应用多元统计分析讲稿(朱建平)
应用多元统计分析课程设计--各地区农村住房问题分析
课程设计任务书摘要随着经济的飞速发展，居民的住房问题日益突出，就各地区农村居民的住房情况进行调查，为了更好的将我们学过的知识运用到实际中所以我们可以运用学过的应用多元统计分析和SPSS软件对各地区农村居民住房进行因子分析。
关键词：住房问题，因子分析目录1．设计问题 (1)2．设计原理 (1)3．设计分析 (1)4．设计结果 (3)5．设计总结 (8)参考文献 (8)1．设计问题随着我国社会经济的发展，人口的增多，居民的住房问题逐渐凸现出来，就我国各地区的农村居民住房问题的研究来说明各地区的经济发展和农村人口数等关系？2．设计原理因子分析根据变量之间相关性的大小，对变量进行分组，使得组内的变量之间相关性较高，而组间变量的相关性较低。
每组变量代表一个基本结构，即公共因子。
从而将众多变量转换为少数几个公共因子。
计算样本在各个公共因子上的得分，可以挖掘出样本的问题所在。
通过计算样本的加权公共因子得分，可以对样本进行综合评价。
因子分析的一般模型如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++=++++=++++=p m pm p p p m m m m F a F a F a X F a F a F a X F a F a F a X εεε 2211222221211112121111 （1） 一般而言，m 远少于p ，m 的选取一般根据相关系数矩阵特征根大于1的个数来确定。
其中因子分析的出发点是相关系数矩阵，上述因子载荷系数ij a 可以基于主成分法、主轴因子法、极大似然法、综合最小平方法或a 因子法等方法进行估计。
通过回归法或Bartlett 法等建立公共因子与原始变量的线性组合，从而求得各因子的得分。
3．设计分析1.在spss 中输入数据，如下图：表_3.1 各地区农村居民家庭住房情况 (2011年)河北34.11 684.38 9.66 22.96 山西29.92 547.44 7.30 18.95 内蒙古24.25 479.53 1.23 16.72辽宁28.86 813.82 6.61 21.70 吉林24.44 585.09 0.16 22.72 黑龙江24.82 813.15 0.82 20.38上海58.90 2372.36 21.91 36.97 江苏49.34 833.19 26.20 23.00 浙江61.38 1280.05 43.04 16.87 安徽34.59 591.84 20.13 13.95 福建49.82 791.05 36.42 10.32 江西46.02 469.12 37.03 7.29 山东36.31 552.19 11.19 24.45河南36.45 493.11 19.29 16.61 湖北44.24 538.02 24.90 15.00 湖南46.40 431.89 20.71 23.89 广东30.73 832.44 23.75 4.75 广西34.90 454.41 27.57 5.52 海南24.22 842.09 11.07 13.07重庆39.73 454.11 18.54 17.06 四川37.71 489.55 16.65 14.62 贵州29.41 519.81 10.79 14.70 云南30.88 573.20 8.80 7.09 西藏28.47 314.52 0.76 14.07陕西35.76 613.65 17.83 11.04 甘肃23.65 537.26 4.12 9.302.再打开分析菜单找出因子分析，如下图：在spss中的分析菜单中找到因子分析，并将住房价值，住房面积，住房结构（混泥土结构，木质结构）设为变量。
应用多元统计分析 朱建平
n
( Xi - μ)( Xi - μ) 2n( X μ)(X μ) n( X μ)(X μ)
i 1 n
n
( Xi - μ)( Xi - μ) n( X μ)(X μ)
i 1
E(
S 1 n ) E ( Xi - μ)( Xi - μ) n( X μ)(X μ) n 1 n 1 i 1 1 n E ( Xi - μ)( Xi - μ) nE ( X μ)(X μ) Σ 。 n 1 i 1
i i
方法 2： S
n
(X - X)(X - X)
i 1
Xi - μ ( X μ) Xi - μ ( X μ)
i 1 n
( Xi - μ)( Xi - μ) 2 ( Xi - μ)( X - μ) n( X μ)(Xμ Xμ)
b
(c d )(b a ) 36 cov( x1 , x2 )
xx
1
2
1 3
（3）解：判断 X 1 和 X 2 是否相互独立。
X 1 和 X 2 由于 f ( x1 , x2 ) f x1 ( x1 ) f x2 ( x2 ) ，所以不独立。
2.4 设 X ( X 1 , X 2 , X p ) 服从正态分布，已知其协方差矩阵为对角阵，证明其分量是相
故
S 为 Σ 的无偏估计。 n 1
试求 S 2.9.设 X (1) , X (2) , ..., X ( n ) 是从多元正态分布 X ~ N p (μ, Σ) 抽出的一个简单随机样本， 的分布。 证明： 设
《应用多元统计分析》课件
介绍数据采集的方法和技术，以及如何对采集到的数据进行处理和整理。
缺失值处理
探讨处理数据中出现的缺失值的方法和策略，确保分析结果的准确性。
异常值检测与处理
介绍异常值的概念和检测方法，并提供处理异常值的实践指南。
学习目标和预期结果
明确学员的学习目标和预期结果，为学习过程提供指导和动力。
多元统计分析方法
1
目的和应用领域
2
探讨多元统计分析方法的目的和实际
应用领域，帮助学员理解其实际意义。
3
不同类型的多元统计分析方法
介绍多元统计分析方法的分类和不同 类型，包括主成分分析、因子分析、 聚类分析等。
常用的多元统计模型和技术
详细讲解多元统计分析结果的统计和分析方 法，帮助学员理解结果的含义和解读方式。
报告撰写与演示技巧
提供撰写数据分析报告和演示的技巧和方法， 以便学员能够清晰地传达分析结果。
《应用多元统计分析》 PPT课件
本课程旨在介绍多元统计分析的应用方法和技术，帮助学员掌握数据准备、 多元统计分析实践和结果解读等关键环节，进一步提升数据分析能力。
课程介绍
课程背景和目标
探索多元统计分析方法的应用领域和优势，了解在不同场景下的使用情况。
授课内容概览
介绍多元统计分析的主要内容和技术，帮助学员建立整体的学习框架。
多元统计分析实践
1
主要分析技术与方法
2
深入介绍多元统计分析的主要技术和
方法，如聚类分析、判别分析和因子
分析等。
3
数据分析流程
介绍多元统计分析的常见流程和步骤， 帮助学员掌握分析的整体框架。
案例研究与应用举例
应用多元统计分析习题解答_朱建平_第八章
Abbo无私奉献，只收1个金币，BS收5个金币的…何老师考简单点啊……第八章 相应分析8.1 什么是相应分析？它与因子分析有何关系？答：相应分析也叫对应分析，通常意义下，是指两个定性变量的多种水平进行相应性研究。
其特点是它所研究的变量可以是定性的。
相应分析与因子分析的关系是： 在进行相应分析过程中，计算出过渡矩阵后，要分别对变量和样本进行因子分析。
因此，因子分析是相应分析的基础。
具体而言，式表明Zu j 为相对于特征值的关于因素A 各水平构成的协差阵的特征向量。
从而建立了相应分析中R 型因子分析和Q 型因子分析的关系。
8.2试述相应分析的基本思想。
答：相应分析，是指对两个定性变量的多种水平进行分析。
设有两组因素A 和B ，其中因素A 包含r 个水平，因素B 包含c 个水平。
对这两组因素作随机抽样调查，得到一个r c ⨯的二维列联表，记为()ij r c k ⨯=K 。
要寻求列联表列因素A 和行因素B 的基本分析特征和最优列联表示。
相应分析即是通过列联表的转换，使得因素A 和因素B 具有对等性，从而用相同的因子轴同时描述两个因素各个水平的情况。
把两个因素的各个水平的状况同时反映到具有相同坐标轴的因子平面上，从而得到因素A 、B 的联系。
8.3 试述相应分析的基本步骤。
答：（1）建立列联表设受制于某个载体总体的两个因素为A 和B ，其中因素A 包含r 个水平，因素B 包含c 个水平。
对这两组因素作随机抽样调查，得到一个r c ⨯的二维列联表，记为()ij r c k ⨯=K 。
（2）将原始的列联资料K =(kij) r ⨯c 变换成矩阵Z =(zij) r ⨯c ，使得zij 对因素A 和列因素B 具有对等性。
通过变换。
得c '=ΣZ Z ，r '=ΣZZ 。
（3）对因素B 进行因子分析。
计算出c '=ΣZ Z 的特征向量及其相应的特征向量 计算出因素B 的因子) （4）对因素A 进行因子分析。
应用多元统计分析习题解答_朱建平_第五章
Abbo无私奉献，只收1个金币，BS收5个金币的…何老师考简单点啊……第五章 聚类分析5.1 判别分析和聚类分析有何区别？答：即根据一定的判别准则，判定一个样本归属于哪一类。
具体而言，设有n 个样本，对每个样本测得p 项指标（变量）的数据，已知每个样本属于k 个类别（或总体）中的某一类，通过找出一个最优的划分，使得不同类别的样本尽可能地区别开，并判别该样本属于哪个总体。
聚类分析是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。
在聚类之前，我们并不知道总体，而是通过一次次的聚类，使相近的样品（或变量）聚合形成总体。
通俗来讲，判别分析是在已知有多少类及是什么类的情况下进行分类，而聚类分析是在不知道类的情况下进行分类。
5.2 试述系统聚类的基本思想。
答：系统聚类的基本思想是：距离相近的样品（或变量）先聚成类，距离相远的后聚成类，过程一直进行下去，每个样品（或变量）总能聚到合适的类中。
5.3 对样品和变量进行聚类分析时， 所构造的统计量分别是什么？简要说明为什么这样构造？答：对样品进行聚类分析时，用距离来测定样品之间的相似程度。
因为我们把n 个样本看作p 维空间的n 个点。
点之间的距离即可代表样品间的相似度。
常用的距离为 （一）闵可夫斯基距离：1/1()()pq qij ik jk k d q X X ==-∑q 取不同值，分为 （1）绝对距离（1q =）1(1)pij ik jk k d X X ==-∑（2）欧氏距离（2q =）21/21(2)()pij ik jk k d X X ==-∑（3）切比雪夫距离（q =∞）1()max ij ik jkk pd X X ≤≤∞=-（二）马氏距离（三）兰氏距离对变量的相似性，我们更多地要了解变量的变化趋势或变化方向，因此用相关性进行衡量。
21()()()ij i j i j d M -'=--X X ΣX X 11()p ik jkij k ik jk X X d L p X X =-=+∑将变量看作p 维空间的向量，一般用（一）夹角余弦（二）相关系数5.4 在进行系统聚类时，不同类间距离计算方法有何区别？选择距离公式应遵循哪些原则？答： 设d ij 表示样品X i 与X j 之间距离，用D ij 表示类G i 与G j 之间的距离。
应用多元统计朱建平第二版第四章
某商场经销十种品牌的饮料，此中有四种热销，三种滞销，三种平销。
下表是这十种品牌饮料的销售价钱（元）和顾客对各种饮料的口胃评分、相信度评分的均匀数。
销售状况产品序号销售价钱口胃评分相信度评分158热销267 339 486 576平销687798834滞销9421043⑴ 依据数据成立贝叶斯鉴别函数，并依据此鉴别函数对原样本进行回判。
⑵ 现有一新品牌的饮料在该商场试销，其销售价钱为，顾客对其口胃的评分均匀为 8，相信评分均匀为 5，试展望该饮料的销售状况。
解：贝叶斯鉴别法，由 SPSS可得表 1和表 2表 1分类函数系数销售状况热销贫销滞销销售价钱口胃评分相信度评分(常量)Fisher的线性鉴别式函数如表 1所示，销售状况栏中的每一列表示样品判入相应列的贝叶斯鉴别函数系数。
则各种的贝叶斯鉴别式函数以下：第一组： F1= –– + +第二组： F2= –– + +第三组： F3= –– + +将样品的自变量代入上述三个贝叶斯鉴别函数，获得三个函数值，分别为：F1=,F2=,F3=比较三个值，能够看出 F2=最大，据此能够得出该待判样品应当属于第品牌的饮料在该商场试销的销售状况是贫销。
2组。
则改新表2依据事例次序的统计量最高组鉴别式得分P(D>d | G=g)案例到质心的平方数目实质组展望组p df P(G=g |D=d)Mahalanobis距离函数1函数2初111.5132.932始211.9952.829.011 311.5312.97441**.7342.714.619.791 2521**.5352.633.176622.9512.822.100.721722.3422.985833.2602933.5382.5481033.8112.418.69311未分组2.1652.597.825.969的**.错误分类的事例由表 2可得，产品 4和产品 5实验组和展望组数据不一样，且展望组数据上带有**，此中**表示错误分类的事例。
多元统计分析(第一章)PPT课件
第七章 对应分析
第八章 典型相关分析 两组变量的相关分析
使用的教材
21世纪统计学系列教材
多元统计分析
(中国人民大学出版社,何晓群,2012.1)
参考书
1. 应用多元统计分析（朱建平，科学出版社，2006） 2.实用多元统计分析(方开泰,1989,华东师范大学出版社 3. 多元统计分析引论(张尧庭,方开泰, 科学出版社，
xx 1
min xAx x0
xx p
(2)若A是p阶对称矩阵，B是p阶正定矩阵，
《静静地顿河》，萨尔仁尼琴 质疑，认为不是肖洛霍夫所写， 而是Kryukov所作。Kjetsaa对此作了研究。
著作
Marking (Kryukov) The way and the road(肖洛霍夫)
静静地顿河
抽样字数
1000 1000 1000
不同的词汇
589 656 646
1、“统”，就是全部，“计”，就是计算，统计学即是“具有 全局意义的数字计算”。（陈希孺）
(3)若A为p阶对称矩阵，则存在正交矩阵T及对角矩阵 Λ=diag(λ1,λ2,⋯,λp)，使得 A=TΛT′
二、矩阵的迹
设A为p阶方阵，则它的对角线元素之和称为A的迹， 记作tr(A)，即
tr(A)=a11+a22+⋯+app 方阵的迹具有下述基本性质：
➢ (1)tr(AB)=tr(BA)。特别地，tr(ab′)=b′a。
2、统计学是收集和分析带随机性误差的数据的科学和艺术。
3、一堆数字，就像一对沙子，谁喜欢？但是，一旦你发现了这 一堆数字中隐藏的奥秘，你就会喜欢这对数据了，在你眼里， 就是一堆沙子变成了一堆财富。统计学，就是帮你把一堆沙子 变成财富的方法。即吕洞宾那根“点石成金”的手指。
应用多元统计分析讲稿(朱建平)
第一章多元分析概述第一节引言多元统计分析是运用数理统计方法来研究解决多指标问题的理论和方法。
近30年来，随着计算机应用技术的发展和科研生产的迫切需要，多元统计分析技术被广泛地应用于地质、气象、水文、医学、工业、农业和经济等许多领域，已经成为解决实际问题的有效方法。
然而，随着Internet的日益普及，各行各业都开始采用计算机及相应的信息技术进行管理和决策，这使得各企事业单位生成、收集、存储和处理数据的能力大大提高，数据量与日俱增，大量复杂信息层出不穷。
在信息爆炸的今天，人们已经意识到数据最值钱的时代已经到来。
显然，大量信息在给人们带来方便的同时也带来一系列问题。
比如：信息量过大，超过了人们掌握、消化的能力；一些信息真伪难辩，从而给信息的正确应用带来困难；信息组织形式的不一致性导致难以对信息进行有效统一处理等等，这种变化使传统的数据库技术和数据处理手段已经不能满足要求.Internet 的迅猛发展也使得网络上的各种资源信息异常丰富，在其中进行信息的查找真如大海捞针。
这样又给多元统计分析理论的发展和方法的应用提出了新的挑战。
多元统计分析起源于上世纪初，1928年Wishart发表论文《多元正态总体样本协差阵的精确分布》，可以说是多元分析的开端。
20世纪30年代R.A. Fisher 、H.Hotelling、S.N.Roy、许宝騄等人作了一系列得奠基性工作，使多元分析在理论上得到了迅速得发展。
20世纪40年代在心理、教育、生物等方面有不少得应用，但由于计算量大，使其发展受到影响，甚至停滞了相当长得时间。
20世纪50年代中期，随着电子计算机得出现和发展，使多元分析方法在地质、气象、医学、社会学等方面得到广泛得应用。
20世纪60年代通过应用和实践又完善和发展了理论，由于新的理论、新的方法不断涌现又促使它的应用范围更加扩大。
20世纪70年代初期在我国才受到各个领域的极大关注，并在多元统计分析的理论研究和应用上也取得了很多显著成绩，有些研究工作已达到国际水平，并已形成一支科技队伍，活跃在各条战线上。
多元统计分析(第一章)
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
政治 99 99 100 93 100 90 75 93 87 95 76 85
语文 94 88 98 88 91 78 73 84 73 82 72 75
外语 93 96 81 88 72 82 88 83 60 90 43 50
数学 100 99 96 99 96 75 97 68 76 62 67 34
《静静地顿河》，萨尔仁尼琴 质疑，认为不是肖洛霍夫所写，
而是Kryukov所作。Kjetsaa对此作了研究。
著作
Marking (Kryukov) The way and the road(肖洛霍夫) 静静地顿河
抽样字数
1000 1000 1000
不同的词汇
589 656 646
1、“统”，就是全部，“计”，就是计算，统计学即是“具有
参考书
1. 应用多元统计分析（朱建平，科学出版社，2006） 2.实用多元统计分析(方开泰,1989,华东师范大学出版社 3. 多元统计分析引论(张尧庭,方开泰, 科学出版社，
1982)
4. 实用多元统计分析(王学仁,1990 ,上海科学技术出版社
)
5. 应用多元分析(王学民,1999 ,） 6. 统计分析与SPSS的应用（第三版 薛微） 7.社会统计学分析方法—SPSS软件应用（郭志刚
解：
所以 A的特征值为 当
时，解方程
。由
得基础解系：
，所以对应于 的单位特征向量为
1 -1 3 ,-1 3 ,1 3
当
。由
时，解方程
得基础解系：
，所以对应于 量为 2 1 6 ,1 6 , 2 6 。 当 时，解方程 。由
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第一章多元分析概述第一节引言多元统计分析是运用数理统计方法来研究解决多指标问题的理论和方法。
近30年来，随着计算机应用技术的发展和科研生产的迫切需要，多元统计分析技术被广泛地应用于地质、气象、水文、医学、工业、农业和经济等许多领域，已经成为解决实际问题的有效方法。
然而，随着Internet的日益普及，各行各业都开始采用计算机及相应的信息技术进行管理和决策，这使得各企事业单位生成、收集、存储和处理数据的能力大大提高，数据量与日俱增，大量复杂信息层出不穷。
在信息爆炸的今天，人们已经意识到数据最值钱的时代已经到来。
显然，大量信息在给人们带来方便的同时也带来一系列问题。
比如：信息量过大，超过了人们掌握、消化的能力；一些信息真伪难辩，从而给信息的正确应用带来困难；信息组织形式的不一致性导致难以对信息进行有效统一处理等等，这种变化使传统的数据库技术和数据处理手段已经不能满足要求.Internet 的迅猛发展也使得网络上的各种资源信息异常丰富，在其中进行信息的查找真如大海捞针。
这样又给多元统计分析理论的发展和方法的应用提出了新的挑战。
多元统计分析起源于上世纪初，1928年Wishart发表论文《多元正态总体样本协差阵的精确分布》，可以说是多元分析的开端。
20世纪30年代R.A. Fisher 、H.Hotelling、S.N.Roy、许宝騄等人作了一系列得奠基性工作，使多元分析在理论上得到了迅速得发展。
20世纪40年代在心理、教育、生物等方面有不少得应用，但由于计算量大，使其发展受到影响，甚至停滞了相当长得时间。
20世纪50年代中期，随着电子计算机得出现和发展，使多元分析方法在地质、气象、医学、社会学等方面得到广泛得应用。
20世纪60年代通过应用和实践又完善和发展了理论，由于新的理论、新的方法不断涌现又促使它的应用范围更加扩大。
20世纪70年代初期在我国才受到各个领域的极大关注，并在多元统计分析的理论研究和应用上也取得了很多显著成绩，有些研究工作已达到国际水平，并已形成一支科技队伍，活跃在各条战线上。
在20世纪末与本世纪初，人们获得的数据正以前所未有的速度急剧增加，产生了很多超大型数据库，遍及超级市场销售、银行存款、天文学、粒子物理、化学、医学以及政府统计等领域，多元统计与人工智能和数据库技术相结合，已在经济、商业、金融、天文等行业得到了成功的应用。
为了让人们更好的较为系统地掌握多元统计分析的理论与方法，本书重点介绍多元正态总体的参数估计和假设检验以及常用的统计方法。
这些方法包括判别分析、聚类分析、主成分分析、因子分析、对应分析、典型相关分析、多维标度法以及多变量的可视化分析等。
与此同时，我们将利用在我国广泛流行的SPSS 统计软件来实现实证分析，做到在理论的学习中体会应用，在应用的分析中加深理论。
第二节应用背景二、多元统计分析方法的应用这里我们要通过一些实际的问题，解释选择统计方法和研究目的之间的关系，这些问题以及本书中的大量案例能够使得读者对多元统计分析方法在各个领域中的广泛应用有一定的了解。
多元分析方法从研究问题的角度可以分为不同的类，相应有具体解决问题的方法，参看表1.1。
多元统计分析方法在经济管理、农业、医学、教育学、体育科学、生态学、地质学、社会学、考古学、环境保护、军事科学、文学等方面都有广泛的应用，这里我们例举一些实际问题，进一步了解多元统计分析的应用领域，让读者从感性上加深对多元统计分析的认识。
1、城镇居民消费水平通常用八项指标来描述，如人均粮食支出、人均副食支出、人均烟酒茶支出、人均衣着商品支出、人均日用品支出、人均燃料支出、人均非商品支出。
这八项指标存在一定的线性关系。
为了研究城镇居民的消费结构，需要将相关强的指标归并到一起，这实际就是对指标进行聚类分析。
2、在企业经济效益的评价中，涉及到的指标往往很多，如百元固定资产原值实现产值、百元固定资产原值实现利税、百元资金实现利税、百元工业总产值实现利税、百元销售收入实现利税、每吨标准煤实现工业产值、每千瓦时电力实现工业产值、全员劳动生产率、百元流动资金实现产值。
如何将这些具有错综复杂关系的指标综合成几个较少的因子，既有利于对问题进行分析和解释，又能便于抓住主要矛盾做出科学的评价。
可用主成分分析和因子分析法。
3、某一产品是用两种不同原料生产的，试问此两种原料生产的产品寿命有无显著差异？又比如，若考察某商业行业今年和去年的经营状况，这时需要看这两年经营指标的平均水平是否有显著差异以及经营指标之间的波动是否有显著差异。
可用多元正态总体均值向量和协差阵的假设检验。
4、按现行统计报表制度，农村家庭纯收入是指农村常住居民家庭总收入中扣除从事生产和非生产经营用支出、税款和上交承包集体任务金额以后剩余的、可直接用于进行生产的、非生产性建设投资、生产性消费的那一部分收入。
如果我们收集某年各个省、自治区、直辖市农民家庭人均纯收入的数据，可以用相应分析，揭示全国农民人均纯收入的特征以及各省、自治区、直辖市与各收入指标的关系。
5、某医院已有100个分别患有胃炎、肝炎、冠心病、糖尿病等的病人资料，记录了他们每个人若干项症状指标数据。
如果对于一个新的病人，当也测得这若干项症状指标时，可以利用判别分析方法判定他患的是哪种病。
6、有100种酒，品尝家可以对每两种酒进行品尝对比，给出一种相近程度的得分（越相近得分越高，相差越远得分越低），希望用这些得分数据来了解这100种酒之间的结构关系。
这样的问题就可以用多维标度法来解决。
7、在地质学中，常常要研究矿石中所含化学成分之间的关系。
设在某矿体中采集了60个标本，对每个标本测得20个化学成分的含量。
我们希望通过对这20个化学成分的分析，了解矿体的性质和矿体形成的主要原因。
8、对1000个类似的鱼类样本，如何根据测量的特征如体重、身长、鳍数、鳍长、头宽等，我们可以利用聚类分析方法将这类鱼分成几个不同品种。
9、考古学家对挖掘出来的人头盖骨的高、宽等特征来判断是男或女，根据挖掘出的动物牙齿的有关测试指标，判别它是属于哪一类动物牙齿、是哪一个时代的。
10、在高考招生工作中，我们知道每个考生的基本情况，通过分析我们不仅可以了解到学生喜欢学习的科目，还可以进一步从考生每门课程的成绩，分析出学生的逻辑思维能力、形象思维能力和记忆力等等对学习成绩的影响。
第二章 多元正态分布的参数估计第一节 引言多元统计分析涉及到的都是随机向量或多个随机向量放在一起组成的随机矩阵。
例如在研究公司的运营情况时，要考虑公司的获利能力、资金周转能力、竞争能力以及偿债能力等财务指标；又如在研究国家财政收入时，税收收入、企业收入、债务收入、国家能源交通重点建设基金收入、基本建设贷款归还收入、国家预算调节基金收入、其他收入等都是需要同时考察的指标。
显然，如果我们只研究一个指标或是将这些指标割裂开分别研究，是不能从整体上把握研究问题的实质的，解决这些问题就需要多元统计分析方法。
为了更好的探讨这些问题，本章我们首先论述有关随机向量的基本概念和性质。
在实用中遇到的随机向量常常是服从正态分布或近似正态分布，或虽本身不是正态分布，但它的样本均值近似于正态分布。
因此现实世界中许多实际问题的解决办法都是以总体服从正态分布或近似正态分布为前提的。
在多元统计分析中， 多元正态分布占有很重要地位，本书所介绍的方法大都假定数据来之多元正态分布。
为此，本章将要介绍多元正态分布的定义和有关性质。
然而在实际问题中，多元正态分布中均值向量和协差阵通常是未知的，一般的做法是由样本来估计。
这是本章讨论的重要内容之一，在此我们介绍最常见的最大似然估计法对参数进行估计，并讨论其有关的性质。
第二节 基本概念一、随机向量我们所讨论的是多个变量的总体，所研究的数据是同时p 个指标（变量），又进行了n 次观测得到的，我们把这个p 指标表示为X 1 ，X 2，L ，X p ，常用向量X = (X 1 ， X 2 ， L ， X P )' 表示对同一个体观测的p 个变量。
这里我们应该强调，在多元统计分析中，仍然将所研究对象的全体称为总体，它是由许多（有限和无限）的个体构成的集合，如果构成总体的个体是具有p 个需要观测指标的个体，我们称这样的总体为p 维总体（或p 元总体）。
上面的表示便于人们用数学方法去研究p 维总体的特性。
这里“维”（或“元”）的概念，表示共有几个分量。
若观测了n 个个体，则可得到如表2.1的数据，称每一个个体的p 个变量为一个样品，而全体n 个样品组成一个样本。
1 11X 12X 1p X2 21X22X2p Xn1n X 2n Xnp X在这里横看表2.1，记为()12(,,,)p X X X αααα'=X ， 1,2,,n α=表示第α个样品的观测值。
竖看表2.1，第j 列的元素12(,,,)j j j nj X X X '=X ， 1,2,,j p =表示对第j 个变量j X 的n 次观测数值。
因此，表2.1所反映出的样本资料可用矩阵表示为11121(1)21222(2)1212()(,)p p pn n np n X X X X X X X X X '⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，X X X X X X X （2.1）简记为X 。
定义2.1 将p 个随机变量12,,,p X X X 的整体称为p 维随机向量，记为12(,,,)p X X X '=X 。
在对随机向量的研究仍然限于讨论离散型和连续型两类随机向量。
二、多元分布先回顾一下一元统计中分布函数和密度函数的定义。
设X 是一个随机变量，称()()F x p X x =≤为X 的概率分布函数或简称为分布函数，记为~()X F x 。
若随机变量在有限或可列个值{}k x 上取值，记()k k P X x p ==，(1,2,)k =且1=∑kk p ，则称X 为离散型随机变量，称()k k P X x p ==，(1,2,)k =为X 的概率分布。
设~()X F x ，若存在一个非负函数)(x f ，使得一切实数x 有：()()x F x f t dt -∞=⎰，则称)(x f 为X 的分布密度函数，简称为密度函数。
一个函数)(x f 能作为某个随机变量X 的分布密度函数的重要条件是： （1）0)(≥x f ，对一切实数x ；（2）1)(=⎰+∞∞-dx x f 。
定义2.2 设12(,,,)p X X X '=X 是p 维随机向量，它的多元分布函数定义为121122()(,,,)(,,,)p p p F x F X X X P X x X x X x ∆=≤≤≤ （2.2）记为~()F x X ，其中12(,,,)p p x x x R '=∈x ，p R 表示p 维欧氏空间。