湘教版八年级数学第二章《 三角形》知识点梳理
湘教版八年级数学 2.1 三角形(学习、上课课件)
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知2－练
方法点拨：从边的角度判断三角形的形状 , 若只 能判断出有两条边相等则此 三角形是 等腰三角形；若能 判断出三 边 相等 , 则此三角形是等边三角形 .
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知2－练
2-1.有下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②等
腰三角形也可能是直角三角形；③三角形按边分
类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相
(2)内角：如图 2.1-1， ∠ A， ∠ B， ∠ C 叫作△ ABC 的
内角 .
(3)边：如图 2.1-1，线段 AB， BC， CA 叫作△ ABC 的边 .
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知1－讲
2. 三角形的边是一条线段，既可用两个顶点的 大写字母表示，也可用边所对的顶点的小写 字母表示.
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知1－练
例1 [母题 教材 P44 练习 T1 ]如图 2.1-2，在△ ABC 中， D， E 分别是 BC， AC 上的点，连接 BE， AD 交于点 F. (1)图中共有多少个三角形？请写出来 . (2)△ BDF 的三个顶点，三条边，三个内角分别是什么？ (3)以 AB 为边的三角形有哪些？ (4)以∠ C 为内角的ABC 的三边长分别为 a，b，c，试判断△ ABC 的形状 . (1)三边长满足 (a － b)2+| b － c |=0； (2)三边长满足 (a － b)(b － c)=0.
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知2－练
解题秘方：要判断三角形的形状，可根据“是否 有边相等” 来判断，所以从条件中分 析出三边的关系是解决本题的关键 .
(1)三边长满足 (a － b)2+| b － c |=0；
解：因为 (a － b )2+| b － c |=0 ，所以 a － b =0， b － c =0. 所以 a=b=c. 所以△ ABC 为等边三角形 .
湘教版八年级数学几何知识汇总
八年级数学几何知识要点汇总上册：三角形知识小结与复习1、三角形有关概念（1）三角形、内角、外角、高、中线、角平分线（2）三角形三中线相交于三角形内一点——重心（3）三角形三高或其延长线相交于一点——垂心（4）三角形三内角平分线相交于三角形内一点——内心（5）三角形三边垂直平分线相交于三角形内一点——外心（6）三角形高、中线、角平分线都是线段2、三角形有关性质（1）三边关系：任意两边之和大于第三边：a+b>c；a+c>b；b+c>a（2）内角关系：三角形三内角和等于180o，即：∠A+∠B+∠C=180o（3）外角定理：一个外角等于与其不相邻两个内角之和。
（4）中线平分对边，角平分线平分一个角，有高就有直角。
3、命题（1）概念的定义：对概念的含义加以描述说明或作出明确规定（2）命题的定义：对一件事情做出判断的语句。
（由条件和结论组成）（3）命题的真假：正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题假命题举反例说明，真命题通过证明说明。
（4）互逆命题：条件和结论互换，不一定同真假。
（5）证明：从条件出发，通过讲道理，得出结论成立。
（6）定理：经过证明为真的命题叫做定理，由定理得出的真命题叫做定理的推论。
4、等腰三角形（1）等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
（2）等腰三角形的性质：轴对称性；三线合一；等边对等角。
（3）等腰三角形的判定：等角对等边。
（4）等边三角形的特殊性质：三个角都相等，等于60o。
（5）等边三角形的判定：有一个角为60o的等腰三角形是等边三角形。
5、全等三角形的性质与判定（1）定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形（2）性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。
全等三角形周长相等、面积相等，对应边上的中线、高相等，对应角平分线相等。
（3）判定：SAS、ASA、AAS、SSS，至少有一条边相等。
（4）综合应用：证线段相等、线平行，角相等，找它们所在三角形，寻找条件证全等，全等三角形证明不超过两次。
八年级上册数学湘教版第二章
八年级上册数学湘教版第二章一、知识点总结。
1. 三角形的相关概念。
- 三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
- 三角形的边：组成三角形的线段叫做三角形的边。
- 三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。
- 三角形的内角：三角形相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
- 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。
2. 三角形的分类。
- 按角分类。
- 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。
- 直角三角形：有一个角是直角的三角形，直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形中直角所对的边叫做斜边，夹直角的两条边叫做直角边。
- 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。
- 按边分类。
- 不等边三角形：三边都不相等的三角形。
- 等腰三角形：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
- 等边三角形：三边都相等的三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。
3. 三角形的三边关系。
- 三角形两边之和大于第三边。
- 三角形两边之差小于第三边。
- 判断三条线段能否组成三角形的方法：只需判断较短的两条线段之和是否大于最长的线段。
4. 三角形的高、中线与角平分线。
- 三角形的高。
- 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
- 三角形的三条高所在的直线相交于一点。
- 锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高为直角边，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部。
- 三角形的中线。
- 定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
- 三角形的三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心。
- 三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的三角形。
- 三角形的角平分线。
湘教版八年级上册数学 第二章 三角形 预习或复习
三角形一、三角形的概念1、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形注意：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示-------三角形可用符号“△”表示顶点是A,B,C的三角形可记作“△ABC”，读作“三角形ABC”△ABC 中，（1）三角形的顶点：A，B，C ．（2）三角形的内角（简称角）：∠A ，∠B ，∠C．【由相邻的两边组成的角】（3）三角形的边：（线段）AB，（线段）BC，（线段）AC 或c，a，b．例题：1、2、图中的三角形共有多少个？（）A、2个B、3个C、4个D、5个练习：1、图中有几个三角形？用符号表示这些三角形。
2、以BD为边的三角形有哪些？3、以A为顶点的三角形有哪些？三、三角形的边1. 三角形的三边关系:（证明所有几何不等式的唯一方法）(1) 三角形任意两边之和大于第三边:b+c>a(2) 三角形任意两边之差小于第三边:b-c<a2、应用（1）判断三条已知线段a、b、c 能否组成三角形.当 a 最长，且有b+c>a 时,就可构成三角形（2）确定三角形第三边的取值范围: 两边之差<第三边<两边之和.例题：1、任画一个△ABC，一只虫子从B点出发，沿着三角形的边爬到点C，请问他有几条路可以选？各条路的长度相同吗？2、（1）在△ABC中，若b=3，a=7，则第三边c的取值范围为____________________ （2）在△ABC中，若b=3，a=7，则其周长L的取值范围为____________________练习：1、用一根长为18cm的绳子围成一个等腰三角形（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边是4cm的等腰三角形吗？为什么？四、三角形的主要线段1、三角形的高线（任意一个三角形都有3条高）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的垂线段叫做三角形的高①角三角形三条高线都在三角形内部，且交于三角形内部一点；②角三角形三条高线有一条在三角形内部，另两条高为直角边，且三条高交于直角顶点；③角三角形三条高线有一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部，且三条高所在直线交于三角形外部一点2、三角形的角平分线（任意一个三角形都有3条角平分线）三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
湘教版八年数学上册第二章三角形复习课件(共13张PPT)
DC
A
1.如图（1）中是一个五角星，你会求
F
B
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值吗？
C
（2）图中的点A向下移到BE上时，五个角的和
（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E ）有无变化？
如图（2）说明你的结论的正确性。
G
E D
（3）把图（2）中的点C向上移动到BD上时，
AE
五个角的和（ 即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E ）
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
B
A C
ED
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 6:05:51 PM 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/82021/9/82021/9/8Sep-218-Sep-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/82021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021
湘教版数学八年级下册_《直角三角形的性质和判定》要点及典例分析
直角三角形的性质和判定
一、知识要点解析:
1.直角三角形的判定:
(1)定义:有一个角是直角的三角形是直角三角形.
(2)定理:有两个角互余的三角形是直角三角形.当然后面学了勾股定理后还可以运用勾股定理的逆定理进行判定.
注意:判定直角三角形要灵活运用定义和定理,根据具体题目具体分析.
2.直角三角形的性质:
(1)直角三角形的两个锐角互余。
（2）在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.
二.典例分析
例1、在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC中点. 如果M、N分别在线段AB、AC上移动,在移动过程中保持AN=BM,请证明△OMN是直角三角形.
分析:要证明△OMN是直角三角形,只要证明∠MON=900即可.
证明：连接OA。
AN=BM，OA=OB，∠OAC=∠B=45°
△OAN≌△OBM,得ON=OM，∠AON=∠BOM
又∠AOM+∠BOM=90°
所以∠AON+∠AOM=90°,即∠MON=90°.
所以△OMN是直角三角形.
专项练习：
1、若一个三角形三内角之比为1:2:3,则该三角形一定是( )
A、锐角三角形
B、直角三角形
C、钝角三角形
D、不能确定
2、已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm，则斜边上的中线的长是（）
A. 2 cm
B. 4 cm
C. 6 cm
D. 8 cm
参考答案:
1.B
2.A。
新湘教版八上数学：第2章三角形复习
第2章三角形知识点复习全等三角形定义：___________________________________三角形全等的条件：边边边：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SSS。
简称为“三边”边角边：如果两个三角形的两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SAS。
简称为“边夹角”角边角公：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为ASA。
简称为“角夹边”角角边：有两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为AAS。
简称为“角角边”斜边直角边定理：两个直角三角形的直角边和斜边对应相等，这两个直角三角形全等，简记为：HL。
三角形全等的应用：证明全等测量距离证明平行判定三角形全等的方法：（1）已知两边对应相等①证第三边相等，再用SSS证全等②证已知边的夹角相等，再用SAS证全等（2）已知一角及其邻边相等①证已知角的另一邻边相等，再用SAS证全等②证已知边的另一邻角相等，再用ASA证全等③证已知边的对角相等，再用AAS证全等（3）已知一角及其对边相等证另一角相等，再用AAS证全等(4)已知两角对应相等①证其夹边相等，再用ASA证全等②证一已知角的对边相等，再用AAS证全等（1）出现角平分线时，常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形 （2）出现线段的中点（或三角形的中线）时，可利用中点构造全等三角形（常用加倍延长中线）（3）利用加长（或截取）的方法解决线段的和、倍问题（转移线段）1、 典型例题例题1、如图，在∠AOB的两边OA,OB 上分别取OM=ON ，OD=OE ， DN 和EM 相交于点C ．求证：点C 在∠AOB 的平分线上．例题2、.如图，在ABC △中，40AB AC BAC =∠=，°，分别以AB AC ，为边作两个等腰直角三角形ABD 和ACE ，使90BAD CAE ∠=∠=°． （1）求DBC ∠的度数；（2）求证：BD CE =．例题3、如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O 点，12∠=∠，34∠=∠． 求证：（1）ABC ADC △≌△；（2）BO DO =．AB DC E OM NDCBAO123 4例题4、(1)如图１，以ABC △的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ，试判断ABC △与AEG △面积之间的关系，并说明理由．(2)园林小路，曲径通幽，如图２所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石 铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和 是b 平方米，这条小路一共占地多少平方米？例题5、FBD（图１）。
八年级数学上册第2章三角形所有知识点总结和常考题型练习题湘教版
三角形知识点一、三角形及其有关概念1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2、三角形的表示：三角形用符号“△"表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。
3、三角形的三边关系：（1）三角形的任意两边之和大于第三边。
（2)三角形的任意两边之差小于第三边。
（3）作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系.4、三角形的内角的关系:（1）三角形三个内角和等于180°。
（2)直角三角形的两个锐角互余.5、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.6、三角形的分类：(1)三角形按边分类:不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形（2)三角形按角分类:直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）还有一种特殊的三角形：等腰直角三角形.它是两条直角边相等的直角三角形。
7、三角形的三种重要线段：（1）三角形的角平分线：定义:在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
性质:三角形的三条角平分线交于一点。
交点在三角形的内部。
（2)三角形的中线:定义：在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
性质：三角形的三条中线交于一点,交点在三角形的内部.（3)三角形的高线：定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
性质：三角形的三条高所在的直线交于一点。
锐角三角形的三条高线的交点在它的内部；直角三角形的三条高线的交点在它的直角顶点；钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外部；8、三角形的面积:1×底×高三角形的面积=2二、全等图形：定义:能够完全重合的两个图形叫做全等图形。
湘教版数学八年级上《第2章三角形》单元复习与小结
湘教版数学八年级上《第2章三角形》单元复习与小结湘教版数学八年级上册单元复与小结第二章：三角形一、知识构建二、知识点拨考点1：三角形三边的关系三角形的任意两边之和大于第三边。
例1：已知一个三角形的两边长分别是1和5，则第三边C的取值范围是（）A．1<C<5B．4≤C≤6C．4<C<6D．1<C<6考点2：三角形的高、角平分线和中线①三角形的高是从三角形的一个顶点到所对的边的垂线段。
②三角形的角平分线是从一个角的顶点到所对边上的一点，且把这个角分成两个相等的角。
③三角形的中线是从一个顶点到所对边的中点的线段。
例2：能把一个三角形分成两个面积相等的小三角形的是（）A.中线B.高C.角平分线D.以上都不是考点3：三角形的内角和三角形的内角和等于180°。
例3、已知△ABC中，∠A=20°，∠B－∠C=40°，则∠B=120°。
考点4：三角形按角分类三角形中，三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。
例4：满足下列条件的△ABC是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？1)∠A=20°,∠B =65°，则△ABC是钝角三角形；2)∠A=90°，则△ABC是直角三角形；3)∠A:∠B:∠C=2:3:4，则△ABC是钝角三角形。
考点5：三角形的外角①定义：三角形的一边与另一边的所组成的角叫做三角形的外角；②性质：三角形的一个外角等于其它两个内角的和。
例5：在△ABC中，∠A的外角是80°，则∠B+∠C=100°。
考点6：命题与逆命题①一般地，对某一件事情做出的语句（陈述句）叫做命题，命题常写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论；②对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做逆命题。
湘教版八年级数学 2.6 用尺规作三角形(学习、上课课件)
感悟新知
知1－练
解题秘方：紧扣已知三边作三角形的方法作三角 形，关 键要找准对应关系 .
解：(1)以 点 D 为 圆 心，以 线 段 AB 的 长 为 半 径画弧，再 以 点 E 为 圆 心，以 线 段 AC 的 长 为半径画弧，两弧相交于 A1， A 2 两点(线 段 DE 上、下各一 个)，连 接 DA1， EA1，得 △ A1DE，连接 DA 2， EA 2，得△ A 2DE；
CE=
1 2
m．
解题秘方：紧扣尺规作图，利用等腰三角形的性 质和已知条件作出图形 .
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解：(1)作线段 AB=m； (2)作线段 AB 的垂直平分线MF，交 AB 于点 E； (3)在射线 EF 上截取 EC=BE=12 m，连接 BC， AC，则△ ABC 为所求作的三角形，如图 2.6-6 所示 .
图示
知1－讲
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知1－讲
特别解读 1.作图依据：全等三角形的判定方法“SSS” . 2.作图思路：三次运用 “作一条线段等于已知
线段”这一基本作图方法.
感悟新知
知1－练
例1 [母题 教材 P91 练习 T1 ]如图 2.6-2，△ ABC 是三边 各不相等的三角形， DE=BC，以 D， E 为两个顶点 作三角形，使所作三角形与△ ABC 全等，这样的 三角形最多可以作出( ) A. 2 个 B . 3 个 C. 4 个 D. 5 个
O′ A′于点 C′；(4)以点 C′为圆心，以 CD 长为半径画弧，交前
弧于点 D′；
(5)过点 D′作射线 O′ B′，则∠ A′ O′ B′
即为所求作的角，如图 2.6-10 所示 .
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知3－练
例3 [母题 教材 P93 习题 T5 ]如图 2.6-8，已知 ∠ AOB，
湘教版八年级数学上册第2章 2.1 三角形 第1课时 三角形的概念及三边关系
17. 一个等腰三角形的周长为 28 cm，其中一边长为 8 cm，则这个三角形其余两边的长是多少？
李明是这样解的：底边长为 8 cm，设腰长为 x cm， 则 2x＋8＝28，解得 x＝10. 所以这个三角形其余两边的长均为 10 cm. 你认为李明的解法对吗？如果不对，正确的解法应 是什么？
解：李明的解法不全面，漏掉了当腰长是 8 cm 时的 情况．正确的解法如下：当底边长是 8 cm 时，设腰长为 x cm，则 2x＋8＝28，解得 x＝10，符合三角形的三边关 系．所以此时其余两边的长均为 10 cm.当腰长为 8 cm 时， 设底边长为 y cm，则 8×2＋y＝28，解得 y＝12，符合三 角形的三边关系．所以此时其余两边的长分别为 8 cm， 12 cm.
解：设第三边为 a，则 2＜a＜12，当 a 为整数时，a ＝3，4，5，6，7，8，9，10，11 九个整数，所以满足 条件的三角形有 9 个，其中等腰三角形有 2 个．
15. 在△ABC 中，AC＝2，BC＝5，AB 的长是奇数． (1)求△ABC 的周长； (2)判断△ABC 的形状．
解：(1)AB＝5，周长为 12； (2)△ABC 是等腰三角形．
10. (2018·泰州)已知三角形两边的长分别为 1，5，第 三边长为整数，则第三边的长为_____5____.
11. △ABC 的三边长分别为 a，b，c，则|a＋b－c| ＋|a－b＋c|－|a－b－c|＝__3_a_－__b_－__c___.
12. (1)将一根长为 15 cm 的铁丝围成一个三角形，其 三边长(单位：cm)分别为整数 a，b，c，且 a>b>c，请写 出一组符合上述条件的 a，b，c 的值：__7_，__6_，__2____；
湘教版八年级上册第二章 三角形 三角形三边关系课件(23张PPT)
三角形的三边关系
问题导入
唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说： "白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。"诗中 隐含着一个有趣的数学问题。
县 社 会 保 险 局XX的 工作总 结及XX-工 作 计划 XX县 社 会 保 险 局XX-工 作 总结及 XX-工作 计
划
XX年 ,我 县 社 会 保险 工作在 县委、 县政府 的正确 领导下 ,在上 级主管 局和业 务部门 的 具 体 指 导 下,努力 实践"三 个代 表"重要 思想和 学习贯 彻十六 届四全 会精神,围绕省 、 市 社 保 工 作要求 和县委 、县政 府的统 一部署 ,本着为 职工、 为离退 休人员负责,减 轻 企 业 负 担 ,促进经 济发展 的职业 宗旨,通 过抓征 缴、促 清欠、 扩覆盖 ,有效 地保证 了 "两 个 确 保 "工作 的贯彻 落实到 位,圆满 完成了 上级的 工作目 标任务 ,维护了我县社
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
解析：先确定x的取值范围： 11<x<15 范围内的整数有三个： 12、13、14 考虑到三边互不相等： 13舍去 故符合条件的x值有两个：12、14 选B
反馈突破
1：（2018常德）已知三角形两边的长分别 是3和7，则第三边的长可能是 （ C ）
A 1 B 2 C 8 D 11
解：（1）不能，因为3cm+4cm<8cm； （2）不能，因为5cm+6cm=11cm； （3）能， 因为5cm+6cm>10cm.
方法归纳 判断三条线段能否组成三角形，只需说明 两条较短线段之和大于第三条线段即可.
反馈突破 1.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
【湘教版】数学八年级上第2章《三角形》期末精要复习课件
A
C
N
B
（2）线段的垂直平分线的判定 ①定义法： 垂直 且_______ 平分 一条线段的直线是线段的 _______ 垂直平分线 ②线段的垂直平分线性质定理的逆定理： 到线段两端距离相等 _____________________________ 的点 在线段的垂直平分线上. 应用： ①如图，若∠ACM=900，AC=BC，则 直线MN 是线段AB的垂直平分线 _________ ②如图，若MA=MB，NA=NB则 MN是线段AB的__________________ 垂直平分线
(2)三角形的角平分线： ______三角形的内角. 平分
A B
如图AH是高， H C 则 ________.
A
如图AM是角 1 2 平分线，则 M C B ________. A (3)三角形的中线： 如图AN是中线 B C ______三角形的边. N 平分 则 ________. (4)三角形的重心:是三角形的三条中线 ______的交点.
角相等
边
角
等边三角形 三边 三个内角相等， 任意内角的 且都等于600 平分线与它 相等 对边上的中 线、高重合
轴对称 图形 有三条 对称轴
知形 从边判定 从角判定
等腰三 角形
有两个角相等的三角形是 有两边相等 等腰三角形(等角对等边) 的三角形是 即在一个三角形中，相等的 等腰三角形 角所对的边相等
本章的学习方法思想
湘教版数学八年级上册 第2章 小结与复习
证明：∵△ACM 和△BCN 都为等边三角形，
N
∴∠1＝∠3＝60°.
M
∴∠1＋∠2＝∠3＋ ∠2，
即∠ACN＝∠MCB. ∵ CA＝CM，CB＝CN，
A
1 23
C
B
∴△CAN≌△CMB(SAS).
∴ AN＝BM.
11. 已知：△ABC 和△ECD 都是等边三角形，且点 B，C，
D 在一条直线上. BE、AC 相交于点 F，AD、CE 相交于
点 G. 求证：(1)△CAD≌△CBE；(2)△CFG是等边三角形.
证明：(1) 证明略.
E
(2) 由 (1) 知∠CDA =∠CEB.
A
∵∠ACB +∠ACE +∠DCE = 180°，
∠ACB =∠DCE = 60°，
F
G
∴∠ACE =∠DCE = 60°.
B
C
D
又∵CE = CD，∴△CEF≌△CDG (ASA).
(3) 三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.
二、命题与证明
1. 命题 (1) 定义：对某一件事情作出判断的语句 (陈述句) 叫作命题.
(2) 结构形式：命题都是由条件和结论两部分组成. (3) 表达形式：命题都可以写成“如果……，那么……”
的形式，“如果”引出的部分是条件， “那么”引出的部分是结论.
线，顶点和垂足之间的线段.三条高或其延长线相交于
一点，如图①.
中线：连接一个顶点和它的对边中点的线段.三条中线
相交于一点（重心），如图②.
角平分线：一个角的平分线与这个角的对边相交，这
个角的顶点与交点之间的线段.三条角平分线相交于一
点，如图③. 图①
湘教版八年上数学课件第二章三角形章末复习
则 CD 的长为（ A ）
A.10
B.8
C.5
D.不能确定
3. 如图，已知∠1=∠2，要说明△ABD≌△ACD，
还需从下列条件中选一个，错误的选法是（ C ）
A. ∠ADB =∠ADC B.∠B =∠C
C. DB = DC
D.AB = AC
4.已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：线段a，c，∠α.
6. 在△ABC 中，∠A : ∠B :∠C =1 : 3 : 5， 则∠A =__2_0_°__，∠B =__6_0_°__，∠C =_1_0_0_°_.
7.在△ABC 中，∠B = 24°，∠C = 104°，
则∠A 的平分线和 BC 边上的高的夹角等
于＿6＿4°＿．
B
A
C
8.如图AB ＝ CD，BC ＝ AD，则∠B 与∠D
湘教版·八年级数学上册
2
章末复习
1.一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.
2.命题有真有假. 要判断一个命题为真命题，需要进行证明，并且证明的 过程要言必有据.要判断一个命题为假命题，只需举一个反例.
3.要证明某些线段或角相等时，可以考虑转化为证明两个三角形全等.
三角形的相关概念
➢ 不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接 所组成的图形，称为三角形，可以用符号 “△”表示；
➢ 用“≌”连接的两个全等三角形，表示对应 顶点的字母写在对应的位置上；
➢ 全等三角形的性质：全等三角形的对应边、 对应角相等.
全等三角形的判定
A
A′
B
C
B′
C′
➢ 三边对应相等的两个三角形全等，简写为 “边边边”或“SSS”；
➢ 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形 全等，简写为“角边角”或“ASA”；
八年级湘教版数学知识点汇总
八年级湘教版数学知识点汇总初二数学知识点相似、全等三角形1、定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似2、相似三角形判定定理1两角对应相等，两三角形相似(ASA)3、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似4、判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS)5、判定定理3三边对应成比例，两三角形相似(SSS)6、定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似7、性质定理1相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比8、性质定理2相似三角形周长的比等于相似比9、性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方10、边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等11、角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等12、推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等13、边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等14、斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等15、全等三角形的对应边、对应角相等等腰、直角三角形1、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等2、推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边3、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合4、推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°5、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)6、推论1三个角都相等的三角形是等边三角形7、推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形8、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半9、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半八年级数学知识点数据的收集、整理与描述一.知识框架二.知识概念1.全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查.2.抽样调查：调查部分数据,根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查.3.总体：要考察的全体对象称为总体.4.个体：组成总体的每一个考察对象称为个体.5.样本：被抽取的所有个体组成一个样本.6.样本容量：样本中个体的数目称为样本容量.7.频数：一般地,我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数.8.频率：频数与数据总数的比为频率.9.组数和组距：在统计数据时,把数据按照一定的范围分成若干各组,分成组的个数称为组数,每一组两个端点的差叫做组距.按部就班数学是环环相扣的一门学科，哪一个环节脱节都会影响整个学习的进程。
第2章 三角形
知识点 命题
李白和杜甫是好朋友,这句话就是一个命题.
知识点 命题的结构、互逆命题
知识点真命题、假命题、证明与举反例
黑林错觉:平行的黑线完全是笔直而平行的,放射线会歪曲人对 线条和形状的感知,这种经典幻觉由19世纪初德国心理学家艾沃 德·黑林首先发现,故称为“黑林错觉”.
也就是说,猜测出的命题仅仅是一种猜想,未必都是真命题.
知识点 三角形的高、角平分线、中线
三角形的角平分线与角的平分线不同,前者是线段,后者是射线.
知识点 三角形的内角和、三角形按角分类
某车间生产一种如图所示的零件,按规定,横板中AB,CD的延长线相 交成85°角,由于交点不在板上,不便测量,于是工人师傅想出下面的方法: 连接AC,测得∠BAC=32°,∠DCA=65°,此时32°+65°+85°=182°,这与三 角形内角和是180°矛盾,则可得此时AB,CD的延长线相交所成的角是不 符合规定的.
知识点 三角形的稳定性
三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用,如房屋人字梁、 钢架桥等.
第2章 三角形
2.6 用尺规作三角形
知识点 已知三边作三角形
已知A,B,C三个村庄,相邻两个村庄的距离都知道,现要修建一所 希望小学,使三个村庄到学校的距离相等,确定校址时,首先要按照规 定的比例尺作出△ABC.
知识点 已知两角及其夹边作三角形
如图所模型,则利用图中①的数据,就可制成 符合规格的三角形玉片模型.
知识点 全等三角形的性质
小明用20个全等的直角三角形拼成了如图所示的宽为50 cm 的长方形图案.由图形看出,直角三角形的较短的直角边为10 cm, 较长的直角边为40 cm,则一个直角三角形的面积为200 cm2.
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湘教版八年级数学第二章《三角形》 知识汇编
姓名：
1、三角形：
定义：不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形， （1）三角形用符号“Δ”表示，顶点是A 、B 、C 的三角形，记作“ΔABC ”， 读作“三角形ABC ”。
（2）组成三角形的三条线段叫做三角形的边，
（3）∠A 、∠B 、∠C 为ΔABC 的三个内角，也称三角形的角。
2、 三角形的分类
（1）按边分类：⎪⎩
⎪⎨
⎧⎩⎨⎧等边三角形
角形只有两边相等的等腰三三角形
等腰三角形不等边
（2）按角分类：三角形 ⎪⎩
⎪⎨
⎧⎩⎨⎧钝角三角形
锐角三角形斜三角形直角三角形
·锐角三角形，即三个内角都是锐角的三角形；
·直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，常用“Rt Δ”表示直角三角形 ·钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。
3、三角形的三边关系
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
（1）判断三条线段能否组成三角形的方法：当较短两边之和大于最长边时， 可以组成三角形，否则不可以组成三角形。
（2）确定第三边取值范围的方法：第三边大于两边的差而小于两边的和。
4、三角形的三条重要线段：角平分线、中线和高线。
（1）三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点 之间的线段叫做三角形的角平分线。
（2）三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。
（3）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的 线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高。
5、三角形中三角的关系
（1）三角形内角和定理：三角形的内角和为1800。
（2）三角形外角和定理：三角形的外角和为360°
（3）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. （4）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角
6、三角形有稳定性、 四边形有不稳定性.
7、定义：对一个概念含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫做定义。
8、命题：对某件事情作出判断的语句（陈述句）叫做命题。
（1）命题由题设和结论两部分组成，常可写成“如果……那么……”的形式。
（2）正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。
（3）一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题称 为互逆命题
9、定理：经过证明为真的命题叫做定理。
区 别
相 同
角平 分线
平分内角
三条角平分线都一定在三角形内部
1、都是线段
2、都从顶点画出
3、所在直线相交
于一点
中线 平分对边
三条中线都在内部，平分三角形面积 高线 垂直于对边或其延长线
锐角三角形三条高线都在三角形内部 直角三角形其中两条恰好是直角边 钝角三角形其中两条在三角形外部
10、公理：人们长期以来在实践中总结出来的命题叫做公理。
11、等腰三角形
定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形
性质：
（1）等腰三角形的两腰相等，两底角相等
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线重合（三线合一）（3）等腰三角形是轴对称图形。
判定
（1）定义法
（2）有两角相等的三角形是等腰三角形。
12、等边三角形
定义：三边相等的三角形叫做等边三角形
性质：
（1）等边三角形的三边相等；三角相等，每个角都是60度
（2）等边三角形每个的角平分线、对边的高、对边的中线重合（三线合一）（3）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。
判定
（1）定义法
（2）三个角相等的三角形是等边三角形
（3）有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形
13、线段的垂直平分线（中垂线）
（1）垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）
（2）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
（3）到线段两端点的距离相等的点在线段垂直平分线上。
14、全等图形：两个能够重合的图形称为全等图形。
（1）全等图形的形状和大小都相同。
（2）全等图形的对应角和对应线段分别相等。
（3）全等图形的面积或周长均相等。
15、全等三角形
定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，
（1）用符号“≌”表示，读作“全等于”，对应顶点的字母写在对应的位置上（2）相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角
性质：
（1）全等三角形的对应边、对应角相等。
（2）全等三角形的对应角平分线、对应高、对应中线相等
（3）全等三角形的面积相等、周长相等
判定
（1）两边及其夹角对应相等的两三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”（2）两角及其夹边对应相等的两三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”（3）两角及其中一角的对边对应相等的两三角形全等。
“角角边”或“AAS”。
（4）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。