函数的极限与连续性

函数的极限与连续性

是微积分的基础内容，也是很多其他数学学科的基础。在这篇文章中，我们将探讨函数的极限和连续性的概念，以及它们之间的关系。

一、函数的极限

在介绍函数的极限之前，我们需要先了解一下数列的极限。数列的极限是指当数列中的元素无限逼近于某个值时，这个值就是数列的极限。例如，当数列{1,1/2,1/3,1/4,…}中的元素越来越接近于0时，0就是这个数列的极限。

函数的极限也是类似的概念。当一个函数在自变量逐渐逼近某个值时，对应的因变量是否有一个确定的极限值，就是这个函数的极限。数列中的极限是数列中的元素趋近于某个值，而函数的极限则是函数在这个值附近的趋势。

下面以函数y=f(x)为例，来解释函数的极限的定义。当x趋近于a时，如果存在一个常数L，使得对于任意足够小的正数ε，总

存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-L|<ε成立，那么就称函数在x=a处有极限，记为：

lim f(x)=L (x→a)

其中，L是函数的极限值，x→a表示x无限逼近于a的过程，lim表示函数的极限。

例如，当函数f(x)=1/x+1，x→0时，其极限为正无穷大。我们可以用下面的方法证明：

当x接近于0时，f(x)的值会越来越大，但是这个增长有一个上限。具体来说，如果我们让f(x)的值大于1/M，那么x必须小于1/(M-1)，否则f(x)的值就会小于1/M。因此，当x很小时，f(x)的值必须大于M，即：

lim f(x)=正无穷(x→0)

类似地，当f(x)=sinx/x，x→0时，其极限等于1。这个结论可以用夹逼定理证明，不再赘述。

二、函数的连续性

函数的连续性是指函数在某个点处存在极限，并且这个极限等

于函数在该点处的函数值。函数在某个点处连续，就意味着在这

个点的左右两侧，函数的图像没有出现断层，如图所示：图1 一个连续函数示例

形式上，给定函数f(x)和点a，如果f(x)在a的某个邻域内有定义，同时lim f(x)=f(a)，那么就可以说函数f(x)在点a连续。用数

学符号表示为：

f(a-) = f(a) = f(a+)

其中，f(a-)表示a的左侧极限，f(a+)表示a的右侧极限。

例如，当f(x)=x^2在点x=0处是连续的，因为lim x^2=0^2=0，f(0)=0，两者相等。

类似地，当f(x)=1/x在x=0处不连续，因为lim 1/x≠1/0，而且

f(0)不存在。

三、函数极限与连续性的关系

在前两部分中我们分别介绍了函数的极限和连续性，但是它们

之间存在很紧密的关系。事实上，如果一个函数在某个点处有极限，那么这个函数在这个点处一定连续，反之亦然。

首先来看“ 如果一个函数在某个点处有极限，那么这个函数在

这个点处一定连续”这个结论。假设一个函数f(x)在x=a处有极限L，那么对于任意正数ε，都可以找到一个正数δ，使得当0<|x-

a|<δ时，就有|f(x)-L|<ε。这意味着当x在a的某个邻域内时，f(x)

的函数值都会无限接近L。因此，在点a处，f(x)的极限等于f(a)，从而函数在点a处连续。

接下来是“反之亦然”的证明。假设函数f(x)在点a处连续，那

么当x趋近于a时，f(x)的函数值会无限接近于f(a)。我们可以用

夹逼定理证明：假设lim g(x)=g(a)=L，lim h(x)=h(a)=L，且

g(x)<=f(x)<=h(x)在a的某个邻域内成立。那么由于g(x)和h(x)的

极限都等于L，所以当x趋近于a时，g(x)和h(x)的函数值也会无限接近于L。因此，f(x)的函数值也会无限接近于L，从而函数在点a处有极限。

综上所述，函数在某个点处有极限，当且仅当函数在这个点处连续。这个结论对于微积分的后续内容至关重要，因为很多微积分定理都是建立在这个前提之上的。例如，如果一个函数在某个点处连续，那么它一定可积。这些内容超出了本文的范围，感兴趣的读者可以自行学习。