，则切线斜率k ＝y ′|x ＝m ＝－2m ＝－43，所以m ＝23，即切点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－49，点T 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪83－43－816＋9＝43，由图知抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是43.答案：43名师点评 若抛物线上的点P 到直线l 的距离最小，则过点P 与l 平行的直线与抛物线相切，且最小距离为两平行直线间的距离，所以可将问题转化为求与抛物线相切的直线，然后求两平行直线间的距离．3．函数法针对上面的例2，我们给出第三种解决方法：解法三 设P (x ，－x 2)，则点P 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝|4x －3x 2－8|16＋9＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋203＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋43，在抛物线y ＝－x 2中，x ∈R ，所以当x ＝23时，d 取得最小值43，即抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是43.[例3] 若点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆(x －3)2＋y 2＝1上，则|PQ |的最小值为________．解析：由题意得抛物线与圆不相交，且圆的圆心为A (3,0)，则|PQ |≥|PA |－|AQ |＝|PA |－1，当且仅当P ，Q ，A 三点共线时取等号，所以当|PA |取得最小值时，|PQ |最小．设P (x 0，y 0)，则y 20＝x 0，|PA |＝(x 0－3)2＋y 20＝x 20－6x 0＋9＋x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0－522＋114，当且仅当x 0＝52时，|PA |取得最小值112，此时|PQ |取得最小值112－1. 答案：112－1 名师点评 解与抛物线有关的最值问题可通过两点间距离公式或者点到直线的距离公式建立目标函数，再用求函数最值的方法求解．解题的关键是根据所给抛物线方程设出动点坐标．。
如何应对高考数学中的函数极值和最值问题
如何应对高考数学中的函数极值和最值问题函数极值和最值问题是高考数学中一个重要的考点，也是很多同学容易遇到困难的地方。
为了帮助同学们更好地应对这类问题，本文将从解题技巧和常见方法两方面进行探讨。
一、解题技巧1. 熟悉函数的性质要解决函数极值和最值问题，首先需要对函数的性质有一定的了解。
比如，了解函数在定义域上的单调性、奇偶性、周期性等特点，这些特点有助于我们判断函数的极值和最值。
2. 求导数对于函数极值和最值问题，求导数是一种常见的解题方法。
通过对函数进行求导，我们可以得到函数的导数，然后通过导数的零点和不连续点来确定函数的极值点和最值点。
3. 利用辅助图形在解决函数极值和最值问题时，可以绘制函数的图像。
通过观察函数图像的特点，我们可以得到一些有关函数极值和最值的信息，从而更好地解决问题。
二、常见方法1. 寻找零点对于一些简单的函数，我们可以通过寻找函数的零点来确定函数的极值和最值。
首先通过求根公式或者其他方法求得函数的零点，然后将这些零点和函数的端点进行比较，从而确定函数的极值和最值。
2. 求导数寻找极值点对于一些复杂的函数，我们可以通过求导数来寻找函数的极值点。
首先求出函数的导数，然后将导数的零点和不连续点作为函数的可能极值点，再通过一些条件进行筛选，就可以找到函数的极值点。
3. 线性规划法线性规划法是一种在最优化问题中常用的方法，也可以应用到函数极值和最值问题中。
通过建立合适的约束条件和目标函数，将函数极值和最值问题转化为线性规划问题，然后利用线性规划的方法求解，得到函数的极值和最值。
总结：函数极值和最值问题是高考数学中的一个重要考点，掌握解题技巧和常见方法对于提高解题效率和准确率非常有帮助。
通过熟悉函数的性质，掌握求导数的方法，运用辅助图形等技巧，我们可以更好地应对高考数学中的函数极值和最值问题。
希望同学们能够在备考过程中认真学习、不断实践，顺利应对高考数学中的各个挑战。
2025高考数学圆锥曲线中的最值、范围问题课件练习题
训练1
例2
训练2
返回目录
突破2
圆锥曲线中的最值、范围问题
方法技巧
圆锥曲线中最值(范围)问题的求解方法
几何法
若题目的条件和结论明显能体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来
解决.
若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再
代数法 求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不
第八章
平面解析几何
突破2 圆锥曲线中的最值、范围问题
目录
Contents
01
练习 练透好题 精准分层
突破2
圆锥曲线中的最值、范围问题
命题点1 最值问题
例1 [2023全国卷甲]已知直线 x －2 y ＋1＝0与抛物线 C ： y 2＝2 px ( p ＞0)交于 A ， B
两点，｜ AB ｜＝4 15 .
.
例1
训练1
例2
训练2
返回目录
突破2
圆锥曲线中的最值、范围问题
又 · ＝( x 3 －1， y 3 )·( x 4 －1， y 4 )＝ x 3 x 4 －( x 3 ＋ x 4 )＋1＋ y 3 y 4 ＝0，
所以
2
2
－
4−2
2
＋1＋
4
＝0，化简得 m 2 ＋ k 2 ＋6 km ＝4.
(2)若动点 P 与双曲线 C 的两个焦点 F 1， F 2的距离之和为定值(大于｜ F 1 F 2｜)，且
cos
1
∠ F 1 PF 2的最小值为－ ，求动点 P 的轨迹方程.
9
[解析]
2
2
由椭圆定义得 P 点轨迹为椭圆，可设其轨迹方程为 2 ＋ 2 ＝1( a ＞ b ＞0)，
数学高考必备技巧如何快速解决函数题中的最值问题
数学高考必备技巧如何快速解决函数题中的最值问题在数学高考中，函数题是一个较为常见的题型。
而函数题中的最值问题，往往是考察学生在解析几何、导数、极限等内容应用能力的重要环节。
为了帮助同学们更好地解决函数题中的最值问题，下面将分享一些数学高考必备技巧。
一、确定函数的定义域在解决函数题中的最值问题时，首先要确定函数的定义域。
因为只有正确确定函数的定义域，才能保证在确定最值时不遗漏结果。
二、化简函数式子在求解函数的最值问题时，化简函数式子是一个常用的技巧。
通过对函数式子进行整理，可以简化计算过程，使问题更容易解答。
三、求函数的导数对函数求导是解决最值问题的常用方法之一。
通过求导，可以得到函数的单调性和极值点的信息，从而帮助我们找到最值点。
四、用导数判断最值点通过函数的导数，我们可以判断函数在某个区间上的单调性，从而确定最值点的大致位置。
当导数为正时，函数单调递增；当导数为负时，函数单调递减。
通过对导数符号的判断，可以排除一部分已知不是最值点的位置。
五、考虑函数在区间端点处的值在解决最值问题时，除了使用导数判断最值点外，还要考虑函数在自变量区间的端点处的取值情况。
通过比较函数在端点处的大小，可以确定最值点的具体位置。
六、用图像法辅助解题对于一些复杂的函数，可以通过画出函数图像的方式来帮助解题。
通过观察函数图像的走向和凹凸性质，可以更加直观地找到函数的最值点。
七、对称性的利用在解决函数最值问题时，有时候可以利用函数的对称性来简化计算。
如利用奇偶函数的性质，可以通过仅计算函数在定义域的一半上的取值情况，得到整个定义域的最值点。
八、注意边界条件在解决函数最值问题时，要特别注意边界条件，比如函数在某些点上无定义，或者在某些点上可能取到无穷大等情况。
这些边界条件的考虑对于正确求解最值问题非常重要。
九、化最值问题为优化问题在解决函数最值问题时，有时可以将最值问题转化为优化问题进行求解。
通过建立相应的优化模型，可以运用最优化理论进行求解。
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专题十六最值问题【考点聚焦】考点1向量的概念、向量的加法和减法、向量的坐标运算、平面向量的数量积考点2:解斜三角形.考点3:线段的定比分点、平移.考点4:向量在平面解析几何、三角、复数中的运用考点5:向量在物理学中的运用.【自我检测】1求函数最值的方法：配方法，单调性法，均值不等式法，导数法，判别式法，三角函数有界性，图象法，2、求几类重要函数的最值方法；(1)二次函数：配方法和函数图像相结合；a(2) f (x) =x (a = 0, a • R):均值不等式法和单调性加以选择；x(3)多元函数：数形结合成或转化为一元函数•3、实际应用问题中的最值问题一般有下列两种模型：直接法，目标函数法(线性规划，曲函数的最值)【重点•难点•热点】问题1:函数的最值问题函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问题最后总是转化为函数(特别是二次函数)的最值问题•求函数最值的方法有：配方法、均值不等式法、单调性、导数法、判别式法、有界性、图象法等•例1: (02 年全国理1)设a 为实数，f (x) =x2+ x —a +1(x^ R)，(1)讨论f (x)的奇偶性；(2)求f (x)的最小值.思路分析：(1)考察f(x)与f (-x)是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证.(2)二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像，当对称轴与所给区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论.(1)解法一：(利用定义)f (一x) =x2+ x + a +1, - f (x) = -x2- x -a T.若f(x)为奇函数，贝V f(-x) = -f(x),即2x2+ x + a +|x-a +2 = 0.此等式对R都不成立，故f(x)不是奇函数；若f (x)为偶函数，则f (―x) = f (x)，即x2+ x + a +1 = x2+|x —a +1,此等式对x・R恒成立，只能是a = 0 .a式0故a=0时，f(x)为偶数；时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数.解法二：(从特殊考虑)f (0) =|a +1,又X E R，故f(x)不可能是奇函数.若a = 0 ,则f (x)二f (_x) = x2 - x 1，f (x)为偶函数；a式0 a式0 若，则f (a)二a21, f(-a)二a22a 1，知f (-a) = f (a)，故f (x)在时，既不是奇函数又不是偶函数.2 1 2 3(2)当x玄a时，f (x) = x2- x • a • 1 = (x ) a ，由二次函数图象及其性41质知：若a乞㊁，函数f (x)在(-：：，a］上单调递减，从而函数 f (x)在(-：：，a］上的最小值1 1 3为f (a)二a2• 1 ；若a ,函数f (x)在(-：：,a］上的最小值为f () ,且1f(2)-f (a)-2 1 2 3当x 亠a时，函数f (x) = x2• x-a • 1 = (x ) -a -2 41 13 1若a ，函数f (x)在［a, •：：)上的最小值为f( ) a，且f ( ) _ f (a)；1若a空『2 ,函数f (x)在［a,=)上单调递增，从而函数函数f (x)在［a「：)上的最小值为f (a)二a21.1 3 11综上所述，当a 时，函数f (x)的最小值是 a ;当 a 时，函数f (x)2 4 2 21 3的最小值为a2 1 ；当a 时，函数f (x)的最小值是a -.2 4点评：1.研究函数奇偶性的关键是考察函数的定义域是否关于原点对称以及 f (x)与f(-x)是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证.2 •二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像•当对称轴与所给定义域区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论.3 •本题根据绝对值的定义去绝对值后，变形为分段函数，分段函数的最值，有些同学概念不清，把每段函数的最小值都认为是整个函数的最小值，从而出现了一个函数有几个最小值的错误结论.演变1 : ( 05年上海)已知函数f(x)=kx+b 的图象与x、y轴分别相交于点A、22B, AB =2i 2j (i 、j 分别是与x 、y 轴正半轴同方向的单位向量),函数g(x)=x — x — 6.g(x) +1(1)求k 、b 的值;(2)当x 满足f(x)> g(x)时,求函数的最小值.f (x)点拨与提示：由f(x)> g(x)得x 的范围，-g(x)_1 = x x 5 = x+2+—1 — 5,用不 f(x) x + 2 x + 2 等式的知识求其最小值.演变2： (05年北京卷)已知函数 f(x)= — x 3 + 3X 2+ 9X + a .(I) 求f(x)的单调递减区间；(II) 若f(x)在区间［—2, 2］上的最大值为20,求它在该区间上的最小值. 点拨与提示：本题用导数的知识求解.问题2:三角函数、数列、解析几何中的最值问题将问题转化为函数问题，禾U 用求函数最值的方法求解.焦点，点P 在椭圆上，且位于 x 轴上方，PA_ PF .(1) 求点P 的坐标；(2) 设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于| MB |，求椭圆上的点 到点M 的距离d 的最小值.思路分析：将d 用点M 的坐标表示出来，d 2 =(x -2)2 y 2 =x -4x 2 4 20-5x 2=4(X 「9)2 15，然后求其最小值.9 9 2解：(1)由已知可得点 A( — 6,0),F(0,4)TT设点 P(x , y ),则 AP ={ x +6, y }, FP ={ x — 4, y },由已知可得'2 2y_=1 36 20(x 6)(x-4) y 2 =035J33 5P ''3由于y >0,只能x =,于是y =- ••••点P 的坐标是(二，二^)222 2(2)直线AP 的方程是x —J y +6=0 .m + 6设点M( m ,0),则M 到直线AP 的距离是x 2例2: (05年上海)点A 、B 分别是椭圆 一-36 2y 20=1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右则 2X 2+9 x — 18=0,解得x =3或 x =—6.2m +6--------- =m + 6 ,又—6 <m w 6解得 m =2.2由于一6w m w 6, •••当x = 9时,d 取得最小值.152演变3: (05年辽宁)如图，在直径为1的圆 0中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y .x . 0.(I )将十字形的面积表示为 二的函数；(n )二为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？点拨与提示：将十字型面积S 用变量二表示出来，转化为三 角函数的极值问题，利用三角函数知识求出S 的最大值.问题3：最值的实际应用在数学应用性问题中经常遇到有关用料最省、 成本最低、利润最大等问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数的最值.例3: (06年江苏卷)请您设计一个帐篷•它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥(如 右图所示)•试问当帐篷的顶点 O 到底面中心o 1的距离为多少 时，帐篷的体积最大？思路分析：将帐蓬的体积用 x 表示(即建立目标函数)，然后 求其最大值.解：设 OO i 为 x m ，则 1 ：：： x ：：： 4 32 -(x -1)2 = 8 2x-x 2 ,(单位：m )■； 32 23 ： ； 3 2 26( 8 2^ - x ) =(8 2^ - x ),(单位：m )4 23*3 2 1V 3 33V (x ) (8 2x-x 2)[—(x-1)1](16 12x-x 3)(单位：m 3) 2 32寸3 2 求导得 V (x ) 3(12—3x 2).2令V (x ) 0，解得x =…2 (不合题意，舍去)，x = 2 ,当 1：：：x”：2 时，V'(x ) • 0 , V (x )为增函数； 当 2 x 4时，V'(x ) ：：： 0, V (x )为减函数.•••当x = 2时，V (x )最大.答：当OO 1为2 m 时，帐篷的体积最大，最大体积为16,3 m 3 .点评：本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识， 以及运用数学知识解决实际问题 的能力5n^9 2- 4 -5+由题设可得正六棱锥底面边长为: 故底面正六边形的面积为: 帐篷的体积为：x T-------- yO演变4. ( 05年湖南)对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为：1)为0.8,要求洗完后的清洁度是 0.99 .有两种物体质量(含污物)方案可供选择•方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗•该物体初次清洗后受残留水等因 素影响，其质量变为a(1乞a 乞3).设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是—°E(x a -1).用y 单位质量的水第二次清洗后的清洁度是-^-ac ,其中x 1y ac(0.8 ：： c ：： 0.99)是该物体初次清洗后的清洁度.(1) 分别求出方案甲以及 c =0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方法用水量较小.(2) 若采用方案乙，当a 为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量 最少？并讨论a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响. 点拨与提示：设初次与第二次清洗的用水量分别为x 与y , X = 土4 , y = a(99 -100c)5(1-c)5c _41一于是x y+a(99-100c)100a(1 - c) - a-1，利用均值不等式求最值.5(1-c) 5(1-c)问题4:恒成立问题不等式恒成立问题常转化为求函数的最值问题. f(x) > m 恒成立，即f (x)min > m; f (x)< m恒成立，即f(X )max <m .x 2 + 2x + a例 4、已知函数 f (x),X • ［1, •：：)• x1(1) 当a = 2时，求函数f (x)的最小值；(2) 若对任意［1, •：：), f (x) 0恒成立，试求实数 a 的取值范围.思路分析：f(x) > 0恒成立，即f(X)min > 0.x -1 ,. f /(x) 0 .• f (x)在区间［1,咼)上为增函数.•f (x)在区间［1,邑)上的最小值为f(1)=f .1(也可用定义证明f(x) = x 2在［1, •：：)上是减函数)2x1 f W f'(x)zxx + 2x + a(2) ； f(x)0在区间［1, •：：)上恒成立;x2. x +2x+a>0在区间［1,+处)上恒成立； . x 2 +2x > -a 在区间［1,邑)上恒成立；函数y = x 2 2x 在区间［1厂：：)上的最小值为3 一 a c 3 即a a -3 1 点评：1. (1)中，f (x) -x2,这类函数，若x 0，则优先考虑用均值不等式2x求最小值，但要注意等号是否成立，即用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、 三相等，缺一不可.2•求函数的最小值的三种通法：禾吐匀值不等式，函数单调性，二次函数的配方法在本 题中都得到了体现.a演变5:已知函数f x = 2xx ，其中0<a<4.(i)将y=f x 的图像向右平移两个单位，得到函数y = g x ，求函数y = g x 的解析式；(n)函数y 二h x 与函数y 二g x 的图像关于直线 y = 1对称，求函数y 二h x 的 解析式；(川)设Fx=」fx h x ，已知Fx 的最小值是m ，且m 2 门，求实数 a a 的取值范围.点拨与提示：(川)的实质就是F(x )min 2 、7恒成立，利用均值不等式或转化为二次函数知识求它的最小值. 问题五：参数的取值范围问题参数范围的问题，内容涉及代数和几何的多个方面，综合考查学生应用数学知识解决问 题的能力.在历年高考中占有较稳定的比重. 解决这一类问题，常用的思想方法有：函数思 想、数形结合等.2 2xy例5.设直线|过点P (0, 3)且和椭圆 1顺次交于 94范围.APx AP x思路分析：=A .要求的取值范围，一是构造所求变量 A 关于某个参数PBx BPB x B(自然的想到“直线 AB 的斜率k ”的函数关系式(或方程)，通过求函数的值域来达到目APA 、B 两点，求-的取值解法2:设直线I 的方程为：y 二kx • 3，代入椭圆方程，消去 y 得9k 4 x 54kx 45 =0(*)-54k— 29k 4459k 24.的•二是构造关于所求量的一个不等关系，由判别式非负可以很快确定k 的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与 k 联系起来•韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直APXl接应用韦达定理，原因在于-不是关于X 「X 2的对称式.问题找到后，解决的方PB x 2法自然也就有了，即我们可以构造关于解法1:AP1 当直线1垂直于x 轴时，可求得 AP1 ; PB5圆方程，消去y 得9k 2 4 x 2 54kx • 45 =0 解之得X1,2-27k 6、9k 2 -59k 2 4由椭圆关于y 轴对称，且点 P 在y 轴上，所以只需考虑 k 0的情形. 当k 0时,-27k +6*：9k 2 -5X12 ' ， X2-27k - 6.9k 2 - 5所以AP x - 所以PBX 2■: =(-54k)2 29k 429k 4忌2 9宀5=1-9k 2-9k 2-518k 9k 2“ 9k 2 -511 809k 24 _0,解得.25k-9，18 = <-!，即9 2 955PB 518k 2k 2X<| +x 2 *X 1X 2 二 X 1 ■，则,X 22324k 245k 220X i , X 2的对称式：.由此出发，可得到下面X 2 X i的两种解当I 与X 轴不垂直时，设 A X 1, y i , B(X 2, y 2)，直线l 的方程为：y = kx ■ 3，代入椭2361结合0 < - < 1得 1 .5 AP 1综上，-1岂PB 5点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.4x 2 —7r 1演变6:已知函数f X, X ，01丨(I)求f X 的单调区间和值域;2 —X(n)设 a _1，函数 g x i ； = x 2 -3a 2x-2a , x ：=〔0,1 丨，若对于任意01 1,使得g x 0 = f x 1成立，求a 的取值范围点拨与提示：利用导数知识求解. 专题小结 1. 函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问题最后总是转化为函数(特别是二次函数)的最值问题•求函数最值的方法有： 配方法、均值不等式法、单调性、导数法、判别式法、有界性、图象法等.2. 三角函数、数列、解析几何中的最值问题，往往将问题转化为函数问题，利用求函数最 值的方法或基本不等式法求解.3•在数学应用性问题中有关用料最省、成本最低、 利润最大等问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数的最值.4.不等式恒成立问题常转化为求函数的最值问题. f(x) > m 恒成立，即f (x) min > m ； f(x)< m恒成立，即f (x) max <m .5•参数范围问题内容涉及代数和几何的多个方面，钥解题的关键不等关系的建立，其途径 多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 解决这一类问题，常用的思想方法有：函数思想、数形结合等. 【临阵磨枪】一.选择题在(* )中，由判别式.：_0,可得k 2，从而有, 324k4— 45k 20，5所以1 364辽岂亏，解得变量的有界x ^ 101 1，总存在236 1.抛物线、二-x2上的点到直线4x • 3y - 8 = 0距离的最小值是( )2. （ 05福建卷）设 2a,b 二 R , a 2b =6,则a b 的最小值是（ A -2、2 5.33 _2 3. （ 06年江西）P 是双曲线 — 9（x — 5） 2+ y 2 = 1 上的点， A 6 B 7 x 2 4. （ 06年福建）已知双曲线 —a — 2 x — » =1的右支上一点，M 16 则|PM| — |PN|的最大值为（ C 8 D y 2 2 =1（a 0,b 0）的右焦点为F,若过点 b 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A （1,2] N 分别是圆B (1,2)C [2,二) 2 2 (x + 5) + y = 4 和F 且倾斜角为60o () (2, n5•当时， 函数f (x)- 21 cos2x 8sin xsin 2x 的最小值为（ 2. 3 D 4.3 6.（ 05天津卷）若函数 3 f(x) = log a (x - ax) (a ・0,a=1)在区间 则a 的取值范围是1 A H,1） 41 、 (,0)内单调递增,2 () 9 D (1,；)47. （ 06年江西）若不等式 x 2+ ax + 1二0 对于一切 9 C （;,：：） 41 x ：二（0,）成立，则a 的取值范围是（）2 C -5 2D -3 8.（05年重庆）若x , y 是正数，则 —）2的最小值是（ 2x 二•填充题 9.已知定点 A 、B 且|AB|=4，动点P 满足|PA|— |PB|=3，则|PA|的最小值是 10.（05上海）若x, y 满足条件丿x + y 兰3，则z=3x+4y 的最大值是• y 兰 2x 11. （06年江西卷）如图，在直三棱柱 ABC — A 1B 1C 1中，底面为直角三 角形，/ACB = 90 , AC = 6, BC = CC 1= 2 , P 是 BC 1 上一动点，则 CP + PA 1的最小值是 ____________ B12.对于满足0岂p 乞4的一切实数，不等式 x px . 4x 3恒成立，则x 的取值范围是 _______________ .三.计算题R 十C13.( 06年全国卷I ) UABC 的三个内角为 A 、B 、C ，求当A 为何值时，cos A 2cos -2取得最大值，并求出这个最大值.14. (05年重庆卷)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为C 、3,0).⑴求双曲线C 的方程；(2)若直线l : y =kx 「.2与双曲线C 恒有两个不同的交点 A 和B ，且OA OB - 2(其 中O 为原点)，求k 的取值范围.15 (05天津)已知R ，设P :人和X2是方程x 2 -ax -2 =0的两个实根，不等式2m —5m —3 3x (—X 2对任意实数a^[—1,1]恒成立;324Q :函数f(x)二x mx (m )x 6在(—〜•：：)上有极值.3求使P 正确且Q 正确的m 的取值范围.x 2 y 216. (06年江西)如图，椭圆Q ：飞+ 2 = 1 (a b 0) a b的右焦点F ( c , 0),过点F 的一动直线 m 绕点F 转动， 并且交椭圆于 A 、B 两点，P 是线段AB 的中点 (1) 求点P 的轨迹H 的方程) 在 Q 的方程中，令 a 2= 1+ cosr + sinv, b 2= sinv31(0瑟一),确定盲的值，使原点距椭圆的右2准线I 最远，此时，设I 与x 轴交点为D ，当直 线m 绕点F 转动到什么位置时，三角形 ABD 的面积最大？参考答案2.C 提示：a=、6 sin ： ,b= 3cos ：，则 a+b=3sin (寫侶’),其中二 arctan —, a b 的2最小值为—3.3. B 提示：设双曲线的两个焦点分别是 F i (— 5, 0 )与F 2 ( 5, 0),则这两点正好是两圆 的圆心，当且仅当点 P 与M 、F 1三点共线以及P 与N 、F 2三点共线时所求的值最大，此 时|PM| — |PN|=( |PF 1|— 2) — ( |PF 2|— 1 )= 10— 1 = 9.— b222c 4.C 提示：依题意 3 ，结合b 2二c 2-a 2，得e2 .1. A提示：设抛物线上动点为2P(x,-x )，所以 d J —3X 2 4X-8I54 - 3-6. B 提示：记g x =x 3 —ax ，则g' x =3x 2 —a ，当a 1时，要使得f x 是增数，则3矛盾，排除C 、D ；当0 ：：： a ：：： 1时，要使得f x4aa 17. C 提示：设f (x )= x 2 + ax + 1,则对称轴为 x =——.若一即a< — 1时，贝Uf22 21 15 a(x )在〔0,丨上是减函数，应有 f ( ) _0 : — — 1 ；若一一 _0即a_0时，则f22 2 21a 1(x )在〔0,〕上是增函数，应有f ( 0) = 10恒成立，故a_0 ;若0< —即—1田乞0,22 2222aaa a则应有f (― — )= ---------- + 1 = 1—0恒成立，故—化a_0.2 4 2 45综上，有— a 故选C2(x 2~)2 (y 2")2 >2(x+ 2- )(y+ &82y 2x 2y 2x10.11提示：求z =3x ，4y 的最大值，即求y 轴上的截距最大值，由图可知, 时有最大值为11.B115.2 提示：连 A 1B ，沿BC 1将厶CBC 1展开与△ A 1BC 1 在同一个平面内，如图所示，连A 1C ，则A 1C 的长度就是所求的最小值.通过计算可1+cos2x+8sin 2 x 2cos 2 x 8sin 2 xcosx 4sin x5. C 提示:f(x) — ——+sin 2x 2sin xcosxsin x cosxcosx 4sin x cos x 4sin x 1-2.,—— — -4，当且仅当 ，即 tan x -时，取c”— ,\ sin x cosxsin xcosx2••• 0 ： x -,2 1•••存在x 使tanxY ，这时 f ( X )max需有g'x _0恒成立，所以a,」2I 2丿 是增数，则需有 g' x < 0恒成立，所以a—333，排除A •本题答案选B4x 丄 2y 1 x =2y1 y = 2x丄2x，得 x=y= 2时等号成立 选(C)29. 3.5 提示：点P 在以A,B 为焦点,2a=3的双曲线的右支上，「.|PA|的最小值为 1.5+2=3.5 .过点(1, 2) C 1x 21yy21x =4当且仅当A1得 Z Ai C i C = 90 又.BC i C = 45 ,..A 1C 1C = 135由余弦定理可求得 A i C = 5.212.x .3或x ::： -1 提示：将 p 视为主元，设 f p 二 p x-1『：；']X 2-4x • 3，则当0乞p 乞4时，f p >0恒成立.2口" x - 4x 3 0 “口 亠•即 2 ,解得 x - 3或 x ：：： -1 .x -1 013.B +Cn - AA2 AAcos A 2coscos A 2 coscos A 2sin1「2s in2sin2 2 2 2 2 记 t = si nA2f t - -2 !t等价于：f 0.0 [f (4)*0（0 ：：: A ：：：二）则原问题等价于求f ⑴=-2t 2 2t 1在（0,1］上的最大值1当t 时,431即A 时,3f （t ）取得最大值-.2 14.解：（I ） 设双曲线方程为 (a 0,b 0).由已知得a = •• 3, c = 2,再由 a 2b 222,得 b 2 =1.故双曲线 2C 的方程为—-y 2 =1.3(n)将2y = kx 、2代入—-y 23=1得(1 _3k 2)x 2 _6、. 2kx _9 = 0.由直线I 与双曲线交于不同的两点得> ■21-3k -0,■: =(6、2k)2 36(1 -3k 2) =36(1 -k 2)0.21 2即 k 且k <1.① 设 A(X A ,y A ),B(X B ,y B )，则 3672k-9 占 T TX A x 厂右，畑厂碍，由OAOB 2得X A X B2,而 X A X B Y A Y B =X A X B (kx A 、2)(咲 2) =(k 2 1)X A X B2k(X AX B )2★ 1二 &k%2 冲1—3k 21 -3k2 3k-12 2于是3k^2 2,即竺19 0,解此不等式得-：：:k2 :：: 3. ②3k -1 3k -1 3由①、②得1下：：：「故k的取值范围为(-1, 3)( 3,1).3 3 3215解(I )由题设x i和X2是方程x「ax「2 =0的两个实根，得x i + X2 = a且x i X2 = - 2,所以，1%「x21= (x1x2)2「4^X2 二、a28当a [-1,1]时，a28的最大值为9，即1x^X21乞3・2由题意，不等式|m -5m-3|_|刘-血|对任意实数a・[1,1]恒成立的m的解集等于不等式|m2 -5m -3|_3的解集+由此不等式得m2 -5m -3二-3①，或m2 -5m-3_3②不等式①的解为0^m^5，不等式②的解为m乞1或m_6+因为，对m乞1或O^m乞5或m_6时，P是正确的..」 3 2 4 2 4(n)对函数f(x)=x mx (m —)x 6求导f'(x) =3x 2mx m —3 32 4令f '(x) =0，即3x - 2mx m 0 •此一兀二次不等式的判别式32 4 2=4m -12(m ) = 4m —12m—16”3因为，°不是函数的极值+若厶>0,则f '(x) =0有两个不相等的实根x-i和x2( x1< x2)，且f' (x)的符号如下:因此，函数f( x)在x = X1处取得极大值，在x = X2处取得极小值• 综上所述，当且仅当>0时，函数f( x)在(-：：,+ ：：)上有极值+2由：：=4m「12 m「16 0 得m ：： 1 或m 4 ,因为，当m ”： 1或m时，Q是正确得+综上，使P 正确且 Q 正确时,实数 m 的取值范围为(-：：,1) (4,5] 一 [6,16. 解: 如图, (1)设椭圆 2= 1 (a b 0) b 2 P 点坐标为P (x , y ),则 2 x . Q : p + a y 2),又设 -(1) 上的点A .2 2丄 b X t + 1 .. b 2x ；+ a 2y ； — a 2b 2................................................................ ( 2) 1 当AB 不垂直x 轴时，X 1=X 2, 由(1) — ( 2)得 b 2(X 1— X 2) 2x + a 2 (y 1 — y ?) 2y = 0 2 y 一 匕 b x y ■ _____ __ _ ___ ■ p ~2 x 1 — x 2 a y x — c2 2 2 2 2 .b x + ay — b cx 一 0 ................ ( 3)当AB 垂直于x 轴时，点P 即为点 故所求点P 的轨迹方程为：b 2x 2 + a 2y 2 — b 2cx 一 0 2 |方程是x 一 —，原点距I 的距离为 c (X 1 , 2 2 a y 1 = yj 、B (X 2 ,2 J a b ........... = .......... 一 a b F ,满足方程(3)■ 2 (2)因为，椭圆 Q 右准线 2 —,由于 c 2= a 2— b 2 , a 2 c =1 + cos 卄 sin y, b 2= sin y 1 + COST + sin v .1 + cosn(0 ),2 e 2sin ( +2 当7一一时，上式达到最大值•此时 2a 2= 2 ,b 2= 1,c = 1 , D (2 , 0), |DF|= 1 设椭圆Q : S = 1|y 1|+ 2 —+ y 2=1上的点A 21 12“21 — 2|y 1—y2〔(x i , %)、B (X 2, y 2),三角形 ABD 的面积 2设直线m 的方程为x 一 ky + 1,代入 —+ y 2=1中，得(2+ k 2) y 2+ 2ky — 1 一 02 2k 由韦达定理得y1+y2=- k, 1 y 1y 2 一一 2， 2+ k 22 8 (k +1) 452-( y 1 — y 2)2=( y 1 + y 2)2—4 - 8 2，当t 一 1, k = 0时取等号. 4令 t = k 2+ 1 _1，得 4S 2 — 一 一8—(t +1) t +1 +2 t F 转到垂直x 轴位置时, 因此，当直线m 绕点 【挑战自我】 三角形 ABD 的面积最大. 已知f x = -x 32ax b(a, b R).(1)若函数y =f(x)图象上任意两个不同点的连线斜率小于1,求证：:::a -3 ；(2)若x • 0,1，函数y 二f (x)上任一点切线斜率为 k ，当k <1 时，1 <^<'3【答案及点拨】演变题要有点拨，原创题有详解，一般题给答案b演变1: (1)由已知得A( ,O),B(O,b),则ABk⑵由 f(x)> g(x)，得 x+2>x 2 — x -6,即(x+2)(x — 4)<O,得—2<x<4,2g(x) 1 x-x - 5 1 =f (x) x 2x 2由于x+2>0,则■g C 1 >— 3,其中等号当且仅当x+2=1,即x= — 1时成立f(x)•.9(0 1的最小值是—3.f (x)点评：(1)要熟悉在其函数的定义域内，常见模型函数求最值的常规方法•如^x 丄(X=O)型.(2)利用均值不等式求最值时，要注意：一正、二定、三相等，缺一x不可.< 1时，求a 的取值范围.解：(1)、设任意不同两点为 P^x 11y 1 )P 2(x 21 y 2 )，且x^x 2，则3 2 3 2y t _y 2 1 -x 1 +e^ +x 2 -ex 2〔x 1「x 22 2-x 1 亠 i 「e - x 2 捲-x 2 ex 2 -2 2X 1 三 R.1 :: 0,即一3x 2 2ex 2 e.：2=(2e)2—[4 (—3) (e 2—4)]：：：0 4 2e -4 ：： 0二—J 3 c a £ J 3(2 )、当 x € 0,1 时,kf (1) =一3 +2a -4 ：： 0恒成立,=f x = _3x 2 - 2ax 由题意:—1 乞-3x 2 2ax E1,x 0,11,_1则<a3 、'(1)= _3 + 2a'a f(3)=2a 13或S<0.3=-3 + 2a 兰 1解得：当={ b ,b},于是 b =2,b=2 • ••• k = 1,b = 2•k k演变 2: (I ) f 'x) = - 3x 2 + 6x + 9.令 f X)<0，解得 x<— 1 或 x>3,所以函数f(x)的单调递减区间为(一a,— 1), (3 ,+s).(II )因为 f(— 2)= 8 + 12— 18 + a=2 + a , f(2) = — 8+ 12+ 18+ a = 22 + a , 所以f(2)>f( — 2).因为在(一1, 3)上 f ‘x)>0,所以f(x)在［—1, 2］上单调递增，又由 于f(x)在［ — 2, — 1］上单调递减，因此f(2)和f( — 1)分别是f(x)在区间［—2, 2］上的最大值和最小值，于是有 22 + a = 20,解得a =— 2.故 f(x)= — x 3 + 3x 2 + 9x — 2，因此 f(— 1) = 1 + 3 — 9 — 2=— 7 即函数f(x)在区间［—2,2］上的最小值为一7.演变3: ( I)解：设S 为十字形的面积，则22応兀 S = 2xy -x 2 si nr COST - COS ().42(n)解法一：S =2sin vcosv -COS 211(5 1 2=sin2' -cos2sin(2)- J (其中 =arccos^^.)222 25当 sin(2r -「)=1,即2一「= 2 时,S 最大. 所以当1arccos^-^ 时,S 最大. S 的最大值为 一1 .4 2 52解法二：因为 S =2sin vcosv -cos 2v,所以 S = 2cos 2 0 -2sin 2 日 +2 sin 日 cos 日=2cos2日 + sin 因.11令 S =0, 即 卩 2cos2v si n2v - 0,可解得arcta n(_2)22*1所以，当arctan(_2)时，S 最大, 2 2x +0 8 演变4：方案甲与方案乙的用水量分别为x 与乙由题设有x 0. 8 = 0. 99，解得x = 19.x + 1v + 0 95a由C = 0.95得方案乙初次用水量为 3,第二次用水量y 满足方程：0.99，解得y + ay=4a ，故z=4a+3 .即两种方案的用水量分另为 19与4 a +3 . 因为当 1 < a < 3 时，x — z = 4 (4— a ) >0 ,即卩 x>z . 故方案乙的用水量较少.(II )设初次与第二次清洗的用水量分别为x 与y ，类似(I )得5C -4S 的最大值为..5 - 1 2x , y =a(99 -100C) (*)5(1 -c)5C—4 1于是x y +a(99—100c) 100a(1 - c) 一a—1 5(1—c) 5(1—c)当a 为定值时，宀訓时沁―――1 100a(1-c)时等号成立，此时 c =1 ------ (不合题意，舍去)或5(1 -c)10.5ac =1—1 (0.8,0.99).10,5a1 , _____________________将 c =r ----------- 代入(* )得 X =2.,5a -1 ■ a -1, y=2、5a-a .10.5a1故c =1 ----------- 时用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为10 ； 5a y =2、.5a - a ，最少总用水量为 T(a^ -a 4,5a -1.判断)，这说明随着a 的值的增加，最少总用水量增加. 演变5:(I) g x =f x-2 才一 2a 「4；(n)设点p x,h x ]]是函数y = h x 上任一点，点 P x,h x 门关于y = 1的对称点是P' x,2 -h x ,由于函数y =h x 与函数y 二g x 的图像关于直线y =1对称，所以, 点P'在函数y= g x 的图像上，也即：2-h x = g x .所以，h x =2-g x ^-24 乎；4 2 1f 1 1 ) 1 (川)F x f x h x2x 4a-1 x 2al a 4 丿2的正负入手.1 1门0 1(1 )当a 4 ，即0 ：；a 时，F x 是R 上的增函数，此时 F x 无最小值, 44a-仁 0当且仅当x = 2 5a -1 与当1< a < 3时,T /(a)2,5a-1 0，故T (a )是增函数(也可用二次函数的单调性来 解法一.注意到F x 的表达式形同mt n，所以，可以考虑从m,n 即X 和仕1与题设矛盾;11 1⑵当—--■ 0，即a ■■ 4 时,■a 444匚G 1 xF(x^2&a22(4a-1y4 - a 4a -1 2等号当且仅当a-i2^4^12^，即24a4「1时成立.4-a4—a 4a「_ 1由m・2 •及a < 4，可得:4 1a :: 44"，解之得：-:::a：：：2 •2解法二•由F x 2 J可得: --7•(1 1\令2一，则命题可转化为：当5时，蔦丿〕t24a-1 - 0 恒成立.考虑关于t的二次函数t = 1 -1 t2 - ■■一7t • 4a -1 •la 4丿1 1因为0,函数a 4 ———『—J7 + (4a — 1)的对称轴<a 4丿.770,所以,1 12( )a 4需且只需，解之得: 总=7—4 -4a-1 ：：04 — a 4 — a 此时，红工0,4a -1 0,故F(xH- a t4a 4a(4a -1)取得最4a小直心上亍他一"满足条件・2 ]演变6:解：对函数f x求导，得f，x =也16口(2-x$ 2x-1 2x-72(2—x)1 7令f，x =0解得x1或x2，当x变化时，f，x、f x的变化情况如下表:所以，当x・01时，f x的值域为［-4,- 31(n)对函数g x求导，得g，x i；= 3 x2- a2因此a _1，当01 时，g，x Y3 1—a2< 0因此当x^10,1时，g x为减函数，从而当x(0,1 :时有g x^~ g 1 , g 0 ：|又g 1]=1-2a-3a2，g 0 - -2a，即当x「0,11 时有g x 卢1 -2a -3a2, -2a任给x r 1.0,11, f x! ■1-4—31,存在x^ 1.01 1 使得g xg f %，则1 _2 a3 a2V4 1()彳―2a—3a2,—2a〕=【—4,— 3】，即< - 解(1 式得aZ1 或- - [-2^-3 2 )5 3 3a 解⑵式得a 又a 一1，故a的取值范围为1 < a < -3 2 2。