高中数学 第二章 平面向量 第四节 平面向量的数量积(第二课时)示范教案 新人教A版必修4-新人教A

第二章第四节平面向量的数量积第二课时

整体设计

教学内容分析

以物体受力做功为背景引入数量积的概念，使向量数量积运算与物理知识联系起来；向量数量积与向量的长度及夹角的关系；进一步探究两个向量的夹角对数量积符号的影响及有关的性质、几何意义和运算律．

本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修4》(A版)第二章、第4节第1课时．它是平面向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具．

本节的知识结构：

学生学习情况分析

本节以力对物体做功作为背景，研究平面向量的数量积，以及对运算律的理解和平面向量的数量积的灵活应用．但是，学生作为初学者不清楚向量数量积是数量还是向量，寻找两向量的夹角又容易想当然．通过情境创设、探究和思考引导学生认知、理解并掌握相关的内容．利用向量数量积运算讨论一些几何元素的位置关系、距离和角，这些刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量学生容易混淆．利用数量积运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系解决问题，是学生学习本节内容的重点又是难点．由向量的线性运算迁移，引申到向量的乘法运算这是个很自然的过渡，深入浅出、符合学生的认知规律，也有利于明确本节课的教学任务，激发学生的学习兴趣和求知欲望．

设计思想

《高中数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式〞，转变学生的学习方式，激发学生的学习积极性，让学生乐于参与到探索性和创造性的学习活动中来，这是新课程数学教学的基本要求．《高中数学课程标准》还明确提出了提高学生的知识与技能、重视学生的学习过程与方法，培养学生的情感态度、价值观的三维目标．为此，结合本节课的教学内容，教学中注重过程、方法，注重引导学生自觉去看书，不断提出问题、研究问题，并解决问题．重视在师生，生生互动、交流的过程中渗透情感态度与价值观．

教学目标

通过师生互动、学生的自主探究：(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义；(2)掌握向量数量积的性质和运算律，会进行平面向量数量积的运算；(3)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系；(4)通过向量的线性运算及多项式乘法运算的对照，强化学生的类比思想；通过数量积的性质、运算律的灵活应用，发展学生从特殊到一般的能力，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯．

教材重点和难点

重点是平面向量的数量积的概念和性质；用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角；平面向量数量积的运算律的探究及应用．

难点是平面向量的数量积的定义及对运算律的探究、理解；平面向量数量积的灵活应用．

教学过程

情境1

问题回忆物理中“功〞的计算，它的大小与哪些量有关？结合向量的学习你有什么想法？假设一个物体在力F的作用下产生的位移为s，那么力F所做的功W等于多少？

图3

设计意图

以物理问题为背景，初步认识向量的数量积，为引入向量的数量积的概念作铺垫．

师生互动

生：W＝|F||s|cosθ(其中θ是F和s的夹角)．

师：功是一个矢量还是标量？它的大小由哪些量来确定？

显然功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定．从中我们得到一个启发：能否将功看成是两个“向量相乘〞的一种运算的结果呢？从而得出平面向量的“数量积〞的概念．情境2

1．定义向量数量积．弄清定义中涉及哪些量？它们有怎样的关系？运算结果是向量还是数量？

2．如何确定两个非零向量的数量积的符号，什么情况下值为零？

设计意图

使学生从感性到理性去认知数量积的定义．通过对概念的认识、分析和探究，使学生加深理解，并掌握相关的性质及几何意义．同时加深对投影的认识．

1．仿照物理问题建构“数学模型〞，引入“向量数量积〞的概念：两个非零向量a与b，把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作：a·b，即a·b＝|a||b|cosθ(其中θ是a与b的夹角)．|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．

图4

2．规定：零向量与任何向量的数量积为0.

3．(1)数量积运算结果的符号取决于a与b的夹角θ(θ∈[0，π])的大小；(2)两个向量的数量积是一个数量，它与两个向量的长度及其夹角有关；(3)符号a·b不能写成ab 或a×b的形式；(4)找向量的夹角时，应将两向量的起点平移到同一个点上．4．探究其性质：

(1)a⊥b⇔a·b＝0(a与b都是非零向量)；

设置情境：假设a·b＝0，那么向量a与b至少有一个是零向量．类比a，b∈R时，假设ab＝0⇔a＝0或b＝0.而且此性质在解决有关线段垂直问题时具有很好的作用．

(2)当向量a与b共线同向时，a·b＝|a||b|；当向量a与b共线反向时，a·b＝－|a||b|.特别地a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a·a＝a2(与二次根式性质：a2＝|a|进行类比)．这是求向量长度的又一重要方法．

情境3

由学生自主学习来完成书本例题1.

设计意图

通过计算巩固对数量积定义的理解，进一步引导学生对|a·b|和|a||b|的大小关系进行一般的研究比较．

师生互动

从例1容易得出性质|a·b|≤|a||b|和数量积的几何意义．

情境4

给学生2～3分钟时间，阅读教材，并对前面所学的内容及研究方法作一个归纳小结．设计意图

培养学生的阅读能力和及时进行归纳小结的学习习惯．把课堂还给学生，表达师生间的合作探究，不管是老师还是课件，都是为学生服务的，都在同步配合学生的学习和探索．

学生通过自主阅读、总结并发表自己的看法，老师可以有针对性的进行学习方法点拨，并指出对学习过程进行及时反思的重要性．

情境5

运算律和运算是紧密相联的，类比实数运算中的运算律，探究平面向量数量积的运算律．设计意图

通过类比、探究使学生得出数量积的运算律，进一步培养学生的逻辑思维和研究问题的能力．

师生互动

1．回顾实数运算中有关乘法的运算律．类比数量积的运算律，体会不同运算的运算律不尽相同，需要研究．

向量a、b、c和实数λ，那么

(1)a·b＝b·a；

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

2．对向量数量积的运算律进一步研究．

(1)a(b·c)＝(a·b)c成立吗？显然，等式左边与向量a共线，右边与向量c共线，而向量a与c不一定共线，因此结论不一定成立；

(2)由a·b＝b·c能否推出a＝c？(反例：当a＝0，b⊥c时，有a·b＝b·c＝0.但不能得到c＝0)．结合实数a，b，c(b≠0)，有ab＝bc⇒a＝c进行类比，辨析．3．老师可以通过学生的讨论进行纠错，理解不同的运算具有不同的运算律，体会到数学的法那么与法那么之间的区别与联系．同时注意利用学生的错误这一重要资源，让学生更容易找到易错点和易混点，从而更清晰、准确地掌握知识．

情境6

例2、例3、例4的教学．

设计意图

1．要求学生体会实际解题中运算律的作用，比较向量运算与多项式乘法运算的异曲同工．

2．学会利用数量积来解决有关垂直问题，体会运算律带来的优越性．

3．上面几个例题，层层递进，都是把较难的问题转化为已经解决的较易的标准问题，表达了知识和方法上的转化．