小波变换

小波变换

一、 小波变换原理：()f t 是平方可积函数，()t ψ是基本小波，则

称

1(,)()(),()

f a t WT a f t dt a f t t τττψψ∞*-∞-⎧⎫=⎨⎬⎩⎭=⎰ 为 ()f t 的连续小波变换，简写为(,)f CWT a τ。这里小波采用墨西

哥帽小波：2

20.5()(1)t t t e ψ-=-。

二、实验仿真： （一）、当0τ=时，()a t τψ当0.5,1,2a =时，对应的()a t τψ如图

1所示：

-8

-6

-4

-2

02

4

6

8

t/s

图1 墨西哥帽小波簇()a t τψ

由图1可以得到结论：随着a 越大，小波持续的时间越宽。

（二）、对a 取不同值的墨西哥帽小波做傅里叶变换，得到它们对应的频谱图如图2所示：

01234

5

678910

w/rad

ω

图2 墨西哥帽小波频谱图

从图2可以得到结论：随着a 成倍增大，中心频率与频率带宽都成倍减小。从图2中可以看出

2a =时，对应的中心频率约为

00.7rad ω=；1a =时，对应的中心频率约为02 1.4rad ω=；

1

2a =时，对应的中心频率约为04 2.8rad ω=。

（三）、假设基波频率00.7rad ω=，构造信号()f t ，其中

1

,020

cos(0.7),2040

()cos(1.4),4060cos(2.8),

6080

t t t f t t t t t ≤<⎧⎪≤<⎪=⎨

≤<⎪⎪≤≤⎩如图3所示：

10

20

30

4050

60

70

80

t/s

图3 ()f t 信号时域图

（四）、根据公式

(,)()f t WT a f t dt

a ττψ∞

*-∞

-⎧⎫=⎨⎬⎩⎭

⎰

，求出当

10,30,50,70s τ=即位于不同频率中心时刻点时，对应小波变换的

结果。

（1）在直流中心时刻10s τ

=时，当a 取不同的值时，()f t 和

,10()a t t a τψ*-⎧⎫=

⎨⎬⎩⎭

如图4所示：

10

20

30

4050

60

70

80

-20

2t/s a=0.5

10

20

30

4050

60

70

80

-20

2t/s a=1

10

20

30

4050

60

70

80

-20

2t/s

a=2

图4

根据公式10(,10)()f t WT a f t dt a ψ∞

*

-∞

-⎧⎫=

⎨⎬⎩⎭

⎰

，可以得到随着a 的

变化小波变换结果的幅度如图5所示：

a

图5 10s τ=时小波变换图

从图5可以看出，在10s τ=时，小波变换结果随着a 的增大而单调递增，这是由于a 越大，其中心频率越小，越接近直流信号，所以a 越大，小波变换结果的值越大。 （2）在基波中心时刻30s τ

=时，其小波变换结果幅度如图6所示：

10

20

30

40

50

60

70

80

-10

1t/s a=1

10

20

30

40

50

60

70

80

-10

1t/s a=2

10

20

30

4050

60

70

80

-10

1t/s

a=10

图6（a ）

a

图6(b) 30s

τ=时小波变换图

由图6(b)可以看出，在 2.2

a=时对应最大值，所以基波频率

00.7rad

ω=对应的 2.2

a=。在图6(b)中，在4.510

a

<<这个范围内，小波变换的结果随着a的增大而增大，这是由于随着a的增大，小波时宽增大，将信号部分直流也累计起来了，如图6(a)所示，所以在10

a=时又出现了一个峰值。

（3）在二次谐波中心点50s

τ=时，其小波变换结果幅度如图7所示：

10

20

30

4050

60

70

80

-10

1t/s a=1

10

20

30

4050

60

70

80

-10

1t/s a=3

10

20

30

4050

60

70

80

-10

1t/s

a=6.2

图7（a ）

a

图7(b) 50s τ=时小波变换图

由图7可以看出，此时在 1.1a =时对应最大值，对应50s τ

=时