大一数学分析重点（共5篇）

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大一数学分析知识点总结

大一数学分析知识点总结在大一的数学学习中，数学分析是一门基础而又重要的课程。

它为我们打下了坚实的数学基础，帮助我们建立起严密的数学思维。

在这门课程中，我们学习了许多重要的知识点，下面就是大一数学分析的知识点总结：1. 实数与数轴实数是我们常见的数，包括整数、分数和无限不循环小数等。

数轴是表示实数的一种图示方式，在数轴上，我们可以将实数进行排列和比较。

2. 极限与连续极限是数学分析中的重要概念之一。

当一个函数在某一点趋近于一个确定的值时，我们称这个值为该函数的极限。

连续则是指函数在一段区间内没有跳跃、断裂或间断的现象。

3. 导数与微分导数是描述函数变化率的概念，表示函数在某一点的切线斜率。

微分是导数的几何解释，通过微分可以求出函数在某一点的近似增量。

4. 不定积分与定积分不定积分是求函数的原函数的方法，也被称为求不定积分。

定积分是求函数在一段区间上的面积或曲线长度的方法，也被称为求定积分。

5. 微分方程微分方程是涉及未知函数及其导数的方程，是自然科学和工程技术中常用的数学工具。

它反映了物理、化学、生物等问题中的规律和关系。

6. 级数与收敛性级数是按照一定规律将一系列数相加或相减得到的无穷和。

对于级数而言，收敛是指级数的和逼近于某一确定的值，发散是指级数无法求和。

7. 偏导数与多元函数偏导数是多元函数求导的一种方式，用于描述函数在某个方向上的变化率。

多元函数是具有多个自变量的函数，它在多元微积分中经常出现。

8. 泰勒级数泰勒级数是一种用多项式逼近函数的方法，通过一系列导数的计算，可以将一个函数表示为幂函数的无穷和。

9. 空间解析几何空间解析几何是研究点、直线、平面及它们之间关系的数学学科。

它通过坐标系和向量的概念，描述了空间中的几何问题。

10. 多元函数的积分多元函数的积分是对多元函数在空间中的一部分区域上求和或求平均的方法。

它在物理、经济等领域中具有广泛的应用。

以上就是大一数学分析的主要知识点总结。

大一数学分析知识点

大一数学分析知识点数学分析是大一学生学习数学的重要课程之一，它是数学的基础，对于建立数学思维和培养逻辑推理能力至关重要。

下面将介绍大一数学分析的主要知识点。

1. 实数与数轴在数学分析中，实数是最基本的数的概念。

我们通常使用数轴来表示实数，并可以进行加法、减法、乘法和除法等基本运算。

数轴是一条直线，上面的点与实数一一对应，通过数轴我们可以直观地理解实数之间的大小关系。

2. 极限与连续极限是数学分析的核心概念之一。

极限表示函数趋近于某个值时的性质。

在分析中，我们经常使用极限来进行函数的定义、推导和计算。

连续是一个函数在某一点上的极限等于该点函数值的性质，连续函数具有很多重要的性质和应用。

3. 导数与微分导数是描述函数变化率的概念，它表示函数在某一点上的变化趋势。

导数具有很多重要的性质，通过导数可以求解函数的最值、判断函数的增减性等。

微分是导数的应用，可以用来进行近似计算和优化问题的求解。

4. 不定积分与定积分不定积分是导数的逆运算，通过不定积分可以求解函数的原函数（也称为原函数或不定积分）。

定积分是求解函数与坐标轴之间的面积或曲线长度的一种方法，它具有重要的几何和物理意义。

5. 无穷级数无穷级数是一类特殊的数列求和问题，它在数学分析中有着广泛的应用。

通过对无穷级数的研究，我们可以了解数列的收敛性和敛散性，掌握级数求和的方法和技巧。

6. 一元函数的极值与最值一元函数的极值与最值是函数在定义域内达到的最大值和最小值。

通过求解函数的极值可以解决很多实际问题，如经济学中的利润最大化和生态学中的物种竞争问题等。

7. 曲线的图像与性质数学分析中研究函数图像与性质是一个重要的方向。

通过函数的图像，我们可以直观地认识函数的性质，如单调性、凸凹性和对称性等。

熟练掌握函数图像的绘制和性质的分析是数学分析学习的关键。

8. 泰勒展开与级数泰勒展开是一种将函数在某一点附近用幂级数表示的方法，通过泰勒展开可以近似计算函数的值和研究函数的性质。

大一数学分析知识点笔记

大一数学分析知识点笔记一、实数与数系1. 实数的定义与性质实数由有理数和无理数组成，满足以下性质：- 实数集是一个完备的、有序的数系。

- 实数满足加法和乘法封闭性。

- 实数满足交换、结合和分配律。

2. 有理数与无理数有理数是可以表示为整数之间的比值的数，无理数是不能表示为有理数的比值的数。

3. 数系和数轴数系包括自然数、整数、有理数和实数，而数轴则是一种图示实数的工具。

二、极限与连续性1. 函数极限函数极限是函数在某一点上的趋近值。

常用的极限定义包括：- 函数极限的$\epsilon-\delta$定义。

- 函数极限的无穷小定义。

2. 无穷大与无穷小无穷大是指函数在某一点上无限趋近于正无穷或负无穷，无穷小则是指函数在某一点上无限趋近于零。

3. 连续性与间断点函数在某一点上连续是指函数在该点上既有左极限又有右极限，并且两者相等于函数值。

间断点则是指函数在某一点上不连续的点。

三、导数与微分1. 导数的定义与性质导数是函数在某一点上的变化率或斜率。

常用的导数定义包括：- 函数导数的极限定义。

- 函数导数的差商定义。

导数具有以下性质：- 可导函数一定连续，但连续函数不一定可导。

- 导数可以表示为函数的斜率。

- 函数的和、差、积、商的导数公式。

2. 高阶导数与微分高阶导数是指导数的导数，微分则是函数在某一点上的变化量。

3. 函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性是指函数曲线的弯曲程度，拐点则是指函数曲线变曲率的点。

四、不定积分与定积分1. 不定积分的概念与性质不定积分是函数的一个原函数集合，具有以下性质：- 不定积分的线性性质。

- 常用的基本积分公式。

2. 定积分的概念与性质定积分是函数在一定区间上的面积或曲线长度，具有以下性质：- 定积分的可加性与线性性质。

- 牛顿-莱布尼茨公式与换元积分法。

3. 定积分的应用定积分在几何、物理和经济等领域有广泛的应用，包括计算曲线下的面积、求解几何体的体积以及计算函数的平均值等。

大一数学分析知识点归纳

大一数学分析知识点归纳在大一的数学分析课程中，我们学习了许多重要的数学概念和工具，这些知识点对于我们理解数学的基本原理和解决实际问题非常重要。

在本文中，我将对大一数学分析课程中的主要知识点进行归纳和总结。

1. 极限与连续在数学分析中，极限是一个核心概念。

我们学习了极限的定义、性质和计算方法。

通过极限，我们可以研究函数的收敛性、连续性和导数等性质。

此外，我们还学习了连续函数的定义、中值定理等与极限和连续相关的重要概念和定理。

2. 导数与微分导数是数学中另一个关键概念。

我们通过极限的概念推导出导数的定义，并学习了一些基本的导数计算规则以及导数的几何和物理意义。

微分作为导数的微小变化量，也是数学分析中的重要内容。

我们研究了微分的定义和性质，以及微分中的高阶导数、隐函数求导、参数方程求导等内容。

3. 积分与定积分积分也是大一数学分析的重要内容。

我们学习了定积分的定义和性质，并研究了基本的积分计算方法，如换元积分法、分部积分法等。

通过定积分，我们可以计算函数的面积、长度、弧长等物理量，求解一些实际问题，同时也深入理解了积分与导数之间的关系。

4. 一元函数的应用在大一数学分析中，我们也学习了一元函数的一些应用。

这包括了函数的最值和最优化问题、曲线的切线与法线、弧长与曲率、微分方程的基本概念和解法等。

这些应用将我们所学的数学知识与实际问题相结合，帮助我们更好地理解数学的应用价值。

5. 数学证明与严谨性除了具体的知识点外，大一数学分析也注重培养我们的数学证明能力和严谨的数学思维。

我们学习了数学证明的基本方法和技巧，如直接证明、反证法、数学归纳法等。

通过数学证明的练习，我们可以提高逻辑思维和分析问题的能力，同时也培养了我们的严谨性和思考问题的深度。

总结起来，大一数学分析涵盖了极限与连续、导数与微分、积分与定积分、一元函数的应用以及数学证明与严谨性等重要知识点。

这些知识点相互关联、相互补充，为我们打下了数学分析的基础，同时也为我们今后更高层次的数学学习奠定了坚实的基础。

工科数学分析大一知识点总结

工科数学分析大一知识点总结大一工科数学分析知识点总结工科数学分析是工科学生大一必修的一门课程，主要介绍了数列、极限、导数、微分、积分等基本概念和计算方法。

本文将对大一工科数学分析的知识点进行总结。

一、数列与极限1. 数列的定义和性质：数列是按照一定规律排列的数的集合。

常见数列有等差数列、等比数列等。

数列有界的概念和数列极限的概念也需要了解。

2. 极限的定义和性质：极限是数列逐渐趋向于某个值的过程。

可以通过极限的唯一性、夹逼定理等性质求解极限。

3. 常见的数列极限：包括常数列、幂函数列、指数函数列、对数函数列等。

二、函数与导数1. 函数的定义和性质：函数是一种对应关系，将自变量的取值映射到因变量的取值。

函数的定义域、值域、图像等概念需要了解。

2. 导数的概念和性质：导数描述了函数在某一点上的变化率。

导数的定义、求导法则、高阶导数等需要掌握。

3. 常见函数的导数：包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数计算。

三、微分学应用1. 微分中值定理和导数的应用：包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理等，以及函数的单调性、极值等问题。

2. 泰勒展开和泰勒级数：泰勒展开是将函数表示为无穷级数的形式，可以用于计算函数的近似值。

四、积分学1. 不定积分的定义和性质：不定积分是求解导数的逆过程，表示函数的原函数。

不定积分的基本性质和计算方法需要掌握。

2. 定积分与积分中值定理：定积分用于计算曲线下面的面积或弧长等问题。

积分中值定理可以用于计算定积分的近似值。

3. 常见函数的积分：包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的积分计算。

总结：通过对大一工科数学分析的学习，我们可以掌握数列与极限、函数与导数、微分学应用、积分学等基本知识和计算方法。

这些知识点对于工科学生的后续学习和工作都具有重要意义，因此需要认真学习和掌握。

以上就是大一工科数学分析的知识点总结，希望对你有所帮助。

通过深入理解和充分练习，相信你能够顺利掌握这门课程的内容。

大一数学分析知识点重点

大一数学分析知识点重点数学分析作为大一学生的一门重要数学基础课程，涵盖了许多重要的知识点。

在本文中，将重点介绍大一数学分析的知识点，以帮助学生更好地理解和掌握这门课程。

一、极限与连续性1. 极限的概念及性质：- 极限的定义：对于函数f(x)，当x无限接近某一点a时，f(x)的极限是指当x充分靠近a时，f(x)的值也趋于某一固定的常数L。

- 极限的基本性质：唯一性、局部有界性、保序性等。

2. 极限计算的方法：- 函数极限的四则运算法则：加法、减法、乘法、除法。

- 复合函数的极限：通过分解成简单的极限求解。

- 无穷小量与无穷大量的关系：比较阶数大小。

3. 连续性的概念及性质：- 连续函数的定义：对于函数f(x)，如果对于任意给定的x，当x无限接近某一点a时，f(x)的极限等于f(a)，则称函数f(x)在点a处连续。

- 连续函数的性质：Intermediate Value Theorem、最值定理等。

二、函数的导数与微分1. 导数的定义及性质：- 导数的定义：函数f(x)在点x处的导数是指该点处的切线斜率。

- 导数的性质：线性性、乘法法则、链式法则等。

2. 常见函数的导数：- 幂函数、指数函数、对数函数的导数。

- 三角函数、反三角函数的导数。

3. 函数的微分：- 微分的定义：函数f(x)在点a处的微分是指函数在该点的导数与自变量变化的增量之积。

- 微分的性质：导数与微分的关系、微分近似等。

三、不定积分与定积分1. 不定积分的概念及性质：- 不定积分的定义：如果对于函数F(x)，其导函数是f(x)，则称F(x)是f(x)的一个原函数，记作∫f(x)dx=F(x)+C。

- 不定积分的性质：线性性、换元积分法、分部积分法等。

2. 常见函数的不定积分：- 幂函数、指数函数、对数函数的不定积分。

- 三角函数、反三角函数的不定积分。

3. 定积分的概念及性质：- 定积分的定义：表示曲线y=f(x)与x轴之间的面积。

数学分析知识点最全汇总

数学分析知识点最全汇总本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March第一章实数集与函数§1实数授课章节：第一章实数集与函数——§1实数教学目的：使学生掌握实数的基本性质．教学重点：(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；(2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用．教学方法：讲授．（部分内容自学）教学程序：引言上节课中，我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．[问题]为什么从“实数”开始．答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．一、实数及其性质1、实数(,q p q p ⎧≠⎪⎪⎨⎪⎪⎩有理数:任何有理数都可以用分数形式为整数且q 0)表示，也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示.无理数:用无限十进不循环小数表示.{}|R x x =为实数--全体实数的集合．[问题]有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定：例： 2.001 2.0009999→；利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．在此规定下，如何比较实数的大小？2、两实数大小的比较1）定义1给定两个非负实数01.n x a a a =，01.n y b b b =. 其中00,a b 为非负整数，,k k a b (1,2,)k =为整数，09,09k k a b ≤≤≤≤．若有3 2.99992.001 2.0099993 2.9999→-→--→-；；,0,1,2,k k a b k ==，则称x 与y 相等，记为x y =；若00a b >或存在非负整数l ，使得,0,1,2,,k k a b k l ==，而11l l a b ++>，则称x 大于y 或y 小于x ，分别记为x y >或y x <．对于负实数x 、y ，若按上述规定分别有x y -=-或x y ->-，则分别称为x y =与x y <（或y x >）．规定：任何非负实数大于任何负实数．2）实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．定义2（不足近似与过剩近似）：01.n x a a a =为非负实数，称有理数01.n n x a a a =为实数x 的n 位不足近似；110n n n x x =+称为实数x 的n 位过剩近似，0,1,2,n =.对于负实数01.nx a a a =-，其n 位不足近似011.10n n n x a a a =--；n 位过剩近似01.n n x a a a =-.注：实数x 的不足近似n x 当n 增大时不减，即有012x x x ≤≤≤；过剩近似n x 当n 增大时不增，即有012x x x ≥≥≥．命题：记01.n x a a a =，01.n y b b b =为两个实数，则x y >的等价条件是：存在非负整数n ，使n n x y >（其中n x 为x 的n 位不足近似，n y 为y 的n 位过剩近似）．命题应用例1．设,x y 为实数，x y <，证明存在有理数r ，满足x r y <<．证明：由x y <，知：存在非负整数n ，使得n n x y <．令()12n n r x y =+，则r 为有理数，且 n n x x r y y ≤<<≤．即x r y <<．3、实数常用性质（详见附录Ⅱ．289302P P -）．1）封闭性（实数集R 对,,,+-⨯÷）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数．2）有序性：,a b R ∀∈，关系,,a b a b a b <>=，三者必居其一，也只居其一.3）传递性：a b c R ∀∈，，，,a b b c a c >>>若，则．4）阿基米德性：,,0a b R b a n N ∀∈>>⇒∃∈使得na b >．5）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．6）一一对应关系：实数集R 与数轴上的点有着一一对应关系．例2．设,a b R ∀∈，证明：若对任何正数ε，有a b ε<+，则a b ≤．（提示：反证法．利用“有序性”，取a b ε=-）二、绝对值与不等式1、绝对值的定义实数a 的绝对值的定义为,0||0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩． 2、几何意义从数轴看，数a 的绝对值||a 就是点a 到原点的距离．||x a -表示就是数轴上点x 与a 之间的距离．3、性质1）||||0;||00a a a a =-≥=⇔=（非负性）；2）||||a a a -≤≤；3）||a h h a h <⇔-<<，||.(0)a h h a h h ≤⇔-≤≤>；4）对任何,a b R ∈有||||||||||a b a b a b -≤±≤+（三角不等式）； 5）||||||ab a b =⋅；6）||||a ab b =（0b ≠）．三、几个重要不等式1、,222ab b a ≥+ .1 sin ≤x . sin x x ≤2、均值不等式:对,,,,21+∈∀R n a a a 记 ,1 )(121∑==+++=ni i n i a n n a a a a M (算术平均值) ,)(1121nn i i n n i a a a a a G ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∏= (几何平均值) .1111111)(1121∑∑====+++=n i i n i i n i a n a n a a a na H (调和平均值)有平均值不等式:),( )( )(i i i a M a G a H ≤≤即： 1212111n n n a a a nn a a a +++≤≤+++等号当且仅当n a a a === 21时成立.3、Bernoulli 不等式:(在中学已用数学归纳法证明过),1->∀x 有不等式(1)1, .n x nx n +≥+∈N当1->x 且0≠x ,N ∈n 且2≥n 时,有严格不等式.1)1(nx x n +>+ 证：由01>+x 且>+++++=-++⇒≠+111)1(1)1( ,01 n n x n x x ).1( )1( x n x n n n +=+>.1)1( nx x n +>+⇒4、利用二项展开式得到的不等式:对,0>∀h 由二项展开式,!3)2)(1(!2)1(1)1(32n n h h n n n h n n nh h ++--+-++=+ 有 >+n h )1( 上式右端任何一项.［练习］P4．5［课堂小结］：实数：⎧⎨⎩一实数及其性质二绝对值与不等式. [作业]P4．1．(1)，2．(2)、(3)，3§2数集和确界原理授课章节：第一章实数集与函数——§2数集和确界原理教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念. 教学要求：(1)掌握邻域的概念；(2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.教学难点：确界的定义及其应用.教学方法：讲授为主.教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.引言上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章§1实数的相关内容.下面，我们先来检验一下自学的效果如何！1、证明：对任何x R ∈有：(1)|1||2|1x x -+-≥；(2)|1||2||3|2x x x -+-+-≥. （111(2)12,121x x x x x -=+-≥--∴-+-≥（））（2121,231,23 2.x x x x x x -+-≥-+-≥-+-≥（）三式相加化简即可）2、证明：||||||x y x y -≤-.3、设,a b R ∈，证明：若对任何正数ε有a b ε+<，则a b ≤.4、设,,x y R x y ∈>，证明：存在有理数r 满足y r x <<.[引申]：①由题1可联想到什么样的结论呢这样思考是做科研时的经常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用.提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具.本节主要内容：1、先定义实数集R 中的两类主要的数集——区间与邻域；2、讨论有界集与无界集；3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.一、区间与邻域1、区间（用来表示变量的变化范围）设,a b R ∈且a b <.⎧⎨⎩有限区间区间无限区间，其中 {}{}{}{}|(,)|[,]|[,)|(,]x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b ⎧∈<<=⎪⎪⎪∈≤≤=⎪⎨⎪⎪∈≤<=⎧⎪⎪⎨⎪∈<≤=⎪⎩⎩开区间: 闭区间: 有限区间闭开区间:半开半闭区间开闭区间:{}{}{}{}{}|[,).|(,].|(,).|(,).|.x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ⎧∈≥=+∞⎪∈≤=-∞⎪⎪∈>=+∞⎨⎪∈<=-∞⎪⎪∈-∞<<+∞=⎩无限区间2、邻域联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.与a 邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a 的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？（1）a 的δ邻域：设,0a R δ∈>，满足不等式||x a δ-<的全体实数x 的集合称为点a 的δ邻域，记作(;)U a δ，或简记为()U a ，即 {}(;)||(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+.其中a δ称为该邻域的中心，称为该邻域的半径.（2）点a 的空心δ邻域{}(;)0||(,)(,)()o o U a x x a a a a a U a δδδδ=<-<=-⋃+.（3）a 的δ右邻域和点a 的空心δ右邻域{}{}00(;)[,)();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ++++=+=≤<+=+=<<+（4）点a 的δ左邻域和点a 的空心δ左邻域{}{}00(;)(,]();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ+---=-=-<≤=-=-<<（5）∞邻域，+∞邻域，-∞邻域{}()||,U x x M ∞=>（其中M 为充分大的正数）；{}(),U x x M +∞=>{}()U x x M -∞=<-二、有界集与无界集1、定义1（上、下界）：设S 为R 中的一个数集.若存在数()M L ，使得一切x S ∈都有()x M x L ≤≥，则称S 为有上（下）界的数集.数()M L 称为S 的上界（下界）；若数集S 既有上界，又有下界，则称S 为有界集.闭区间[],a b 、开区间b a b a ,( ),(为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 {}) , ( ,sin ∞+∞-∈==x x y y E 也是有界数集.若数集S 不是有界集，则称S 为无界集.) , 0 ( , ) 0 , ( , ) , (∞+∞-∞+∞-等都是无界数集,集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==) 1 , 0 ( ,1 x xy y E 也是无界数集. 注：1）上（下）界若存在，不唯一；2）上（下）界与S 的关系如何？看下例：例1 讨论数集{}|N n n +=为正整数的有界性.解：任取0n N +∈，显然有01n ≥，所以N +有下界1；但N +无上界.因为假设N +有上界M,则M>0，按定义，对任意0n N +∈，都有0n M ≤，这是不可能的，如取[]0[]1n M M M =+（符号表示不超过的最大整数），则0n N +∈，且0n M >. 综上所述知：N +是有下界无上界的数集，因而是无界集.例2证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.[问题]：若数集S 有上界，上界是唯一的吗对下界呢(答：不唯一，有无穷多个).三、确界与确界原理1、定义定义2（上确界）设S 是R 中的一个数集，若数η满足：(1) 对一切,x S ∈有x η≤（即η是S 的上界）; (2) 对任何αη<，存在0x S ∈，使得0x α>（即η是S 的上界中最小的一个），则称数η为数集S 的上确界，记作sup .S η=从定义中可以得出：上确界就是上界中的最小者.命题1sup M E = 充要条件1）,x E x M ∀∈≤；2）00,,o x S x M εε∀>∃∈>-使得.证明：必要性，用反证法.设2）不成立，则00,,o x E x M εε∃>∀∈≤-使得均有，与M 是上界中最小的一个矛盾.充分性（用反证法），设M 不是E 的上确界，即0M ∃是上界，但0M M >.令00M M ε=->，由2），0x E ∃∈，使得00x M M ε>-=，与0M 是E 的上界矛盾.定义3（下确界）设S 是R 中的一个数集，若数ξ满足：（1）对一切,x S ∈有x ξ≥（即ξ是S 的下界）；（2）对任何βξ>，存在0x S ∈，使得0x β<（即ξ是S 的下界中最大的一个），则称数ξ为数集S 的下确界，记作inf S ξ=.从定义中可以得出：下确界就是下界中的最大者.命题2 inf S ξ=的充要条件：1）,x E x ξ∀∈≥；2）ε∀＞0，00,x S x ∈有＜.ξε+上确界与下确界统称为确界.例3（1）,) 1(1⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+=n S n 则sup S = 1 ；inf S = 0 . （2）{}.),0( ,sin π∈==x x y y E 则sup S = 1 ；inf S = 0 . 注：非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.命题3：设数集A 有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的.证明：设sup A η=，sup A η'=且ηη'≠，则不妨设ηη'<A sup =η⇒A x ∈∀有η≤xsup A η'=⇒对ηη'<，0x A ∃∈使0x η<，矛盾.例：sup 0R -= ，sup 11n Z n n +∈⎛⎫= ⎪+⎝⎭ ，1inf 12n Z n n +∈⎛⎫= ⎪+⎝⎭ {}5,0,3,9,11E =-则有inf 5E =-.开区间(),a b与闭区间[],a b有相同的上确界b与下确界a例4设S 和A 是非空数集，且有.A S ⊃则有.inf inf ,sup sup A S A S ≤≥.例5设A 和B 是非空数集.若对A x ∈∀和,B y ∈∀都有,y x ≤则有.inf sup B A ≤证明：,B y ∈∀y 是A 的上界,.sup y A ≤⇒A sup ⇒是B 的下界,.inf sup B A ≤⇒例6A 和B 为非空数集,.B A S =试证明:{}. inf , inf m in inf B A S = 证明：,S x ∈∀有A x ∈或,B x ∈由A inf 和B inf 分别是A 和B 的下界,有A x inf ≥或{}. inf , inf m in .infB A x B x ≥⇒≥即{} inf , inf m in B A 是数集S 的下界,{}. inf , inf m in inf B A S ≥⇒又S A S ,⇒⊃的下界就是A 的下界,S inf 是S 的下界,S inf ⇒是A 的下界,;inf inf A S ≤⇒同理有.inf inf B S ≤于是有{} inf , inf m in inf B A S ≤.综上,有{} inf , inf m in inf B A S =.1. 数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.以例3⑵为例做解释.2. 确界与最值的关系:设 E 为数集.（1）E 的最值必属于E ,但确界未必,确界是一种临界点.（2）非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.（3）若E max 存在,必有.sup max E E =对下确界有类似的结论.4. 确界原理:Th1.1(确界原理).设S 非空的数集.若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界.这里我们给一个可以接受的说明 ,E R E ⊂非空，E x ∈∃，我们可以找到一个整数p ，使得p 不是E 上界，而1p +是E 的上界.然后我们遍查9.,,2.,1.p p p 和1+p ，我们可以找到一个0q ，900≤≤q ，使得0.q p 不是E 上界，)1.(0+q p 是E 上界，如果再找第二位小数1q ，, 如此下去，最后得到 210.q q q p ，它是一个实数，即为E 的上确界. 证明：（书上对上确界的情况给出证明，下面讲对下确界的证明）不妨设S 中的元素都为非负数，则存在非负整数n ，使得1）S x ∈∀，有n x >；2）存在S x ∈1，有1+≤n x ；把区间]1,(+n n 10等分，分点为n.1，ｎ.2，．．．,ｎ.9, 存在1n ，使得1）S ∈∀，有；1.n n x >；2）存在S x ∈2，使得10112.+≤n n x ．再对开区间111(.,.]10n n n n +10等分，同理存在2n ，使得1）对任何S x ∈，有21.n n n x >；2）存在2x ，使2101212.+≤n n n x 继续重复此步骤，知对任何 ,2,1=k ，存在k n 使得1）对任何S x ∈，k k n n n n x 10121.-> ；2）存在S x k ∈，k k n n n n x 21.≤．因此得到 k n n n n 21.=η．以下证明S inf =η．（ⅰ）对任意S x ∈，η>x ；（ⅱ）对任何ηα>，存在S x ∈'使x '>α．［作业］：P9 1（1），（2）； 2； 4（2）、（4）；７§3函数概念授课章节：第一章实数集与函数——§3 函数概念教学目的：使学生深刻理解函数概念.教学要求：（１）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示法；（２）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象.会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系.教学重点：函数的概念.教学难点：初等函数复合关系的分析.教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学.教学程序：引言关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解.为便于今后的学习，本节将对此作进一步讨论.一、函数的定义１．定义１设,D M R∀∈，⊂，如果存在对应法则f，使对x D存在唯一的一个数y M∈与之对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作:f D M→→ .|x y数集D称为函数f的定义域，x所对应的y，称为f在点x的函数值，记为()f x.全体函数值的集合称为函数f的值域，记作f D.()即{}==∈.()|(),f D y y f x x D２．几点说明（1）函数定义的记号中“:f D M →”表示按法则f 建立D 到M 的函数关系，|x y →表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作|()x f x →.习惯上称x 自变量，y 为因变量.（2）函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域.当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来.因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法则.所以函数也常表示为：(),y f x x D =∈. 由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则.例如：1）()1,,f x x R =∈ {}()1,\0.g x x R =∈（不相同，对应法则相同，定义域不同）2）()||,,x x x R ϕ=∈ ().x x R ψ=∈（相同，只是对应法则的表达形式不同）.（3）函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定义域）.此时，函数的记号中的定义域可省略不写，而只用对应法则f 来表示一个函数.即“函数()y f x =”或“函数f ”.（4）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a D ∈，()f a 称为映射f 下a 的象.a 称为()f a 的原象.（5）函数定义中，x D ∀∈，只能有唯一的一个y 值与它对应，这样定义的函数称为“单值函数”，若对同一个x值，可以对应多于一个y 值，则称这种函数为多值函数.本书中只讨论单值函数（简称函数）.二、函数的表示方法1 主要方法：解析法（公式法）、列表法（表格法）和图象法（图示法）.2 可用“特殊方法”来表示的函数.1）分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示.例如 1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，（符号函数）（借助于sgnx 可表示()||,f x x =即()||sgn f x x x x ==）.2）用语言叙述的函数.（注意；以下函数不是分段函数）例１）[]y x =（取整函数）比如： [3.5]=3, [3]=3, [-3.5]=-4.常有 [][]1x x x ≤<+, 即[]01x x ≤-<.与此有关一个的函数[]{}y x x x =-（非负小数函数）图形是一条大锯，画出图看一看.２）狄利克雷（Dirichlet ）函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩当为有理数,当为无理数, 这是一个病态函数，很有用处，却无法画出它的图形.它是周期函数，但却没有最小周期，事实上任一有理数都是它的周期.３）黎曼（Riemman ）函数 1,(,,()0,0,1(0,1)p p x p q N qq q R x x +⎧=∈⎪=⎨⎪=⎩当为既约分数),当和内的无理数.三函数的四则运算给定两个函数12,,,f x D g x D ∈∈，记12D D D =，并设D φ≠，定义f 与g 在D 上的和、差、积运算如下：若在D 中除去使()0g x =的值，即令{}2\()0,D D x g x x D φ=≠∈≠，可在D 上定义f 与g 的商运算如下；()(),()f x L x x Dg x =∈. 注：１）若12D D D φ==，则f 与g 不能进行四则运算.２）为叙述方便，函数f 与g 的和、差、积、商常分别写为：,,,f f g f g fg g+-. 四、复合运算１．引言在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才建立起它们之间的对应关系.例：质量为m 的物体自由下落，速度为v ，则功率E 为2221122E mv E mg t v gt ⎫=⎪⇒=⎬⎪=⎭. 抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数21(),2f v mv v gt ==，把()v t 代入f ，即得221(())2f v t mg t =.这样得到函数的过程称为“函数复合”，所得到的函数称为“复合函数”.[问题] 任给两个函数都可以复合吗？考虑下例；2()arcsin ,[1,1],()2,y f u u u D u g x x x E R ==∈=-==+∈=.就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数”的值域与“外函数”的定义域的交集不空（从而引出下面定义）.2．定义（复合函数）设有两个函数(),,(),y f u u D u g x x E =∈=∈，{}()E x f x D E =∈，若E φ≠，则对每一个x E ∈，通过g 对应D 内唯一一个值u ，而u 又通过f 对应唯一一个值y ，这就确定了一个定义在E 上的函数，它以x 为自变量，y 因变量，记作(()),y f g x x E =∈或()(),y f g x x E =∈.简记为f g .称为函数f 和g 的复合函数，并称f 为外函数，g 为内函数，u 为中间变量.3. 例子例 .1)( ,)(2x x g u u u f y -==== 求 ()[]).()(x g f x g f = 并求定义域.例 ⑴._______________)( ,1)1(2=++=-x f x x x f⑵ .1122xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 则)( )(=x fA. ,2xB. ,12+xC. ,22-xD. .22+x例讨论函数()[0,)y f u u ==∈+∞与函数()u g x x R ==∈能否进行复合，求复合函数.4 说明１）复合函数可由多个函数相继复合而成.每次复合，都要验证能否进行在哪个数集上进行复合函数的最终定义域是什么例如：2sin ,1y u u v x ===-，复合成：[1,1]y x =∈-.２）不仅要会复合，更要会分解.把一个函数分解成若干个简单函数，在分解时也要注意定义域的变化. ①2log (0,1)log ,1.a a y x y u u z x =∈→===-②2arcsin , 1.y y u u v x =→===+③2sin 222,,sin .x u y y u v v x =→===五、反函数１.引言在函数()y f x =中把x 叫做自变量，y 叫做因变量.但需要指出的是，自变量与因变量的地位并不是绝对的，而是相对的，例如：2()1,f u u t ==+ 那么u 对于f 来讲是自变量，但对t 来讲，u 是因变量.习惯上说函数()y f x =中x 是自变量，y 是因变量，是基于y 随x 的变化现时变化.但有时我们不仅要研究y 随x 的变化状况，也要研究x 随y 的变化的状况.对此，我们引入反函数的概念.２.反函数概念定义设→X f :R 是一函数，如果∀1x ，X x ∈2, 由)()(2121x f x f x x ≠⇒≠(或由2121)()(x x x f x f =⇒=)，则称f 在X 上是 1-1 的.若Y X f →:，)(X f Y =，称f 为满的.若 Y X f →:是满的 1-1 的，则称f 为1-1对应.→X f :R 是1-1 的意味着)(x f y =对固定y 至多有一个解x ，Y X f →:是1-1 的意味着对Y y ∈，)(x f y =有且仅有一个解x .定义设Y X f →:是1-1对应.Y y ∈∀, 由)(x f y =唯一确定一个X x ∈, 由这种对应法则所确定的函数称为)(x f y =的反函数，记为)(1y f x -=.反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域Y X f →:X Y f →-:1显然有X X I f f →=-:1 (恒等变换）Y Y I f f →=-:1 (恒等变换)Y X f f →=--:)(11.从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函数，习惯上我们还是把反函数记为 )(1x f y -=, 这样它的图形与 )(x f y =的图形是关于对角线x y =对称的.严格单调函数是1-1对应的，所以严格单调函数有反函数. 但 1-1 对应的函数（有反函数）不一定是严格单调的，看下面例子⎩⎨⎧≤≤-<≤=21,310,)(x x x x x f它的反函数即为它自己.实际求反函数问题可分为二步进行：1. 确定 Y X f →:的定义域X 和值域Y ，考虑 1-1对应条件.固定 Y y ∈，解方程 y x f =)( 得出 )(1y f x -=.2. 按习惯，自变量x 、因变量y 互换，得)(1x f y -=. 例求 2)(x x e e x sh y --== ：R → R 的反函数. 解固定y ，为解 2x x e e y --=，令 z e x =，方程变为 122-=z zy0122=--zy z12+±=y y z ( 舍去12+-y y )得)1ln(2++=y y x ，即)()1ln(12x sh x x y -=++=，称为反双曲正弦. 定理给定函数)(x f y =，其定义域和值域分别记为X 和Y ，若在Y 上存在函数)(y g ，使得 x x f g =))((, 则有)()(1y f y g -=. 分析：要证两层结论：一是)(x f y =的反函数存在，我们只要证它是 1-1 对应就行了；二是要证1()()g y f y -=. 证要证)(x f y =的反函数存在，只要证)(x f 是X 到Y 的 1-1 对应.∀1x ，X x ∈2，若)()(21x f x f =，则由定理条件，我们有对应.再证1()()g y f y -=.∀Y y ∈，∃X x ∈，使得)(x f y =.由反函数定义 )(1y f x -=，再由定理条件()(())g y g f x x ==.1()()g y f y -⇒=例 :f R R →，若))((x f f 存在唯一（|∃）不动点，则)(x f 也|∃不动点.证存在性，设)]([* * x f f x =，)]([)(* * x f f f x f =，即)(* x f 是f f 的不动点，由唯一性* * )(x x f =，即存在)(x f 的不动点* x .唯一性：设)(x f x =，))(()(x f f x f x ==，说明 x 是f f 的不动点，由唯一性，x =*x .从映射的观点看函数. 设函数(),y f x x D =∈.满足：对于值域()f D 中的每一个值y ，Ｄ中有且只有一个值x ，使得()f x y =，则按此对应法则得到一个定义在()f D 上的函数，称这个函数为f 的反函数，记作 1:(),(|)f f D D y x -→→或1(),()x f y y f D -=∈.３、注释a) 并不是任何函数都有反函数，从映射的观点看，函数f 有反函数，意味着f 是Ｄ与()f D 之间的一个一一映射，称1f -为映射f 的逆映射，它把()f D D →；b) 函数f 与1f -互为反函数，并有:1(()),,f f x x x D -≡∈1(()),().f f x y y f D -≡∈c) 在反函数的表示1(),()x f y y f D -=∈中，是以y 为自变量，x 为因变量.若按习惯做法用x 做为自变量的记号，y 作为因变量的记号，则函数f 的反函数1f -可以改写为1(),().y f x x f D -=∈应该注意，尽管这样做了，但它们的表示同一个函数，因为其定义域和对应法则相同，仅是所用变量的记号不同而已.但它们的图形在同一坐标系中画出时有所差别.六、初等函数1.基本初等函数（６类）常量函数 y C =（Ｃ为常数）；幂函数 ()y x R αα=∈；指数函数(0,1)x y a a a =>≠；对数函数 log (0,1)a y x a a =>≠；三角函数 sin ,cos ,,c y x y x y tgx y tgx ====；反三角函数 arcsin ,arccos ,,y x y x y arctgx y arcctgx ====.注：幂函数()y x R αα=∈和指数函数(0,1)x y a a a =>≠都涉及乘幂，而在中学数学课程中只给了有理指数乘幂的定义.下面我们借助于确界来定义无理指数幂，便它与有理指数幂一起构成实指数乘幂，并保持有理批数幂的基本性质.定义２．给定实数0,1a a >≠，设x 为无理数，我们规定：{}{}sup |,1|,01r x r xr a r a a a r a <⎧>⎪=⎨<<⎪⎩r<x为有理数当时,inf 为有理数当时. 这样解决了中学数学仅对有理数ｘ定义xa 的缺陷．[问题]：这样的定义有意义否更明确一点相应的“确界是否存在呢”２．初等函数定义３．由基本初等函数经过在有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数如：22112sin cos ,sin(),l g ,||.a e y x x y y o x y x x x -=+==+= 不是初等函数的函数，称为非初等函数.如Dirichlet 函数、Riemann 函数、取整函数等都是非初等函数.注：初等函数是本课程研究的主要对象.为此，除对基本初等函数的图象与性质应熟练掌握外，还应常握确定初等函数的定义域.确定定义域时应注意两点.例２．求下列函数的定义域.（１） y = （２） ln |sin |.y x =3.初等函数的几个特例: 设函数)(x f 和)(x g 都是初等函数, 则（1） )( x f 是初等函数, 因为 ().)( )( 2x f x f =（2）{})( , )(m ax )(x g x f x =Φ 和 {})( , )(m in )(x g x f x =φ都是初等函数,因为 {})( , )(m ax )(x g x f x =Φ[])()()()(21x g x f x g x f -++=, {})( , )(m in )(x g x f x =φ [])()()()(21x g x f x g x f --+= . （3）幂指函数 ()()0)( )()(>x f x f x g 是初等函数,因为()(). )()(ln )()(ln )()(x f x g x f x g e e x f x g ==［作业］ 15P ： 3；4:（２）、（３）； 5:（２）； 7:（３）；11§4具有某些特性的函数授课章节：第一章实数集与函数——§4具有某些特性的函数教学目的：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语.教学目的：深刻理解有界函数、单调函数的定义；理解奇偶函数、周期函数的定义；会求一些简单周期函数的周期.教学重点：函数的有界性、单调性.教学难点：周期函数周期的计算、验证.教学方法：有界函数讲授，其余的列出自学题纲，供学生自学完成. 教学程序：引言在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，如有界函数、单调函数、奇偶函数与周期函数.其中，有些概念在中学里已经叙述过，因此，这里只是简单地提一下.与“有界集”的定义类似，先谈谈有上界函数和有下界函数.一、有界函数1、有上界函数、有下界函数的定义定义1设f为定义在D上的函数，若存在数()M L，使得对每一个x D∈有()(())≤≥，则称f为D上的有上（下）界函数，f x M f x L()M L称为f在D上的一个上（下）界.注：（1）f在D上有上（下）界，意味着值域()f D是一个有上（下）界的数集；（2）又若()M L为f在D上的一个上（下）界，则任何大于Ｍ（小于Ｌ）的数也是f在D上的上（下）界.所以，函数的上（下）界若存在，则不是唯一的，例如：sin=，1是其一个上y x界，下界为－1，则易见任何小于－1的数都可作为其下界；任何大于1的数都可作为其上界；（3）任给一个函数，不一定有上（下）界；（4）由（1）及“有界集”定义，可类比给出“有界函数”定义：f在D上有界⇔()f D是一个有界集⇔f在D上既有上界又有下界⇔f在D上的有上界函数，也为D上的有下界函数.2、有界函数定义定义2设f为定义在D上的函数.若存在正数Ｍ，使得对每一个∈有|()|x D≤，则称f为D上的有界函数.f x M注：（1）几何意义：f 为D 上的有界函数，则f 的图象完全落在y M =和y M =-之间；（2）f 在D 上有界⇔f 在D 上既有上界又有下界；例子：sin ,cos y x y x ==；（3）关于函数f 在D 上无上界、无下界或无界的定义. 3、例题例 1 证明:f X R →有界的充要条件为：∃M ,m ，使得对X x ∈∀,M x f m ≤≤)(.证明如果:f X R →有界，按定义∃M >0，X x ∈∀有()f x M ≤，即()M f x M -≤≤,取M m -=,M M =即可.反之如果∃M ,m 使得,()x X m f x M ∀∈≤≤，令{}0max 1,M M m =+，则0()f x M ≤，即∃00M >，使得对x X ∀∈有0()f x M ≤，即:f X R →有界.例2．证明1()f x x=为(0,1]上的无上界函数. 例3．设,f g 为D 上的有界函数.证明：（1）{}inf ()inf ()inf ()()x D x D x D f x g x f x g x ∈∈∈+≤+；（2）{}sup ()()sup ()sup ()x Dx Dx Df xg x f x g x ∈∈∈+≤+.例4验证函数 325)(2+=x xx f 在R 内有界. 解法一由,62322)3()2(32222x x x x =⋅≥+=+当0≠x 时,有.3625625325325 )( 22≤=≤+=+=x x x x x x x f 30 )0( ≤=f ,∴ 对 ,R ∈∀x 总有 ,3 )( ≤x f 即)(x f 在R 内有界. 解法二令 ,3252⇒+=x x y 关于x 的二次方程 03522=+-y x yx 有实数根.22245 y -=∆∴.2 ,42425,02≤⇒≤≤⇒≥y y 解法三令 ⎪⎭⎫⎝⎛-∈=2,2 ,23ππt tgt x 对应). , (∞+∞-∈x 于是 ==+=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=t t t t tg tgt tgt tgt x x x f 2222sec 1cos sin 65123353232235325)(.6252sin 625 )( ,2sin 625 ≤=⇒=t x f t二、单调函数定义3设f 为定义在D 上的函数，1212,,,x x D x x ∀∈< （1）若12()()f x f x ≤，则称f 为D 上的增函数；若12()()f x f x <，则称f 为D 上的严格增函数.（2）若12()()f x f x ≥，则称f 为D 上的减函数；若12()()f x f x >，则称f 为D 上的严格减函数.例5．证明：3y x =在(,)-∞+∞上是严格增函数.证明：设21x x <，))((222121213231x x x x x x x x ++-=- 如021<x x ，则3231120x x x x <⇒>> 如120x x >，则22331122120,x x x x x x ++>⇒<故03231<-x x 即得证. 例6．讨论函数[]y x =在R 上的单调性.12,x x R ∀∈，当12x x <时，有[][]12x x ≤，但此函数在R 上的不是严格增函数.注：1）单调性与所讨论的区间有关.在定义域的某些部分，f 可能单调，也可能不单调.所以要会求出给定函数的单调区间；2）严格单调函数的几何意义：其图象无自交点或无平行于x 轴的部分.更准确地讲：严格单调函数的图象与任一平行于x 轴的直线至多有一个交点.这一特征保证了它必有反函数.总结得下面的结论：定理1．设(),y f x x D =∈为严格增（减）函数，则f 必有反函数1f -，且1f -在其定义域()f D 上也是严格增（减）函数.证明：设f 在D 上严格增函数.对(),,()y f D x D f x y ∀∈∈=有使.下面证明这样的x 只有一个.事实上，对于D 内任一1,x x ≠由于f 在D 上严格增函数，当1x x <时1()f x y <，当1x x >时1()f x y >，总之1()f x y ≠.即(),,()y f D x D f x y ∀∈∈=都只存在唯一的一使得，从而例7 讨论函数2y x =在(,)-∞+∞上反函数的存在性；如果2y x =在(,)-∞+∞上不存在反函数，在(,)-∞+∞的子区间上存在反函数否？结论：函数的反函数与讨论的自变量的变化范围有关.例8 证明：x y a =当1a >时在Ｒ上严格增，当01a <<时在R 上严格递减.三、奇函数和偶函数定义4. 设D 为对称于原点的数集，f 为定义在D 上的函数.若对每一个x D ∈有（1）()()f x f x -=-，则称f 为D 上的奇函数；（2）()()f x f x -=，则称f 为D 上的偶函数.注：（1）从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称（中心对称），偶函数的图象关于y 轴对称；（2）奇偶性的前提是定义域对称，因此(),[0,1]f x x x =∈没有必要讨论奇偶性.（3）从奇偶性角度对函数分类：⎧⎪⎪⎨⎪⎪≡⎩奇函数:y=sinx 偶函数:y=sgnx非奇非偶函数:y=sinx+cosx 既奇又偶函数:y 0；（4）由于奇偶函数对称性的特点，研究奇偶函数性质时，只须讨论原点的左边或右边即可四、周期函数 1、定义设f 为定义在数集D 上的函数，若存在0σ>，使得对一切x D ∈有()()f x f x σ±=，则称f 为周期函数，σ称为f 的一个周期. 2、几点说明：（1）若σ是f 的周期，则()n n N σ+∈也是f 的周期，所以周期若存在，则不唯一.如sin ,2,4,y x σππ==.因此有如下“基本周期”的说法，即若在周期函数f 的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为f 的“基本周期”，简称“周期”.如sin y x =，周期为2π；（2）任给一个函数不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期，如：1）1y x =+，不是周期函数；2）y C =（Ｃ为常数），任何正数都是它的周期.第二章数列极限引言为了掌握变量的变化规律，往往需要从它的变化过程来判断它的变化趋势.例如有这么一个变量，它开始是1，然后为1111,,,,,234n如此，一直无尽地变下去，虽然无尽止，但它的变化有一个趋势，这个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零.我们就说，这个变量的极限为0.。

数学分析知识点总结大一下

数学分析知识点总结大一下大一下学期的数学分析是数学系学生必修的一门课程，其内容主要涵盖了极限、导数和微分、积分以及级数等部分。

通过学习这门课程，我们不仅能够进一步理解数学的本质与应用，还能培养我们的逻辑思维能力和问题解决能力。

在本文中，我将对大一下学期数学分析的几个重要知识点进行总结与归纳。

一、极限与连续在数学分析的学习中，极限是一个非常重要的概念。

极限的概念与数列的极限、函数的极限密切相关。

通过学习极限的定义、性质与计算方法，我们能够更好地理解和应用极限的概念。

同时，极限与连续是数学分析中的两个紧密关联的概念。

通过学习连续的定义、性质和连续函数的判定方法，我们能够更好地理解和应用这两个概念，从而为后续的微积分知识打下坚实的基础。

二、导数与微分导数是微积分的核心概念之一。

通过学习导数的定义、性质和计算方法，我们能够更好地理解函数变化的速率和曲线的斜率，为后续的微分方程等知识打下坚实的基础。

微分作为导数的重要应用，是对函数微小变化的描述。

通过学习微分的概念、性质和微分中值定理等知识，我们能够更好地理解函数的局部特性，如极值、凹凸性以及拐点等等。

三、积分积分是微积分的另一个重要概念。

通过学习积分的定义、性质和计算方法，我们能够理解函数与曲线所围成的面积以及函数的累积变化。

积分是微积分中的一种重要工具，可以解决很多实际问题，如求曲线的长度、体积和质量等。

在应用层面上，通过学习定积分的应用，我们能够更好地理解函数的平均值和重心等概念，为后续数学建模等知识打下基础。

四、级数级数是数学分析中的一个重要概念。

通过学习级数的定义、性质和收敛条件等知识，我们能够理解级数的逼近性质和求和的方法。

级数是一种重要的数学工具，在数学物理等领域有着广泛的应用。

通过学习级数的收敛性与发散性，我们能够理解无限序列和无限和的概念，加深对数学的理解。

五、思维方法与解题技巧在数学分析的学习过程中，除了掌握知识点外，培养良好的思维方法和解题技巧也是非常重要的。

数学分析大一复习知识点

数学分析大一复习知识点在大一的数学学习中，数学分析是一门基础而重要的学科。

学好数学分析是数学学科的基石，也是后续学习其他数学学科的必备条件。

因此，在准备期末考试前，复习数学分析的知识点是至关重要的。

本文将为大家回顾数学分析大一下学期的重要知识点。

一、函数与极限1. 实数集与数轴：- 有理数和无理数的性质与刻画；- 实数集的完备性与确界性质。

2. 函数的基本概念：- 函数的定义与表示；- 函数的有界性与单调性；- 常用初等函数的性质与图像。

3. 极限与连续：- 数列极限的定义与性质；- 函数极限的定义与性质；- 函数连续的定义与性质。

二、导数与微分1. 导数的定义与性质：- 导数的定义与几何意义；- 导数的基本运算法则；- 高阶导数与高阶微分。

2. 常用函数的导数公式：- 幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的导数公式； - 复合函数与反函数的导数公式；- 隐函数与参数方程的导数。

3. 微分的基本概念：- 微分的定义与几何意义；- 微分中值定理与泰勒公式；- 微分在误差估计中的应用。

三、积分与不定积分1. 定积分的定义与性质：- 定积分的几何意义与计算方法；- 积分中值定理与微积分基本定理；- 积分的换元法与分部积分法。

2. 不定积分与定积分的关系：- 不定积分的定义与基本性质；- 积分的表达式与计算方法；- 牛顿—莱布尼兹公式与定积分的应用。

四、级数与幂级数1. 数项级数的概念与性质：- 无穷级数的定义与充要条件；- 收敛级数与发散级数的判定方法；- 收敛级数的运算与性质。

2. 幂级数的收敛域与展开式：- 幂级数的定义与收敛域；- 幂级数的展开式与函数表示；- 幂级数的和函数及其性质。

以上是数学分析大一下学期的重要知识点的复习总结。

通过对这些知识点的深入学习与复习，相信大家可以更好地理解数学分析的基本概念与性质，提高解题能力与分析问题的能力。

希望大家在期末考试中取得优异的成绩！。

数学分析大一教材知识点

数学分析大一教材知识点数学分析是数学的一个重要分支，也是大学数学课程中的一门必修课。

对于大一学生来说，掌握数学分析的基本知识点是非常关键的。

本文将详细介绍大一数学分析教材中的一些重要知识点，帮助大家更好地理解和应用这些知识。

一、极限与连续1. 数列极限数列极限是数学分析中的基础概念之一，它是指当自变量趋于无穷大时，函数的极限。

大家需要掌握数列极限的定义、性质和计算方法。

同时，还需要熟悉常见数列的极限，如等差数列、等比数列等。

2. 函数极限函数极限是指当自变量趋于某一点时，函数的极限。

我们需要理解函数极限的定义和性质，了解常见函数的极限计算方法，并学会利用极限的性质解决实际问题。

3. 连续性连续性是函数的一个重要性质，它是指函数在定义域内的任意点都存在极限，并且与函数的值相等。

我们需要掌握连续性的定义和性质，学会判断函数的连续性，并理解介值定理和零点定理等与连续性相关的概念。

二、导数与微分1. 导数的定义和性质导数是函数在某一点的变化率，表示函数曲线在该点的切线斜率。

我们需要熟悉导数的定义和性质，如导数存在的充要条件、导数的四则运算、导数与函数图像的关系等。

2. 基本求导法则在求导过程中，我们可以运用一些基本法则来简化计算。

这些基本法则包括常数法则、幂函数求导法则、指数函数求导法则、三角函数求导法则、对数函数求导法则等。

掌握这些基本法则，能够大大提高求导的效率。

3. 高阶导数和导数应用导数可以进行高阶求导，即对导数再求导。

我们需要了解高阶导数的定义和性质，并在实际问题中应用导数解决最值问题、曲线绘制、函数图像的性态分析等。

三、积分与定积分1. 不定积分不定积分是积分的一种形式，表示求函数的一个原函数。

我们需要了解不定积分的定义和性质，学会基本积分公式和常见函数的积分计算方法。

2. 定积分定积分是对函数在某一区间上的积分，表示函数在该区间上的累积效果。

我们需要掌握定积分的定义和性质，学会利用定积分计算曲线下面积、求解曲线长度、求解物体质量等实际问题。

数学分析知识点总结大一上

数学分析知识点总结大一上随着大学数学学科的深入学习，数学分析作为数学的基础学科，在大一上学期中占据了重要的地位。

在这个学期里，我们学习了很多数学分析的基础知识和方法，下面我将对大一上学期学过的数学分析知识点进行一次总结。

1. 极限与连续在数学分析中，极限与连续是最基础的概念之一。

我们学习了极限的定义和性质，包括单调有界数列的极限、无穷小量、无穷大量等。

同时，我们还学习了函数的极限、无穷大与无穷小的比较、极限的四则运算等。

另外，连续函数是数学分析中另一个重要的概念，我们学习了连续函数的定义、间断点以及连续函数的性质。

2. 导数与微分导数是数学分析中的重要概念，用来描述函数在一点的变化率。

我们学习了导数的定义和性质，包括可导函数、常见函数的导数、导数的四则运算、复合函数的导数等。

另外，微分是导数的重要应用之一，我们学习了微分的定义、微分中值定理以及泰勒公式等。

3. 定积分定积分是数学分析中的另一个关键概念，用来描述函数在一定区间上的累计变化量。

我们学习了定积分的定义、定积分的性质和定积分的计算方法，包括牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法等。

4. 不定积分与积分应用不定积分是定积分的逆运算，用来求函数的原函数。

我们学习了不定积分的定义、不定积分的性质和常见函数的不定积分。

另外，我们还学习了利用积分求解面积、弧长、体积等物理问题的方法。

5. 级数级数是数学分析中的重要内容之一，它是无穷多项的和的概念。

我们学习了级数的定义和性质，包括级数的收敛与发散、级数的比较判别法、级数的收敛性质等。

另外，我们还学习了常见级数的求和公式和级数收敛的充分条件。

6. 参数方程与极坐标参数方程与极坐标是数学分析中的另一个重要内容，它们用于描述平面上的曲线。

我们学习了参数方程的表示方法、参数方程曲线的性质和参数方程与直角坐标系之间的转换关系。

另外，我们还学习了极坐标的表示方法、极坐标曲线的性质和极坐标与直角坐标系之间的转换关系。

大一数学各章知识点

大一数学各章知识点一、微积分1. 极限和连续极限定义、极限的性质、无穷小量与无穷大量、函数连续的定义与性质。

2. 导数与微分导数的定义、导数的几何意义和物理意义、导数运算法则、高阶导数、隐函数及参数方程的导数、微分与线性近似、导数的应用。

二、数学分析与线性代数1. 函数与极限有界性与有界变函数的极限、函数极限的性质、无界函数极限、级数的敛散性。

2. 高等代数向量空间的基本概念与性质、线性相关性与线性无关性、向量的线性组合、基和坐标、线性子空间与商空间。

三、离散数学与概率论1. 逻辑与集合命题逻辑的基本概念、命题逻辑的基本运算、真值表、集合的基本概念与运算。

2. 概率论古典概型的概率、条件概率、独立性、离散型随机变量与分布列、连续型随机变量与密度函数。

四、数学建模与运筹学1. 数学建模建模的基本思路与方法、模型的评价与选择、模型的求解与分析、模型的应用。

2. 运筹学线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、图论。

五、常微分方程与偏微分方程1. 常微分方程基本概念与初值问题、解的存在唯一性、一阶常微分方程的解法、高阶线性常微分方程的解法，齐次线性方程、非齐次线性方程。

2. 偏微分方程偏导数与偏微分方程、二阶线性偏微分方程、波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程。

六、数理统计与应用统计1. 数理统计随机变量、概率分布、数理期望和方差、分布函数、正态分布、大数定理与中心极限定理。

2. 应用统计抽样调查与抽样分布、参数估计与假设检验、方差分析、相关分析、回归分析。

七、离散数学与组合数学1. 图论图的基本概念与性质、图的遍历与连通性、最小生成树、最短路径、网络流、图的着色问题。

2. 组合数学排列组合、二项式定理、容斥原理、多重集合与划分、递归与递推关系、离散数学在计算机科学中的应用。

以上是大一数学各章知识点的简要概括，涵盖了微积分、数学分析与线性代数、离散数学与概率论、数学建模与运筹学、常微分方程与偏微分方程、数理统计与应用统计、离散数学与组合数学等主要内容。

大一上数学分析知识点

大一上数学分析知识点数学分析是现代高等数学的基础课程之一，它主要包括函数、极限、连续、微分和积分等内容。

本文将对大一上学期的数学分析知识点进行详细介绍。

一、函数概念与性质1. 实函数与复函数：实函数是定义域和值域都是实数集的函数，而复函数是定义域和值域都是复数集的函数。

2. 函数的运算法则：函数的四则运算、复合运算、反函数运算等。

3. 函数的图像与性质：函数的增减性、奇偶性、周期性等。

二、极限与连续1. 数列极限：数列极限的定义、极限存在性判定、常见数列的极限。

2. 函数极限：函数极限的定义、极限存在性判定、无穷大极限、无穷小极限的性质。

3. 连续性与间断点：函数的连续性定义、间断点的分类、间断点的性质。

三、导数与微分1. 导数的定义与性质：导数的定义、导数的几何意义、导数的运算法则。

2. 高阶导数：二阶导数、高阶导数的定义与性质。

3. 隐函数与参数方程求导：隐函数求导的方法、参数方程求导的方法。

4. 微分的定义与应用：微分的定义、微分的几何意义、微分中值定理。

四、积分与不定积分1. 定积分的定义与性质：定积分的定义、定积分的几何意义、定积分的性质。

2. 不定积分与原函数：不定积分的定义、不定积分的基本性质、原函数与不定积分的关系。

3. 牛顿-莱布尼兹公式：牛顿-莱布尼兹公式的表述与应用。

五、常微分方程1. 一阶常微分方程：常微分方程的基本概念、可分离变量方程、一阶线性方程、齐次方程、非齐次线性方程等。

2. 高阶常微分方程：高阶常微分方程的解法、常系数齐次线性方程、常系数非齐次线性方程等。

六、级数与幂级数1. 数项级数：无穷级数的概念与性质、收敛级数与发散级数的判定。

2. 幂级数：幂级数的概念与性质、收敛半径与收敛域的求解方法。

综上所述，大一上学期的数学分析课程涵盖了函数概念与性质、极限与连续、导数与微分、积分与不定积分、常微分方程、级数与幂级数等内容。

掌握这些知识点对于进一步学习和理解数学分析以及应用数学具有重要意义。

数学分析大一下知识点总结

数学分析大一下知识点总结大一下学期的数学分析是数学专业的一门重要课程，对于培养学生的逻辑思维和数学推理能力具有重要意义。

本文将对大一下学期数学分析的知识点进行总结和归纳，以便学生们回顾巩固。

一、极限与连续极限是数学分析的核心概念之一。

在大一下学期的数学分析中，我们学习了极限的定义、性质以及计算方法。

极限的定义是通过无穷小量的概念来描述函数趋于某个值的过程。

通过极限的计算方法，我们可以求解各种函数的极限。

除此之外，我们还学习了函数的连续性概念，以及连续函数的性质和计算方法。

二、一元函数微分学在大一下学期的数学分析中，我们开始学习一元函数的微分学知识。

微分学是微积分的重要组成部分，它研究了函数的变化率和函数在某一点的切线问题。

通过导数的概念，我们可以求解函数在某一点的斜率和切线方程。

另外，我们还学习了一元函数的导数的计算方法，如求和法、差商法和导数的四则运算法则等。

三、一元函数积分学一元函数积分学也是数学分析的重要内容。

在大一下学期的课程中，我们学习了一元函数不定积分和定积分的概念与性质。

不定积分可以理解为求解原函数的过程，它是导数运算的逆运算。

定积分则是对函数在一个闭区间上的积累效应进行量化。

我们通过换元积分法、分部积分法和微元法等来计算各种函数的积分。

四、级数级数是一门重要的数学理论，它研究了无穷项加法的性质与收敛性。

在大一下学期的数学分析中，我们学习了级数的基本概念、收敛性判断和求和方法。

级数的收敛性判断是数学分析的重点和难点之一，我们通过比较判别法、比值判别法和积分判别法等来判断级数的收敛性。

五、多元函数微分学大一下学期的数学分析中，我们开始学习多元函数微分学的知识。

多元函数微分学是微积分的拓展内容，它研究了多元函数的极限、连续性和偏导数等。

通过偏导数的概念，我们可以求解多元函数的切平面和法线方程。

另外，我们还学习了多元函数的全微分和多元函数的条件极值等内容。

六、曲线积分学曲线积分是数学分析的重要内容之一，它研究了函数在曲线上的积分。

数学分析大一知识点总结

数学分析大一知识点总结数学分析是大学数学的一门重要基础课程，它是建立在微积分理论基础上的一门学科，对于学习数学和应用科学都具有重要的意义。

在大一学习数学分析时，我们接触到了很多重要的知识点，下面我将对这些知识点进行总结。

1. 极限与连续在数学分析中，极限是一个非常重要的概念。

我们学习了函数的极限、无穷大与无穷小、数列的极限等内容。

通过对极限的学习，我们能够更好地理解函数的趋势以及数列的发散与收敛性质。

连续性也是数学分析中的一个重要概念。

我们学习了函数的连续性及其性质，利用连续性我们可以研究函数的导数和积分等相关内容。

2. 导数与微分导数是数学分析的核心概念之一。

我们学习了函数的导数及其计算方法，包括基本导数公式、导数的四则运算、复合函数的导数等。

导数的概念和计算方法在物理、经济等应用中有着广泛的应用。

微分是导数的一种几何解释，它表示函数在某一点的局部线性近似。

我们学习了微分的定义及其计算方法，了解了微分与导数的本质联系。

3. 积分与定积分积分也是数学分析的重要内容之一。

我们学习了函数的不定积分和定积分，了解了它们的定义、计算方法和性质。

通过对积分的学习，我们可以解决曲线下面的面积、弧长、体积等实际问题。

4. 无穷级数无穷级数是指由无穷个数相加或相乘而得到的数列。

我们学习了级数的概念、收敛与发散性质，以及级数的判别法。

通过对无穷级数的学习，我们可以解决许多数学和物理问题。

5. 函数的一致收敛与级数的收敛函数的一致收敛是指函数在定义域上每个点都收敛于相同的极限值。

我们学习了函数一致收敛的定义及其判别法。

同时，我们也学习了级数的收敛性和一致收敛性的相关概念与判别法。

通过对函数的一致收敛和级数收敛的学习，我们可以更好地理解函数和级数的性质，研究它们的一致性和近似性。

6. 泰勒级数与幂级数泰勒级数是将一个函数在某一点附近展开成无穷级数的形式。

我们学习了泰勒级数展开的方法和计算技巧，通过泰勒级数我们可以近似计算各种函数的值。

大一数分知识点总结

大一数分知识点总结数分（数学分析）作为大一学生的一门基础课程，是建立在微积分的基础上，旨在培养学生的数学分析能力和逻辑思维能力。

本文将对大一数分课程中的重点知识点进行总结。

一、实数与函数1. 实数系统实数的概念，实数的性质（有序性、稠密性等），实数的运算性质。

2. 函数与映射函数的定义与性质，函数的分类（常函数、幂函数、指数函数、对数函数等），函数的运算（和、积、商、复合等），函数的图像与性质。

3. 极限与连续性极限的定义与性质，左极限与右极限的概念，无穷小量与无穷大量，收敛数列与发散数列，函数的连续性的定义与性质。

二、微积分基本概念1. 导数与微分导数的定义与性质，导数的运算法则（和差积商法则、链式法则等），高阶导数，隐函数求导，微分与线性近似。

2. 函数的极值与最值函数的极值点与极值，函数的最值与最值点，最值问题的应用。

3. 中值定理与洛必达法则罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，洛必达法则。

三、积分学1. 不定积分不定积分的定义与表示，不定积分的基本性质，换元积分法，分部积分法。

2. 定积分定积分的定义与性质，定积分的计算方法（几何意义、物理意义、牛顿—莱布尼茨公式等），变限积分。

3. 定积分的应用定积分在几何学中的应用（面积、弧长、体积等），定积分在物理学中的应用（质量、质心、重心等），定积分在经济学中的应用（总收益、总花费等）。

四、级数与幂级数1. 数项级数数项级数的概念与性质，收敛级数与发散级数，常数项级数的收敛性判别法，级数的运算。

2. 幂级数幂级数的概念与性质，收敛半径与收敛区间，常见的幂级数（幂级数的 Taylor 展开式和 Maclaurin 展开式）。

五、常微分方程1. 基本概念常微分方程的定义，常微分方程的阶数与线性性质，常微分方程的通解与特解。

2. 一阶常微分方程可分离变量方程、齐次方程、一阶线性非齐次方程等类型的解法。

3. 高阶常微分方程二阶齐次线性微分方程的特征方程法，二阶非齐次线性微分方程的常数变易法。

数学分析大一上知识点总结

数学分析大一上知识点总结数学分析是理工科大一上的一门重要课程，对于理解和掌握高等数学理论与方法有着至关重要的作用。

下面，我们将对大一上学期的数学分析课程进行知识点总结。

1. 实数与数列在数学分析的起点，我们首先要了解实数的概念。

实数包括有理数和无理数，可以表示为一个无穷不循环的小数。

实数的性质包括有序性、稠密性、无限性等。

在实数的基础上，我们学习了数列与极限的概念。

数列是按照一定规律排列的无穷个数的集合，而极限则是数列中的数值逐渐逼近某一值的过程。

重要的数列极限定理有单调有界原理、夹逼原理和收敛子列定理等。

2. 函数与极限接下来，我们学习了函数与极限的相关知识。

函数是一种特殊的关系，将一个集合的元素对应到另一个集合的元素上。

极限是函数值随自变量逼近某一值的过程，可以分为两类：左极限和右极限。

特别地，我们学习了重要的极限性质，如极限的四则运算法则、唯一性和保号性质等。

3. 连续与导数在函数与极限的基础上，我们引入了连续的概念。

连续是指函数在某一点上无间断，即函数在该点的极限等于函数在该点的函数值。

我们学习了连续函数的运算性质，以及闭区间上连续函数的介值性和零点存在性。

此外，我们还学习了导数的概念与运算法则，导数可以理解为函数在某一点的瞬时变化率。

重要的导数性质有导数存在定理和导数的四则运算法则等。

4. 微分与应用微分是导数的一种应用，通过微分可以求得函数在某一点的切线斜率。

我们学习了微分函数的计算方法，包括常见函数的微分公式以及高阶导数和隐函数求导等。

微分的应用包括函数的极值、函数的单调性和曲线的凸凹性等。

这些应用不仅有助于我们理解函数的性质，也有助于解决实际问题。

5. 不定积分与定积分不定积分是导数的逆运算，通过不定积分可以还原出函数的原函数。

不定积分的运算法则包括换元法和分部积分法等。

定积分则是在一定区间上求函数曲线下的面积，也可以理解为函数的累积变化量。

定积分的计算方法包括定积分的性质、积分中值定理和定积分的换元法等。

数学分析大一上知识点

数学分析大一上知识点数学分析是指学习和研究实数、函数、极限、连续、微分、积分及其应用的一门学科。

它是数学中的基础课程，对于大一学生来说，数学分析是他们学习数学的重要一环。

下面将介绍数学分析大一上的主要知识点。

一、实数与数列1. 实数的概念与表示：实数是有理数和无理数的集合，它们可以用小数表示。

2. 数列的概念与性质：数列是按照一定规律排列的一串数，可以用通项公式表示。

二、函数与极限1. 函数的概念与性质：函数是一个或多个变量之间的关系，具有定义域、值域、单调性等属性。

2. 极限的定义与性质：极限是函数在某一点或者无穷远处的趋势，可以用极限符号表示。

三、连续性与导数1. 连续函数的定义与性质：连续函数是指在定义域内无断点的函数，具有介值性和保号性等特点。

2. 导数的概念与计算：导数描述了函数的变化率，可以通过极限定义或者求导公式进行计算。

四、微分与中值定理1. 微分的定义与性质：微分是函数在一点上的变化量，与导数之间有一定的关系。

2. 中值定理的原理与应用：中值定理是描述函数在某一区间内的特点，包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。

五、积分与不定积分1. 积分的概念与性质：积分是函数的逆运算，可以计算曲线下面的面积和曲线的弧长等。

2. 不定积分的计算与性质：不定积分是对函数进行积分的过程，具有线性性、分部积分及换元积分等规则。

六、定积分与反常积分1. 定积分的定义与性质：定积分是对函数在一定区间上的求和，可以计算曲线下面的面积。

2. 反常积分的概念与计算：反常积分是指积分区间无界或者函数在某些点上不连续的情况下的积分计算。

通过学习以上的数学分析知识点，大一的学生可以逐渐建立起数学的基本思维和方法，并为以后的学习打下坚实的基础。

在实际的应用中，数学分析也广泛应用于物理学、工程学等领域，为解决实际问题提供了重要的数学工具。

希望大家能够在大一上学期的学习中，掌握好这些知识点，为未来的学习与发展铺平道路。

数学分析知识点大一上册

数学分析知识点大一上册数学分析是大学数学中最为基础和重要的学科之一，它研究的是实数集上的函数、极限、导数、积分等数学概念及其相互关系。

掌握好数学分析的知识点，对于深入理解和应用数学具有至关重要的意义。

本文将介绍大一上册数学分析的主要知识点。

一、实数与数列实数是数学分析的基础，它包括有理数和无理数两部分。

有理数可以表示为两个整数的比值形式，而无理数则不能表示为两个整数的比值形式，如根号2、圆周率等。

实数具有稠密性和完备性的特点，这是数学分析研究中的重要概念。

数列是一系列按照一定规律排列的实数的集合。

常见的数列有等差数列和等比数列。

等差数列中的每一项与其前一项之差都相等，等比数列中的每一项与其前一项之比都相等。

数列的极限是数学分析中的重要概念，在大一上册的学习中有重要应用。

二、函数与极限函数是数学中最基本的概念之一，它描述了两个集合之间的关系。

常见的函数有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

函数的极限是指当自变量趋于某个值时，函数的取值趋于某个常数。

极限是数学分析中的核心概念之一，它有重要的理论与实际意义。

极限的性质包括极限唯一性、四则运算法则、夹逼定理等。

利用这些性质可以求解函数的极限值，判断函数是否收敛，并推导出一些重要的极限公式。

三、导数与微分导数是函数变化率的表示，它描述了函数在某一点附近的局部性质。

函数在某一点的导数等于该点处的切线斜率。

导数有重要的几何和物理意义，在微积分学中具有广泛的应用。

函数的导数有常用的求导法则，包括常函数导数、幂函数导数、指数函数导数、对数函数导数等。

通过这些法则，可以求解函数的高阶导数，进一步研究函数的性质。

微分是导数的积分形式，它表示了函数的局部线性逼近。

微分学是微积分学中的一个重要分支，它研究的是函数的极值、最值等问题。

四、积分与不定积分积分是函数在某个区间上的累加和，它是导数的逆运算。

积分的概念最早由牛顿和莱布尼茨引入，它在物理、经济学等领域中具有广泛的应用。