北师大版高中数学必修5等差数列教案

第二节等差数列

（一）等差数列

【教学目标】

1.知识与技能

（1）理解等差数列的定义，能够应用定义判断一个数列是否为等差数列，并确定等差数列的公差；

（2）能运用等差数列的通项公式解决相关问题．

2.过程与方法

通过对等差数列概念和通项公式的探究，培养学生观察、归纳、类比、猜想、推理等发现规律的一般方法。

3.情感、态度与价值观

通过对等差数列概念和通项公式的探究，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好学习习惯。

【教学重难点】

重点：等差数列概念和通项公式的探究及等差数列通项公式的运用。

难点：等差数列通项公式的探究及其运用。

【教学过程】

一、课前预习指导：

仔细阅读课本，完成以下预习检测

1．观察下面几组数列：

(1)3,4,5,6,7，…； (2)6,3,0，－3，－6，…；

(3)1.1,2.2,3.3,4.4,5.5，…； (4)－1，－1，－1，－1，－1，….

回答这几组数列的共同特点是________________________________．

2.判断下列数列是否为等差数列，如果是，指出首项a1和公差d；如果不是，

请说明理由．

(1)4,7,10,13,16，…； (2)31,25,19,13,7，…；

(3)0,0,0,0,0，…； (4)a，a－b，a－2b，…；

(5)1,2,5,8,11，….

二、新课学习

问题探究一等差数列的概念

例1判断下列数列是否为等差数列.

（1）a n＝2n－1 （2）a n＝（－1）

问题探究二等差数列的通项公式

例2 已知等差数列｛a n｝，a=1，d= 2，求通项a n.

思考：如果等差数列{a n}的首项是a1，公差是d，你能用两种方法求其通项吗？例3 （1）求等差数列9,5,1，…的第10项；

（2）已知等差数列{a n}，a n = 4n-3,求首项a1和公差d.

例4已知在等差数列{a n}中，a5＝-20，a20＝-35，求它的通项公式。

学后检测1若{a n}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.

学后检测2 已知{a n}为等差数列，a3＝5，a7＝13，求它的通项公式．

问题探究三等差数列与一次函数的联系

根据上述对比可知公差d的几何意义是等差数列的图像上任意两点(n，a n)、(m，a

)连线的斜率，即d＝ .所以当d ＞0时,{a n}是数列；当d ＜m

0时, {a n}为数列；当d＝0时，{a n}为数列．

例5 已知（1，1），（3,5）是等差数列{a n}图像上的两点.

（1）求这个数列的通项公式；

（2）画出这个数列的图像；

（3）判断这个数列的单调性.

学后检测 3四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．

问题探究四等差中项

1 如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫作x和y的等差中项，试用x，y表示A.

2 已知A，B，C是△ABC的三个内角，且B是A、C的等差中项，求角B的大小．

学后检测 4 梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．

【课堂小结】

1. 理解等差数列的定义，能够应用定义判断一个数列是否为等差数列，并确定等差数列的公差；

2. 能运用等差数列的通项公式解决相关问题．

（二）等差数列的前n项和

【教学目标】

1.知识与技能

(1)理解等差数列前n项和公式的推导过程．

(2)熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，a n，S n的关系，能够由其中三个求另外两个．

(3)掌握等差数列前n项和公式及性质的应用.

2.过程与方法

通过对等差数列概念和通项公式的探究，培养学生观察、归纳、类比、猜想、推理等发现规律的一般方法。

3.情感、态度与价值观

通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。

【教学重难点】

重点：熟练掌握等差数列的求和公式。

难点：灵活应用求和公式解决问题。

【教学过程】

一、课前预习指导：仔细阅读课本第15页内容，完成以下预习检测

1、求和：1＋2＋3＋…＋100＝？

2、请你利用“高斯的算法”求1＋2＋3＋…＋n＝？

二、新课学习

问题探究一等差数列前n项和公式的推导

1、设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，你能利用“倒序相加法”

求等差数列{a n}的前n项和S n吗？

2、关于等差数列前n项和公式的推导，你还能设计出怎样的方案？

例1 在等差数列{a n}中，已知d＝2，a n＝11，S n＝35，求a1和n.

学后检测1 已知等差数列{a n}的前3项依次为a,4,3a，前k项和S k＝2550，求a及k.

问题探究二等差数列前n项和的性质

1、设{a n}是等差数列，公差为d，S n是前n项和，

易知a1＋a2＋…＋a m，a m＋1＋a m＋2＋…＋a2m，a2m＋1＋a2m＋2＋…＋a3m也成等差数列，公差为 .上述性质可以用前n项和符号S n表述为：若{a n}成等差数列，则S m，，也成等差数列．

2、设S n、T n分别为两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和，证明：a

n

b

n

＝

S

2n－1

T

2n－1

3、若数列{a n}是公差为d的等差数列，求证：数列{S

n

n

}也是等差数列

例2在数列{ a n}中，a n＝2n+3,求这个数列自第100项到第200项之和S的值。学后检测2 等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{a n}的前3m项的和S3m；

例3 在新城大道一侧A处，运来20颗新树苗。一名工人从A处起沿大道一侧路边每隔10m载一棵树苗，这名工人每次只能运一棵。要载完这20棵树苗，并返回A处，植树工人共走了多少路程？

【课堂小结】

1.理解等差数列前n项和公式的推导过程．

2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，a n，S n的关系，能够由其中三个求另外两个．

3.掌握等差数列前n项和公式及性质的应用.