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马氏链模型在基因遗传中的应用

马氏链模型在基因遗传中的应用摘要：马尔可夫模型是研究离散时间、离散状态随机转移过程的有力工具。

本文利用状态转移的无后效性，通过定义状态和状态概率构造转移概率矩阵建立马氏模型，并讨论此模型在基因遗传中的应用。

关键词：马尔可夫模型；概率矩阵；基因遗传1 引言随着科技的进步，人们为了提高产量，越来越注重遗传学的研究。

豆子的茎秆有黄有绿，猪的毛有白有黑，人类会出现色盲等先天性疾病，这些都是基因遗传的结果。

无论是人，还是动植物的基因从一代到下一代的转移都是随机的，并且无后效性，于是马氏链成为遗传学的工具。

本文将利用马氏链建立一个属于完全优势基因遗传的模型，并讨论该模型在基因遗传中的应用。

2 模型的建立在自然界中，生物个体的遗传特征是由两个基因决定的，用A表示优势基因，用a表示劣势基因。

于是个体就有三种基因类型，即是两个优势基因AA，称为优种，优势基因与劣势基因各一个Aa，称为混种，两个劣势基因aa，称为劣种。

若个体的基因类型为优种或混种时，外部特征为优势，如豆子的茎秆是绿色，个体的基因类型为劣种时，外部特征是劣势，如豆子的茎秆是黄色。

生物繁殖时，一个后代从父本和母本中各继承一个基因，即后代属于哪一种基因类型完全由父母的基因类型决定，与再上一代的基因类型无关，满足马氏链模型中的无后效性。

下面利用马尔可夫模型来比较一下混种繁殖和优种繁殖两种繁殖形式，哪种更好?在繁殖的过程中用一混种与一个个体交配，所得后代仍用混种交配，如此继续下去，称为混种繁殖。

建立马氏链模型描述在混种繁殖下各代具有三种基因类型的概率，并讨论稳态情况。

用基因类型优种AA（第一种），混种Aa（第二种）和劣种aa（第三种）定义状态，状态概率表示第代个体具有第种基因类型的概率，记作。

当用混种Aa与优种AA交配时，后代的基因类型只能是AA和Aa，其概率各为½，当用混种Aa与Aa交配时，后代的基因类型可以是AA，Aa和aa，其概率分别为¼，½，¼，当用混种Aa与劣种aa交配时，后代的基因类型只能是Aa 和aa，其概率各为½，由此可以写出转移概率矩阵为设初始混种与优种交配，即，由（，为转移概率矩阵）式计算任意时段的状态概率，计算结果如下表，混种繁殖下三种基因类型的状态概率（初始与优种交配）由此表可以看出，当时，表明经过足够多代繁殖以后，优种、混种、劣种的比例接近于下面我们通过计算验证这个猜想。

马氏链简介

显然，cij 0
n
n
cij (ai1b1 j ai2b2 j ainbnj ), (i 1,2,, n)
j 1
j 1
n
n
cij (ai1b1 j ai2b2 j ainbnj ), (i 1,2,, n)
j 1
j 1
n
用随机变量 X n 表示第 n 个月的经营状况
Xn 1 Xn 2
表示销路好；表示销路坏；
n 0,1,2
X n 称为这个经营系统的状态。
用ai n表示第 n 月处于状态 i 的概率， i 1,2,
即
ai n PXn i ai n 称为状态概率。
pij 表示已知这月处于状态 i ，下月处于状态 j 的概率，i, j 1,2, 即
每次传播消息的失真率为 p, 0 p 1,
即 ai 将消息传给 ai1, 时，传错的概率为 p
这样经过长时间传播第n个人得知消息时，消息的真实程度如何？
第n个人知道消息可能是真，也可能是假，有两种状态，记为
Xn 1 Xn 2
表示消息假；表示消息真；
n 0,1,2
用ai n表示第 n 个人处于状态 i 的概率， i 1,2,
n01 2 3
4
ห้องสมุดไป่ตู้
1 0.5 0.45 0.445 0.4445 ？
0 0.5 0.55 0.555 0.5555 ？
a1(n)

5 10

5 102

a2 (n)

4 9

5 10n

5 10
1 (

1 10n1

随机过程参考题

2014-2015随机过程参考题一.判断题1．若随机变量的特征函数存在，则可以用它来刻画随机变量的概率分布．（） 2．对于独立的随机变量1,,n X X ，都有[]11n nk k k k E X E X ==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∏∏．（）3．若12(,,)n F x x x 是随机向量1=,,)n X X X （的联合分布函数，则它对每个变量都是单调不减的．（） 4.一个随机过程的有限维分布具有对称性和相容性．（） 5．非齐次泊松过程一定具有独立增量性和平稳增量性．（） 6．参数为λ的泊松过程第n 次与第1n -次事件发生的时间间隔n X 服从参数为n 和n λ的Γ分布．（）7．复合P o i s s o n 过程一定是计数过程．（） 8．若随机变量X 服从周期为d 的格点分布，则对自然数n 总有{}0P X nd =>．（） 9．设,i j 是离散时间马氏链的两个互通的状态，则它们的周期相等．（） 10．离散时间马尔科夫链的转移矩阵的行和列的和均为1 . （） 11．一个随机变量的分布函数和特征函数相互唯一确定．（） 12．对独立的随机变量1,,n X X ，都有[]11n nk k k k Var X Var X ==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑∏．（）13．一个随机过程的有限维分布族一定是具有对称性和相容性的分布族。

（）14．若一个随机过程的协方差函数,s t γ（）只与时间差t s -有关，则它一定是宽平稳过程．（） 15．参数为λ的泊松过程中，第n 次事件发生的时刻n T 服从参数为λ的指数分布．（） 16．非齐次泊松过程不具有独立增量性，但具有平稳增量性．（） 17．更新过程在有限时间内最多只能发生有限次更新．（） 18．更新过程的更新函数()M t 是t 的单调不增函数．（） 19．马尔科夫链具有无后效性．（） 20．Poisson 过程是更新过程．（）具有对称性和相容性的分布族一定是某个随机过程的有限维分布族。

4马氏链

可见,｛Xn,n=0，1，2,…｝是一个马氏链。
Pij ( m , m + n)∆ P { X n + m = j | X m = i}
称为马氏链在时刻 m 系统处于状态 i 的条件下，在时刻 m+n 转移到状态 j 的转移概率。
2．转移概率的性质
(1) Pij≥0；
(2)
∑ P (m , m + n) = 1, i = 0,1, 2,⋯
对任意的 n 及 i 0 , i 1 , ⋯ , i n , i n + 1 ∈ x ,
P {X n +1 = i n +1 X 0 = i 0 , X 1 = i1 , ⋯ , X n = i n } 0 i n+1 > i n =1 = P{X n+1 = i n+1 | X n = i n } i n +1 ≤ i n in
马尔可夫链及其概率分布引言
直观上，过程（或系统）在时刻t0所处的状态为已知的条件下,过程在时刻t＞t0所处状态的条件分布与过程在时刻t0之前所处的状态无关。用分布函数表达此性质，设随机过程{X(t),t∈T}，状态空间为χ，若对于t 的任意n个值t1<t2<…<tn,n≥3, 有
P {X ( t n ) ≤ xn X ( t1 ) = x1 , X ( t 2 ) = x 2 , ⋯ , X ( t n−1 ) = x n−1 }
条件下，即在 X ( t i ) = x i , i = 1,2,⋯ , n − 1条件下，X ( t n )的条件分布函数等于在条件 X ( t n−1 ) = x n−1下X ( t n )的条件分布函数。
则称过程{X(t),t∈T}具有马尔可夫性，或称 {X(t),t∈T}为马尔可夫过程。

12离散参数马氏链上

例1 Bernoulli序列是离散参数齐次马尔可夫
链. 验证在Bernoulli序列{Xn,n=1,2,3,}中, 对任
意正整数 m, t1 t2 tm tm1
X t1 , X t2 , , X tm , X tm1 相互独立, 故对
jk 0,1, (k 1, 2,, m 1)
P{X (tm ) i}
四. 离散参数齐次马尔可夫链
定义3 设离散参数马尔可夫链
{X (t),t t0 ,t1,t2 ,,tn ,}
如果一步转移概率pij(tm)不依赖于参数tm 即对任意两个不等的参数tm和tk, mk,有
pij (tm ) pij (tk ) pij
则称此马尔可夫链具有齐次性或时齐性,称 X(t)为离散参数齐次马尔可夫链.
对于状态空间S内的任意两个状态 i 和j , 恒有
(1)
p(n) ij
(tm
)
0
(2)
p(n) ij
(tm
)
1,
n
1,
2,
jS
p(n) ij
(tm
)
P{X (tmn ) j | X (tm ) i}
jS
jS
P{X (tmn )
jS
j, X (tm ) i}
P{X (tm )
i}
1
P{X (tm ) i}
二．马尔可夫链的分类
状态空间S是离散的(有限集或可列集),参数集T可为离散或连续的两类.
本课程主要介绍离散参数马尔可夫链.
三．离散参数马尔可夫链
1. 转移概率
定义2 设离散参数马尔可夫链 {X (t),t t0 ,t1,t2 ,,tn ,}
条件概率 P{X (tm1) j | X (tm ) i} pij (tm ) 称为X(t)在时刻(参数)tm由状态 i 一步转

马氏链的极限分布和平稳分布

马氏链的极限分布和平稳分布马氏链是一种离散时间随机过程，具有马氏性质，即未来的状态只与当前的状态有关，而与过去的状态无关。

马氏链的极限分布和平稳分布是研究马氏链长期行为的重要概念。

在本文中，我们将详细介绍马氏链的极限分布和平稳分布的概念、性质以及计算方法。

首先，我们来介绍一下马氏链的极限分布。

马氏链的极限分布是指在长时间内，马氏链的状态分布趋于稳定的分布。

也就是说，当时间趋于无穷大时，马氏链的状态分布将不再发生变化，而是收敛到一个固定的分布。

这个分布就是马氏链的极限分布。

马氏链的极限分布具有以下性质：1. 极限分布存在唯一性：对于任意一个马氏链，只要它满足一定的条件，它的极限分布就是唯一的。

2. 极限分布与初始分布无关：马氏链的极限分布与初始状态的概率分布无关，只与转移概率矩阵有关。

3. 极限分布是不可约的：如果一个马氏链是不可约的，即任意两个状态之间都是可达的，那么它的极限分布是存在的。

接下来，我们来介绍马氏链的平稳分布。

平稳分布是指在长时间内，马氏链的状态分布保持不变的分布。

也就是说，当时间趋于无穷大时，马氏链的状态分布不再发生变化，而是保持在一个固定的分布。

这个分布就是马氏链的平稳分布。

马氏链的平稳分布具有以下性质：1. 平稳分布存在唯一性：对于任意一个马氏链，只要它满足一定的条件，它的平稳分布就是唯一的。

2. 平稳分布与初始分布无关：马氏链的平稳分布与初始状态的概率分布无关，只与转移概率矩阵有关。

3. 平稳分布是不可约的：如果一个马氏链是不可约的，即任意两个状态之间都是可达的，那么它的平稳分布是存在的。

在实际应用中，我们常常需要计算马氏链的极限分布和平稳分布。

下面，我们将介绍一些常用的计算方法。

对于有限状态的马氏链，可以通过迭代法来计算极限分布和平稳分布。

迭代法的基本思想是从一个初始的概率分布开始，通过不断地迭代计算，直到收敛到极限分布或平稳分布为止。

具体的迭代计算方法有很多种，常用的有幂法、Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法等。

离散时间马氏链例题

离散时间马氏链例题离散时间马氏链（离散时间马尔科夫链）是一种随机过程，其中每个状态的未来转变仅依赖于其当前状态，而不依赖于过去的状态或转变。

以下是离散时间马氏链的一个简单例题：天气预报问题假设明天的天气仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。

如果今天下雨，那么明天下雨的概率为0.7；如果今天不下雨，那么明天下雨的概率为0.4。

我们要求出今天下雨并且四天后仍然下雨的概率（假设α=0.7，β=0.4）。

解：定义状态：我们可以定义两个状态，状态0表示不下雨，状态1表示下雨。

建立转移概率矩阵：根据题目描述，我们可以得到以下的转移概率矩阵P：P = [0.6 0.4; 0.3 0.7]其中，P(i, j)表示从状态i转移到状态j的概率。

3. 应用马氏链的性质：我们知道马氏链的性质是未来的状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。

因此，我们可以使用转移概率矩阵来计算四天后仍然下雨的概率。

我们从今天下雨（状态1）开始，想要知道四天后仍然下雨的概率。

我们可以通过连续应用转移概率矩阵来计算这个概率：今天下雨并且四天后仍然下雨的概率= P(1, 1)^4但是这是错误的，因为我们不能直接取四次方。

正确的做法是，考虑所有可能的路径，即在这四天中，天气可能如何变化。

例如，它可能一直保持下雨，或者可能在中间某天下雨然后再次下雨等等。

我们需要考虑所有这些可能性。

但是，对于较大的n值，直接计算所有路径是不切实际的。

我们可以使用一种称为“稳态概率”的概念来简化计算。

稳态概率是指，当时间趋于无穷大时，马氏链处于某个特定状态的概率。

在这个例子中，我们可以计算出稳态概率，然后用它来估计四天后下雨的概率。

然而在这个特定的例子中，由于转移概率矩阵不是对称的，因此没有简单的公式可以直接计算出n步转移概率。

我们需要使用矩阵的n次幂来计算这个概率。

但是注意，我们不能简单地取P(1,1)的四次幂，因为那将假设每天都独立地下雨，而实际上每天的天气都依赖于前一天的天气。

随机过程之离散参数马氏链

随机过程之离散参数马⽒链前⾔随机过程讨论的是随机变量随时间的变化情况，根据统计时间节点的连续与否和随机变量变化的连续与否可分为以下四种类型：· 连续型随机过程：变量连续、时间节点连续· 离散型随机过程：变量离散、时间节点连续· 连续随机序列：变量连续、时间节点离散· 离散随机序列：变量离散、时间节点离散本篇⽂章⾥介绍的是状态离散、时间节点离散的随机过程的⼀种。

Markov链，简称马⽒链。

马⽒链的代表性质是马⽒性，简单来讲就是在知道现在的前提下，将来与过去⽆关。

这说明现在就已经保留了⾜够的信息量可以⽤来影响未来，⽽不需要过去的陈旧的信息（有些许量变质变的味道）马⽒链的描述描述马⽒链时⼀般使⽤转移概率矩阵来刻画状态之间的转移关系，⾏列排开矩阵表⽰状态i到j。

当然，简单的转化关系绘制状态转移图可能会更加鲜明。

这些矩阵元素表⽰的是状态转移性质，⾃然有的会变，有的不会变。

我们这⾥讨论的是概率不随时间变化的情况。

当马⽒链状态总数有限时，状态转移概率矩阵阶数有限。

常⽤马⽒链描述的过程有粒⼦在直线上的随机游动【左右原地不动带有吸收壁带有反射壁等】等在针对⼀些过程构建模型时，⾸先要找到随时间不同的随机变量。

然后找到状态之间的转移规律，根据规律可以得到概率转移矩阵。

推导的时候注意对问题的理解，选择合适的⽅式去表达。

马⽒链的判定及性质1. ⼀种判定⽅法是直接⽤马⽒性，另⼀种见下图。

其主要原理在于引⼊另⼀个独⽴同分布的随机变量⼀起决定下⼀状态是什么。

引⼊的这个随机变量与我们要讨论的随机变量是相互独⽴的，那么转移概率就由这个函数关系唯⼀确定。

2. 时齐马⽒链的⼀个性质是其完全由初始状态的概率分布和转移规律决定。

CK⽅程上述两个部分主要阐述的是异步转移概率，CK⽅程主要刻画的是n步转移概率。

主要思想在于像树⼀样层层展开，就是矩阵乘法。

在推导过程中可以证明P^{(n)}=PP^{(n-1)}⼊⼿，类似数学归纳。

4-3离散参数马尔可夫链(3)-状态的分解

定理4.10 状态空间E必可分解为
E D C1 C2 Ck
其中 D是非常返状态集合，Cn中的状态不能到达D
C1 , C2 ,
互不相交的不可约的常返闭集，且状态相同。
Ci0 {k : i0 k}，i0为常返
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若aij 0, 且对于任意的i，有 aij 1 ，
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互通状态具有相同类型
定理
设状态i 和j 互通, 则
1) i 和j 同为非常返的；
2) i 和j 同为零常返的；
3) i 和j 同为正常返非周期的(遍历状态的)；
4) i 和j 都是正常返有周期的, 具有相同周期.
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分解定理
) n 令 Pi i ( s) pi( n i s n 0
Fi i ( s) fi (in ) s n
n 0

由上一节知 P ii (s) 1 F i i ( s) P i i ( s)
1 所以 Fi i ( s) 1 Pii ( s)
再由 P 00 ( s) 1 4 pqs
状态空间的分解
以三个层次区分状态类型非常返态状态零常返态
常返态
首返概率正常返态
有周期非周期
遍历态
平均返回时间
周期
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闭集定义设E 是状态空间, C E , 若对i C及j C ,
都有 pij 0, 称C为一个闭集.
定义若闭集C 中不再含有非空的闭真子集, 称C是不可约的(或不可分的,最小的). 若马氏链的状态空间E 是不可约的, 称此马氏链是不可约马氏链.

利率为马氏链的离散时间比例再保险风险模型的破产问题

ｎ珥＋厶一
定义停时７ ’ 为破产时刻：Ｔ— ｉｎｆ｛：Ｕ＜０）定义破产概率为：
。 ‘ ＋ｍ）（４）
（５）
（ “ ，）一Ｐ（Ｔ＜＋。。ＩＵ。一Ｕ，Ｉ。＝）．（６）
．
＝ｌ，２， …
其中Ｕ为保险公司在第时刻的盈余，Ｕ。一＞０
为初始资金，｛，ｋ ≥１｝和｛，ｋ ≥１）均为独立同分布的随机变量序列且两个序列相互独立，｛Ｙ，ｋ≥ １）表示第ｋ期理赔支出，具有分布函数Ｆｒ（ｙ）一Ｐ（ＹＩ ≤．），），｛Ｉｋ，ｋ ≥１）为第ｋ期的利率，ｂ＝（）。
产前盈余，破产后赤字和破产持续时间的分布，何晓
ｈ（一。，）＝ｂｙ
（２）
其中ｂ为自留额比例，Ｃ（）为自留保费，Ｃ（６）一ｃ一（１＋）（１—６）Ｅ（ｙ），０为再保险公司的安全附加
间的分布，给出了破产持续时间为ｋ期的概率所满足的积分表达式，结论进一步丰富了离散时间风险模型的破产
问题的研究成果。关键词：离散时间风险模型；比例再保险；马氏链；积分方程
中图分类号：Ｆ２２４．７
第２８卷第３期２０ｌ３年３月
宿

第十八讲马氏链

P=1 0
1/ 2 1/ 2 7 / 9 2 / 9
0.6 0.4 三步转移概率矩阵 P (3) = P = 0.62 0.38
3
• 三次转移后的分布：
0.6 0.4 p(3) = p(0) ⋅ P(3) = (15/ 24,9 / 24) 0.62 0.38
19 20 0 1
以频率估计概率。求(1)销售状态的初始分布；(2)三步转移概率矩阵及三步转移后的销售状态分布。解：设Xn表示第n季度该产品的销售状态 (1)初始分布：P{Xn=1}=15/24， P{Xn=0}=9/24 (2)一步转移概率矩阵紧邻时刻1到1：7次 1到0：7次 0到1：7次 0到0：2次 1 0
类似有
p (n) = p (n − 1) ⋅ P(1)
= P ( n − 2) ⋅ P = P ( 0) ⋅ P
2
n
例：对于有吸收壁的随机游动，设初始分布为 p(0)=(1/5,1/5,1/5,1/5,1/5),求 1 2 3 (1)P{X(0)=3,X(1)=2,X(2)=4} 1 1 0 0 2 p 0 q (2)P{X(2)=3} P= • 解：
I = { a 1 , a 2 ,...}
5
a i 是实数
6
• 以青蛙的例子，状态空间为所有荷叶。
4
马氏链的定义
• 对于任意正整数n,m,r , 0 ≤ t1 < t 2 < ... < t r < m
ti、m、n + m ∈ T
P{ X n + m = a j | X t1 = ai1 , X t2 = ai2 ,..., X tr = air , X m = ai }

4 马氏链

P X1 1, X 2 1, X 3 1| X 0 0
7.2 马尔可夫链的状态分类
设 { Xn , n >0 } 是齐次马尔可夫链，其状态空间
I = { 0, 1, 2, … }，转移概率是 pij ， i , j I
1
7 1
8
1
9
1
1 1/3 121源自3615
2/3
4
1
（1）状态的周期性
2
设初始分布p1 0 P X 0 1 , p0 0 P X 0 0 1 ,
若系统经n级传输后输出为 1，求原发字符也是 1的概率。
0.9 0.1 0.82 0.18 2 解：（1）P , P 2 P , 0.1 0.9 0.18 0.82 0.756 0.244 3 P 3 P 0.244 0.756
马尔可夫链
内容提要
马尔可夫链的概念及转移概率马尔可夫链的状态分类状态空间的分解
pij(n) 的渐近性质与平稳分布
马尔可夫过程的四种类型

马尔可夫链(马氏链)

时间、状态都离散时间连续、状态离散

连续时间马氏链

马尔可夫序列

时间离散、状态连续
时间、状态都连续

连续时间马尔可夫过程（或扩散过程）
[定义] 如集合 { n : n 1, pii(n) > 0 } 非空，则称该集合
的最大公约数 d = d(i) = G.C.D{ n : pii(n) > 0 }为状态 i
则称 { Xn , n T } 为马尔可夫链，简称马氏链。
马氏性（无后效性）

正则马氏链模型

正则马氏链模型正则马氏链模型是一种常用的概率模型，它是一种离散时间、离散状态的随机过程。

该模型的基本假设是：在任意时刻，系统处于某一特定状态的概率只与其前一时刻所处的状态有关。

正则马氏链模型可以用来描述许多实际问题，比如天气预报、股票价格变化、人口迁移等。

一、基本概念1. 马氏性质马氏性质是指一个随机过程中，在任意时刻，系统处于某一特定状态的概率只与其前一时刻所处的状态有关。

这种性质也称为无后效性。

2. 状态转移矩阵状态转移矩阵是一个n×n 的矩阵，其中第 i 行第 j 列表示从状态 i 转移到状态 j 的概率。

对于正则马氏链模型而言，每个状态可以转移到任何其他状态，因此矩阵中所有元素都大于等于 0，并且每行元素之和为 1。

3. 平稳分布平稳分布是指当一个随机过程在长期运行后，其概率分布不再发生变化，并且该分布与起始分布无关。

对于正则马氏链模型而言，其平稳分布存在且唯一。

二、模型定义正则马氏链模型可以用一个四元组来表示，即(S, P, π, T)。

其中：1. S 表示状态集合，每个状态都有一个唯一的标识符。

2. P 表示状态转移矩阵，P(i,j) 表示从状态 i 转移到状态 j 的概率。

3. π 表示初始分布，π(i) 表示初始时系统处于状态 i 的概率。

4. T 表示时间步数，表示模型运行的时间长度。

三、模型计算1. 状态转移概率计算对于正则马氏链模型而言，任意时刻系统处于某一特定状态的概率只与其前一时刻所处的状态有关。

因此，在已知 t 时刻系统处于某一特定状态 i 的条件下，t+1 时刻系统处于某一特定状态 j 的概率可以用如下公式计算：P(i,j,t+1) = Σ P(i,k,t) × P(k,j)其中 k 是所有可能的中间状态。

2. 平稳分布计算平稳分布是指当一个随机过程在长期运行后，其概率分布不再发生变化，并且该分布与起始分布无关。

对于正则马氏链模型而言，其平稳分布可以通过不断迭代计算得到。

4-4离散参数马尔可夫链(4)-极限定理

Ci { j : i j}, 证明:设有某状态i是零常返状态，令
Ci 是相通的常返闭集，且为有限集。因
( n) p ij 1(n 1) jci
与
n ( n) lim pij 0 jci
矛盾．故S有限时无零常返状态
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卢
推论l 有限马尔可夫链没有零常返状态，也不可能全是非常返．推论2 不可约的有限马尔可夫链的状态都是正常返状态．
的极限性质
卢
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j为非常返状态或零常返状态
j为非常返状态或零常返状态
定理：若j为非常返状态或0常返状态，则对任意 i S
n (n) lim pij 0
(n) ( l ) ( n l ) ( l ) ( n l ) 证：pij fij p jj fij p jj l 1 l 1
lim p
n
(n) ij
1 . uj
推论3：设不可约、正常返、周期d的马氏链，其状态空间为C，则有
( nd ) lim pij
其中C
d 1
n
Cr
r 0
d , i, j同时属于Cr j 0, 其他
卢
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单位时间内平均返回的次数
定理：对任意状态i, j , 有 1 (k ) lim pij n n k 1
f
l 0
ij
l N 1

f ij (ld r )
卢
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f 已证
l 0
N
ij
(ld r ) p jj ((n l )d ) pij (nd r ) fij (ld r ) p jj ((n l )d )

离散时间马氏链谱隙和谱半径之间的关系

离散时间马氏链谱隙和谱半径之间的关系
离散时间马氏链的谱隙和谱半径之间存在一定的关系，具体表现为：
谱隙的大小与谱半径的大小成反比例关系。

即当谱半径越大时，谱隙越小；反之，当谱半径越小时，谱隙越大。

谱半径的大小反映了马氏链的稳定性，而谱隙的大小则反映了马氏链的快速混合性。

因此，当谱半径很大时，马氏链的稳定性很好，但混合速度比较慢；而当谱隙很大时，马氏链的混合速度很快，但稳定性较差。

在实际应用中，需要综合考虑谱隙和谱半径两个指标，以确定马氏链的性质和适用范围。

例如，在蒙特卡罗模拟中，需要保证马氏链的混合速度足够快，以提高模拟效率；而在概率图模型中，需要保证马氏链的稳定性，以保证模型的准确性和可靠性。