大学生力学竞赛试题及答案

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大学生力学竞赛模拟题 ------江苏技术师范学院

一、连日大雨,河水猛涨,一渡船被河水冲到河中央,摆渡人眼疾手快,立刻从岸上拉住船上的缆绳以便拖住渡船,可惜水流太急,渡船仍然向下游冲去。这时,摆渡人看到一木桩,并立刻将缆绳在木桩上绕了几圈,就拉住了冲向下游的渡船。 (1) 本问题与力学中的什么内容有关系 (2) 利用木桩拉住渡船,则摆渡人少使多少力?

(3) 如果水对渡船的推力为20kN ,而摆渡人的最大拉力为500N ,木桩与缆绳之间的摩擦系数

3.0=f ,则为了能使渡船停止运动至少将缆绳在木桩上绕几圈?若缆绳横截面面积为3002mm ,

木桩直径为20cm ,木桩至渡船的缆绳长10m ,弹性模量E=100GPa ,忽略木桩至手拉端绳的变形,试计算缆绳的总伸长量。

题1图

一、解:(1)、关键词:摩擦,轴向拉伸

(2)、设手拉端的拉力为人F ,船的拉力为船F ,缆绳和木桩接触的各处有径向压力和切向摩擦力作用,如图(1-a )所示。任取一微段(图(1-b )),由微段的平衡条件

(1-a ) (1-b )

0=∑r F 02

sin 2sin )(=-+-θθd F d dF F dF r (1) 0=∑θF ()02

cos 2cos

=--+r fdF d F d dF F θθ (2) 对于微小角度θd ,可令 2

2sin

θθd d ≈,12cos ≈θd ,并略去高阶微量2θd dF ⨯,即得

fF d dF

(3) 分离变量,积分得

θ

f Ae F = (4)

其中积分常数由缆绳两端的边界条件确定,有

0=θ, 船F F =; 船F A =

所以,绕在木桩上缆绳任一截面的拉力为

θf e F F 船= (5)

所以

θf e F F =船

人,其中θ为缆绳绕过木桩的角度。

(3)、将N F 500=人,kN F 20=船,f = 0.3代入式(5),得θ3.031020500e ⨯=

解得 3.12≈θ rad 所以至少将缆绳绕两圈。

当πθ4=,考虑微段(图(1-b ))的伸长

()θθθ

d e EA

R F EA Rd F d f 船绕==

∆ (6) 则环绕部分的缆绳伸长量

)1(440

-==∆=∆⎰

⎰ππθθf f e EAf

R

F d e EA R F d 船船绕绕 (7) 代入已知数据计算的,mm 43.9=∆绕

木桩至船段的缆绳伸长量 mm EA

l F 7.6103001010010

200006

92=⨯⨯⨯⨯=

=∆-船 (8)

总变形量

mm 13.162=∆+∆=∆绕

二、一由钢板卷制的薄壁圆桶,高度为h ,在接头处存在一缝隙,在外力偶的作用下圆桶绕其轴线做旋转运动,内有一些边长为e 的轻质块体,当圆桶达到一定转速时,块体就从缝隙中滑出。 (1)试分析该薄壁圆桶在旋转时可能发生的变形和所涉及到的力学知识。

(2)取其圆环截面如图所示,质量为m ,平均半径为R ,横截面为矩形(t <

ω

题2图

二、解:(1)、该薄壁圆桶在旋转时,薄壁在离心力的作用下发生弯曲变形。关键词:惯性力,平面弯曲,能量法。

题(2-a )

(2)、由对称性知,取半个圆环为研究对象(如图(2-a )所示),当转动角速度为ω时,由惯性离心力引起的圆环内截面ϕ的弯矩为

()()()ϕπ

ωθωπθϕθϕϕϕ

cos 122sin sin 2

2220

-=-=-=⎰⎰

R m d R R m R dF R M (1)

变形后平面假设仍然成立,故有 ρ

εy

=

(2)

设 2

t

y =

时,1εε=

于是 ⎰⎰==⎰⎰=t

A

d

bB yhbdy dA y M 0

232

1

22εεε

ρσσ (3)

将ρ

ε21t

=代入上式,得 ()22

2

25

22cos 12501

ϕπωρ-⎪⎪⎭

⎝⎛=R m t B h (4) 由单位载荷法 ()θd x M l

=∆,其中 ()ϕcos 1-=R M

ρ

ϕ

ρ

θRd ds

d =

=

(5)

所以缝隙A 处的相对位移 ()5

224263

02

522426

2125cos 14502t B h m R d t B h m R

e πωϕϕπωδπ=-==⎰ (6) 所以解得 42

65221252m

R e

t B h πω= (7)

三. 四叶玫瑰线

你能一笔画出图示曲线吗?如图所示为一四叶玫瑰曲线,其极坐标表达式为θρ2cos a =。请你进行分析计算和设计:

(1)写出图示四叶玫瑰线的直角坐标表达式; (2)利用理论力学知识设计一种机构来画出这一曲线。

题3图

三、四叶玫瑰线

解:(1)对于四叶玫瑰曲线θρ2cos a =,在直角坐标系中可写成(图3-1)

⎧==θρθ

ρsin cos y x

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