2020版 高考高频考点对点练12 数列的基本运算

高考高频考点对点练

12 数列的基本运算

1．(2018·江南十校联考)已知数列{a n }是等差数列，a 3＋a 13＝20，a 2＝－2，则a 15＝( )

A ．20

B ．24

C ．28

D ．34

B [∵a 3＋a 13＝2a 8＝20，∴a 8＝10，又a 2＝－2，∴d ＝2，得a 15＝a 2＋13d ＝24.故选B.]

2．(2019·辽宁五校联考)已知数列{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9的值为( )

A ．10

B ．20

C ．100

D ．200

C [a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9＝a 7a 1＋2a 7a 3＋a 3a 9＝a 24＋2a 4a 6＋a 26＝(a 4＋a 6)2＝10

2＝100.]

3．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝16，则S 10等于( )

A ．18

B ．24

C ．30

D ．60

C [设等差数列{a n }的公差为d ≠0.由题意，

得(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )，即2a 1＋3d ＝0.①

∵S 8＝16，∴8a 1＋8×72×d ＝16, ②

联立①②解得

a 1＝－32， d ＝1.则S 10＝10×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－32＋10×92×1＝30.] 4．今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织的布的尺数为(不作近似计算)( )

A.12

B.815

C.1629

D.1631

C [由题意可知，该女每天的织布量成等差数列，首项是5，公差为d ，前30项和为390.根据等差数列前n 项和公式，有390＝30×5＋

30×292d ，解得d ＝

1629.]

5．已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( )

A ．40

B ．60

C ．32

D ．50

B [由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，因此S 12＝4＋8＋16＋32＝60，选B.]

6．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人．每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”．其大意为：官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝．第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人．修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40 392升，问修筑堤坝多少天．“在这个问题中，第5天应发大米( )

A ．894升

B ．1 170升

C ．1 275升

D ．1 467升

B [由题意知，每天派出的人数构成首项为64，公差为7的等差数列，则

第5天的总人数为5×64＋5×42×7＝390，所以第5天应发大米390×3＝1 170

升．]

7．数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值等于( )

A ．1

B ．－1 C.12 D ．2

D [由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝ ⎛⎭

⎪⎫a n －2λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2.]

8．在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n ＝( )

A ．n (3n －1)

B.n (n ＋3)2 C ．n (n ＋1) D.n (3n ＋1)2

C [依题意得a n ＋1＝a n ＋a 1，即有a n ＋1－a n ＝a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项、2为公差的等差数列，a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝

n (2＋2n )2

＝n (n ＋1)，选C.]

9．(2019·华南师范大学附中模拟)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝12·3n ＋1＋c (c

为常数)，若λa n ≤3＋S 2n 恒成立，则实数λ的最大值是( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6 C [a n ＝S n －S n －1＝3n ，n ≥2，q ＝3，a 1＝92＋c ，a 2＝9，所以c ＝－32，得a n

＝3n ，S n ＝12·3n ＋1－32，所以λ·3n ≤3＋12·32n ＋1－32，得λ≤32⎝ ⎛⎭

⎪⎫3n ＋13n ，所以n ＝1时，λ≤5.故选C.]

10．已知函数y ＝log a (x －1)＋3(a >0，a ≠1)的图象所过定点的横、纵坐标分

别是等差数列{a n }的第二项与第三项，若b n ＝1a n a n ＋1

，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 10＝________.

1011

[对数函数y ＝log a x 的图象过定点(1,0)，∴函数y ＝log a (x －1)＋3的图象过定点(2,3)，则a 2＝2，a 3＝3，故a n ＝n ，∴b n ＝1a n a n ＋1＝1n －1n ＋1

， ∴T 10＝1－12＋12－13＋…＋110－111＝1－111＝1011.]

11．(2018·河南适应性考试)已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且a n ＋S n ＝3n －1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.

3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2

[由题意得a n ＋S n ＝3n －1①，

a n －1＋S n －1＝3n －4②，

两式相减得a n ＝12a n －1＋32，∴a n －3＝12(a n －1－3)，

又∵a 1＋S 1＝3－1，∴a 1＝1.

∴{a n －3}是一个等比数列，∴a n －3＝(a 1－3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1