北师大版八年级数学勾股定理

第一章 勾股定理
第一节探索勾股定理
教学目标：
1、 经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一
步体会数学与现实生活的紧密联系。

2、 探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。

重点难点：
重点：了结勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。

难点：勾股定理的发现 教学过程
掌握勾股定理的内容，能利用勾股定理进行计算与证明。

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

即：
c 2=a 2+b 2
(c 为斜边)。

它反映了直角三角形三边之间的数量关系，是解决直角三角形中计算问题以及解直角三角形的主要依据之一。

一、问题的提出：
小明放学回家要经过一块长方形的麦地。

如图：
1、 小明本来应走大路从A 经B 到C 可是他却直接从A 到C ，为什么？
2、 为什么近、近多少？
3、用数学知识如何解答？ 二、量一量，算一算：
1、直角三角形的两条直角边的长度分别为3㎝，4㎝和5㎝，12㎝请你量出斜边的长度。

2、进行有关的计算。

3、得出结论： 三、证明结论：
利用拼合三角形的方法，如下：（1）
b a a b
c
a c c
b a a a b a b
c b c b b c a
a b a b （1） （2）
由（1）S ab c ab c 正=⨯
+=+41
2
222 A
B
C
D
由（2）S a b ab 正=++222 ∴+=++222
2
2
ab c a b ab ∴+=a b c 2
2
2 （2）如图：
S c S S S a b b a a b b a a b a b c a b 正正小正
==+=⨯+-=++-=+∴=+2
2
2222222
441
2
22∆() 练习： 1、判断：
（1）已知a 、b 、c 是三角形的三边，则∴+=a b c 2
2
2
（ ） （2）在直角三角形中两边的平方和等于第三边的平方。

（ ）
（3）在Rt ABC ∆
90=∠B ∴+=a b c 2
2
2 （ ）
2、填空：在Rt ABC ∆中，∠=C 90
（1）如果a=3，b=4，则c=
（2）如果a=6，b=8，则c= （3）如果a=5，b=12，则c= (4) 如果a=15，b=20，则c= 3、 解决新课开始提出的问题
第2节 能得到直角三角形吗
教学目标：
1． 经历运用试验的方法说明勾股定理逆定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交
流的习惯。

2． 掌握勾股定理逆定理和他的简单应用 重点难点：
重点： 能熟练运用勾股定理逆定理解决实际问题
难点：用面积证勾股定理能熟练运用勾股定理逆定理解决实际问题 1．把握勾股定理的逆定理；
2，用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形。

教学过程
1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 有下面关系：
a 2
+b 2
= c 2
，那么这个三角形是直角三角形。

注意：勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。

1．用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的步骤：
（1）首先求出最大边（如c ）；
c a
b a
c b b c b
a a
c
（2）验证a 2+b 2与c 2
是否具有相等关系；
若c 2=a 2+b 2
，则△ABC 是以∠C=90°的直角三角形。

若c 2 ≠a 2+b 2
，则△ABC 不是直角三角形。

2．直角三角形的判定方法小结： （1）三角形中有两个角互余； （2）勾股定理的逆定理；
3．紧记一些常用的勾股数，将为我们应用勾股定理逆定理带来方便，如3、4、5；5、12、13；6、8、
10；12、16、20等。

四、典型例题
例1. 在Rt ABC ∆中，∠=C 90
，CD AB ⊥于D ，求证： （1）AB AD DB CD 2
2
2
2
2=++ （2）CD AD DB 2=⋅
分析：在图中有∆∆ABC ADC 、与∆BCD 三个直角三角形，利用勾股定理可
以求证。

证明：
（1） AB AC BC AC AD CD BC BD CD 222222222=+=+=+，，
∴=+=+++=++AB AC BC AD CD BD CD AD DB CD 222
2222222
2 （2）又 AB AD D B =+
∴=+=++⋅AB AD DB AD DB AD DB 22222()
∴++=++⋅∴=⋅AD DB CD AD DB AD DB CD AD DB
222222
2222
即CD AD DB 2
=⋅
例2、 已知∆ABC 中，AB cm BC cm AC cm ===51213，，，求AC 边上的高线的长。

分析：首先通过所给的三角形的三边长，判断出
所求高线长的三角形为直角三角形，并且要求的为斜边上的高线，通过勾股定理可解，未知量可用方程的
思想求得。

解： AB BC AC 2222514416925144169===∴+=，，， ∴+=AB BC AC 222
∴∆ABC 为Rt ∆，且∠=B 90
作BD AC ⊥于D
设AD x =，则CD x =-13
C
A D B
B
12 5
C 13
D A
BD BC CD AB AD x x x 22222
222
1213252513
=-=-∴--=-∴=
()
∴=-=-=BD AB AD 222
22525
136013
() 答：AC 边上的高线长为
60
13
cm 。

例3.已知：如图，△ABC 中，AB =AC ，D 为BC 上任一点， 求证：AB 2－AD 2=BD ·DC
思路分析：通常遇到等腰三角形问题，都是作底边上的高转化为直角三角形，再按解直角三角形的思路探索。

本例首先作AE ⊥BC 于E ，便出现两个全等的直角三角形。

由AB =AC ⇒BE =EC
结论又以平方差“面目”出现，也就告知我们应用勾股定理是打开思路的好方法，那么在Rt △ABE ，Rt △ADE 中，由勾股定理，得 AB 2=AE 2+BE 2 AD 2=AE 2+DE 2
由于BE 、DE 均在一条直线BC 上，通常是平方差公式进行因式分解，转化为求同一条线段的和差问题，使结论明朗化，于是 AB 2－AD 2=(BE +DE )(BE －DE ) 结合图形知：BE +DE =BD BE －DE =CE －DE =CD 例4.如图，已知四边形ABCD 的四边AB 、BC 、CD 和DA 的长分别为3、4、13、12，∠CBA =90°,求S 四边形ABCD
思路分析：遇到四边形，通常是连对角线转化为三角形问题，对本例连对角线AC 为佳，因∠CBA =90°，便出现了直角三角形ABC ，由勾股定理可求 AC 2=AB 2+BC 2=32+42=25
在△CAD 中，我们又可发现： AC 2+AD 2=25+122=169 DC 2=132=169
∴AC 2+AD 2=CD 2，由勾股定理逆定理知 ∴△ACD 为Rt △，且∠DAC =90°
此时，已清晰可知，这个四边形由两个直角三角形构成，求其面积便容易了。

S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD
⇒AB 2－AD 2=BE 2－DE 2
⇒AB 2－AD 2=BD ·CD
=
⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=+=121
212341
2
51263036AB BC AC AD ()平方单位 例5、在正方形ABCD 中, F 为DC 的中点, E 为BC 上一点, 且EC =
1
4
BC , 求证: ∠EF A = 90︒ 分析: 通过图形结构和求证本题思路十分明显, 就是要找Rt ∆, 那就是要通过勾股定理逆定理来完成。

证明: 设正方形ABCD 的边长为4a 则EC = a , BE = 3a , CF = DF = 2a
在Rt ∆ABE 中()()AE AB BE a a a 2222
2
24325=+=+= 在Rt ∆ADF 中()()AF AD DF a a a 2222
2
24220=+=+= 在Rt ∆ECF 中()EF FC EC a a a 22222225=+=+=
由上述结果可得AE AF EF 222=+
由勾股定理逆定理可知∆AEF 为Rt ∆, 且AE 是最大边, 即∠AFE = 90︒
例6、 已知：如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别AB ，AD 上的点，又AB =12，EF =10，
△AEF 的面积等于五边形EBCDF 面积的1
5
，求AE ，AF 的长。

思路分析：依题意知△AEF 为Rt △用勾股定理，立马而定，于是有 EF 2=AE 2+AF 2
设AE =x ,AF =y ,又EF 2=100,则x 2+y 2=100 ①
又即②
①②或①②或解得或即或五边形正方形
S S S S xy xy x xy y x y x y x xy y x y x y x y x y AE AF AE AEF EBCDF
AEF ∆∆=∴=∴=⨯=+++=⇒+=⇒
+=---+=⇒-=⇒-=-=======1
51
6
121
6122962196
1961414
24
422
8668
8662
222222:():():,,,,AF =8
本例未告知AF ,AE 谁大,所以应取两解.
五、专题检测：
1、如图在∆ABC 中, ∠BAC = 90︒, AD ⊥BC 于D , 则图中互余的角有
A ．2对
B ．3对
C ．4对
D ．5对 2、如果直角三角形的两边的长分别为3、4，则斜边长为 3、 已知：四边形ABCD 中，BD 、AC 相交于O ，且BD 垂直AC ，求证：AB CD AD BC 2222+=+。

4. 已知：钝角∆BAC ，CD 垂直BA 延长线于D ，求证： BC AB AC AB AD 2222=++⋅。

5. 已知：AB AC =，且AB AC ⊥，D 在BC 上，求证：BD CD AD 2222+=。

6.
已知：
AB AC CD BC ==，，求证：
AD AB BC 2222=+。

7 已知：∆ABC 中，AD 为BC 中线，求证：
AB AC BD AD 22222+=+()。

8、如果ΔABC 的三边分别为a 、b 、c ，且满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ，判断ΔABC 的
形状。

9.如图，折叠长方形(四个角都是直角，对边相等)的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，已知：AB =8cm ，BC =10cm ，求EC 的长。

10：已知：如图，∆ABC 中，AB=AC =10，BC =16，点D 在BC 上，DA ⊥CA 于A 。

求：BD 的长。

分析：因为∆ABC 中，AB=AC ，可作AE ⊥BC 于E ，构造直角三角形，由已知条件，AE ，CE ，可求。

根据勾股定理可列方程式求解。

解：作AE ⊥BC 于E ∵AB=AC ，BC =16
∴BE=CE=
1
2
8BC = （等腰三角形的性质） 在Rt ACE ∆中
AE AC CE =
-=-=22221086 （勾股定理）
设DE =x 在Rt ADE ∆中 AD AE DE x 2222236=+=+
在Rt ACD ∆中
()AD CD AC x 2222
8100=-=+-
D C
O A
B
D A
B C
A
B D C
A
B C D A
B D C
∴()36810022
+=+-x x
x =
92
∴BD BE DE =-=-
=89272
答案部分： 2. 在Rt AOB ∆中，AB OA OB 222
=+
在Rt AOD ∆中，AD OA OD 222
=+
在Rt OBC ∆中，BC OB OC 222
=+
在Rt ODC ∆中，CD OD OC 222
=+
∴+=+AB CD AD BC 2222
3 在Rt BCD ∆中，BC BD CD 222=+ 在Rt ADC ∆中，AC AD CD 222
=+
=++=++⋅+=++⋅()BA AD CD AB AD AB AD CD AB AC AB AD
22
2222222
4. 作AE BC ⊥于E ，∴==AE BE EC
BD CD BE DE CE DE AE DE AE DE AE DE AE DE AD 22
22
222
2
222
2222+=-++=-++=+=+=()()()()()
B D E C
5. 作AE BD ⊥于E ，
∴==∴==+=-+=++-=+-=+⋅=+BE EC BC CD BD BC
AD AE ED AB BE ED AB ED BE ED BE AB BD ED EC AB BD CD AB BC ，，22222
222
22222
()()()
B E
C D
6. 作AE BC ⊥于E ，
∴=+=++=++=+++=+++⋅+=+++⋅+-=++-⋅+++⋅=+++=+AB AE BE AC AE EC AB AC AE BE EC AE BD DE EC AE BD DE BD DE EC
AE AD BD BD DE CD DE AE CD DE CD DE AD BD BD DE AD CD AD BD BD AD 22222222
222
222
2
2
2
2
2222
2222222222222222222()()()。