范德蒙行列式不等于0充要条件
[整理版]范德蒙行列式及其应用
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范德蒙行列式及其应用摘要:在高等代数中，行列式无疑是一个重点和难点。
它主要应用于高等代数理论，作为一种特殊的行列式——范德蒙行列式不仅具有特殊的形式，而且有非常广泛的应用.本文主要探讨范德蒙行列式在向量空间理论，线性变化理论，多项式理论中以及行列式计算中的应用.关键词:范德蒙行列式；多项式；线性变换一． 范德蒙行列式定义及性质1.范德蒙行列式的定义定义1 关于变元1x ,2x n x 的n 阶行列式122221211112111n n n n n n nx x x D x x x x x x ---=(1)叫做1x ，2x n x 的n 阶范德蒙行列式，记作n V （1x ,2x ,…n x ）.2.我们用定理证明范德蒙德行列式已知在错误！未找到引用源。
级行列式中，第错误！未找到引用源。
行（或第错误！未找到引用源。
列）的元素除错误！未找到引用源。
外都是零，那么这个行列式等于错误！未找到引用源。
与它的代数余子式错误！未找到引用源。
的乘积错误！未找到引用源。
，在错误！未找到引用源。
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中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的错误！未找到引用源。
倍得错误！未找到引用源。
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根据上述定理错误！未找到引用源。
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提出每一列的公因子后得错误！未找到引用源。
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阶范德蒙行列式，用错误！未找到引用源。
表示，则有错误！未找到引用源。
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是一个n-2阶范德蒙行列式，如此继续下去，最后得错误！未找到引用源。
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1.3 克莱姆法则(1)
教学要求
1 2 3 了解克莱姆法则的条件和结论； 认识范得蒙行列式； 熟悉掌握计算行列式的几种常用方法。
教学过程
一、克莱姆法则 条件：1）必须是 n 个方程，n 个未知数； 2）系数行列式 D 一定不等于零。 结论：1）线性方程组有唯一解； 2）唯一解为 x1
D1 D , x2 2 , D D
n 1 x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn 1 x3
n 1 xn
Dn ( x j xi )
i 1 j i 1
n
n
3 掌握范德蒙行列式的计算方法。 从第 n 行开始，后行减去前行的 x1 倍，再用行列式按行展开定理，提出每列元素的公 因式，找出递推规律，以此类推。 练习：书 P26 6 题（4） ，8 题（3） 。
a1n xn ann xn
a1n ann
D1 D , x2 2 , D D
由克莱姆法则，得到课本上第 24 页的定理 4、定理 5。 注意： 1）克莱姆法则的作用是为我们推导线性方程组的求解理论提供理论依据； 2）求解线性方程组时，我们很少用克莱姆法则； 3）在第一章讲克莱姆法则，告诉我们，行列式在求解线性方程组时的应用。
齐次线性方程组有非零解的充要条件 非齐次线性方程组有唯一解、无解和有无穷多解的充要条件
大连海事大学数学系 1
练习：书 P28
10 题、11 题、12 题。
二、范德蒙行列式 1 认识范德蒙行列式；
1 x1 Dn x
2 1
1 x2 x
2 2
1 x3 x
2 3
1 xn
2 xn
x1n 1
2 知道范德蒙行列式的结果；
大连海事大学数学系
范德蒙行列式的相关应用讲解
范德蒙行列式的相关应用（一）范德蒙行列式在行列式计算中的应用 范德蒙行列式的标准规范形式是：1222212111112111()n n n i j n i j n n n nx x x D x x x x x x x x ≥>≥---==-∏根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式包括一些非范德蒙行列式利用各种方法将其化为范德蒙行列式，然后利用范德蒙行列式的结果，把它计算出来。
常见的化法有以下几种：1.所给行列式各列（或各行）都是某元素的不同次幂，但其幂次数排列与范德蒙行列式不完全相同，需利用行列式的性质（如提取公因式，调换各行（或各列）的次序，拆项等）将行列式化为范德蒙行列式。
例1 计算222111222333nn n nD n n n =解 n D 中各行元素都分别是一个数自左至右按递升顺序排列，但不是从0变到n r -。
而是由1递升至n 。
如提取各行的公因数，则方幂次数便从0变到1n -.[]21212111111222!!(21)(31)(1)(32)(2)(1)13331n n n n D n n n n n n nn n ---==-------!(1)!(2)!2!1!n nn =--例2 计算1111(1)()(1)()1111n n n n n n a a a n a a a n D a a a n ---+----=--解 本项中行列式的排列规律与范德蒙行列式的排列规律正好相反，为使1n D +中各列元素的方幂次数自上而下递升排列，将第1n +列依次与上行交换直至第1行，第n 行依次与上行交换直至第2行第2行依次与上行交换直至第n 行，于是共经过(1)(1)(2)212n n n n n ++-+-+++=次行的交换得到1n +阶范德蒙行列式：[][](1)21111(1)211111(1)(1)()(1)()(1)(1)(2)()2(1)((1))!n n n n n n n nn n nk aa a n D a a a n a a a n a a a a a n a a a a n a n k ++---+=--=-----=--------------=∏ 若n D 的第i 行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含相同分行（列）；且n D 中含有由n 个分行（列）组成的范德蒙行列式，那么将n D 的第i 行（列）乘以-1加到第1i +行（列），消除一些分行（列）即可化成范德蒙行列式： 例3 计算1234222211223344232323231122334411111sin 1sin 1sin 1sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin D +Φ+Φ+Φ+Φ=Φ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+Φ解 将D 的第一行乘以-1加到第二行得：123422221122334423232323112233441111sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin ΦΦΦΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+Φ再将上述行列式的第2行乘以-1加到第3行，再在新行列式中的第3行乘以-1加到第4行得：12342222141234333412341111sin sin sin sin (sin sin )sin sin sin sin sin sin sin sin i j j i D ≤<≤ΦΦΦΦ==Φ-ΦΦΦΦΦΦΦΦΦ∏例4 计算211122222111111111nnnn nnx x x x x x D x x x ++++++=+++ （1）解 先加边，那么22111111222222222210001111111111111111111n n nn n n n nnnnnx x x x x x D x x x x x x x x x x x x ---+++=+++=+++ 再把第1行拆成两项之和，2211111122111120001111nnn n nnnnnnx x x x x x D x x x x x x =-11111112()(1)()()[2(1)]nnk j i k j j k ni j k nnnk j i i j k ni i x xx x x x x x x x x ≤<≤=≤<≤≤<≤===----=---∏∏∏∏∏∏2.加行加列法各行（或列）元素均为某一元素的不同方幂，但都缺少同一方幂的行列式，可用此方法： 例5 计算2221233312121113n n nnn nx x x D x x x x x x =解 作1n +阶行列式：122222121333312121111n nn nnnn n nz x x x z x x x D z x x x z x x x +==1()()ni j k i l k j nx z x x =≤<≤--∏∏由所作行列式可知z 的系数为D -，而由上式可知z 的系数为：211211(1)()()nn n j k i n j k li x x x x x x -=≥>≥--∑∏通过比较系数得：1211()()nn j k i n j k li D x x x x x x =≥>≥=-∑∏ 3.拉普拉斯展开法运用公式D =1122n n M A M A M A ++来计算行列式的值：例6 计算111111122122111000010010000100100001n n n n n n n n nnx x y y x x D y y x x y y ------=解 取第1，3，21n -行，第1，3，21n -列展开得： 11111111222211111111n n n n n n nn nnx x y y x x y y D x x y y ------==()()j i j i n j i lx x y y ≥>≥--∏4.乘积变换法 例7 设121(0,1,22)nk k k k k ni i s x xx x k n ==+++==-∑，计算行列式1112122n n n nn s s s s s s D s s s ---=解11121111222111nnn iii i nnn n iiii i i nnnn n n ii i i i nxxxxxD xxx -=====--====∑∑∑∑∑∑∑∑211111221222222122111122111111()n n n nn n n n nnnnj i l i j nx x x x x x x x x x x x x xxx x x x x -----≤<≤==-∏例8 计算行列式000101011101()()()()()()()()()n n n n n n n n nnnn n n n a b a b a b a b a b a b D a b a b a b ++++++=+++解 在此行列式中，每一个元素都可以利用二项式定理展开，从而变成乘积的和。
知识点总结高等代数
第二章行列式知识点总结一行列式定义1、n 级行列式111212122212n n ij nn n nna a a a a a a a a a =1等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212n j j nj a a a 2的代数和,这里12n j j j 是一个n 级排列;当12n j j j 是偶排列时,该项前面带正号；当12n j j j 是奇排列时,该项前面带负号,即：1212121112121222()1212(1)n n nn n j j j ij j j nj nj j j n n nna a a a a a a a a a a a a τ==-∑;2、等价定义121212()12(1)n n ni i i ij i i i n ni i i a a a a τ=-∑和121211221212()()(1)n n n n n ni i i j j j ij i j i j i j ni i i j j j a a a a ττ+=-∑和3、由n 级排列的性质可知,n 级行列式共有!n 项,其中冠以正号的项和冠以负号的项不算元素本身所带的负号各占一半;4、常见的行列式1上三角、下三角、对角行列式 2副对角方向的行列式 3范德蒙行列式：二、行列式性质1、行列式与它的转置行列式相等;2、互换行列式的两行列,行列式变号;3、行列式中某一行列中所有的元素都乘以同一个数,等于用这个数乘以此行列式;即：某一行列中所有的元素的公因子可以提到整个行列式的外面;4、若行列式中有两行成比例,则此行列式等于零;5、若某一行列是两组数之和,则这个行列式等于两个行列式之和,而这两个行列式除这一行列以外全与原来行列式的对应的行列一样;6、把行列式某一行列的各元素乘以同一数然后加到另一行列对应的元素上,行列式不变;三、行列式的按行列展开1、子式1余子式：在n 级行列式ij D a =中,去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后,余下的n-1级行列式称为ij a 的余子式,记作ij M ;2代数余子式：(1)i j ij ij A M +=-称为ij a 的代数余子式;3k 级子式：在n 级行列式ij D a =中,任意选定k 行和k 列(1)k n ≤≤,位于这些行列交叉处的2k 个元素,按原来顺序构成一个k 级行列式M,称为D 的一个k 级子式;当()k n <时,在D 中划去这k 行和k 列后余下的元素按照原来的次序组成的n k -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式;2、按一行列展开1行列式任一行列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值,即 按第i 行展开1122(1,2,,);i i i i in in D a A a A a A i n =+++= 按第j 列展开1122(1,2,,);j j j j nj nj D a A a A a A j n =+++=2行列式某一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等零,即11220();i j i j in jn a A a A a A i j +++=≠或11220,().i j i j ni nj a A a A a A i j +++=≠3、按k 行k 列展开拉普拉斯定理：在n 级行列式中,任意取定k 个行k 列(11)k n ≤≤-,由这k 行k 列元素组成的所有的k 级子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式的值; 4、其他性质1设A 为n 阶方阵,则A A '=； 2设A 为n 阶方阵,则n kA k A =；3设,A B 为n 阶方阵,则AB A B =,但A B A B ±≠±； 4设A 为m 阶方阵,设B 为n 阶方阵,则00A A AB BB*==*,但A B A B ±≠±;5行列式的乘法定理：两个n 级行列式乘积等于n 级行列式四、行列式的计算1、计算行列式常用方法：定义法、化三角形法、递推法、数学归纳法、拉普拉斯定理等等;具体计算时需要根据等到式中行或列元素的特点来选择相应的解题方法;方法一：递推法分为直接递推法和间接递推法;用直接递推法的关键是找出一个关于1n D -的代数式来表示n D ,依次从1234n D D D D D →→→→,逐级递推便可以求出n D 的值;方法二：数学归纳法;第一步发现和猜想；第二步证明猜想的正确性;第二步的关键是首先要得到n D 关于1n D -和2n D -的递推关系式;方法三：加边法;加边法是将所要计算的n 级行列式适当地添加一行一列或m 行m 列得到一个新的n+1或m+1级行列式,保持行列式的值不变,但是所得到的n+1或m+1级行列式较易计算;其一般做法如下：11111111111100n nn n n n n a a a a a a a a a a =或111111111111100nn nn n n a a b a a a a b a a =特殊情况取121n a a a ===或121n b b b ===;方法四：拆行列法;将所给的行列式拆成两上或若干个行列式之和,然后再求行列式的值;拆行列法有两种情况：一是行列式中有某行列是两项之和,可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行列没有两项和形式,这时需作保持行列式值不变,使其化为两项和;方法五：析因子法;如果行列式D 中有一些元素是变数x 或某个参变数的多项式,那么可以将行列式D 当作一个多项式()f x ,然后对行列式()f x 实行某些变换,求出()f x 的互素的一次因式,使得()f x 与这些因式的乘积()g x 只相差一个常数因子c,根据多项式相等的定义,比较()f x 与的()g x 某一项系数,求出c 值,便可求得()D cg x =;2、行列式计算中常用的类型：类型一：“两条线”型行列式非零元分布在两条线上,例如,*等等;注：“两条线”型行列式一般采取直接展开降阶法计算,或用拉普拉斯定理展开,降阶后的行列式或为三角形行列式,或得到一个递推公式; 类型二：“三条线”行列式非零元分布在三条线上; 1“三对角”行列式,;注：“三对角”行列式可以按如下方法进行求解;首先得到一个一般的递推公式12n n n D pD qD --=+,然后可以用以下两种方法之一求出n D 的表达式：先计算123,,D D D 等,找出规律进行猜想,然后再用数学归纳法进行证明;间接递推法：借助于行列式中元素的对称性,交换行列式构造出关于n D 和1n D -的方程组,从而消去1n D -就可解得n D ;2“爪型”行列式;注：“爪型”行列式可以按行列提取公因子,然后化为上下三角形行列式进行求解;3Hessenerg型行列式;类型三：各行列元素之和相等或多数相等仅个别不相等的行列式; 注：行加法或列加法再化为三角形行列式进行求解;类型四：除主对角线外其余元素相同或成比例型行列式; 注：拆行列法或再结合其他方法进行求解; 类型五：可利用范德蒙行列式计算的行列式; 类型六：其他形式行列式;五、克莱姆法则1、克莱姆法则：如果含有n 个未知量的n 个方程的线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数行列式不等于零,即111110nn n a a D a a =≠, 则方程组有唯一解： 其中(1,2,)j D j n =是把系数行列式D 中第j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n 级行列式;2、含n 个未知量的n 个方程的齐次线性方程组111122121122221122000n n n nn n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩只有零解的充要条件是系数行列式0D ≠；有非零解的充要条件是系数行列式0.D =。
浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应
分类号：单位代码： 106 密级：一般学号：本科毕业论文（设计）题目：浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应用专业：数学与应用数学姓名：王昆指导教师：张庆祥职称：教授答辩日期：二〇一〇年五月九日浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应用摘要：在高等数学的学习中，行列式无疑是一个重点和难点，它是后续课程线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础。
而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性。
Vandermonde行列式是一类很重要的行列式。
本文系统的阐述了Vandermonde行列式的相关性质及其应用,通过各种方法说明了行列式中的一些计算问题以及如何利用Vandermonde行列式计算一般的行列式，用多个例子论述并总结了Vandermonde行列式在科研和实践生活中的应用。
关键字：行列式；Vandermonde行列式；加边计算法；多项式The Analysis for the Relevent Properties and Applicationsof Vandermonde DeterminantAbstract：Within the study of Higher Mathematics, determinant obviously being important and difficult, was the basic of lated courses including Linear Equations, Vector spaces, Matrix, Linear transformation. There was a series regulations and skills in calculation of determinant. And Vandermonde determinant was an important determinant. Firstly, this thesis described the related properties and the applications of Vandermonde determinant systermatically. Secondly, it illustrated several issues of Vandermonde determinant and how to take use of Vandermonde determinant to calculate the general determinant through some approaches. Finally, this thesis instructed and concluded the applications of Vandermonde determinant in scientific study and practice.Key words：d eterminant; Vandermonde determinant; calculating method by adding side; polynomial1 引言在中学数学和解析几何里，我们学习过两个未知量和三个未知量的线性方程组及其解法。
范德蒙德行列式的两种形式
范德蒙德行列式的两种形式说到范德蒙德行列式，哇，真是个让人又爱又恨的数学概念。
听起来好像高深莫测，其实它就像一道美味的菜，吃的时候你会觉得特别过瘾，搞明白了之后，绝对让你有种“原来如此”的恍惚感。
想象一下，你走进一个数学课堂，教授一脸严肃地站在黑板前，开始讲解这道神秘的行列式，大家都一脸懵逼，心里想：“这又是什么玩意儿啊？”范德蒙德行列式就像一颗珍珠，表面光滑，内里却隐藏着无数的奥秘。
咱们得明白，范德蒙德行列式有两种形式，一种是直接的行列式，另一种是它的多项式表达形式。
直接的行列式，乍一看就让人觉得眼花缭乱，数不胜数的数摆在那里，感觉就像个数学版的拼图，没拼好简直难以入手。
你知道吗，范德蒙德行列式的定义就像给这些数搭建了一个家，每一个数都有它的位置，就像每个住户都有自己的房间，谁也不能打乱这个秩序。
它的形式长得就像一个大矩阵，行和列排得整整齐齐，让人看了有种说不出的满足感。
每一行的元素都是从一组特定的数中提取的，形成了一个华丽的数学舞蹈，真是让人忍不住想要鼓掌。
咱们聊聊它的多项式形式，哎呀，这玩意儿一看就更像是个数学的“调皮鬼”。
多项式表达式可不是随便说说的，它与那个直接的行列式有着千丝万缕的关系。
想象一下，范德蒙德行列式就像一场盛大的宴会，直行列式是上菜的过程，而多项式形式就像是在展示这些美食的菜单。
多项式里，每个项都在讲述一个故事，数的组合就像调料的搭配，让整个菜肴更加美味可口。
简直就像数学界的米其林星级餐厅，让人欲罢不能。
对了，别以为范德蒙德行列式只有这两种形式，它还有个特别的性质，就是它的值总是可以被简化到一种非常简便的形式。
就像你的老妈做的家常菜，总有个“绝活”，一做就好，一道简单的家常菜也能做得色香味俱全。
这种简化的过程，真是妙不可言，像是一种魔法，数学的魅力尽在其中。
这也就是为什么很多数学家对范德蒙德行列式趋之若鹜，想要一探究竟。
咱们再来聊聊它的应用，哇，那可真是一个广阔的天地。
范德蒙德行列式在很多领域都能大显身手，特别是在代数和数论中，简直就是个“万金油”。
广义Vandermonde行列式
广义Vandermonde 行列式作者：袁敏 指导老师：舒阿秀摘要 Vandermonde 行列式是行列式的一种特殊形式，而广义Vandermonde 行列式是Vandermonde行列式的一种推广形式，在实际应用中占有十分重要的地位，如在Hermite 插值问题适定性证明等问题中都可以用到它. 本文主要在Vandermonde 行列式基础上介绍广义Vandermonde 行列式及其性质、计算与应用，并在此基础上加以适当推广，介绍增次广义Vandermonde 矩阵的含义和一些相关性质.关键词 Vandermonde 行列式 广义Vandermonde 行列式 增次广义Vandermonde 矩阵1引言在高等代数中，行列式是一个极其重要的概念，而Vandermonde 行列式又是行列式的一种特殊形式，目前许多文献都对它进行了广泛的研究并得到了许多丰富的成果. 本文主要在Vandermonde 行列式的基础上对广义Vandermonde 行列式及其性质、应用等进行一些归纳和讨论.1.1 Vandermonde 行列式的定义称形如12322221231111123111...1........................n nn n n n nD a a a a a a a a aaaa----=(1.1)的行列式为n 级范德蒙德（V andermonde ）行列式.1.2 性质任意的(2)n n ≥级范德蒙德行列式等于12,,,n a a a 这n 个数的所有可能的差i α-j α(1)j i n ≤<≤的乘积. 用连乘号，这个结果可以简写成123222212311111123111...1......()..................n nijj i nn n n n na a a a a a a a a a aaaa≤<≤----=-∏由这个结果立即得出，V andermonde 行列式为零的充分必要条件是12,,,n a a a 这n 个数中至少有两个相等.2 广义Vandermonde 行列式 2.1 定义设m 维向量21(;)(1,,,...,)m F m λλλλ-=,它对λ的一阶导数为()2(;)0,1,2,...,(1)m F m m λλλ-'=- （2.1）同样可以定义(;)F m λ对λ的k 阶导数()(;)k F m λ，显然，当k m ≥时，()(;)k F m λ是零向量，令(1)F(,)1F (,)1!1F (,)(;;)2!...1F (,)(1)!d d mm m m F d m m d λλλλλ-⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥''⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ （2.2）考虑如下的Vandermonde 型的12(...)t d d d m +++⨯阶矩阵11221212F(;;)F(;;)(,,...;,,...;)...F(;;)t t t t d m d m V d d d m d m λλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2.3） 这里,1,2,...,i d N i t ∈=.显然，当12...t d d d m +++=时，1212(,,...;,,...;)t t V d d d m λλλ是m 阶方阵.当i λ在（2.3）式中不出现时，约定0i d =，这里仍写成121112111212(,,...,,,...,;,,...,,,...,;)(,,...;,,...;)i i t i i t t t V d d d d d m V d d d m λλλλλλλλ-+-+≡ （2.4）显然，行列式1212(,,...;,,...,;)t t V d d d m λλλ是通常的Vandermonde 行列式2111121222121211...1...(,,...,)()...............1...n n n i j j i n n n n n V λλλλλλλλλλλλλλ--≤<≤-==-∏的一种推广，即当12...1t d d d ====时，有121212(,,...;,,...;)(,,...),tt tV m V d dd λλλλλλ=.以下称1212(,,...;,,...;)t t V m d d d λλλ为广义Vandermonde 行列式.2.2 性质定理 设12121,1,...,1,...t t d d d d d d m ≥≥≥+++=且，则有 1212(,,...;,,...;)t t V m d d d λλλ=1223341......2131132422....1()()()()()()()t t t t d d d d d d d d d t t dt t λλλλλλλλλλλλλλ-⎡⎤⎡⎤⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⋅⋅-⎢⎥⎣⎦------- （2.5）证明 将1212(,,...;,,...;)t t V m d d d λλλ的第1,2,...,2,1m m --列各乘以1()λ-，然后分别加到第,1,2,...,2m m m --列，并按第1行展开得到一个1m -阶行列式，设为1V ，也即11212(,,...;,,...;)t t V V m d d d λλλ==111111121122113211211112122212122122121112112221132212121()().........() (00)0...1...()()().........()1.........m m m d d m d m m m m m m C C C C C C C C C C C C C C λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ----------------------22211321211122221111112212.....................000...1...()....................()()........()0...1...t t t tm d d m d m m m t t tt t t t d m d d m d m m C C C C λλλλλλλλλλλλλλλλλ--------------------（1V 是1m -阶） 显然1V 的第一行是1m -维向量1(;1)F m λ-，1V 的第二行是1132121(0,1,,...,)m m C C λλ--， 1V 的第三行是2243121(0,0,1,,...,)m m C C λλ--，………1V 的第11d -行是1111221121(0,0,...,0,1,,...,)d d m d d m C C λλ-----. 从而知1V 的前11d -行是11(;1;1)F d m λ--，又易知21λλ-是1V 的第1d 行各元素的公因子，故第1d 行可变成（将21λλ-提到行列式的外边相乘）：222222;1(1,,,...,)()m m F λλλλ--=.再把第1d 行乘以1-加到第11d +行上去，得第11d +行为()()1011011021212113222112221211321221222120,(),(),...,()0,,(),...,()m m m m m m C C C C C C CC C c c λλλλλλλλλλλλλλλ------------=---它也有公因子21λλ-，也提到行列式外边相乘，这时，第11d +行变成11322222(0,1,,...,)(;1)m m C C F m λλλ--'=-. 再把第11d +行乘以1-加到第12d +行，于是第12d +行变成为()()2122122132432221432312323122224221321232120,0,(),(),...,()0,0,(),(),...,()m m m m m m m C C C C C C C CC C C C λλλλλλλλλλλλλλλ----------------，它也有公因子21()λλ-，可提到行列式外边相乘，这时，第12d +行变为21(;1)2!F m λ''-，这样一直进行到第121d d +-行（共2d 次）为2(1)221(;1)(1)!d F m d λ---，而提出到行列式外面的因子为221()d λλ-，同理，可依次得到1V 的其余121m d d --+行，最后得出1122112112122F(;1;1)F(;;1)()...F(;;1)()(,,...,;1,,...,;1)ii td i i t t td i t t i d m d m V d m V d d d m λλλλλλλλλλ==---=--=---∏∏即有212122111212(,,...;,,...;)()...()V(,,...,;1,,...,;1)tt t d d t t t V m d d d m d d d λλλλλλλλλλ=---- （2.6）反复用（2.6）式即得（2.5）式：()1211212112122123231212123(,,...;,,...;)()V(,,...,;1,,...,;1)...=()V(,,...,;,,...,;)...=()()...()ii j i t t t td it t i d t d i t t i d dt t d d d i j t t i j V m d d d m d d d m d d d d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλ==-===---=⎛⎫--= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏∏∏∏1.t d -于是定理得证.2.3 应用在Hermite 插值问题适定性的证明中将用到广义Vandermonde 行列式，下面我们将介绍这个应用.首先，我们陈述一下Hermite 插值问题.对1,2...,()i s s z +=∈ ,设i x R ∈是第i 个插值结点,且s 个结点互异；设ix z +∈是关于第i 个结点的插值重度，记()k i y R ∈为关于第i 个结点k 阶导数的任意给定参数(0,1,...,1)i k α=-，确定满足条件：()()()(0,1,...,1;1,...,)k k n i i i p x y k i s α==-=的一元n 次多项式()n p x ，其中01,1si i n Z n α=∈+=∑，且称上条件为Hermite 插值条件；称满足Hermite 插值条件的一元n 次多项式()n p x 为Hermit 插值多项式.现在我们给出Hermite 插值问题的直观性证明.定理2.1[1] Hermit 插值多项式是存在唯一的.证明 记一元多项式()n p x 为01()...n n n p x c c x c x =+++，其中(0,1,...,)i c i n =为待定系数，利用上Hermite 插值条件可得如下关于待定系数01,,...,n c c c 的方程组1()111...,!0,...,1;1,...,.k k k n k k k k i k n i n i i C c C x c C x c y k k i s α-++⎧+++=⎪⎨⎪=-=⎩ 显然上方程组的系数矩阵为广义Vandermonde 矩阵V ，利用定理2.1由插值结点互异知，广义Vandermonde 行列式不等于0，从而上方程组的解存在且唯一.定理2.2 Hermit 插值多项式可表为111111,,...,,...,()/,...,,...,,...,ns n s s s x x x x p x V x x y V αααα⎡⎤=-⎛⎫⎢⎥⎣⎦ ⎪⎝⎭其中(1)(0)(1)111(,...,);(,,...,),(1,...,)1!(1)i T s i i i i i y y y y y y y i s αα-===- .证明 参见文献[1].另外，在图书流通管理中可应用广义范德蒙德（V andermonde ）行列式的纵向思维过程；关于WJ-A VE5数字特技机在电视节目制作过程中的使用可应用广义范德蒙德（Vandermonde ）行列式的统计运算功能；目前许多行业，如饲料工业上的应用、肉碱在畜禽水产养殖上的应用、计算机应用基础课程教学模式的探讨、计算机辅助教学课件的应用分析等等，都在利用数学模拟计算方法包括广义范德蒙德（V andermonde ）行列式在内的一系列的基础数学理论，以精确的理论数据进行可维护的实践操作. 另外上定理可将控制论中许多关于iA e 的计算得到简化.3 增次广义Vandermonde 行列式 3.1 定义对于第2节中给出的广义范德蒙德行列式的定义（2.4），若去掉1212(,,...;,,t V d d λλλ...;t d )m 的第1,...,r k k 列，11...,1r k k m r m ≤<<≤≤≤，而在末尾增加诸i λ次数顺序为,...,1m m r +-的列，则所得矩阵称为增r 次广义Vandermonde 矩阵，记为111(,...,;,...,;;,...,)t t r V d d m k k λλ=111111112221111111131311111112212112111111122221.........01..........................................00.........1.........1...rrrrrrk k k k m rk k k k m r k k k k m r d m d rm r C C C C C C C λλλλλλλλλλλλλλλλλ---+-----+---+--+-+111111222212222313111111122222222212112......01..........................................000.........1...............................rr rrrrk k k km rk k k k m rk k k k m r d m d r m r C C C C C C C λλλλλλλλλλλ---+-----+---+--+-+111111222131311111112222111...........1.........01 (00).........1.........rrrrrrt t k k k k m rt t t t t t t k k k k m rt k t k t k tk t m r td m d r m r t C C C C C C C λλλλλλλλλλλλλλ---+-----+---+--+-+⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭3.2性质Laplace 定理的引理 行列式D 的任一k 阶子式M 与它的代数余子式A 的乘积MA 中的每一项都是D 的一项，而且符号一致.定理3.1 11111(,...,;,...,;;)(,...,;,...,;)t t t t k V d d m k V d d m λλλλτ-=⋅. （3.1） 证明 11(,...,;,...,;;)t t V d d m k λλ是111(,...,,;,...,;1;1)t t t V d d m λλλ++的按最后一行展开式中项11k t λ-+的系数1×(1)m k++-，而13221341112131132422111112121(,...,,;,...,;1;1)()()()()()()...()()(,,...;,,...;)()t t tti id d d d t t t t td d d d d d d t t t t i i td t i t t i V d d m V m d d d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-+-+=+=⎡⎤+=--⋅⋅⋅-⎣⎦⎡⎤⎡⎤⋅--⋅⋅⋅-⋅⋅--⎣⎦⎣⎦=⋅-∏∏.再由韦达定理知11()i td t i i λλ+=-∏中11k t λ-+的系数为(1)1(1)m k k τ----，所以1(1)11111(,...,;,...,;;)(,...,;,...,;)(1)(1)m k m k t t t t k V d d m k V d d m λλλλτ++---=⋅-⋅-.化简即得（3.1）式.推论3.1 111111(,...,;,...,;;)(,...,;,...,;)(...)t t t t t t V d d m m V d d m d d λλλλλλ=⋅++. 推论3.2 当12...1t d d d ====时，有：111(,...,;1,...,1;;)(,...,)t t k V m k V λλλλτ-=，且仅当k t =时，有111(,...,;1,...,1;;)(...)()t t ijj i tV m t λλλλλλ≤<≤=++-∏.推论3.3 若()i j i j λλ≠≠，则1212(,,...;,,...;)t t V d d d m λλλ的秩为m . 推论3.4 若1(),0i j k i j λλτ-≠≠≠，则11(,...,;,...,;;)t t V d d m k λλ的秩为m . 推论3.5 若12(),(...)0i j t i j λλλλλ≠≠++≠时，1(,...,;1,...,1;;)t V m t λλ的秩为m . 推论3.6 若11(),(...)0i j t t i j d d λλλλ≠≠++≠时,11(,...,;,...,;;)t t V d d m m λλ的秩为m .定理3.2 12121112111221(,...,;,...,;;;)(,...,;,...,;)()t t t t k k k k V d d m k k V d d m λλλλττττ----=-.证明 设1121(,...,,,;,...,,1,1;2)t t t t V d d m λλλλ+++按最后两行展开后， 121221121111111112121122k k k k k k t t t t t t k k t t λλλλλλλλ------++++++--++=- 的系数为12,k k D ，则1212121112,(,...,;,...,;;;)(1)m m k k t t k k V d d m k k D λλ+++++=-从而112111122111(,...,,,;,...,,1,1;2)(,...,;,...,;)()()()jit t t t t t ttd d t i t j t t i j V d d m V m d d λλλλλλλλλλλλ++++++==+=⋅---∏∏.注意到11()i td t i i λλ+=-∏,展开式中111211,k k t t λλ--++的系数分别为11111212(1),(1)m k m k k k ττ-+-+----；而21()jtd t j j λλ+=-∏展开式中221222,k k t t λλ--++的系数分别为22221212(1),(1)m k m k k k ττ-+-+----，于是1121(,...,,,;,...,,1,1;2)t t t t V d d m λλλλ+++中121112,k k t t λλ--++的系数是12121212(1)(1)m k m k k k ττ-+-+-----12122121(1)(1)m k m k k k ττ-+-+----.由Laplace 定理的引理知：121212121111211121221(,...,;,...,;;;)(,...,;,...,;)(1)()(1)k k t t t t m m k k k k k k V d d m k k V d d m λλλλττττ--+++++----=⋅--⋅-化简上式即得定理成立.推论3.7 若12121221(),ij k k k k i j λλττττ----≠≠≠，则11(,...,;,...,;)t t V d d m λλ的秩为m .3.3 计算例1 计算234623524234623523461012346001361510123461x x x x x x x x x x x x V y y y y y y y y y zz z z z =.解63232V (x ,y ,z ,u ;3,2,1,1;7)()()()()()()y x z x z y u x u y u z =------. V是V(x,y,z,u;3,2,1,1;7)的按最后一行展开式中5u 项系数⨯6+7（-1），得63267632()()()[(32)](1)()()()(32).V y x z x z y x y z y x z x z y x y z +=----++⨯-=---++例2 计算236725645236725623671012367013152110123671x x x x x x x x x x x x V y y y y y y y y y zz z z z =. 解 6323213V (x ,y ,z ,u ,v ;3,2,1,1,1;8)()()()()()()(y x z xz yu x u y u z v x=------- 21()()()v y v z v u ---V 是V(x,y,z,u,v;3,2,1,1,1;8)的按最后两行展开中45455445u u u v u v v v=-项系数5678(1)+++⨯-，得321()()()u x u y u z ---中43,u u 的系数为2343(1),(1)ττ--，54,v v 的系数为254(1),(1)ττ--，所以6322453()()()()V y x z x z y τττ=----.结 束 语本文主要在Vandermonde 行列式的基础上对广义Vandermonde 行列式的概念、性质及其应用等加以归纳和讨论，并在此基础上适当推广，讨论了增次广义Vandermonde 行列式的含义、性质与计算. 由于广义Vandermonde 行列式的应用较为广泛，目前在这方面的研究已经取得了丰硕的成果，对此本文不再深入讨论.参考文献[1] 盛中平. 林正华, 广义Vandermonde行列式及其应用[J]，高等学校计算数学学报，3（1996），217-225.[2] 邱建霞. 吴康，广义Vandermonde行列式的再推广[J]，西华师范大学学报(自然科学版)，25：3（2004），328-332.[3] 王向东,，广义Vandermonde行列式[J]，佛山科学技术学院报，19：1（2001），1-4.[4] 邱建霞，增次广义Vandermonde行列式[J]，大学数学，21：3（2005），85-90.[5] 邱建霞，增次广义Vandermonde行列式的计算[J]，高等数学研究，9：1（2006），19-21.[6] 普丰山. 陈军，广义Vandermonde行列式及其应用[J]，河南科学，24：5（2006），26-28.[7] SEYMOURL Inpschut. Schaum’s outline of Theory and problems of Linear Algebra [M]. McGraw 2 Hill Book Company, 1968Generalized Vandermonde DeterminantAuthor: Yuan Min Supervisor: Shu AxiuAbstract: Vandermonde determinant is a special determinant, and generalized Vandermonde determinant is promotion of Vandermonde determinant which is important in practical application. For instance, it can be used to solve the question of qualitative property of Hermit interpolation. In this paper , we introduced the property , calculation and application of generalized Vandermonde determinant, extended appropriately ,and introduced the definition and property of generalized additional involution Vandermonde matrixesKey words: Vandermonde determinant; generalized Vandermonde determinant;generalized additional involution Vandermonde matrixes。
关于行列式两个定理的证明
关于行列式两个定理的证明摘要：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和及任意k行（列）中一切k阶子式与其代数余子式的乘积之和，行列式是从解线性方程组诞生出来的,它的应用非常广泛且早己超出代数的范畴,成为几何、分析、方程、统计等许多数学分支的基本工具。
因此,对行列式的学习应予足够重视。
对行列式的证明也是众多初学者感觉较为困难的问题。
本文就行列式的两个定理的证明谈谈自己的看法。
关键词：Cramer定理；Vandermonde行列式；证明方法本文首先借助于三阶行列式介绍克莱姆定理以及范德蒙行列式的一些简洁证明方法.1 Cramer 定理定理1 设方程组（1）的系数行列式D≠0，则方程组（1）有唯一解：（2）其中证明：首先证明（2）是（1）的一组解，因为这足以说明（2）满足方程组（1）的第一个方程。
同样，假设把上述四阶行列式的第一行换成a2，b2，c2，d2，同样按第一行展开，可证（2）满足（1）的第二个方程，把a3，b3，c3，d3，换第一行，可证满足第三个方程，从而得证（2）满足方程组（1）。
再证唯一性，我们设x=x0，y=y0，z=z0是方程组（1）的任意一组解，那么，利用同样的方法可证：定理2 令方程组（3）的系数行列式D≠0，则方程组（3）有唯一的解：（4）其中证明：本定理证明方法可参考定理1，首先证明（4）是方程组（3）的一组解。
因为这样就证明了（4）为（3）的一组解。
下面再证明（3）只有一组解（4），现在假设（3）的任一组解为：那么，，同理可以证明这便完成定理得证明.2 Vandermonde行列式定理3证明：当a1，a2，a3中有相等的，定理当然成立。
下面我们证明三者两两互异的情形，令（5）那么按第3列展开可知f（x）是二次多项式，f（x）有两个根a1和a2。
因此（k是待定系数）再由（5）式可以得出则有，证明完毕定理4 令换言之，就是要证明证明：如果a1，a2，…，an中有相等的，该定理显然成立。
模块一 行列式
10）行列式的按行或列的展开
∑a A
k =1 ki
n
kj
= Dδ
ij
∑a A
k =1 ik
n
jk
= Dδ
ij
D ,当 i = j; = 按行展开 0 , 当 i ≠ j .
例4：设
D=
1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
则
(1) A12 + 2 A22 + 3 A32 + 4 A42 = (
例5:已知A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，则m+n阶 行列式
* A B O
m+n
的值是（ ）
( A ) | A || B | ( C )( − 1) | A || B |
( B ) − | A || B | ( D ) ( − 1)
mn
| A || B |
解:用列交换将此行列式变为分块行列式的形 式。为使A和B内部结构不变，可将A的各列（自 左到右）作相邻两列的交换，共需作mn次，可把 原行列式化为
将第一列加 到第二、 三、四列上
− 1 0 0 −5 − 1 0 −5 0 = 15 −1 −5 0 0 −1 0 0 0
按第四行 展开
0 0 −5 = 15 0 −5 0 −5 0 0
= 1875
方法三:化为三角行列式 例2 计算 x a1 D n + 1 = a1 L a1 a1 x a2 L a2 a2 x L a3 a3 a3 L a4 L L L L L an an an . L x
A特征值为0, 0 ,0 ,4 B特征值(x-1)(三重值),(x+3)
|B|= (x-1)3(x+3) x1,2,3=1, x=3
拉普拉斯定理和范德蒙行列式
拉普拉斯定理和范德蒙行列式
拉普拉斯定理和范德蒙行列式都是线性代数中的重要概念。
拉普拉斯定理，也被称为行列式的拉普拉斯展开式或余因子展开式，是由拉普拉斯在他的1772年的论文中提出的。
这个定理描述了在n阶行列式中，任意取定k行（或列），由这k行（或列）的元素所构成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积的和等于原行列式的值。
这个定理在行列式的计算中有重要的应用，特别是在某些行或列的元素为零或具有特殊性质时，可以通过拉普拉斯定理快速降阶计算行列式的值。
范德蒙行列式则是一种特殊类型的行列式，其形式为形如
1,x,x^2,...,x^(n-1)的n个元素的排列组合。
范德蒙行列式在多项式插值、解线性方程组等领域有重要应用。
范德蒙行列式的值可以通过其计算公式直接得出，该行列式为0的充要条件是至少有两个元素相等。
两者都是行列式理论中的重要组成部分，具有广泛的应用。
范德蒙行列式是一种特殊的行列式形式，而拉普拉斯定理则提供了一种计算行列式值的有效方法。
范德蒙德行列式的证明
ai-aj(1≤j＜i≤n)的乘积。即
1 1 1 ... 1
a1 a2 a3 ... an d a12 a22 a32 ... an2 (ai a j )
1 jin
... ... ... ... ... a1n1 a2n1 a3n1 ... ann1
...
an
2 1
(ai a j )
1 jin1
... ...
...
a n2 n1
（ii）设对于 n-1 级范德蒙德行列式结论成立，即
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...
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0 dn 0
... 0
a2 a1 a22 a1a2
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范德蒙德（Vandermonde）行列式
1
a1 ·定义：行列式 d a12
... a1n1
列式。
1
a2 a22 ... a2 n 1
1
a3 a32 ... a3n1
... 1
... an ... an2 称为 n 级范德蒙德（Vandermonde）行 ... ... ... ann1
...
a n1 2
a1a2 n 2
a3 a1 a32 a1a3
...
a n1 3
a1a3n2
...
an a1
... an2 a1an
...
...
...
a n1 n
a1an n 2
范德蒙行列式的应用
范德蒙行列式的应用摘要：本文根据范德蒙行列式的特点，归纳总结了范德蒙行列式在代数、微积分中的应用. 关键词：范德蒙行列式；代数；微积分1 前言范德蒙行列式在行列式中占有比较重要的地位，其运用也可谓广泛.范德蒙行列式在代数、微积分、几何中都有应用.本文只讨论其在代数、微积分中的应用.在之前我们先给出文中要用到的一些基本知识点：① 行列式的展开定理[1]：若存在一个n 阶行列式111212122212n nn n nna a a a a a D a a a =其中，第i 行（或第j 列）的元素除ij a 外都是零，那么这个行列式等于ij a 与它的代数余子式ij A 的乘积：ij ij D a A =.② 泰勒公式[2]：若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x =+- 即()200000000''()()()()'()()()()(())2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n =+-+-++-+-③ 皮亚诺余式的马克劳林展开式[2]：''()'2(0)(0)()(0)(0)()2!!n nn f f f x f f x x x x n =+++++④ 克莱姆法则[1]：一个含有n 个未知量n 个方程的线性方程组11112211211222221122,,.n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=+++=+++=当它的行列式0D ≠时，有且仅有一个解1212,,,n n D D Dx x x D D D=== ，此处j D 是把行列式D 的第j 列的元素换以方程组的常数项12,,,n b b b 而得到的n 阶行列式.2 范德蒙行列式的定义及其证明[1]2.1 范德蒙行列式的定义122221211112111nn n n n n na a a D a a a a a a ---=这个行列式叫做一个n 阶范德蒙行列式（V andermonde ）行列式，其值1()n i j n i j D a a ≥>≥=-∏.2.2 范德蒙行列式的证明证明：由最后一行开始，每一行减去它的相邻的前一行乘以1a ，得213212213311-222221331111110- - -0(-) (-)()0()()()n n n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a --=----由前言①行列式的展开定理，213212213311-2222213311 - --(-) (-) ()()()()n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a ---=---提出每一行的公因子后，得23222213112322223111()()() nn n n n n n na a a D a a a a a a a a a a a a ---=---最后的因子是一个1n -阶的范德蒙行列式，我们用1n D -代表它：213111()()()n n n D a a a a a a D -=---同样得1324222()()()n n n D a a a a a a D --=---此处2n D -是一个2n -阶的范德蒙行列式.如此继续下去，最后得2131132211()()()(-)()()()n n n n n i j n i j D a a a a a a a a a a a a a a -≥>≥=---⋅--=-∏ 3 范德蒙行列式在代数方面的应用3.1 利用范德蒙求解n 阶行列式 例1[3] 计算(1)()1111n n na a a n D a a a n --=--解：由行列式的性质得111(()())()!j i nj i n nk D a j a i i j k ≤<≤≤<≤==---∏=-∏=∏例2[3] 计算111112221n n n n n n na x x a x x D a x x ---=解：按第一列展开得1nk k k D a A ==∑，其中k A 为元素k a 的代数余子式，在k A 的第i 行提出公因子(,1,2,,)i x i k i n ≠= ,即 222211221133331232132221121221212111111(1),(1),,1111(1)1n n n n n n nnn n nnn nn n n n n n n n x x x x x x x x A x x x A x x x x x x x x x x x A x x x x x ----++----+----=-=-=-即得范德蒙行列式11111,1(1)(1)()()nnk n kk ki k i i j i i i kj i nA x x x x x x +---==≠≤<≤=----∏∏∏，所以1111(1)()(/())n nn i i j i i i i i j i nD x x x a x f x +==≤<≤=--∑∏∏其中12()()()()n f x x x x x x x =---例3[4] 计算1n +阶行列式1-22111111111122122222222122111111111n n n n nn n n n nn n n n nn n n n n n n n a a b a b a b b a a b a b a b b D a a b a b a b b --------++++++++=解：从第i 行提取公因子(1,2,,1)n i a i n =+ ，就可以得到转置的1n +阶范德蒙行列式1-22111111111112211222222221211221111111111111n n n nn n n n n n nn n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b D a a a a b a b a b a b ---------+-----++++++++=于是111[]njni i i j i n i jb b D a a a =≤<≤+=-∏∏ 例4[4] 计算行列式2111111212222221111n n n n n n nn x x x x x x x x x x D x x x x x -----=- 解：从第i 行提出(1,2,,)1ii x i n x =- ,然后再把第1列加到第2列，之后，第2列加到第3列， ,第-1n 列加到第n 列，就得到范德蒙行列式 即21221111111112122122222222121221221111111111111n n n n n n n n n n n n n nn n nnnx x x x x x x x x x x x x x x x x x x D x x x x x x x x x x x ---------------=⋅⋅=------于是11()1nii j i j i nix D x x x =≤<≤=-∏∏-例5[5] 计算n 阶行列式123222212322221231231111nnn n n n n nn n n nnx x x x x x x x D x x x x x x x x ----=解:考虑1n +阶行列式123222221231222221231111112312311111nn n n n n n n nn n n n n nnn n nnnx x x x x x x x x x V x x x x x x x x x x x x x x x +----------=它是关于1n +个变元12,,,,n x x x x 的范德蒙行列式，由范德蒙行列式知111()()nn k j i k i j nV x x x x +=≤<≤=--∏∏若将1n V +按最后一列展开，则111,12,1,11,1n n n n n n n n n V A xA x A x A -++++++=++++ 要计算的行列式其实就是1n V +中元素1n x -的余子式,1n n M +，即,1n n n D M +=而21,1,1,1(1)n n n n n n n A M M ++++=-=-就是111()()nn k j i k i j nV x x x x +=≤<≤=--∏∏的系数，所以,111()nn n n k j i k i j nD M x x x +=≤<≤==-∑∏3.2 利用范德蒙行列式证明向量组线性相关、无关的问题 例[6]1 判断向量组232312232334(1,,,), (1,,,)(1,,,), (1,,,)a a ab b bc c cd d d αααα====是线性相关还是线性无关.其中,,,a b c d 各不相同. 解：考虑相应的齐次线性方程组：112233440x x x x αααα+++=即1234123422221234333312340000x x x x ax bx cx dx a x b x c x d x a x b x c x d x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ 此方程的系数行列式是范德蒙行列式222233331111 (-)(-)(-)(-)(-)(-)a b c d D a b c d a b c d b a c a d a c b d b d c ==因为,,,a b c d 各不相同，所以0D ≠.根据④克莱姆法则可知，方程组只有零解.从而1234,,,αααα线性无关.例[7]2 设12,,,m λλλ 是方阵A 的m 个特征值，12,,,m p p p 依次是与之对应的特征向量.如果12,,,m λλλ 各不相等，则12,,,m p p p 线性无关.证明：设有常数12,,,m x x x 使11220m m x p x p x p +++= .则1122()0m m A x p x p x p +++= ，即1112220m m m x p x p x p λλλ+++= ，类推之，有1112220.(1,2,,1)k k km m m x p x p x p k m λλλ+++==-把上列各式合写成矩阵形式，得1111221122111(,,,)(0,0,,0).1m m m m m m m x p x p x p λλλλλλ---⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列式，当i λ各不相等时该行列式不等于0，从而该矩阵可逆.于是有1122(,,,)(0,0,,0)m m x p x p x p = ， 即0(1,2,,)j j x p j m == . 但0j p ≠，故0(1,2,,)j x j m == .所以向量组12,,,m p p p 线性无关.3.3 用线性方程组范德蒙行列式来解决有关多项式的根的问题例[8] 设01,,,n x x x 两两互异，函数()f x 在i x x =处的值为()i i f x y = (0,1,,)i n = .证明：存在唯一的n 次多项式()n p x ，使()n i i p x y = (0,1,,)i n =. 证明：令2012()n n n p x a a x a x a x =++++ ，由题设，有01000,01111,01,nn nn n nn n n a a x a x y a a x a x y a a x a x y⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 这是以01,,,n a a a 为未知数的线性方程组，其系数行列式为范德蒙行列式的转置，200021110211 ()1nn j i i j nn n n n x x x x x x D x x x x x ≤<≤==-∏.由于()i j x x i j ≠≠,故0D ≠,从而方程组有唯一解,即存在唯一的多项式()n p x ,使()n i i p x y = (0,1,,)i n =. 注 作为特例,我们不难知道:若n 次多项式2012()n n n p x c c x c x c x =++++ 对1n +个不同的x 值都是零,则()0n p x ≡.4 范德蒙行列式在微积分中的应用例[9]1 确定常数,,,a b c d ，使得()cos cos 2cos3cos 4f x a x b x c x d x =+++,当0x →时为最高阶的无穷小,并给出其等价表达式.解:对()f x 的各项利用②泰勒公式,即由ln x 的泰勒展开式246(2)ln 1(1)24!6!(2)!n n x x x x x n =-+-++- 有24624666(2)(2)(2)()[1()][1()]2!4!6!2!4!6!x x x x x x f x a o x b o x =-+-++-+-+24624666(3)(3)(3)(4)(4)(4)[1()][1()]2!4!6!2!4!6!x x x x x x c o x d o x +-+-++-+-+22221(234)2a b c d a b c d x =+++-+++44441(234)4!a b c d x ++++666661(234)()6!a b c d x o x -++++ 当0x →时,若()f x 最高阶无穷小在6阶以上,则有方程组2224446660234023402340a b c d a b c d a b c d a b c d +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩其系数行列式2223334441 1 1 1 1 2 3 4 1 2 3 41 2 3 4D =为范德蒙行列式,由于0D ≠,故以,,,a b c d 为未知数的方程组只有零解: 0a b c d ==== 从而()0f x ≡.这显然不合题意,故以下考虑()f x 当0x →时最高阶无穷小为6阶的情形. 令222444023402340a b c d a b c d a b c d +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩等价于222444234234b c d a b c d a b c d a ++=-⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩此以,,b c d 为未知数的线性方程,其系数行列式为范德蒙行列式22214441 1 1 2 3 4 02 3 4D =≠方程组有唯一一组依赖于a 的整数解:922,,77b ac ad a =-==-，从而()f x 在0x =的邻域内的最高阶无穷小有下述形式的表达式76666192()(234)()6!77f x a a a a x o x =--+⋅-⋅+ 667()2ax o x =+ 例[10]2 设()f x 至少有k 阶导数,且对某个实数a 有()lim ()0,lim ()0k x x x f x x f x αα→∞→∞== (1)试证:()lim ()0,1,2,,i x x f x i k α→∞== ，其中(0)()f x 表示()f x .证明：由条件(1),要证明()lim ()0i x x f x α→∞=,只要将()()i f x 写成与()f x 与()()k f x 的线性组合即可.利用泰勒公式,21(1)()()()()()()()2!(1)!!k k k k m m m m f x m f x mf x f x f x f k k ξ--'''+=+++++- (2)其中,1,2,,m x x m m k ξ<<+= 这是关于(1)(),(),(),,()k f x f x f x f x -''' 的线性方程组,其系数行列式为212k-1221111 11 1 1 12!(k-1)!1 2 2 2 221 2 12!(1)! 1 3 3 1!2!(1)!12!(1)!k k k D k k k k k ---==-- 12131k k k k k --后一个行列式为范德蒙行列式,其值为1!2!(1)!k - ,故D=1!.于是可从方程组(2)把(1)(),(),(),,()k f x f x f x f x -''' 写成() (m=1,2,,k)f x m + 与()() (m=1,2,,k)k m f ξ 的线性组合.我们只要证明()lim ()lim ()0k m x x x f x m x f ααξ→∞→∞+== (m =1,2,,k 即可. 事实上,设x t x k ≤≤+，于是()()()lim ()lim ()lim lim ()0i i i x x x x x x x ft t f t t f t t t ααααα→∞→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(0,)i k= 在此式中分另令,0t x m i =+=和令,m t i k ξ==,则得()lim ()lim ()0k m x x x f x m x f ααξ→∞→∞+== (1,2,,)m k =. 注:类似的方法可证如下命题[11]设函数f 在(,)a +∞上有直到n 阶导数,且有()lim (),lim ()n x x f x A f x B →∞→∞==.求证:()lim ()0,1,2,,k x f x k n →∞== .例[12]3 设函数()f x 在0x =附近有连续的n 阶导数,且'()(0)0,(0)0,,(0)0n f f f ≠≠≠ ,若121,,,n p p p + 为一组两两互异的实数,证明:存在唯一的一组实数121,,,n λλλ+ ，使得当0h →时,11()(0)n i i i f p h f λ+=-∑是比n h 高阶的无穷小.证明：由题设条件,可得()i f p h (1,2,,1)i n =+ 在0x =处常有③皮亚诺余项的马克劳林展开式:()110()(0)()!k k nk n k p h f p h f o h k ==+∑， (1)()220()(0)()!k k nk n k p h f p h f o h k ==+∑， (2)()110()(0)()!k k nk n n n k p h f p h f o h k ++==+∑， (1)n + 121(1)(2)(1)n n λλλ+⨯+⨯+++⨯ ，得()()11111111()(0)1(0)(0)()!n n nn k k k ni i i i i i i k i f p h f f p f h o h k λλλ+++====-=-++∑∑∑∑. 当0h →时,若11()(0)n i i i f p h f λ+=-∑为比n h 高阶的无穷小,则1211122112221122111122111,0,0,0.n n n n n n n n n n p p p p p p p p p λλλλλλλλλλλλ++++++++++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪⎪+++=⎩ 这是以121,,,n λλλ+ 为未知数的线性方程组,其系数行列式121222121111211 1 1()0n n j i i j n n n nn p p p D p p p p p p p p ++≤<≤++==-≠∏,故上述方程组有唯一解，即存在唯一一组实数121,,,n λλλ+ ，使当0h →时，11()(0)n i i i f p h f λ+=-∑是比n h 高阶无穷小. 5 结束语全文分为五个部分.第一部分是前言.先介绍了本文将要用到的一些相关知识.如行列式的展开定理；泰勒公式；皮亚诺余式的马克劳林展开式.第二部分范德蒙行列式的定义及其证明.主要介绍了什么叫做范德蒙行列式，以及对范德蒙行列式做了证明.第三部分范德蒙行列式在代数方面的应用.这也是我所写的主要类容.它又分别包含了利用范德蒙求解n阶行列式；利用范德蒙行列式证明向量组线性相关、无关的问题；线性方程组范德蒙行列式来解决有关多项式的根的问题这三个方面.第四部分为范德蒙行列式在微积分中的应用.主要就泰勒公式与范德蒙行列式的合用，范德蒙行列式与泰勒公式的特殊形式皮亚诺余项的马克劳林展开式的合用做了一定的阐述.第五部分为结束语与致谢，主要就是对本文的写作的回顾、感慨以及对帮助我老师的谢谢.参考文献[1]张禾瑞,郝炳新.高等代数(第四版)[M].北京:高等教育出版社,1999.[2]华东师范大学数学系编.数学分析（第三版）[M].高等教育出版社.[3]晏林.范德蒙行列式的应用[C].云南:文山师范高等专科学校学报,第13卷,第2期,2001年11月.[4]冯锡刚.范德蒙行列式在行列式计算中的应用[J].济南:山东轻工业学院学报,2006年第2期第14卷.[5]陈治中.线性代数与解析几何辅导[M].清化大学北京交通大学出版社.[6]吴声钟.线性代数内容、方法与练习[M]电子工业出版社.[7]同济大学数学教研组编.工程数学线性代数（第三版）[M]. 高等教育出版社.[8]易大义,陈道琦.数值分析引论[M].杭州:浙江大学出版社,1998,17-18.[9]邹应.数学分析习题及其解答[M].武汉:武汉大学出版社,2001.[10]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社.[11]吴良森，毛羽辉，宋国栋，魏木生.数学分析习题精解[M].北京:科学出版社,2002,360-361.[12]章乐.几道考研试题的推广[J].大学数学,2003,19(5):117-119.Application of Vandermonde DeterminantAbstract: This article according to the Vander Mongolia determinant thecharacteristic, summaried the Vander Mongolia determinant in thealgebra, the fluxionary calculus application.Key word: Vander Mongolia determinant; Algebra; Fluxionary calculus11。
线性代数第一章行列式试题及答案
如何复习线形代数线性代数这门课的特点主要有两个：一是试题的计算量偏大，无论是行列式、矩阵、线性方程组的求解，还是特征值、特征向量和二次型的讨论都涉及到大量的数值运算，稍有不慎，即会出错；二是前后内容紧密相连，纵横交织，既相对独立又密不可分，形成了一个完整、独特的知识体系.在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题.一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性二、扩展公式结论蕴涵，努力探索灵活解题途径三、注重前后知识联系，努力培养综合思维能力线性代数不仅概念多，公式结论多，而且前后知识联系紧密，环环相扣，几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查四、加强综合题型训练，全面系统地掌握好知识计算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧妙、适当的应用外，还要靠平时的积累，要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯，只要持之以恒、坚持练习，计算准确性的提高并不是一件困难的事. 而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习，第一章行列式一.概念复习1. 形式和意义形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式:a11 a12 (1)a21 a22 (2)……… .a n1 a n2… a nn如果行列式的列向量组为1,2, …,n,则此行列式可表示为|1,2, … ,n|.意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.)每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|.行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0.2. 定义(完全展开式)一般地,一个n阶行列式a11 a12 (1)a21 a22 (2)………a n1 a n2… a nn的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为:nnjjjaaa2121,这里把相乘的n个元素的行标按自然顺序排列,它们的列标j1j2…j n构成1,2, …,n的一个全排列(称为一个n元排列), 一个n元排列的总项数共有n!个,因此n阶行列式的值是n!项的代数和。
行列式的计算方法解析
行列式的计算方法解析杨关玲【摘要】行列式求解在各个领域中有非常广泛的运用.通过分析一些具体实例,介绍了7种行列式的计算常用方法,包括n阶行列式、抽象行列式、行列式的展开定理以及代数余子式的应用,为今后学者们求解行列式提供了一些可行的方法.【期刊名称】《重庆工商大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(032)007【总页数】7页(P68-74)【关键词】行列式;展开式;上三角;计算方法【作者】杨关玲【作者单位】重庆师范大学数学学院,重庆401331【正文语种】中文【中图分类】O151.21当前，在教学领域中，无论是高等数学领域里的高深理论，还是现实生活里的实际问题，都或多或少地与行列式有着直接或间接的联系.行列式的计算是一个重要的问题，也是一个很麻烦的问题.n级行列式一共有n!项，计算它有n!(n－1)个乘法.这是因为n级行列式的每一项都取自不同行不同列的n个元素的乘积，若把每一项都按a1j1a2j2…anjn排列，则对于a1j1a2j2…anjn有n!种排列，故n级行列式共有n!项.每一项都有n个数相乘，即每一项有n－1个乘法，共有n!(n－1)个乘法.二阶行列式有2!项，三阶行列式有3!项，当n较大时，n!是一个相当大的数字，直接从定义来计算行列式几乎是不可能的事.因此，可以利用行列式的性质简化行列式的计算.行列式计算方法很多，而且一个行列式求解问题往往同时要用如上列举出的一个或几个方法才能解决.所以，在学习的过程中要学会观察、探索，并有针对性总结.这里归纳介绍几种具有典型特征的行列式解法.1 关于n阶行列式的计算方法［1-3］1.1 直接利用定义计算(适用于行列式中有较多0的情况)在引进行列式的定义之前，为了更加容易理解行列式的定义，首先介绍排列和逆序的概念.(1)n级排列:由1，2，3，…，n组成的一个有序数组称为一个n级排列.(2)在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数. (3)逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列.在做好这些工作之后，引入行列式的定义:当行列式中的元素有较多的0，并且行列式的元素比较简单时，不需要变形就可以直接利用行列式的定义计算出行列式的值.1.2 利用行列式的性质，化为上(下)三角行列式计算运用行列式的性质是计算行列式的一个重要途径，大多数行列式的计算都依赖于行列式的性质，将行列式化成上三角(下三角或反三角)形式，再根据行列式的定义来计算行列式.特征:第1行、列及主对角线外元素均为0(或可化为这种形式)的行列式(称K型行列式)，可以化为上三角行列式进行计算.1.3 利用行(列)展开定理进行降阶，或作拉普拉斯展开拉普拉斯定理设在行列式D中任意取定了k(1≤k≤n－1)个行，由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.例2 在行列式根据拉普拉斯定理从这个例子来看，利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的.这个定理主要是在理论方面应用.1.4 利用递推关系，或用数学归纳法证明无论是初等数学，还是高等数学，递推公式都有着非常广泛的运用.适用递推法计算行列式有以下规律:按照行列式的某一行(列)展开，会产生阶数比原行列式低但却与原行列式有着相同类型的新的行列式，运用递推法逐层降阶，最终将计算出原行列式的值.例3 计算n阶行列式由式(1)(2)得 A=－2，B=3，所以 Dn=－2n+1+3n+1.1.5 利用范德蒙行列式(或其他已知行列式)对任意的n(n≥2)，n级范德蒙德行列式等于a1，a2，…，an这n个数的所有可能的差ai－aj(1≤j＜i≤n)的乘积，即ai－aj).值得注意的是范德蒙德行列式为零的充分必要条件是a1，a2，…，an这n个数中至少有两个相等.例4 计算行列式1.6 加边法加边法即在原行列式基础上增加1行、1列(保持行列式值不变)，然后利用增加的行(列)对行列式化简、计算.解通过加边法把原来的n阶行列式转化为n+1阶行列式进行计算1.7 借助对应矩阵特征值的乘法计算如在数域p上能分解为一次因式的乘积，由根与系数的关系可知，A的全体特征值的和为a11+a22+…+ann(称为A的迹，记为Tr(A)).而A的全体特征值的积为，即方阵的特征值之积恰为其行列式的值;方阵多项式的特征值恰是其特征值的多项式.这是因为λ是A的特征值，则即λi是 A i的特征值，i=1，2，…，n.若f(x)=a1+a2x+…+A 为 n 阶矩阵，则f(λ)=a1+a2λ+…+是f(A)=a1E+a2A+…+的特征值.注:符合本题特征的行列式称为循环行列式，因而如上结果具有一般性.此处用到方阵的特征值之积恰为其行列式的值，方阵的多项式的特征值恰是其特征值的多项式.2 抽象型行列式的计算［4，5］抽象型行列式一般不给出具体元素，它往往涉及与行列式相关联的方阵、伴随阵、逆矩阵、分块矩阵，以及n维向量等的计算.因此，解决该类问题时应灵活运用矩阵的有关性质.，具体讨论时应注意以下几点:(1)熟悉公式等，这里n为矩阵A的阶数;(2)计算一般较难，但有公式(这里A，B均为n阶方阵)，所以两个方阵和的行列式常转化为积的问题;(3)遇到伴随矩阵时，常考虑如下公式AA*=A*A=，然后两边取行列式;(5)各行(列)以向量及其运算形式给出的行列式，可以按行(列)拆成几个行列式之和;(6)当已知矩阵的特征值时，可以用所有特征值之积计算.例7 设A为n阶方阵，且AA'=E(E是n阶单位矩阵，A'是A的转置矩阵)要计算，属于两个方阵和的行列式，由已知，AA'=E，可考虑如下方法1)对矩阵A+E右乘A'，再取行列式;2)将中的单位矩阵换为AA'.解法1 因为1)=0;又因为解法2 因为由于3 行列式按行(列)展开定理，及代数余子式的应用［6，7］行列式按行(列)展开定理，以及一个行列式某一行(列)元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和为零这两个事实，在行列式代数余子式、方程组等的讨论中有着广泛的应用.如在求一个行列式某一行元素代数余子式之和时，逐个计算再求和，运算量很大，此时可借助行列式中改变某一元素的取值不影响该元素代数余子式的值这一特点，将该行元素都化为1，如此得到的行列式即如上要求的值.(1)求 A31+A32+A33+A34.(2)求 M12+M22+M32+M42.注:要求某一矩阵所有元素的代数余子式之和，可考虑先求其伴随矩阵，再求伴随矩阵各元素之和.行列式的计算方法最常见的便是以上7种，但有时也因其结构不同而有其他类型的解法(如三对角线行列式的解法)，这里就不一一列举了.在平时的学习中，有时还会碰见一些抽象型行列式的计算，行列式按行(列)展开定理，及代数余子式的应用. 以上计算行列式的基本方法奠定了高等数学的理论基础，同时也为数学在现实生活中的广泛运用提供了理论依据，总而言之，具有实质上研究价值.参考文献:【相关文献】［1］刘洪星.高等代数选讲［M］.北京:机械工业出版社，2009［2］徐仲，等编.高等代数［M］.3版.西安:西北工业大学出版社，2006［3］王萼芳，石生明.高等代数［M］.3版.北京:高等教育出版社，2003［4］陈东升，黄守佳.线性代数与空间解析几何［M］.北京:机械工业出版社，2008［5］刘先忠，杨明.线性代数［M］.3 版.北京:高等教育出版社，2008［6］胡显佑，彭勇行.线性代数习题集［M］.天津:南开大学出版社，2004［7］吴世锦.四元数分量行列式的性质［J］.重庆工商大学学报:自然科版，2010，27(5):452-456。
范德蒙德行列式
02
范德蒙德行列式的性质
行列式的值唯一确定
• 范德蒙德行列式的值是由其元素唯一确定的。行列式的元素满足线性关系，即对于任意两个不同的排列，其对 应的行列式值是相等的。这种线性关系是范德蒙德行列式的一个重要性质，也是其广泛应用于矩阵计算和线性 方程组求解的基础。
转置不改变行列式的值
• 范德蒙德行列式的转置不改变其值。也就是说，对于任意一个n阶范德蒙德行 列式D，有D^T=D。这个性质在计算行列式时非常重要，因为它意味着我们 不需要对每个元素进行单独处理，而可以将它们按照一定的规律进行排列，从 而简化计算过程。
范德蒙德行列式的推广
范德蒙德行列式是组合数学中的重要公式，可以用于求解一 些组合数的问题。通过对该行列式的推广，我们可以将其应 用于更广泛的数学问题中。
推广的范德蒙德行列式可以用于求解更复杂的组合数问题， 也可以用于研究矩阵的特性。通过对行列式的深入研究，我 们可以得到许多有价值的数学结论。
范德蒙德行列式在量子力学中的应用
代数余子式
• 在范德蒙德行列式的定义中，我们可以看到每个子行列式都是由给定点的坐标差组成的。这些子行列式称为代 数余子式（Algebraic Minors）。
范德蒙德矩阵
• 范德蒙德矩阵（Vandermonde Matrix）是由给定平面上任意n个点的所有有 序坐标差组成的矩阵。其行向量和列向量都由给定点的坐标构成。
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03
范德蒙德行列式的计算方 法
递归法
递归法是一种通过不断将问题分解为更小的子问题来解决问题的方法。在计算范德蒙德行列式时，可 以将行列式拆分成更小的行列式，然后逐个计算，最终得到原行列式的值。
具体来说，我们可以将范德蒙德行列式的每一行都拆分成两个或更多的行，然后利用拆分后的行列式 与原行列式的递推关系，从低阶行列式推导出高阶行列式的值。这种方法虽然比较繁琐，但对于计算 一些低阶的范德蒙德行列式非常有效。
关于范德蒙德行列式的性质探讨
范德蒙德行列式的应用探讨李珊珊摘要：范德蒙德行列式作为一种重要的、著名的行列式性质独特、形式优美，利用范德蒙德行列式能大大降低我们解题时的难度，起到事半功倍的效果. 本文将介绍范德蒙德行列式的概念及其性质，并且给出范德蒙德行列式在行列式计算，向量空间理论，线性变换理论，多项式理论和微积分问题五个方面较全面的具体应用，并对方法和技巧做出概括和总结.关键词：范德蒙德行列式；向量空间；线性变换；多项式；微积分中图分类号：O13Discussion on The Application of VandermondeDeterminantLi Shan-shanAbstract:The determinant is an important tool in Mathematics. It is the basis of the follow-up to the content system, such as linear equations, matrix, vector spaces and linear transformations. And it has a wide range of applications. As an important and famous determinant, Vandermonde determinant has not only unique structure, but also exquisite form. Using V andermonde determinant can greatly reduce our computation on solving problems. That is also the essence of using V andermonde determinant. This article will introduce the concept of V andermonde determinant and its calculation method and properties. What's more, this article will summarize V andermonde determinant in determinant computation, vector space, linear transformation theory, theory of polynomial and solving the problems of calculus in specific applications. And the article in the methods and techniques of Vandermonde determinant will make a summary.Keywords: V andermonde determinant; vector space; linear transformation; polynomial; Calculus1. 引言行列式在高等代数中是一个重要的数学工具，活跃在数学的各个分支. 行列式最早出现在16世纪关于求解线性方程组的问题中. 它的研究是伴随着线性代数的发展而发展起来的. 18世纪，法国著名的数学家范德蒙德（A.T.V andermonde ,1735-1796）将行列式的理论脱离线性方程组，而放到理论高度作为专门的理论进行研究，并在此基础上确立了行列式的一些性质，使行列式逐步成为一门独立的数学研究课题. 范德蒙德行列式是范德蒙德在1772年提出的一种著名的行列式，具有重要的理论研究价值和广泛的应用价值. 利用范德蒙德行列式和它的一些性质，我们可以使计算变得更为简单、直接，从而大大的提高对高等代数和数学分析中问题的计算速度. 自上世纪50年代以来，数学工作者对范德蒙德行列式的计算方法和在一些应用方面进行了研究. 不同研究者的角度、出发点和研究方向均不相同. 例如：北京大学第三版《高等代数》教材（高等教育出版社，王萼芳 石生明修订）中就提到了范德蒙德行列式在行列式计算和多项式根的存在性问题中的应用. 在一些高校的学报中我们也可以找到许多范德蒙德行列式的应用. 如：徐杰在《范德蒙德行列式的应用》（职校论坛，2009）中探讨了应用范德蒙德行列式证明向量的线性相关性问题；张文治、赵艳在《范德蒙德行列式应用三则》（北华航天工业学院学报，2007）中给出了构造范德蒙德行列式计算缺项行列式；程伟健、贺冬冬在《范德蒙德行列式在微积分中的应用》（大学数学，2004）中研究了利用范德蒙德行列式求高阶无穷小和证明K 阶导数极限存在问题等等. 综上所述，虽然国内外对范德蒙德行列式的应用研究比较多，但是对应用方法技巧的总结、归纳还比较欠缺和零散，系统性、规范性不足. 针对这种情况，本文较为系统的探讨范德蒙德行列式的应用，并对方法和技巧做出了总结.2. 范德蒙德行列式的概念及其性质定义 形如12322221231111123111...1........................n n n n n n na a a a a a a a a a a a ----的行列式，称为n 阶范德蒙德（V andermonde ）行列式，记为n D .范德蒙德行列式构造独特、形式优美，并且有独特的性质. 下面将给出范德蒙德行列式的各种性质.首先，范德蒙德行列式拥有普通行列式的所有性质.（1）行列互换，行列式不变；（2）以一个数乘行列式的一行（列），相当于用这数乘此行列式；（3）行列式某一行（列）是两组数的和，则此行列式等于两个行列式的和； （4）如果行列式中两行（列）成比例，则行列式为零； （5）把一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变； （6）行列式中两行（列）的位置，行列式符号改变.其次，我们给出范德蒙德行列式的五个更特别的性质. 性质1 对任意的(2)n n ≥，123222212311111123111...1......()..................n n n i j j i nn n n n na a a a D a a a a a a a a a a ≤<≤----==-∏，并且0n D =的充要条件是12,,...,n a a a 这n 个数中至少有两个相等，其中∏表示同类因子的乘积.证明： 对n 进行数学归纳. 当2n =时，211211n D a a a a ==-，结果正确. 假设对于1n -结论成立，即111()n i j j i n D a a -≤<≤-=-∏.则对于n 阶的情况有，在n D 中第n 行减去第1n -行的1a 倍，第1n -行减去第2n -行的1a 倍，以此类推，由下向上依次减去上一行的1a 倍，有2131122221231311212122123131111...10 0..................0...n n n nn n n n n n nna a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------=------=2131122221231311212122123131.....................n n nn n n n n n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------------=1232222213111232222123111...1...()()...().....................n n n n n n n na a a a a a a a a a a a a a a a a a -------.后面这是一个1n -阶的范德蒙德行列式，根据归纳法假设，它等于所有可能差(2)i j a a j i n -≤<≤的乘积，而包含1a 的差全在前面出现了. 因之，结论对n 阶范德蒙德行列式也成立. 根据数学归纳法，可知 1()n i j j i nD a a ≤<≤=-∏.由n D =1()i j j i na a ≤<≤-∏，可知0n D =的充要条件是12,,...,n a a a 这n 个数中至少有两个相等，证毕.注 2.1 因为T n n D D =，所以范德蒙德行列式还可以写成211112122221333211...1...1..................1...n n n n nnna a a a a a a a a a a a ----，行列式的值不变.性质2 若将范德蒙德行列式n D 顺时针旋转90 ，可得1211112222(1)1233312...1...1...1..................1n n n n n n n n n nnna a a a a a D a a a a a a --------=， 则有(1)(1)2(1)n n nn DD -=-.证明：因为T n n D D =，所以2111121222(1)21333211 (1)...1..................1...n n Tn n n n nnna a a a a a D D a a a a a a ----==，交换行列式的第1列与第n 列，则根据行列式的性质（6），行列式的值变为原来的-1倍，即有12111122221233312...1 (1)...1..................1n n n n n nnna a a a a a D a a a a a a ----=-， 再交换所得行列式的第2列和第1n -列，行列式变为原来的2(1)-倍，即有121111222221233312...1 (1)(1)...1..................1n n n n n n n n n nnna a a a a a D a a a a a a --------=-， 依次进行下去，得到最终的行列式12111122221233312...1...1...1..................1n n n n n n n n nnna a a a a a a a a a a a --------， 这样进行了(1)2(1)n n --次，于是1211112222(1)12233312...1...1(1)...1..................1n n n n n n n n n n n nnna a a a a a D a a a a a a ---------=-，结论得到证明.性质3 若将范德蒙德行列式n D 逆时针旋转90 ，可得(2)nD =212111121222211111 (1)...1 (1)...n n n nnn n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a --------------，有(1)(2)2(1)n n nn D D -=-.事实上，与性质2 的证明类似，依次交换行列式的两行，我们容易得到性质3 的结果.性质4 若将范德蒙德行列式n D 旋转180 ，可得(3)nD =111112122121211111............ (1)1...11n n n n n n n n n n nn n n n n a a a a a a a a a a a a -------------， 有(3)nn D D =.事实上，类似于性质2和性质3的证明，连续进行两次性质2 或性质3 的变换，就可以得到性质4 的结果.性质 5 n 阶准范德蒙1232222123(4)111112311111231231111n n nk k k k n k k k k nnnnnnx x x x x x x x D x x x x x x x x x x x x ----++++=1212,,...,1()n k n ki j p p p p p p j i nx x x x x --≤<≤=-∑∏，(1,2,,1)k n =- ，其中12,,,n k p p p - 是1,2,,n 中()n k -个数的一个正序排列，12,,,n kp p p -∑表示对所有()n k -阶排列求和.证明：在行列式中增补第(1)k +行和(1)n +列相应的元素. 考虑1n +阶范德蒙德行列式123222221231111111231231111112312311111()n n k k k k k n n kkkkknk k k k k nnnnnnnx x x x x x x x x xD x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x-----++++++=，按第1n +列展开，有11,12,11,11,111()1...()...()()inn n n i n n n n i j j i nD x A xA x A x A x x x x x x +++++++≤<≤=++++=---∏，其中,1(1,2,...,1)i n A i n +=+分别是21,,,...,n x x x 的代数余子式. 于是(4)(1)(1)1,1(1)n i ni n D A +++++=-. （1）对于11,12,11,11,111()1...()...()()inn n n i n n n n i j j i nD x A xA x A x A x x x x x x +++++++≤<≤=++++=---∏，由根与系数的关系（Vieta 定理）有12121,1,,...,1(1)...()n kn kn ii n p p p i j p p p j i nA x x x x x ---++≤<≤=--∑∏，由（1）式，可知1212(4),,...,1()n k n kni j p p p p p p j i nD x x x x x --≤<≤=-∑∏.3. 关于范德蒙德行列式应用的探讨前面介绍了范德蒙德行列式的概念及其性质，接下来我们将从行列式计算，向量空间理论，线性变换理论，多项式理论和微积分问题五个方面探讨范德蒙德行列式的应用.3.1 范德蒙德行列式在行列式计算中的应用范德蒙德行列式在行列式计算问题中起着举足轻重的作用. 利用范德蒙德行列式计算行列式已经被确立为一种特殊的方法被广泛使用. 下面我们来看几个例子：例1 计算行列式12322221232222123123111...1...........................n n n n n n nnnnnnx x x x x x x x D x x x x x x x x ----=.解：法1 构造1n +阶范德蒙德行列式1232222212312222212311111123123111...11......()...........................n n n n n n n n nn n n n n nnnnnnnx x x x x x x x x xD x x x x x x x x x x xx x x x x+----------=，则行列式D 为1()n D x +中元素1n x -的余子式，将行列式1()n D x +按1n +列展开得11,12,11,1()1...nn n n n n D x A xA x A +++++=+++，其中1n x -的系数为21,1,1,1(1)n n n n n n n A M M D ++++=-==-.又111()()...()()n n i j j i nD x x x x x x x +≤<≤=---∏，由根与系数的关系有1n x-的系数是1ni i x =-∑，因此在1()n D x +中1n x -的系数为11()nij i i i j nx x x =≤<≤--∑∏，所以11()nij i i i j nD x x x =≤<≤=--∑∏.法2 由范德蒙德行列式的性质 5，1212,,...,1()n k n ki j p p p p p p j i nD x x x x x --≤<≤=-∑∏，这里11()nij i i i j nD x x x =≤<≤=--∑∏.例2 证明n 阶循环行列式123121112122341.........()()...()..................n n n n n n n a a a a a a a a a a a a f f f a a a a εεε---=， 其中112()...n n f x a a x a x -=+++，12,,...,n εεε是所有的n 次单位根.证明：由于12,,...,n εεε是所有的n 次单位根，其所构成的n 阶范德蒙德行列式12322221231111123111...1......0..................n n n n n n nεεεεεεεεεεεε----≠，令123121123222211212311112341123...111...1................................................n nn n n n n n n n n n na a a a a a a a D a a a a a a a a εεεεεεεεεεεε-------=⋅，再由行列式的乘法，D 的第i 行第j 列的元素是2112311......i i n ij n i n i j n jj n i jd a a a a a εεεε----+-+-+=++++++，1,2,...,i n =，规定n k k a a +=.由于22cossin,(1,2,...,)m m m i m n ππεππ=+=，所以1mm εε=.于是(2)(1)(1)23111111......jj i j i j i ij n i n i n n i d a a a a a εεεε----+-+-+=++++++.又11nε=，因而(1)11,,1,2,...,j i ij j d d i j n ε-==.而右端的数恰好为行列式111231222221231311111231111...100...0 00...0. 00...0....................................nn n n n n nna a a a εεεεεεεεεεεε---- 的第i 行第j 列的元素，即上面的行列式也等于D ，且原循环行列式的值为11121...n a a a ， 由行列式D 的形状可知：1112...(),1,2,...,n j j n jj a a a a f j n εεε-=+++==.于是再根据行列式的性质有1232341(1)(2)2345212121.........(1)()()...()..................n n n n nn a a a a a a a a a a a a f f f a a a a εεε---=-.通过对上述例题的分析，可归纳出构造和利用范德蒙德行列式来计算行列式的一些技巧：① 观察要计算的行列式是否具有范德蒙德行列式的的某些结构特征； ② 通过适当的方法构造范德蒙德行列式；③ 结合范德蒙德行列式以及题目的要求进行行列式的求解；④ n 阶循环行列式的解法以多项式理论为基础，结合范德蒙德行列式进行求解，方法简便易行，具有一定的实用价值.3.2 范德蒙德行列式在向量空间理论中的应用向量空间有时也称为线性空间，它是线性代数最基本的概念之一，也是我们在高等代数的学习中接触到的第一个抽象的概念. 向量空间与其子空间的关系问题，向量空间中向量的线性相关性问题都是向量空间研究的重点和难点，对逻辑推理有较高的要求. 对于判断、证明、计算向量空间中相应问题多往往比较难. 但将其与行列式适当结合，特别是与范德蒙德行列式相结合时，题目就会变得容易理解和掌握，如下面几个例子：例3 设V 是数域F 上的n 维向量空间，则V 不能写成它的有限个真子空间的并.证明：对n 进行数学归纳. 当1n =时，显然成立.设1n >时，令123,,,...,n a a a a 是V 的一组基，设1*12{...|}n n S a ka k a k F V -=+++∈⊂, 其中*F 是F 中元素的集合， 令*112:,...n n F S k e ke k e ϕ-→→+++，其中12,,...,n e e e 是单位向量， 则易证ϕ是双射,从而S 中有无穷多个不同的元素.设i V （1,2,...i t =）为V 的真子空间，则S 中的元素在i V 中的个数小于n . 否则，若,1,2,...,j i V j n β∈=,111121112........................................n n n nn n n a k a k a a k a k aββ--⎧=+++⎪⎨⎪=+++⎩,即211111121222222133333211...1...1 (1)...n n n n nn nnn a k k k a k k k a k k k a k k k ββββ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则由,,1,2,...,,i j k k i j n i j ≠=≠知123,,,...,n a a a a 的系数行列式为范德蒙德行列式， 由范德蒙德行列式的性质 1知系数行列式非零，故,1,2,...,j k a V j n ∈=.进而,1,2,...,i V V i t ==矛盾, 从而S 中只有有限多个元素在1ti i V = ，即V 不能写成它有限个真子空间的并的形式.例4 设V 是数域F 上的n 维向量空间，任给正整数m n ≥，则在V 中存在m 个向量，其中任取n 个向量都线性无关.证明：因为n V F ≅，所以只需在n F 中考虑即可. 取211(1,,,...,)n a c c c -=,222122(1,,(),...,())n a c c c -=, .......................................... 21(1,,(),...,())m m n m m a c c c -=.令111222333212121211()...()1()...()1()...()...............1()...()nnnk k k n k k k n k k k n n k k k n c c c c c c D cc ccc c----=,121...,n k k k m ≤≤≤≤≤c为任意常数.因为111222333212121211()...()1()...()1()...()...............1()...()nnnk k k n k k k n k k k n n k k k n c c c c c c D cc ccc c----=是范德蒙德行列式，由范德蒙德行列式的性质1知n 0D ≠，所以12,,...,nk k k a a a 线性无关. 再由n V F ≅，所以结论成立.在向量空间理论中，我们经常会碰到需要用范德蒙德行列式转化的问题，通过转化我们很容易地得到所需要的结论. 而这就要求我们充分掌握范德蒙德行列式以及它的结构特征，达到灵活的使用.3.3 范德蒙德行列式在线性变换理论中的应用线性变换反映了线性空间中元素之间的一种最基本的联系，它是线性函数的推广.线性变换与行列式、矩阵联系密切. 利用行列式，尤其是范德蒙德行列式，来解决线性变换的特征值与特征向量问题能达到事半功倍的效果.例5 如果12,,...,s λλλ是线性变换的全部两两不同的特征值，(1,2,...)ii V i s λα∈=，则当12...0s ααα+++=时，必有12...0s ααα====.证明：注意到(1)i i i i s αλα=≤≤，对等式12...0s ααα+++=左右两边同时逐次作用，得112222211221111122 0...0 0s s s s s s s s s λαλαλαλαλαλαλαλαλα---+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩， 用矩阵表示为()21111212222112333211 (1)...,,...,(0,0,...,0)1..................1...s s s s s sss λλλλλλαααλλλλλλ----⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （2）矩阵211112122221333211...1 (1)..................1...s s s s sss B λλλλλλλλλλλλ----⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的行列式是范德蒙德行列式，并且由于12,,...,s λλλ两两不同，从而B 是可逆矩阵. 在（2）式两边右乘1B -,得()12,,...,(0,0,...,0)s ααα=，所以12...0s ααα====.例6 设数域F 上的n 维向量空间V 的线性变换σ有n 个互异的特征根12,,...,n λλλ则：（i ）与σ可交换的V 的线性变换都是21,,,...,n e σσσ-的线性组合，其中e 为恒等变换；（ii ）21,,,,...,n V αασασασα-∀∈线性无关的充要条件是1nii αα==∑，其中(),1,2,...,i i i i n σαλα==.证明：（i ）设δ是与σ可交换的线性变换，且(),1,2,...,i i i i n σαλα==， 则{|}ii V k k F λα=∈是δ的不变子空间.令21121...n n xe x x x δσσσ--=++++且(),1,2,...,i i i k i n σαα==，则有下方程组21111211121212221221121.......................................n n n n n nn n n n k x x x x k x x x x k x x x x λλλλλλλλλ------⎧=+++⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ , （3） 可知（3）的系数行列式是范德蒙德行列式，且系数行列式1()i j j i nD λλ≤<≤=-∏，因为12,,...,n λλλ互异，由范德蒙德行列式的性质 1知0D ≠.于是方程组（3）有唯一解，所以δ是21,,,...,n e σσσ-的线性组合. （ii ）先证明充分性. 因为1nii αα==∑，所以21111212222121123333211 (1)...(,,,...,)(,,...,)1..................1...n n n n n n n nnλλλλλλασασασαααααλλλλλλ-----=.且2111121222213331211...1...()01..................1...n n n i j j i nn n nnλλλλλλλλλλλλλλ---≤<≤-=-≠∏，因而211112122221333211...1...1..................1...n n n n n nnλλλλλλλλλλλλ----是可逆矩阵. 又由12,,...,n ααα是V 的一组基，可知21,,,...,n ασασασα-线性无关. 再证必要性.设12,,...,n e e e 是分别属于12,,...,n λλλ的特征向量，则12,,...,n e e e 构成V 的一组基，因而有1122...n n k e k e k e α=+++. 若0,1,2,...,i k i n ≠=则i i k e 是σ的属于i λ的特征向量，故结论成立. 若存在{1,2,...,}j n ∈使0j k ≠，不妨设12,,...,r k k k 全不为零， 而1...0r n k k +===，因而有1122...r r k e k e k e α=+++，则211111111212222222212112333333321......(,,,...,)(,,...,).....................n n n n r n rr rr rr r k k k k k k k k e e e k k k k k k k k λλλλλλασασασαλλλλλλ-----⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.利用范德蒙德行列式的性质 1可知21111111121222222221333333321...........................n n n n rr rr rr r k k k k k k k k A k k k k k k k k λλλλλλλλλλλλ----⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭有一个r 阶子式不为零，所以秩（A ）=r ，从而21(,,,...,)n r ασασασα-=秩， 又因为21,,,...,n ασασασα-线性无关，所以21(,,,...,)n n ασασασα-=秩.而r n <,矛盾. 所以1nii αα==∑，其中(),1,2,...,ii i i nσαλα==.在高等代数中，线性变换一直是最难的部分之一，题目的变化也很多. 在这些题目中，我们巧妙地运用范德蒙德行列式来使复杂的问题得到解决.3.4 范德蒙德行列式在多项式理论中的应用多项式是一类最常见、最简单的函数，它的应用非常广泛. 虽然多项式在整个高的代数中相对独立，然而却为高等代数的基本内容提供了理论依据. 研究多项式、多项式根的存在性问题、多项式求根问题是多项式理论中的重难点. 而多项式的求根问题又与行列式相关联，巧妙应用它们之间的联系，会起到化繁为简的作用. 例7 设01()n n f x c c x c x =+++ ，若()f x 至少有n+1个不同的根，则()0f x =. 证明：121,,,n x x x + 为()f x 的n+1个不同的根，则有齐次线性方程组20112112012222201121100n n nn n n n n n c c x c x c x c c x c x c x c c x c x c x +++⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩. （4） 将01,,,n c c c 看作方程组（4）的未知量.因为方程组（4）的系数行列式D 是范德蒙行列式，且1()0i j i j nD x x ≤<≤=-≠∏，由克莱姆法则知方程组（4）只有零解，从而有010n c c c ==== ，即()f x 是零多项式.例8 设12,,,n a a a 是数域F 中互不相同的数，12,,,n b b b 是数域F 中任一组给定的不全为零的数，则存在唯一的数域F 上次数小于n 的多项式()f x ，使(),1,2,,i i f a b i n == .证明：设1011()n n f x c c x c x --=+++ ， 由(),1,2,,i i f a b i n == ，知21011211112101222122210121n n n n n n n n n n c c a c a c a b c c a c a c a b c c a c a c a b------⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩ . (5） 因为12,,,n a a a 互不相同，所以方程组（5）的系数行列式21111212222133312111()01...1n n n i j i j nn nnna a a a a a D a a a a a a a a ---≤<≤-==-≠∏.由克莱姆法则知方程组（5）有唯一解，即存在唯一的数域F 上次数小于n 的多项式1011()n n f x c c x c x--=+++ ，使得(),1,2,,i i f a b i n == .在多项式理论中，涉及到求根问题的有很多. 在分析有些题目时，范德蒙德行列式是能够起到关键的作用. 主要应用在多项式组成的方程组中，系数组成的行列式是范德蒙德行列式. 若系数行列式不为零（即范德蒙德行列式的性质 1），则由克莱姆法则知方程组只有零解. 熟练有效地运用范德蒙德行列式，对我们最终解决问题会有直接的帮助.3.5 范德蒙德行列式在微积分中的应用无穷大量、无穷小量、高阶导数和极限是微积分的主要内容. 这些概念的正确理解和掌握对学好微积分是必要的. 在解决这类问题的时候，有时巧妙地构造范德蒙德行列式变换形式，可以使问题得到容易理解的解答.例9 设f(x )在区间I 上n 阶可导(2)n ≥，若对x I ∀∈，0|()|f x M ≤，()|()|n n f x M ≤(0,n M M 是正常数）.证明：若存在1n -个正常数121,,...,n M M M -，对x I ∀∈，()|()|(1,2,...,1)k k f x M k n ≤=-.证明：设121,,,,0,()n i i j a a a I a a a i j -∈≠≠≠ 且， 由泰勒公式，对1,2,...,1i n ∀=-，()()11()()()()!!k n n kni ii k fx ff x a f x a a k n ξ==+=++∑，由此得()()11()()()()!!k n n k nii i k fx fa f x a f x a k n ξ===+--∑，所以有()()101()|()||||()||()|||2,!!!k n n k nii i n k fx fA a f x a f x a M M k n n ξ==≤+++≤+∑其中11||m ax n ii n A a ≤≤-=.令1()1()()!kn k ii k a fx A x k ===∑，(x I ∈，1,2,...,1)i n =-， （6）则0|()|2!i n A A x M M n ≤+，(x I ∀∈，1,2,...,1)i n =-.由于方程组（6）的系数行列式D 为231111123122222311111...2!3!(1)!...2!3!(1)!..................2!3!(1)!n n n n n n n a a a a n a a a a D n a a a a n --------=--211112122221121333211111...1......1...1!2!...(1)!...............1...n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n a a a --------=-右边的行列式为121,,,n a a a - 的范德蒙德行列式，由0,()i i j a a a i j ≠≠≠知0D ≠，由克莱姆法则知，存在与x 无关的常数()()()121,,...,k k k n λλλ-，使得 1()()1()(),,1,2,...,1n k k i i i fx A x x I k n λ-==∀∈=-∑,由此推得x I ∀∈，1,2,...,1k n =-11()()()0011|()||||()|||(2)!n n k k k ii ik i i A fx A x M M M n λλ--==≤≤+=∑∑.例10 设函数f(x)在x=0附近有连续的n 阶导数，且'()(0)0,(0)0,...,(0)0n f f f≠≠≠，若121,,...,n p p p +是一组两两互异的实数，证明：存在惟一的一组实数121,,...,n λλλ+，使得当0h →时，11()(0)n i i i f p h f λ+=-∑是比n h 高阶的无穷小.证明：由题设的条件，可得()i f p h ，1,2,...,1i n =+在0x =处带有皮亚诺余项的麦克劳林展开式为：()110()(0)(),!k knk nk p h f p h fo h k ==+∑（1q ）()220()(0)(),!kknk nk p h f p h fo h k ==+∑（2q ）.........................()110()(0)(),!k knk nn n k p h f p h fo h k ++==+∑（1n q +）112211()()...()n n q q q λλλ++⨯+⨯++⨯,得111()11111()(0)(1)(0)()(0)()!n n nn k k kn ii i ii i i k i f p h f f p fh o h k λλλ+++====-=-++∑∑∑∑.当0h →时，若11()(0)n i i i f p h f λ+=-∑为比n h 高阶的无穷小，则有121112211222112211112211...1...0...0 0n n n n n n n n n n p p p p p p p p p λλλλλλλλλλλλ++++++++++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪+++=⎪⎩， 这是以121,,...,n λλλ+为未知数的线性方程组，其系数行列式有123122221231111231111...1......()0..................n n j i i j n nn nn n p p p p D p p p p p p p p p p ++≤<≤++==-≠∏，所以上述方程组有惟一的解，即存在唯一的一组实数121,,...,n λλλ+，使得当0h →时，11()(0)n i i i f p h f λ+=-∑为比n h 高阶的无穷小.例11 设f(x)至少有k 阶导数，且对某个实数α有()lim ()0,lim ()0k x x x f x x f x αα→∞→∞==. （7）试证：()lim ()0,0,1,2,...,i x x f x i k α→∞==，其中(0)()()fx f x =.证明：由条件（7）知，要证明()lim ()0i x x f x α→∞=，只要将()()i f x 写成()f x 与()()k f x 的线性组合的形式即可，利用泰勒公式，21'"(1)()()()()()...()()2!(1)!!k kk k m mmmf x m f x m f x f x fx fk k ξ--+=+++++- （8）其中,1,2,...,m x x m m k ξ<<+=.这是关于'"(1)(),(),...,()k f x f x f x -的线性方程组，其系数行列式为21211111...2!(1)!2212...2!(1)! (1)...2!(1)!k k k k D kkkk ----=-212121111 (1)122 (21133)...31!2!...(1)!...............1...k k k k kkk ---=-，后一行列式是范德蒙德行列式，且有212121111 (1)122...21!2!...(1)!133...3 (1)...k k k k kkk---=-，所以D =1. 于是可从方程组（8）把'"(1)(),(),.()k f x f x f x-写成()(1,2,...,)f x m m k +=与()()(1,2,...,)k m fm k ξ=的线性组合. 只需证明()lim ()lim ()0,(1,2,..,)k m x x x f x m x fm k ααξ→∞→∞+===.事实上，设x t x k ≤≤+，于是()()()lim ()lim ()()lim ()lim ()0,(0,)i i i x x x x x x x ft t ft t ft i k tt ααααα→∞→∞→∞→∞====.在此式中分别令,0t x m i =+=和令,m t i k ξ==，则得()lim ()lim ()0,(1,2,..,)k m x x x f x m x fm k ααξ→∞→∞+===.通过对以上例题的分析可以总结利用范德蒙德行列式解决微积分问题的方法： ① 首先要应用泰勒公式，写出函数在某点的近似解；② 根据构造函数在某点的泰勒展开形式，构造范德蒙德行列式；③结合范德蒙德行列式和题目本身进行求解.4. 结束语范德蒙德行列式为问题的求解提供了十分有效地手段. 对范德蒙德行列式的应用，不仅需要对范德蒙德行列式的形式、特点及性质熟练掌握，而且要能灵活的应用. 范德蒙德行列式应用中，构造范德蒙德行列式是解决问题的难点和关键点. 要巧妙地构造范德蒙德行列式进行解题，必须对高等数学的基础知识熟练掌握，要善于将知识衔接起来. 达到这样的境界非一日之功，因此只有打好高等数学的基础，不断地分析解决典型的题目，找出内在的规律，日积月累，对范德蒙德行列式的应用才能得到进一步的掌握.参考文献：[1] 北京大学数学系集合与代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003.[2] 华东师范大学数学系.数学分析[M]. 北京：高等教育出版社，2001.[3] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，2006.[4] 邹应.数学分析习题及其解答[M].武汉：武汉大学出版社，2001.[5] 章乐.几道考研试题的推广[J].大学数学，2003.[6] 牛莉.线性代数[M].北京：中国水利水电出版社，2005.[7] 吴良森，毛羽辉，宋国栋，魏木生，数学分析习题精解[M].北京：科学出版社，2002.[8] 易大义, 陈道琦. 数值分析引论[M].杭州: 浙江大学出版社, 1998.。
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范德蒙行列式不等于0充要条件
1. 引言
在线性代数中，范德蒙行列式是一种重要的概念，它在矩阵、方程组以及插值多项式的求解中都有广泛的应用。
而范德蒙行列式不等于0充要条件则是一个值得深入探讨的主题。
本文将从浅入深地探讨范德蒙行列式的概念及其重要性，最终论证范德蒙行列式不等于0充要条件的结论。
2. 范德蒙行列式的概念及应用
让我们回顾一下范德蒙行列式的定义。
给定n个不同的实数或复数x1, x2, ..., xn，将它们按一定的次序排成n行，并且规定它们的次序以后不再更改，则由这n个数按照这个次序排成的行列式称为范德蒙行列式，记作V(x1, x2, ..., xn)。
范德蒙行列式在代数方程组的求解、插值多项式的构造以及曲线拟合等领域中都有着重要的应用。
3. 范德蒙行列式不等于0的意义
接下来，让我们探讨范德蒙行列式不等于0的意义。
范德蒙行列式不等于0意味着所给定的n个数x1, x2, ..., xn满足某种特定的条件，这
种条件反映了这n个数之间的关系。
在实际问题中，范德蒙行列式不
等于0意味着一组数据具有一定的规律性和相关性，这对于数据处理、曲线拟合等问题具有重要的指导意义。
4. 范德蒙行列式不等于0充要条件的证明
现在，让我们探讨范德蒙行列式不等于0充要条件的证明。
我们可以
根据行列式的展开定理来证明这一结论。
我们可以利用线性代数的知识，通过对n维向量空间的变换及其性质来进行推导。
我们还可以从
数学分析的角度来看待这个问题，利用函数的性质和连续性来论证。
5. 个人观点和理解
在我看来，范德蒙行列式不等于0充要条件的结论是线性代数中一个
非常重要且基础的结论。
它不仅为我们提供了在实际问题中处理数据
和方程组的重要工具，同时也反映了数学中抽象概念和实际问题之间
的深刻联系。
在今后的学习和工作中，我会更加深入地理解范德蒙行
列式及其应用，努力将这些知识用于实际问题的解决中。
6. 总结
范德蒙行列式不等于0充要条件是线性代数中的一个重要概念，它在
代数方程组、插值多项式、曲线拟合等问题中有着重要的应用。
通过
本文的探讨，我们对范德蒙行列式的概念及其应用有了更深入的理解，同时也证明了范德蒙行列式不等于0充要条件的结论。
希望本文的内
容能够对您有所帮助，同时也期待在您未来的学习和工作中能够更好
地应用这些知识。
7. 范德蒙行列式在实际问题中的应用
除了在代数方程组、插值多项式、曲线拟合等数学问题中的应用外，
范德蒙行列式还在实际问题中具有广泛的应用价值。
在工程领域中，
我们常常需要利用已知的数据来进行曲线拟合，以便预测未来的趋势
或进行参数的估计。
范德蒙行列式的不等于0充要条件的结论可以为
我们提供一种有效的数据处理工具，使得我们能够更准确地进行曲线
拟合和参数估计，从而为工程设计和决策提供更可靠的依据。
另外，在经济学和金融学领域中，范德蒙行列式的概念也得到了广泛
的应用。
在经济数据分析中，我们常常需要对已有的数据进行插值估
计或曲线拟合，以便预测未来的经济走势或进行政策制定。
范德蒙行
列式的不等于0充要条件的结论可以为我们提供一种有效的数据处理
方法，使得我们能够更加准确地进行经济预测和政策分析，从而为经
济发展和政策制定提供更有力的支持。
8. 范德蒙行列式与人工智能的关系
近年来，随着人工智能技术的飞速发展，数据处理和计算能力的需求
也日益增加。
范德蒙行列式作为一种有效的数据处理工具，与人工智
能技术的发展密切相关。
在机器学习领域中，我们常常需要利用已有的数据来进行模型训练和参数估计，以便进行智能决策和预测分析。
范德蒙行列式的不等于0充要条件的结论可以为我们提供一种有效的数据处理方法，使得我们能够更准确地进行模型训练和参数估计，从而为人工智能技术的发展提供更坚实的基础。
9. 范德蒙行列式在科学研究中的应用
除了在工程、经济和人工智能领域中的应用外，范德蒙行列式还在科学研究中具有重要的应用价值。
在生物医学领域中，我们常常需要利用已知的数据来进行生物参数的估计或进行生物模型的拟合。
范德蒙行列式的不等于0充要条件的结论可以为我们提供一种有效的数据处理方法，使得我们能够更准确地进行生物参数估计和模型拟合，从而为医学研究和临床诊断提供更有力的支持。
10. 结语
在本文中，我们对范德蒙行列式的概念及其重要性进行了探讨，并证明了范德蒙行列式不等于0充要条件的结论。
通过对范德蒙行列式在实际问题中的应用进行了扩展，我们发现范德蒙行列式不仅在数学领域中具有重要的应用，同时也在工程、经济、人工智能和科学研究等领域中具有广泛的应用价值。
希望本文的内容能够对读者有所启发，
同时也期待在未来的学习和工作中能够更好地应用范德蒙行列式的知识，为实际问题的解决提供更有效的方法和工具。