用几何画板探究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
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用几何画板探究二次函数
c bx ax y ++=2的 图象和性质
资料编号:202211051045
在探究二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象及其性质时,我们可以利用配方法把一般式化为顶点式进行探究,配方过程如下:
c a b a b x a b x a c x a b x a c bx ax y +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=2222222
44 a b ac a b x a 44222
-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-= ∴二次函数()02≠++=a c bx ax y 的顶点式为a b ac a b x a y 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,其图象的对称轴为直线a b x 2=,顶点坐标为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-a b ac a b 44,22.当a b x 2=时,函数取得最值,最值为a b ac y 442-=:当0>a 时,a
b a
c y 442
min -=;当0 1.打开几何画板,单击“绘图”,选择“定义坐标系”,单击“点工具”,在x 轴上任意作出一点A ,选中点A 和x 轴,依次单击“构造”、“垂线”,作出x 轴的垂线.单击“点工具”,在x 轴上方的垂线上任取一点B ,在x 轴下方的垂线上任取一点 C .选中点B 、C ,依次单击“构造”、“线段”,作出线段BC .选中垂线BC 并隐藏.单击“点工具”,在线段BC 上任取一点,标签设为a .选中点a ,依次单击“度量”、“纵坐标”,量出点a 的纵坐标.选中点a 纵坐标的度量值,右单击,选择“度量值的标签”,在“标签”中输入a .如图1所示.单击确定. 2.用同样的方法制作参数c b ,.依次单击“绘图”、“隐藏网格”,如图2所示. 3.依次单击“绘图”、“绘制新函数”,在弹出的对话框中依次输入“a 的值”、“*”、“x ”、“∧”、“2”、“+”、“b 的值”、“*”、“x ”、“+”、“c 的值”,如图3所示.单击确定,作出函数()c bx ax x f ++=2的图象.如图4所示. 4.选中函数的图象,修改线型为“中等”.选中函数解析式,右单击,选中“函数的标签”,在“标签”中输入“y ”,如图5所示.单击“确定”. 5.单击“点工具”,在抛物线上任取一点P ,选中点P 和x 轴,依次单击“构造”、“平行线”,交抛物线于另一点Q .双击点P ,选中点Q ,依次单击“变换”、“缩放”,设置“固定比”为“1/2”,如图6所示.单击“确定”,作出线段PQ 的中点'Q . 6.选中直线PQ、点P、点Q并隐藏,选中点'Q和x轴,依次单击“构造”、“垂线”,作出抛物线的对称轴.选中对称轴,修改线型为“细线/虚线”,颜色为红色.选中点'Q并隐藏.如图7所示. 7.单击抛物线与y轴的交点处,得到点M.选中点M,依次单击“度量”、“纵坐标”,量出点M的纵坐标.如图8所示. 8.选中点a,修改点的颜色为浅蓝色;选中点b,修改点的颜色为粉红色;选中点c,修改点的颜色为浅绿色.如图8所示.经此一步,作图完成. 课件探索 对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,课件设置了三个参数c b a ,,,通过拖动点c b a ,,,使这三个参数可以在一定范围内变化,以观察函数图象的变化与这三个参数之间的关系. 探究参数a 对函数图象的影响 （1）拖动点a 在线段AB 上移动,此时0>a ,观察函数图象的变化,不难发现函数图象开口_________,且a 的值越小,函数图象的开口越_________; （2）拖动点a 在线段AC 上移动,此时0 对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,当0>a 时,函数图象开口_________,当0 探究参数b a ,对函数图象的影响 在由二次函数的一般式化为顶点式的过程中,我们得到函数图象的对称轴为直线a b x 2-=,这说明抛物线的对称轴与b a ,有着直接的关系,同时参数b a ,的改变也必将影响抛物线的变化.我们来实际操作一下. （3）把点a 移动到线段AB 上,此时0>a ,拖动点b 在线段EF 上移动,可以发现:当点b 在线段DE 上移动,即0>b 时,抛物线的对称轴在y 轴的左侧;当点b 在线段DF 上移动,即0