第3课时切线长定理和三角形的内切圆人教版九年级数学上册同步课堂教案

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人教版九年级数学上册(教案)第3课时切线长定理

第3课时切线长定理教学目标1．了解切线长的概念．2．掌握切线长定理，理解三角形的内切圆和三角形的内心的概念．教学重点切线长定理及应用．教学难点切线长定理的导出及证明和综合应用．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)教学过程设计一、创设情景明确目标如图，纸上有一⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B.1．OB是⊙O的一条半径吗？2．PB是⊙O的切线吗？3．我们把经过圆外一点的圆的切线上，切点与圆外一点之间的线段叫做切线长，本节课主要研究切线长的有关性质．二、自主学习指向目标1．自读教材第99至100页．2．学习至此：请完成学生用书“课前预习”部分．三、合作探究达成目标探究点一切线长定理活动一：出示教材第99页“探究”．思考：在折叠的过程中，你发现了什么？【展示点评】1.经过圆外一点作圆的切线，这点和________之间的线段长叫做切线长．如右图，线段________和________的长就是切线长．2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长________，这一点和圆心的连线平分两条切线的________．如上图，P为⊙O外一点，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，于是由定理可得两个结论：________＝________，∠________＝∠________.【小组讨论】切线和切线长的区别是什么？教材是如何证明切线长定理的？【反思小结】切线与切线长是不同的概念，切线是直线，不可度量；切线长是切线上的一条线段的长，可以度量．切线长定理包括线段相等和角相等两个结论，解题时应有选择地应用，它是证明线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系的重要依据．【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点一探究点二三角形的内切圆活动二：出示教材第99页“思考”问1：与△ABC三边距离相等的点在什么地方？你能作出这个点吗？问2：以这一点为圆心，以该点到三边距离为半径作圆，这个圆与三角形的三条边是什么关系？【展示点评】与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个圆的圆心叫做三角形的内心．【小组讨论】内切圆与外接圆有什么区别？[综合运用]出示教材第100页例2.学生合作交流完成，老师点评．【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点二四、总结梳理内化目标有关概念、定理,1.经过圆外一点作圆的切线，这点和______之间的______的长，叫做这点到圆的切线长．2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的______条切线，它们的______相等，这一点和圆心的连线______两条切线的夹角．3．与三角形各边都相切的圆叫做三角形的________，内切圆的圆心是三角形________的交点，叫做三角形的________．方法、规律,,1.在运用切线长定理时，如左图作出辅助线，可以与等腰三角形的性质、垂径定理、勾股定理等知识产生联系．,2.三角形的内心已知时，连接顶点和内心的射线平分这个内角，从而要将内心条件和角平分线条件建立起对应关系．易错点,,如左图，若AB＝AC，且AB与⊙O相切于点B，那么AC也是⊙O的切线．注意这只是真命题，而不是定理，不可当证明依据使用．五、达标检测反思目标1．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝75°，则∠BOC的度数为( C )A．105°B．125°C．127.5°D．100°2．如图，△ABC的周长为18，其内切圆分别切三边于D、E、F三点，CE＝3，BE＝4，则AF的长为( A )A．2 B．3 C．4 D．5第1题图第2题图六、布置作业巩固目标1．上交作业教材第101页习题24.2第11，12题．2．课后作业见学生用书的“课后作业”部分．教学反思。

《24.2.2 第3课时切线长定理》教案、导学案、同步练习

《第3课时切线长定理》教案【教学目标】1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．【教学过程】一、情境导入新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究探究点一：切线长定理【类型一】利用切线长定理求三角形的周长如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________．解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB ，因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PEF 的周长PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EC )＋(CF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4. 【类型二】利用切线长定理求角的大小如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度．解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝12∠APB＝20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB.【类型三】切线长定理的实际应用为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O 的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO ＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝55(cm)，即铁环的半径为55cm.探究点二：三角形的内切圆【类型一】求三角形的内切圆的半径如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．解析：如图，连接OD .由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OCD ＝30°，OD ⊥BC ，所以CD ＝12BC ，OC ＝2OD .又由BC ＝2，则CD ＝1.在Rt △OCD 中，根据勾股定理得OD 2＋CD 2＝OC 2，所以OD 2＋12＝(2OD )2，所以OD ＝33.即⊙O 的半径为33. 方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等．【类型二】求三角形的周长如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE ︵(不包括端点D 、E )上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N .若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( )A ．r B.32r C ．2r D.52r 解析：连接OD ，OE ，∵⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC .又∵MD ，MP 都是⊙O 的切线，且D 、P 是切点，∴MD ＝MP ，同理可得NP ＝NE ，∴C Rt △MBN ＝MB ＋BN ＋NM ＝MB ＋BN ＋NP ＋PM ＝MB ＋MD ＋BN ＋NE ＝BD ＋BE ＝2r ，故选C. 三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题．明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.《第3课时切线长定理》教案【教学目标】：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。

人教版九年级数学上册(教案)24.2第3课时切线长定理

人教版九年级数学上册24.2.2切线长定理和三角形的内切圆(3)教案

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系第3课时切线长定理和三角形的内切圆课题24.2.2 切线长定理和三角形的内切圆（3）授课人教学目标知识技能 1.掌握切线长的定义及其定理，并利用定理进行有关的计算； 2.了解三角形的内切圆、内心的概念，会作三角形的内切圆；数学思考经历画图、测量、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，培养学生有条理地阐述自己观点的能力；问题解决初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识，在解题过程中，形成基本解题策略，发展实践能力与创新精神.情感态度通过课题学习，使学生对数学有好奇心和求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼意志，增强自信心；教学重点切线长定理及其应用；教学难点与切线长定理有关的计算和证明问题；授课类型新授课课时第三课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾（（多媒体演示）问题：1.已知△ABC ，作三个内角的平分线，说说它们具有什么性质？2.直线和圆有几种位置关系？切线的判定定理和性质定理的内容是什么？师生活动：教师引导学生进行解答，并适时作出补充和讲解.教师总结：①三角形的三个内角平分线相交于一点，交点到三条边的距离相等；②切线的判定定理是经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；切线的性质定理是圆的切线垂直于经过切点的半径.通过问题形势引导学生回顾所学，为学习新知打下基础.活动一：创设情境导入新课【课堂引入】（课件展示）问题：过圆上一点能够画圆的几条切线呢？过圆外一点呢？师生活动：教师指导学生根据题意画图，并根据图形，回答问题.结论：过圆上一点只能作圆的一条切线；过圆外一点可以作圆的两条切线；通过学生动手操作得到圆的切线长基本图形，为解析新知做好图形上的准备.活动二：实践探究交流新知1.探究切线长定理：活动一：（多媒体展示）问题1：在⊙O外任取一点P，过点P作⊙O的两条切线，如上图，请找图形中存在哪些等量关系？问题2：请把图形沿着直线PO进行对折，观察两旁部分能否互相重合？请用语言概括你的发现？师生活动：教师指导学生运用猜想、测量、对折等方法和策略进行探究，教师适时点拨后，学生交流、讨论，说明自己的发现，教师做好总结和鼓励.教师强调：①切线长的定义：从圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长，如图中的线段PA、PB.②切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.活动二：问题3：你能运用所学进行证明吗？师生活动：学生小组内讨论、交流，教师引导，作辅助线证明三角形全等即可，学生写出证明过程，教师巡视、指导.证明过程：连接OA、OB，因为PA、PB是圆的切线，所以OA⊥PA，OB⊥PB，因为OA=OB，PO=PO，所以△AOP≌△BOP，所以PA=PB，∠APO=∠BPO.问题4：如何根据图形，用几何语言把切线长定理进行描述呢？师生活动：学生根据定理的题设和结论，结合图形，进行回答，教师板书并补充.∵PA、PB是圆的切线，∴PA=PB，∠APO=∠BPO.2.探究三角形的内切圆（课件展示）如图，是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切.教师提出提示：（1）与边AB、AC都相切的圆的圆心在哪里？（2）与三角形三边都相切的圆的圆心在哪里？师生活动：学生根据提示问题，思考解答，教师做好引导与点拨，最后进行总结.教师阐述：①圆心到角两边的距离相等，所以圆心在角的平分线上，则圆心是两个内角的平分线的交点；②与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三个内角平分线的交点，叫做三角形的内心；1.在探索问题的过程中，学生通过自主探索、合作交流发现问题、归纳知识，并获得积极地、深层次的体验，从而发展学生的探究能力、语言表达能力和归纳总额及能力.2.利用实际问题引入三角形的内切圆，层层设问，引导学生作图，指导学生发现知识适用于生活实际，服务于实际问题.活动三：开放训练体现应用【应用举例】（课件展示）例1：如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9，BC=14，CA=13，求AF、BD、CE的长.师生活动：教师引导学生观察图形，根据切线长定理能够得到哪些相等的线段？学生进行思考、解答.教师做好总结归纳：设AF=x后，表示出其他线段的长度，运用方程思想进行解答即可.【拓展提升】（课件展示）例2：如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为点A、B，若直径AC=12，∠P=60°，求弦AB的长.师生活动：学生先独立解决问题,然后小组中讨论,鼓励学生勇于探索实践，而后再与同桌交流，上讲台演示，教师要重点关注学生的解题过程.在教师的引导下，学生能够熟练地列方程解答问题，使切线长定理实用化，增强了学生的数与形相结合的思想.【达标测评】1.下列说法中，不正确的是（）A.三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C.垂直于半径的直线是圆的切线D.三角形的内心到三角形的三边的距离相等2.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长为（）A.21B.20C.19D.183.如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP，则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4.如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC=50°，则∠BOC为______度．5.如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD=20，求△ABC的周长.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行个别提问，并指导学生解释做题理由和做题方法，使学生在个别思考解答的基础上，共同交流、形成共识、确定答案.达标测评是为了加深对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础为主、疑难点突出，增加开放型、探究型问题，使学生思维得到拓展、能力得以提升.活动四：课堂总结反思1.课堂总结：（1）谈一谈你在本节课中有哪些收获？哪些进步？（2）学习本节课后，还存在哪些困惑？教师总结本课时主要学习内容：切线长定理和三角形内心的性质，注意区分内心和外心.2.布置作业：教材第102页，习题第10、11题；巩固、梳理所学知识.对学生进行鼓励、进行思想教育.【板书设计】提纲挈领，重点突出【教学反思】①[授课流程反思]A.复习回顾□B.创设情景□C. 探究新知□D.课堂训练□E. 课堂总结□学生动手画图，通过折叠探究对称性，从而发现切线长定中，探究新知的过程在.识理，学习过程中，以小组合作形式为主，积极探究知识，掌握应用知②[讲授效果反思].别）内心和外心的区2（数形结合思想；）1引导学生注意了这几点：（③ [师生互动反思]采用小组教学和自主探究相结合的学习方式，给学生探究新知看，教学过程来从.效识十分有效，学生反映积极，小组讨论热烈、有④ [练习反思].题5、4第检测好题题号错题题号反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.。

第3课时切线长定理和三角形的内切圆教学设计

第3课时切线长定理和三角形的内切圆本课时是在学习完切线的判定和性质以后，进一步研究切线的相关知识点，其中切线长定理又为学习三角形的内切圆提供理论支撑，体现了由浅入深、循序渐进的学习原则．由切线长定理可以推出线段，角，弧相等以及垂直关系等，三角形的内切圆则将三角形与圆结合起来进行研究．在学习切线长定理时要注意切线和切线长以及“内切”与“外接”的区分．【情景导入】同学们玩过悠悠球(如图1)吗？大家在玩悠悠球时是否想到过它在转动过程中还包含着数学知识呢？图2是悠悠球在转动的一瞬间的剖面示意图，从中你能抽象出什么样的数学图形(球的整体和中心轴可抽象成圆形，被拉直的线绳可抽象成线段)？这些图形的位置关系是怎样的？图1 图2【说明与建议】说明：通过同学们常玩的悠悠球来激起他们的学习兴趣，并进一步引出切线长及切线长定理．建议：教师在课前准备一个悠悠球，在课堂上直接展示，活跃课堂气氛．同时在抽象出数学图形的过程中，注意从上节课刚学过的切线的角度引导学生思考问题．【置疑导入】【操作】第一步：在透明纸上画出⊙O，并画出过⊙O上点A的切线PA，连接PO.第二步：沿着直线PO将纸对折，并用笔标出与点A重合的点，记为点B(如图)．【思考】(1)PB是⊙O的切线吗？(2)判断图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系．【说明与建议】说明：通过实际动手操作激发学生探索切线长定理的求知欲，让学生从具体情景和实践操作中发现数学条件，进而解决问题．建议：学生操作并思考回答问题时，教师在学生回答的基础上，进一步引导学生从中发现解决问题的关键：(1)PB是⊙O的切线吗？(2)若想得到PB是⊙O的切线，PB应满足什么条件？(3)连接OB，OB是不是⊙O的半径？为什么？(4)OB是否垂直于PB？为什么？(5)点A与点B有怎样的位置关系？(6)连接OA，∠OBP与∠OAP有怎样的关系？命题角度1 运用切线长定理进行计算或证明1．(西宁中考)如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA＝2，∠P＝60°，则AB＝(B)A. 3 B．2 C．2 3 D．32．(荆门中考)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝70°，则∠ABO＝(B)A．30°B．35° C．45°D．55°【提示】连接OA.3．(临沂中考)如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为(C)A．110°B．120°C．125°D．130°命题角度2 三角形内切圆的相关概念及其应用4．(青海中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r ＝1．5．(泰州中考)如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A ，B ，C 在平面直角坐标系中的坐标分别为(3，6)，(－3，3)，(7，－2)，则△ABC 内心的坐标为(2，3)．三角形的“心”我们经常说要做个“有心”的人，在多边形的世界里，三角形就是一个非常“有心”的图形．三角形共有五种“心”．(1)重心：三条中线的交点；(2)外心：三边中垂线的交点，是三角形外接圆圆心的简称；(3)内心：三条角平分线的点交点，是三角形内切圆圆心的简称；(4)垂心：三条高的交点，垂心的位置随三角形类型的不同而发生变化；(5)旁心：三角形旁切圆圆心的简称，它是三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点，显然，任何三角形都有三个旁切圆，三个旁心．当且仅当三角形为正三角形时，“重心、外心、内心、垂心”四心合一，称为正三角形的中心．探究新知1．探究切线长定理活动一：问题1：在⊙O外任取一点P，过点P作⊙O的两条切线，如图，则图形中存在哪些等量关系？问题2：将所画图形沿着直线PO进行对折，观察折线两旁的部分能否互相重合？请用语言概括你的发现．师生活动：教师指导学生运用猜想、测量、对折等方法和策略进行探究，并进行适时点拨后，学生交流、讨论，说明自己的发现，教师做好总结和鼓励．教师强调：(1)切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长，如图中的线段PA，PB.(2)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．活动二：问题3：你能运用所学知识进行证明吗？师生活动：学生小组内讨论、交流，教师引导学生作辅助线证明三角形全等即可，学生写出证明过程，教师巡视、指导．证明过程：如图，连接OA，OB.∵PA，PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB.又∵OA＝OB，PO＝PO，∴△AOP≌△BOP(HL)．∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO.问题4：如何根据图形，用几何语言描述切线长定理呢？师生活动：学生根据定理的题设和结论，结合图形，进行回答，教师板书并补充．∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO.2．探究三角形的内切圆如图是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？教师给出提示：(1)与边AB，AC都相切的圆的圆心在哪里？【典型例题】例1(教材第100页例2)如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB 分别相切于点D，E，F，且AB＝9，BC＝14，CA＝13，求AF，BD，CE 的长．解：AF＝4，BD＝5，CE＝9.师生活动：教师引导学生观察图形，提问学生根据切线长定理能够得到哪些相等的线段，学生进行思考、回答．教师做好总结归纳：设AF＝x，用含x的代数式表示出其他线段的长度，运用方程思想进行解答即可．例2如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，Q为AB上一点，过点Q作⊙O的切线，交PA，PB于点E，F，已知PA＝10 cm，求△PEF的周长．解：△PEF的周长是20 cm.师生活动：学生先独立解决问题，然后小组内讨论后上讲台演示，教师要鼓励学生勇于探索实践，且重点关注学生的解题过程．【变式训练】1.如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为(D)A．8 B．9 C．10 D．112．如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A＝60°，CD＝2，BD ＝4.则△DBC的面积是(B)A．4 3 B．2 3 C．2 D．4【提示】过点B作BH⊥CD的延长线于点H.【课堂检测】1.如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，错误的是(D)A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．PA2＝PC·PO 2．下列说法中，不正确的是(C)A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形的内部C．垂直于半径的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形三边的距离相等3．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，AC是⊙O的直径，连接AB，BC，OP，则与∠PAB相等的角有(C)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC＝50°，则∠BOC＝115°.5．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5 cm，BC＝7 cm，CA＝6 cm，求AF，BD，CE的长．解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，∴AF＝AE，BF＝BD，CD＝CE.设AF＝AE＝x cm，则BF＝BD＝(5－x)cm，EC＝DC＝(6－x)cm.根据题意，得5－x＋6－x＝7.解得x＝2.∴5－x＝3，6－x＝4.∴AF＝2 cm，BD＝3 cm，EC＝4 cm.师生活动：对学生进行课堂测试，学生完成后，教师进行个别提问，并指导学生解释做题理由和做题方法，使学生在思考解答的基础上，共同交流，形成共识，确定答案.24.2.2 直线和圆的位置关系第3课时切线长定理和三角形的内切圆1．切线长的定义经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．2．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．3．三角形的内切圆及内心与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．。

新人教版初中数学九年级上册《第二十四章圆：切线长定理三角形的内切圆内心》优质课教案_1

《切线长定理》教案教学目标1．知识与技能：理解切线长的概念，掌握切线长定理的内容，并会运用切线长定理解决相关的问题.2．过程与方法：通过复习引导给出切线长定义，经过实验、猜想、证明发现切线长定理。

培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．3．情感、态度和价值观：通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度．教学重点切线长定理及其运用.教学难点切线长定理的导出及证明和运用定理解决实际问题.教学过程(一)情景引入由如何求“V ”形支架內篮球的半径而引出切线长.(二)探求新知活动一：切线长定义如图，已知⊙O外一点P,过P作⊙O的切线PA，切点为A，则P点与A点之间的线段长度，就是P点到⊙O的切线长.切线长定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.（引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.）活动二：过圆外一点最多可以引圆的几条线.（演示）过圆外一点最多可以引圆的两条切线.活动三：观察：如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，则线段PA，PB都是点P到⊙O的切线长．1、提出问题：（1）线段PA与PB的长度有什么关系呢.(2)连接PO,则∠OPA与∠OPB的大小有什么关系.2、观察：在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？3、猜想：PA=PB，∠APO=∠BPO4、证明猜想，形成定理(猜想的结论正确性，需要理论证明．)如图，P是⊙O外一点，PA,PB是⊙O的两条切线，A,B为切点.求证：PA=PB . ∠OPA＝∠OPB.（组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA，OB）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．(板书）几何语言：∵PA ,PB切于A ,B.∴PA=PB . ∠APO=∠BPO.（切线长定理为证明线段相等和角相等提供了新的方法。

初中九年级数学教案-切线长定理三角形的内切圆内心(区一等奖)

第3课时切线长定理一、教学内容人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级上册“直线和圆的位置关系”（第三课时）二：教学内容解析本节课是直线与圆的位置关系中的第三课时，是直线与圆位置关系中重点内容，是在学习了切线的性质和判定的基础上，继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识。

体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合。

在教学过程中，通过安排实践操作活动，使学生提高了探究的兴趣。

首先教师突出操作要求，学生操作并思考回答问题，教师在学生回答问题的基础上进一步引导学生从中发现问题，让学生体会从具体情景和实践操作中发现条件，解决问题。

通过设计问题情境，使学生提高解决问题的意识，通过自己画图尝试从中得到感性认识，进而不断地比较，让学生的思维能够经历一个从模糊到清晰从具体到抽象，从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗糙向严格、精确的追求过程中，使学生体会数学发展的过程。

三：教学流程安排四：教学目标与重难点：【知识与技能】理解掌握切线长的概念和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心等概念【过程与方法】利用圆的轴对称性帮助探求切线长的特征结合求证三角形内面积最大的圆的问题，掌握三角形内切圆和内心的概念【情感态度】经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力【教学重点】切线长定理及其应用【教学难点】内切圆、内心的概念及运用一、情境导入，初步认识探究如图，纸上有一⊙O，和CN，它们相交于点I，则点I到AB、BC、AC的距离相等∴以I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC三边相切内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心三角形的内心到三角形三边的距离相等【教学说明】要让学生对照图形理解三角形的内切圆的概念，并与三角形的外接圆进行比较“接”和“切”是说明多边形的顶点和边与圆的关系；多边形的顶点都在圆上叫“接”，多边形的边都与圆相切叫“切”三、典例精析，掌握新知例1 教材第100页，例2（本题较简单，教师指点，可由学生自主完成）例2 如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，连接OP，交⊙O于C，若PA==23求⊙O的半径OA及两切线PA、PB的夹角分析：连接OA，设AO=，在Rt△AOP中利用勾股定理求出，由切线长定理知∠APO=12∠APB求出∠APO就可得∠APB解：连接AO，∵PA是⊙O的切线，∴PA⊥OA，△PAO为直角三角形设OA=，则OC=，在Rt△PAO中，OA2PA2=OP2，∴262=232，解得:=23∴OA=23，OP=43，∴∠AOP=60°，∠APO=30°∴∠APB=2∠APO=2×30°=60°∴⊙O的半径OA为23，两切线PA、PB的夹角为60°【教学说明】例1、例2是利用切线长定理进行计算，在解题过程中，我们常常用方程来解决几何问题例3如图，在△ABC中，I是内心，∠BIC=100°，则∠A=____分析：∵I是内心∴BI，CI分别是∠ABC，∠ACB的平分线∴∠ABC∠ACB=2（∠IBC∠ICB）又∵∠BIC=100°，∴∠IBC∠ICB=80°∴∠ABC∠ACB=160°∴∠A=180°-160°=20°【教学说明】指导学生利用三角形内心的性质解决问题四、运用新知，深化理解课本第100页练习1、2题【教学说明】教师引导学生完成课本练习五、师生互动，课堂小结这节课学习了哪几个重要知识点你有哪些疑惑【教学说明】学生自主交流并发言总结，教师予以补充和点评，让学生完整地领会本堂课的知识要点1布置作业：从教材“习题”中选取2完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分六：板书设计七：教学反思：本节课我本节课的教学是直线与圆的位置关系的继续，从探究切线长定理开始，通过如何作一个三角形的内切圆，引出三角形的内切圆和三角形内心的概念，经历这些探究过程，能使学生掌握图形的基本知识和基本技能，并能解决简单的问题在教学设计时提供充分探索与交流的空间，使学生进一步经历观察，实验、猜测、推理、交流、反思等活动，使学生欣然接受挑战。

人教版九年级数学上册24.2.2切线长定理及三角形的内切圆(教案)

举例解释：
(1)对于切线长定理的证明，教师可以采用构造辅助线、利用相似三角形等方法，逐步引导学生理解证明过程，降低难度。
(2)在讲解内切圆半径计算时，可以针对不同类型的三角形，给出具体的计算步骤和方法，让学生通过练习逐步掌握。
(3)针对解决实际问题时思路的拓展，教师可以设置一些具有挑战性的题目，引导学生运用所学知识，培养学生的问题分析和解决能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“切线长定理及内切圆在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-解决实际问题的能力培养：通过典型例题，重点训练学生运用切线长定理和内切圆性质解决实际问题的能力。
举例解释：
(1)在讲解切线长定理时，可以通过图形演示和实际测量，让学生直观地理解切线长的概念，并掌握切线长的计算方法。
(2)对于三角形内切圆的性质，通过构造具体的三角形模型，让学生观察内切圆与三角形各边的关系，理解并掌握内切圆半径的计算方法。
2.教学难点
-切线长定理的证明：对于定理的证明过程，学生可能难以理解，需要教师通过直观演示和逐步引导，帮助学生突破这一难点。
-内切圆半径的计算：学生在计算内切圆半径时，可能会对涉及到的几何关系和代数运算感到困惑，需要教师详细讲解并举例说明。
-解决实际问题时思路的拓展：学生在面对复杂的几何问题时，可能会缺乏解题思路，教师需要指导学生如何将问题转化为切线长定理和内切圆性质的应用。
四、教学流程

人教版数学九年级上册24.2.2切线长定理、三角形的内切圆、内心教案

-设计一些综合性的问题，如涉及多边形内切圆的问题，让学生在解决问题中加深对内切圆和内心性质的理解，并学会如何在实际问题中寻找切入点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《切线长定理、三角形的内切圆、内心》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在画图或制作模型时，是否遇到过需要求出某个点到三角形三边的距离？”这个问题与我们将要学习的内切圆的性质密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形内切圆的奥秘。
-三角形内切圆的作法及其性质：学生需要了解内切圆的定义，掌握内切圆的作法，以及内切圆与三角形边、角的关系。
-内心的性质及其应用：学生应掌握内心的定义，理解内心与三角形的关系，并能够利用内心的性质解决几何问题。
举例：
-通过具体图形，演示切线长定理的推导过程，强调定理中的关键点，如切点、切线与半径的关系。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解三角形内切圆的基本概念。三角形内切圆是与三角形三边都相切的圆，它能够帮助我们解决与三角形边长和面积相关的问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何利用内切圆的性质来求解三角形的面积，以及它如何简化我们的计算过程。
-以实际操作的方式，让学生动手画出三角形的内切圆，并观察内切圆与三角形边、角的关系，突出内切圆的性质。
2.教学难点
-切线长定理的证明：理解并掌握切线长定理的证明过程对于学生来说是难点，需要教师通过直观演示和逻辑推理相结合的方式进行讲解。
-内切圆与内心的综合应用：在解决具体问题时，学生可能会难以将内切圆和内心的性质与问题相结合，需要教师引导和训练。
2.在教学中，将理论知识与实际问题相结合，能够激发学生的兴趣，提高他们解决实际问题的能力。

九年级数学上册《切线长定理三角形的内切圆内心》教案、教学设计

九年级数学上册《切线长定理三角形的内切圆内心》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.了解切线长定理的定义，能够运用定理解决实际问题。
2.熟悉三角形内切圆的概念，掌握内切圆半径的计算方法。
3.掌握三角形内心的定义，能够准确找出三角形的内心。
4.能够运用切线长定理和内切圆知识解决与三角形相关的问题。
1.学生对几何图形的观察能力和空间想象能力，引导他们通过观察、操作、思考等途径，逐步理解并掌握内切圆的性质。
2.学生在解决实际问题时，可能对切线长定理的应用感到困惑。教师需要通过典型例题的讲解和练习，帮助学生巩固知识，提高解题能力。
3.针对不同学生的学习水平和认知风格，教师应采取分层教学和个性化指导，使每位学生都能在课堂上获得成功的体验，增强学习信心。
4.小组合作，探讨以下问题：如何利用切线长定理解决三角形面积问题？请给出至少两种不同的解题方法，并说明各自的优势。
5.思考题：在一个等边三角形内，如何作出一个最大的内切圆？请给出具体的作图步骤，并解释为什么这是最大的内切圆。
6.撰写一篇关于切线长定理和三角形内切圆在生活中的应用的小短文，字数不限，要求内容真实、具体，体现数学在实际生活中的价值。
-设想二：利用几何画板动态演示内切圆半径的变化，帮助学生理解内切圆半径与三角形边长的关系。
2.创设问题情境，引导学生通过自主探究、小组合作等方式，发现并理解切线长定理。
-设想一：设计一系列层层递进的问题，引导学生从特殊三角形出发，探索切线长定理的形成过程。
-设想二：组织小组讨论，让学生在交流中碰撞思维火花，共同推导切线长定理的证明过程。
-设想一：根据学生的认知水平和学习风格，提供不同层次的指导，使学生在各自的基础上得到提高。

人教版九年级数学上册24.2.4《切线长定理和三角形内切圆》教学设计

人教版九年级数学上册24.2.4《切线长定理和三角形内切圆》教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册第24章《几何变换》的最后一节是24.2.4《切线长定理和三角形内切圆》。

这部分内容是整个初中几何学习的重要部分，也是学生对几何知识深入理解和应用的关键点。

切线长定理和三角形内切圆不仅涉及到几何图形的性质，还涉及到数学证明的方法，对于培养学生的逻辑思维和数学素养有着重要的作用。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对图形性质有一定的了解。

但是，对于切线长定理和三角形内切圆的证明过程，可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过直观的图形和实际的例子，理解切线长定理和三角形内切圆的概念，再通过逐步的引导和提示，让学生独立完成证明过程。

三. 教学目标1.理解切线长定理和三角形内切圆的概念。

2.学会使用切线长定理和三角形内切圆解决实际问题。

3.掌握切线长定理和三角形内切圆的证明过程。

4.培养学生的逻辑思维和数学素养。

四. 教学重难点1.重点：切线长定理和三角形内切圆的概念，证明过程。

2.难点：证明过程的理解和应用。

五. 教学方法1.直观教学法：通过图形和实际的例子，让学生直观地理解切线长定理和三角形内切圆的概念。

2.引导发现法：在教学过程中，引导学生通过观察和思考，发现切线长定理和三角形内切圆的证明过程。

3.实践操作法：让学生通过实际的操作，加深对切线长定理和三角形内切圆的理解。

六. 教学准备1.准备相关的图形和实际的例子，用于讲解和引导学生思考。

2.准备证明过程的提示和引导，帮助学生理解和掌握。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际的例子，让学生观察和思考，引出切线长定理和三角形内切圆的概念。

2.呈现（10分钟）呈现相关的图形和例子，讲解切线长定理和三角形内切圆的概念，让学生直观地理解。

3.操练（15分钟）让学生通过实际的操作，运用切线长定理和三角形内切圆解决实际问题，加深对概念的理解。

新人教版九年级数学上册 P96页《切线长定理及三角形的内切圆》教学设计和课后反思

新人教版九年级数学上册 P96页《切线长定理及三角形的内切圆》教学设计和课后反思教材分析本节课是直线与圆位置关系中的第三课时，是直线与圆位置关系中重点内容，是在学习了切线的性质和判定的基础之上，继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识。

体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合。

在习题和内切圆的计算中体现了把复杂问题转化为简单问题后解决问题，从而滲透转化思想和方程思想，提高应用意识。

切线长定理的探究，通过设计先翻折图形再思考的环节加入了实践操作活动，使学生提高探究的兴趣，应用了“实验几何——论证几何”的探究方法，并初步建立了由动手操作抽象出数学条件进而解决问题的意识。

让学生的思维能够经历一个从模糊到清晰，从具体到抽象，从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗糙向严格、精确的追求过程中，使学生体验数学发展的过程。

它也是为证明线段，角相等，弧相等，垂直关系等提供了理论依据。

学情分析本班的学生数学基础蛮好。

对前面学圆的相关知识都有一定的把握程度。

学生对圆的图形的认知水平也蛮高。

这对本节课的学习有一定的帮助。

学习过程不会很困难，理解也不很困难，但书写证明过程有一定的难度。

部分学生计算很粗心，还有几个学困生非常不认真。

因此，课上需要充分调动学困生的积极性，只有小组长和老师合作，才能带动所有学生都融入到课堂中来。

教学目标学习目标：1、了解切线长，三角形的内切圆、三角形的内心等概念。

2、掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算能力目标：1、有合作，有表达，有思想，有解决问题的能力。

2、学会利用方程思想解决几何问题，掌握数形结合思想的能力。

情感目标：1、通过小组合作学习的形式，让学生有团队精神。

2、在交流学习中激发学生的学习兴趣，调动学生学习的积极性。

教学重点和难点重点：切线长定理及其运用难点：转化思想。

人教版九年级数学上册第3课时切线长定理及三角形的内切圆课件

三、课堂小结，梳理新知
1.通过本节课的学习，你都有哪些收获?说给大家听听. 2.你对本节课的知识还有什么疑惑或建议? 教师组织学生总结，解决学生的困惑，听学生的建议. 学生归纳、总结发言、体会、反思.
第二十四章圆
24.2.2 直线和圆的位置关系
第3课时切线长定理及三角形的内切圆
教学重点：切线长定理及其运用.
教学难点：切线长定理的导出及其证明和运用切线长
定理解决一些实际问题.
教学过程
一、创设情境，导入新课
如右图，纸上有一⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B.1.OB是⊙O的一条半径吗？2.PB是⊙2 O的切线吗？3.PA、PB有何关系？4.∠AP领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月下午3时53分21.11.715:53November 7, 2021
• 7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是思考和识记之母。”2021年11月7日星期日3时53分33秒15:53:337 November 2021
组织学生尝试练习，教师巡回辅导，对于疑难问题及时点拨，对于共性问题，集体解决.
学生独立完成练习后，集体交流评价，写出解答过程，体会方法，形成规律，获得成功体验.
例3.实验：在两张透明的纸上，画两个半径不同的圆，把两张纸叠合在一起，一个固定，移动另一张，仔细观察：在移动过程中，两圆共有几种位置关系?每种位置关系两圆有多少个公共点?重复做几次，把每种情况用图记录下来.
4.思考：已知：如右图一张三角形的铁皮.如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢?
大家作出的圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心叫三角形的内心(三角形三条角平分线的交点)

24.2.2 第3课时切线长定理和三角形的内切圆.课件-2024-2025学年人教版数学九年级上册

即AB+CD=AD+BC.
图24-2-24
探
究
与
应
用
例2 (教材补充例题)已知:如图24-2-25所示,PA,PB是☉O的切
෽
线,切点分别是A,B,Q为上一点,过点Q作☉O的切线,分别
交PA,PB于点E,F.已知PA=12 cm,∠P=70°.
求:(1)△PEF的周长;
解:(1)∵PA,PB,EF均是☉O的切线,
数学
九年级上册
人教版
圆
第3课时切线长定理和三角形的
内切圆
-
第
二
十
四
章
第3课时
切线长定理和三角形的内切圆
探究与应用
课堂小结与检测
探
究
与
应
用
活动1 理解切线长的概念,掌握切线长定理
[问题情境]
1.过圆外一点能作几条圆的切线?请在图24-2-23中过点P画
出☉O的所有切线.
解:两条.画图如下.
图24-2-23
堂
小
结
与
检
测
3.已知三角形的周长为12,面积为6,则该三角形内切圆的半
径为
( D )
A.4
B.3
C.2
D.1
谢谢观看！
∴PB=PA=12 cm,EA=EQ,FQ=FB,
∴△PEF的周长=PE+EQ+FQ+PF=PA+PB=
12+12=24(cm).
图24-2-25
探
究
与
应
用
(2)∠EOF的度数.
(2)连接OA,OB,OQ.
∵PA,PB,EF均是☉O的切线,

人教版数学九年级上册《切线长定理、三角形的内切圆、内心》教案1

人教版数学九年级上册《切线长定理、三角形的内切圆、内心》教案1一. 教材分析人教版数学九年级上册《切线长定理、三角形的内切圆、内心》这一节主要介绍了切线长定理以及三角形的内切圆和内心的性质。

通过学习这一节内容，学生能够了解并掌握切线长定理，以及如何运用该定理求解三角形的问题。

同时，学生还能够了解三角形的内切圆和内心的性质，以及如何运用这些性质解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习这一节内容之前，已经学习了相似三角形的性质，对三角形的基本概念和性质有一定的了解。

但是，对于切线长定理以及三角形的内切圆和内心的性质可能还比较陌生，需要通过本节课的学习来掌握。

此外，学生可能对于如何运用这些性质解决实际问题还比较困惑，需要通过教师的引导和实例的讲解来进行理解和掌握。

三. 教学目标1.了解并掌握切线长定理，能够运用切线长定理求解三角形的问题。

2.了解三角形的内切圆和内心的性质，能够运用这些性质解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.切线长定理的理解和运用。

2.三角形的内切圆和内心的性质的理解和运用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和讨论来理解和掌握切线长定理和三角形的内切圆、内心的性质。

2.通过实例讲解和练习，让学生能够运用所学的知识解决实际问题。

3.采用分组合作的学习方式，培养学生的团队合作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。

2.准备相关的练习题和测试题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题，引导学生思考和讨论如何解决这个问题，激发学生的学习兴趣和动力。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现切线长定理和三角形的内切圆、内心的性质，并用相关的图示和实例进行讲解，让学生理解和掌握这些概念和性质。

3.操练（10分钟）学生分组进行练习，教师给予指导和解答疑问。

每组选择一道练习题，运用切线长定理和三角形的内切圆、内心的性质进行求解，并将结果进行展示和讨论。

人教版数学九年级上册22 第3课时切线长定理及三角形的内切圆课件

求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.
证明：∵PA、PB是☉O的两条切线，
∴ OA⊥PA，OB⊥PB.
A
∵OA=OB，OP=OP，
O.
P
∴Rt△OAP≌Rt△OBP.
B
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
想一想：若连接两切点A、B，AB交
A
OP于点M.你又能得出什么新的结论? O.
并给出证明.
P
OP垂直平分AB.
学习目标 1.掌握切线长的定义及切线长定理.（重点） 2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明.
（难点） 3.认识三角形的内切圆及其有关概念，会作一个
三角形的内切圆，掌握内心的性质.（重点）
同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？
一切线长定理及应用
∴OA=2PA=10 cm.
∴OP= OA2 PA2 =5 3 cm. 即铁环的半径为5 3 cm.
切线长定理包括线段相等和角相等两个结论，解题时应有选择地应用，它是证明线段相等、角相等以及垂直关系的重要依据.
A
O
P
B
二三角形的内切圆及作法
小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
180 1 (43 61 ) 2
例4 如图，△ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别
相切于点D、E、F，且AB=9，BC=14，CA=13，求
AF、BD、CE的长.
A
想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？
E
F O
B
D
∴CD=CE =AC－AE=13－x， A