基本不等式求最值问题专题

基本不等式求最值问题的七种常用方法导引 基本不等式是高中数学中一个重要知识点，在全国各地的高考考纲中都属于C 级要求，即熟练掌握要求.高考经常考查运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.试题既能考查同学们的“四基”即基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，还能考查同学们的逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养. 知识梳理： 已知x ≥0，y ≥0，则

(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小).

(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 2

4(简

记：和定积最大).

方法一、（2020学年）常规配凑法

在利用均值不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法等.

例1.（1）已知242=+b a （a,b ∈R ）,则a+2b 的最大值为____0____

（2）. 已知实数x,y 满足116

22

=+y x ，则2

2y x +的最大值为__94______

（3）.设x>0,y>0,x+2y=5,则√xy

的最小值为 .

答案 4√3

（4）已知实数若x 、y 满足0x y >≥，则42x y x y

x y x y

++++-的最小值是______． 【答案】5

【解析】0x y >≥，所以0x y x y +>->，()()423x y x y x y +=++-，

()()

335342x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y y x ++-++++=+=-+++≥=+-+-+-当且仅当x y x y -=+时，即当0y =时，等号成立. 因此，42x y

x y

x y x y ++++-的最小值为5.故答案为：5. 方法二、消元法

消元法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！

例2..（2021学年） 若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜12，则3x ＋1y －3的最小值为________． 【答案】 8

【解析】解法1因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x －3(y ＞3)，

所以3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1

y －3

＋6≥2

(y －3)·1

y －3

＋

6＝8，当且仅当y －3＝1y －3，即y ＝4时取等号，此时x ＝37，所以3

x ＋

1

y －3

的最小值为8. 解法2因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝ ⎛⎭

⎪⎫0＜x ＜12，所以y ＝3

x －3(y ＞3)，

y －3＝3

x －6＞0，

所以3x ＋1y －3＝3x ＋13

x －6＝3x －6＋13x －6

＋6≥2

⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －6·1

3

x －6

＋6＝8，当且仅当3x －6＝13x －6，即x ＝37时取等号，此时y ＝4，所以3x ＋

1

y －3

的最小值为8. 例3.若0,0a b >>，且11

121

a

b b =+++，则2a b +的最小值为． 【解析】由已知等式得2

22122a b ab a b b ++=+++，从而21

2b b a b

-+=，

21222b b a b b b -++=

+1312

22b b =+

+1

2

≥+=

方法三、双换元

若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系 例4.若0,0a b >>，且11

121

a

b b =+++，则2a b +的最小值为． 【解析】12,2

11

m n a b m a b n b n --⎧+==⎧⎪

⎨⎨+=⎩⎪=-⎩解得 所以

111,m n +=332222m n a

b +=+-， 因为33113()()22222222m n m n m n m n n m

+=++=++≥+

所以332222m n a b +=

+-≥ 例5.已知实数x ，y 满足x >y >0，且x ＋y ≤2，则2x ＋3y ＋1

x －y 的最小

值为________． 【答案】3＋22

4

【解析】设⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＋3y ＝m ，

x －y ＝n .解得

⎩⎨⎧

x ＝m ＋3n 4，

y ＝m －n 4.

所以x ＋y ＝m ＋n

2≤2，

即m ＋n ≤4.设t ＝2x ＋3y ＋1x －y

＝2m ＋1

n ，所以4t ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1n (m ＋n )＝3＋

2n m ＋m n ≥3＋2 2.即t ≥3＋224，当且仅当2n m ＝m

n ，即m ＝2n 时取等号．

例6．若正实数x y 、满足1x y +=，则22

21

x y

x y +++的最小值是（ ） A ．18

B ．14

C ．12

D ．1

【答案】B 【解析】

设x 2s +=，y 1t +=，则s t x y 34+=++=，

所以

2221x y x y +=++22(2)(1)4142s t s t s t s t --⎛⎫⎛⎫

+=-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4141()62s t s t s t ⎛⎫⎛⎫

=+++-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，

因为41

141

149

()5444t

s

s t s t s t s t ⎛⎫⎛⎫

+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，当且仅当2,1s t ==时取等号.