两个角动量地耦合及其磁矩

两个角动量的耦合与其磁矩
两个角动量的耦合
假设量子数为和的两个角动量和<它们是角动量,并没有专
指是轨道角动量或自旋角动量>,它们耦合成一个角动量,即
如此
下面证明这一结论.
证明的核心思想是：对于一个给定的量子
数,,或者,反过来,
对于一套可以反推求得量子数.
证明：
在外场方向上的分量为
由
用中的每一个值加遍中的所有值,将得到个不
同的值：
即有：.
例1：求耦合所得的.
解一：
即,相应的.
解二：
由可以得到
即,相应的.
例2、求量子数为的两个角动量耦合所得的.
解：,所以.
例3、求处于态电子的自旋与轨道角动量的耦合<L-S耦合>.
解：对于态,即电子处于的轨道,对于电子本身而言,具有自
旋角动量
电子在轨道上运动时,轨道对应的轨道角动量量子数,所以有
所以.
例4、求处于态电子的自旋与轨道角动量的耦合.
解：对于轨道上的电子,其自旋量子数,而3d的轨道量子数
由d轨道给出,对于d轨道,其相应的轨道量子数,所以
所以.
学生独立完成的例题：求处于态电子的自旋于轨道角动量的耦合. 例5、两个电子分别处于2p和3p轨道,求总的自旋角动量量子数,总的自旋角动量,总的轨道量子数,总的轨道角动量,以与总的角动量量子数和总角动量.
解：
对于2p上的电子,其自旋量子数；
对于3p上的电子,其自旋量子数
总的自旋量子数
总的自旋角动量
当电子处于2p轨道时,轨道量子数
当电子处于3p轨道时,轨道量子数
总的轨道量子数
总的轨道角动量
总的角动量量子数为,这要分情况讨论：
对于s=1,,有,
对于
对于
对于
注意,上面的结果中,J的大小一样的有很多个,但它们分别属于不同的状态,所以不能合并在一起,只写一个.
该如何区分J值一样,但却不同的状态呢？这需要用到所谓的原
子态符号来表示.
L-S耦合的原子态符号表示
为了区分的原子所处的状态,引入原子态符号
用总的轨道量子数所对应的大写字母来表示.如对应
,,L如此分别用P,D,F,G,H,I…代表.
为总的自旋量子数,如s=1,如此2s+1=3,那么就在大写字
母的左上角写上3；如s=0,如此2s+1=1,如此左上角就写上1；如
s=1/2,2s+1=2,那么就在左上角写上2.
就是总的角动量量子数.
例：写出的原子态符号.
解：对应的轨道大写字母为P,s=1可以得到2s+1=3,所以原子态为
例：写出的原子态符号.
解：由题目可知j=0,所以,其原子态为
例、写出的原子态符号.
解：由题目知j=l+s,…,|l-s|=3,所以原子态符号为
例、写出2p态电子所形成的原子态符号.
解：对于2p态的电子,.
对于,其原子态符号为
对于,其原子态符号为
对于s和L都一样的原子态,上面的两个结果可以合并写在一起：,虽然写成一个符号,但里面有两个不同的j值,所以代表2个
不同的原子态.
例、写出1s态电子所形成的原子态符号
例、写出3d态电子所形成的原子态符号
例、两个电子分别处于2p3p态,求L-S耦合所形成的原子态符号. 解：
对于2p态的电子,
对于3p态的电子,
总自旋量子数
总的轨道量子数为
对于,原子态为
对于,原子态为
对于,原子态为
对于,原子态为,合并为
对于,原子态为
对于
,原子态为
作业：两个电子分别处于2p 和3d 轨道,求总的自旋角动量量子数,总的自旋角动量,总的轨道量子数,总的轨道角动量,以与总的角动量量子数和总角动量.并写出L-S 耦合所形成的原子态符号.
反过来,我们也应该能够从一个给定的原子态符号中得到
的值. 例、对于原子态
,求
的值.
解：由2s+1=3可得s=1；由右下角的数值5可以得出j=5,对于大写字母H,所对应的轨道量子数
,即
.
耦合的方式
<1>LS 耦合：就是轨道角动量L 和自旋角动量S 的耦合,通常是先求
出总轨道角动量以与总自旋角动量,然后再用和耦合成总角动量.
对于LS 耦合,可以使用原子态符号
来表示.
<2>jj耦合：就是每个轨道上的单个电子的自旋与轨道先耦合成一个
角动量,然后各个之间耦合成一个总的角动量.即
对于jj耦合,通常用来表示.
例、2个电子分别处于2s2p轨道,求jj耦合所得到的角动量.
解：
电子处于2s轨道时,
电子处于2p轨道时,
所以对于,有：
当时,,对应的原子
态有,可以合并写成,对应的角动量的大小分别为.
当时,,对应的原子态为,可以合并
写成,相应的角动量大小为.
<3>其他的耦合方式：如处在第轨道上的电子自旋与轨道上轨道角
动量先耦合等等.这种情况耦合的强度远远弱于前面两种,通常不考虑.
耦合角动量相对应的磁矩以与朗德因子
对于量子数的两个角动量,,其与相应的磁矩
为
而与相应的磁矩为
这两个磁矩的耦合得到
由于可能会与不相等,所以得到的与可能不在同一直线上,
会有一夹角,即.而在方向上的投影,即为,即有
而
所以有
即有：对于和耦合所得到的,其朗德因子
例如,对于LS耦合,,为轨道角动
量,为自旋角动量,那么,其朗德因子为
这样,
如果,意味着,根据可知,要么或
或垂直于
例1、求的
解：对于,有,,
代入
,所以
例2、求的.
例3、电子处于2p轨道上,求其原子态、角动量和磁矩的可能值.
例4、两个电子处于2s3p 轨道,求LS耦合的原子态、角动量和磁矩的可能值.
例5、两个电子处于2s3p 轨道,求jj耦合的原子态、角动量和磁矩的可能值.
解：
对2s轨道上的电子,,相应的朗德因子
对3p轨道上的电子,.
当时,其朗德因子为
当时,其朗德因子为
所以jj耦合的结果为
相应的角动量大小为,磁矩,磁矩在外场方向
上的分量为.
相应的角动量大小为,磁矩,磁矩在外场方向上的分量为.
相应的角动量大小为,磁矩,磁矩在外场方向上的分量为.
相应的角动量大小为,磁矩0,磁矩在外场方向上的分量为0.。