经济数学基础作业4解答

经济数学基础作业 4 解答一、填空题
1、函数f (x)4x
1
的定义域为ln( x1)
4 x0x4x4
解：∵ ln( x1)0， x11， x2
x 10x1x1
∴函数 f (x)4x1的定义域为： (1,2)(2,4]
ln( x1)
2、函数y 3( x1) 2的驻点是，极值点是，它是极值点解： y6(x1)， y6，
令 y6( x1)0 ，得x1
所以函数的驻点是 x 1 ，极值点是(1,0)
因为 y60 ，所以它是极小值点
p
3、设某商品的需求函数为q( p)10e2，则需求弹性 E p
解： E p
p
q ( p)
p
q( p)
10e
p
p
p
( 5e 2 )
2
2
x1x20
4、若线性方程组
x2有非 0 解，则
x10
答：1
1116
5、设线性方程组 AX b ，且A0132，则 t时，方程
00t 10
组有唯一解
答：当 t 1 0，即 t1时，方程组有唯一解
二、单项选择题
1、以下函数在指定区间( , ) 上单调增加的是（）
A、 sin x
B、e x
C、x2
D、 3 x
解： sin x 、x2不是单调函数， 3 x 是减函数，所以应选B
2、设 f ( x)1，则 f ( f ( x))（）
A、1x
B、
1
2C、x D、x2 x x
解： f ( f ( x))
11
x ，所以应选C f ( x)1
x
3、以下积分计算正确的选项
是（）
A、1( x2x3)dx 0 1 e x e x
B、
1dx 0
12
C、1x sin xdx01e x e x
D、dx 112
解：因为e x e x 1 e x e x
dx0 ，应选D 2
是奇函数，所以
12
4、设线性方程组A m n X
b 有无量多解的充分必要条件是（）
A、r ( A) r ( A) m
B、r (A)n
C、m n
D、r ( A) r ( A) n 答：应选 D
x1x2a1
5、设线性方程组x2x3a2，则方程组有解的充分必要条件是（）
x12x2x3a3
A、a1a2a30
B、a1a2a30
C、a1a2a30
D、a1a2a30
1 1 0 a1 1 1 0a1 1 1 0a1
解： 0 1 1 a20 1 1a20 1 1a2
1 2 1 a30 1 1 a3a10 0 0 a3 a1a2
若方程组有解，则 a3a1a20 ，即 a1a2a30 ，应选C
三、解答题
1、求解以下可分别变量的微分方程：
（1）y e x
y
解：由 y e x y ，得dy e x e y，从而dy
e x dx ，两边积分得：
dx e y e y dy e x dx ，e y e x c
（2）
x
dy xe 2
dx 3y
解： 3y 2 dy xe x dx ，两边积分得：
3 y 2dy
xe x dx ， y 3 xe x e x c
2、求解以下一阶线性微分方程：
（1） y
2 y x 2
x
2
， Q(x)
解：这是一阶线性微分方程， P( x)
x 2
x
y
e
P( x )dx
Q ( x) e P (x) dx
dx c)
(
( 2
(
2
) dx
) dx
2
x
2 ln x
2
2 ln x
e
x
( e
dx c) (
e dx c)
x
e x
e 2 ln x ( x 2 x 2 dx c) x 2 ( x c)
（2） y y
x sin 2x
2
x
1
， Q( x) 解：这是一阶线性微分方程， P( x)
2x sin 2x
x y
e
P( x )dx
Q ( x) e P (x) dx
dx c)
(
( 1
( 1
) dx
(
)dx
e ln x ( 2x sin 2xe ln x dx c)
e x
2xsin 2xe
x
dx c)
x( 2x sin 2x 1
dx c) x( sin 2xd 2x c)
x( cos2x c)
x
3、求解以下微分方程的初值问题：
（1） y e 2 x y ， y(0)
解：
dy
e 2 x
y
dy
dx e y ， e
∵ y(0) 0 ，∴ c
（2） xy y e x
0 ，
e 2 x dx ，两边积分得： e y 1 e 2 x c
2
1
，从而所求解为e y
1 e
2 x 1 2
2 2
y(1) 0
解： y
1 y 1
e x
，这是一阶线性微分方程， P( x)
1
， Q(x) 1 e x
x
x
x
x
P( x) dx
P ( x) dx
1 dx
x 1
dx
x e
e x
y e
( Q( x)e dx c) e
( dx c)
x
e ln x (
x e
e ln x dx
c)
1 (
x e
xdx
c)
x
x
x
1
( e x dx c)
1 (e x c)
x
x
∵ y(1)
0 ，∴ c
e ，
从而所求解为
y
1 ( e x
)
x
e
4、求解以下线性方程组的一般解：
x 1 2x 3
x 4 0
（1）
x 1 x 2 3x 3 2x 4 0
2x 1 x 2
5x 3 3x 4 0
1
0 2 1 1 0 2 1 1 0 2 1 解：
1 1 3
2 0 1 1 1 0 1 1 1 2
1 5
3
1
1
1
0 0
所以得方程组的一般解为
x 1 2 x 3 x 4
（其中 x 3 ， x 4 为自由未知量）
x 2
x 3 x 4
2x 1 x 2 x 3 x 4 1 （2） x 1
2x 2 x 3 4x 4
2
x 1 7x 2 4x 3
11x 4 5
2
1
1 1 1 1
2 1 4 2 解： 1
2 1 4
2
5
3 7 3
1
7
4
11 5
5 3
7
3
1
1 6 4
1 2 1 4 2
5 5 5
0 1 3 7 3
1
3 7 3
5 5 5
5 5 5
0 0
0 0 0
所以得方程组的一般解为：
x 1
1
x 3
6
x 4 4
5
5
5
x 2
3 x 3 7 x
4 3
5 5 5
x1x25x34x42
5、当
2x1x23x3x41
为何值时，线性方程组
2x22x33x4
有解，并求一般解
3x13
7x15x29x310x4
1154211542
解：
2
1311011393 32233011393 7591002261814 10851
011393
00000
00008
当80 ，8时线性方程组有解，其一般解为：x18x35x4
1
（其中 x3， x4为自由未知量）x213x39x43
x1x2x31
6、a， b 为何值时，方程组x1x22x3 2 有唯一解、无量多解或无解
x13x2ax3b
11111111
解： 11220211
13a b04 a 1b1
11111111
0111
01
11 2222
0 4 a 1 b 10 a 3 b 3
10、当 a30 ，即 a 3 时方程组有唯一解；
20、当 a3 b 30 ，即 a 3 ， b 3 时方程组有无量多解；
30、当a30 ， b30 ，即 a 3， b 3 时方程组无解。

四、求解以下经济应用问题：
1、设生产某种产品 q 个单位时的成本函数为：26q （万元），求：①当 q10时的总成本、平均成本和边缘成本；②当产量q 为多少时，平均成本最小？
解：①当 q 10 时的总成本 C (10) 100 0.25 100 6 10185 （万元）
当 q10
C(10)185
（万元）时的平均成本 C(10)
10
10
当 q10时的边缘成本：
C ( q) 0.5q 6
所以 C (10)0.5 10 6 56 （万元）
② C (q)100
6 q
C (q)100100
0 ，得q 2
0.25 ，令 C ( q)
q2
q 2400 ， q20 （取正当）
当产量 q20时平均成本最小
2、某厂生产某种产品 q 件时的总成本函数为 C (q)204q 0.01q 2（元），单位销售价格为p 14（元/件），问产量为多少时可使收益达到最大？最
大收益是多少？
解：收益函数 L(q) pq C(q)14q0.01q 220 4q2
L(q)10q0.02q 220
L (q)100.04 q ，令 L ( q)100 ，得 q250
L(250) 10 250 0.02 250220 2500125020 1230所以，当产量为 q 250件时，收益最大，最大收益为1230 元
3、投产某产品的固定成本为 36（万元），且边缘成本为C ( x) 2x40 （万
元/ 百台）。

试求产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低。

解：产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量为：
6
( )640)(2406100
C(2x dx x x)（万元）
x dx
44
4
C(x) C (x)dx ，C ( x)x 240x c ，
因为投产某产品的固定成本为36 万元，
即 C (0)36 ，从而c 36
所以 C (x) x 2 40x
36
平均成本函数为
C(x)
C( x) 36
x x
40
x
C( x) 1
36
，令 C( x) 1 36 0 ，得 x 6
x 2
x 2
答：产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量为
100 万元，产量为 6 百台时
可使平均成本达到最低。

4、已知某产品的边缘成本
C (x)
2 （元 / 件），固定成本为 0，边缘收益
R (x) 12 0.02x ，求：①产量为多少时收益最大？②在最大收益产量的基础上
再生产 50 件，收益将会发生什么变化？
解：①收益函数
L( x) R( x)
C ( x)
L ( x) R ( x) C ( x)
12
2
即 L (x) 10
，令 L ( x)
0 得 x 500
550
550
(10 x
2
) 550
② L (x) dx
(10 0.02x)dx
25
500
500
500
答：①产量为 500 件时收益最大； ②在最大收益产量的基础上再生产
50 件，
收益将会减少 25 元。