一次同余式与孙子定理

一次同余式与孙子定理 知识扫描：

1：本节将讨论一次同余方程和由此引申出的重要定理——孙子定理，首先介绍若干概念。 设整系数多项式()10,n n f x a x a x a =+

++若有整数c ，满足

()()()1212120mod ,mod .(),,f c m c x c m x c c c c c m c c ≡≡则称是满足同余方程的解，记作注：这是因为除以余的数都满足这样方程。当且仅当都是方程的解，且与模不同余时，我们称是方程的两个不同解。一般情况，我们说同余方程的解数，即指模m 两两不同余的解的个数。

2：最简单的同余方程是一次同余方程

()()()()()()()()()

()()mod ,.,/(,/,,,1,,/,,,,mod )ax b m m a a m b a m a m b a m a m a m a m

p q b p q b b a m b a m a m a m a m ax b m ≡+=⇒+=≡同余方程有解的充要条件是注：必要性，若有解，则b 可用a,x 的式子表达，所以；充分性，互素

则可知

因为，则可知有解。

Œ

()()()()()()()001

,1,1mod ,1mod ,mod ,,1i i i i m a m a m x m ax m x ax a b m a a a m x a

b m a m -==='≡≡'≡≡=特别地，在时，同余方程必有解。事实上：，遍历模的一组完系时，也遍历模的一组完系。因此，有且仅有一个r 使得r 即同余方程至多有一个解。进一步，一定存在使得于是即为时，同余方程的解。

j

()()()()()()11122211223.1,,0mod 0mod 0mod mod mod mod i i i k

k k k k k a b m a x b m a x b m a x b m x c m x c m x c m >+≡⎧⎪

+≡⎪⎨⎪

⎪+≡⎩≡⎧⎪

≡⎪⎨⎪

⎪≡⎩

设是整数，是正整数，i=1,2,,k,则称下面这k 个同余式

为一次同余方程式组，显然，其中若有一个同余方程无解。则方程组无解。当其中每个同余方程都有解时，可将求解转化为求若干个下述方程的解。为了讨论上式的本质，我们先来看k=2的情况。

()()()()()()()()()()()(

)

()()()()()1

2

121212121121

2

112121

2

1

21212111212121112121.mod ,m i j ij i j ij m m m x m x m x m x m x x m m x m x m m m m m m m x m x x m x m m x m x x m x ==+=+==+≡++≡+定理：设是模的完全剩余系，是模的完全剩余系，则

x 是模的完全剩余系。（即，分别遍历模，模的完全剩余系时，x 遍历模的完全剩余系。）

证明：此时x 共有个数，因而只需证明它们对两两不同余。

若则()

()()()()()()()()()()()()11112122212111212212121

121121od =mod =1=1m x x x m x x m x m x x m m m m m x m m x m +≡+=则，同时，则，定理得证！

定理刻画了完系的某种结构，表明大模的完系，可以表示为两个较小的模的完系的“组合”。同时我们应注意到，，，遍历模的完系时

也遍历模的完系（这个性质非常常用并且有用）

()()()()()()()()()()()()121212121

2

21121212

1

2

1

2

1212122,,1,,3,,1,ij k k j j k

k

k k m m m m m x x m m x m x m x m m m m m m m m m m m M j k x M x M x M x x x x m m m x m m m m ===+==≤≤=++

+=定理：设分别遍历模，的完全剩余系，则遍历模的完全剩余系。进一步分析，我们可以得到一般

情形的刻画。定理：设两两既约，再设及

那么当，，，分别遍历模，，，

的完全剩余系时，遍历模()()()()()()()111

1

1111111

12..()2k n n n n n n n n n n n n n n n k m

m

x x m m m m m m m x m x m x m m m m k ++++++++++==++

=+

=的完全剩余系。证明：时，即定理2

设k=n 时定理成立。当k=n+1时，记x 我们有x 注：与互素，x 遍历的完系，遍历模的完系由当时上式成立，命题得证！。

定理4：孙子定理（中国剩余定理）

()

()()()()()()

121122111111222112

,,,mod mod mod mod ,

,1,1mod 1k k k k k k k j j j j j m m m x c m x c m x c m x M M c M M c M M c m m m m m m m M j k M M m j k ----≡⎧⎪

≡⎪⎨⎪

⎪≡⎩

≡++==≤≤≡≤≤设是两两既约的正整数，那么同余方程：

的解是这里

孙子定理依旧刻画的是剩余系的结构，请读者将其与定理3进行对比，可以看出，孙子定理是着重刻画一组已定下的较小模的剩余类与一个较大的模的某个剩余类间的关系。中国剩余定理在做题时的指导在于它能断定同余方程组的模两两互素时，一定有解。甚至有些时候，我们并不关心解的是什么，而关注是否有解，怎样使其有解。

例题分析

例1：解同余方程组