【精品人教版】初二八年级数学下册《解题技巧专题：利用一次函数解决实际问题》(附答案演示)
2020-2021学年八年级数学人教版下册 《一次函数》解题方法与策略(下)
《一次函数》解题方法与策略（下）【知识储备】1．变量和常量：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．2．函数：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．3．函数的三种表示方法：列表法、图象法、解析式法．4．正比例函的定义：一般地，形如y=kx（k是常数且k≠0）的函数叫做正比例函数. 通常称之为直线y=kx．5．正比例函数图象的性质:①当k＞0时，直线y=kx依次经过第一、三象限，y随x的增大而增大；②当k＜0时，直线y=kx依次经过第二、四象限，y随x的增大而减小．6．一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．7．一次函数的性质：①当k＞0，y随x的增大而增大；②当k＜0，y随x的增大而减小．8．一次函数图象与系数的关系由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．①k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；④k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．【经典例题】核心考点六、一次函数图象与方程、不等式的关系例1.（2019•邵阳）一次函数y1＝k1x+b1的图象l1如图所示，将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，l2的函数表达式为y2＝k2x+b2．下列说法中错误的是（）A．k1＝k2 B．b1＜b2 C．b1＞b2D．当x＝5时，y1＞y2例2.（2019•遵义）如图所示，直线l1：y＝x+6与直线l2：y＝﹣x﹣2交于，点P（﹣2，3）不等式x+6＞﹣x﹣2的解集是（）A．x＞﹣2B．x≥﹣2C．x＜﹣2D．x≤﹣2例3.（2014•孝感）如图，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式-+>+的整数解为（）4x m nx nA．﹣1B．﹣5C．﹣4D．﹣3例4.（2019•烟台）如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c 的解为．核心考点七、动点问题的函数图象例5.（2019春•遵义期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，能正确反映S与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．例6．（2016•荆门）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（）A．B．C．D．例7．如图①，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD在第一象限，直线y＝﹣x从原点出发沿x轴正方向平移，被平行四边形ABCD截得的线段EF的长度l与平移的距离m的函数图象如图②所示，那么平行四边形的面积为（）A．2B．4 C．6D．8例8．如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则△ABC的面积是（）A．10 B．16 C．18 D．20核心考点八、一次函数的图象与性质例9.（2019•遵义期末统考题）如图，平面直角坐标系中,点A（0，4）在y轴上，点B（﹣8，0）在x轴上.（1）求直线AB的解析式；（2）若x轴上有一点P，使得∠APO＝2∠ABO时，求△ABP的面积．例10.（2018•遵义期末统考题）已知，如图，在平面直角坐标系xoy中，直线l1：y＝x+3分别交x轴、y 轴于点A、B两点，直线l2：y＝﹣3x过原点且与直线l1相交于C，点P为y轴上一动点．（1）求点C的坐标；（2）在平面坐标系中是否存在点M，使以A、O、C、M为顶点的四边形为平行四边形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当PA+PC的值最小时，求此时点P的坐标，并求PA+PC的最小值．核心考点九、一次函数应用问题例11.（2019•雅安）某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如下表：商品甲乙进价（元/件）x+60x售价（元/件）200100若用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同．（1）求甲、乙两种商品的进价是多少元？（2）若超市销售甲、乙两种商品共50件，其中销售甲种商品为a件（a≥30），设销售完50件甲、乙两种商品的总利润为w元，求w与a之间的函数关系式，并求出w的最小值．例12．（2019•黑龙江）为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某广场舞团队准备购买甲、乙两种道具参加演出，已知购买2件甲种道具、1件乙种道具共需35元；购买1件甲种道具、3种乙种道具共需花费30元．（1）求购买一件甲种道具，一件乙种道具各需多少元？（2）若该团体计划购买这两种道具共120件，投入资金不少于956元又不多于1000元，设购买甲种道具x件，求有多少种购买方案？（3）设投入资金为W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要投入的资金最少？最少资金是多少元？例13.（2019•长春）已知A、B两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/ 时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）乙车的速度为千米/时，a＝，b＝．（2）求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式．（3）当甲车到达距B地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程．例14.（2019•黑龙江）小明匀速跑步从甲地到乙地，在途中因故停留了一段时间后，仍按原速跑步，小强骑自行车比小明晚出发一段时间，以400米/分的速度匀速从乙地到甲地，两人距离乙地的路程y（米）与小明出发后所用时间t（分钟）之间的函数图象如图所示，（1）求小明跑步的速度；（2）求小明停留结束后y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）求小明与小强相遇时x的值．练习1．如图，△AOB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y＝﹣x+m与x轴交于点C．（1）求点A的坐标；（2）求直线AC的解析式；（3）求证：OA⊥AC．练习2．如图，已知直线y＝kx+b交x轴于点A，交y轴于点B，直线y＝2x﹣4交x轴于点D，与直线AB 相交于点C（3，2）．（1）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+b的解集；（2）若点A的坐标为（5，0），求直线AB的解析式；（3）在（2）的条件下，求四边形BODC的面积．- 11 -。
数学人教版八年级下册一次函数——方案问题
课题学习选择方案类型一: 利用函数值的大小选择方案题型1 选择销售方案例1 、某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现，如果月初出售，可获得15%的利润，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付存储费700元，请根据商场的资金情况，判断一下选择哪种销售方式获利较多，并说明商场投资25000元时，哪种销售方式获利较多。
题型2 选择购买方案例2 甲乙两家体育器材商店出售同样地乒乓球拍和乒乓球，球拍每幅定价60元，乒乓求每盒定价10元。
今年世界乒乓球锦标赛期间，两家商店都搞促销活动：甲商店规定每买1副乒乓球拍赠2盒乒乓球；乙商店规定所有商品9折优惠。
某校乒乓球队需要2副乒乓球拍，乒乓球若干盒（不少于4盒）设该校要买乒乓求x盒，所需商品在甲商店购买需用y1元，在乙商店购买需要用y2元。
（1）请分别写出y1、y2与之间的函数解析式（不注明自变量x的取值范围）；（2）对x的取值情况进行分析，试说明在哪一家商店购买所需商品比较便宜；（3）若该校要买2副乒乓球拍和20盒乒乓球，在不考虑其他因素的情况下，请你设计一个最省钱的购买方案。
例3、商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价为20元，茶杯每只定价为5元，该店制定了两种优惠办法：(1)买一只茶壶送一只茶杯；（2）按总价的92%付款。
某顾客需购茶壶4只，茶杯若干只（不少于4只），若设购买茶杯数为x（只），付款数为y(元)，试分别写出两种优惠办法中y(元)与x（只）之间的函数解析式，并讨论两种办法中哪种更省钱。
题型4 选择生产方案问题例5、某工厂生产某种产品，每件产品出厂价为1万元，其原材料成本价（含其他损耗）为0.55万元，同时在生产过程中平均每生产一件产品有1吨的废渣产出，为达到国家环保要求，需要对废渣进行处理，现有两种方案可供选择：方案一：由工厂对废渣直接处理，每处理1吨废渣所用的原料费为0.05万元，并且每月设备维护及损耗费为20万元。
人教版数学八年级下册 巧用一次函数解决生活实际问题
人教版数学八年级下册 巧用一次函数解决生活实际问题一关注“鞋码”与“鞋长”的换算例1鞋子的“鞋码”和鞋长（cm ）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长换算的对应数值：［注：“鞋码”是表示鞋子大小的一种号码］鞋长（cm ）16 19 21 24 鞋码（号）22 28 32 38 （1）设鞋长为x ，“鞋码”为y ，试判断点（x ，y ）在你学过的哪种函数的图象上？（2）求x 、y 之间的函数关系式；（3）如果某人穿44号“鞋码”的鞋，那么他的鞋长是多少？分析：如果图表所反映的信息，能够满足如下条件：K 44332211x y x y x y x y ≠≠≠，但是343423231212x x y y x x y y x x y y --=--=--=k,则该图表所反映的函数是一次函数，故可以设函数的解析式为：）0(≠+=k b kx y ，得解析式后，其它问题随之迎刃而解．解：（1）因为212432381921283216192228--=--=--=2，所以y 是x 的一次函数，即点（x ，y ）在学过的一次函数的图象上．（2）设y=kx+b ，由题意，得：⎩⎨⎧+=+=bk b k 19281622，解得： ⎩⎨⎧-==102b k ．所以y=2x-10．（x 是一些不连续的值．一般情况下，x 取16、16.5、17、17.5、…、26、26.5、27等）（3）因为y=2x-10，所以当y=44时 ，得44=2x-10，解得：x=27．答：此人的鞋长为27cm ．二关注免费行李的最大质量例2某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x (kg)与其运费y (元)由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为：(A)20kg (B)25kg (C)28kg (D)30kg分析：旅客随身携带一定重量的行李，而行李的重量是不能为负的，因此，旅客携带的行李的重量最小时为y=0时，对应的重量．也就是令y=0时，图像与x 轴的交点的横坐标． 解：1） 设y=kx+b ，根据图像，知道图像经过以下两个点，（30，300）和（50，900）， 把x=30，y=300；x=50，y=900分别代入y=kx+b 中，得到：300=30k+b ，900=50k+b ，解得：k=30，b= -600，所以y 与x 之间的函数关系式为y=30x-600．令y=0，得：30x-600=0，得x=20，即旅客最多可免费携带20千克的行李． 解：选A ．三关注储气罐中的储气量例3星期天8：00~8：30，燃气公司给平安加气站的储气罐注入天然气．之后，一位工作人员以每车20立方米的加气量，依次给在加气站排队等候的若干辆车加气．储气罐中的储气量y （立方米）与时间x （小时）的函数关系如图2所示．（1）8：00~8：30，燃气公司向储气罐注入了多少立方米的天然气？（2）当x ≥0.5时，求储气罐中的储气量y （立方米）与时间x （小时）的函数解析式；（3）请你判断，正在排队等候的第18辆车能否在当天10：30之前加完气？请说明理由．分析：（1）图像与y 轴的交点意味着储气罐中原来有燃气2000立方米，半小时后储气罐中的储气量达到10000立方米，说明注入的燃气量为10000-2000=8000（立方米）．（2）从图像上看出，图像是直线，因此该函数是一次函数．且经过点（0.5，10000）和（10.5，8000）两点，代入直线的解析式就可得函数的解析式．（3）因为18辆车加气需1820360⨯=（立方米），所以储气量为100003609640-=（立方米），求出此时的时间，然后与总时间10.5-8.00=2.5小时相比，大则不能；小则能． 解：（1）由图可知，星期天当日注入了10000-2000=8000立方米的天然气；（2）当x ≥0.5时，设储气罐中的储气量y （立方米）与时间x （小时）的函数解析式为：y=kx+b ，因为函数的图象过点（0.5，10000）和（10.5，8000）两点，所以⎩⎨⎧+=+=b k b k 5.1080005.010000 解得：⎩⎨⎧=-=10100200b k ，故所求函数解析式为：y=-200x+10100．（3）可以．因为给18辆车加气需要18×20=360（立方米），所以此时的储气量为10000-360=9640（立方米），当y=9640时，得9640=-200x+10100，解得：x=2.3.而从8：00到10：30相差2.5小时，显然有：2.3＜2.5，故第18辆车在当天10：30之前可以加完气．四关注旅客的购票情况例4某车站客流量大，旅客往往需长时间排队等候购票．经调查统计发现，每天开始售票时，约有300名旅客排队等候购票，同时有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，新增购票人数y （人）与售票时间x （分）的函数关系如图3-1所示；每个售票窗口票数y （人）与售票时间x （分）的函数关系如图3-2所示．某天售票厅排队等候购票的人数y （人）与售票时间x （分）的函数关系如图3-3所示，已知售票的前a 分钟开放了两个售票窗口．（1）求a 的值；（2）求售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客人数；（3）该车站在学习实践科学发展观的活动中，本着“以人为本，方便旅客”的宗旨，决定增设售票窗口．若要在开始售票后半小时内让所有排队购票的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客能随到随购，请你帮助计算，至少需同时开放几个售票窗口？分析：（1） 图3-1所展示的信息是每分钟新增4人购票．图3-2所展示的信息是每分钟有3人买上票．图3-3所展示的信息有三条：与y 轴的交点（0，300）表示开始时有300人在等待购票；（a ，240）表示的意义是只开两个售票后，售票a 分钟后还有240人在排队；与x 轴的交点（78，0）表示的是78分钟后就没有人排队购票了．根据上述信息知道剩余排队人数=原来人数+新增加的人数-已经获售票的人数．即300+4a-3×2×a=240.（2）只要求出从a 到78分钟这一段的函数解析式问题就迎刃而解了．（3）理解“要在开始售票后半小时内让所有排队购票的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客能随到随购”的意义是解题的关键．其意义就是售票人数大于等于原来人数+新增人数，转化成不等式的整数解问题．解：（1）有题意得：300+4a-3×2×a=240，解得：a=30，即a 的值是30；（2）因为直线y=kx+b 经过点（30，240）和点（78 ，0），所以所以⎩⎨⎧+=+=b k b k 78030240 解得：⎩⎨⎧=-=3905b k ，所以函数的解析式为y=-5x+390，所以当x=60时，y=90，即售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客有90人；（3）设至少要开放n 个售票窗口，根据题意得：3×30×n ≥ 300+4×30，解得n ≥314， 所以至少要同时开5个售票窗口．五关注所获得利润例５某加油站五月份营销一种油品的销售利润y （万元）与销售量x （万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）求销售量x 为多少时，销售利润为4万元；（2）分别求出线段AB 与BC 所对应的函数关系式；（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA 、AB 、BC 三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）分析：（1）根据1日的信息知道：成本价为4元/升，售价为5元/升，所以每升的利润是1元。
人教版八年级数学下册一次函数的实际应用解答题专项练习(word版含解析)
八年级数学下册一次函数的实际应用解答题专项练习1．甲、乙两台机器共同加工一批零件,一共用了6小时,在加工过程中乙机器因故障停止工作,排除故障后,乙机器提高了工作效率且保持不变,继续加工,甲机器在加工过程中工作效率保持不变,甲、乙两台机器加工零件的总数y（个）与甲加工时间x（h）之间的函数图象为折线OA﹣AB﹣BC．如图所示．（1）这批零件一共有个,甲机器每小时加工个零件；（2）在整个加工过程中,求y与x之间的函数解析式；（3）乙机器排除故障后,求甲加工多长时间时,甲与乙加工的零件个数相差10个．2．某企业计划通过扩大生产能力来消化第一季度积累的订单,决定增加一条新的生产线并招收工人．根据以往经验,一名熟练工人每小时完成的工件数量比一名普通工人每小时完成的工件数量多10个,且一名熟练工人完成160个工件与一名普通工人完成80个工件所用的时间相同．（1）求一名熟练工人和一名普通工人每小时分别能完成多少个工件？（2）新生产线的目标产能是每小时生产200个工件,计划招聘n名普通工人与m名熟练工人共同完成这项任务,请写出m与n的函数关系式（不需要写自变量n的取值范围）；（3）该企业在做市场调研时发现,一名普通工人每天工资为120元,一名熟练工人每天工资为150元,而且本地区现有熟练工人不超过8人．在（2）的条件下,该企业如何招聘工人,使得工人工资的总费用最少？3．某电信公司推出如下A,B两种通话收费方式,记通话时间为x分钟,总费用为y元．根据表格内信息完成以下问题：（1）分别求出A,B两种通话收费方式对应的函数表达式；（2）在给出的坐标系中作出收费方式A对应的函数图象,并求出；①通话时间为多少分钟时,两种收费方式费用相同；②结合图象,直接写出选择哪种通话方式能节省费用？4．如图（1）是某手机专卖店每周收支差额y（元）（手机总利润减去运营成本）与手机台数x（台）的函数图象,由于疫情影响目前这个专卖店亏损,店家决定采取措施扭亏．方式一：改善管理,降低运营成本,以此举实现扭亏．方式二：运营成本不变,提高每台手机利润实现扭亏（假设每台手机的利润都相同）．解决以下问题：（1）说明图（1）中点A和点B的实际意义；（2）若店家决定采用方式一如图（2）,要使每周卖出70台时就能实现扭亏（收支平衡）,求节约了多少运营成本？（3）若店家决定两种方式都采用,降低运营成本为m元,提高每台手机利润n元,当5000≤m≤7000,50≤n≤100时,求店家每周销售100台手机时可获得的收支差额范围,并在图（3）中画出取得最大收支差额时y与x的关系的大致图象,要求描出反映关键数据的点．5．如图,l A、l B分别表示A步行与B骑车在同一路上行驶的路程S与时间t的关系．（1）B出发时与A相距千米．（2）B走了一段路后,自行车发生故障,B进行修理,所用的时间是小时．（3）B第二次出发后小时与A相遇．（4）若B的自行车不发生故障,保持出发时的速度前进,则出发多长时间与A相遇？（写出过程）6．甲、乙两人相约周末登崂山,甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示,且当乙提速后,乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍,且根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）乙在A地时距地面的高度b为米；t的值为；（2）请求出甲在登山全程中,距离地面高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式；（3）已知AB段对应的函数关系式为y＝30x﹣30,则登山多长时间时,甲、乙两人距地面的高度差为70米？（直接写出答案）7．某水果店11月份购进甲、乙两种水果共花费1800元,其中甲种水果10元/千克,乙种水果16元/千克．12月份,这两种水果的进价上调为：甲种水果13元/千克,乙种水果18元/千克．（1）若该店12月份购进这两种水果的数量与11月份都相同,将多支付货款400元,求该店11月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？（2）若12月份将这两种水果进货总量减少到130千克,设购进甲种水果a千克,需要支付的货款为w元,求w与a的函数关系式；（3）在（2）的条件下,若甲种水果不超过80千克,则12月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？8．甲骑电动车,乙骑自行车从深圳湾公园门口出发沿同一路线匀速游玩,设乙行驶的时间为x（h）,甲、乙两人距出发点的路程S甲、S乙关于x的函数图象如图①所示,甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图②所示,请你解决以下问题：（1）甲的速度是km/h,乙的速度是km/h；（2）对比图①、图②可知：a＝,b＝；（3）乙出发多少时间,甲、乙两人路程差为7.5km？9．某市为了鼓励居民节约用电,采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费,月用电量不超过200度时,按0.55元/度计费,月用电量超过200度时,其中的200度仍按0.55元/度计费,超过部分按0.70元/度计费,设每户家庭月用电量为x度时,应交电费y元．（1）分别求出0≤x≤200和x＞200时,y与x的函数解析式．（2）小明家4月份用电250度,应交电费多少元？（3）小明家6月份交纳电费117元,小明家这个月用电多少度？10．甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠,所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的关系如图所示,请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）乙队开挖到30m时,用了小时,甲队在开挖后6小时内,每小时挖m；（2）分别求出y甲、y乙与x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围；（3）开挖2小时,甲、乙两队挖的河渠的长度相差m,开挖6小时,甲、乙两队挖的河渠的长度相差m；（4）求开挖后几小时,甲、乙两队挖的河渠的长度相差5m．11．新冠肺炎疫情爆发后,口罩成为了最紧缺的防护物资之一,比亚迪,长安,格力等企业响应国家号召,纷纷开设口罩生产线．2月1日,重庆东升公司复工,利用原有的A生产线开始生产口罩,8天后,采用最新技术的B生产线建成投产同时,为加大口罩产能,公司耗时2天对A 生产线进行技术升级,升级期间A生产线暂停生产,升级后,产能提高20%．如图反映了每条A,B生产线的口罩总产量y（万个）与时间x（天）之间的关系,根据图象,解答下列问题：（1）技术升级后,每条A生产线每天生产口罩万个；（2）每条B生产线每天生产口罩万个；（3）技术升级后,东升公司的口罩日总产量为136万个,已知公司有15条A生产线,则B 生产线有条；（4）在（3）的条件下,东升公司进一步扩大产能,两生产线在原每日工作时长8小时的基础上,增加m小时（m为正整数）,同时新增k条B生产线,此时公司口罩日总产量达到260万个,求正整数k的值．12．某校开展“文明在行动”的志愿者活动,准备购买某一品牌书包送到希望学校．在A商店,无论一次购买多少,价格均为每个50元,在B商店,一次购买数量不超过10个时,价格为每个60元；一次购买数量超过10个时,超出10个部分打八折．设一次购买该品牌书包的数量为x个（x＞0）．（Ⅰ）根据题意填表：（Ⅱ）设在A商店花费y1元,在B商店花费y2元,分别求出y1,y2关于x的函数解析式；（Ⅲ）根据题意填空：①若小丽在A商店和在B商店一次购买书包的数量相同,且花费相同,则她在同一商店一次购买书包的数量为个．②若小丽在同一商店一次购买书包的数量为50个,则她在A,B两个商店中的商店购买花费少；③若小丽在同一商店一次购买书包花费了1800元,则她在A,B两个商店中商店购买数量多．13．小明和妈妈元旦假期去看望外婆,返回时,他们先搭乘顺路车到A地,约定小明爸爸驾车到A地接他们回家．一家人在A地见面,休息半小时后,小明爸爸驾车返回家中．已知小明他们与外婆家的距离s（km）和小明从外婆家出发的时间t（h）之间的函数关系如图所示．（1）小明家与外婆家的距离是km,小明爸爸驾车返回时平均速度是km/h：（2）点P的实际意义是什么？（3）求他们从A地驾车返回家的过程中,s与t之间的函数关系式．14．新冠疫情期间,口罩的需求量增大,某口罩加工厂承揽生产1600万个口罩的任务,每天生产的口罩数量相同,计划用x天（x＞4）完成．（1）求每天生产口罩y（万个）与生产时间x（天）之间的函数表达式；（2）由于疫情形势严峻,卫生管理部门要求厂家提前4天交货,那么加工厂每天要多做20万个口罩才能完成任务,求实际生产时间．15．某公司销售玉米种子,价格为5元/千克,如果一次性购买10千克以上的种子,超过10千克部分的种子的价格打8折,部分表格如下：（1）直接写出表格中a,b的值；（2）设购买种子数量为x（x＞10）千克,付款金额为y元,求y与x的函数关系式；（3）小李第一次购买种子35千克,第二次又购买了8千克,若两次购买种子的数量合在一起购买可省多少钱？参考答案1．解：（1）由函数图象可知,共用6小时加工完这批零件,一共有270个．AB段为甲机器单独加工,每小时加工个数为（90﹣50）÷（3﹣1）＝20（个）,故答案为：270,20；（2）设y OA＝k1x,当x＝1时,y＝50,则50＝k1,∴y OA＝50x；设y AB＝k2x+b2,,解得,∴y AB＝20x+30；设y BC＝k3x+b3,,解得,∴y BC＝60x﹣90；综上所述,在整个加工过程中,y与x之间的函数解析式是y＝；（3）乙开始的加工速度为：50÷1﹣20＝30（个/小时）,乙后来的加工速度为：（270﹣90）÷（6﹣3）﹣20＝40（个/小时）,设乙机器排除故障后,甲加工a小时时,甲与乙加工的零件个数相差10个,20a﹣[30×1+40（a﹣3）]＝±10,解得a＝4或a＝5,答：排除故障后,甲加工4小时或5小时时,甲与乙加工个数相差10．2．解：（1）设一名普通工人每小时完成x个工件,则一名熟练工人每小时完成（x+10）个工件,,解得x＝10,经检验,x＝10是原分式方程的解,∴x+10＝20,即一名熟练工人和一名普通工人每小时分别能完成20个工件、10个工件；（2）由题意可得,10n+20m＝200,则m＝﹣0.5n+10,即m与n的函数关系式是m＝﹣0.5n+10；（3）设工人工资的总费用为w元,w＝120n+150m＝120n+150（﹣0.5m+10）＝45n+1500,∴w随n的增大而增大,∵本地区现有熟练工人不超过8人,∴m≤8,即﹣0.5n+10≤8,解得n≥4,∴当n＝4时,w取得最小值,此时w＝1680,m＝﹣0.5n+10＝8,答：招聘普通工人4人,熟练工人8人时,工人工资的总费用最少．3．解：（1）由表格可得,收费方式A对应的函数表达式是y＝0.2x+12,收费方式B对应的函数表达式是：当0≤x≤40时,y＝18,当x＞40时,y＝0.3（x﹣40）+18＝0.3x+6,由上可得,收费方式A对应的函数表达式是y＝0.2x+12,收费方式B对应的函数表达式是y ＝；（2）∵收费方式A对应的函数表达式是y＝0.2x+12,∴当x＝0时,y＝12,当x＝40时,y＝20,收费方式A对应的函数图象如右图所示；①设通话时间为a分钟时,两种收费方式费用相同,0.2a+12＝18或0.2a+12＝0.3a+6,解得a＝30或a＝60,即通话时间为30分钟或60分钟时,两种收费方式费用相同；②由图象可得,当0≤x＜30或x＞60时,选择A种通话方式能节省费用；当x＝30或x＝60时,两种通话方式一样；当30＜x＜60时,选择B种通话方式能节省费用．4．解：（1）由图像可知A点是函数图象与x轴的交点,所以点A的实际意义表示当卖出100台手机时,该专卖店每周收支差额为0；B点是函数图象与y轴的交点,所以点B的实际意义表示当手机店一台手机都没有卖出时,该专卖店亏损20000元；（2）由图（1）可求出以前的函数为y＝200x﹣20000,若店家决定采用方式一,降低运营成本,即将函数图象上下平移,所以可以设新函数为y＝200x+b,∵函数图象经过点（70,0）,代入可得200×70+b＝0,解得：b＝﹣14000,∴要使每周卖出70台时就能实现扭亏（收支平衡）,运营成本为14000元,节约了6000元运营成本；（3）设新函数为y＝（200+n）x﹣（20000﹣n）,∵50≤n≤100,∴250≤200+n≤300,当店家每周售出100台手机,收支差额最小时y＝250×100﹣7000＝18000,收支差额最大时y＝300×100﹣5000＝25000,∴收支差额范围为18000≤y≤25000,图象为：．5．解：（1）∵当t＝0时,S＝10,∴B出发时与A相距10千米．故答案为：10．（2）1.5﹣0.5＝1（小时）．故答案为：1．（3）观察函数图象,可知：B第二次出发后1.5小时与A相遇．（4）设A行走的路程S与时间t的函数关系式为S＝kt+b（k≠0）,将（0,10）,（3,22.5）代入S＝kt+b,得：,解得：,∴A行走的路程S与时间t的函数关系式为S＝x+10．设若B的自行车不发生故障,则B行走的路程S与时间t的函数关系式为S＝mt．∵点（0.5,7.5）在该函数图象上,∴7.5＝0.5m,解得：m＝15,∴设若B的自行车不发生故障,则B行走的路程S与时间t的函数关系式为S＝15t．联立两函数解析式成方程组,得：,解得：,∴若B的自行车不发生故障,保持出发时的速度前进,小时与A相遇．6．解：（1）甲登山上升的速度是：（300﹣100）÷20＝10（米/分钟）, 乙提速后的速度为：10×3＝30（米/分钟）,b＝15÷1×2＝30；t＝2+（300﹣30）÷30＝11,故答案为：30；11；（2）设甲在登山全程中,距离地面高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝kx+100,根据题意,得20k+100＝300,解得k＝10,故y＝10x+100（0≤x≤20）；（3）根据题意,得：当10x+100﹣（30x﹣30）＝70时,解得：x＝3；当30x﹣30﹣（10x+100）＝70时,解得：x＝10；当300﹣（10x+100）＝70时,解得：x＝13．答：登山3分钟、10分钟或13分钟时,甲、乙两人距地面的高度差为70米．7．解：（1）设该店11月份购进甲种水果x千克,购进乙种水果y千克, 根据题意得：,解得,答：该店11月份购进甲种水果100千克,购进乙种水果50千克；（2）设购进甲种水果a千克,需要支付的货款为w元,则购进乙种水果（130﹣a）千克, 根据题意得：w＝10a+20（130﹣a）＝﹣10a+2600；（3）根据题意得,a≤80,由（2）得,w＝﹣10a+2600,∵﹣10＜0,w随a的增大而减小,∴a＝80时,w有最小值w最小＝﹣10×80+2600＝1600（元）．答：12月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1600元．8．解：（1）由图可得,甲的速度为：25÷（1.5﹣0.5）＝25÷1＝25（km/h）,乙的速度为：25÷2.5＝10（km/h）, 故答案为：25,10；（2）由图可得,a＝25×（1.5﹣0.5）﹣10×1.5＝10,b＝1.5,故答案为：10；1.5；（3）由题意可得,前0.5h,乙行驶的路程为：10×0.5＝5＜7.5,则甲、乙两人路程差为7.5km是在甲乙相遇之后,设乙出发xh时,甲、乙两人路程差为7.5km,25（x﹣0.5）﹣10x＝7.5,解得,x＝,25﹣10x＝7.5,得x＝；即乙出发或时,甲、乙两人路程差为7.5km．9．解：（1）当0≤x≤200时,y与x的函数解析式是y＝0.55x；当x＞200时,y与x的函数解析式是y＝0.55×200+0.7（x﹣200）,即y＝0.7x﹣30；（2）小明家4月份用电250度,月用电量超过200度,所以应交电费为：0.7×250﹣30＝145（元）,（3）因为小明家6月份的电费超过110元,所以把y＝117代入y＝0.7x﹣30中,得x＝210．答：小明家6月份用电210度．10．解：（1）依题意得,乙队开挖到30m时,用了2h,开挖6h时甲队比乙队多挖了60﹣50＝10（m）；故答案为：2；10；＝k1x, （2）设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式y甲由图可知,函数图象过点（6,60）,∴6k1＝60,解得k1＝10,∴y甲＝10x,设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y＝k2x+b,乙由图可知,函数图象过点（2,30）、（6,50）,∴,解得,∴y 乙＝5x +20；当0≤x ≤2时,设y 乙与x 的函数解析式为y 乙＝kx ,可得2k ＝30,解得k ＝15,即y 乙＝15x ； ∴y 乙＝,（3）依题意得,开挖2小时,甲、乙两队挖的河渠的长度相差10m ,开挖6小时,甲、乙两队挖的河渠的长度相差10m ；故答案为：10；10；（4）当0≤x ≤2时,15x ﹣10x ＝5,解得x ＝1．当2＜x ≤4时,5x +20﹣10x ＝5,解得x ＝3,当4＜x ≤6时,10x ﹣（5x +20）＝5,解得x ＝5．答：当两队所挖的河渠长度之差为5m 时,x 的值为1h 或3h 或5h ．11．解：（1）由图可知,升级前A 生产线的日产量为：32÷8＝4（万个）,∵升级后,日产能提高20%,∴技术升级后,每条A 生产线每天生产口罩4×（1+20%）＝4.8（万个）, 故答案为：4.8；（2）A 生产线技术升级后,A 生产线的产量由32万到56万,所用的时间为（56﹣32）÷4.8＝5（天）,故B 生产线从第8天开始生产到第15天的产能为56万个,所以每条B 生产线每天生产口罩：56÷（15﹣8）＝8（万个）,故答案为：8；（3）设B 生产线有x 条,根据题意得：15×4.8+8x ＝136,解得：x ＝8,故答案为：8；（4）A生产线升级后每小时产能为：4.8÷8＝0.6（万个）,B生产线的每小时产能为：8÷8＝1（万个）,根据题意得：0.6×（8+m）×15+（8+m）（8+k）＝260,整理得：（8+m）（17+k）＝260,∵m、k为正整数,∴8+m为大于8的正整数,17+k为大于17的正整数,∴（8+m）（17+k）＝260＝10×26＝13×20,∴8+m＝10,17+k＝26或8+m＝13,17+k＝20,∴m＝2,k＝9或m＝5,k＝3,∴每日工作时长增加2小时,B生产线增加9条或每日工作时长增加5小时,B生产线增加3条即可使公司口罩日总产量达到260万个,∴正整数k的值为9或3．答：正整数k的值为9或3．12．解：（Ⅰ）在A商店,购买5个费用＝5×50＝250（元）,购买15个费用为15×50＝750（元）,在B商店,购买5个费用＝5×60＝300（元）,购买15个费用为10×60+60×0.8（15﹣10）＝840（元）,故答案为：250,750,300,840；（Ⅱ）由题意可得：y1＝50x（x≥0）,当0≤x≤10时,y2＝60x,当x＞10时,y2＝60×10+60×0.8×（x﹣10）＝48x+120（x＞10）,∴y2＝；（Ⅲ）①由题意可得：50x＝48x+120,解得x＝60,故答案为：60；②∵50×50＜48×50+120,∴在A商店购买花费少,故答案为：A；③若在A商店,＝36（个）,若在B商店,＝35（个）,∵36＞35,∴在A商店购买的数量多,故答案为：A．13．解：（1）由图象可得小明家与外婆家的距离为300km,小明经过2小时到达点A,点A到小明外婆家的距离＝（300﹣2×90）＝120（km）,∴小明爸爸驾车返回时平均速度＝＝60（km/h）,故答案为：300,60；（2）点P表示小明出发2小时到达A地与小明爸爸相遇；（3）设s与t之间的函数关系式为s＝kt+b,且过点（2.5,180）,（4.5,300）,∴,解得,∴s与t之间的函数关系式为s＝60t+30（2.5≤t≤4.5）．14．解：（1）每天生产口罩y（万个）与生产时间x（天）之间的函数表达式为：y＝（x＞4）；（2）由题意可得：+20＝,解得：x1＝20,x2＝﹣16,经检验,x1＝20,x2＝﹣16是原分式方程的解,但x＝﹣16不合题意舍去,∴20﹣4＝16（天）,答：实际生产时间为16天．15．解：（1）a＝5×5＝25,b＝5×10+（20﹣10）×0.8×5＝90；（2）y＝5×10+5×0.8（x﹣10）＝4x+10；（3）购买35千克付款金额＝4×35+10＝150（元）,购买8千克付款金额＝5×8＝40（元）,一起购买付款金额＝4×（35+8）+10＝182（元）, ∴150+40﹣182＝8（元）,答：一起购买可省8元．。
人教版初中数学八年级下册一次函数 精品讲解
人教版初中数学八年级下册一次函数 精品讲解一次函数 精品讲解考点一 一次函数和正比例函数的定义一般地，如果y ＝kx ＋b (k ，b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数．特别地，当b ＝0时，一次函数y ＝kx ＋b 就成为y ＝kx (k 是常数，k ≠0)，这时y 叫做x 的正比例函数．考点二 一次函数的图象与性质 1．一次函数的图象(1)一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是经过点(0，b )和⎝⎛⎭⎫－bk ，0的一条直线． (2)正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象是经过点(0,0)和(1，k )的一条直线． 2．一次函数图象的性质一次函数y ＝kx ＋b ，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．考点三 一次函数解析式的确定常用待定系数法求一次函数的解析式，待定系数法的一般步骤是： 1．设出函数解析式；2．根据已知条件求出未知的系数； 3．具体写出这个解析式．考点四 一次函数与方程、方程组及不等式的关系1．y ＝kx ＋b 与kx ＋b ＝0直线y ＝kx ＋b 与x 轴交点的横坐标是方程kx ＋b ＝0的解，方程kx ＋b ＝0的解是直线y ＝kx ＋b 与x 轴交点的横坐标．2．y ＝kx ＋b 与不等式kx ＋b ＞0从函数值的角度看，不等式kx ＋b ＞0的解集为使函数值大于零(即kx ＋b ＞0)的x 的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在x 轴上方时，y ＞0，因此kx ＋b ＞0的解集为一次函数在x 轴上方的图象所对应的x 的取值范围．3．一次函数与方程组两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点．1．一个正比例函数的图象过点(2，－3)，它的表达式为( )．A ．y ＝－32xB ．y ＝23xC ．y ＝32xD ．y ＝－23x2．若一次函数y ＝kx ＋b 的函数值y 随x 的增大而减小，且图象与y 轴的负半轴相交，那么k 和b 的符号判断正确的是( )．A ．k ＞0，b ＞0B ．k ＞0，b ＜0C ．k ＜0，b ＞0D ．k ＜0，b ＜0 3．两直线l 1：y ＝2x －1，l 2：y ＝x ＋1的交点坐标为( )． A ．(－2,3) B ．(2，－3) C ．(－2，－3) D ．(2,3) 4．某种铂金饰品在甲、乙两个商店销售．甲店标价477元/克，按标价出售，不优惠．乙店标价530元/克，但若买的铂金饰品重量超过3克，则超出部分可打八折出售．(1)分别写出到甲、乙商店购买该种铂金饰品所需费用y (元)和重量x (克)之间的函数关系式；(2)李阿姨要买一条重量不少于4克且不超过10克的此种铂金饰品，到哪个商店购买最合算？一、一次函数的图象与性质【例1】 点P 1(x 1，y 1)和点P 2(x 2，y 2)是一次函数y ＝－4x ＋3图象上的两个点，且x 1＜x 2，则y 1与y 2的大小关系是( )．A ．y 1＞y 2B ．y 1＞y 2＞0C ．y 1＜y 2D ．y 1＝y 2解析：因为一次函数y ＝－4x ＋3中k ＜0，根据其性质，y 随x 的增大而减小．所以当x 1＜x 2时，y 1＞y 2.答案：A解有关一次函数y=kx+b 的图象与性质的问题时，应注意以下三点：①一次函数图象分布特征与k ，b 的符号之间的关系；②一次函数图象的增减性与k 的符号之间的关系；③一次函数与两坐标轴的交点及围成的图形的面积等．在同一直角坐标系中，函数y ＝kx ＋1和函数y ＝kx(k 是常数且k ≠0)的图象只可能是( )．二、求一次函数解析式【例2】 娄底至新化高速公路的路基工程分段招标，市路桥公司中标承包了一段路基工程，进入施工场地后，所挖筑路基的长度y (m)与挖筑时间x (天)之间的函数关系如图所示，请根据提供的信息解答下列问题：(1)求在0≤x ＜2的时间段内，y 与x 的函数关系式； (2)求在x ≥2时间段内，y 与x 的函数关系式；(3)用所求的函数解析式预测完成1 620 m 的路基工程，需要挖筑多少天？解：(1)当0≤x ＜2时，设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ，∴40＝k .∴y 与x 的函数关系式为y ＝40x (0≤x ＜2)．(2)当x ≥2时，设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 115＝3k ＋b ，255＝7k ＋b ，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝35，b ＝10.∴y 与x 的函数关系式为y ＝35x ＋10(x ≥2)． (3)当y ＝1 620时，35x ＋10＝1 620，x ＝46. 答：需要挖筑46天．确定一次函数的函数关系式，可先设出函数关系式，再根据条件确定关系式中未知的数．根据图象，由两个点的坐标可确定一次函数关系式，正比例函数只需一个点的坐标即可．三、一次函数与方程(组)、不等式的关系【例3】 如图，已知函数y ＝ax ＋b 和y ＝kx 的图象交于点P ，则根据图象可得二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，y ＝kx 的解是__________．解析：如图所示，二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，y ＝kx 的解就是直线y ＝ax ＋b 与直线y ＝kx的交点，所以点P 的坐标就是方程组的解，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2两个函数图象的交点坐标，即满足其中一个函数的表达式，也满足另一个函数的表达式，求函数图象的交点坐标，就是解这两个函数图象的表达式所组成的方程组的解，讨论图象的交点问题就是讨论方程组解的情况．四、一次函数的应用【例4】 小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁，图中折线O —A —B —C 和线段OD 分别表示两人离学校的路程s (千米)与所经过的时间t (分钟)之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：(1)小聪在天一阁查阅资料的时间为__________分钟，小聪返回学校的速度为__________千米/分钟；(2)请你求出小明离开学校的路程s (千米)与所经过的时间t (分钟)之间的函数关系； (3)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？解：(1)15 415(2)由图象可知，s 是t 的正比例函数．设所求函数的解析式为s ＝kt (k ≠0)，代入(45,4)，得4＝45k ，解得k ＝445.∴s 与t 的函数关系式s ＝445t (0≤t ≤45)．(3)由图象可知，小聪在30≤t ≤45的时段内s 是t 的一次函数，设函数解析式为s ＝mt ＋n (m ≠0)．代入(30,4)，(45,0)，得⎩⎪⎨⎪⎧30m ＋n ＝4，45m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－415，n ＝12.∴s ＝－415t ＋12(30≤t ≤45)．令－415t ＋12＝445t ，解得t ＝1354.当t ＝1354时，s ＝445×1354＝3.答：当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米．用一次函数解决实际问题的一般步骤为：(1)根据题意，设定问题中的变量；(2)建立一次函数关系式模型；(3)确定自变量的取值范围；(4)与方程或不等式(组)结合解决实际问题．1．(2012四川乐山)若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a ＜b ＜c ，则函数y ＝ax ＋c 的图象可能是( )．2．(2011黑龙江哈尔滨)一辆汽车的油箱中现有汽油60升，如果不再加油，那么油箱中的油量y (单位：升)随行驶里程x (单位：千米)的增加而减小，若这辆汽车平均耗油量为0.2升/千米，则y 与x 之间的函数关系用图象表示大致是( )．3．(2011浙江义乌)一次函数y ＝2x －1的图象经过点(a,3)，则a ＝__________.4．(2011内蒙古呼和浩特)已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋n 的图象如图所示，则|n －m |－m 2可化简为__________．5．(2012山东菏泽)如图，一次函数y ＝－23x ＋2的图象分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，以线段AB 为边在第一象限内作等腰Rt △ABC ，∠BAC ＝90°，求过B ，C 两点直线的解析式．1．一次函数y ＝－3x －2的图象不经过( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．一次函数y ＝(a －2)x ＋a －3的图象与y 轴的交点在x 轴的下方，则a 的取值范围是( )．A ．a ≠2B ．a ＜3且a ≠2C ．a ＞2且a ≠3D ．a ＝33．一辆汽车和一辆摩托车分别从A ，B 两地去同一城市，它们离A 地的路程随时间变化的图象如图所示．则下列结论错误．．的是( )．A ．摩托车比汽车晚到1 hB ．A ，B 两地的路程为20 kmC ．摩托车的速度为45 km/hD ．汽车的速度为60 km/h4．一次函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，当y ＜0时，x 的取值范围是( )．A ．x ＜0B ．x ＞0C ．x ＜2D ．x ＞25．把直线y ＝－2x 向上平移后得到直线AB ，直线AB 经过点(m ，n )，且2m ＋n ＝6，则直线AB 的解析式是( )．A ．y ＝－2x －3B ．y ＝－2x －6C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝－2x ＋66．如果点(－2，m )和⎝⎛⎭⎫12，n 都在直线y ＝43x ＋4上，则m ，n 的大小关系是：__________. 7．点A (－3,4)在一次函数y ＝－3x －5的图象上，图象与y 轴的交点为B ，那么△AOB 的面积为________．8．一辆汽车在行驶过程中，路程y (千米)与时间x (小时)之间的函数关系如图所示，当0≤x ≤1时，y 关于x 的函数解析式为y ＝60x ，那么当1≤x ≤2时，y 关于x 的函数解析式为__________．9．如图，直线y ＝3x ，点A 1坐标为(1,0)，过点A 1作x 轴的垂线交直线于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画弧交x 轴于点A 2；再过点A 2作x 轴的垂线交直线于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画弧交x 轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A 5的坐标为________．10．星期天8：00～8：30，燃气公司给平安加气站的储气罐注入天然气．之后，一位工作人员以每车20立方米的加气量，依次给在加气站排队等候的若干辆车加气．储气罐中的储气量y (立方米)与时间x (小时)的函数关系如图所示．(1)8：00～8：30，燃气公司向储气罐注入了多少立方米的天然气？(2)当x ≥0.5时，求储气罐中的储气量y (立方米)与时间x (小时)的函数解析式；(3)请你判断，正在排队等候的第18辆车能否在当天10：30之前加完气？请说明理由．参考答案基础自主导学自主测试1．A 2.D 3.D4．解：(1)y 甲＝477x ，y 乙＝530×3＋530(x －3)×80%＝424x ＋318. (2)由y 甲＝y 乙，得477x ＝424x ＋318，∴x ＝6. 由y 甲＞y 乙，得477x ＞424x ＋318，则x ＞6. 由y 甲＜y 乙，得477x ＜424x ＋318，则x ＜6.所以当x ＝6时，到甲、乙两个商店购买费用相同． 当4≤x ＜6时，到甲商店购买合算． 当6＜x ≤10时，到乙商店购买合算．规律方法探究变式训练 B知能优化训练中考回顾1．A 2.D 3.2 4．n5．解：如图，过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，则∠AOB ＝∠CDA ＝90°， ∵∠BAC ＝90°，∴∠BAO ＋∠ABO ＝∠BAO ＋∠CAD ＝90°. ∴∠ABO ＝∠CAD .又∵AB ＝AC ，∴△ABO ≌△CAD . ∴AD ＝OB ＝2，CD ＝AO ＝3.∵y ＝－23x ＋2与x 轴交于点(3,0)，与y 轴交于点(0,2)，∴C (5,3)．设过B ，C 两点直线的解析式是y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧5k ＋b ＝3，b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝15，b ＝2.∴过B ，C 两点直线的解析式为y ＝15x ＋2.模拟预测1．A 2.B 3.C 4.D 5.D 6．m ＜n 7.7.5 8．y ＝100x －40 9.(16,0) 10．解：(1)8 000立方米．(2)当x ≥0.5时，设y ＝kx ＋b (k ≠0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ 0.5k ＋b ＝10 000，10.5k ＋b ＝8 000，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－200，b ＝10 000. ∴y ＝－200x ＋10 100(x ≥0.5)．(3)当x ＝2.5时，y ＝－200×2.5＋10 100＝9 600， 10 000－9 60020＝20＞18.∴第18辆车在10：30前能加完气．。
八年级数学下册《利用一次函数解决实际问题》教案、教学设计
（3）采用启发式教学法，引导学生通过观察、分析、归纳，发现一次函数的性质；
（4）组织小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
2.教学过程：
（1）导入：以生活中的一次函数实例引入新课，让学生感受到数学与生活的紧密联系；
（2）探究：引导学生通过小组讨论、自主探究，从实际问题中抽象出一次函数关系；
3.探究性作业：鼓励学生自主探究一次函数的性质，发现规律，提高学生的探究能力和创新意识。
例题：研究一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图像，探讨k、b的取值对图像的影响。
4.小组合作作业：安排一些需要团队合作完成的作业，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
例题：小组合作设计一个一次函数应用实例，并撰写解题报告，分析解题过程。
3.一次函数在实际问题中的求解方法。
总之，在本节课的教学过程中，我将注重启发式教学、分层教学和师生互动，努力提高学生的学习兴趣和积极性，确保教学目标的实现。
五、作业布置
为了巩固本章节所学知识，检验学生对一次函数的理解和应用能力，我设计了以下几类作业：
1.基础知识巩固题：包括一次函数的定义、性质、图像等方面的练习，旨在帮助学生巩固一次函数的基本概念。
例题：已知一次函数y=2x+3，求该函数的斜率和截距。
2.实际问题应用题：设计一些与生活息息相关的问题，让学生运用一次函数知识解决，提高学生解决实际问题的能力。
例题：某商店进行打折促销活动，原价为100元的商品，每增加1元，折扣力度增加0.01。请列出商品价格与折扣力度之间的关系，并计算在哪个价格区间购买最划算。
（三）情感态度与价值观
1.增强数学在实际生活中的应用意识，认识到数学知识在解决实际问题中的重要性；
人教版数学八年级下册《一次函数实际问题》教案
人教版数学八年级下册《一次函数实际问题》教案一. 教材分析《一次函数实际问题》是人教版数学八年级下册的教学内容，主要让学生了解一次函数在实际问题中的应用。
通过本节课的学习，学生将掌握一次函数的定义、性质和图象，并能解决一些简单的实际问题。
教材通过丰富的实例，引导学生认识一次函数与现实生活的联系，培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析学生在八年级上册已经学习了函数的基本概念，对函数有一定的认识。
但实际问题中的函数应用仍然是他们的薄弱环节。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们的解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解一次函数的定义和性质；2.学会用一次函数解决实际问题；3.培养学生的数学应用能力和团队协作精神。
四. 教学重难点1.一次函数的定义和性质；2.一次函数在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生了解一次函数的实际应用；2.小组合作学习：让学生在小组内讨论、探究，提高团队协作能力；3.案例分析法：分析实际问题，培养学生解决问题的能力；4.引导发现法：教师引导学生发现一次函数的规律，提高学生的自主学习能力。
六. 教学准备1.教学PPT；2.实际问题案例；3.whiteboard 和 markers；4.学生分组名单。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过一个简单的实际问题引入本节课的主题，如“某商品打8折后的价格是多少？”让学生尝试解答，激发学生的学习兴趣。
2. 呈现（10分钟）教师展示一次函数的定义和性质，以及一次函数图象的特点。
通过PPT和板书，引导学生理解一次函数的基本概念。
3. 操练（15分钟）教师给出几个实际问题，让学生分组讨论、探究。
学生在小组内合作解决问题，培养团队协作能力。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4. 巩固（10分钟）教师挑选几个小组的解题过程和答案，进行讲解和评价。
让学生在评价中巩固知识，提高自己的解题能力。
人教版八下数学第十九章一次函数的两种常见应用
第十九章 一次函数
阶段核心归类专训 一次函数的两种常见应用
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1．【2019·淮安】快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地， 两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶，途中快车休息 1.5 小时，慢车没有休息．设慢车行驶的时间为 x 小时，快车 行驶的路程为 y1 千米，慢车行驶的路程为 y2 千米．如图中折 线 OAEC 表示 y1 与 x 之间的函数关系，线段 OD 表示 y2 与 x 之间的函数关系． 请解答下列问题：
3.某种铂金饰品在甲、乙两个商店销售．甲店标价为 477 元/g， 按标价出售，不优惠；乙店标价为 530 元/g，但若买的铂金饰 品质量超过 3 g，则超出部分可打八折．
(1)分别写出到甲、乙两个商店购买该种铂金饰品所需费用 y(元) 和质量 x(g)之间的函数解析式(请直接写出)； 解：y 甲＝477x，y 乙＝543204xx（＋03≤18（x≤x＞3）3），.
5．如图①所示，正方形 ABCD 的边长为 6 cm，动点 P 从点 A 出 发，在正方形的边上沿 A→B→C→D 运动，设运动的时间为 t(s)，三角形 APD 的面积为 S(cm2)，S 与 t 的函数图象如图② 所示，请回答下列问题：
(1)点 P 在 AB 上运动的时间为___6____s，在 CD 上运动的速度为 ___2_____cm/s，三角形 APD 的面积 S 的最大值为___1_8____cm2；
4．【2019·黄冈】某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召， 决定成立草莓产销合作社，负责扶贫对象户种植草莓的技术 指导和统一销售，所获利润年底分红．经市场调研发现，草 莓销售单价 y(万元)与产量 x(吨)之间的关系如图所示 (0≤x≤100)．已知草莓的产销投入总成本 p(万元)与产量 x(吨) 之间满足 p＝x＋1.
人教版数学八年级下册17.解题技巧专题：利用一次函数解决实际问题
解题技巧专题：利用一次函数解决实际问题——明确不同类型的图象的端点、折点、交点等的意义◆类型一费用类问题一、建立一次函数模型解决问题1．(2016·攀枝花中考)某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨(含14吨)，则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．(1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场价；(2)设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数解析式；(3)小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？二、分段函数问题2．(2016·荆州中考)为更新果树品种，某果园计划新购进A，B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种树苗的单价为7元/棵，购买B种树苗所需费用y(元)与购买数量x(棵)之间存在如图所示的函数关系．(1)求y与x的函数解析式；(2)若在购买计划中，B种树苗的数量不超过35棵，但不少于A种树苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．三、两个一次函数图象结合的问题3．随着互联网的发展，互联网消费逐渐深入人们生活，如图是“滴滴顺风车”与“滴滴快车”的行驶里程x(公里)与计费y(元)之间的函数关系图象，下列说法：①“快车”行驶里程不超过5公里计费8元；②“顺风车”行驶里程超过2公里的部分，每公里计费1.2元；③A点的坐标为(6.5，10.4)；④从哈尔滨西站到会展中心的里程是15公里，则“顺风车”要比“快车”少用3.4元．其中正确的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个四、分类讨论思想4．(2017·天门中考)江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾，“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额y甲，y乙(单位：元)与原价x(单位：元)之间的函数关系如图所示：(1)直接写出y甲，y乙关于x的函数关系式；(2)“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱？。
数学人教版八年级下册19.2.2用一次函数解决实际问题教案
19.2.2用一次函数解决实际问题襄阳东风中学冯华炜一、教学目标分析《数学课程标准》中说，在数学课程中，应当注重发展模型思想和应用意识．从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立函数来表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义．这有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学兴趣和应用意识．课本通过一道付款金额与购买量的关系问题，让学生感受函数模型思想．根据以上分析，确定教学目标是：1．通过对生活中付款金额和购买量问题的探究，会由实际问题列出由一次函数组成的分段函数解析式，能画出分段函数的图象，并能利用图象解决简单的实际问题．2．经历将实际问题转化为一次函数问题的过程，体会数学建模思想和函数的应用价值，体会变化对应、分类讨论、数形结合的思想，提高综合利用函数知识分析、解决问题的能力，体会数学来源于生活又服务于生活．二、教学内容解析本节课是人教版八年级下册第19章一次函数19.2.2用一次函数解决实际问题，是在学习了函数的概念、图象，正比例函数、一次函数的概念、图象和性质以及用待定系数法求一次函数解析式的基础上教学的．本节课通过实际问题让学生感受一次函数模型思想，会用一次函数解析式及其图象解决实际问题．教学重点：从实际问题中抽象出一次函数的解析式，会结合图象来解决简单问题．三、教学问题诊断八年级学生会根据简单实际问题列一次函数解析式和画函数图象，但不能很好地从整体上把握题目中的数量关系，且对自变量所在范围进行分段讨论不是很熟悉，不知道分段函数的概念和其图象是条折线．教学难点：找出相关量的数量关系来确定函数解析式并认识其图象四、教学方法自主学习、合作探究、讲授法五、教学过程1．提出问题引入新课五一期间某超市搞促销活动：①一次性购物不超过150元不享受优惠；②一次性购物超过150元一律九折．则（1）原价为100元的商品，实际付款元；原价为300元的商品，实际付款元．（2）实际付款180元，商品原价是元．实际付款144元，商品原价是元．设计意图：原价在不同范围内，打折力度不同，让学生感受到已知一个量求另一个量时要注意变量的范围，感受分类讨论思想．2．师生合作探究新知例1“黄金1号”玉米种子的价格为5 元/kg，如果一次购买2 kg 以上的种子，超过2 kg 的部分种子价格打8折．(1) 求出付款金额y（单位：元）与种子购买量x（单位：kg）之间的函数解析式，并画出函数图象．分析:购买种子的付款金额y与有关，种子价格固定吗？要分种情况．①若一次购买种子的数量在千克范围内时，种子价格为5元/千克；②若一次购买种子的数量为x(x>2)千克，付款金额分两部分：一部分是2千克种子按元/千克计算，超过2千克部分为千克，价格按元/千克计算．通过上面的分析，写付款金额y关于购买量x的函数解析式或画函数图象时，应对购买量x在0≤x≤2和x>2进行分段讨论．(2)一次购买1.5 kg 种子，需付款多少元？一次购买3 kg 种子，需付款多少元？(3)一次付款5元，则购买多少kg种子？一次付款18元，则购买多少kg种子？设计意图：对课本例题中的两小问进行适当整合，先通过分析题目中的数量关系，直接列出函数解析式，再列表体会函数关系，并画出函数图象．增加(2)(3)问，让学生进一步认识自变量与函数的对应关系，并且会判断带入哪个函数解析式中．通过图象，进一步认识分段函数．变式“黄金1号”玉米种子的价格为5 元/kg，如果一次购买不超过2 kg，种子不打折；超过2 kg 但不超过10kg的部分，种子的价格打8折；超过10kg的部分，种子的价格打7折，写出付款金额y（单位：元）与购买种子数量x（单位：kg）之间的函数解析式．（思考：函数图象怎么画？）设计意图：通过变式，当自变量取值范围需要分3段时，列分段函数解析式，拓宽学生思维．3.学以致用巩固新知1．某地打长途电话3分钟之内收费1.8元，3分钟以后每增加1分钟（不到1分钟按一分钟计算）加收0.5元，当通话时间t≥3分钟时，电话费y(元)与通话时间t(分)之间的关系式为( )A．y=t+2.4 B．y=0.5t+0.3C．y=0.5t+1 D．y=0.5t－0.32．一个试验室在0:00—2:00保持20℃的恒温，在2:00—4:00匀速升温，每小时升高5℃．(1)写出试验室温度T(单位: ℃)关于时间t(单位: h)的函数解析式是，并画出函数图象．(2)试验室温度是22．5℃时，是几点钟？3．某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直到完成800亩的播种任务，播种亩数与播种时间之间的函数关系如图所示，那么乙播种机参与播种的天数是（）A．2天B．3天C．4天D．5天设计意图：三道练习题题量合适，有适当的梯度．根据实际教学情况适时调整练习反馈情况，争取每个学生得到不同的发展，力争让每个学生都学有所获．4．归纳反思拓展升华（1）根据实际问题列分段函数解析式，结合图象进行分析，体会变化对应、分类讨论、数形结合的思想方法；（2）现实问题数学化数学问题(模型) 数学方法数学问题的解还原说明现实问题的解（3）数学与生活、生产实际有密切联系，我们碰到实际问题要善于用数学方法去分析、去解决．5．课后作业巩固提高教科书第99～100页习题19.2第11，14，15题；《名师大课堂》。
新人教版八年级下册一次函数 精品讲解
一次函数 精品讲解考点一 一次函数和正比例函数的定义一般地，如果y ＝kx ＋b (k ，b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数．特别地，当b ＝0时，一次函数y ＝kx ＋b 就成为y ＝kx (k 是常数，k ≠0)，这时y 叫做x 的正比例函数．考点二 一次函数的图象与性质 1．一次函数的图象(1)一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是经过点(0，b )和⎝⎛⎭⎫－bk ，0的一条直线． (2)正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象是经过点(0,0)和(1，k )的一条直线． 2．一次函数图象的性质一次函数y ＝kx ＋b ，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．考点三 一次函数解析式的确定常用待定系数法求一次函数的解析式，待定系数法的一般步骤是： 1．设出函数解析式；2．根据已知条件求出未知的系数； 3．具体写出这个解析式．考点四 一次函数与方程、方程组及不等式的关系1．y ＝kx ＋b 与kx ＋b ＝0直线y ＝kx ＋b 与x 轴交点的横坐标是方程kx ＋b ＝0的解，方程kx ＋b ＝0的解是直线y ＝kx ＋b 与x 轴交点的横坐标．2．y ＝kx ＋b 与不等式kx ＋b ＞0从函数值的角度看，不等式kx ＋b ＞0的解集为使函数值大于零(即kx ＋b ＞0)的x 的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在x 轴上方时，y ＞0，因此kx ＋b ＞0的解集为一次函数在x 轴上方的图象所对应的x 的取值范围．3．一次函数与方程组两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点．1．一个正比例函数的图象过点(2，－3)，它的表达式为( )．A ．y ＝－32xB ．y ＝23xC ．y ＝32xD ．y ＝－23x2．若一次函数y ＝kx ＋b 的函数值y 随x 的增大而减小，且图象与y 轴的负半轴相交，那么k 和b 的符号判断正确的是( )．A ．k ＞0，b ＞0B ．k ＞0，b ＜0C ．k ＜0，b ＞0D ．k ＜0，b ＜0 3．两直线l 1：y ＝2x －1，l 2：y ＝x ＋1的交点坐标为( )． A ．(－2,3) B ．(2，－3) C ．(－2，－3) D ．(2,3) 4．某种铂金饰品在甲、乙两个商店销售．甲店标价477元/克，按标价出售，不优惠．乙店标价530元/克，但若买的铂金饰品重量超过3克，则超出部分可打八折出售．(1)分别写出到甲、乙商店购买该种铂金饰品所需费用y (元)和重量x (克)之间的函数关系式；(2)李阿姨要买一条重量不少于4克且不超过10克的此种铂金饰品，到哪个商店购买最合算？一、一次函数的图象与性质【例1】 点P 1(x 1，y 1)和点P 2(x 2，y 2)是一次函数y ＝－4x ＋3图象上的两个点，且x 1＜x 2，则y 1与y 2的大小关系是( )．A ．y 1＞y 2B ．y 1＞y 2＞0C ．y 1＜y 2D ．y 1＝y 2解析：因为一次函数y ＝－4x ＋3中k ＜0，根据其性质，y 随x 的增大而减小．所以当x 1＜x 2时，y 1＞y 2.答案：A解有关一次函数y=kx+b 的图象与性质的问题时，应注意以下三点：①一次函数图象分布特征与k ，b 的符号之间的关系；②一次函数图象的增减性与k 的符号之间的关系；③一次函数与两坐标轴的交点及围成的图形的面积等．在同一直角坐标系中，函数y ＝kx ＋1和函数y ＝kx(k 是常数且k ≠0)的图象只可能是( )．二、求一次函数解析式【例2】 娄底至新化高速公路的路基工程分段招标，市路桥公司中标承包了一段路基工程，进入施工场地后，所挖筑路基的长度y (m)与挖筑时间x (天)之间的函数关系如图所示，请根据提供的信息解答下列问题：(1)求在0≤x ＜2的时间段内，y 与x 的函数关系式； (2)求在x ≥2时间段内，y 与x 的函数关系式；(3)用所求的函数解析式预测完成1 620 m 的路基工程，需要挖筑多少天？解：(1)当0≤x ＜2时，设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ，∴40＝k .∴y 与x 的函数关系式为y ＝40x (0≤x ＜2)．(2)当x ≥2时，设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 115＝3k ＋b ，255＝7k ＋b ，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝35，b ＝10. ∴y 与x 的函数关系式为y ＝35x ＋10(x ≥2)． (3)当y ＝1 620时，35x ＋10＝1 620，x ＝46. 答：需要挖筑46天．确定一次函数的函数关系式，可先设出函数关系式，再根据条件确定关系式中未知的数．根据图象，由两个点的坐标可确定一次函数关系式，正比例函数只需一个点的坐标即可．三、一次函数与方程(组)、不等式的关系【例3】 如图，已知函数y ＝ax ＋b 和y ＝kx 的图象交于点P ，则根据图象可得二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，y ＝kx 的解是__________．解析：如图所示，二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，y ＝kx 的解就是直线y ＝ax ＋b 与直线y ＝kx的交点，所以点P 的坐标就是方程组的解，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2两个函数图象的交点坐标，即满足其中一个函数的表达式，也满足另一个函数的表达式，求函数图象的交点坐标，就是解这两个函数图象的表达式所组成的方程组的解，讨论图象的交点问题就是讨论方程组解的情况．四、一次函数的应用【例4】小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁，图中折线O—A—B—C和线段OD分别表示两人离学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：(1)小聪在天一阁查阅资料的时间为__________分钟，小聪返回学校的速度为__________千米/分钟；(2)请你求出小明离开学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系；(3)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？解：(1)154 15(2)由图象可知，s是t的正比例函数．设所求函数的解析式为s＝kt(k≠0)，代入(45,4)，得4＝45k，解得k＝445.∴s与t的函数关系式s＝445t(0≤t≤45)．(3)由图象可知，小聪在30≤t ≤45的时段内s 是t 的一次函数，设函数解析式为s ＝mt ＋n (m ≠0)．代入(30,4)，(45,0)，得⎩⎪⎨⎪⎧30m ＋n ＝4，45m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－415，n ＝12.∴s ＝－415t ＋12(30≤t ≤45)．令－415t ＋12＝445t ，解得t ＝1354.当t ＝1354时，s ＝445×1354＝3.答：当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米．用一次函数解决实际问题的一般步骤为：(1)根据题意，设定问题中的变量；(2)建立一次函数关系式模型；(3)确定自变量的取值范围；(4)与方程或不等式(组)结合解决实际问题．1．(2012四川乐山)若实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝ax＋c的图象可能是()．2．(2011黑龙江哈尔滨)一辆汽车的油箱中现有汽油60升，如果不再加油，那么油箱中的油量y(单位：升)随行驶里程x(单位：千米)的增加而减小，若这辆汽车平均耗油量为0.2升/千米，则y与x之间的函数关系用图象表示大致是()．3．(2011浙江义乌)一次函数y ＝2x －1的图象经过点(a,3)，则a ＝__________.4．(2011内蒙古呼和浩特)已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋n 的图象如图所示，则|n －m |－m 2可化简为__________．5．(2012山东菏泽)如图，一次函数y ＝－23x ＋2的图象分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，以线段AB 为边在第一象限内作等腰Rt △ABC ，∠BAC ＝90°，求过B ，C 两点直线的解析式．1．一次函数y＝－3x－2的图象不经过()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．一次函数y＝(a－2)x＋a－3的图象与y轴的交点在x轴的下方，则a的取值范围是()．A．a≠2 B．a＜3且a≠2 C．a＞2且a≠3 D．a＝33．一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示．则下列结论错误．．的是()．A ．摩托车比汽车晚到1 hB ．A ，B 两地的路程为20 kmC ．摩托车的速度为45 km/hD ．汽车的速度为60 km/h4．一次函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，当y ＜0时，x 的取值范围是( )．A ．x ＜0B ．x ＞0C ．x ＜2D ．x ＞25．把直线y ＝－2x 向上平移后得到直线AB ，直线AB 经过点(m ，n )，且2m ＋n ＝6，则直线AB 的解析式是( )．A ．y ＝－2x －3B ．y ＝－2x －6C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝－2x ＋66．如果点(－2，m )和⎝⎛⎭⎫12，n 都在直线y ＝43x ＋4上，则m ，n 的大小关系是：__________. 7．点A (－3,4)在一次函数y ＝－3x －5的图象上，图象与y 轴的交点为B ，那么△AOB 的面积为________．8．一辆汽车在行驶过程中，路程y (千米)与时间x (小时)之间的函数关系如图所示，当0≤x ≤1时，y 关于x 的函数解析式为y ＝60x ，那么当1≤x ≤2时，y 关于x 的函数解析式为__________．9．如图，直线y＝3x，点A1坐标为(1,0)，过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A5的坐标为________．10．星期天8：00～8：30，燃气公司给平安加气站的储气罐注入天然气．之后，一位工作人员以每车20立方米的加气量，依次给在加气站排队等候的若干辆车加气．储气罐中的储气量y(立方米)与时间x(小时)的函数关系如图所示．(1)8：00～8：30，燃气公司向储气罐注入了多少立方米的天然气？(2)当x≥0.5时，求储气罐中的储气量y(立方米)与时间x(小时)的函数解析式；(3)请你判断，正在排队等候的第18辆车能否在当天10：30之前加完气？请说明理由．参考答案基础自主导学自主测试1．A 2.D 3.D4．解：(1)y甲＝477x，y乙＝530×3＋530(x－3)×80%＝424x＋318.(2)由y甲＝y乙，得477x＝424x＋318，∴x＝6.由y甲＞y乙，得477x＞424x＋318，则x＞6.由y甲＜y乙，得477x＜424x＋318，则x＜6.所以当x＝6时，到甲、乙两个商店购买费用相同．当4≤x＜6时，到甲商店购买合算．当6＜x≤10时，到乙商店购买合算．规律方法探究变式训练 B知能优化训练中考回顾1．A 2.D 3.2 4．n5．解：如图，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，则∠AOB ＝∠CDA ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠BAO ＋∠ABO ＝∠BAO ＋∠CAD ＝90°. ∴∠ABO ＝∠CAD .又∵AB ＝AC ，∴△ABO ≌△CAD .∴AD ＝OB ＝2，CD ＝AO ＝3.∵y ＝－23x ＋2与x 轴交于点(3,0)，与y 轴交于点(0,2)，∴C (5,3)． 设过B ，C 两点直线的解析式是y ＝kx ＋b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ 5k ＋b ＝3，b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝15，b ＝2.∴过B ，C 两点直线的解析式为y ＝15x ＋2.模拟预测1．A 2.B 3.C 4.D 5.D 6．m ＜n 7.7.58．y ＝100x －40 9.(16,0)10．解：(1)8 000立方米．(2)当x ≥0.5时，设y ＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0.5k ＋b ＝10 000，10.5k ＋b ＝8 000，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－200，b ＝10 000.∴y ＝－200x ＋10 100(x ≥0.5)．(3)当x ＝2.5时，y ＝－200×2.5＋10 100＝9 600， 10 000－9 60020＝20＞18.∴第18辆车在10：30前能加完气．。
人教版数学八年级下册《一次函数实际问题》教学设计
人教版数学八年级下册《一次函数实际问题》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册《一次函数实际问题》是学生在掌握了函数基本概念和一次函数的性质的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是通过实际问题引入一次函数，让学生进一步理解和掌握一次函数的性质和应用。
教材中给出了丰富的例题和练习题，旨在让学生在解决实际问题的过程中，加深对一次函数的理解和应用。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了函数的基本概念和一次函数的性质，具备了一定的数学思维能力。
但学生在解决实际问题时，还存在着将数学与实际问题脱节的现象，对一次函数的应用还不够熟练。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将数学与实际问题相结合，提高学生解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.理解一次函数在实际问题中的应用；2.掌握一次函数的性质，并能解决相关实际问题；3.培养学生的数学思维能力和实际问题解决能力。
四. 教学重难点1.一次函数在实际问题中的应用；2.一次函数的性质的理解和应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法进行教学。
通过设置实际问题，引导学生主动探究一次函数的性质和应用，以案例的形式进行讲解，让学生在解决实际问题的过程中，加深对一次函数的理解。
同时，小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引入一次函数；2.准备一次函数的性质和应用的案例，用于讲解；3.准备小组合作的学习任务，用于学生实践。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实际问题，如购物、出行等，引导学生思考如何用数学知识解决这些问题。
学生通过思考，提出可以用一次函数来解决这些问题。
2.呈现（10分钟）教师展示一次函数的性质和应用的案例，引导学生理解和掌握一次函数的性质。
通过案例的讲解，让学生明白一次函数在实际问题中的应用。
3.操练（10分钟）教师学生进行小组合作，让学生运用一次函数的性质解决实际问题。
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一次函数一.常量、变量：在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量。
二、函数的概念：函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数．三、函数中自变量取值范围的求法：（1）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。
（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为 0 的一切实数。
（3）用寄次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。
用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数。
（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。
（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。
四、函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．五、用描点法画函数的图象的一般步骤1、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。
）注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。
2、描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。
3、连线：（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。
六、函数有三种表示形式：（1）列表法（2）图像法（3）解析式法七、正比例函数与一次函数的概念：一般地，形如 y=kx(k 为常数，且 k≠0)的函数叫做正比例函数.其中 k 叫做比例系数。
一般地，形如y=kx+b (k,b 为常数，且 k≠0)的函数叫做一次函数.当 b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.八、正比例函数的图象与性质：（1)图象:正比例函数 y= kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线 y= kx 。
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∴当A酒店本月对这种水果的需求量满足2350≤x≤3000时，
二、分段函数问题 2．为更新果树品种，某果园计划新购进A，B两个品
种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45
棵，其中A种树苗的单价为7元/棵， 购买B种树苗所需费用y(元)与购买 数量x(棵)之间存在如图所示的函 数关系．
(1)求y与x的函数解析式； 解：(1)当0≤x≤20时，设y与x的函
相距5km.
二、分段函数问题 6．(2018· 南京中考)小明从家出发，沿一条直道跑步，
经过一段时间原路返回，刚好在第16min回到家中．
设小明出发第tmin时的速度为vm/min，离家的距离为 sm，v与t之间的函数关系如
图所示(图中的空心圈表示
不包含这一点)．
(1)小明出发第2min时离家的距离为 200 m； (2)当2＜t≤5时，求s与t之间的函数表达式； 解：(2)当2＜t≤5时，s＝100
孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，
时间t(h)之间的函数图象如图所示，
根据图象解答下列问题：
(1)暂停排水需要多少时间？排水孔的排水速度是多少？
解：(1)暂停排水需要的时间为
2－1.5＝0.5(h)． ∵排水时间为3.5－0.5＝3(h)，
一共排水900m3，
∴排水孔的排水速度是900÷3＝300(m3/h)．
时，s＝80×6.25＋280－80(t－6.25)＝1280－80t.
故s与t之间的函数关系式为s＝
函数图象如图所示．
类型三 工程类问题
一、两个一次函数图象结合的问题
7．甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道， 所挖管道长度y(米)与挖掘时间
x(天)之间的关系如图所示，
则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖2天
解题技巧专题：利用一次函数 解决实际问题
——明确不同类型的图象的端点、折点、交点等的意义
类型一 费用类问题
一、建立一次函数模型解决问题
1．(2018· 无锡中考)一水果店是A酒店某种水果的唯一
供货商，水果店根据该酒店以往每月的需求情况，本
月初专门为他们准备了2600kg的这种水果．已知水果 店每售出 1kg 该水果可获利润 10 元，未售出的部分每
得
解得
∴Q关于t的函数解析式为Q＝－300t＋1050.
四、分类讨论思想
4．江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两 “龙虾节”期间，甲、乙两家商店 都让利酬宾，付款金额y甲，y乙
家农贸商店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾，
(单位：元)与原价x(单位：元)之
间的函数关系如图所示：
(1)直接写出y甲，y乙关于x的函数关系式； 解：(1)y甲＝0.8x，y乙＝
(2)当2≤t≤3.5时，求Q关于t的函数解析式．
解：(2)当2≤t≤3.5时，设Q关于t的函数解析式为Q＝kt ＋b，易知图象过点(3.5，0)．
∵当t＝1.5时，排水300×1.5＝450
(m3)，此时Q＝900－450＝450， ∴点(2，450)在直线Q＝kt＋b上．
把(2，450)，(3.5，0)代入Q＝kt＋b，
5．A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向 而行，甲先出发，图中l1，l2
表示两人离A地的距离s(km)
与时间t(h)的关系，请结合图 象解答下列问题：
(1)表示乙离A地的距离与时间关系的图象是
(填l1
或l2)；甲的速度是 30 km/h，乙的速度是 20 km/h；
解析：由题意可知，乙的函数
×2＋160(t－2)＝160t－120. 故s与t之间的函数表达式为
s＝160t－120(2＜t≤5)．
(3)画出s与t之间的函数图象．
解：(3)当0≤t≤2时，s＝100t；
设小明第amin时开始返回，
则5＜t≤a时，s＝80(t－5)＋
160×5－120＝80t＋280， ∴80a＋280＝80×(16－a)，解得a＝6.25.当6.25＜t≤16
∴y＝
(2)当A酒店本月对这种水果的需求量如何时，该水果店
销售这批水果所获的利润不少于22000元？ 解：(2)由题意得：当2000≤x≤2600时，y≥220000， 即16x－15600≥22000，解得x≥2350. ∴2350≤x≤2600；
当2600＜x≤3000时，y＝26000＞22000成立， 该水果店销售这批水果所获的利润不少于22000元．
三、两个一次函数图象结合的问题
3．(2018· 金华中考)某通讯公司就上宽带网推出A，B，
C三种月收费方式．这三种收费 方式每月所需的费用y(元)与上
网时间x(h)的函数关系如图所示，
则下列判断错误的是( D )
A.每月上网时间不足25h时，选 择A方式最省钱
B.每月上网费用为60元时，B方
式可上网的时间比A方式多 C.每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱 D.每月上网时间超过70h时，选择C方式最省钱
得
∴y乙＝
解得
(2)“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙
虾更省钱？ 解： (2)当0＜x＜2000时，0.8x
＜x，到甲商店购买更省钱；
当x≥2000时，若到甲商店购买更 省钱，则0.8x＜0.7x＋600，解得
x＜6000；
若到乙商店购买更省钱，则0.8x＞0.7x＋600，解得x＞
数解析式为y＝ax，把(20，160)
代入y＝ax中，得a＝8. 即y与x的函数解析式为y＝8x；
当x>20时，设y与x的函数解析式为y＝kx＋b，把(20，
160)，(40，288)代入y＝kx＋b中，
得 解得 即y与x的函数解析式为y＝6.4x＋32.
综上所述，y与x的函数解析式为
(2)若在购买计划中，B种树苗的数量不超过35棵，但 不少于A种树苗的数量，请设计购买方案，使总费用 最低，并求出最低费用．
解：(2)∵B种树苗的数量不超过
35棵，但不少于A种树苗的数量， ∴ ∴22.5≤x≤35.
设总费用为W元，则W＝6.4x＋
32＋7(45－x)＝－0.6x＋347. ∵k＝－0.6<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝35，45－x＝10时，总费用最低，即购买B种 树苗35棵，A种树苗10棵时，总费用最低，W最低＝ －0.6×35＋347＝326(元)．
6000；若到甲、乙两商店购买一样省钱，则0.8x＝0.7x＋ 600，解得x＝6000；故当购买金额按原价小于6000元时， 到甲商店购买更省钱；当购买金额 按原价大于6000元时，到乙商店购
买更省钱；当购买金额按原价等于
6000元时，到甲、乙两商店购买花
钱一样．
类型二 路程类问题
一、两个一次函数图象结合的问题
后，每天挖50米；③甲队比乙队提前3天完成任务；
④当x＝2或6时，甲、乙两队
所挖管道长度都相差100米． 正确的有 ①②④ (填序号)．
二、分段函数问题
8．根据卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水、清
洗．某游泳池周五早上8：00打开排水孔开始排水，排水 游泳池的水在11：30全部排完．游 泳池内的水量Q(m3)和开始排水后的
图象是l2，甲的速度是 (km/h)，乙的速度是 ＝30 ＝20
(km/h)．故答案为l2，30，20.
(2)甲出发多长时间两人恰好相距5km? 解：设甲出发xh两人恰好相距5km.
由题意30x＋20(x－0.5)＋5＝
60或30x＋20(x－0.5)－5＝60， 解得x＝1.3或1.5.
答：甲出发1.3h或1.5h两人恰好
解析：设y甲＝kx，把(2000，
1600)代入，得2000k＝1600， 解得k＝0.8，∴y甲＝0.8x.
当0＜x＜2000时，设y乙＝ax，
把(2000，2000)代入，得2000k＝2000，解得k＝1，
∴y乙＝x.当x≥2000时，设y乙＝mx＋n，把(2000，2000)， (4000，3400)代入，
kg将亏损6元，以x(单位：kg，2000≤x≤3000)表示A
酒店本月对这种水果的需求量，y(元)表示水果店销售
这批水果所获得的利润． (1)求y关于x的函数表达式；
解：(1)当2000≤x≤2600时，y＝10x－6(2600－x)＝16x
－15600；当2600＜x≤3000时，y＝2600×10＝26000，