微专题8 数列中的恒成立问题

微专题8 数列中的恒成立问题
问题背景
恒成立问题是高考中的热点问题，在函数中出现得较多，而数列是一种特殊的函数，解决问题的很多方法与函数相似，在近几年的各地高考试题中，以数列为载体的恒成立问题，立意更高，综合性更强，值得我们去研究和关注.
高考命题方向：
1.利用函数及不等式研究最值；
2.利用单调性（作差、作商）研究最值.
思维模型
说明：
1.解决方案及流程
①求数列的通项公式，可用公式法转化成等差或等比数列求通项，有时可用方程组方法转化成研究递推关系，直接求不出通项公式时，可以退一步先研究n S 再求n a ；
②分离变量，将问题转化成()a f n ≥恒成立()max a f n ⇒≥或()a f n ≤恒成立
()min a f n ⇒≤；
③利用单调性（导数、性质、作差、作商、夹逼法）或不等式等方法求数列的最值；所谓导数法即转化成研究对应的函数，或根据数列单调性的定义利用作差、作商法转换成与0和1的比较，或用夹逼法11,,k k k k a a a a +-≥⎧⎨≥⎩或11,,
k k k k a a a a +-≤⎧⎨≤⎩求出最值；
④转化成解不等式问题或方程问题（等式恒成立问题要注意等式两边的和谐统一）.
2.失误与防范
①注意定义域；数列是一种特殊的函数 ，定义域是自然数集或它的子集；
②利用单调性作差时注意项数的变化，从n 变化至1n +注意增加和减少的项数； ③注意求最值时等号能否取得（比如n 若是偶数，从2n =开始等，做完后对端点进行检验）；
④解不等式时遗漏讨论，（比如公比为1的讨论()1n
-的n 的奇偶性的讨论）.
问题解决
一、典型例题 在正数数列{}()*
n a n N ∈中，n S 为{}n a 的前n 项和，若点(),n n a S 在函数21c x y c -=-的图象上，其中c 为正常数，且1c ≠
.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）是否存在正整数M ，使得当n M >时，
13521101n a a a a a -⋅⋅⋅>恒成立？若存在，求出使结论成立的c 的取值范围和相应的M 的最小值；
（3）若存在一个等差数列{}n b ，对任意*n N ∈都有12132n n n b a b a b a --+++⋅⋅⋅+
1215313
n n n b a b a n -+=--成立，求{}n b 的通项公式及c 的值. 二、自主探究
1.已知常数0λ≥，设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：11a =，()()*11131n n n n n n
a S S a n N a λ+++=++∈. （1）若0λ=，求数列{}n a 的通项公式；
（2）若112
n n a a +<，对一切*n N ∈恒成立，求实数λ的取值范围. 2.已知数列{}n a 满足()2*1211,3,322,n n n a x a x S S S n n n N +-==++=+≥∈，且{}n a 的前n 项和为n S .
（1）若数列{}n a 为等差数列，求数列的通项n a ；
（2）若对任意*1,n n n N a a +∈<恒成立，求实数x 的取值范围.。