数理方程练习题

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数理方程习题全解

（2） z 4 4 0 ；解 z 4 4 2 4 1 2 4 cos j sin
93

2k 1 j sin 2k 1 = 2 cos 4 4
k 0,1,2,3
1 1 k 0 ： z1 2 cos j sin 2 j 1 j 4 4 2 2 3 3 1 1 k 1 ： z2 2 cos j sin 2 j 1 j 4 4 2 2 5 5 1 1 k 2 ： z3 2 cos j sin 2 j 1 j 4 4 2 2 7 7 1 1 k 3 ： z4 2 cos j sin 2 j 1 j 4 4 2 2
3 8
k k 2 8 cos j sin 2 16 2 16
3 3 8 3
k 0,1,2,3
7 7 2 cos j sin ， 2 8 cos j sin ， 16 16 16 16 9 15 15 9 2 cos j sin ， 2 8 cos j sin ； 16 16 16 16
1 3 5 5 （2） j sin cos j sin 2 2 j cos 3 3 3 3 1 3 j 2 2
4
cos j sin 4 4
4
2
cos j sin 1 j 3 5 5 cos j sin 3 3

数理方程试题及解答二

数理方程试题二一、填空：（10×2分=20分）1.边界条件2.初始状态3.定解条件.4.边值问题5.拉普拉斯方程的连续解6.狄利克莱问题7.牛曼问题8.()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΓΩ⋅-∂∂=∇dV gradv gradu dS n vudV v u 2 9.()()()0001114M M M M u M u m u M dS n r r n πΓ⎡⎤⎛⎫∂∂=--⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰10.()()()()01!21220≥++Γ-=++∞=∑n m n m x x J m n mn mm n二、选择题：（5×4分,共20分）1．A; 2. B; 3. C; 4. C; . 5. D ．三、（7分）解定解问题()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧==≤≤='=><<=''-''=.0,,0,0;0,,0,;0,0,002t l u t u l x x g u x f x u t l x u c u t t xx tt解：令()()()()()()()2,0X x T t u x t X x T t X x c T t λ''''=≠⇒==-，()()()()20,0T t c T t X x X x λλ''''+=+=由方程()()()()000X x X x X X l λ''+=⎧⎪⎨==⎪⎩解出()()sin 1,2,3,n n n X x B x n l π== 由方程()()20T t c T t λ''+=解出：()()cos sin 1,2,3,.n nn n ct n ctT t C D n l lππ''=+= -----------4分从而有：()(),cos sin sin 1,2,3,n n n n ct n ct n x u x t C D n l l l πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ 叠加起来：()()11,,cos sin sin ,n n n n n n ct n ct n x u x t u x t C D l l l πππ∞∞==⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑ 代入初始条件确定,n n C D 有：()()002sin 2sin l n l nn C x xdx l ln D x xdx n c l πϕπψπ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⎰⎰ ------------------------------------3分四、（7分）证明: ()[]()x xJ x xJ x01d d= 证明: ()()()()(),!21!32!2221222266244220 +-++-+-=k x x x x x J k k k()()().!1!21!4!32!3!22!22212127755331 ++-++⋅⋅-⋅⋅+⋅-=++k k x x x x x x J k k k---------------------4分将()x J 1乘以x 并求导数，得()[]()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++⋅-=++ !1!21!222d d d d 12223421k k x x x x x xJ x k k k()()+-++-=+221233!212k x x x k k k()()()(),!21!32!222122226624422⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-+-= k x x x x x k k k即()[]()x xJ x xJ x01d d=---------------------------------------------------------------3分五、（7分）由定解问题 ()()⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<-∞='+∞<<-∞=''=''==x x u x x u u a u t t t xx tt ,,;002ψϕ导出达朗贝尔公式。

数理方程30题

所以初边值问题的解为
u(x,t) = cos at sin x
注记：如果用系数计算公式
∫ ∫ Cn
=
2 L
L sin(ξ ) sin(nξ )dξ
0
， Dn
=
2 nπa
L 0 × sin(nξ )dξ ，（n=1，2，……）
0
会得出同样结论。
例 8．用分离变量法求解双曲型方程初边值问题
⎧u ⎪⎪⎨u
[Cn
n=1
cos
nπ L
t
+
Dn
sin
nπ L
t]sin
nπ L
x
利用初值条件，得
∑ ∑ ∞ Cn
n=0
sin
nπ L
x
=
x(L −
x) ， π L
∞
nDn
n=0
sin
nπ L
x
=
0
为计算系数，首先令ϕ(x) = x(L − x) ，显然ϕ(0) = 0,ϕ(L) = 0 ，且
ϕ′(x) = L − 2x ，ϕ′′(x) = −2
x x
+ +
C1 C2
⎡ ∂ξ
构造变换：
⎧ξ ⎩⎨η
= =
2 sin 4 sin
x x
+ +
cos cos
y y
，
⎢ ⎢ ⎢
∂x ∂η
⎢⎣ ∂x
∂ξ ⎤
∂y ∂η
⎥ ⎥ ⎥
=
⎡2 ⎢⎣4
cos cos
x x
∂y ⎥⎦
− sin y⎤ − sin y⎥⎦
所以， a12 = 8sin 2 y cos2 x − 18cos2 x sin 2 y + 8cos2 x sin 2 y = −2 cos2 x sin 2 y

数理方程资料

一．判断题（每题2分）. 1.2u u xy x yx∂∂+=∂∂∂是非线性偏微分方程.( )2. 绝对可积函数一定可做Fourier 积分变化.( )3. ()(1) 1.n n F x n Legendre F =是次正交多项式，则 ( )4.(,)0xy f x y =的解是调和函数.( )5. **12uu 已知,是线性偏微分方程(,)xx yy u u f x y +=的解，则**12uu -是0u ∆=的解.( )二．填空题（每题2分）. 1.()sin t xx yy u u u xt-+= 是____________型偏微分方程.2. 内部无热源的半径为R 的圆形薄板,内部稳态温度分布，当边界上温度为()t φ时，试建立方程的定解问题________________________.3.2x的Legendre 正交多项式的分解形式为__________________.4.某无界弦做自由振动,此弦的初始位移为()x φ,初始速度为()a x φ-,则弦振动规律为______________________________.5.[]()____________.at mL e t s =三．求解定解问题（12分）2sin ;0,0;0.t xx xx xx lt u a u A t u u u ω===-====四．用积分变换方法求解以下微分方程（每题12分，共24分）（1）1,0,0;1,1.xy x y u x y uy u===>>=+=（2）230, 1.tt t y y y e yy =='''+-='==五．某半无界弦的端点是自由的，初始位移为零，初始速度为cos x ，求弦的自由振动规律。

（12分）六．设有长为a ，宽为b 的矩形薄板，两侧面绝热，有三边的温度为零，另一边的温度分布为x ，内部没有热源，求稳定状态时板内的温度分布。

数理方程模拟试题1X

200__～200__学年第___学期《数理方程》期末模拟试卷1 题号一二三四五六总分得分一、选择题(每题只有一个正确答案，每小题4分，共28分）1、34233(,,)v v v xyv g x y z x x y z ∂∂∂+++=∂∂∂∂ 是( )偏微分方程 A 、一阶 B 、二阶 C 、三阶 D 、四阶 2、2(,)tt xx u a u x t ϕ-= (其中0>a ) 属于( )型偏微分方程 A 、抛物 B 、双曲 C 、椭圆 D 、混合 3、在用分离变量法求解定解问题200,0,0|0,|0|()t x x x x xl t u a u x l t u u u x ϕ===⎧=<<>⎪==⎨⎪=⎩时，得到的固有函数系为( )A 、,...2,1,sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n π B 、,...2,1,0,cos=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n π C 、(21)cos,1,2,...2n x n l π-⎧⎫=⎨⎬⎩⎭D 、 (21)sin,1,2,...2n x n l π-⎧⎫=⎨⎬⎩⎭4、下列方程是非线性偏微分方程的是（） A 22()()sin u u x x y 抖+=抖 B (,)u u f x y x y抖+=抖 C 22(,)(,)cos u u a x t b x t x x t 抖+=抖 D 3433(,,)v v v g x y z x x y z∂∂∂++=∂∂∂∂ 5、对Laplace 变换的性质下列式子错误的是（） A 22[sin ](Re 0)L t p p ww w =>+B []2[][]L f g L f L g p *=?C 0[()]()(Re )p L f t e F p p tt g --=>D 0000[()]()(Re Re )p t L e f t F p p p p g =->+6、在弱相等意义下，对d 函数的说法错误的是（） A ()()x x d d =- B ()x x x d = C 1()()(0)||ax x a a d d =? D ()()()()x x a a x a j d j d -=-7、给出未知函数 u 在区域Ω的边界Γ上的值0,),,(|≥Γ∈=Γt M t M u μ 的边界条件，称为第( )类边界条件。

数理方程期末试题B答案

北京交通大学2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷（B ）（参考答案）学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____学号_______________ 姓名___________ __一、计算题（共80分，每题16分）1．求下列定解问题（15分）2222201200,0,0,|,|,|0,|0.x x l t t u ua A x l t t x u M u M u u t ====⎧∂∂=+<<>⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩2．用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：（15分）2,0,0,(,0)0,(,0)0,(0,)(),lim (,)0.tt xx t x u a u x t u x u x u t t u x t φ→+∞⎧=<<+∞>⎪==⎨⎪==⎩ 3．设弦的两端固定于0x =及x l =，弦的出示位移如下图所示。

初速度为零，又没有外力作用。

求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。

[ 解 ] 问题的定解条件是1(,)(cos sin )sin n a n a n n n l l l n u x t C t D t x πππ∞==+∑由初始条件可得0, 1,2,...n D n ==222202()sin d ()sin d =sin, 1,2,...c lh n hn n lc l l c l c hl n c lc l c n C x x x x l x x n ππππ--⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦=⎰⎰4．证明在变换, x at x at ξη=-=+下，波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ，并由此求出波动方程的通解。

5．用分离变量法解下列定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂===><<+∂∂=∂∂====0|,0|0|,0|00sin sin 0002222222t t l x x l a l t uu u u t l x t x x u a t u ，，ππ [ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数，不必推导；2) 利用参数变易法。

西安邮电大学期末数理方程试题+答案

数学物理方程与特殊函数09级试题选讲一、求解定解问题22200,0,(0,0)x x lt u u a t x u u x l t xx u x ===ì¶¶=ï¶¶ï¶¶ï==<<>í¶¶ïï=ïî)()(),(t T x X t x u =)()()()(2t T x X a t T x X ¢¢=¢22)()()()(b -=¢¢=¢x X x X t T a t T 0>b 设，代入原方程得，则)()(22=+¢t T a t T b 0)()(2=+¢¢x X x X b 则，0x x lu u xx==¶¶==¶¶'(0)'()0X X l Þ==又因为得固有值问题2()()0'(0)'()0X x X x X X l b ¢¢ì+=í==î22)(ln pb =()cos 0,1,2,n n n xX x A n lp ==则固有值固有函数，数学物理方程与特殊函数09级试题选讲)()()(2=+¢t T la n t T p 2()()n a tl n T t C ep -Þ=2()01(,)cosn a tln n n x u x t C C elp p ¥-==+å从而0t ux==有因为01cosnn n x x C C lp ¥==+å所以220022[(1)1]cos 12n ln l n x l C x dx l l nl C xdx lp p --====òò2()2212(1)1(,)cos 2n a ntln l l n xu x t enlp p p¥-=--=+å数学物理方程与特殊函数09级试题选讲二、求解定解问题2222,,0(),0(),0(0)(0)t x t x u ut x t t t x ux x u x x =-=ì¶¶=-<<>ï¶¶ïï=F £íï=Y ³ïïF =Y î解：特征变换为x t x tx h =-ìí=+î2u x h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为00(),()()(),()()2222t xt x ux u x u u h x x h x h x h=-====F =Y +-Þ=F =F =Y =Y 又因为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲1212(0)()()2()(0)()2f f f f h h xx +=Y +=F 2112()()(0)2()()(0)2f f f f h h x x ì=Y -ïïÞíï=F -ïî12()()((0)(0))22()()(0)22u f f x t x tx h=F +Y -+-+=F +Y -F 则它的解为三、求解定解问题)0,(,0,3,03202022222>+¥<<-¥ïïïîïïíì=¶¶==¶¶-¶¶¶+¶¶==y x y ux u y uy x u x u y y 解：原方程的特征方程为22()23()0dy dydx dx --=13C x y +=2C x y +-=，则特征线为3x y x yx h =-ìí=+î特征变换20ux h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲12(,)(3)()u x y f x y f x y =-++即203,y y u ux y==¶==¶又因为21212(3)()3(3)()0f x f x xf x f x ì+=í¢¢-+=î则可得C x x f¢-=2149)3(C x x f ¢+=2243)(C x x f¢-=2141)(222234)(34)3(),(yx y x y x y x u +=++-=22()()C Du vv u u v d v u ds n n s ¶¶Ñ-Ñ=-¶¶òòò 四、证明平面上的格林公式其中n 为曲线的外法线向量。

数学方程式题库及答案

数学方程式题库及答案# 数学方程式题库及答案题目1：一元一次方程解下列方程：\[ 3x - 7 = 2x + 5 \]答案：首先将方程两边的同类项合并，得到 $ 3x - 2x = 5 + 7 $，简化后得到 $ x = 12 $。

题目2：一元二次方程解下列方程：\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]答案：这个方程可以通过因式分解来解，即 $ (x - 2)(x - 3) = 0 $，所以 $ x = 2 $ 或 $ x = 3 $。

题目3：二元一次方程组解下列方程组：\[ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 2y = -3 \end{cases} \]答案：使用加减消元法，将第一个方程乘以2，然后与第二个方程相加，得到 $ 5x = 11 $，解得 $ x = \frac{11}{5} $。

将 $ x $的值代入任意一个方程，解得 $ y = \frac{8}{5} $。

题目4：分式方程解下列方程：\[ \frac{2}{x} + \frac{3}{x - 1} = 1 \]答案：首先消去分母，得到 $ 2(x - 1) + 3x = x(x - 1) $，简化后得到 $ x = 1 $。

检验后发现 $ x = 1 $ 是增根，所以原分式方程无解。

题目5：线性方程组解下列方程组：\[ \begin{cases} 3x + 2y = 11 \\ 4x - y = -1 \end{cases} \]答案：使用代入法，从第二个方程解出 $ y = 4x + 1 $，然后代入第一个方程，得到 $ 3x + 2(4x + 1) = 11 $，解得 $ x = 1 $。

将 $ x $ 的值代入 $ y $ 的表达式，得到 $ y = 5 $。

题目6：不等式解下列不等式：\[ |2x - 3| < 5 \]答案：首先将不等式分为两部分，$ 2x - 3 < 5 $ 和 $ -(2x - 3) < 5 $。

数理方程习题

第三章习题
1 设y = y (x)是一条连接点A(0, a)和点B (l, b)的光滑曲线，即y = y (x) ∈ C 1 [0, l]，且y (0) = a, y (l) = b. 试建立连接A, B 两点的短程线所满足的变分问题以及等价的常微分方程边值问题，并求出它的解. 2 求解以下变分问题：设M = {v | v (x) ∈ C 1 [0, 1], v (1) = 0} 求u(x) ∈ M ，使得 J (u) = min J (v )
i=N +1
gi (φi , φ1 )H , · · ·
N +M ∑ i=N +1
)T gi (φi , φN )H .
由此可以看出通过变分原理与分片线性插值函数相结合，有限元方法从根本上克服了Galerkin方法所带来的不足. 从而使变分方法焕发了新的生命力，得到了工程与科学的很多领域的广泛认可，成为了当前解决实际问题的重要手段. 当然有关刚度矩阵的构成以及算法上的一些具体实施细节，例如区域的自动剖分，节点的有序排列等内容已超出本课程的要求，在计算方法课程中有专门介绍，在这里我们只介绍形成算法的基本原函数只能在Ω的边界∂ Ω上达 11 (强极值原理)一个定义在Ω 到它的最大和最小值. 试比较这个论断与定理4.2的差别. 提示：利用调和函数的平均值公式，通过反证法导出矛盾.
88
第三章变分方法与近似求解
通过与上面完全相仿的推导，我们得到⃗ c = (c1 , · · · cN )T 适合的代数方程组 ⃗∗ , K⃗ c=f ⃗∗ 为这里荷载向量f ⃗∗ = f ⃗− f ( N +M ∑
89
0<x<1
b. 取S N = Span{sin nπx, n = 1, · · · , 2N } 证明由Galerkin方法得到的近似解可表为 uN (x) =

方程计算题专项训练

方程计算题专项训练方程计算题是数学中的重要内容，也是高考数学必考的一部分。

掌握解方程的方法和技巧对于提高数学研究的效果至关重要。

本文将为大家提供一些方程计算题的专项训练，帮助大家提升解方程的能力。

1. 一元一次方程一元一次方程是最基础的方程，其形式为`ax + b = 0`。

解一元一次方程的关键是通过移项和化简得到方程的解。

下面是一些一元一次方程的练题：1. 解方程`2x + 3 = 7`2. 解方程`-5x - 2 = -17`3. 解方程`4x - 9 = 31`2. 一元二次方程一元二次方程是形如`ax^2 + bx + c = 0`的方程，其中`a`、`b`、`c`为常数且`a`不等于0。

解一元二次方程有多种方法，如因式分解、配方法、求根公式等。

下面是一些一元二次方程的练题：1. 解方程`x^2 + 4x + 3 = 0`2. 解方程`2x^2 - 5x - 3 = 0`3. 解方程`3x^2 + 7x + 2 = 0`3. 一元高次方程一元高次方程是指方程中含有一次以上的最高次项的方程。

解一元高次方程的方法较为复杂，可以通过因式分解、配方法、换元法等进行求解。

下面是一些一元高次方程的练题：1. 解方程`x^3 + x^2 - 6x = 0`2. 解方程`x^4 - 4x^2 + 3 = 0`3. 解方程`x^5 + 2x^3 - 3 = 0`以上是方程计算题专项训练的一些示例，希望能帮助大家熟悉解方程的方法和技巧。

在解题过程中，要注意化简、移项、求根等步骤，同时多进行练习，提高解方程的能力。

通过不断练习和掌握，相信大家可以在方程题上取得更好的成绩。

数理方程习题综合

例 1.1.1 设v=v(线x,y),二阶性偏微分方程v xy =xy 的通解。

解原方程可以写成 ð／ðx（ðv／ðy） =xy 两边对x 积分，得 v y =¢（y ）+1/2 x 2Y ,其中¢（y ）是任意一阶可微函数。

进一步地，两边对y 积分，得方程得通解为v （x,y ）=∫v y dy+f （x ）=∫¢（y ）dy+f （x ）+1/4 x 2y 2=f （x ）+g （y ）+1/4 x 2y 2其中f （x ）,g （y ）是任意两个二阶可微函数。

例1.1.2即 u(ξ,η) = F(ξ) + G(η),其中F(ξ),G(η)是任意两个可微函数。

例1.2.1设有一根长为L 的均匀柔软富有弹性的细弦，平衡时沿直线拉紧，在受到初始小扰动下，作微小横振动。

试确定该弦的运动方程。

取定弦的运动平面坐标系是O XU ,弦的平衡位置为x 轴，弦的长度为L ，两端固定在O,L 两点。

用u(x,t)表示弦上横坐标为x 点在时刻t 的位移。

由于弦做微小横振动，故u x ≈0.因此α≈0，cos α≈1,sin α≈tan α=u x ≈0,其中α表示在x 处切线方向同x 轴的夹角。

下面用微元法建立u 所满足的偏微分方程。

在弦上任取一段弧'MM ,考虑作用在这段弧上的力。

作用在这段弧上的力有张力和外力。

可以证明，张力T 是一个常数，即T 与位置x 和时间t 的变化无关。

事实上，因为弧振动微小，则弧段'MM 的弧长dx u xx xx ⎰∆++=∆21s ≈x ∆。

这说明该段弧在整个振动过程中始终未发生伸长变化。

于是由Hooke 定律，张力T 与时间t 无关。

因为弦只作横振动，在x 轴方向没有位移，故合力在x 方向上的分量为零，即T(x+x ∆)cos α’-T(x)cos α=0.由于co's α’≈1，cos α≈1,所以T(X+∆x)=T(x),故张力T 与x 无关。

数理方程试题

中国海洋大学命题专用纸
专业年级_____________学号_____姓名__________考试日期______年___月__日分数______
一、指出下列方程的类型（16分）
1、
2、
3、
4、
二、对下列二阶线性偏微分方程，试判断其所属类型（16分）
1、
2、
3、
4、
三、基于一维波动方程柯西问题的D’Alembert公式，试在x、t坐标平面上画出点（x,t）的依赖区域、区间[x1,x2]的决定区域和区间[x1,x2]的影响区域，并说明相应的含义。（12分）
四、试用特征线法求解柯西问题（20分）
五、已知一长为l的细杆，其初始温度分布为φ（x），杆的一段保持零度，另一端绝热，试给出相应的定解问题并用分离变量法求解。（20分）
六、试用Fourier变换求定解问题（16分）
（已知：）
授课
教师
命题教师或命题负责人
签字
院系负责人
签字
年月日
注：请命题人标明每道考题的考分值。

高考数学真题汇编 4：方程理试题

高考数学真题汇编 4：方程理试题
本文档将为您提供一些高考数学方程理论部分的真题试题。

以
下是一些典型的高考数学方程试题，供您参考和练。

第一部分：一元一次方程
1. 已知方程 $3x - 7 = 2x + 1$，求解此一元一次方程并给出结果。

2. 某商品的原价为$x$元，现在打七折出售，售价为630元，
求$x$的值。

3. 解方程 $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = x - 5$，给出$x$的解。

第二部分：一元二次方程
1. 求解方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$，给出所有解。

2. 若方程 $2x^2 + kx + 8 = 0$ 的解为$x = 3$ 和$x =
\frac{2}{3}$，求$k$的值。

3. 解方程 $4x^2 + 8x + 3 = 0$，给出所有解。

第三部分：其他方程
1. 解方程 $\sqrt{x} + \sqrt[3]{x} = 5$，求出所有$x$的解。

2. 若方程 $2^x + 2^{-x} = 2$ 的解为$x = 1$ 和$x = -1$，求另一组解。

3. 解方程 $2^x + 3 \cdot 2^{-x} = 3$，给出$x$的解。

以上是一些高考数学方程的典型试题。

希望这些题目对您的练和准备有所帮助。

如果需要更多相关的试题或者有其他问题，请随时告诉我。

祝您学业有成，考试顺利！。

数理方程练习题(作业)

数理方程练习题一（2009研）1. 设(,)u u x y =，求二阶线性方程20ux y∂=∂∂ 的一般解。

2. 设u f = 满足Laplace 方程22220u u x y ∂∂∂∂+=求函数u.3. 求Cauchy 问题22000(,)(0,)cos tt xx t t t u a u x t u x u x x ==⎧-=∈⨯∞⎪⎨==∈⎪⎩的解．4. 求解Cauchy 问题200cos (,)(0,)cos 010tt xx t t t u a u t x x t x x u x u x ==⎧-=∈⨯∞⎪≥⎧⎨==⎨⎪<⎩⎩5. 解在半无界问题20000(,)(0,)sin (0)0(0)tt xx t t t x u a u x t u x u x x u t +===⎧+=∈⨯∞⎪⎪==≤≤∞⎨⎪=≥⎪⎩6. 求解二维Cauchy 问题222200(,,)(0,)0()(,)tt t t t u a u x y t u u x x y x y ==⎧-∆=∈⨯∞⎪⎨==+∈⎪⎩求下列函数的Fourier 变换1 0()00axe xf x a x -⎧≥=>⎨<⎩2 1||()0||a x a x x a≤⎧∏=⎨>⎩3 2()x f x e -=7. 磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆，它作纵振动．研究两端自由棒的自由纵振动，即定解问题。

200,0(,0)(),(,0)()0(0,)(,)00tt xx t xx u a u x l t u x x u x x x l u t u l t t ϕψ⎧-=<<>⎪==≤≤⎨⎪==≥⎩8. 散热片的横截面为矩形。

它的一边y=b 处于较高温度V ，其他三边b=0，x=0，x=a 则处于冷却介质中因而保持较低的温度v 求解这横截面上的稳定温度分布Ux,y)即定解问题0;0(0,),(,)0(,0),(,)()0xx yy u u x a y b u y v u a y vy b u x v u x b V x x a +=<<<<⎧⎪==<<⎨⎪==<<⎩9. 求解定解问题2000cos sin 0,00,0ttxx x x x x l t t t x u a u A t lu u u u πω====⎧-=⎪⎪⎪==⎨⎪'==⎪⎪⎩10. 求解定解问题200sin 0,00t xx x x x l t u a u A tu u u ω===⎧-=⎪⎪==⎨⎪=⎪⎩ 11. 弦的x=0端固定而x=l 端受迫作谐振动sin A t ω，则弦的初始位移和初始速度都是零，求弦的振动。

数理方程试题

数理方程试题一．判断题（每题2分）.1. 2u u x y x y x+=是非线性偏微分方程.( )2. 绝对可积函数一定可做Fourier 积分变化.( )3. ()(1) 1.n n F x n Legendre F =是次正交多项式，则 ( )4. (,)0xy f x y =的解是调和函数.( )5. **12u u 已知,是线性偏微分方程(,)xx yy u u f x y +=的解，则**12u u -是0u ?= 的解.( )二．填空题（每题2分）.1. ()sin t xx yy u u u xt -+= 是____________型偏微分方程.2. 内部无热源的半径为R 的圆形薄板,内部稳态温度分布，当边界上温度为()t φ时，试建立方程的定解问题________________________.3. 2x 的Legendre 正交多项式的分解形式为__________________.4.某无界弦做自由振动,此弦的初始位移为()x φ,初始速度为()a x φ-,则弦振动规律为______________________________.5. []()____________.at m L e t s = 三．求解定解问题（12分）20sin ;0,0;0.t xx xx xx lt u a u A t u u u ω===-====四．用积分变换方法求解以下微分方程（每题12分，共24分）（1）1,0,0;1,1.xy x y u x y uy u===>>=+=（2） 00230, 1.tt t y y y e y y =='''+-='==五．某半无界弦的端点是自由的，初始位移为零，初始速度为cos x ，求弦的自由振动规律。

（12分）六．设有长为a ，宽为b 的矩形薄板，两侧面绝热，有三边的温度为零，另一边的温度分布为x ，内部没有热源，求稳定状态时板内的温度分布。

数理方程习题

uyy + uzz = 0的解; (3) un (r, θ) = rn cos(nθ)), rn sin(nθ)) (n = 0, 1, 2, · · · )是拉普拉斯方程urr +
1 r ur 1 u r2 θθ
+
= 0的解. ut = −uxx , u(x, 0) = 1,
10. 说明定解问题
− auxx = 0的解.
((x, y ) ̸= (0, 0)), eax cos(ay ), eax sin(ay )均是二维 ((x, y, z ) ̸= (0, 0, 0))是三维拉普拉斯方程uxx +
拉普拉斯方程uxx + uyy = 0的解; (2) u(x, y, z ) = √
1 x2 + y 2 + z 2
证. (方法一) 极坐标系与直角坐标系之间的变换关系为 x = r cos θ, 或者为 r = (x2 + y 2 ) 2 , 于是 ∂r x = = cos θ, ∂x r ∂θ y sin θ =− 2 =− , 2 ∂x x +y r 从而 ∂u ∂r ∂u ∂θ ∂u ∂u sin θ ∂u = + = cos θ − , ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂r ∂θ r ∂u ∂u ∂r ∂u ∂θ ∂u ∂u cos θ = + = sin θ + , ∂y ∂r ∂y ∂θ ∂y ∂r ∂θ r ∂r y = = sin θ, ∂y r ∂θ x cos θ = 2 = . 2 ∂y x +y r
习题1
1. 对下列偏微分方程, 指出它的阶, 并指出它是线性的、拟线性的还是非线性的. 若是线性的, 再指出它是齐次的还是非齐次的. (1) u3 x + 2uuy = xy ; (2) uuy − 6xyux = 0; (3) uxx − x2 uy = sin x;

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第一部分分离变量法一、(1) 求解特征值问题(2) 验证函数系关于内积正交，并求范数二、用分离变量法求解定解问题的解的表达式，写出具体的分离变量过程. 进一步，当时，求和时的值.三、（方程非齐次的情形）求定解问题四、（边界非齐次的情形）求定解问题五、（Possion方程）求定解问题六、求定解问题：注意：1、考试只考四种边界条件，即还有以下三种：2)3)4)2、以上均为抛物型方程，还可以考双曲型方程（相应的初值条件变为两个）和椭圆型方程（无初值条件）；3、考试中除特别要求（如以上的第二题）外，不要求必须用分离变量法、特征函数法等方法求解，你可以自己选择方法（如上面的第三题）可以用Laplace 变换求解。

第二部分积分变换法一、请用下面三种方法求解无穷限波动问题()()2222200,, 0,,t t u u a x t t x u x x u x x t ϕψ==⎧∂∂=-∞<<∞>⎪∂∂⎪⎪=-∞<<∞⎨⎪∂⎪=-∞<<∞∂⎪⎩ (1) 用积分变换法推导达朗贝尔公式(2) 用特征线法推导达朗贝尔公式 (3) 用降维法推导达朗贝尔公式二、用积分变换法求解定解问题22301,1, 0,1cos ,0y x u x y x y x y u x x u y y ==⎧∂=>>⎪∂∂⎪⎪=≥⎨⎪=>⎪⎪⎩注意：只考应用Fourier 变换和Laplace 变换求解方程的问题第三部分特征线问题一、判断方程的类型.二、从达朗贝尔公式出发，证明在无界弦问题中(1) 若初始位移()x ϕ和初始速度()x ψ为奇函数，则(),00u t = (2) 若初始位移()x ϕ和初始速度()x ψ为偶函数，则(),00x u t = 三、请用下列方法求解定解问题(1) 用特征线法求解 (2) 用积分变换法求解第四部分 Legendre 多项式一、将()2f x x =在区间()1,1-内展成勒让德多项式的级数二、在半径为1的球内求调和函数，使1321cos r u θ==+（提示：边界条件仅与θ有关，解也同样）第五部分 Green 函数20、证明：()()0lim x x εεδρ→=（弱），其中 ()1,20,x x x εερεε⎧<⎪=⎨⎪≥⎩21、证明：()sin limN Nxx Nxδ→+∞=（弱） 22、证明：当时，弱收敛于23、求()()0x δξξπ-<<在()0,π上的余弦级数，并证明该级数若收敛于()x δξ- 24、求()()0x δξξπ-<<在()0,π上的正弦级数，并证明该级数若收敛于()x δξ-赠送相关资料考试答题的技巧拿到试卷之后，可以总体上浏览一下，根据以前积累的考试经验，大致估计一下试卷中每部分应该分配的时间。

数学方程解法单元测试题

数学方程解法单元测试题1. 解一元一次方程：a) 2x + 5 = 17b) 3(x - 4) = 21 - x2. 解一元二次方程：a) x^2 + 5x + 6 = 0b) 2x^2 + 3x - 5 = 03. 解一元三次方程：a) x^3 - 2x^2 + 3x = 0b) x^3 + 4x^2 - 9x = 124. 解二元一次方程组：a) 2x + y = 10x - y = 2b) 3x - 2y = 54x + y = 25. 解二元二次方程组：a) x^2 + y^2 = 25x - y = 1b) 2x^2 + 3y^2 = 22x + 2y = 56. 解三元一次方程组：a) x + y + z = 6x - y + 2z = 12x + y - z = 2b) 2x + y + z = 9x - y + 3z = 10x + 2y - z = 117. 解三元二次方程组：a) x^2 + y^2 + z^2 = 29 x + y - z = 2x - y + z = 4b) 2x^2 + y^2 + z^2 = 22 x - 2y + 3z = 73x + y + z = 88. 解多元二次方程组：a) x^2 + y^2 + z^2 = 14 x + y + z = 6x - y + 2z = 12x + y - z = 2b) x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = 50x + y + z - w = 10x - y + z + w = 4x + y - z + w = 6注：以上为测试题例示，实际题目在不同学校和教材中可能有所差异。

请根据具体教材和学校要求进行解答。

为了方便阅读，下面将按题号逐一给出答案。

答案：1a) 解：将2x + 5 = 17两边同时减去5，得到2x = 12，再将2x除以2，得到x = 6。

1b) 解：将3(x - 4) = 21 - x展开得到3x - 12 = 21 - x，将x移到等号右边得到4x = 33，再将4x除以4，得到x = 33/4。

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