不定积分教案范文

不定积分教案范文

一、教学目标：

1.熟练掌握不定积分的概念和性质。

2.能够运用基本积分公式求不定积分。

3.能够运用换元法、分部积分法、有理函数积分法等方法求解不定积分。

4.能够运用不定积分的性质解决实际问题。

二、教学内容：

1.不定积分的基本概念和性质。

2.基本积分公式及其运用。

3.换元法求不定积分。

4.分部积分法求不定积分。

5.有理函数积分法求不定积分。

6.不定积分的应用。

三、教学过程：

1.不定积分的基本概念和性质：

不定积分是微积分中的重要内容，是函数的一个全体定义域上的原函

数集合。具体来说，设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，则函数 F(x)

在区间 [a, b] 上的不定积分是 f(x) 的一个原函数，记作

∫f(x)dx=F(x)+C，其中 F(x) 称为 f(x) 的一个原函数，C 为任意常数。

不定积分具有以下性质：

（1）积分的线性性质：∫[af(x)+bg(x)]dx=a∫f(x)dx+b∫g(x)dx；

（2）积分和求导的逆关系：如果F(x)是f(x)的一个原函数，则

F'(x)=f(x)；

（3）换元积分法：设 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，g(x) 是可导函数，则∫f[g(x)]g'(x)dx=F[g(x)]+C；

（4）分部积分法：设 F(x) 和 G(x) 分别是 f(x) 和 g(x) 的原函数，则∫f(x)g'(x)dx=F(x)g(x)-∫F'(x)g(x)dx。

2.基本积分公式及其运用：

（1）常数函数积分：∫kdx=kx+C，其中 k 为常数。

（2）幂函数积分：∫x^n dx=(n+1)x^(n+1)/(n+1)+C，其中 n 为任意实数，n ≠ -1

（3）指数函数积分：∫e^xdx=e^x+C。

（4）三角函数积分：

a. ∫sinxdx=-cosx+C；

b. ∫cosxdx=sinx+C。

（5）倒数函数积分：∫1/xdx=ln，x，+C。

3.换元法求不定积分：

设 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，且 g(x) 在区间 [a, b] 上可导、连续，则∫f[g(x)]g'(x)dx=F[g(x)]+C。

例题：求∫x/(1+x^2)dx。

解析：设 g(x)=1+x^2，则 g'(x)=2x。则原式可化为

∫(1/2)g'(x)/g(x) dx=1/2∫(1/g(x))g'(x) dx=1/2∫(1/g(x))

dg(x)=1/2ln，g(x)，+C=1/2ln，1+x^2，+C。

4.分部积分法求不定积分：

设 F(x) 和 G(x) 分别是 f(x) 和 g(x) 的原函数，则

∫f(x)g'(x)dx=F(x)g(x)-∫F'(x)g(x)dx。

例题：求∫xlnxdx。

解析：令 u=lnx，dv=xdx，则 du=(1/x)dx，v=∫xdx=(1/2)x^2、则原式可化为∫u dv=uv-∫v du=xlnx-(1/2)x^2+C。

5.有理函数积分法求不定积分：

有理函数是指多项式函数与幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数的和、积、商所得的函数。

例题：求∫(2x+1)/(x^2-2x-3)dx。

解析：先对分母进行因式分解，得到 x^2-2x-3=(x-3)(x+1)。再将被积函数进行部分分式分解，得到 (2x+1)/(x^2-2x-3)=A/(x-3)+B/(x+1)。然后利用等式 (2x+1)/(x^2-2x-3)=A/(x-3)+B/(x+1) 进行求解，最后可得∫(2x+1)/(x^2-2x-3)dx=ln，x-3，-ln，x+1，+C。

6.不定积分的应用：

不定积分在实际问题中常常用于求解曲线的长度、曲线下的面积、体积、质心等问题。

例题：求 y=sinx 在[0, π] 上的弧长。

解析：设弧长为 S，则

S=∫√(1+(y')^2)dx=∫√(1+cos^2x)dx=∫√(2cos^2x)dx=∫√2cosx dx=2√2sinx+C。根据区间[0, π] 上的连续性，可得S=2√2sinπ-

2√2sin0=0。

四、课堂练习：

1. 求∫(2x^3-3x^2+4x-1)dx。

2. 求∫(3x^2-2x+5)/(x^3-x)dx。

3. 求∫(cosx/sinx)dx。

4. 求 y=ln，x，在 [-1, 2] 上的弧长。

5. 求 y=lnx 在 [1, 3] 上的曲线下的面积。

五、作业布置：

1.完成课堂练习中的题目。

2.自主并解答不定积分的相关问题。

3.阅读相关教材，预习下节课的内容。

六、教学反思：

通过本节课的教学，学生可以初步掌握不定积分的基本概念和性质，并能够熟练运用基本积分公式、换元法、分部积分法和有理函数积分法求不定积分。通过课堂练习的作业布置，可以进一步巩固和应用所学知识。同时，教师还可以引导学生思考不定积分在实际问题中的应用，培养学生的应用能力和创新思维。