1-4倒格子[新版].ppt

有[a3 a1][a1 a2 ] {[a3 a1] a2 }a1 {[a3 a1] a1}a2 va1
所 以v
( 2 )3 v3
[a 2
a3 ] va1
( 2 )3 v
︵。︵
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2.5 正格子中(h1h2h3)晶面族与 倒格矢Gh的关系
(1) 倒格矢 G h1b1 h2b2 h3b3 与正格子中密勒
b3 a3 b3 a3
0 0
G
CA
G
面ABC
G CB
C
a3/h3
a3
G
B a2
O
a2/h2
a1/h1
A
a1
︵。︵
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(2)晶面族（h1h2h3)的面间距d为
d
2
Gh
证明：由前面的证明
可知，原点到面ABC 的距离即为所求面间 距(设为d)。
d OA cos
又OAGh OA Gh cos
指 数为（h1h2h3)的晶面族正交。
即 G h1b1 h2 b2 h3b3沿晶面族（h1h2h3）的法线方向。
证明提示：设晶面ABC是晶面族 （h1h2h3）中最靠近原点的晶面，
截距分别为
a1 , a2 , a3 h1 h2 h3
a3
G
C
a3/h3
B a2
O
a2/h2
a1/h1
A
a1
思路：能证明 G 同时垂直于CA 和CB ，即能证明 G 垂直
于面ABC。
︵。︵
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简单证wenku.baidu.com如下：
G
h1b1 h2 CA a1 h1 CB a2 h2
b2 h3 b3 a3
h3 a3
h3
G
CA
(h1
b1
h2
b2
h3
b3
)
(
a1 h1
G
CA
(h1
b1
h2
b2
h3
b3
)
(
a2 h2
a3 h3 a3 h3
) )
b1 b2
a1 a2
“倒格子”
︵。︵
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2.3位矢之间关系
正格子位矢： Rl l1a1 l2a2 l3a3 倒格子位矢： Gn n1b1 n2 b2 n3b3 二者的关系： G n Rl 2m (m为整数)；
表明：若两矢量点积为2π的整数倍，则其中一个矢量
为正格子位矢，另一个必为倒格子位矢。
︵。︵
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2.4二者原胞体积的关系
倒格子原胞的体积v*与正格子原胞体积v的关系为:
v*
b1 (b2 b3 )
(2
v
)3
2 3
a1 (a2 a3 )
证明提示：将 b1,b2,b3 表达式代入后，利用矢量运算即可证明。
v
( 2 )3 v3
[a 2
a3 ] ([a3
a1][a1 a2 ])
依据：A (B C ) ( AC )B ( A B)C
a3
Gh
C
a3/h3
d
B a2
O
a2/h2
a1/h1
A
a1
d OAG Gh
a1 h1
(h1b1
h2 b2
h3 b3 )
1 Gh
2
Gh
︵。︵
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3、倒格子与傅立叶变换
同一物理量在正格子中的表述和在倒格子中的 表述之间遵守傅里叶变换。
设晶格中某点的某一物理量表示如下：
x
V (x)
晶格的周期性
x l1a1 l2a2 l3a3
V (x l1a1 l2a2 l3a3)
傅里叶变换
V e V e iGx G
iG( xl1a1 l2a2 l3a3 ) G
G
G
︵。︵
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显然有：
e 1 iG( l1 a1 l2 a2 l3 a3 )
即 G (l1a1 l2 a2 l3a3 ) 2m (m为整数)；
或者 G R 2m(m为整数)
所以，同一个物理量在正格子空间中的表述与在倒格子空 间中的表述之间遵守傅里叶变换关系。
︵。︵
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—— 倒格子空间是正格子的倒易空间 —— 周期性函数可以展开为傅里叶级数
原胞里任一点
晶格周期性函数
宗量
傅里叶级数
为整数
︵。︵
由倒格子基矢
得到 代入
︵。︵
得到
V (x)
V eiGn1n2n3 x h1, h2 , h3
h1, h2 , h3
Vh1, h2 , h3
1 a1 a2 a3
dxeiGh1h2h3 xV ( x )
—— 积分在一个原胞中进行
︵。︵
小
结
每个晶格都有两个点阵（或两套格子）同它联 系着，即正格子和倒格子（或晶体点阵和倒易 点阵），二者互易(例如体心立方与面心立方互 为倒格子)，这两个点阵都是由三个基矢所定义 的空间无穷多个周期性排列的点阵所构成，且 两对于种给格定子的空正间中格长子，度基的量矢纲a1 ,互a2为,a3倒的数选；择是不 唯不一 唯的 一， 的相 ，应但的对倒应格的子倒基格矢子却b1 ,是b2 ,唯b3 一的确选定择的也；是
倒格子是由基矢 a1, a2 , a3 所规定的正格子经过一 定转变而构成的另一种布拉伐格子结构。
二者在几何上存在一定的对应关系，该对应关系 所联系的规律恰是傅里叶变换。
︵。︵
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研究晶格（正格子空间）结构
晶列 晶向指数
晶面 密勒指数
1、该族晶 面相对于基 矢的取向— 法线方向
2、该族晶面 的面间距d；
§1-4 倒格子 (Reciprocal lattice)
主要内容
1、倒格子定义
2、倒格子与正格子的关系
3、倒格子与傅立叶变换
︵。︵
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1、倒格子定义
定义： 基矢 a1, a2,a3
b1
2
a2 a3
v
基矢
b 2
2
a3 a1 v
b3
2
a1 a2
v
其中 v＝a1 (a 2 a3 )
为正格子原胞体积
简称“倒格矢” (Reciprocal
lattice vector)
︵。︵
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2.2 倒格子与正格子基矢间关系
ai和bj 之间存在如下关系：
2 (i j)
ai
bj
0(i
j)
i,j=1,2,3
注意：倒格子基矢的量纲是[长度]-1，与波数矢量具有 相同的量纲。
︵。︵
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为何要引入“倒格子”概念？
倒格子概念是理解晶格X射线衍射、处理晶格振 动和固体电子论等有关问题的有力工具。
︵。︵
正格子空间 （或正点阵）
倒格子空间 （或倒易点阵）
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2、倒格子与正格子的关系
2.1 数学描述
空间
基矢
正格子空间 倒格子空间
a1, a2 , a3
b1
2
a2
a3
v
b2
2
a3 a1 v
b3
2
a1 a2
v
位置矢量 R l1a1 l2a2 l3a3
G n1b1 n2 b2 n3b3
同一物理量在正格子中的表述和在倒格子中的 表述之间遵守傅里叶变换；
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晶体的显微图象 晶体的衍射图象
小结
真实晶体结构的映象； 倒格子（倒易点阵）的映象；
晶体点阵(正格子)的格点
对应原子、分子或其集团
倒格子中的格点
对应晶体中的一族晶面
晶体点阵(正格子)的格点 倒格子中的格点