利用函数的图象求一元二次方程近似根审批稿
北师大版九年级数学下册利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的方法
北师大版九年级数学下册利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的方法利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的方法方法名称利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的方法例题题干请用二次函数图象求一元二次方程x23x 20 的近似根（精准到），并画出图形 .例题答案由图可知，一元二次方程x23x 20=0 的近似根是x1 = 6.2, x2有关知识方法的步骤/有关方方法提炼例题的解题步骤法确立一元二次方程的右侧为 0，若不为 0 则对一元二次方程进行变形，使得右侧为 0；第一步设一个因变量y 等于一元二次方第二步程右侧的代数式，获得对应的二次函数；ZE10移项方程右化3x 20变形得 x2 3x 20=0法例x2ZB33 合并同类项法例ZE19等式两边同乘除时的性质ZK01 二设对应函x2 3x 20，则y是x的二次函数设 y次函数的数定义画出二次函数的图象；ZK07 二画函数图画出 y x2 3x 20 的图象，如图次函数象的图象与性质第三步察看二次函数图象与 x 轴的交点地点，确立一元二次方程根的大概范围；第四步ZK11 抛看交点定3x 20 的图象与x轴有由图可知， y x2物线和 x 范围轴的交点两个交点，因此方程有两个根横坐标与由交点地点可知，一个根在-7 和 -6 之间，另一元二次一个根在3和 4之间方程根的关系在大概范围内给自变量取一些值计算取近与 x 轴交点的横坐标近似为-6.2 和并借用计算器求出对应的因变量似根（ 1）求 -7 和 -6 之间的根，利用计算器列表y 的值，探究出一个“绝对值靠近得0 的”因变量 y 的值，并找出对应的自变量的值，这个自变量的值x值就是一元二次方程的近似根 .y -2∴是方程 x2 3x 20=0 的一个近第五步似根（ 2）求 3 和 4 之间的根，利用计算器列表得xy∴是方程 x2 3x 20=0 的另一个近似根因此一元二次方程x2 3x 20=0 的近似根是 x16.2,x2方法的点拨、概括和注意事项点拨二次函数图象与x x轴的交点就是所对应的一元二次方程的根.概括注意事项例题的变数题方法名称FK25 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的方法变数题（一）变数题（二）请用二次函数图象求一元二次方程x2 5x 20 请用二次函数图象求一元二次方程x2 4x 18 的题干的近似根（精准到），并画出图形 . 近似根（精准到），并画出图形 .答案x1 7.6, x2 x1 2.7, x2扰乱项 1x1 7.5, x2x1 2.8, x2扰乱项 2x1 7.6, x2x1 2.7, x2扰乱项 3x1 7.7, x2x1 2.6, x2解题步骤第一步x25x 20 变形得 x25x 20 0x24x 18变形得 x24x 180第二步设 y x25x 20 ，则y是x的二次函数设y x24x18，则y是x的二次函数画出 y x25x 20 的图象，如图画出y x24x18 的图象，如图第三步由图可知， y x2 5x 20 的图象与x轴有两由图可知， y x2 4x 18 的图象与x轴有两个交点，个交点，因此方程有两个根因此方程有两个根由交点地点可知，一个根在7 和 8 之间，另一个由交点地点可知，一个根在 2 和 3 之间，另一个根在根在 -2 和-3 之间-6 和-7 之间与 x 轴交点的横坐标近似为7.6 和与 x 轴交点的横坐标近似为 2.7 和（ 1）求 7 和 8 之间的根，利用计算器列表得（1）求 2 和 3 之间的根，利用计算器列表得x xy y第四步∴是方程 x2 5x 20=0 的一个近似根∴是方程 x2 4x 18 0 的一个近似根（ 2）求 -2 和 -3 之间的根，利用计算器列表得（2）求 -6 和 -7 之间的根，利用计算器列表得x xy y∴是方程 x2 5x 20=0 的另一个近似∴是方程 x2 4x 18 0 的另一个近似根根所以一元二次方程 x2 4x 18 0 的近似根是因此一元二次方程 x2 5x 20=0 的近似根是x1 2.7, x2x1 7.6, x2。
九下数学课件 利用函数图像求一元二次方程的根或根的近似值(课件)
”
次函数图像的顶点落在点P处，写出平移后二次函数图像对应的函数表达式，并判断点P是否
在函数y ＝ x＋ 的图像上，请说明理由．
能力提升
(1) 图略
(2)图略
方程x2＋x＝1的近似根为x1≈－1.6，x2≈0.6
由图像，可知当x＜－1.5或x＞1时，一次函数的值小于二次函数的值
(3)由y＝x2＋x＝
2x＋2
点P在函数y＝ x＋ 的图像上
×(－1)＋ ＝1.∴
理由：在y＝ x＋ 中，令x＝－1，得y＝
点P(－1，1)在函数y＝ x＋ 的图像上．
完成备作业。
课堂小结
1.利用图像法求一元二次方程的根的方法.
2.怎样利用二次函数的图像求一元二次不
等式的解集？
“ THANKS
初中数学苏科版九年级下册
中物理
第5章 二次函数
5.4.2利用函数图像求一元二次
方程的根或根的近似值
1.会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。
2.会利用表格求一元二次方程的近似解。
3. 二次函数的图像与不等式问题。
函数y＝x2－2x－3的图像如图所示，你能看出
方程x2－2x－3＝0的解吗？
函数y＝x2－2x－1的图像如图所示，你能看出方
观察图象会发现：
(1)当－1＜x＜5时，函数值y＞0；
(2)当x＝－1或x＝5时，函数值y＝0；
(3)当x＜－1或x＞5时，函数值y＜0.
【归纳总结】
根据二次函数值的取值范围确定自变量的取值
范围，一般要画出二次函数的图象，观察图象解答，
利用函数的图象求一元二次方程近似根
21.3 二次函数与一元二次方程（第二课时）实验中学-余志高一、教材分析：《利用二次函数的图像解一元二次方程》选自义务教育课程教科书《数学》（沪科版）九年级上册第21章第3节，这节课是在学生学习了二次函数与一元二次方程的关系，知道二次函数的图像与x 轴交点个数的不同对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况下继续经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验及了解一元二次不等式的解集.．这也突出了课标的要求：注重数形结合。
二、教学目标【知识与技能】掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解以及一元二次不等式的解集.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验．【过程与方法】经历探究二次函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程,体会函数、方程、不等式之间的联系.利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想．【情感、态度与价值观】进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神.重点难点【重点】用函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集.【难点】利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根【教学方法】学生合作交流学习法三、教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]上节课我们学习了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y＝0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可．但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算．本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根．Ⅱ．讲授新课【例】用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的近似解(精确到0.1).解:画出函数y=x2+2x-1的图象,如图.由图象可知,方程有两个实数根,一个在-3和-2之间,另一个在0和1之间.先求位于-3和-2之间的根.由图象可估计这个根是-2.5或-2.4,利用计算器进行探索,见下观察上表可以发现,当x分别取-2.5和-2.4时,对应的y由正变负,可见在-2.5与-2.4之间肯定有一个x使y=0,即有方程x2+2x-1=0的一个根.题目只要求精确到0.1,这时取x=-2.5或x=-2.4作为根都符合要求.但当x=-2.4时,y=-0.04比y=0.25(x=-2.5)更接近0,故选x=-2.4.同理,可求出方程x2+2x-1=0在0和1之间精确到0.1的另一个根.方程x2+2x-1=0的近似解还可以这样求:分别画出函数y=x2和y=-2x+1的图象,如图,它们的交点A、B的横坐标就是方程x2+2x-1=0的根.函数图象求一元二次不等式的解集.：画出函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图象，不等式ax2+bx+c>0的解集为图象在x轴上方的点所对应的x值所组成的集合，不等式ax2+bx+c<0的解集为图象在x轴下方的点所对应的x值所组成的集合.如下表：ax2+bx+c>0(a>0)的解集是x<x1或x>x2ax2+bx+c<0(a>0)的解集是x1<x<x2ax2+bx+c>0(a<0)的解集是x1<x<x2ax2+bx+c<0(a<0)的解集是x<x1或x>x2Ⅲ．课堂练习P34随堂练习Ⅳ．课时小结本节课学习的内容：1．经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的联系；2．经历了用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得了用图象法求方程近似根的体验．3．了解一元二次方程不等式的解集可由二次函数图象直接得出结论。
25第2课时利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根授课典案.docx
典案一教学设计（续表）【课堂引入】［师］上节课我们学习了二次函数的图象与一元二次方程的关系，请思考（出示 画板课件）：［生］一元二次方程X 2+X -2 = 0的根是二次函数y=x?+x —2的图象与x 轴 交点的横坐标.［师］很好，我们还可以根据二次函数的图象与x 轴的交点情况，判断一元二 次方程根的情况.这样，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数图彖与X 轴交点的横坐 标即可.但是在图彖上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算.本 节课我们将学习利用二次函数的图象求-元二次方程的近似根.【探究1】上节课我们学习了二次函数y=ax2+bx+c （aH0）的图象与x 轴的交点坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0（aH0）的根的关系，懂得了二次 函数图象与x 轴交点的横坐标，就是y=0时的一元二次方程的根.于是， 我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x 轴交点的横坐标即可.但 是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以耍进行估算.你能利用二次函数的图象估计一元二次方程X 2+2X -10=0的根吗？（耕确 到0」）图 2-5-28X-4.1-4.2 -4.3 -4.4 y -1.39-0.76-0.110.56活动 ■ ■ 创设 情境 导入通过一道简单的题 目，让学生进一步理解体会二次函数与一 元二次方程的关系， 同时又训练了学生形 数结合的能力，渗透 了数学中"数形结 合”的思想，符合新课标要求.活动 二： 实践 探究 交流 新知本环节是本节新课的 重点内容，题目的设 计意图：一、让学生 巩固对二次函数图象 物线的形成的 认识，二、主要是让 学生运用二次函数图 象与x 轴交点的横坐 标就是方程ax' + bx + c = 0的根的原理， 经历一元二次方程根 的近似值探索过程， 进一步体会二次函数 与方程之间的联系.X 2」 2.22.3 2.4y-1.39—0.76 -0.11 0.56处理方式：引导学生回顾画二次函数y=ax2+bx+c （aH0）图彖的 步骤方法，观察估计二次函数y=x?+2x —10的图象与x 轴的交 点的横处标，由图彖町知，图彖与x 轴有两个交点，其横坐标一 个在一5与一4之间，另一个在2与3之间.所以方程X 2+2X -10 =0的两个根一个在一5与一4之间，另-•个在2与3之间.既然 一个根在一5与一4 Z 间，那这个根一定是负4点几，所以个位数 就确定下来了，接着确定十分位上的数，这吋可以用试一试的方 法,即分别把只=-4.1, -4.2,…,一4.9代入方程进行计算，哪一个值能使等式成立（或哪一个值能使等式近似成立），则这个 值就是方程的根（或近似根）.从上表町知，当x 取一4.4或一4.3 时，对应y 的值由正变负，叫见在一4.4和一4.3之J'日J 一定有一个 x 值使得y=0,即有方程X 2+2X -10=0的一个根.由于当x=- 4.3 时,y=—0.11 比y=0.56（x=—4.4）更接近 0,所以选 x=—4.3. 因此,方程X 2+2X -10=0在一5和一4之间精确到0.1的根为x= -4.3. 【探究2】⑴利用二次函数的图彖（如图2 — 5—29）求一元二次方 程X 2+2X -13 = 0的近似根.（续表）活动■ ■ 实践 探究 交流 新知X-4.5 一 4.6-4.7 -4.8 -4.9 y -1.75 -1.04 -0.31 0.44 1.21X2.52.62.72.82.9y-1.75 一 1.04 —0.31 0.44 1.21让学生理解一元 二次方程ax 2 + bx+ c = h 的根就是二次函数y = ax 2 +bx + c 与直线y =h （h 是实数）图象交点的横坐标 这一代数原理，培 养学生熟练画函 数图象的能力，提 高运算的准确性 和熟练使用计算 器的能力.由于要 列表、取值计算、 描点，工作量较 大，教学中可以组 织学生在学习小 组内合作、分工来 完成，借此培养学 生的合作意识.图 2-5-29⑵你还能利用图2-5-30求一元二次方程X 2+2X -10 = 3的近似 根吗？（续表）【当堂检测】1. 课木P55随堂练习2. 课本 P57 习题 2.11 中 Tl 、T2、T3【板书设计】【教学反思】 ① ［授课流程反思］通过情景引入，让学生能够建立二次函数与一元二次方程之间的 联系，渗透数形结合的思想，而不仅仅是利用函数的图彖求一元 二次方程的近似解. ② ［讲授效果反思］在教学时，着重让学生动手画图、计算、估值、讨论，让他们有 学习数学成功的体验.教学中要相信学生，并为不同层次学生设 计、提供展示自己的机会，多给予肯定的评价. ③ 师生互动反思④ ［习题反思］ 好题题巧 错题题号活动 —■ 开放 训练 体现 应用A. 6<x<6.17B. 6.17<x<6.18C.6.18<x<6」9D. 6.19<x<6.20例2利用二次两数y=/+x —3的图象求一元二次方程x 2-Fx —3=0的近似根.【拓展提升】例3借助二次函数y=2x 2-3x-l 的图象，可求出下面哪个方 程的近似根（）A.x 24-5x —1 =0B. X 2+3X — 1 =0C.2X 2-3X + 5=6D. X 2+5X =0例4 一元二次方程X 2+7X +9 = 1的根与二次函数y=x?+7x+9的图彖冇什么关系？试把方程的根在图彖上表示出來.考査同学们是否理解了用图象法 求方程根的方法，能否快速准确的利用图象探求方程根的近似 值，观察他们是否能自觉利用化 归思想把复杂问题转化成简单情况进行解决.通过这两个题的解决，让学生找 寻不同的解题方法，培养学生的 分析能力，深刻体会数学思想的 多样性和灵活性.在一题多解的 过程中，贯彻分层教学的理念， 让学生在思维最活跃的时候，最 大化地提高学习能力.当堂检测，及时反馈学习效果.提纲挈领，重点突出.活动 四： 课堂 总结 反思反思，更进一步提升.【应用举例】例1根据下列农格中二次函数y=ax?+bx + c 的自变量x 与函 数值y 的对应值，判断方程ax?+bx + c=O （aHO, a, b, c 为常 数）的一个解x 的范围是（）。
22.2.2--利用函数的图象求一元二次方程近似根
1 利用二次函数的图象解一元二次方程
方程x2+2x-1=0的近似解还可以这样求: 分别画出函数y=x2和y=-2x+1的图象,如图, 它们的交点A、B的横坐标就是方程x2+2x-1=0 的根.
方程x2+2x－1＝0的实数根为 x1≈－2.4，x2≈0.1.
思考：利用二次函数的图象解一元二次方程的基 本步骤有些？ 1.画出函数的图象； 2.根据图象确定抛物线与x轴的交点分别在哪两个相邻的整数之间 3.估计实数的大小，从而确定方程的近似根.
步骤 方法一 直接作出二次函数y＝ax2＋ bx＋c的图象 先将一元二次方程变形为 ax2＝-bx－c，再在同一直 角坐标系中画出抛物线y＝ ax2和直线y＝-bx－c 结论
图象与x轴的交点的横坐 标就是一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝0的根
两图象的交点的横坐标 就是方程ax2＋bx＋c＝0 的根
方法二
部分，对应的函数值小于0；抛物线与x轴
的公共点，对应的函数值等于0.
1
抛物线y＝ax2＋bx＋ c(a<0)如图，则关 于x的不等式ax2＋bx ＋c>0的解集是( ) A．x<2 B ． x> － 3 C．－3<x<1 D．x<－3或x>1
2 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象．下 列结论：①二次三项式ax2 ＋bx＋c的最大值 为4；②4a＋2b＋c＜0； ③一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝1的两根之和为－1；④使y≤3成立 的x的取值范围是x≥0.其中正确的个数为 ( ) A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
第二十一章
21.3
二次函数
二次函数与一元二次方程
第2课时
例析利用二次函数的图象求一元二次方程的根
例析利用二次函数的图象求一元二次方程的根二次函数是一个常见的二次方程方程的图象，通过利用二次函数的图象可以求解一元二次方程的根。
一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a≠0。
首先，我们来分析二次函数的图象。
二次函数的标准形式为y =ax^2 + bx + c，其中a≠0，对应的图象是一个抛物线。
如果a>0，那么抛物线开口向上，最低点在y轴上方，如果a<0，那么抛物线开口向下，最低点在y轴下方。
我们可以通过观察二次函数的图象，抛物线与x轴相交的点就是一元二次方程的根。
根据图象的特点，我们可以得出下面的结论：1.如果二次函数图象与x轴有两个交点，那么一元二次方程有两个不同的实数根；2.如果二次函数图象与x轴有且只有一个交点，那么一元二次方程有一个实数根；3.如果二次函数图象与x轴没有交点，那么一元二次方程没有实数根。
接下来，我们以一个具体的例子来说明如何利用二次函数的图象求解一元二次方程的根。
例1：求解方程x^2-3x+2=0的根。
首先，我们将方程的系数与一元二次方程的一般形式对应起来，可以看出a=1，b=-3，c=2我们可以通过求解方程的判别式来判断该方程有几个实数根。
判别式的计算公式为D=b^2 - 4ac，其中D为判别式的值。
根据判别式的值可以得出以下结论：1.如果D>0，方程有两个不同的实数根；2.如果D=0，方程有一个实数根；3.如果D<0，方程没有实数根。
我们将系数代入计算判别式：D=(-3)^2-4*1*2=9-8=1根据判别式的结果，我们可以得知方程有两个不同的实数根。
接下来，我们可以画出二次函数的图象来求解方程的根。
首先，我们可以画出抛物线的大致形状。
由于判别式大于0，所以抛物线开口向上。
现在，我们需要找到抛物线与x轴的交点。
我们可以看出，抛物线与x轴的交点对应方程的根。
根据题意，我们需要求解方程的两个根，所以我们需要找到抛物线与x轴的两个交点。
例析利用二次函数的图象求一元二次方程的根
例析利用二次函数的图象求一元二次方程的根方程与函数是初中数学中的重要内容，方程与函数之间存在着密切的联系，二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即为相应的二次方程的解，课程标准要求我们能利用二次函数的图象求二次方程的近似解．本文举例说明，供同学们学习时参考．例1．(江西)已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．解析：因为二次方程220x x m -++=的根为二次函数22y x x m =-++的图象与x 轴交点横坐标．根据已知条件22y x x m =-++ ，可知抛物线的对称轴为直线1x =；根据图象可知抛物线与x 轴的一个交点的横坐标为3x =，所以利用抛物线的对称性知抛物线与x 轴的另一个交点横坐标为―1，因此，方程220x x m -++=的解为3和－1．本题利用抛物线的轴对称性求抛物线与轴的交点坐标，从而求出相应的一元二次方程的根．例2．(宁夏) 二次函数2(0y ax bx c a a b c =++≠，，，是常数)中，自变量x 与函数y 的对应值如下表： x 1-12- 0 12 1 32 2 52 3 y 2- 14- 1 74 2 74 1 14- 2-(1)判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标．(2)一元二次方程20(0ax bx c a a b c ++=≠，，，是常数)的两个根12x x ，的取值范围是下列选项中的哪一个 ．①12130222x x -<<<<， ②12151222x x -<<-<<，③12150222x x -<<<<， ④12131222x x -<<-<<， 解析：本题以表格的形式给出二次函数2y ax bx c =++的部分对应值，解题时可以选定三对值，求出二次函数解析式，再判断开口方向，求出顶点坐标．但这样去做计算量较大，观察表格的特征发现，与1x =等距离的x 对应的函数值相等，所以直线1x =是抛物线的对称轴，因此抛物线的顶点坐标为(1，2)；观察表格发现：当1x >时，y 随着x 的增大而减小，当1x <时，y 随着x 的增大而增大，所以抛物线的开口向下．(2)一元二次方程20(0ax bx c a a b c ++=≠，，，是常数)的根即为抛物线2y ax bx c =++与x 轴交点的横坐标，观察表格发现：12-与0之间一定有一个x 的值，使2y ax bx c =++＝0；2与52之间一定有一个x 的值，使2y ax bx c =++＝0，所以20ax bx c ++=的两根12x x ，的取值范围是12150222x x -<<<<，，故答案为③． 例3．(内江)已知函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++=的根的情况是( )A ．无实数根B ．有两个相等实数根C ．有两个异号实数根D ．有两个同号不等实数根解析：本题以图象的形式给出信息,要判断关于x 的方程220ax bx c +++=的根的情况，因为220ax bx c +++=可化为22ax bx c ++=-，即22y ax bx c =++=-，所以，方程220ax bx c +++=的根即为抛物线与直线y ＝－2的交点横坐标，作直线y=－2，观察图象可知直线与抛物线的交点在第四象限，因此交点横坐标都为正，故答案为D ．本题把方程的根转化为抛物线与直线的交点横坐标．例4．(贵阳)二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)写出方程20ax bx c ++=的两个根．(2)写出不等式20ax bx c ++>的解集．(3)写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．(4)若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围． 解析：本题以图象的形式给出信息,考查了二次函数、二次方程、二次不等式这三个二次之间的关系．(1)方程20ax bx c ++=的根即抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交点的横坐标，观察图象得方程20ax bx c ++=的两根为11x =，23x =；(2)不等式20ax bx c ++>的解集即抛物线2(0)y ax bx c a =++≠位于x 轴上方的那一段的x 的范围，观察图象得不等式20ax bx c ++>的解集为13x <<；(3)抛物线的增减性是以对称轴为界，抛物线的对称轴为2x =，结合图象得对称轴右边y 随x 的增大而减小，所以2x >；(4)方程2ax bx c k ++=的解为抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与直线y k =的交点，所以当2k <时，抛物线与直线有两个交点，即方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根的k 的取值范围是2k <．。
用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
用二次函数的图象求一元二次方程的近似解课标要求会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.中招考点用二次函数图象求一元二次方程的近似解．例1 阅读材料回答问题：有如下一道题：画图求方程22+-=x x 的解.两位同学的解法如下：甲：将方程22+-=x x 化为022=-+x x ，画出22-+=x x y 的图象，观察它与x 轴的交点，得出方程的解．乙：分别画出函数2x y =和2+-=x y 的图象，观察它们的交点， 把交点的横坐标作为方程的解．你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．归纳反思上面甲、乙两位同学的解法都是可行的，但乙的方法要来得简便，因为画抛物线远比画直线困难，所以只要事先画好一条抛物线2x y =的图象，再根据待解的方程，画出相应的直线，两线交点的横坐标即为方程的解．所以建议同学们以后尽量用乙的方法.例2利用函数的图象，求下列方程的解：（1）0322=-+x x ；（2）02522=+-x x ．解：（1）先把方程化成x 2=-2x+3.如图：在同一直角坐标系中分别画出函数2x y =和32+-=x y 的图象，得到它们的交点（-3，9）和（1，1），则方程0322=-+x x 的解为x=–3或x=1．（2）先把方程02522=+-x x 化为 01252=+-x x ，然后在同一直角坐标系中画出函数2x y =和125-=x y 的图象，如图，得到它们的交点（21，41）和（2，4）， 则方程02522=+-x x 的解为 21，2． 归纳反思一般地，求一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的近似解时，通常先把方程化成a c x a b x --=2的形式，然后在同一直角坐标系中分别画出y=x 2和ac x a b y --=两个函数的图象，得出交点，交点的横坐标即为方程的解．例3 利用函数的图象，求下列方程组的解： (1)213,22.y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（2）236,2.y x y x x =+⎧⎨=+⎩ 分析：（1）可以通过直接画出函数2321+-=x y 和2x y =的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解；（2）也可以同样解决．解：（1）在同一直角坐标系中画出函数2x y =和2321+-=x y 的图象，如图.得到它们的交点（23-，49）和（1，1）， 则方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=22321x y x y 的解为:12213,1,29 1..4x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩ （2）在同一直角坐标系中画出函数x x y 22+=和63+=x y 的图象，如图.得到它们的交点（-2，0）.（3，15），则方程组⎩⎨⎧+=+=x x y x y 2632的解为⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=153,022211y x y x ．思考：（2）中的抛物线画出来比较麻烦，你能想出更好的解决此题的方法吗？比如利用抛物线2x y =的图象，请尝试一下．强化练习1．已知二次函数432--=x x y 的图象如图，（1）则方程0432=--x x 的解是 ，（2）不等式0432>--x x 的解集是 ，（3）不等式0432<--x x 的解集是 ．2．利用函数的图象，求方程组22.y x y x =-+⎧⎨=⎩，的解.。
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
银川市第四中学互助小组作业设计
班级：小组：姓名：日期：
九年级数学（下）第二章第五节《二次函数与一元二次方程2》
一、学习目标：
1、利用二次函数的图象求一元二次方程近似解.
2、经历探索用二次函数图象求解一元二次方程近似解的过程，体会用二次函数函数图象求一元二次
方程解的方法.
3、通过图象，体会数与形的完美结合，体会解决问题的方法，培养学生合作交流的意识和探索精神.
二、知识回顾：
观察函数图象，完成填空：
1、（1）抛物线y =x2 + 2x - 3与x轴有个交点，
它们的横坐标是；
（2）方程x2+2x-3=0的根是。
2、（1）抛物线y =x2 - 4x + 4与x轴有个交点，
它们的横坐标是；
（2）方程x2 - 4x + 4=0的根是。
三、探索新知：
（1）观察y=x2+2x-10的图象，抛物线与x轴有个交点
(2)你能准确找出方程x2 +2x-10=0的根吗？
（3）由图象可知，方程x2 +2x-10=0有个根，一个根在
和之间，另一个根在和 . （填整数）
（4）估计方程x2+2x-10=0的近似根是。
（精确到0.1）（5）你能用一元二次方程求根公式验证一下，看是否有相同的结果。
四、拓展提高：
（1）请利用下图求x2+2x-10=3的近似根。
（2）你还能利用下图求一元二次方程 x2+2x-10=3的近似根吗？
∙x 3
–6
∙x + 4
y。
用二次函数的图像求解一元二次方程根的系数
二次函数根的分布问题的教学设计
摘要：一元二次方程的根与二次函数图像
的图像之间有着紧密的联系.在判断二次函数图像与轴有无交点常利用一元二次方程的根的情况来考察;反之，也可以从二次函数的图象的某些特征来考察一元二次方程的根的情况.本文对已知含参数的一元二次方程的根的分布进而求解参数的范围这一问题进行教学设计，并利用二次函数图像的特点求解该类问题.
关键词：二次函数图像，一元二次方程根的分布，教学设计
一.课程理念
新课程的目标要求提高数学的“提出问题”、“分析问题”和“解决问题”的能力，理解基本的数学概念的本质，了解概念产生的背景和应用.然而现实数学概念教学大量存在缺头少尾“烧中段”和支离破碎的现象，导致学生概念学习“雾里看花”，思维能力得不到良好开发.
本设计应用本人导师提出的“六何”认知有序结构，构建“从何”“是何”“变何”“与何”“如何”“有何”教学模式，以学法为主线，教导为辅线，问题为明线“三线合一”，交融贯通。
教给学生获得知识的方法，强化其问题意识和思维的自然连贯，使学生“知其所以然”，还要“知其何以然”.。
【学案】利用函数图象解一元二次方程
利用函数的图象解一元二次方程一、明确学习目标1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程 ,体会方程与函数之间的联系.2、经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程 ,获得用图象法求方程近似根的体验与方法.3、理解二次函数的图象和与横轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系 ,理解方程何时有两个不等实根、两个相等实根和没有实根.4、进一步开展学生的估算能力 ,体验数形结合思想.二、自主预习预习教材 ,自学 "思考〞与 "例题〞 ,理解二次函数与一元二次方程的关系 ,会判断抛物线与x 轴的交点情况 ,会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解 ,并尝试完成自主预习区 .三、合作探究活动1 小组交流讨论 ,归纳 ,填表 ,在此根底上教师小结 .要求①二次函数与一元二次方程之间的关系要求②：抛物线与x 轴的交点个数同一元二次方程的根的情况之间的关系活动2 反响练习①观察图中的抛物线与x 轴的交点情况 ,你能得出相应方程的根吗 ?方程022=-+x x 的根是____________；方程0962=+-x x 的根是___________；方程012=+-x x 的根是____________；②如以下图 ,你能直观看出哪些方程的根 ?教师点拨：此题充分表达二次函数与一元二次方程之间的关系 ,即函数322++-=x x y 中 ,y 为某一确定值m (如4、3、0 )时 ,相应x 值是方程)034(322、、m m x x ==++-的根.③抛物线c bx ax y ++=2如以下图 ,那么关于x 的方程032=-++c bx ax 的根是_______________.教师点拨：此题解法较多 ,但是根据图象来解是最|||简单的方法.活动3 新知应用例1 二次函数12)14(222-++-=k x k x y 的图象与x 轴交于两点 ,求k 的取值范围.教师点拨：根据交点的个数来确定ac b 42-的正、负是解题的关键 ,并熟悉它们之间的对应关系.活动4 自学教材 ,例题总结 ,用图象法求相应一元二次方程的近似根.四、当堂检测(1 )根底练习(2 )提升练习1、抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的公共点是 (－1 ,0 )、 (3 ,0 ) ,求抛物线的对称轴.2、画出函数322--=x x y 的图象 ,根据图象答复：①方程0322=--x x 的解是什么 ?②x 取什么值时 ,函数值大于0；x 取什么值时 ,函数值小于0 ?3、用函数的图象求以下方程的解：①0232=+-x x ②0962=---x x③022=++x x ④0212=--x x 4、抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交于点C ,与x 轴交于点A (x 1 ,0 )、B (x 2 ,0 ))(21x x < ,顶点M 的纵坐标为－4 ,假设x 1 ,x 2是方程07)1(222=-+--m x m x 的两个根 ,且.102221=+x x①求A 、B 两点的坐标；②求抛物线的关系式及点C 的坐标；③在抛物线上是否存在点P ,使△ABP 的面积等于四边形ACMB 面积的2倍 ?假设存在 ,求出所有符合条件的点的坐标；假设不存在 ,请说明理由.五、拓展提升如图 ,抛物线)0(2≠+=a bx ax y 经过A (3 ,0 )、B (4 ,4 )两点.(1 )求抛物线的解析式；(2 )将直线OB 向下平移m 个单位长度后 ,得到的直线与抛物线只有一个公共点D ,求m 的值及点D 的坐标.六、课后作业一、选择题1、二次函数c bx ax y ++=2的图象如以下图 ,那么以下关系式错误的选项是 ( )A 、0>aB 、0<cC 、042>-ac bD 、0>++c b a 第1题图 第3题图 第5题图2、二次函数22)(2c b ax x y ++-= ,其中a 、b 、c 是△ABC 的边长 ,那么函数与x 轴交点情况是 ( )A 、无交点B 、有一个交点C 、有两个交点D 、交点个数无法确定3、二次函数bx ax y +=2的图象如图 ,假设一元二次方程02=++m bx ax 有实数根 ,那么m 的最|||大值为 ( )A 、－3B 、3C 、－6D 、94、二次函数)(32为常数m m x x y +-=的图象与x 轴的一个交点为 (1 ,0 ) ,那么关于x 的一元二次方程032=+-m x x 的两实数根是 ( )A 、x 1 =1, x 2 =－1B 、x 1 =1, x 2 =2C 、x 1 =1, x 2 =0D 、x 1=1, x 2 =3二、填空题5、二次函数c bx ax y ++=2的图象如以下图 ,那么A (ac b 42- ,a b - )在第_______象限.6、二次函数c bx ax y ++=2中 ,自变量x 与函数y 的对应值如下表：(1 )二次函数图象的开口方向是__________ ,它的顶点坐标是________.(2 )一元二次方程),,,0(02是常数c b a a c bx ax ≠=++的两个根x 1, x 2的取值范围是______(填序号). ①223,02121<<<<-x x ；②252,21121<<-<<-x x ； ③252,02121<<<<-x x ；④223,21121<<-<<-x x . 三、解答题7、函数)(162是常数m x mx y +-=.(1 )求证：不管m 为何值 ,该函数的图象都经过y 轴上的一个定点；(2 )假设该函数的图象与x 轴只有一个交点 ,求m 的值教学反思1 、要主动学习、虚心请教 ,不得偷懒 . 老老实实做 "徒弟〞 ,认认真真学经验 ,扎扎实实搞教研 .2 、要 勤于记录 ,善于 总结、扬长避短 . 记录的过程是个学习积累的过程 , 总结的过程就是一个自我提高的过程 .通过总结 , 要经常反思 自己的优点与缺点 ,从而取长补短 ,不断进步、不断完善 .3 、要突破创新、富有个性 ,倾心投入 . 要多听课、多思考、多改良 ,要正确处理好模仿 与开展的关系 ,对指导教师的工作不能照搬照抄 ,要学会扬弃 ,在 原有的 根底上 ,根据自身条件创造性实施教育教学 ,逐步形成自己的教学思路、教学特色和教学风格 , 弘扬工匠精神 , 努力追求自身教学的高品位 .。
新苏科版九年级数学下册《利用图像求一元二次方程的近似根》教案_30
课题：利用图像求一元二次方程的近似根【教学目标】1、会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根；2、经历由图像求方程近似根的探索活动，感受数学中“无限逼近”的重要思想方法，进一步利用计算器进行估算的能力；3、通过独立思考、合作探究，体会数形结合的数学思想．【教学重点】利用二次函数y=ax2+bx+c的图像求一元二次方程ax2+bx+c=0的近似根．【教学难点】如何逐步缩小根的范围求方程的近似根．【教学方法与教学手段】本节课通过“预学单”引导学生课前自主学习，课堂先根据“预学单”反馈的情况开展教学活动，经历“个人思考---组内讨论---教师引导---学生归纳---教师总结”的过程，利用二次函数y=x2-2的图像求出方程x2-2=0介于1～2之间的近似根，然后让学生自主探究“如何利用函数y=x2+2x-5的图像求方程x2+2x-5=0介于1～2之间的近似根”，再运用所积累的经验在教师的引导下提出问题并解决问题。
本节课主要通过小组交流讨论及师生对话的互动方式开展活动，在探索的过程中体验数学中“无限逼近”的重要思想和方法，进一步提高“数形结合”探讨问题的研究能力和借助计算器进行估算的方法与能力。
【教学流程】一、预学导入1、我们曾经求过2的近似值，你还记得是怎么求的吗？【设计意图】回顾逼近法求近似值的过程，为本节课的学习做好准备．2、观察二次函数y=x2－1的图像，你可以得到哪些结论？【设计意图】回顾已学知识，重点关注函数与方程的关系，本题利用函数图像能直接看出对应方程的根，为引出下面一个不能直接看出方程根的问题作准备．二、探索活动活动一、利用二次函数y=x2－2的图像求方程x2－2=0介于1～2之间的根的近似值（精确到0.1）．【设计意图】本题利用函数图像不能直接看出对应方程的根，但可以看出根的范围，那么能否进一步缩小根的范围，使得结果更为精确呢？借此引入课题．然后引导学生利用二次函数y=x2-2的图像求方程x2-2=0介于1～2之间的根的近似值．∙x 5活动二、利用二次函数y=x 2＋2x －5的图像，借助计算器，探索方程x 2＋2x －5=0介于1～2之间的根的近似值（精确到0.1）． 【设计意图】独立思考，再小组交流讨论的方式解决问题，进一步加深对求方程近似根的过程和方法的理解．活动三、组内成员合作写出一个“陌生”方程，并探讨如何利用函数图像求它的近似根．【设计意图】本节课内容的升华，学生自己设计方程，自己思考如何利用函数图像求方程的近似根，一方面检测学生是否掌握了前面的方法，另一方面寻求同一方程的不同解法，进一步理解函数与方程的关系以及逼近法求方程近似根的过程．三、小结思考【设计意图】让学生谈谈本节课的学习内容，教师再对学生的观点进行总结和提升，同时启发学生反思．四、课后练习利用二次函数图像，借助计算器求方程x 2＋x －3=0的根的近似值（精确到0.1）.【设计意图】课后练习巩固．。
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利用函数的图象求一元二次方程近似根
YKK standardization office【 YKK5AB- YKK08- YKK2C- YKK18】
二次函数与一元二次方程（第二课时）
实验中学-余志高
一、教材分析：
《利用二次函数的图像解一元二次方程》选自义务教育课程教科书《数学》（沪科版）九年级上册第21章第3节，这节课是在学生学习了二次函数与一元二次方程的关系，知道二次函数的图像与x 轴交点个数的不同对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况下继续经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验及了解一元二次不等式的解集.．这也突出了课标的要求：注重数形结合。
二、教学目标
【知识与技能】
掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程
ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解以及一元二次不等式的解集
.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验．
【过程与方法】
经历探究二次函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程,体会函数、方程、不等式之间的联系.
利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想．
【情感、态度与价值观】
进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神. 重点难点
【重点】
用函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集.
【难点】
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
【教学方法】
学生合作交流学习法
三、教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
[师]上节课我们学习了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系，懂得了二次函数图象与x 轴交点的横坐标，就是y＝0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可．但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算．本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根．
Ⅱ．讲授新课
【例】用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的近似解(精确到.
解:画出函数y=x2+2x-1的图象,如图.
由图象可知,方程有两个实数根,一个在-3和-2之间,另一个在0和1之间.
先求位于-3和-2之间的根.由图象可估计这个根是或,利用计算器进行探索,见下表:
x ……
y ……
观察上表可以发现,当x分别取和时,对应的y由正变负,可见在与之间肯定有一个x使y=0,即有方程x2+2x-1=0的一个根.题目只要求精确到,这时取x=或x=作
为根都符合要求.但当x=时,y=比y=(x=更接近0,故选x=.
同理,可求出方程x2+2x-1=0在0和1之间精确到的另一个根.
方程x2+2x-1=0的近似解还可以这样求:分别画出函数y=x2和y=-2x+1的图象,如
图,它们的交点A、B的横坐标就是方程x2+2x-1=0的根.
函数图象求一元二次不等式的解集.：
画出函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图象，不等式ax2+bx+c>0的解集为图象在x轴上方的点所对应的x值所组成的集合，不等式ax2+bx+c<0的解集为图象在x轴下方的点所对应的x值所组成的集合.如下表：
ax2+bx+c>0(a>0)的解集是x<x1或x>x2
ax2+bx+c<0(a>0)的解集是x1<x<x2
ax2+bx+c>0(a<0)的解集是x1<x<x2
ax2+bx+c<0(a<0)的解集是x<x1或x>x2
Ⅲ．课堂练习
P34随堂练习
Ⅳ．课时小结
本节课学习的内容：
1．经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的联系；
2．经历了用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得了用图象法求方程近似根的体验．
3．了解一元二次方程不等式的解集可由二次函数图象直接得出结论。
Ⅴ．课后作业
习题p33（4）p34(2)。