概率论与数理统计浙江大学第四版盛骤——概率论部分2
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只有两个结果：
A, A,
P A 1 6
3.从52张牌中有放回地取n次，设A={取到红牌}，则
每次只有两个结果：
A, A,
P A 1 2
如果是不放回抽样呢？
8
设A在n重贝努利试验中发生X次，则
k k P( X k ) Cn p (1 p)nk ， k 01 ， ， ，n 并称X服从参数为p的二项分布，记 X b(n，p) 注： 1 ( p q) C p q 其中q 1 p
n n k 0 k n k nk
推导：设Ai={ 第i次A发生 }，先设n=3
P( X 0) P( A1 A 2 A3 ) (1 p)3
P( X 1) P( A1 A 2 A3
P( X 2) P( A1 A 2 A3
A1 A 2 A3
A1 A 2 A3
1 1 A1 A 2 A3 ) C3 p (1 p)31
解：设Ai={第i次抽到正品}，i=1,2,… 则A1,A2,…相互独立。
P( X k ) P( A1 A2 Ak 1 Ak ) (1 p)k 1 p, k 1, 2,
亦称X为服从参数p的几何分布。
6
三个主要的离散型随机变量
0－1(p) 分布
X p 0 q 1 p
解： 设Ai={第i个灯为红灯}，则P(Ai)=p，i=1,2,3 且A1,A2,A3相互独立。
P( X 0) P( A1 ) p ；
P( X 1) P( A1 A2 ) (1 p) p ；
P( X 2) P( A1 A2 A 3 ) (1 p)2 p ；
s e x
X=f(e)－－为S上的单值函数，X为实数
*
*
定义：随试验结果而变的量X为随机变量
离散型的
常见的两类随机变量
连续型的
3
§2
离散型随机变量及其分布
定义：取值可数的随机变量为离散量 离散量的概率分布(分布律)
X P
x1 p1 x2 p2
… …
xi pi
… …
pi 0, pi 1
i 1
10
解：按第一种方法。 以X 记“第一人维护的20台中同一时刻发生故障的台数”。 以Ai i 1, 2,3, 4 表示事件“第i人维护的20台中发生故障不能 及时维修”，则知80台中发生故障不能及时维修的概率为：
而X b 20,0.01 , 故有：
1 k 0
P A 1A 2 A 3 A 4 P A 1 P X 2
k P Y 4 1 C80 0.01 0.99 k k 0 3 80 k
0.0087
11
例：某人骑了自行车从学校到火车站，一路上 要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独 立，且设各灯为红灯的概率为p，0<p<1， 以Y表示一路上遇到红灯的次数。 (1)求Y的概率分布律； (2)求恰好遇到2次红灯的概率。
样本空间S＝{ X=x1，X=x2，…，X=xn，… } 由于样本点两两不相容
1 P( S ) P( X xi ) pi
i 1 i 1
# 概率分布
1、写出可能取值－－即写出了样本点 2、写出相应的概率－－即写出了每一个样本点出现的概率
4
例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经 过3个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设 各灯为红灯的概率为p，0<p<1，以X表示首次 停车时所通过的交通灯数，求X的概率分布律。
(p+q=1)
二项分布
* n重贝努利试验：设试验E只有两个可能的结果： A, A p(A)=p,0<p<1,将E独立地重复进行n次，则称这一串重复 的独立试验为n重贝努利试验。
7
例：
1. 独立重复地抛n次硬币，每次只有两个可能的结果： 正面，反面， P 出现正面 1 2
2.将一颗骰子抛n次，设A={得到1点}，则每次试验
2 2 A1 A 2 A3 ) C3 p (1 p)32
P( X 3) P( A1 A 2 A3 ) p3
k k 一般 P( X k ) Cn p (1 p)nk , k 0,1, 2,
,n
9
例： 设有80台同类型设备，各台工作是相互独 立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备 的故障能有一个人处理。 考虑两种配备维修工人的方法， 其一是由4个人维护，每人负责20台； 其二是由3个人共同维护80台。 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时 维修的概率的大小。
3 P( X 3) P( A A A ) (1 p ) ； 1 2 3
注意： X 0 , X 1 , X 2
X
0 p
1 p(1-p)
2 (1-p) p
2
3 (1-p)
3
X 3 为S的一个划分
5
p
例：从生产线上随机抽产品进行检测，设产品 的次品率为p，0<p<1，若查到一只次品就 得停机检修，设停机时已检测到X只产品， 试写出X的概率分布律。
概率论部分2
第二章 随机变量及其分布
1
第二章 随机变量及其分布
关键词： 随机变量 概率分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量的函数
2
§1
*
随机变量
常见的两类试验结果：
示数的——降雨量；候车人数；发生交通事故的次数… 示性的——明天天气（晴，多云…）；化验结果（阳性，阴性）…
பைடு நூலகம்
*
中心问题：将试验结果数量化
1
k P X 2 1 P X k 1 C20 k 0
0.01 0.99
k
20 k
0.0169
即有：P A1 A2 A3 A4 0.0169
按第二种方法。以Y 记80台中同一时刻发生故障的台数， 此时, Y b 80, 0.01 , 故80台中发生故障而不能及时维修的概率为：
解：这是三重贝努利试验
Y
b(3, p)
3k
1
P(Y k ) C p (1 p)
k 3 k
, k 0,1, 2,3
2
2 2 P(Y 2) C3 p (1 p)
A, A,
P A 1 6
3.从52张牌中有放回地取n次，设A={取到红牌}，则
每次只有两个结果：
A, A,
P A 1 2
如果是不放回抽样呢？
8
设A在n重贝努利试验中发生X次，则
k k P( X k ) Cn p (1 p)nk ， k 01 ， ， ，n 并称X服从参数为p的二项分布，记 X b(n，p) 注： 1 ( p q) C p q 其中q 1 p
n n k 0 k n k nk
推导：设Ai={ 第i次A发生 }，先设n=3
P( X 0) P( A1 A 2 A3 ) (1 p)3
P( X 1) P( A1 A 2 A3
P( X 2) P( A1 A 2 A3
A1 A 2 A3
A1 A 2 A3
1 1 A1 A 2 A3 ) C3 p (1 p)31
解：设Ai={第i次抽到正品}，i=1,2,… 则A1,A2,…相互独立。
P( X k ) P( A1 A2 Ak 1 Ak ) (1 p)k 1 p, k 1, 2,
亦称X为服从参数p的几何分布。
6
三个主要的离散型随机变量
0－1(p) 分布
X p 0 q 1 p
解： 设Ai={第i个灯为红灯}，则P(Ai)=p，i=1,2,3 且A1,A2,A3相互独立。
P( X 0) P( A1 ) p ；
P( X 1) P( A1 A2 ) (1 p) p ；
P( X 2) P( A1 A2 A 3 ) (1 p)2 p ；
s e x
X=f(e)－－为S上的单值函数，X为实数
*
*
定义：随试验结果而变的量X为随机变量
离散型的
常见的两类随机变量
连续型的
3
§2
离散型随机变量及其分布
定义：取值可数的随机变量为离散量 离散量的概率分布(分布律)
X P
x1 p1 x2 p2
… …
xi pi
… …
pi 0, pi 1
i 1
10
解：按第一种方法。 以X 记“第一人维护的20台中同一时刻发生故障的台数”。 以Ai i 1, 2,3, 4 表示事件“第i人维护的20台中发生故障不能 及时维修”，则知80台中发生故障不能及时维修的概率为：
而X b 20,0.01 , 故有：
1 k 0
P A 1A 2 A 3 A 4 P A 1 P X 2
k P Y 4 1 C80 0.01 0.99 k k 0 3 80 k
0.0087
11
例：某人骑了自行车从学校到火车站，一路上 要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独 立，且设各灯为红灯的概率为p，0<p<1， 以Y表示一路上遇到红灯的次数。 (1)求Y的概率分布律； (2)求恰好遇到2次红灯的概率。
样本空间S＝{ X=x1，X=x2，…，X=xn，… } 由于样本点两两不相容
1 P( S ) P( X xi ) pi
i 1 i 1
# 概率分布
1、写出可能取值－－即写出了样本点 2、写出相应的概率－－即写出了每一个样本点出现的概率
4
例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经 过3个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设 各灯为红灯的概率为p，0<p<1，以X表示首次 停车时所通过的交通灯数，求X的概率分布律。
(p+q=1)
二项分布
* n重贝努利试验：设试验E只有两个可能的结果： A, A p(A)=p,0<p<1,将E独立地重复进行n次，则称这一串重复 的独立试验为n重贝努利试验。
7
例：
1. 独立重复地抛n次硬币，每次只有两个可能的结果： 正面，反面， P 出现正面 1 2
2.将一颗骰子抛n次，设A={得到1点}，则每次试验
2 2 A1 A 2 A3 ) C3 p (1 p)32
P( X 3) P( A1 A 2 A3 ) p3
k k 一般 P( X k ) Cn p (1 p)nk , k 0,1, 2,
,n
9
例： 设有80台同类型设备，各台工作是相互独 立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备 的故障能有一个人处理。 考虑两种配备维修工人的方法， 其一是由4个人维护，每人负责20台； 其二是由3个人共同维护80台。 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时 维修的概率的大小。
3 P( X 3) P( A A A ) (1 p ) ； 1 2 3
注意： X 0 , X 1 , X 2
X
0 p
1 p(1-p)
2 (1-p) p
2
3 (1-p)
3
X 3 为S的一个划分
5
p
例：从生产线上随机抽产品进行检测，设产品 的次品率为p，0<p<1，若查到一只次品就 得停机检修，设停机时已检测到X只产品， 试写出X的概率分布律。
概率论部分2
第二章 随机变量及其分布
1
第二章 随机变量及其分布
关键词： 随机变量 概率分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量的函数
2
§1
*
随机变量
常见的两类试验结果：
示数的——降雨量；候车人数；发生交通事故的次数… 示性的——明天天气（晴，多云…）；化验结果（阳性，阴性）…
பைடு நூலகம்
*
中心问题：将试验结果数量化
1
k P X 2 1 P X k 1 C20 k 0
0.01 0.99
k
20 k
0.0169
即有：P A1 A2 A3 A4 0.0169
按第二种方法。以Y 记80台中同一时刻发生故障的台数， 此时, Y b 80, 0.01 , 故80台中发生故障而不能及时维修的概率为：
解：这是三重贝努利试验
Y
b(3, p)
3k
1
P(Y k ) C p (1 p)
k 3 k
, k 0,1, 2,3
2
2 2 P(Y 2) C3 p (1 p)