图论算法
图论算法详解(C++版)
1.1、prim算法:无向图的生成树就是从图的边集中选择一些边，使得这些边构成一个连通无环图，也就是树。
如果给每一条边加一个权，所有生成树中权和最小的生成树称为最小生成树。
【Prim算法思想】任意时刻的中间结果都是一棵树，每次花费最小的代价，用一条边把不在树中的结点加进来。
【最小生成树算法实例】现有一张城市地图，图中的顶点为城市，无向边代表两个城市间的连通关系，边上的权代表公路造价。
在分析了这张图后发现，任一对城市都是连通的。
现在要求用公路把所有城市联系起来，如何设计可使得工程的总造价最少？【输入】第一行两个数v(v<=200),e，分别代表城市数和边数以下e行，每行为两个顶点和它们之间的边权w(w<1000)。
【输出】连通所有城市的公路最小造价。
【输入样例】6 101 2 101 5 191 6 212 3 52 4 62 6 113 4 64 5 184 6 145 6 33【输出样例】50 原图最小生成树#include<cstdio>#include<string>#include<cstring>#include<climits>using namespace std;int i,j,k,n,m,mi,t,s,a[1000][1000]; void prim(){int mi,p,f,k,d[1000];bool v[1000];memset(v,false,sizeof(v));f=1;for (i=2;i<=n;i++){d[i]=INT_MAX;}d[f]=0;s=0;for(i=1;i<=n;i++){mi=INT_MAX;for (j=1;j<=n;j++)if ((v[j]==false) && (d[j]<mi)){p=j;mi=d[j];}s+=mi;v[p]=true;for(j=1;j<=n;j++){if (a[p][j]<d[j]) d[j]=a[p][j];}}}int main(){memset(a,0,sizeof(a));scanf("%d%d",&n,&m);mi=INT_MAX;for (i=1;i<=n;i++){for (j=1;j<=n;j++){a[i][j]=INT_MAX;}}for (i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d%d",&k,&j,&t);if ((t<a[k][j])||(t<a[j][k])){a[k][j]=t;a[j][k]=a[k][j];}}prim();printf("%d",s);return 0;}1.2、克鲁斯卡尔算法假设N=(V,{E})是连通网，将N中的边按权值从小到大的顺序排列；①、将n个顶点看成n个集合；②、按权值小到大的顺序选择边，所选边应满足两个顶点不在同一个顶点集合内，将该边放到生成树边的集合中。
图论中的生成树计数算法
图论中的生成树计数算法生成树是图论中重要的概念之一，它是指由给定图的节点组成的树形结构，其中包含了原图中的所有节点，但是边的数量最少。
生成树的计数问题是指在一个给定的图中，有多少种不同的生成树。
生成树计数算法是解决这个问题的关键步骤，本文将介绍一些常见的生成树计数算法及其应用。
1. Kirchhoff矩阵树定理Kirchhoff矩阵树定理是图论中经典的生成树计数方法之一。
该定理是由Kirchhoff在19世纪提出的，它建立了图的Laplacian矩阵与其生成树个数的关系。
Laplacian矩阵是一个$n\times n$的矩阵，其中$n$是图中的节点数。
对于一个连通图而言，Laplacian矩阵的任意一个$n-1$阶主子式，其绝对值等于该图中生成树的个数。
应用示例：假设我们有一个无向连通图，其中每个节点之间的边权均为1。
我们可以通过计算图的Laplacian矩阵的任意一个$n-1$阶主子式的绝对值来得到该图中的生成树个数。
2. Prufer编码Prufer编码是一种编码方法，可用于求解生成树计数问题。
它是基于树的叶子节点的度数的编码方式。
Prufer编码将一个树转换为一个长度为$n-2$的序列，其中$n$是树中的节点数。
通过给定的Prufer序列，可以构造出对应的生成树。
应用示例：假设我们有一个具有$n$个节点的有标号的无根树。
我们可以通过构造一个长度为$n-2$的Prufer序列，然后根据Prufer编码的规则构造出对应的生成树。
3. 生成函数方法生成函数方法是一种利用形式幂级数求解生成树计数问题的方法。
通过将图的生成树计数问题转化为生成函数的乘法运算，可以得到生成函数的一个闭形式表达式，从而求解生成树的个数。
应用示例：假设我们有一个具有$n$个节点的有根树，其中根节点的度数为$d$。
我们可以通过生成函数方法求解出该有根树中的生成树个数。
4. Matrix-Tree定理Matrix-Tree定理是对Kirchhoff矩阵树定理的一种扩展，适用于带权图中生成树计数的问题。
图论法
图论算法图论算法在计算机科学种扮演者很重要的角色，它提供了对很多问题都有效的一种简单而系统的建模方式。
很多问题都可以转化为图论问题，然后用图论的基本算法加以解决。
遗传算法是解优化问题的有效算法，而并行遗传算法是遗传算法研究中的一个重要方向，受到了研究人员的高度重视。
特点：一是它们的目的都是从若干可能的安排或方案中寻求某种意义下的最优安排或方案，数学上把这种问题称为最优化或优化（optimization ）问题；二是它们都易于用图形的形式直观地描述和表达，数学上把这种与图相关的结构称为网络（network ）。
与图和网络相关的最优化问题就是网络最优化或称网络优化 （netwok optimization ）问题。
哥尼斯堡七桥问题就是一个典型的例子。
在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结起来问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回 到起点。
当 然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功。
欧拉为了解决这个问题，采用了建立数学模型的方法。
他将每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到一个有四个“点”，七条“线”的“图”。
问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。
欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给出了一笔画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问题，而且开创了图论研究的先河。
深度优先搜索、广度优先搜索、无向图、有向图、最小生成树、最短路径。
求最短路迪克斯特拉（Dijkstra ）算法，其基本思想是按距0u 从近到远为顺序，依次求得0u 到G 的各顶点的最短路和距离，直至0v （或直至G 的所有顶点），算法结束。
为避免重复并保留每一步的计算信息，采用了标号算法。
下面是该算法。
(i) 令0)(0=u l ，对0u v ≠，令∞=)(v l ，}{00u S =，0=i 。
数学家研究图论算法的应用
数学家研究图论算法的应用数学与计算机科学常常是一种紧密联系的关系。
在计算机科学中，图论算法是计算机科学中重要的研究领域之一。
图论是一个研究图、网络和相关结构的数学分支，其主要研究图的性质和算法。
图结构常常被使用在数据结构和算法中，是计算机科学的基础工具之一。
数学家的研究方向往往包括图论中的算法问题和相关应用。
图论的算法问题包括遍历、连通性、最短路径、最小生成树、图匹配、颜色问题、拓扑排序、网络流等等。
最近几十年来，图论算法已经被广泛地应用在计算机科学及其他领域中，如计算机网络、系统建模、电路设计、社交网络、DNA分析、智能交通系统等等。
图论在计算机科学领域中被广泛地应用，与其相关研究的学科也十分广泛。
其中包括了算法、复杂性理论、计算几何、组合优化、计算机网络、机器学习等等学科。
图论算法在计算机科学中的应用已经接近到无处不在的地步，这也意味着人们越来越依赖于一些基础理论。
研究图论算法的应用，需要具备牢固的基础理论知识。
数学家们依靠图论的基础理论，进行了广泛的应用研究。
计算机科学中已经有了许多优秀的图论算法，但是数学家们仍然在不断地研究，进一步让图论算法在更广泛的领域中得到应用。
图论的广泛应用，带来了数学与计算机科学的紧密联系。
在图论中，数学家与计算机科学家的合作，已经成为这个领域发展的基石之一。
无论是研究计算机科学中的某个细节技术，还是关注整个方案的设计并最终成功地应用于实现目标，数学家与计算机科学家共同创造了多种成功的算法和系统，使图论在未来的计算机科学中有着广阔的应用前景。
对于数学家而言，研究图论算法的应用目标就是发现新的应用，并在实际场景中进行验证。
数学家们的目标是使计算机科学在应用中变得更加高效、可靠和安全。
在这个方向下，数学家们需要关注许多细节，如研究特定类型的图结构，研究具有复杂特性的图结构，以及研究如何设计和实现高效的图算法。
他们创造性地思考，并在图论算法中寻求更广泛的解决方案，从而使图论算法得到更广泛的应用。
图论中的常用经典算法
图论中的常用经典算法第一节最小生成树算法一、生成树的概念若图是连通的无向图或强连通的有向图，则从其中任一个顶点出发调用一次bfs或dfs后便可以系统地访问图中所有顶点；若图是有根的有向图，则从根出发通过调用一次dfs或bfs亦可系统地访问所有顶点。
在这种情况下，图中所有顶点加上遍历过程中经过的边所构成的子图称为原图的生成树。
对于不连通的无向图和不是强连通的有向图，若有根或者从根外的任意顶点出发，调用一次bfs或dfs后不能系统地访问所有顶点，而只能得到以出发点为根的连通分支（或强连通分支）的生成树。
要访问其它顶点则还需要从没有访问过的顶点中找一个顶点作为起始点，再次调用bfs 或dfs，这样得到的是生成森林。
由此可以看出，一个图的生成树是不唯一的，不同的搜索方法可以得到不同的生成树，即使是同一种搜索方法，出发点不同亦可导致不同的生成树。
如下图：但不管如何，我们都可以证明：具有n个顶点的带权连通图，其对应的生成树有n-1条边。
二、求图的最小生成树算法严格来说，如果图G=（V，E）是一个连通的无向图，则把它的全部顶点V和一部分边E’构成一个子图G’，即G’=（V， E’），且边集E’能将图中所有顶点连通又不形成回路，则称子图G’是图G的一棵生成树。
对于加权连通图，生成树的权即为生成树中所有边上的权值总和，权值最小的生成树称为图的最小生成树。
求图的最小生成树具有很高的实际应用价值，比如下面的这个例题。
例1、城市公交网[问题描述]有一张城市地图，图中的顶点为城市，无向边代表两个城市间的连通关系，边上的权为在这两个城市之间修建高速公路的造价，研究后发现，这个地图有一个特点，即任一对城市都是连通的。
现在的问题是，要修建若干高速公路把所有城市联系起来，问如何设计可使得工程的总造价最少。
[输入]n（城市数，1<=n<=100）e（边数）以下e行，每行3个数i,j,w ij，表示在城市i,j之间修建高速公路的造价。
图论中的最短路径算法
图论中的最短路径算法图论是数学的一个分支，研究图的性质和图之间的关系。
在图论中，最短路径算法是一类重要的算法，用于寻找图中两个顶点之间的最短路径。
本文将介绍图论中的几种常见的最短路径算法。
一、Dijkstra算法Dijkstra算法是最短路径算法中最常用的一种。
它基于贪心策略，通过逐步扩展路径来求解最短路径。
算法的基本思想是，从一个起始顶点开始，逐步扩展到其他顶点，每次选择当前路径中距离起始顶点最近的顶点进行扩展，直到扩展到目标顶点或者所有顶点都被扩展完毕。
Dijkstra算法的步骤如下：1. 初始化起始顶点的距离为0，其他顶点的距离为无穷大。
2. 选择距离起始顶点最近的顶点，将其加入已扩展顶点集合。
3. 更新与新加入顶点相邻的顶点的距离，如果新的距离比原来的距离小，则更新距离。
4. 重复步骤2和步骤3，直到扩展到目标顶点或者所有顶点都被扩展完毕。
5. 根据更新后的距离，可以得到最短路径。
二、Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是另一种常用的最短路径算法。
它可以处理带有负权边的图，而Dijkstra算法只适用于非负权边的图。
Bellman-Ford算法的基本思想是通过对所有边进行松弛操作，逐步减小起始顶点到其他顶点的估计距离，直到得到最短路径。
Bellman-Ford算法的步骤如下：1. 初始化起始顶点的距离为0，其他顶点的距离为无穷大。
2. 对所有边进行松弛操作，即如果存在一条边(u, v)，使得从起始顶点到v的距离大于从起始顶点到u的距离加上边(u, v)的权值，则更新距离。
3. 重复步骤2，直到没有顶点的距离发生变化。
4. 根据更新后的距离，可以得到最短路径。
三、Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是一种多源最短路径算法，可以求解图中任意两个顶点之间的最短路径。
该算法通过动态规划的方式，逐步更新顶点之间的距离，直到得到最短路径。
Floyd-Warshall算法的步骤如下：1. 初始化顶点之间的距离矩阵，如果两个顶点之间存在边，则距离为边的权值，否则距离为无穷大。
图论的基础概念和算法
图论的基础概念和算法图论是数学的一个分支，研究的对象是图。
图是由一组互不相连的节点（顶点）和连接这些节点的边（边）组成的数学结构。
图论的基础概念包括顶点、边、路径、环、度数等。
本文将介绍图论的基础概念以及常用的图算法。
一、基础概念1. 图的定义和表示图由顶点集合和边集合组成。
顶点集合用V表示，边集合用E表示。
图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。
邻接矩阵是一个二维数组，用来表示图中顶点之间的连接关系。
邻接表是一个链表数组，用来表示每个顶点相邻顶点的列表。
2. 顶点和边顶点是图的基本组成单位，用来表示图中的一个节点。
边是连接两个顶点的线段，用来表示两个顶点之间的关系。
3. 路径和环路径是由一系列相邻顶点连接而成的顶点序列。
路径的长度是指路径上经过的边的数目。
环是起点和终点相同的路径。
4. 度数顶点的度数是指与其相邻的边的数目。
入度是指指向该顶点的边的数目，出度是指由该顶点指向其他顶点的边的数目。
图中顶点的度数可以用来判断顶点的重要性。
二、常用算法1. 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索是一种用来遍历和搜索图的算法。
从一个起始顶点开始，逐层扩展，先访问距离起始顶点最近的顶点，然后访问它们的相邻顶点，并逐渐向外扩展。
广度优先搜索可以用来计算两个顶点之间的最短路径。
2. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是另一种常用的图遍历算法。
从一个起始顶点开始，沿着一条路径尽可能深入地访问图，直到不能再继续深入为止，然后回溯到上一个顶点，继续探索其他路径。
深度优先搜索可以用来计算连通分量、拓扑排序和寻找环等。
3. 最小生成树最小生成树是指图中通过连接所有顶点的子图，并且该子图的边权重之和最小。
常用的最小生成树算法包括Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法从一个顶点开始，逐步扩展最小生成树的边，直到包含所有顶点为止。
Kruskal算法则是从边的权重最小的边开始，逐步增加边到最小生成树中，直到包含所有顶点为止。
4. 最短路径算法最短路径算法用来计算两个顶点之间的最短路径。
数学建模中的图论算法及其应用研究
数学建模中的图论算法及其应用研究引言：数学建模是指利用数学方法和技巧对实际问题进行分析、抽象、描述、求解和预测的一种研究方法。
图论作为数学建模中的重要工具之一，被广泛应用于各个领域，如网络分析、交通规划、社交网络等。
本文将介绍数学建模中常用的图论算法，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、图论基础知识1.1 图的概念图是由一些点和连接这些点的边组成的集合。
点表示图中的实体或对象，边表示实体之间的关系。
图包含了很多重要的信息，例如节点的度、连通性等。
1.2 图的表示方法图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。
邻接矩阵是一个二维矩阵，其中的元素表示节点之间是否相连。
邻接表是一个由链表构成的数组，数组的每个元素表示一个节点，每个节点的链表存储了与该节点相连的节点列表。
二、图的遍历算法2.1 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种用于图的遍历的算法。
从一个节点出发，递归地访问它的相邻节点，直到所有可达的节点都被访问过为止。
DFS可以用于寻找连通分量、路径搜索等问题。
2.2 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索是另一种图的遍历算法。
从一个节点出发，依次访问它的相邻节点，然后再依次访问相邻节点的相邻节点。
BFS可以用于寻找最短路径、网络分析等问题。
三、最短路径算法3.1 Dijkstra算法Dijkstra算法用于寻找图中两个节点之间的最短路径。
它基于贪心策略，从起点开始逐步扩展最短路径，直到到达终点或无法扩展为止。
Dijkstra算法在交通网络规划、电力网络优化等领域有广泛应用。
3.2 Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法用于寻找图中所有节点之间的最短路径。
它通过动态规划的思想，逐步更新每对节点之间的最短路径。
Floyd-Warshall算法在地理信息系统、通信网络等领域有重要应用。
四、最小生成树算法4.1 Prim算法Prim算法用于寻找连通图的最小生成树。
它从一个起始节点开始，逐步选择与当前生成树距离最近的节点，并将其加入最小生成树中。
图论基础图的表示与常见算法
图论基础图的表示与常见算法图论是数学的一个分支，研究的是图这种数学结构。
图由节点（顶点）和边组成，是研究网络、关系、连接等问题的重要工具。
在图论中，图的表示和算法是非常重要的内容，本文将介绍图的表示方法以及一些常见的图算法。
一、图的表示1. 邻接矩阵表示法邻接矩阵是表示图的一种常见方法，适用于稠密图。
对于一个有n 个节点的图，邻接矩阵是一个n×n的矩阵，其中第i行第j列的元素表示节点i到节点j是否有边相连。
如果有边相连，则该元素的值为1或边的权重；如果没有边相连，则该元素的值为0或者无穷大。
邻接矩阵的优点是可以方便地进行边的查找和修改，但缺点是对于稀疏图来说，会浪费大量的空间。
2. 邻接表表示法邻接表是表示图的另一种常见方法，适用于稀疏图。
对于一个有n 个节点的图，邻接表是一个长度为n的数组，数组中的每个元素是一个链表，链表中存储了与该节点相连的其他节点。
邻接表的优点是节省空间，适用于稀疏图，但缺点是查找边的时间复杂度较高。
3. 关联矩阵表示法关联矩阵是表示图的另一种方法，适用于有向图。
对于一个有n个节点和m条边的图，关联矩阵是一个n×m的矩阵，其中第i行第j列的元素表示节点i和边j的关系。
如果节点i是边j的起点，则该元素的值为-1；如果节点i是边j的终点，则该元素的值为1；如果节点i与边j无关，则该元素的值为0。
关联矩阵适用于有向图，可以方便地表示节点和边之间的关系。
二、常见图算法1. 深度优先搜索（Depth First Search，DFS）深度优先搜索是一种用于遍历或搜索图的算法。
从起始节点开始，沿着一条路径一直向下搜索，直到到达叶子节点，然后回溯到上一个节点，继续搜索其他路径。
DFS可以用递归或栈来实现。
2. 广度优先搜索（Breadth First Search，BFS）广度优先搜索是另一种用于遍历或搜索图的算法。
从起始节点开始，先访问起始节点的所有邻居节点，然后再依次访问邻居节点的邻居节点，以此类推。
离散数学中常用的图论算法简介
离散数学中常用的图论算法简介图论是高等数学中的一个分支，主要涉及在图中寻找什么样的路径，以及什么样的点之间有什么样的关系。
在计算机科学中，图论的应用越来越广泛。
因为所有的计算机程序都是基于数据结构的，而图是一种最基本的数据结构之一。
离散数学中的图论算法大致可以分为两类：一类是针对稠密图的算法，另一类是针对稀疏图的算法。
稠密图指的是一种图，其中每对顶点都有一条边相连，而稀疏图则是指只有一部分顶点之间相连的图。
以下是一些常见的图论算法的简介。
1. Dijkstra算法Dijkstra算法是一种用于求图中最短路径的算法，也是最常用的图论算法之一。
Dijkstra算法的主要思想是通过贪心策略，从起点出发，逐步扩展最短路径的范围，直到找到终点。
Dijkstra算法可以用来解决单源最短路径问题。
如果图中有n个顶点，算法的时间复杂度为O（n²）。
2. Kruskal算法Kruskal算法是一种用于求最小生成树的算法。
最小生成树指的是，通过连接图中一些顶点形成一棵树，使得这些顶点之间的总权重最小。
Kruskal算法的主要思想是将图中的所有边按照权重进行排序，然后依次加入到生成树中，如果新加入的边会形成环，则不将其加入到生成树中。
如果图中有n个顶点，那么算法的时间复杂度为O（nlogn）。
3. Floyd算法Floyd算法用于求图中任意两个点之间的最短路径。
如果图中所有的权重都是正的，那么Floyd算法的时间复杂度为O（n的三次方），但是如果存在负权重，那么该算法不适用。
关于负权环的处理，可以通过Bellman-Ford算法进行解决。
4. Prim算法Prim算法是一种用于求最小生成树的算法。
与Kruskal算法不同的是，Prim算法是基于顶点集来实现，而不是基于边集。
Prim 算法首先找到一个起点，将其加入到生成树中，然后找到与其相连的边中权重最小的那一条，将其相连的顶点加入到生成树中，重复这一步骤直至所有顶点都被加入到生成树中。
图论算法(C版)
•
int circuit[maxn];
//用来记录找到的欧拉路的路径
•
int n,e,circuitpos,i,j,x,y,start;
•
void find_circuit(int i)
//这个点深度优先遍历过程寻找欧拉路
•
{
•
int j;
•
for (j = 1; j <= n; j++)
•
if (g[i][j] == 1)
•}
• 主程序如下:
• int main()
•{
• ……
• memset(visited,false,sizeof(visited));
• for (int i = 1; i <= n; i++)
//每一个点都作为起点尝试访问，因为不是从任何
•
//一点开始都能遍历整个图的，例如下面的两个图。
•
if (!visited[i])
• (b)无向图：图的边没有方向，可以双向。(b)就是一个无向图。
1
1
• 结点的度：无向图中与结点相连的边的数目，称为结点的度。 5
25
2
• 结点的入度：在有向图中，以这个结点为终点的有向边的数目。 4
• 结点的出度：在有向图中，以这个结点为起点的有向边的数目。
3
43
• 权值：边的“费用”，可以形象地理解为边的长度。
•
}
•
…………
•
return 0;
•}
• 建立邻接矩阵时，有两个小技巧:
•
初始化数组大可不必使用两重for循环。
•
1) 如果是int数组，采用memset(g, 0x7f, sizeof(g))可全部初始化为一个很大的数(略小于0x7fffffff)，使用
图论算法介绍
if （a[i,k]=1）and (a[k,j]=1) then a[i,j]=1 (a[i,j]=1表示i可达j，a[i,j]=0表示i不可达j）。
var
link，longlink：array[1..20，1..20] of boolean；{ 无向图和无向图的传递闭包。其
中
l o n g l i n k[i,
例如：公路交通图，边以距离w为权。
例
2
2
1
3
1
3
有向完全图 例
245
无向完全图 5
1
例 1
3
6
图与子图
57
32
46
G2
顶点5的度：3 顶点2的度：4
3
6
例 245
1
3
6
G1
顶点2入度：1 出度：3 顶点4入度：1 出度：0
例
路径：1，2，3，5，6，3 路径长度：5
245
简单路径：1，2，3，5
❖ 图 G = (V, E)
V = 顶点集 E = 边集 = V V的子集
结点集V＝｛a， b， c， d｝ 边集E＝｛e1， e2， e3， e4， e5｝ 其中e1＝（a， b）， e2＝（a， c），
e3＝（a， d）， e4＝（b， c）， e5＝（c， d）。
(一)、计算无向图的传递闭包
v1→v2→v4→v8→v5 →v3→v6→v7
算法结构:
调用一次dfs(i)， 可按深度优先搜索 的顺序访问处理结 点i所在的连通分 支（或强连通分 支），dfs(i)的时 间复杂度为W(n2)。 整个图按深度优先 搜索顺序遍历的过 程如下：
显然，为了避免重复访问同一个顶点，必须 记住每个顶点是否被访问过。为此，可设置 一个布尔向量visited[1..n],它的初值为 false，一旦访问了顶点vi，便将visited[i] 置为ture。 图的深度优先搜索是一个递归过程，可以使 用栈来存储那些暂时不访问的邻接点.类似于 树的前序遍历，它的特点是尽可能先对纵深 方向进行搜索，故称之深度优先搜索。
数学建模常用算法模型
数学建模常用算法模型在数学建模中，常用的算法模型包括线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、图论算法以及遗传算法等。
下面将对这些算法模型进行详细介绍。
1.线性规划：线性规划是一种用于求解最优化问题的数学模型和解法。
它的目标是找到一组线性约束条件下使目标函数取得最大（小）值的变量取值。
线性规划的常用求解方法有单纯形法、内点法和对偶理论等。
2.整数规划：整数规划是一种求解含有整数变量的优化问题的方法。
在实际问题中，有时变量只能取整数值，例如物流路径问题中的仓库位置、设备配置问题中的设备数量等。
整数规划常用的求解方法有分支界定法和割平面法等。
3.非线性规划：非线性规划是一种求解非线性函数优化问题的方法，它在实际问题中非常常见。
与线性规划不同，非线性规划的目标函数和约束函数可以是非线性的。
非线性规划的求解方法包括牛顿法、拟牛顿法和全局优化方法等。
4.动态规划：动态规划是一种用于解决决策过程的优化方法。
它的特点是将问题划分为一系列阶段，然后依次求解每个阶段的最优决策。
动态规划常用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题，例如背包问题和旅行商问题等。
5.图论算法：图论算法是一类用于解决图相关问题的算法。
图论算法包括最短路径算法、最小生成树算法、网络流算法等。
最短路径算法主要用于求解两点之间的最短路径，常用的算法有Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
最小生成树算法用于求解一张图中连接所有节点的最小代价树，常用的算法有Prim算法和Kruskal算法。
网络流算法主要用于流量分配和问题匹配，例如最大流算法和最小费用最大流算法。
6.遗传算法：遗传算法是一种借鉴生物进化原理的优化算法。
它通过模拟生物的遗传、变异和选择过程，不断优化问题的解空间。
遗传算法适用于对问题解空间有一定了解但难以确定最优解的情况，常用于求解复杂的组合优化问题。
总结起来，数学建模中常用的算法模型包括线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、图论算法以及遗传算法等。
图论中的生成树计数算法
图论中的生成树计数算法在图论中，生成树是指一个无向连通图的一个子图，它包含图中的所有顶点，并且是一个树。
生成树计数算法是指计算一个无向连通图中生成树的数量的方法。
本文将介绍图论中的一些常见生成树计数算法。
1. Cayley公式Cayley公式是最简单的生成树计数算法之一，它适用于完全图。
完全图是指图中的任意两个不同顶点之间都有一条边相连。
假设完全图有n个顶点，那么生成树的数量为n^(n-2)个。
Cayley公式的证明可以利用普鲁夫树（Prüfer Tree）的概念，这里不再详述。
2. Kirchhoff矩阵树定理Kirchhoff矩阵树定理是另一种生成树计数算法，它适用于任意连通图。
矩阵树定理的原理是利用图的拉普拉斯矩阵（Laplacian Matrix）的性质。
图的拉普拉斯矩阵定义为：对于一个n个顶点的图，其拉普拉斯矩阵L的定义为：L=D-A，其中D是一个对角矩阵，对角线上的元素是该顶点的度数，A是图的邻接矩阵。
根据Kirchhoff矩阵树定理，一个图的所有生成树的数量等于该图的任意一个n-1阶主子式的行列式的绝对值。
主子式是指原矩阵去掉若干行和列后形成的子矩阵。
基于这个定理，我们可以通过计算图的拉普拉斯矩阵的主子式来得到生成树的数量。
3. Prufer编码Prufer编码是一种用序列表示带标号图中生成树的方法。
给定一个有n个顶点的生成树T，Prufer编码可以将T转化为一个长度为n-2的序列，该序列的元素由图中的顶点标号组成。
具体的编码方法如下：- 第一步：选择标号最小的叶子节点，并将与之相邻的节点记录下来。
- 第二步：删除该叶子节点，并将该叶子节点的标号记录下来。
- 重复以上两步，直到所有顶点都被删除为止。
通过Prufer编码，我们可以将生成树的计数问题转化为序列的计数问题。
在给定n个顶点的情况下，长度为n-2的Prufer序列的数量为n^(n-2)。
除了上述介绍的几种生成树计数算法外，还有其他更复杂的算法，如Chow定理、Matrix-Tree定理等。
与图论相关的算法
广度优先搜索
procedure bfs(i:integer); var p:arcptr;
closed,open:integer; q:array[1..maxn] of integer; begin 访问并处理顶点i; map[i].visited:=true; 顶点i进入队列q; closed:=0; open:=1; repeat
编号都不超过k的路径。 递推公式：
t(k)[i,j]= t(k-1)[i,j] or (t(k-1)[i,k] and t(k-1)[k,j])
Johnson算法
Johnson算法常用于求顶点个数较多的稀 疏图的每对点间最短路问题。
感兴趣的同学请参阅《国际信息学奥林 匹克竞赛指导——实用算法的分析与程 序设计》
inc(closed); v:=q[closed]; p:=map[v].firstarc; while p<>nil do begin
if map[p^.v].visited=false then begin 访问并处理顶点q^.v; map[q^.v].visited=true; inc(open); q[open]:=q^.v; end;
q:=q^.nextarc; end; until closed=open; end;
计算连通分支数
count:=0; for i:=1 to n do
map[i].visited:=false; for i:=1 to n do
if map[i].visited=false do begin inc(count); dfs(i); end;
社交网络分析中的图论算法
社交网络分析中的图论算法社交网络的崛起，给人们的日常生活带来了极大的变化。
它让人们能够迅速地建立联系、分享信息和交换意见。
对于这些社交网络平台而言，数据分析已经成为了一个非常重要的话题。
这就是为什么图论算法如今成为了社交网络分析中的一个重要工具之一。
什么是图论算法？图论算法是一种数学算法，主要用于解决与图相关的问题。
图是由节点和边构成的数学结构，节点代表不同的对象，而边代表节点之间的关系。
在社交网络中，节点可以代表用户，边则代表他们之间的关系。
在社交网络分析中，图论算法通常用于探索不同的信息。
其中，一些算法强调社区检测，这意味着算法可以用来查找网络中不同的社区，而其他算法则可以用来帮助预测某些节点之间的关系。
常见的图论算法在社交网络分析中，以下算法是最常见的：1. 最短路径算法：最短路径算法可以帮助我们在图中找到两个节点之间最短的路径。
这对于研究社交网络中的用户之间的关系非常有用。
2. 中心性算法：中心性算法可以帮助我们查找网络中最重要的节点。
这些节点通常具有许多连接，且在网络中起着重要作用。
3. 社区检测算法：这类算法可以帮助我们在网络中查找不同的社区。
这些社区通常由相似的节点组成，这意味着他们分享着共同的特征（如兴趣、文化等等）。
4. 预测算法：这类算法可以帮助我们预测节点之间的连线，还能让我们了解某些节点之间发生联系的可能性。
这对于社交网络营销等领域非常有用。
将图论算法应用于社交网络分析中将图论算法应用到社交网络分析中会产生什么效果呢？以下是几个例子：1. 社区检测：通过社区检测算法，我们可以确定哪些用户具有相似的兴趣和文化背景。
这些信息可以帮助营销人员了解目标受众群体，并为其推荐产品。
2. 预测节点之间的连接：如果我们能够预测某些节点之间的连线，我们就可以预测用户会对哪些内容感兴趣并通过聚类算法优化用户体验，详情请了解用户聚类算法（User Clustering）。
3. 引导用户：通过链接分析算法，我们可以确定哪些用户是社交网络中最有影响力的用户。
图论的几种算法
A
B
C
D
B
C
建模：
点——陆地 岛屿
边——桥 D
2、定义
一个图G由一个顶点集V和一个边的集E组成。 E中每个元素e是连接顶点集 V中两个顶点u和v的边。
图G=<V，E>:
点集 V = {v1,v2, ...,vn} 边集 E = {e1,e2, ...,em}
其中 ek=vivj
例:
v1 e3 v4 e2
1
1 3 Inf 1 0
A
Inf 6 2 Inf 3
Inf Inf 2
Inf
Inf
3 Inf Inf 3 5
:
d (1) ij
min{di(j0)
,
d (0) i1
d (0) 1j
}
D(2)
(di(j2) )n
:
d (2) ij
min{di(j1)
,
d (1) i2
d (1) 2j
}
D(n)
(di(jn) )n
:
d (n) ij
min{di(jn1)
,
d (n1) i ( n 1)
d (n1) ( n 1)
1
0
1
0
1
v3
1 1 1 1 0
（2）关联矩阵(点边)
1 i点为j边端点 R (rij )nm rij 0 否则
例
v1
e1
e4
e5 e8
e6 v5 e7
v4
e3
v2
1 0 0 1 1 0 0 0
图论算法介绍
y1 6
4
2 51
2
1
x1
7
图1.2(d )
y3
5 3 x2 3 8 y5
N
D
x2
)
S2
{
y1
,
y3},而N
D
S2
)
S 2 {y1,y3,y5}.
l( y1) min{l( y1),l(x2 ) w((x2,y1))} min{6,3 2} 5,
1
)).
令
Sk1 Sk {xk1},Pk1 Pj (x j ,xk1). 3.若k v 1,则用k 1替代k并转2;若k v 1,则停止.
例2 考虑图1.2(a)所示的加权图(G, w). Moore-Dijkstra
算法执行如下:
4
2 51
2
1
x1
7
图1.2(c)
y3
5 y4
3 y5
N
D
x1
)
S1
N
D
S0
)
S 0 {y1,y4 ,y5}.
l( y1) min{l( y1),l(x1) w((x1,y1))} min{7,1 5} 6,
y1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4 y3
7
25
51
y4
x0 1
2
3
y2
7
y5
图1.2(a)
7 x0 0
1
y1
4
2 51
2
y2
7
图1.2(b)
y3
5 y4
3 y5
图论算法论文
1.Dijkstra（迪克斯屈拉算法）1)适用条件&范围：a)单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);b)有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图)c)所有边权非负(任取(i,j)∈E都有W ij≥0);2)算法描述：a)初始化：dis[v]=maxint(v∈V,v≠s); dis[s]=0; pre[s]=s;S={s};b)For i:=1 to n1.取V-S中的一顶点u使得dis[u]=min{dis[v]|v∈V-S}2.S=S+{u}3.For V-S中每个顶点v do Relax(u,v,W u,v)c)算法结束：dis[i]为s到i的最短距离；pre[i]为i的前驱节点3)算法优化：使用二叉堆(Binary Heap)来实现每步的DeleteMin(ExtractMin，即算法步骤b中第1步)操作，算法复杂度从O(V^2)降到O((V+E)㏒V)。
推荐对稀疏图使用。
使用Fibonacci Heap(或其他Decrease操作O(1),DeleteMin 操作O(logn)的数据结构)可以将复杂度降到O(E+V㏒V)；如果边权值均为不大于C的正整数，则使用Radix Heap可以达到O(E+V㏒C)。
但因为它们编程复杂度太高，不推荐在信息学竞赛中使用。
注：程序使用二叉堆程序：program mtx_grp;const num=10; max=10000;typegrp=array[1..num,1..num] of integer;rcd=set of 1..num;arr=array[1..num] of integer;arr2=array[1..num] of rcd;vari,j,w,m,n,e,k:integer;g:grp;visited:array[1..num] of boolean;path:arr2;dist,s:arr;procedure createmtx;var i,j,k:integer;beginfor i:=1 to n dofor j:=1 to n dog[i,j]:=max;for k:=1 to e dobeginreadln(i,j,w);g[i,j]:=w;g[j,i]:=w;end;end;procedure print( g:grp);beginfor i:=1 to n dobeginfor j:=1 to n doif g[i,j]=max then write('oo':4)else write(g[i,j]:4);writeln;end;end;procedure dijkstra(var dist:arr;var path:arr2;i:integer); begine:=i;for j:=1 to n do beginif j<>i then s[j]:=0 else s[j]:=1;dist[j]:=g[i,j];if dist[j]<maxthen path[j]:=[i]+[j]else path[j]:=[];end;for k:=1 to n-2 dobeginw:=max;m:=i;for j:=1 to n doif (s[j]=0) and (dist[j]<w) then begin m:=j;w:=dist[j];end;if m<>i then s[m]:=1 else exit;for j:=1 to n doif (s[j]=0) and (dist[m]+g[m,j]<dist[j])then begindist[j]:=dist[m]+g[m,j];path[j]:=path[m]+[j];end;end;for i:=1 to n doif i<>e then beginfor j:=1 to n doif j in path[i] then write(j:3);writeln('w=':4,dist[i]);end;end;beginassign(input,'nodelst5.in');reset(input);readln(n,e);createmtx;writeln;readln(i);dijkstra(dist,path,i);writeln;end.2.Floyd-Warshall1)适用范围：a)APSP(All Pairs Shortest Paths)b)稠密图效果最佳c)边权可正可负2)算法描述：a)初始化：dis[u,v]=w[u,v]b)For k:=1 to nFor i:=1 to nFor j:=1 to nIf dis[i,j]>dis[i,k]+dis[k,j] ThenDis[I,j]:=dis[I,k]+dis[k,j];c)算法结束：dis即为所有点对的最短路径矩阵3)算法小结：此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行|V|次Dijkstra算法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3 2
2
4 2
剩余图中，每条边都可以沿其方向增广 剩余图中，从源点到汇点的每一条路径都对应一条 增广路
割切
G = (V, E, C)是已知的网络流图，设U是V的一个子集， W = V\U，满足S ∈ U，T∈W。即U、W把V分成两个 不相交的集合，且源点和汇点分属不同的集合。 对于弧尾在U，弧头在W的弧所构成的集合称之为割切， 用（U，W）表示。把割切（U，W）中所有弧的容量 之和叫做此割切的容量，记为C（U，W），即：
预流推进算法示例
顶点u的通过量g(u)： 剩余图中，找入边权和与出边权和的较小值 增广时，每次找一个通过量最小的点v，从点v 向源点“推”大小为g(v)的流量 向汇点“拉”大小为g(v)的流量 尽量使剩余图中的边饱和
3
7 8
4 5
g(u)=12
用预流推进方法的一些网络流算法
对每一个弧(i,j),如果xij<Cij, 且j未标号,则给j一个标号(+i, δ ( j) ),其中， δ ( j)=min{Cij-xij , δ (i) } 对每一个弧( j, i),如果xji>0,且j未标号，则给j一个标号(-i, δ ( j) ),其中， δ ( j)=min{xji , δ (i) }
剩余图(残余网络)
剩余图G’=(V,E’) 流量网络G=(V,E)中，对于任意一条边(a,b)，若 flow(a,b)<capacity(a,b) or 则(a,b)∈ E’ flow(b,a)>0
可以沿着a--->b 方向增广
剩余图的权值代表能沿边增广的大小
有 向 图 剩 余 图
定理1：对于已知的网络流图，设任意一可行流为f， 任意一割切为(U, W)，必有：V(f) ≤ C(U, W)。 定理2：可行流f是最大流的充分必要条件是：f中不 存在可改进路。 定理3：整流定理。 如果网络中所有的弧的容量是整数，则存在整数值 的最大流。 定理4：最大流最小割定理。 最大流等于最小割，即max V(f) = min C(U, W)。
费用流
流最重要的应用是尽可能多的分流物 资，这也就是我们已经研究过的最大 流问题。然而实际生活中，最大配置 方案肯定不止一种，一旦有了选择的 V1 (6,3) (5,4) 余地，费用的因素就自然参与到决策 S T 中来。 右图是一个最简单的例子：弧上标的 (3,7) (8,2) 两个数字第一个是容量，第二个是费 V2 用。这里的费用是单位流量的花费， 费用流问题 譬如fs1=4，所需花费为3*4=12。 容易看出，此图的最大流（流量是8） 为：fs1 = f1t = 5, fs2 = f2t = 3。所以 它的费用是：3*5+4*5+7*3+2*3 = 62。
则称之为网络流图，记为G = (V, E, C)
可行流
可行流 对于网络流图G，每一条弧(i,j)都给定一个非负数fij，这 一组数满足下列三条件时称为这网络的可行流，用f表示 它。 1. 每一条弧(i,j)有fij≤Cij 2. 流量平衡 除源点S和汇点T以外的所有的点vi，恒有： ∑j(fij)= ∑k(fjk) 该等式说明中间点vi的流量守恒，输入与输出量相等。 3.对于源点S和汇点T有 ， ∑i(fSi)= ∑j(fjT)= V(f)
基本概念
这是一个典型的网络流模型。为了解答此题，我们先 了解网络流的有关定义和概念。 若有向图G=(V,E)满足下列条件：
1.
2.
3.
有且仅有一个顶点S，它的入度为零，即d-(S) = 0，这 个顶点S便称为源点，或称为发点。 有且仅有一个顶点T，它的出度为零，即d+(T) = 0，这 个顶点T便称为汇点，或称为收点。 每一条弧都有非负数，叫做该边的容量。边(vi, vj)的容 量用cij表示。
实例
复杂度分析
设图中弧数为m,每找一条增广轨最多需要进行2m次 弧的检查。如果所有弧的容量为整数，则最多需要 v(其中v为最大流)次增广，因此总的计算量为O(mv)。
procedure maxflow; {最大流} var i, j, delta, x : integer; last : tline; {可改进路中的前趋} check : array[0 .. maxn] of boolean; {检查数组} begin repeat fillchar(last, sizeof(last), 0); fillchar(check, sizeof(check), false); last[1] := maxint; repeat i := 0; repeat inc(i) until (i > n) or (last[i] <> 0) and not check[i]; {找到一个已检查而未标号的点} if i > n then break; for j := 1 to n do if last[j] = 0 then if flow[i, j] < limit[i, j] then last[j] := i {正向弧} else if flow[j, i] > 0 then last[j] := -i; {反向弧} check[i] := true; until last[n] <> 0;
图论算法 ---最大流问题
长沙市雅礼中学 朱全民
运输网络
现在想将一些物资从S运抵T，必须经过一些中转站。连接中 转站的是公路，每条公路都有最大运载量。 每条弧代表一条公路，弧上的数表示该公路的最大运载量。 最多能将多少货物从S运抵T？
V1
4 S 4 1
4 2 2
V3
7 6 V4 3 T
8
V2 公路运输图
流量V(f)最大。 满足a的前提下，流的费用Cost(f) =∑<i,j>∈E (fij * Wij)最小。
费用流算法
求最小费用最大流的基本思想是贪心法。即：对于流f， 每次选择最小费用可改进路进行改进，直到不存在可 改进路为止。这样的得到的最大流必然是费用最小的。 算法可描述为：
费用流定义
设有带费用的网络流图G = (V, E, C, W)，每条弧<Vi, Vj>对应两个非负整数Cij、Wij，表示该弧的容量和费 用。若流f满足：
1. 2.
就称f是网络流图G的最小费用最大流。 最小费用可改进路 设P是流f的可改进路，定义∑<vi,vj>∈P+ Wij - ∑<vi,vj>∈PWij 为P的费用(为什么如此定义？) 如果P是关于f的可改进路中费用最小的，就称P是f的 最小费用可改进路。
利用找增广路的其他流量算法
增广路的思想在于每次从源点搜索出一条前往汇点的 增广路，并改变路上的边权，直到无法再进行增广：
一般增广路方法：在剩余图中，每次任意找一条增广路径 增广。O(nmU) 容量缩放增广路方法:在剩余图中，每次任意找一条最大可 增广容量和的增广路径增广。O(nm*logU) 最短增广路方法(MPLA)：在剩余图中，每次任意找一条 含结点数最少的增广路径增广。O(nm2) 连续最短增广路方法（DINIC）：在剩余图中，每次BFS 找增广路径增广路径时，记录每个点的距离标号。在距离 标号最短路图上，不断dfs找增广路，即一次标号，多次 增广。O(n2m)
if last[n] = 0 then break; delta := maxint; i := n; repeat j := i; i := abs(last[j]); if last[j] > 0 then x := limit[i, j] - flow[i, j] else x := flow[j, i]; if x < delta then delta := x; until i = 1; {求改进量} i := n; repeat j := i; i := abs(last[j]); if last[j] > 0 then inc(flow[i, j], delta) else dec(flow[j, i], delta); until i = 1; {放大网络流} until false; end;
最大流算法
第1步，令x=(xij)是任意整数可行流，可能是零流，给s一个 永久标号(-, ∞)。 第2步(找增广路)，如果所有标号都已经被检查，转到第4步。 找到一个标号但未检查的点i, 并做如下检查，
第3步(增广)，由点t开始，使用指示标号构造一个增广路,指 示标号的正负则表示通过增加还是减少弧流量来增加还是减 少弧流量来增大流量，抹去s点以外的所有标号，转第二步继 续找增广轨。 第4步(构造最小割)，这时现行流是最大的，若把所有标号的 集合记为S，所有未标号点的集合记为T,便得到最小割(S,T)。
DINIC算法பைடு நூலகம்示：
3 源点 4 2 2
找到增广路路线， 2 （红色路线） 汇点 5
对增广路进行增广， 增广后退回到源点 3 2 汇点
找到增广路路线， （红色路线） 3 2 3 2 对增广路进行增广， 增广后退回到源点， 再无增广路线 汇点 1 汇点
1
用预流推进办法求网络流
预流推进算法给每一个顶点一个标号h(v)，表示该点 到t的最短路（在残量网络中）。 第一步hights()过程，就是BFS出初始最短路，计算出 每一个顶点的h(v)。 预流推进算法的特征是运用了预流来加快运算。预流 说明图中的节点(除s, t)，仅需要满足流入量 >= 流出 量。其中流入量>流出量的结点，我们称之为活动节 点。我们的算法就是不断地将活动结点，变为非活动 结点，使得预流成为可行流。