西交《运筹学》重要知识点解析和例题分析第六部分

《运筹学》重要知识点解析和例题分析第六部分

一．图的基本概念 定义

一个图G 是指一个二元组(V(G),E(G)).即图是由点及点之间的联线所组成。其中: 1）图中的点称为图的顶点(vertex).记为：v

2）图中的连线称为图的边(edge).记为：,i j e v v ⎡⎤=⎣⎦.,i j v v 是边 e 的端点。 3）图中带箭头的连线称为图的弧(arc).记为：()

,i j a v v =.,i j v v 是弧 a 的端点。

—— 要研究某些对象间的二元关系时.就可以借助于图进行研究 分类

▪ 无向图：点集V 和边集E 构成的图称为无向图(undirected graph).记为： G(V.E)—— 若这

种二元关系是对称的.则可以用无向图进行研究

▪ 有向图：点集V 和弧集A 构成的图称为有向图(directed graph) .记为：D(V.A)—— 若这种

二元关系是非对称的.则可以用有向图进行研究

▪ 有限图: 若一个图的顶点集和边集都是有限集.则称为有限图.只有一个顶点的图称为平凡图.

其他的所有图都称为非平凡图.

图的特点：

1 图反映对象之间关系的一种工具.与几何图形不同。

2 图中任何两条边只可能在顶点交叉.在别的地方是立体交叉.不是图的顶点。

3 图的连线不用按比例画.线段不代表真正的长度.点和线的位置有任意性。

4 图的表示不唯一。如：以下两个图都可以描述“七桥问题”。

点(vertex)的概念

1 端点：若e =[u.v] ∈E.则称u.v 是 e 的端点。

2 点的次：以点 v 为端点的边的个数称为点 v 的次.记为：()d v 。

在无向图G 中.与顶点v 关联的边的数目(环算两次),称为顶点v 的度或次数.记为()d v 或 dG(v).

在有向图中.从顶点v 引出的边的数目称为顶点v 的出度.记为d+(v).从顶点v 引入的边的数目称为v 的入度.记为d -(v). 称()d v = d+(v)+d -(v)为顶点v 的度或次数． 3 奇点：次为奇数的点。 4 偶点：次为偶数的点。 5 孤立点：次为零的点。

6 悬挂点：次为1的点。 定理

()2.v V

d v ε∈=∑

推论 任何图中奇点的个数为偶数． 链(chain)的概念

1 链：一个点、边的交替的连续序列{}

1122,,,,,,i i i i ik ik v e v e v e 称为链.记为μ。

2 圈(cycle)：若链μ的

1i ik

v v =.即起点＝终点.则称为圈。

3 初等链（圈）：若链（圈）中各点均不同.则称为初等链（圈） 。

4 简单链（圈） ：若链（圈）中各边均不同.则称为间单链（圈） 。 圈一定是链.链不一定是圈 路PATH

路(path)：顶点和边均互不相同的一条途径。

若在有向图中的一个链μ中每条弧的方向一致.则称μ为路。（无向图中的路与链概念一致。） 回路(circuit)：若路的第一个点与最后一个点相同.则称为回路。 连通性:

点i 和j 点是连通的：G 中存在一条（i.j ）路 G 是连通的：G 中任意两点都是连通的

例 在右边的无向图中： 途径或链：

ugyexeyfxcw

迹或简单链：vbwcxdvaugy 路或路径：

uavdxcw

圈或回路：uavbwcxfygu

在右边的有向图中：

{}11233,,,,v e v e v μ= 链 不是路

{}12233,,,,v e v e v μ= 链 且是路 {}12211,,,,v e v e v μ= 链 是回路

连通图

简单图(simple graph)：一个无环、无多重边的图称为间单图。 多重图(multiple graph)：一个无环.但有多重边的图称为多重图。

连通图(connected graph)：若图中任何两点间至少有一条链.则称为连通图 。否则.为不连通图。 连通分图：非连通图的每个连通部分称为该图的连通分图。

基础图：去掉有向图中所有弧上的箭头.得到的图称为原有向图的基础图。 图G ＝(V, E)是多重图 图G ＝(V, E)为不连通图

但G’＝(V’, E’)是G 的连通分图

u g

y

w

f

v

4 e

v 3 2

3 e

4 e 1

其中：V’＝{v1, v2, v3, v4}

E’＝{e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7}

二．树（tree ） 1、树的定义

树：一个无圈的连通图称为树。 2、树的性质

（1） 设图G ＝(V, E)是一个树.点数P(G) ≥ 2.则 G 中至少有两个悬挂点。 （2） 图G ＝(V.E)是一个树<==>G 不含圈.且恰有p-1条边（p 是点数）。 （3） 图G ＝(V.E)一个树<==> G 是连通图.且q(G)＝p(G)－1 （q 是边数）。 （4） 图G ＝(V.E)是树 <==> 任意两个顶点之间恰有一条链。 图的支撑树(spanning tree)

1 支撑子图：设图G ＝(V.E).图G’＝(V’.E’)的V’＝V. E’ ⊆ E.则称G’是G 的一个支撑子图。

—— 图G’＝(V’.E’)的点集与图G ＝(V.E)的点集相同.V’＝V.但图G’＝(V’.E’)的边集仅是图G ＝(V.E)的子集E’ ⊆ E 。

2 支 撑 树：设图T ＝(V.E’)是图G ＝(V.E)的支撑子图.如果T ＝(V.E’)是一个树.则称 T 是 G 的一个支撑树。

特点——边少、点不少。

最小树(minimum spanning tree)问题 （1） 最小树定义

如果T ＝(V.E’)是 G 的一个支撑树.称 T 中所有边的权之和为支撑树T 的权.记为W （T ）.即：

(,)()i j ij

v v T

w T w ∈=

∑

若支撑树T* 的权W （T*）是G 的所有支撑树的权中最小者. 则称T* 是G 的最小支撑树（最小树）. 即：W （T*）＝ min W(T)。

（2）求最小树的算法（minimum spanning tree algorithm ）

1） 破圈法：在图G 中任取一个圈.从圈中去掉权数最大的边.对余下的图重复这个 步骤. 直到G 中不含圈为止.即可得到 G 的一个最小树。

避圈法是一种选边的过程.其步骤如下：

1. 从网络D 中任选一点i v .找出与i v 相关联的权最小的边,i j v v ⎡⎤⎣⎦.得第二个顶点j v ；

2. 把顶点集V 分为互补的两部分11,V V .其中

v

2 3 e

3

5 6 v

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