图论算法

C (U ,W ) cij
iU jW
割切示例

上例中，令U = {S, V1}，则W = {V2, V3, V4, T}，那么， C(U, W) = <S, V2> + <V1, V2> + <V1, V3>+<V1, V4> =8+4+4+1=17
流量算法的基本理论


可增广路




给定一个可行流f={fij}。若fij = Cij，称<vi, vj>为饱和弧； 否则称<vi, vj>为非饱和弧。若fij = 0，称<vi, vj>为零流 弧；否则称<vi, vj>为非零流弧。 定义一条道路P，起点是S、终点是T。把P上所有与P方向 一致的弧定义为正向弧，正向弧的全体记为P+；把P上所 有与P方向相悖的弧定义为反向弧，反向弧的全体记为P-。 譬如在图中，P = (S, V1, V2, V3, V4, T)，那么 P+ = {<S, V1>, <V1, V2>, <V2, V3>, <V4, T>} P- = {<V4, V3>} 给定一个可行流f，P是从S到T的一条道路，如果满足： fij是非饱和流，并且<i,j>∈ P+ , fij是非零流，并且 <i,j>∈ P那么就称P是f的一条可增广路。之所以称作“可增广”， 是因为可改进路上弧的流量通过一定的规则修改，可以令 整个流量放大。
流量V(f)最大。 满足a的前提下，流的费用Cost(f) =∑<i,j>∈E (fij * Wij)最小。
费用流算法


求最小费用最大流的基本思想是贪心法。即：对于流f， 每次选择最小费用可改进路进行改进，直到不存在可 改进路为止。这样的得到的最大流必然是费用最小的。 算法可描述为：
定理1：对于已知的网络流图，设任意一可行流为f， 任意一割切为(U, W)，必有：V(f) ≤ C(U, W)。 定理2：可行流f是最大流的充分必要条件是：f中不 存在可改进路。 定理3：整流定理。 如果网络中所有的弧的容量是整数，则存在整数值 的最大流。 定理4：最大流最小割定理。 最大流等于最小割，即max V(f) = min C(U, W)。

则称之为网络流图，记为G = (V, E, C)
可行流
可行流 对于网络流图G，每一条弧(i,j)都给定一个非负数fij，这 一组数满足下列三条件时称为这网络的可行流，用f表示 它。 1. 每一条弧(i,j)有fij≤Cij 2. 流量平衡 除源点S和汇点T以外的所有的点vi，恒有： ∑j(fij)= ∑k(fjk) 该等式说明中间点vi的流量守恒，输入与输出量相等。 3.对于源点S和汇点T有 ， ∑i(fSi)= ∑j(fjT)= V(f)
实例
复杂度分析

设图中弧数为m,每找一条增广轨最多需要进行2m次 弧的检查。如果所有弧的容量为整数，则最多需要 v(其中v为最大流)次增广，因此总的计算量为O(mv)。
procedure maxflow; {最大流} var i, j, delta, x : integer; last : tline; {可改进路中的前趋} check : array[0 .. maxn] of boolean; {检查数组} begin repeat fillchar(last, sizeof(last), 0); fillchar(check, sizeof(check), false); last[1] := maxint; repeat i := 0; repeat inc(i) until (i > n) or (last[i] <> 0) and not check[i]; {找到一个已检查而未标号的点} if i > n then break; for j := 1 to n do if last[j] = 0 then if flow[i, j] < limit[i, j] then last[j] := i {正向弧} else if flow[j, i] > 0 then last[j] := -i; {反向弧} check[i] := true; until last[n] <> 0;

预流推进的算法核心思想是以边为单元进行推流操作：



一般的预流推进算法：在剩余图中，维护一个预流，不断对 活跃点执行push操作，或者relable操作来重新调整这个预 流，直到不能操作。 O(nm2) 先进先出预流推进算法：在剩余图中，以先进先出队列维护 活跃点。 O(n3) 最高标号预流推进算法：在剩余图中，每次检查最高标号的 活跃点，需要用到优先队列。 O(n2m1/2)
剩余图(残余网络)

剩余图G’=(V,E’) 流量网络G=(V,E)中，对于任意一条边(a,b)，若 flow(a,b)<capacity(a,b) or 则(a,b)∈ E’ flow(b,a)>0
可以沿着a--->b 方向增广
剩余图的权值代表能沿边增广的大小
有 向 图 剩 余 图
if last[n] = 0 then break; delta := maxint; i := n; repeat j := i; i := abs(last[j]); if last[j] > 0 then x := limit[i, j] - flow[i, j] else x := flow[j, i]; if x < delta then delta := x; until i = 1; {求改进量} i := n; repeat j := i; i := abs(last[j]); if last[j] > 0 then inc(flow[i, j], delta) else dec(flow[j, i], delta); until i = 1; {放大网络流} until false; end;
预流推进算法示例
顶点u的通过量g(u)： 剩余图中，找入边权和与出边权和的较小值 增广时，每次找一个通过量最小的点v，从点v 向源点“推”大小为g(v)的流量 向汇点“拉”大小为g(v)的流量 尽量使剩余图中的边饱和

3
7 8
4 5
g(u)=12
用预流推进方法的一些网络流算法
图论算法 ---最大流问题
长沙市雅礼中学 朱全民
运输网络

现在想将一些物资从S运抵T，必须经过一些中转站。连接中 转站的是公路，每条公路都有最大运载量。 每条弧代表一条公路，弧上的数表示该公路的最大运载量。 最多能将多少货物从S运抵T？
V1
4 S 4 1
4 2 2
V3
7 6 V4 3 T
8
V2 公路运输图
利用找增广路的其他流量算法

增广路的思想在于每次从源点搜索出一条前往汇点的 增广路，并改变路上的边权，直到无法再进行增广：


一般增广路方法：在剩余图中，每次任意找一条增广路径 增广。O(nmU) 容量缩放增广路方法:在剩余图中，每次任意找一条最大可 增广容量和的增广路径增广。O(nm*logU) 最短增广路方法(MPLA)：在剩余图中，每次任意找一条 含结点数最少的增广路径增广。O(nm2) 连续最短增广路方法（DINIC）：在剩余图中，每次BFS 找增广路径增广路径时，记录每个点的距离标号。在距离 标号最短路图上，不断dfs找增广路，即一次标号，多次 增广。O(n2m)
费用流



流最重要的应用是尽可能多的分流物 资，这也就是我们已经研究过的最大 流问题。然而实际生活中，最大配置 方案肯定不止一种，一旦有了选择的 V1 (6,3) (5,4) 余地，费用的因素就自然参与到决策 S T 中来。 右图是一个最简单的例子：弧上标的 (3,7) (8,2) 两个数字第一个是容量，第二个Biblioteka Baidu费 V2 用。这里的费用是单位流量的花费， 费用流问题 譬如fs1=4，所需花费为3*4=12。 容易看出，此图的最大流（流量是8） 为：fs1 = f1t = 5, fs2 = f2t = 3。所以 它的费用是：3*5+4*5+7*3+2*3 = 62。
Capacity=5 Flow=2 Capacity=2 Flow=2 Capacity=6 Flow=2
3 2
2
4 2
剩余图中，每条边都可以沿其方向增广 剩余图中，从源点到汇点的每一条路径都对应一条 增广路
割切


G = (V, E, C)是已知的网络流图，设U是V的一个子集， W = V\U，满足S ∈ U，T∈W。即U、W把V分成两个 不相交的集合，且源点和汇点分属不同的集合。 对于弧尾在U，弧头在W的弧所构成的集合称之为割切， 用（U，W）表示。把割切（U，W）中所有弧的容量 之和叫做此割切的容量，记为C（U，W），即：
预流推进算法流程




算法过程prepare()，即首先将与s相连的边设为满流， 并将这时产生的活动结点加入队列Q。这是算法的开 始。 以后便重复以下过程直到Q为空： (1).选出Q的一个活动顶点u。并依次判断残量网络G' 中每条边(u, v)，若h(u) = h(v) + 1，则顺着这里条边 推流，直到Q变成非活动结点（不存在多余流量）。 (Push推流过程) (2).如果u还是活动结点。则需要对u进行重新标号： h(u) = min{h(v) + 1}，其中边(u,v)存在于G' 中。然 后再将u加入队列。(relable过程) 可以证明，通过以上算法得到的结果就是最大流。
最大流算法


第1步，令x=(xij)是任意整数可行流，可能是零流，给s一个 永久标号(-, ∞)。 第2步(找增广路)，如果所有标号都已经被检查，转到第4步。 找到一个标号但未检查的点i, 并做如下检查，



第3步(增广)，由点t开始，使用指示标号构造一个增广路,指 示标号的正负则表示通过增加还是减少弧流量来增加还是减 少弧流量来增大流量，抹去s点以外的所有标号，转第二步继 续找增广轨。 第4步(构造最小割)，这时现行流是最大的，若把所有标号的 集合记为S，所有未标号点的集合记为T,便得到最小割(S,T)。
费用流定义

设有带费用的网络流图G = (V, E, C, W)，每条弧<Vi, Vj>对应两个非负整数Cij、Wij，表示该弧的容量和费 用。若流f满足：
1. 2.

就称f是网络流图G的最小费用最大流。 最小费用可改进路 设P是流f的可改进路，定义∑<vi,vj>∈P+ Wij - ∑<vi,vj>∈PWij 为P的费用(为什么如此定义？) 如果P是关于f的可改进路中费用最小的，就称P是f的 最小费用可改进路。
对每一个弧(i,j),如果xij<Cij, 且j未标号,则给j一个标号(+i, δ ( j) ),其中， δ ( j)=min{Cij-xij , δ (i) } 对每一个弧( j, i),如果xji>0,且j未标号，则给j一个标号(-i, δ ( j) ),其中， δ ( j)=min{xji , δ (i) }
DINIC算法演示：
3 源点 4 2 2
找到增广路路线， 2 （红色路线） 汇点 5
对增广路进行增广， 增广后退回到源点 3 2 汇点
找到增广路路线， （红色路线） 3 2 3 2 对增广路进行增广， 增广后退回到源点， 再无增广路线 汇点 1 汇点
1
用预流推进办法求网络流

预流推进算法给每一个顶点一个标号h(v)，表示该点 到t的最短路（在残量网络中）。 第一步hights()过程，就是BFS出初始最短路，计算出 每一个顶点的h(v)。 预流推进算法的特征是运用了预流来加快运算。预流 说明图中的节点(除s, t)，仅需要满足流入量 >= 流出 量。其中流入量>流出量的结点，我们称之为活动节 点。我们的算法就是不断地将活动结点，变为非活动 结点，使得预流成为可行流。
基本概念

这是一个典型的网络流模型。为了解答此题，我们先 了解网络流的有关定义和概念。 若有向图G=(V,E)满足下列条件：
1.
2.
3.
有且仅有一个顶点S，它的入度为零，即d-(S) = 0，这 个顶点S便称为源点，或称为发点。 有且仅有一个顶点T，它的出度为零，即d+(T) = 0，这 个顶点T便称为汇点，或称为收点。 每一条弧都有非负数，叫做该边的容量。边(vi, vj)的容 量用cij表示。