北师大版八年级数学勾股定理

第一章 勾股定理

第一节探索勾股定理

教学目标：

1、 经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一

步体会数学与现实生活的紧密联系。

2、 探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。 重点难点：

重点：了结勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。 难点：勾股定理的发现 教学过程

掌握勾股定理的内容，能利用勾股定理进行计算与证明。

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即：

c 2=a 2+b 2

(c 为斜边)。

它反映了直角三角形三边之间的数量关系，是解决直角三角形中计算问题以及解直角三角形的主要依据之一。

一、问题的提出：

小明放学回家要经过一块长方形的麦地。如图：

1、 小明本来应走大路从A 经B 到C 可是他却直接从A 到C ，为什么？

2、 为什么近、近多少？

3、用数学知识如何解答？ 二、量一量，算一算：

1、直角三角形的两条直角边的长度分别为3㎝，4㎝和5㎝，12㎝请你量出斜边的长度。

2、进行有关的计算。

3、得出结论： 三、证明结论：

利用拼合三角形的方法，如下：（1）

b a a b

c

a c c

b a a a b a b

c b c b b c a

a b a b （1） （2）

由（1）S ab c ab c 正=⨯

+=+41

2

222 A

B

C

D

由（2）S a b ab 正=++222 ∴+=++222

2

2

ab c a b ab ∴+=a b c 2

2

2 （2）如图：

S c S S S a b b a a b b a a b a b c a b 正正小正

==+=⨯+-=++-=+∴=+2

2

2222222

441

2

22∆() 练习： 1、判断：

（1）已知a 、b 、c 是三角形的三边，则∴+=a b c 2

2

2

（ ） （2）在直角三角形中两边的平方和等于第三边的平方。 （ ）

（3）在Rt ABC ∆

90=∠B ∴+=a b c 2

2

2 （ ）

2、填空：在Rt ABC ∆中，∠=C 90

（1）如果a=3，b=4，则c=

（2）如果a=6，b=8，则c= （3）如果a=5，b=12，则c= (4) 如果a=15，b=20，则c= 3、 解决新课开始提出的问题

第2节 能得到直角三角形吗

教学目标：

1． 经历运用试验的方法说明勾股定理逆定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交

流的习惯。

2． 掌握勾股定理逆定理和他的简单应用 重点难点：

重点： 能熟练运用勾股定理逆定理解决实际问题

难点：用面积证勾股定理能熟练运用勾股定理逆定理解决实际问题 1．把握勾股定理的逆定理；

2，用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形。

教学过程

1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 有下面关系：

a 2

+b 2

= c 2

，那么这个三角形是直角三角形。 注意：勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。 1．用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的步骤：

（1）首先求出最大边（如c ）；

c a

b a

c b b c b

a a

c

（2）验证a 2+b 2与c 2

是否具有相等关系；

若c 2=a 2+b 2

，则△ABC 是以∠C=90°的直角三角形。 若c 2 ≠a 2+b 2

，则△ABC 不是直角三角形。 2．直角三角形的判定方法小结： （1）三角形中有两个角互余； （2）勾股定理的逆定理；

3．紧记一些常用的勾股数，将为我们应用勾股定理逆定理带来方便，如3、4、5；5、12、13；6、8、

10；12、16、20等。 四、典型例题

例1. 在Rt ABC ∆中，∠=C 90

，CD AB ⊥于D ，求证： （1）AB AD DB CD 2

2

2

2

2=++ （2）CD AD DB 2=⋅

分析：在图中有∆∆ABC ADC 、与∆BCD 三个直角三角形，利用勾股定理可

以求证。 证明：

（1） AB AC BC AC AD CD BC BD CD 222222222=+=+=+，，

∴=+=+++=++AB AC BC AD CD BD CD AD DB CD 222

2222222

2 （2）又 AB AD D B =+

∴=+=++⋅AB AD DB AD DB AD DB 22222()

∴++=++⋅∴=⋅AD DB CD AD DB AD DB CD AD DB

222222

2222

即CD AD DB 2

=⋅

例2、 已知∆ABC 中，AB cm BC cm AC cm ===51213，，，求AC 边上的高线的长。 分析：首先通过所给的三角形的三边长，判断出

所求高线长的三角形为直角三角形，并且要求的为斜边上的高线，通过勾股定理可解，未知量可用方程的

思想求得。 解： AB BC AC 2222514416925144169===∴+=，，， ∴+=AB BC AC 222

∴∆ABC 为Rt ∆，且∠=B 90

作BD AC ⊥于D

设AD x =，则CD x =-13

C

A D B

B

12 5

C 13

D A