北师大版八年级数学勾股定理

第一章 勾股定理第一节探索勾股定理教学目标：1、 经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

2、 探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。

重点难点：重点：了结勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。

难点：勾股定理的发现 教学过程掌握勾股定理的内容，能利用勾股定理进行计算与证明。

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

即：c 2=a 2+b 2(c 为斜边)。

它反映了直角三角形三边之间的数量关系，是解决直角三角形中计算问题以及解直角三角形的主要依据之一。

一、问题的提出：小明放学回家要经过一块长方形的麦地。

如图：1、 小明本来应走大路从A 经B 到C 可是他却直接从A 到C ，为什么？2、 为什么近、近多少？3、用数学知识如何解答？ 二、量一量，算一算：1、直角三角形的两条直角边的长度分别为3㎝，4㎝和5㎝，12㎝请你量出斜边的长度。

2、进行有关的计算。

3、得出结论： 三、证明结论：利用拼合三角形的方法，如下：（1）b a a bca c cb a a a b a bc b c b b c aa b a b （1） （2）由（1）S ab c ab c 正=⨯+=+412222 ABCD由（2）S a b ab 正=++222 ∴+=++22222ab c a b ab ∴+=a b c 222 （2）如图：S c S S S a b b a a b b a a b a b c a b 正正小正==+=⨯+-=++-=+∴=+222222222441222∆() 练习： 1、判断：（1）已知a 、b 、c 是三角形的三边，则∴+=a b c 222（ ） （2）在直角三角形中两边的平方和等于第三边的平方。

（ ）（3）在Rt ABC ∆90=∠B ∴+=a b c 222 （ ）2、填空：在Rt ABC ∆中，∠=C 90（1）如果a=3，b=4，则c=（2）如果a=6，b=8，则c= （3）如果a=5，b=12，则c= (4) 如果a=15，b=20，则c= 3、 解决新课开始提出的问题第2节 能得到直角三角形吗教学目标：1． 经历运用试验的方法说明勾股定理逆定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。

2． 掌握勾股定理逆定理和他的简单应用 重点难点：重点： 能熟练运用勾股定理逆定理解决实际问题难点：用面积证勾股定理能熟练运用勾股定理逆定理解决实际问题 1．把握勾股定理的逆定理；2，用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形。

教学过程1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 有下面关系：a 2+b 2= c 2，那么这个三角形是直角三角形。

注意：勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。

1．用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的步骤：（1）首先求出最大边（如c ）；c ab ac b b c ba ac（2）验证a 2+b 2与c 2是否具有相等关系；若c 2=a 2+b 2，则△ABC 是以∠C=90°的直角三角形。

若c 2 ≠a 2+b 2，则△ABC 不是直角三角形。

2．直角三角形的判定方法小结： （1）三角形中有两个角互余； （2）勾股定理的逆定理；3．紧记一些常用的勾股数，将为我们应用勾股定理逆定理带来方便，如3、4、5；5、12、13；6、8、10；12、16、20等。

四、典型例题例1. 在Rt ABC ∆中，∠=C 90，CD AB ⊥于D ，求证： （1）AB AD DB CD 22222=++ （2）CD AD DB 2=⋅分析：在图中有∆∆ABC ADC 、与∆BCD 三个直角三角形，利用勾股定理可以求证。

证明：（1） AB AC BC AC AD CD BC BD CD 222222222=+=+=+，，∴=+=+++=++AB AC BC AD CD BD CD AD DB CD 22222222222 （2）又 AB AD D B =+∴=+=++⋅AB AD DB AD DB AD DB 22222()∴++=++⋅∴=⋅AD DB CD AD DB AD DB CD AD DB2222222222即CD AD DB 2=⋅例2、 已知∆ABC 中，AB cm BC cm AC cm ===51213，，，求AC 边上的高线的长。

分析：首先通过所给的三角形的三边长，判断出所求高线长的三角形为直角三角形，并且要求的为斜边上的高线，通过勾股定理可解，未知量可用方程的思想求得。

解： AB BC AC 2222514416925144169===∴+=，，， ∴+=AB BC AC 222∴∆ABC 为Rt ∆，且∠=B 90作BD AC ⊥于D设AD x =，则CD x =-13CA D BB12 5C 13D ABD BC CD AB AD x x x 222222221213252513=-=-∴--=-∴=()∴=-=-=BD AB AD 22222525136013() 答：AC 边上的高线长为6013cm 。

例3.已知：如图，△ABC 中，AB =AC ，D 为BC 上任一点， 求证：AB 2－AD 2=BD ·DC思路分析：通常遇到等腰三角形问题，都是作底边上的高转化为直角三角形，再按解直角三角形的思路探索。

本例首先作AE ⊥BC 于E ，便出现两个全等的直角三角形。

由AB =AC ⇒BE =EC结论又以平方差“面目”出现，也就告知我们应用勾股定理是打开思路的好方法，那么在Rt △ABE ，Rt △ADE 中，由勾股定理，得 AB 2=AE 2+BE 2 AD 2=AE 2+DE 2由于BE 、DE 均在一条直线BC 上，通常是平方差公式进行因式分解，转化为求同一条线段的和差问题，使结论明朗化，于是 AB 2－AD 2=(BE +DE )(BE －DE ) 结合图形知：BE +DE =BD BE －DE =CE －DE =CD 例4.如图，已知四边形ABCD 的四边AB 、BC 、CD 和DA 的长分别为3、4、13、12，∠CBA =90°,求S 四边形ABCD思路分析：遇到四边形，通常是连对角线转化为三角形问题，对本例连对角线AC 为佳，因∠CBA =90°，便出现了直角三角形ABC ，由勾股定理可求 AC 2=AB 2+BC 2=32+42=25在△CAD 中，我们又可发现： AC 2+AD 2=25+122=169 DC 2=132=169∴AC 2+AD 2=CD 2，由勾股定理逆定理知 ∴△ACD 为Rt △，且∠DAC =90°此时，已清晰可知，这个四边形由两个直角三角形构成，求其面积便容易了。

S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD⇒AB 2－AD 2=BE 2－DE 2⇒AB 2－AD 2=BD ·CD=⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=+=121212341251263036AB BC AC AD ()平方单位 例5、在正方形ABCD 中, F 为DC 的中点, E 为BC 上一点, 且EC =14BC , 求证: ∠EF A = 90︒ 分析: 通过图形结构和求证本题思路十分明显, 就是要找Rt ∆, 那就是要通过勾股定理逆定理来完成。

证明: 设正方形ABCD 的边长为4a 则EC = a , BE = 3a , CF = DF = 2a在Rt ∆ABE 中()()AE AB BE a a a 2222224325=+=+= 在Rt ∆ADF 中()()AF AD DF a a a 2222224220=+=+= 在Rt ∆ECF 中()EF FC EC a a a 22222225=+=+=由上述结果可得AE AF EF 222=+由勾股定理逆定理可知∆AEF 为Rt ∆, 且AE 是最大边, 即∠AFE = 90︒例6、 已知：如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别AB ，AD 上的点，又AB =12，EF =10，△AEF 的面积等于五边形EBCDF 面积的15，求AE ，AF 的长。

思路分析：依题意知△AEF 为Rt △用勾股定理，立马而定，于是有 EF 2=AE 2+AF 2设AE =x ,AF =y ,又EF 2=100,则x 2+y 2=100 ①又即②①②或①②或解得或即或五边形正方形S S S S xy xy x xy y x y x y x xy y x y x y x y x y AE AF AE AEF EBCDFAEF ∆∆=∴=∴=⨯=+++=⇒+=⇒+=---+=⇒-=⇒-=-=======1516121612296219619614142442286688662222222:():():,,,,AF =8本例未告知AF ,AE 谁大,所以应取两解.五、专题检测：1、如图在∆ABC 中, ∠BAC = 90︒, AD ⊥BC 于D , 则图中互余的角有A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对 2、如果直角三角形的两边的长分别为3、4，则斜边长为 3、 已知：四边形ABCD 中，BD 、AC 相交于O ，且BD 垂直AC ，求证：AB CD AD BC 2222+=+。

4. 已知：钝角∆BAC ，CD 垂直BA 延长线于D ，求证： BC AB AC AB AD 2222=++⋅。

5. 已知：AB AC =，且AB AC ⊥，D 在BC 上，求证：BD CD AD 2222+=。

6.已知：AB AC CD BC ==，，求证：AD AB BC 2222=+。

7 已知：∆ABC 中，AD 为BC 中线，求证：AB AC BD AD 22222+=+()。

8、如果ΔABC 的三边分别为a 、b 、c ，且满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ，判断ΔABC 的形状。

9.如图，折叠长方形(四个角都是直角，对边相等)的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，已知：AB =8cm ，BC =10cm ，求EC 的长。

10：已知：如图，∆ABC 中，AB=AC =10，BC =16，点D 在BC 上，DA ⊥CA 于A 。

求：BD 的长。

分析：因为∆ABC 中，AB=AC ，可作AE ⊥BC 于E ，构造直角三角形，由已知条件，AE ，CE ，可求。

根据勾股定理可列方程式求解。

解：作AE ⊥BC 于E ∵AB=AC ，BC =16∴BE=CE=128BC = （等腰三角形的性质） 在Rt ACE ∆中AE AC CE =-=-=22221086 （勾股定理）设DE =x 在Rt ADE ∆中 AD AE DE x 2222236=+=+在Rt ACD ∆中()AD CD AC x 22228100=-=+-D CO ABD AB CAB D CAB C D AB D C∴()36810022+=+-x xx =92∴BD BE DE =-=-=89272答案部分： 2. 在Rt AOB ∆中，AB OA OB 222=+在Rt AOD ∆中，AD OA OD 222=+在Rt OBC ∆中，BC OB OC 222=+在Rt ODC ∆中，CD OD OC 222=+∴+=+AB CD AD BC 22223 在Rt BCD ∆中，BC BD CD 222=+ 在Rt ADC ∆中，AC AD CD 222=+=++=++⋅+=++⋅()BA AD CD AB AD AB AD CD AB AC AB AD2222222224. 作AE BC ⊥于E ，∴==AE BE ECBD CD BE DE CE DE AE DE AE DE AE DE AE DE AD 222222222222222+=-++=-++=+=+=()()()()()B D E C5. 作AE BD ⊥于E ，∴==∴==+=-+=++-=+-=+⋅=+BE EC BC CD BD BCAD AE ED AB BE ED AB ED BE ED BE AB BD ED EC AB BD CD AB BC ，，2222222222222()()()B EC D6. 作AE BC ⊥于E ，∴=+=++=++=+++=+++⋅+=+++⋅+-=++-⋅+++⋅=+++=+AB AE BE AC AE EC AB AC AE BE EC AE BD DE EC AE BD DE BD DE ECAE AD BD BD DE CD DE AE CD DE CD DE AD BD BD DE AD CD AD BD BD AD 22222222222222222222222222222222222222222()()()。