2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题含答案

数学试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

1．已知i 为虚数单位，复数2

1i

z =-，则复数z 的模为 A B ．1 C ．2 D ．1

2

2．一辆汽车做直线运动，位移s 与时间t 的关系为21s at =+，若汽车在t ＝2时的瞬时速度为12，则a ＝ A ．12

B ．13

C ．2

D ．3

3．已知复数z 满足：21z -=，则1i z -+的最大值为 A ．2 B 1C 1D ．3

4．3只猫把4只老鼠捉光，不同的捉法种数有 A ．34B ．43C ．34C D ．34A

5．函数()sin cos 1f x x x =⋅+在点(0，(0)f )处的切线方程为 A ．10x y +-=B ．10x y -+=C ．220x y -+=D ．220x y +-= 6．若函数32()f x x ax bx =++在2x =-和4x =处取得极值，则常数a ﹣b 的值为

A ．21

B ．﹣21

C ．27

D ．﹣27

7．100件产品中有6件次品，现从中不放回的任取3件产品，在前两次抽到正品的条件下第三次抽到次品的概率为

A ．

349B ．198C ．197D ．350

8．设随机变量Y 满足Y~B(4，1

2

)，则函数2()44Y f x x x =-+无零点的概率是 A ．

1116B ．516C ．31

32

D ．12 9．从不同品牌的4部手机和不同品牌的5台电脑中任意选取3部，其中手机和电脑都有的不同选法共有 A ．140种B ．84种C ．35种D ．70种

10．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数

()y f x '=的图象可能是

A B C D 第10

题

11．设5540145(1)(1)(1)x a x a x a x a =++++

+++，则024a a a ++＝

A ．﹣32

B ．0

C ．16

D ．﹣16

12．对于定义在(1，+∞)上的可导函数()f x ，当x ∈(1，+∞)时，

(1)()()0x f x f x '-->恒成立，已知(2)a f =，1

(3)2

b f =

，

1)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为

A ．a ＜b ＜c

B ．b ＜c ＜a

C ．c ＜b ＜a

D ．c ＜a ＜b

二、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．

6

1)3x

的展开式中常数项是． 14．若随机变量X~N(μ，2σ)，且P(X ＞6)＝P(X ＜﹣2)＝0.3，则P(2

＜X ≤6)＝．

15．有5本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有种不同

的借法．

16．函数1, 0

()ln , 0

x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若函数()()g x f x tx =-恰有两个不同的零点，

则实数t 的取值范围是．

三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）

已知复数22(43)()i z m m m m =-++-，其中i 为虚数单位． （1）若复数z 是纯虚数，求实数m 的值；

（2）复数z 在复平面内对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围．

18．（本小题满分12分）

已知函数()ln

=-(a∈R)．

f x x ax

（1）当a＝2时，求函数()

f x的极值；

（2）讨论函数()

f x的单调性；

（3）若对x∀∈(0，+∞)，()0

f x<恒成立，求a的取值范围．

19．（本小题满分10分）

在湖北新冠疫情严重期间，我市响应国家号召，召集医务志愿者组成医疗队驰援湖北．某医院有2名女医生，3名男医生，3名女护士，1名男护士报名参加，医院计划从医生和护士中各选2名参加医疗队．

（1）求选出的4名志愿全是女性的选派方法数；

（2）记X为选出的4名选手中男性的人数，求X的概率分布和数学期望．

20．（本小题满分12分）

物联网兴起、发展、完善极大的方便了市民生活需求．某市统计局随机地调查了该市某社区的100名市民网上购菜状况，其数据如下：

（1）把每周网上买菜次数超过3次的用户称为“网上买菜热爱者”，能否在犯错误概率不超过0.005的前提下，认为是否为“网上买菜热爱者”与性别有关？

（2）把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“网上买菜达人”，视频率为概率，在我市所有“网上买菜达人”中，随机抽取4名用户求既有男“网上买菜达人”又有女”网上买菜达人”的概率．

附公式及表如下：2

2

()=()()()()

n ad bc a b c d a c b d χ-++++

21．（本小题满分12分）

已

知

数

列

{}

n a 的首项为1，记

01122123(, )(1)(1)(1n n n n n F x n a C x a C x x a C x -=-+-+-

21111)(1)n n n n n

n n n n x a C x x a C x ---++

+-+．

（1）若数列{}n a 是公比为3的等比数列，求(1, 2020)F -的值； （2）若数列{}n a 是公差为2的等差数列，求证：(, 2020)F x 是关于x 的一次多项式．