2019-2020学年上海市复旦附中高一(上)期末数学试卷(有答案解析)

2019-2020学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）

1.若命题甲：，命题乙：，则命题甲是命题乙的

A. 充分非必要条件

B. 必要非充分条件

C. 充要条件

D. 非充分也非必要条件

2.下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是

A. B. C. D.

3.设函数的定义域为R，有下列三个命题：

若存在常数M，使得对任意，有，则M是函数的最大值；

若存在，使得对任意，且，有，则是函数的最大值；

若存在，使得对任意，有，则是函数的最大值．这些命题中，真命题的个数是

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

4.已知函数，记集合，集合

，若，且都不是空集，则的取值范围是

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）

5.函数的定义域为______．

6.函数的反函数为______．

7.已知，试用a表示______．

8.幂函数为偶函数，且在上是减函数，则

______．

9.函数的递增区间为______．

10.方程的解是______．

11.已知关于x的方程有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数

k的取值范围为______．

12.若函数且的值域是，则实数a的取值范围是

______．

13.已知的反函数为，当时，函数的最

大值为M，最小值为m，则______．

14.对于函数，若对于任意的a，b，，，，为某一三角形的三边长，则

称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是______．

15.若关于x的方程在内恰有三个相异实根，则实数m的取值范

围为______ ．

16.已知函数，，若对任意的，

，均有，则实数k的取值范围是______．

三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

17.已知函数．

若，解方程：；

若在上存在零点，求实数a的取值范围．

18.已知函数的图象关于原点对称，其中a为常数．

求a的值；

设集合，，若，求实数m的取值范围．

19.近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今

的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器百台，其总成本为

万元，其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元总成本固定成本生产成本销售收入万元满足，假定该产品产

销平衡即生产的产品都能卖掉，根据以述统计规律，请完成下列问题：

求利润函数的解析式利润销售收入总成本；

工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？

20.若函数满足：对于其定义域D内的任何一个自变量，都有函数值，则称函数

在D上封闭．

若下列函数的定义域为，试判断其中哪些在D上封闭，并说明理由．，．

若函数的定义域为，是否存在实数a，使得在其定义域上封

闭？若存在，求出所有a的值，并给出证明：若不存在，请说明理由．

已知函数在其定义域D上封闭，且单调递增．若且，求证：．

21.已知函数，其中．

若，解不等式；

设，，若对任意的，函数在区间上的最大值和

最小值的差不超过1，求实数a的取值范围；

已知函数存在反函数，其反函数记为，若关于x的不等式

在上恒成立，求实数a的取值范围．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：A

解析：解：若命题甲：，命题乙：，

若命题甲：，则，，

则命题甲：，能推出命题乙：，成立；

若命题乙：，则，所以或，即或；命题乙：，不能推出命题甲：成立，

根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断．

命题甲是命题乙的充分非必要条件；

故选：A．

根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．2.答案：D

解析：解：函数为偶函数，当时，，为减函数，不满足条件．

B.函数为偶函数，当时，为减函数，不满足条件．

C.函数的定义域为，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，不满足条件．

D.函数为偶函数且在区间上为增函数，满足条件

故选：D．

根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．

本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合常见函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．比较基础．

3.答案：C

解析：解：错．原因：M不一定是函数值，可能“”不能取到．

因为函数最大值的定义是存在一个函数值大于其它所有的函数值，则此函数值是函数的最大值

所以对

故选：C．

利用函数最大值的定义是存在一个函数值大于其它所有的函数值，则此函数值是函数的最大值判断出各命题的真假．

本题考查函数的最大值的定义并利用最值的定义判断命题的真假．

4.答案：A

解析：解：设，

，

，

即，

故；

故，

，

当时，成立；

当时，0，不是的根，

故，

解得：；

综上所述，；

故选：A．

由可得，从而求得；从而化简

，从而讨论求得

本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档题

5.答案：

解析：解：由，得．

函数的定义域为．

故答案为：．

由对数式的真数大于0求解x的范围得答案．

本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．

6.答案：

解析：解：由，得，，

x，y互换得：，

函数的反函数为，

故答案为：．

由原函数求得x，把x，y互换求得原函数的反函数．

本题考查函数的反函数的求法，注意反函数的定义域为原函数的值域，是基础题．

7.答案：

解析：解：，

故答案为：．

利用换底公式以及对数的运算性质即可求解．

本题主要考查了对数的运算性质以及换底公式，是基础题．

8.答案：3

解析：解：幂函数，在上是减函数，

，且，