1-4倒格子[新版].ppt
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倒格子空间
K h CA，K h CB K h 晶面ABC。
3.倒格矢 K h 和面间距的关系 晶面ABC为晶面族中最靠近原点的晶面。
d h1h2h3 a1 K h h1 K h h1 K h 2 Kh
O
a1 h1 b1 h2 b2 h2 b3
a
期，方向为晶面族法向方向，把P平移，得出一 个新点阵。则这个新的格子称为原来晶格的倒格 子。而把原来的晶格称为正格子。
2.倒格子基矢和正格子基矢之间的关系 正格子基矢：a1、a2、a3； 倒格子基矢：b1、b2、b3 ;
晶面族：a1a2、a2 a3、a3 a1的面间距分别为d 3、d1、d 2 ;
后，能自身重合，则称u为n度(或n次)旋转对称轴。
(2)对称轴表示方式
①熊夫利(Schoenflies notation)符号表示 C1、C2、C3、C4、C6。 ②国际符号(International notation)表示 1、 2 、 3、 4 、 6。
4.对称轴度 数符号表示
度数 n
2
3
4
2 a 2 a3 a1 2 a2 a3 1 a2 b3 ，b2 ，b1 。 (5)倒格子的物理意义 ①倒格子中的一个点代表了晶格中的一族晶面。 ②正格子单位为米，表示位置空间；倒格子单位 为米-1，表示状态空间。
h1、h2、h3 整数。
2.倒格子基矢和正格子基矢的关系 倒格子基矢和正格子基矢具有正交性。即 i j 2 ai b j 2 ij i j 0 2 a3 a1 2 a1 b2 a1 a1 a3 a1 0 2 2 a2 a3 2 a1 b1 a1 a1 a2 a3 2 3.倒格矢和正格矢的关系 K h Rl l1a1 l2 a2 l3 a3 h1b1 h2 b2 h3 b3
1-4倒格子ppt课件
证明提示：设晶面ABC是晶面族 （h1h2h3）中最靠近原点的晶面，
截距分别为
a1 , a2 , a3 h1 h2 h3
a3
G
C
a3/h3
B a2
O
a2/h2
a1/h1
A
a1
思路：能证明 G 同时垂直于CA 和CB ，即能证明 G 垂直
于面ABC。 9
简单证明如下：
G
为正格子原胞体积
正格子空间 （或正点阵）
倒格子空间 （或倒易点阵）
2
2、倒格子与正格子的关系
2.1 数学描述
空间
基矢
正格子空间 倒格子空间
a1, a2 , a3
b1
2
a2
a3
v
b2
2
a3 a1 v
b3
2
a1 a2
v
位置矢量 R l1a1 l2a2 l3a3
a
K h h1b1 h2 b2
倒格是边长为
2π
的正方形格子。
a
24
例2：证明体心立方的倒格是面心立方。
解： 体心立方的原胞基矢：
a
a1 i j k 2
a
a2 i j k 2
a 3 a i j k 2
b1 2π a2 a3 Ω
j
b1
2π a
jk
b2
2π a
ik
2π
b3 a i j
体心立方的倒格是边长为4/a的面心立方 。
26
例3：证明简立方晶面(h1h2h3)的面间距为
固体物理学：倒格子
正格子体积为 倒格子体积为
a1 • (a2 a3 ) b1 • (b2 b3)
(3) 倒格子矢量与晶面指数的关系---倒格矢的方向
如图所示，晶面系 (hlh2h3)中最靠近 原点的晶面ABC在基 矢a1 , a2 , a3上的截 距分别是a1/hl， a2/h2，a3/h3。
结论： 倒格矢G垂直于密勒指数为（h1h2h3）晶 面系(倒格式的方向)。或倒格矢G为晶面（h1h2h3）
倒格子
设晶格的平移矢量 R n1a1 n2a2 n3a3
( n1n2 n3 ,为整数)
由于晶格的周期性晶格中某一点的物理性质也应该具有周期性。
考 场虑V (晶r)格，中按任周一期点势处要r求的某一物理量，例如晶格中原子所产生的势
V (r ) V (r R)
即原胞内任一点
r
处的物理性质与另一个原胞中相应点的物理性质
就是倒格子点阵的傅里叶逆变换。
理解（2）
晶格点阵（或叫正格子点阵）是真实空间中的点阵， 具有[长度]的量纲；
倒格子点阵（或叫倒易点阵）是在与真实空间相联系 的傅里叶空间中的点阵，具有[长度]-1的量纲。量纲为L-1 的矢量空间为倒格子空间。
每一个布拉伐格子都有一个与之相应的倒格子。
4 倒格子的基本性质
一系列规则排列的点，这些点排列的规律性只决定于函数
F(r)的周期性而与函数的具体形式无关。我们把在傅里叶
空间中规则排列着的点的列阵称为倒格子点阵（或倒易点
阵）。
倒格子点阵是晶体结构周期性在傅里叶空间中的数学
抽象。
如果把晶体点阵本身看作一个周期函数，我们可以说，
倒格子点阵就是晶体点阵的傅里叶变换。反之，晶体点阵
相同。
这种周期函数可以V展(开r)为傅立叶V级 e数iGr G
倒格子空间
C O
Gh
a2 a3 CB OB OC h2 h3
B
a2
a1 a 3 0 G h CA ( h1 b1 h2 b 2 h3 b 3 ) h1 h3 a2 a3 0 G h CB ( h1 b1 h2 b 2 h3 b 3 ) h h 2 3
2π a 2 2π jk jk 3 a 2 a 2
倒格矢：
2π b1 jk a 2π b2 ik a
2π b2 ik a
2π b3 i j a
2π b3 i j a
体心立方的倒格是边长为4/a的面心立方 。
例3：证明简立方晶面(h1h2h3)的面间距为 a d h1h2h3 2 h2 h2 h1 2 3 证明：
1、倒矢量
b1， b 2， b3
量纲：[长度]－1
倒格基矢定义为：
2π b1 a2 a3 Ω 2π b2 a 3 a1 Ω 2π b3 a1 a 2 Ω
其中 a 1 , a 2 , a 3 是正格基矢，
Ω a1 a 2 a 3
是固体物理学原胞体积
3
a 3 a1 a 2 a1 a 3 a1 a1 a 2 Ω a 1
3
Ω*
2π a 2 a 3 Ω a1 Ω
3 2 π
Ω
4）倒格矢 G h h h 与晶面之间的关系： 1 2 3 （i）G h h h 垂直于晶面系(h1h2h3) ，即
固体01-04倒格子
a 1 ⋅ b1 = 2π a1 ⋅ b2 = 0
a i ⋅ b j = 2πδ ij =
2π ( i = j )
0 (i ≠ j )
a 2 ⋅ b1 = 0 a 2 ⋅ b2 = 2π
2π b1 = i a 2π b2 = j a
2π a
2π a
G h = h1 b1 + h2 b 2
2π 的正方形格子。 倒格是边长为 的正方形格子。 a
b1 =
2
2π
2
3
1 = a1 ⋅ a2 ×a3 = a3 2
(
)
3
1
3
1
2
a2 ×a3 =
i a 2 a 2
j a − 2 a 2
a k − a =i 2 a 2 a 2 − 2
a a 2 + j 2 a a − − 2 2
一、倒格子点阵
一个具有晶格点阵周期的函数 n(r) = n(r + R) 展开成傅里 叶级数后，其傅里叶级数中的波矢在傅里叶空间中表现为 叶级数后， 一系列规则排列的点， 一系列规则排列的点，这些点排列的规律性只决定于函数 n(r)的周期性而与函数的具体形式无关。 n(r)的周期性而与函数的具体形式无关。 的周期性而与函数的具体形式无关 我们把在傅里叶空间中规则排列着的点的列阵称为倒格子 我们把在傅里叶空间中规则排列着的点的列阵称为倒格子 点阵（或倒易点阵） 点阵（或倒易点阵）。倒格子点阵是晶体结构周期性在傅 里叶空间中的数学抽象。 里叶空间中的数学抽象。如果把晶体点阵本身看作一个周 期函数，我们可以说， 期函数，我们可以说，倒格子点阵就是晶体点阵的傅里叶 变换。反之，晶体点阵就是倒格子点阵的傅里叶逆变换。 变换。反之，晶体点阵就是倒格子点阵的傅里叶逆变换。
a i ⋅ b j = 2πδ ij =
2π ( i = j )
0 (i ≠ j )
a 2 ⋅ b1 = 0 a 2 ⋅ b2 = 2π
2π b1 = i a 2π b2 = j a
2π a
2π a
G h = h1 b1 + h2 b 2
2π 的正方形格子。 倒格是边长为 的正方形格子。 a
b1 =
2
2π
2
3
1 = a1 ⋅ a2 ×a3 = a3 2
(
)
3
1
3
1
2
a2 ×a3 =
i a 2 a 2
j a − 2 a 2
a k − a =i 2 a 2 a 2 − 2
a a 2 + j 2 a a − − 2 2
一、倒格子点阵
一个具有晶格点阵周期的函数 n(r) = n(r + R) 展开成傅里 叶级数后，其傅里叶级数中的波矢在傅里叶空间中表现为 叶级数后， 一系列规则排列的点， 一系列规则排列的点，这些点排列的规律性只决定于函数 n(r)的周期性而与函数的具体形式无关。 n(r)的周期性而与函数的具体形式无关。 的周期性而与函数的具体形式无关 我们把在傅里叶空间中规则排列着的点的列阵称为倒格子 我们把在傅里叶空间中规则排列着的点的列阵称为倒格子 点阵（或倒易点阵） 点阵（或倒易点阵）。倒格子点阵是晶体结构周期性在傅 里叶空间中的数学抽象。 里叶空间中的数学抽象。如果把晶体点阵本身看作一个周 期函数，我们可以说， 期函数，我们可以说，倒格子点阵就是晶体点阵的傅里叶 变换。反之，晶体点阵就是倒格子点阵的傅里叶逆变换。 变换。反之，晶体点阵就是倒格子点阵的傅里叶逆变换。
固体物理倒格矢ppt课件
为正点阵位矢， 则另一个矢量必为倒易点阵的位矢。
为什么在倒易关系中存在2π 因子，这是因为如此定 义的互为倒易的两个矢量G与T之间满足下面简洁的
恒等式：
eiGT 1
(3) 两个点阵原胞体积之间的关系：
V* b1 (b2 b3 )
(2 )3
V
可见V*与V互为倒数
上式利用了 A B C ( A C)B ( A B)C
a. 简立方晶格 倒易空间示意图
aaa321
ai
aj
ak
b1
b2
b3
2
a
2
a
2
a
i j k
b1
倒易点阵仍为简立方晶格
b3 b2 b1
b. 体心立方晶格 倒易空间示意图
a1
a 2
(
a2 a3
a
2 a
2
i j k) (i j k) (i j k)
a
a
a
a
相应的倒格矢长度
K (n1 ,n2 ,n3 )
2 2
a
这十二个倒格矢的中垂面围成菱形十二面体：
其体积正好等于倒格子原胞的体积大小．
布里渊区示意图2-2
：坐标原点0,0,0 ： 100 H： 2 1,0,0
a
： 110 N： 2 1 , 1 ,0
a 2 2
： 111 P： 2 1 , 1 , 1
Gh k -k0
2
(S
S0 )
有 Rl• Gh = 2π u
( Rl和Gh 不一定平行)
可见， Rl和 Gh的量纲是互为倒逆的， Rl是格点P的位 置矢量，称为正矢量， kh称为倒易矢量。
若令Gh= h1b1+h2b2+h3b3， 则称由b1，b2，b3为基矢构成的点阵为倒易点阵.
1.4倒格子
( , ,0, , )
4、倒格与傅里叶变换
在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。
r Rl r
R l 是正格矢。
上式两边分别按傅里叶级数展开：
v Γ (r ) =
å
h
u r r u r iG h × r Γ (G h ) e
u r v iGh ?(rr ur ) R Γ (Gh ) e
解： 体心立方的原胞基矢： 2π a b1 a2 a3 i j k a1 Ω 2 a 2π a 2 i j k b 2 a 3 a1 2 Ω a a 3 i j k 2π 2 b3 a1 a 2 Ω a a i j k a a a 2 j i 2 a2 a3 a a 2 2 2 a a a 2 2
二维方格子二维方格子?设方格子的原胞基矢为简单立方晶体简单立方晶体正格子基矢为?其倒格子仍为简单立方结构与原点相近邻的倒格这些倒格矢的垂直平分面构成简单立方体即
§1.4
倒格子
晶体结构=晶格+基元
一个晶体结构有两个格子，一个是正格，另一个为倒格。 正格 正格基矢 a1 , a 2 , a 3 正格（点位）矢： 倒格 倒格基矢 b1 , b 2 , b3 倒格（点位）矢：
由图可知： CA OA OC a 1 a 3 h1 h3
C O
Gh
a2 a3 CB OB OC h2 h3
a2
B
a1 a 3 0 G h CA ( h1 b1 h2 b 2 h3 b 3 ) h1 h3 a2 a3 0 G h CB ( h1 b1 h2 b 2 h3 b 3 ) h h3 2
倒格子
e
即
i G ( l1 a1 l 2 a 2 l 3 a3 )
1
(m为整数)；
G ( l1 a1 l 2 a2 l3 a3 ) 2m
或者
G R 2m( m为整数)
所以，同一个物理量在正格子空间中的表述与在倒格子空 间中的表述之间遵守傅里叶变换关系。
小
结
每个晶格都有两个点阵（或两套格子）同它联 系着，即正格子和倒格子（或晶体点阵和倒易 点阵），二者互易(例如体心立方与面心立方互 为倒格子)，这两个点阵都是由三个基矢所定义 的空间无穷多个周期性排列的点阵所构成，且 两种格子空间中长度的量纲互为倒数； 对于给定的正格子，基矢 a1 , a2 , a3 的选择是不 唯一的，相应的倒格子基矢 的选择也是 b1 , b2 , b3 不唯一的，但对应的倒格子却是唯一确定的； 同一物理量在正格子中的表述和在倒格子中的 表述之间遵守傅里叶变换；
位置矢量
R l1 a1 l 2 a2 l3 a3
G n1 b1 n2 b2 n3 b3
正格子空间
倒格子空间
简称“倒格矢” (Reciprocal lattice vector)
2.2 倒格子与正格子基矢间关系
a i 和b j 之间存在如下关系：
2 ( i j ) i,j=1,2,3 ai b j 0( i j )
§1-4 倒格子 (Reciprocal lattice)
主要内容
1、倒格子定义
2、倒格子与正格子的关系
3、倒格子与傅立叶变换
为何要引入“倒格子”概念？
倒格子概念是理解晶格X射线衍射、处理晶 格振动和固体电子论等有关问题的有力工具。倒
固体物理(黄昆)(课堂PPT)
可得到一组等距的晶面，各晶面上结点的分布情况是相同 的。这组等距的晶面的称为一族晶面。
面间距——同族晶面中，相邻两晶面的距离。
（晶面的概念是以格点组成互相平行的平面，再构成晶 体。 ）
46
通常用密勒指数来标记不同的晶面。
确定密勒指数的步骤：
1）选任一结点为原点，作 a 1 、a 2 、a 3 的轴线。
41
2
1
32
4
4
1 2
A类碳原子的 共价键方向
B类碳原子的 共价键方向26
hcp也是复式晶格。 复式晶格包含多个等价原子，不同等价原子的简单晶格 相同。复式晶格是由等价原子的简单晶格嵌套而成。
27
二、基矢和原胞
a2 0 a1
28
1. 格矢: R l 2. 基矢：
任一格矢
R l l1 a 1 l2 a 2 l，3 a 3
37
原胞：
a1
a 2
(i
j
k)
基矢
a2
a (i 2
j
k)
a3
a 2
(i
j
k)
体积
V
a1
a2
a3
a3 2
原子个数 1
由一个顶点向三个体心引基矢。
38
bcc原胞示意图
39
fcc
晶胞：
a ai
基矢 b a j
c
ak
体积 V a3
原子个数 4
40
原胞：
基矢 体积
a1
a (i 2
j)
倒格子并非物理上的格子只是一种数学处理方法它在分析与晶体周期性有关的各种问题中起着重要作55一倒格子的定义假设晶格的原胞基矢为体积为建立一个实的空间其基矢56从数学上讲倒易点阵和布喇菲点阵是互相对应的傅里叶空间
面间距——同族晶面中，相邻两晶面的距离。
（晶面的概念是以格点组成互相平行的平面，再构成晶 体。 ）
46
通常用密勒指数来标记不同的晶面。
确定密勒指数的步骤：
1）选任一结点为原点，作 a 1 、a 2 、a 3 的轴线。
41
2
1
32
4
4
1 2
A类碳原子的 共价键方向
B类碳原子的 共价键方向26
hcp也是复式晶格。 复式晶格包含多个等价原子，不同等价原子的简单晶格 相同。复式晶格是由等价原子的简单晶格嵌套而成。
27
二、基矢和原胞
a2 0 a1
28
1. 格矢: R l 2. 基矢：
任一格矢
R l l1 a 1 l2 a 2 l，3 a 3
37
原胞：
a1
a 2
(i
j
k)
基矢
a2
a (i 2
j
k)
a3
a 2
(i
j
k)
体积
V
a1
a2
a3
a3 2
原子个数 1
由一个顶点向三个体心引基矢。
38
bcc原胞示意图
39
fcc
晶胞：
a ai
基矢 b a j
c
ak
体积 V a3
原子个数 4
40
原胞：
基矢 体积
a1
a (i 2
j)
倒格子并非物理上的格子只是一种数学处理方法它在分析与晶体周期性有关的各种问题中起着重要作55一倒格子的定义假设晶格的原胞基矢为体积为建立一个实的空间其基矢56从数学上讲倒易点阵和布喇菲点阵是互相对应的傅里叶空间
固体物理第4课倒易空间-PPT精品
（2）. 倒格子点阵与正格子点阵的关系
(1) 两个点阵基矢之间的关系：
ai
bj
2 ij
2，i
0，i
j j
b1 b2 b3
2 2 2
a2 a3
V a3 a1
a1
V
a2
V
(2) 两个点阵格矢之间的关系：
为什么在倒易关系中存在2π 因子，这是因为如此定 义的互为倒易的两个矢量G与T之间满足下面简洁的
恒等式：
eiGT 1
(3) 两个点阵原胞体积之间的关系：
V* b1 (b2
b3 )
(2 )3
V
可见V*与V互为倒数
上式利用了 A B C ( A C)B ( A B)C
体心立方晶格的倒易晶格是面心立方，其晶胞
常数为 4 。 a
c. 面心立方晶格
a1 a2 a3
a
2 a
2 a
2
(j (i (i
k) k) j)
bbb1232a22aa(((iii
8面体的体积是9( 2π )3， 2a
而第一布里渊区的体是积8( 2π )3 2a
因此正8面体不是第布一里渊区。
—— 第一布里渊区 —— 八个面是正六边形 —— 六个面是正四边形
布里渊区示意图3-2
Γ：2 0,0,0
a
X：2 1,0,0
a
K：2 3 , 3 ,0
a 4 4
Γ (r)＝ C e C e n1 n2 n3
iGn
r
n
n
1.4倒格子
例1：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。
a2 a j
a
a
a 1 ai a2 a j
a
a
a 1 ai
a i b j 2π ij
2π ( i j )
0 (i j )
a 1 ai a2 a j
a 1 b1 2 π a1 b2 0
正格
倒格
2π b1 a2 a3 Ω 2π b2 a3 a1 Ω 2π b3 a1 a2 Ω
a1 , a 2 , a 3
b1 , b 2 , b 3
2π ( i j )
a i b j 2π ij
0
i j
G h h1 b1 h2 b 2 h3 b 3
a1 cosa1 , n h1d a 2 cosa 2 , n h2 d a 3 cosa 3 , n h3 d
2.晶面及晶面指数 在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面， 称为晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数。
h h h 若遇负数，则在该数上方加一横线h h h 。
1 2 3
1 2 3
以布拉菲原胞基矢 a , b,c 为坐标轴来表示的晶面指数称为
密勒指数，用(hkl)表示。
晶面指数(h1h2h3 )表示的意义是：
2π ( i j )
2π3 Ω*
Ω
0
i j
u u r r 2. Rl ?G h
2π μ
u r r r r 4. G h = h1 b1 + h2 b2 + h3 b3 ^ (h1h2h3)
u r G h1h2 h3 =
1.3倒格子,固体物理
2π ( i j )
0 (i j )
a 2 b1 0 a1 b1 2
a 2 a2 j
a 1 a1 i
b2
2π a2
2π b1 i a1
a1 b 2 0 a 2 b 2 2π
2π b2 j a2
正格子
b1 2π
a1
倒格子
K h h1 b1 h2 b 2 3b1 2b 2 2π 2 π 倒格子是边长分别为 , 的长方形格子。 a1 a2
倒格矢：
2π b1 jk a 2π b2 ik a
FCC基矢：
a a1 i j 2 a a2 jk 2 a a3 ki 2
2π b2 ik a b3
2π i j a
2π b3 i j a
倒格子基矢定义为：
2π b1 a2 a3 Ω 2π b2 a 3 a1 Ω 2π b3 a1 a 2 Ω
其中 a 1 , a 2 , a 3 是正格子基矢，
Ω a1 a 2 a 3
是正格子原胞的体积
与 K n h b1 h b 2 h b 3 ( h1 所联系的各点 , h , h 为整数 ) 2 3 1 2 3 的列阵即为倒格子。
第三节 倒格子
本节主要内容: 一、倒格子定义
二、倒格子与正格子的关系
三、倒格子与傅里叶变换
前面讨论原子(基元)在坐标(实,位置)空间中的排列-----正格子,正空间 从坐标的倒易空间，即波矢K空间看晶体结构-----倒空间
1.3-倒格子、晶格的宏观对称性
若一个物体对绕某一转轴转2π/n 加上中心反演的联合 操作以及其联合操作的倍数不变时, 这个轴称为物体的 n 重旋转-反演轴, 记作 n
二重旋转-反演实际表明存在一个对称面, 这个对称素一般称为镜面，记为 m
第29页，共30页。
立方轴：4 同时也是 4 面对角线：2 同时也是 2 体对角线：3 同时也是3
a1 a2
由公式
ABC ACBABC
得
2
a1
a3 a1
a1
a
2
vc a1
因此
3
3
2
vc
a2 a3
a1
vc
2
vc
vc2 2 3 / vc.
第7页，共30页。
2. 傅里叶级数
若把晶格中任意一点 x 用基矢表示，写成
前面考虑的几何变换都是正交变换(保持两点距离不变)
概括宏观对称性的系统方法就是 考查在正交变换下的不变性
x x ' a11 a12 a13 x
y
y
'
a21
a22
a23
y
z z ' a31 a32 a33 z
其中 A={aij} 是正交矩阵 (i,j =1、2、3)
第17页，共30页。
2. 宏观对称性的描写 正交变换
不同程度的对称性可从图形的旋转中来分析
圆形对于任何绕中心的旋转都是不变的； 正方形只在旋转 π/2, π, 3π/2 的情况下不变；
等腰梯形和不规则四边形在除 2π 以外的任何旋转下都不能 能够保持不变 考查图形在旋转中的变化可以显示(a)(b)(c)的差别
n 取不同值代表晶面系中不同的晶面
第11页，共30页。
各面与原点的垂直距离为
二重旋转-反演实际表明存在一个对称面, 这个对称素一般称为镜面，记为 m
第29页，共30页。
立方轴：4 同时也是 4 面对角线：2 同时也是 2 体对角线：3 同时也是3
a1 a2
由公式
ABC ACBABC
得
2
a1
a3 a1
a1
a
2
vc a1
因此
3
3
2
vc
a2 a3
a1
vc
2
vc
vc2 2 3 / vc.
第7页，共30页。
2. 傅里叶级数
若把晶格中任意一点 x 用基矢表示，写成
前面考虑的几何变换都是正交变换(保持两点距离不变)
概括宏观对称性的系统方法就是 考查在正交变换下的不变性
x x ' a11 a12 a13 x
y
y
'
a21
a22
a23
y
z z ' a31 a32 a33 z
其中 A={aij} 是正交矩阵 (i,j =1、2、3)
第17页，共30页。
2. 宏观对称性的描写 正交变换
不同程度的对称性可从图形的旋转中来分析
圆形对于任何绕中心的旋转都是不变的； 正方形只在旋转 π/2, π, 3π/2 的情况下不变；
等腰梯形和不规则四边形在除 2π 以外的任何旋转下都不能 能够保持不变 考查图形在旋转中的变化可以显示(a)(b)(c)的差别
n 取不同值代表晶面系中不同的晶面
第11页，共30页。
各面与原点的垂直距离为
第4讲倒格子
第四讲：倒格子倒格子由于晶格具有周期性，晶格中x 点和x + l 1a 1+l 2a 2+l 3a 3点的情况完全相同，它们表示两个原胞中相对应的点。
如V (x )表示x 点某一个物理量，例如静电势能，电子云密度等，则有V (x ) ＝ V (x + l 1a 1+l 2a 2+l 3a 3) (1−4)V (x )是以a 1, a 2, a 3为周期的三维周期函数。
引入倒格子以后，可以方便地把上述三维周期函数展开成傅立叶级数。
根据基矢定义三个新的矢量[][][]231312123222πππ ×=Ω×=Ω×=Ωa ab a a b a a b (1−5) 称为倒格子基矢量。
正如以a 1, a 2, a 3为基矢可以构成布拉伐格子一样，以b 1, b 2, b 3为基矢也可以构成一个倒格子，倒格子每个格点的位置为123,,112233= n n n n n n ++G b b b ,其中n 1, n 2, n 3为一组整数。
称123,,n n n G 为倒格子矢量。
倒格子基矢的基本性质由倒格子基矢的定义(1-5)式很容易验证有下列基本性质()()() 2 2 ,1,2,3 0 i j i ji =j i j i j ππδ ⋅=== ≠a b (1−6) 也有人把(1−6)式作为倒格子基矢的定义。
倒格子具有[长度]−1的量纲，与波矢具有相同的量纲。
例题4.1计算二维正方的倒格子基矢。
解答1：设a 3为垂直于二维平面的第三个方向的单位矢量，则二维正方格子的原胞基矢加上a 3为123a a == = a ia j a k 设倒格子基矢为： ()()()111121322122233313233,,,,,,b b b b b b b b b == = b b b 应用[][][]231312123222πππ ×=Ω× = Ω×= Ωa ab a a b a a b 解得()()()1232,0,02,0,00,0,2 a a πππ== = b b b 即()()122,00,2a a ππ = = b b 解答2：二维正方格子的原胞和倒格子原胞基矢为 ()()12,00,a a a a ==== a i a j ()()1111222122,,b b b b == b b 应用()() 2 20 i j i j i =j i j ππδ ⋅== ≠a b解得()()122,00,2a a ππ == b b 周期性物理量的傅立叶级数若把晶格中的任意一点x 用矢量表示112233ξξξ=++x a a a (1−7)则一个具有晶格周期性的函数V (x ) ＝ V (x + l 1a 1+l 2a 2+l 3a 3) (1−8) 可以看成是以ξ1, ξ2, ξ3为宗量，周期为1的周期函数，因此可以写成傅立叶级数()()1122331231232123,,,,,,i h h h h h h h h h V V eπξξξξξξ=∑+ + (1−9)h 1, h 2, h 3为整数。
§1.5倒格子
a3 h3
C
a3
Kh
a2 h2
O
B
a2
a1 h 1
a2 a3 CB = OB − OC = − h2 h3
A
a1
8
a1 a3 Kh ⋅ CA = (h b1 + h2b2 + h3b3 ) ⋅ − 1 h h 3 1 h b1 ⋅ a1 h3b3 ⋅ a3 = 1 − =0 h h3 1 a2 a3 Kh ⋅ CB = (h b1 + h2b2 + h3b3 ) ⋅ − 1 h h 3 2 h2b2 ⋅ a2 h3b3 ⋅ a3 = − =0 h2 h3
1 b＝ Ωa1 = a1 Ω
∗ 1
11
3
(2π ) (a a ) a (2π ) = 2 × 3 ⋅Ω 1 = 3
3
3
Ω
Ω 3 ∗ Ω Ω = (2π )
7
2.倒格矢 Kh垂直于晶面族 1h2h3) 倒格矢 垂直于晶面族(h 晶面ABC为晶面族中最靠近原点的晶面。 为晶面族中最靠近原点的晶面。 晶面 为晶面族中最靠近原点的晶面
a1 a3 CA = OA − OC = − h h3 1
3.倒格矢和正格矢的关系 倒格矢和正格矢的关系
2π ai ⋅ bi = 2πδij = 0
i= j i≠ j
Kh ⋅ Rl = (l1a1 + l2a2 + l3a3 ) ⋅ (h b1 + h2b2 + h3b3 ) 1 = 2πµ (µ为整数)
6
三、倒格子和正格子之间的关系
1.正格子原胞体积和倒格子原胞体积之间的关系 正格子原胞体积和倒格子原胞体积之间的关系
Hale Waihona Puke ( Ω Ω＝2π )∗
C
a3
Kh
a2 h2
O
B
a2
a1 h 1
a2 a3 CB = OB − OC = − h2 h3
A
a1
8
a1 a3 Kh ⋅ CA = (h b1 + h2b2 + h3b3 ) ⋅ − 1 h h 3 1 h b1 ⋅ a1 h3b3 ⋅ a3 = 1 − =0 h h3 1 a2 a3 Kh ⋅ CB = (h b1 + h2b2 + h3b3 ) ⋅ − 1 h h 3 2 h2b2 ⋅ a2 h3b3 ⋅ a3 = − =0 h2 h3
1 b＝ Ωa1 = a1 Ω
∗ 1
11
3
(2π ) (a a ) a (2π ) = 2 × 3 ⋅Ω 1 = 3
3
3
Ω
Ω 3 ∗ Ω Ω = (2π )
7
2.倒格矢 Kh垂直于晶面族 1h2h3) 倒格矢 垂直于晶面族(h 晶面ABC为晶面族中最靠近原点的晶面。 为晶面族中最靠近原点的晶面。 晶面 为晶面族中最靠近原点的晶面
a1 a3 CA = OA − OC = − h h3 1
3.倒格矢和正格矢的关系 倒格矢和正格矢的关系
2π ai ⋅ bi = 2πδij = 0
i= j i≠ j
Kh ⋅ Rl = (l1a1 + l2a2 + l3a3 ) ⋅ (h b1 + h2b2 + h3b3 ) 1 = 2πµ (µ为整数)
6
三、倒格子和正格子之间的关系
1.正格子原胞体积和倒格子原胞体积之间的关系 正格子原胞体积和倒格子原胞体积之间的关系
Hale Waihona Puke ( Ω Ω＝2π )∗
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简称“倒格矢” (Reciprocal
lattice vector)
︵。︵
3
2.2 倒格子与正格子基矢间关系
ai和bj 之间存在如下关系：
2 (i j)
ai
bj
0(i
j)
i,j=1,2,3
注意：倒格子基矢的量纲是[长度]-1，与波数矢量具有 相同的量纲。
︵。︵
4
为何要引入“倒格子”概念？
倒格子概念是理解晶格X射线衍射、处理晶格振 动和固体电子论等有关问题的有力工具。
§1-4 倒格子 (Reciprocal lattice)
主要内容
1、倒格子定义
2、倒格子与正格子的关系
3、倒格子与傅立叶变换
︵。︵
1
1、倒格子定义
定义： 基矢 a1, a2,a3
b1
2
a2 a3
v
基矢
b 2
2
a3 a1 v
b3
2
a1 a2
v
其中 v＝a1 (a 2 a3 )
为正格子原胞体积
所以，同一个物理量在正格子空间中的表述与在倒格子空 间中的表述之间遵守傅里叶变换关系。
︵。︵
13
—— 倒格子空间是正格子的倒易空间 —— 周期性函数可以展开为傅里叶级数
原胞里任一点
晶格周期性函数
宗量
傅里叶级数
为整数
︵。︵
由倒格子基矢
得到 代入
︵。︵
得到
V (x)
V eiGn1n2n3 x h1, h2 , h3
同一物理量在正格子中的表述和在倒格子中的 表述之间遵守傅里叶变换；
︵。︵
17
晶体的显微图象 晶体的衍射图象
小结
真实晶体结构的映象； 倒格子（倒易点阵）的映象；
晶体点阵(正格子)的格点
对应原子、分子或其集团
倒格子中的格点
对应晶体中的一族晶面
晶体点阵(正格子)的格点 倒格子中的格点
a3
Gh
C
a3/h3
d
B a2
O
a2/h2
a1/h1
A
a1
d OAG Gh
a1 h1
(h1b1
h2 b2
h3 b3 )
1 Gh
2
Gh
︵。︵
11
3、倒格子与傅立叶变换
同一物理量在正格子中的表述和在倒格子中的 表述之间遵守傅里叶变换。
设晶格中某点的某一物理量表示如下：
x
V (x)
晶格的周期性
x l1a1 l2a2 l3a3
倒格子是由基矢 a1, a2 , a3 所规定的正格子经过一 定转变而构成的另一种布拉伐格子结构。
二者在几何上存在一定的对应关系，该对应关系 所联系的规律恰是傅里叶变换。
︵。︵
5
研究晶格（正格子空间）结构
晶列 晶向指数
晶面 密勒指数
1、该族晶 面相对于基 矢的取向— 法线方向
2、该族晶面 的面间距d；
有[a3 a1][a1 a2 ] {[a3 a1] a2 }a1 {[a3 a1] a1}a2 va1
所 以v
( 2 )3 v3
[a 2
a3 ] va1
( 2 )3 v
︵。︵
8
2.5 正格子中(h1h2h3)晶面族与 倒格矢Gh的关系
(1) 倒格矢 G h1b1 h2b2 h3b3 与正格子中密勒
h1, h2 , h3
Vh1, h2 , h3
1 a1 a2 a3
dxeiGh1h2h3 xV ( x )
—— 积分在一个原胞中进行
︵。︵
小
结
每个晶格都有两个点阵（或两套格子）同它联 系着，即正格子和倒格子（或晶体点阵和倒易 点阵），二者互易(例如体心立方与面心立方互 为倒格子)，这两个点阵都是由三个基矢所定义 的空间无穷多个周期性排列的点阵所构成，且 两对于种给格定子的空正间中格长子，度基的量矢纲a1 ,互a2为,a3倒的数选；择是不 唯不一 唯的 一， 的相 ，应但的对倒应格的子倒基格矢子却b1 ,是b2 ,唯b3 一的确选定择的也；是
指 数为（h1h2h3)的晶面族正交。
即 G h1b1 h2 b2 h3b3沿晶面族（h1h2h3）的法线方向。
证明提示：设晶面ABC是晶面族 （h1h2h3）中最靠近原点的晶面，
截距分别为
a1 , a2 , a3 h1 h2 h3
a3
G
C
a3/h3
B a2
O
a2/h2
a1/h1
A
a1
思路：能证明 G 同时垂直于CA 和CB ，即能证明 G 垂直
V (x l1a1 l2a2 l3a3)
傅里叶变换
V e V e iGx G
iG( xl1a1 l2a2 l3a3 ) G
G
G
︵。︵
12
显然有：
e 1 iG( l1 a1 l2 a2 l3 a3 )
即 G (l1a1 l2 a2 l3a3 ) 2m (m为整数)；
或者 G R 2m(m为整数)
b3 a3 b3 a3
0 0
G
CA
G
面ABC
G CB
C
a3/h3
a3
G
B a2
O
a2/h2
a1/h1
A
a1
︵。︵
10
(2)晶面族（h1h2h3)的面间距d为
d
2
Gh
证明：由前面的证明
可知，原点到面ABC 的距离即为所求面间 距(设为d)。
d OA cos
又OAGh OA Gh cos
︵。︵
正格子空间 （或正点阵）
倒格子空间 （或倒易点阵）
2
2、倒格子与正格子的关系
2.1 数学描述
空间
基矢
正格子空间 倒格子空间
a1, a2 , a3
b1
2
a2
a3
v
b2
2
a3 a1 v
b3
2
a1 a2
v
位置矢量 R l1a1 l2a2 l3a3
G n1b1 n2 b2 n3b3
“倒格子”
︵。︵
6
2.3位矢之间关系
正格子位矢： Rl l1a1 l2a2 l3a3 倒格子位矢： Gn n1b1 n2 b2 n3b3 二者的关系： G n Rl 2m (m为整数)；
表明：若两矢量点积为2π的整数倍，则其中一个矢量
为正格子位矢，另一个必为倒格子位矢。
︵。︵
7
2.4二者原胞体积的关系
于面ABC。
︵。︵
9
简单证明如下：
G
h1b1 h2 CA a1 h1 CB a2 h2
b2 h3 b3 a3
h3 a3
h3
G
பைடு நூலகம்
CA
(h1
b1
h2
b2
h3
b3
)
(
a1 h1
G
CA
(h1
b1
h2
b2
h3
b3
)
(
a2 h2
a3 h3 a3 h3
) )
b1 b2
a1 a2
倒格子原胞的体积v*与正格子原胞体积v的关系为:
v*
b1 (b2 b3 )
(2
v
)3
2 3
a1 (a2 a3 )
证明提示：将 b1,b2,b3 表达式代入后，利用矢量运算即可证明。
v
( 2 )3 v3
[a 2
a3 ] ([a3
a1][a1 a2 ])
依据：A (B C ) ( AC )B ( A B)C
lattice vector)
︵。︵
3
2.2 倒格子与正格子基矢间关系
ai和bj 之间存在如下关系：
2 (i j)
ai
bj
0(i
j)
i,j=1,2,3
注意：倒格子基矢的量纲是[长度]-1，与波数矢量具有 相同的量纲。
︵。︵
4
为何要引入“倒格子”概念？
倒格子概念是理解晶格X射线衍射、处理晶格振 动和固体电子论等有关问题的有力工具。
§1-4 倒格子 (Reciprocal lattice)
主要内容
1、倒格子定义
2、倒格子与正格子的关系
3、倒格子与傅立叶变换
︵。︵
1
1、倒格子定义
定义： 基矢 a1, a2,a3
b1
2
a2 a3
v
基矢
b 2
2
a3 a1 v
b3
2
a1 a2
v
其中 v＝a1 (a 2 a3 )
为正格子原胞体积
所以，同一个物理量在正格子空间中的表述与在倒格子空 间中的表述之间遵守傅里叶变换关系。
︵。︵
13
—— 倒格子空间是正格子的倒易空间 —— 周期性函数可以展开为傅里叶级数
原胞里任一点
晶格周期性函数
宗量
傅里叶级数
为整数
︵。︵
由倒格子基矢
得到 代入
︵。︵
得到
V (x)
V eiGn1n2n3 x h1, h2 , h3
同一物理量在正格子中的表述和在倒格子中的 表述之间遵守傅里叶变换；
︵。︵
17
晶体的显微图象 晶体的衍射图象
小结
真实晶体结构的映象； 倒格子（倒易点阵）的映象；
晶体点阵(正格子)的格点
对应原子、分子或其集团
倒格子中的格点
对应晶体中的一族晶面
晶体点阵(正格子)的格点 倒格子中的格点
a3
Gh
C
a3/h3
d
B a2
O
a2/h2
a1/h1
A
a1
d OAG Gh
a1 h1
(h1b1
h2 b2
h3 b3 )
1 Gh
2
Gh
︵。︵
11
3、倒格子与傅立叶变换
同一物理量在正格子中的表述和在倒格子中的 表述之间遵守傅里叶变换。
设晶格中某点的某一物理量表示如下：
x
V (x)
晶格的周期性
x l1a1 l2a2 l3a3
倒格子是由基矢 a1, a2 , a3 所规定的正格子经过一 定转变而构成的另一种布拉伐格子结构。
二者在几何上存在一定的对应关系，该对应关系 所联系的规律恰是傅里叶变换。
︵。︵
5
研究晶格（正格子空间）结构
晶列 晶向指数
晶面 密勒指数
1、该族晶 面相对于基 矢的取向— 法线方向
2、该族晶面 的面间距d；
有[a3 a1][a1 a2 ] {[a3 a1] a2 }a1 {[a3 a1] a1}a2 va1
所 以v
( 2 )3 v3
[a 2
a3 ] va1
( 2 )3 v
︵。︵
8
2.5 正格子中(h1h2h3)晶面族与 倒格矢Gh的关系
(1) 倒格矢 G h1b1 h2b2 h3b3 与正格子中密勒
h1, h2 , h3
Vh1, h2 , h3
1 a1 a2 a3
dxeiGh1h2h3 xV ( x )
—— 积分在一个原胞中进行
︵。︵
小
结
每个晶格都有两个点阵（或两套格子）同它联 系着，即正格子和倒格子（或晶体点阵和倒易 点阵），二者互易(例如体心立方与面心立方互 为倒格子)，这两个点阵都是由三个基矢所定义 的空间无穷多个周期性排列的点阵所构成，且 两对于种给格定子的空正间中格长子，度基的量矢纲a1 ,互a2为,a3倒的数选；择是不 唯不一 唯的 一， 的相 ，应但的对倒应格的子倒基格矢子却b1 ,是b2 ,唯b3 一的确选定择的也；是
指 数为（h1h2h3)的晶面族正交。
即 G h1b1 h2 b2 h3b3沿晶面族（h1h2h3）的法线方向。
证明提示：设晶面ABC是晶面族 （h1h2h3）中最靠近原点的晶面，
截距分别为
a1 , a2 , a3 h1 h2 h3
a3
G
C
a3/h3
B a2
O
a2/h2
a1/h1
A
a1
思路：能证明 G 同时垂直于CA 和CB ，即能证明 G 垂直
V (x l1a1 l2a2 l3a3)
傅里叶变换
V e V e iGx G
iG( xl1a1 l2a2 l3a3 ) G
G
G
︵。︵
12
显然有：
e 1 iG( l1 a1 l2 a2 l3 a3 )
即 G (l1a1 l2 a2 l3a3 ) 2m (m为整数)；
或者 G R 2m(m为整数)
b3 a3 b3 a3
0 0
G
CA
G
面ABC
G CB
C
a3/h3
a3
G
B a2
O
a2/h2
a1/h1
A
a1
︵。︵
10
(2)晶面族（h1h2h3)的面间距d为
d
2
Gh
证明：由前面的证明
可知，原点到面ABC 的距离即为所求面间 距(设为d)。
d OA cos
又OAGh OA Gh cos
︵。︵
正格子空间 （或正点阵）
倒格子空间 （或倒易点阵）
2
2、倒格子与正格子的关系
2.1 数学描述
空间
基矢
正格子空间 倒格子空间
a1, a2 , a3
b1
2
a2
a3
v
b2
2
a3 a1 v
b3
2
a1 a2
v
位置矢量 R l1a1 l2a2 l3a3
G n1b1 n2 b2 n3b3
“倒格子”
︵。︵
6
2.3位矢之间关系
正格子位矢： Rl l1a1 l2a2 l3a3 倒格子位矢： Gn n1b1 n2 b2 n3b3 二者的关系： G n Rl 2m (m为整数)；
表明：若两矢量点积为2π的整数倍，则其中一个矢量
为正格子位矢，另一个必为倒格子位矢。
︵。︵
7
2.4二者原胞体积的关系
于面ABC。
︵。︵
9
简单证明如下：
G
h1b1 h2 CA a1 h1 CB a2 h2
b2 h3 b3 a3
h3 a3
h3
G
பைடு நூலகம்
CA
(h1
b1
h2
b2
h3
b3
)
(
a1 h1
G
CA
(h1
b1
h2
b2
h3
b3
)
(
a2 h2
a3 h3 a3 h3
) )
b1 b2
a1 a2
倒格子原胞的体积v*与正格子原胞体积v的关系为:
v*
b1 (b2 b3 )
(2
v
)3
2 3
a1 (a2 a3 )
证明提示：将 b1,b2,b3 表达式代入后，利用矢量运算即可证明。
v
( 2 )3 v3
[a 2
a3 ] ([a3
a1][a1 a2 ])
依据：A (B C ) ( AC )B ( A B)C