新华师大版九年级下册初中数学 课时1 切线的判定和性质定理 教案
2020春华师版九年级数学下册 第27章 【教学设计】 切线
切线【教学目标】一、知识与技能：1.理解切线的判定定理和性质定理，并能灵活运用。
2.会过圆上一点画圆的切线。
二、过程与方法：以圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系为依据，探究切线的判定定理和性质定理，领会知识的延续性，层次性。
三、情感态度与价值观：让学生感受到实际生活中存在的相切关系，有利于学生把实际的问题抽象成数学模型。
【教学重点】探索切线的判定定理和性质定理，并运用。
【教学难点】探索切线的判定方法。
【教学方法】自主探索，合作交流【教学准备】尺规【教学过程】一、导语：通过上节课的学习，我们知道，直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交。
而相切最特殊，这节课我们专门来研究切线。
师生行为：教师联系近期所学知识，提出问题，引起学生思考，为探究本节课定理作铺垫。
二、探究新知（一）切线的判定定理1.推导定理：根据“直线l和⊙O相切d=r”，如图所示,因为d=r直线l 和⊙O相切，这里的d是圆心O到直线l的距离，即垂直，并由d=r就可得到l 经过半径r的外端，即半径OA的端点A，可得切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．分析： 1、垂直于一条半径的直线有几条？2、经过半径的外端可以做出半径的几条垂线？3、去掉定理中的“经过半径的外端”会怎样？去掉“垂直于半径”呢？师生行为：学生画一个圆，半径OA，过半径外端点A的切线l，然后将“d=r直线l和⊙O相切”尝试改写为切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
设计意图：过学生亲自动手画图，进行探究，得出结论。
思考1：根据上面的判定定理，要证明一条直线是⊙O的切线，需要满足什么条件？总结：①这条直线与⊙O有公共点；②过这点的半径垂直于这条直线。
思考2：现在可以用几种方法证明一条直线是圆的切线？①圆只有一个公共点的直线是圆的切线②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线③上面的判定定理.师生行为：教师引导学生汇总切线的几种判定方法思考3：已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？2. 定理应用①完成课本例1分析：已知点C是直线AB和圆的公共点，只要证明OC⊥AB即可，所以需要连接OC，作出半径。
新华师大版九年级下册初中数学 课时1 切线的判定和性质定理 教学课件
C．60°
D．75°
第二十页，共二十二页。
拓展与延伸
如图，点O为∠MPN的平分线上一点，以点O为圆心的 ⊙O与PN相切于点A. 求证：PM为⊙O的切线．
第二十一页，共二十二页。
拓展与延伸
证明：如图，连接OA，过点O作OB⊥PM于点B. ∵PN与⊙O相切于点A， ∴OA⊥PN. ∵点O在∠MPN的平分线上， OB⊥PM， ∴OB＝OA. ∴点O到直线PM的距离等于⊙O的半径． ∴PM为⊙O的切线．
直线是圆的切线． (3)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径
的直线是圆的切线．
第十七页，共二十二页。
课堂小结
2.作辅助线的两种方法：
(1)若直线与圆的公共点未指明，则过圆心作直线的垂线段， 然后说明这条垂线段的长等于圆的半径；即“作垂直， 证半径”．
(2)若直线与圆的一个公共点已指明，则连结这点和圆心，
说明直线垂直于经过这点的半径；即“连半径，证垂直”． 3.切线的性质定理：圆的切线垂直于过且点的半径。 4.已知直线满足：①过圆心；②过切点；③垂直于切线中的
任意两个，就可得到第三个．
第十八页，共二十二页。
当堂小练
1.如图，AB是⊙O的直径，线段BC与⊙O的交点D是BC的 中点，DE⊥AC于点E，连接AD，则下列结论中正确的个
圆的切线．
第六页，共二十二页。
新课讲解
3. 切线判定常用的证明方法： (1)有切点，连半径，证垂直：
如果已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到 辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可，简记为：
有切点，连半径，证垂直．
(2)无切点，作垂直，证半径： 如果已知条件中不知道直线与圆是否有公共点，那么过圆心 作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径即可，简记
切线的判定和性质数学教案
切线的判定和性质数学教案标题：切线的判定与性质——数学教案一、教学目标1. 知识目标：理解和掌握圆的切线的定义，以及切线的判定和性质。
2. 能力目标：通过解决相关问题，提高学生的逻辑推理能力和空间想象能力。
3. 情感态度价值观目标：培养学生积极思考、勇于探索的学习态度，增强学生对数学学习的兴趣。
二、教学重点与难点1. 教学重点：切线的判定方法和性质。
2. 教学难点：理解并应用切线的判定定理和性质解决实际问题。
三、教学过程（一）引入新课教师引导学生回顾上节课关于圆的知识，提出问题：“如何判断一条直线是否为圆的切线？”以此引出本节课的主题——切线的判定和性质。
（二）讲解新知1. 切线的定义：与圆只有一个公共点的直线叫做圆的切线。
2. 切线的判定：(1) 判定定理1：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
(2) 判定定理2：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。
3. 切线的性质：(1) 性质1：过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
(2) 性质2：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
（三）课堂练习设计一些相关的练习题，让学生在实践中巩固所学知识。
如：例题1：已知OA,OB为圆O的两条半径，∠AOB=60°，P为劣弧AB上的动点，过P作圆O的切线PC，设∠APB=α，求证：tanα=2sinα。
例题2：已知△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是BC边的中点，E是AC边上的任意一点，DE与以C为圆心，CA为半径的圆相切于F点，证明：AF⊥BE。
（四）课堂小结引导学生总结本节课的主要内容，包括切线的定义、判定定理和性质，并强调这些知识在解题中的重要性。
（五）课后作业布置适量的课后作业，帮助学生进一步巩固和应用所学知识。
四、教学反思在教学过程中，应注重引导学生主动参与，鼓励他们通过独立思考和合作交流来解决问题。
同时，要关注学生的个体差异，提供有针对性的教学指导，以满足他们的不同学习需求。
切 线+++第1课时 圆的切线的判定与性质++课件++2024—2025学年华东师大版数学九年级下册
证明：连接DE，过点D作DF⊥OB于点F. ∵OA切⊙D于点E，∴DE⊥OA. 又∵DF⊥OB，D是∠AOB平分线上一点， ∴DE＝DF，∴OB与⊙D相切．
知识点2：切线的性质
3．(长春中考)如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠BAC＝35
°，则∠ACB的度数为
（C ）
A．35°
B．45°
(2)解：在Rt△EOF中，设半径为r，即OE＝OB＝r，则OF＝r＋1， 4 OE r
∵sin∠AFE＝5＝OF＝r＋1， ∴r＝4，∴AB＝2r＝8， 在Rt△ABC中， sin∠ABC＝AACB＝sin∠AFE＝45，AB＝8， ∴AC＝45×8＝352，∴BC＝ AB2－AC2＝254.
的延长线于点 D.若⊙O 的半径为 1，则 BD 的长为
（D ）
A．1
B．2
C. 2
D. 3
8．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点 C 的切线互相垂 直，垂足为 D. (1)求证：AC 平分∠DAB；
3 (2)若 AD＝8，tan∠CAB＝4，求边 AC 及 AB 的长．
如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作 AC的垂线，垂足为点E. (1)求证：点D是BC的中点； (2)求证：DE是⊙O切线． 【思路分析】(1)根据“三线合一”证明； (2∵AB是直径，∴AD⊥BC， 又∵AB＝AC，∴BD＝CD, ∴点D是BC的中点． (2)连接OD，∵AO＝BO, BD＝CD， ∴OD∥AC，又∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线． 【名师支招】切线的判定方法2，3的选择标准是看直线与圆的公共点是 否已知，若已知公共点，则连圆心与公共点，证垂直；若公共点未知， 则过圆心作垂线，证d＝r.
九年级数学下册《切切线的定义及判定定理线的定义及判定定理》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解切线的定义，掌握切线与圆相切的唯一性和切点的性质；
2.学会运用判定定理判断直线是否为圆的切线，包括：圆心到直线的距离等于半径、过圆上一点的直线垂直于半径等；
3.能够运用切线性质解决实际问题，如求切线长度、切线与圆相交弦长等；
（1）研究圆的切线与半径的关系，总结出切线长度的计算公式；
（2）探讨弦切角与圆心角的关系，并尝试证明。
4.小组作业：
（1）分组讨论，共同解决以下问题：已知圆的方程和一点，求过该点的切线方程；
（2）每组将讨论成果整理成书面报告，并在课堂上展示。
作业要求：
1.独立完成作业，认真思考，规范书写，确保作业质量；
（3）注重培养学生的空间想象力和抽象思维能力，提高学生的数学素养；
（4）结合生活实际，创设有趣、富有挑战性的教学情境，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动：教师展示自行车轮胎与地面接触点的图片，引导学生观察并思考：为什么轮胎与地面接触的点只有一个？这个点有什么特殊性质？
（1）求给定圆的切线方程；
（2）已知切线方程，求圆的方程；
（3）判断给定直线是否为圆的切线，若是，求切点坐标。
2.请同学们思考以下问题，并在课堂上进行分享：
（1）如何利用切线性质解决实际问题？
（2）在解决切线问题时，判定定理有哪些应用场景？
（3）结合生活实际，举例说明切线在现实中的胎与地面相切的点，相切的意思是两者在此处紧密接触，没有缝隙。
3.教师引导：很好，今天我们就来学习与这个相切点有关的知识——切线。首先，请同学们回忆一下我们已经学过的圆的性质和方程。
九年级数学：切线的判定和性质(教学设计方案)
( 数学教案 )学校：_________________________年级：_________________________教师：_________________________教案设计 / 精品文档 / 文字可改九年级数学：切线的判定和性质(教学设计方案)Mathematics is a tool subject, it is the basis for learning other subjects, and it is also a subject that improves people's judgment, analysis, and comprehension abilities.九年级数学：切线的判定和性质(教学设计方案)（一）教学目标：1、使学生深刻理解切线的判定定理，并能初步运用它解决有关问题；2、通过判定定理和切线判定方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力；3、通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性．教学重点：切线的判定定理和切线判定的方法；教学难点：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视．教学过程设计（一）复习、发现问题1．直线与圆的三种位置关系在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么关系?２、观察、提出问题、分析发现（教师引导）图(2)中直线l是⊙O的切线，怎样判定？根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便．我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢?如图，直线l到圆心O的距离OA等于圆O的半径，直线l是⊙O的切线．这时我们来观察直线l与⊙O的位置．发现：(1)直线l经过半径OC的外端点C；(2)直线l垂直于半径0C．这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理．（二）切线的判定定理：1、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2、对定理的理解：引导学生理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径．请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．图(1)中直线了l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)（3）中直线l与半径垂直，但不经过半径外端．从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．（三）切线的判定方法教师组织学生归纳．切线的判定方法有三种：①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理．（四）应用定理，强化训练'例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线．分析：欲证AB是⊙O的切线．由于AB过圆上点C，若连结OC，则AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥OB。
新华师大版九年级下册初中数学 课时1 切线的判定和性质定理 教案
第二十七章圆27.2 与圆有关的位置关系3.切线课时1 切线的判定和性质定理1、理解切线的判定定理和性质定理；2、能够利用切线的性质定理构造直角三角形.理解切线的判定定理和性质定理.能够利用切线的性质定理构造直角三角形.下雨天，当你转动雨伞，你会发现雨伞上的水珠顺着雨伞的边缘飞出，仔细观察一下，水珠是顺着什么样的方向飞出的？这就是我们所要研究的直线与圆相切的情况。
1、小组活动。
（4人一组）2、班级展示；3、老师总结。
对直线l除点A以外的任一点P，必有OP>OA，即点P位于圆外，从而可知直线与圆只有一个公共点，所以直线l是圆的切线。
l四、学习切线的判定定理1、定理的内容：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2、图形语言。
l3、符号语言。
∵OA是⊙O的半径，OA⊥直线l（已知），∴直线l是⊙O的切线（切线的判定定理）。
五、切线的性质定理1、定理的内容：圆的切线垂直于经过切点的半径。
2、图形语言OAl3、符号语言∵OA是⊙O的半径，过点A的直线l是圆的切线（已知），∴OA⊥直线l（切线的性质定理）。
例如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E。
（1）求证：∠1=∠BAD；（2）求证：BE是⊙O的切线。
证明：（1）∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD。
∵∠1=∠BDA，∴∠1=∠BAD。
（2）如图，连接BO，∵∠ABC=90°，又∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BCO+∠BCD =180°。
∵OB=OC，∴∠BCO =∠CBO，∴∠CBO +∠BCD =180°，∴OB∥DE。
∵BE⊥DE，∴BE⊥OB。
∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线。
本节课应掌握：切线的判定定理和性质定理.1、课本练习第3题。
2、课本习题27.2第7、8题.。
切线的判定和性质数学教案设计
切线的判定和性质数学教案设计第一章：导言1.1 课程背景本节课我们将学习一种特殊的直线——切线。
在初中阶段，我们已经学习了直线、射线、线段等基本概念。
通过学习切线，我们将对函数图像有更深入的了解，并掌握一种新的解决问题的方法。
1.2 教学目标（1）了解切线的定义及其特点；（2）掌握切线的判定方法；（3）能运用切线的性质解决实际问题。
第二章：切线的定义及特点2.1 教学内容本节课我们将学习切线的定义及特点。
我们通过具体例子观察函数图像上的切线，引导学生发现切线的特点。
给出切线的定义，并从几何角度分析切线的性质。
2.2 教学活动（1）展示几个函数图像，引导学生观察并描述切线的外观特点；（2）给出切线的定义，让学生理解切线与函数图像的关系；（3）通过几何图形，引导学生分析切线的性质，如切线与函数图像的交点为切点，切线与函数图像的切点处的导数为切线的斜率等。
第三章：切线的判定方法3.1 教学内容本节课我们将学习切线的判定方法。
我们回顾一下导数的定义，引入切线的判定方法。
通过实例讲解如何运用切线的判定方法。
3.2 教学活动（1）回顾导数的定义，让学生理解导数与切线的关系；（2）给出切线的判定方法，让学生掌握如何判断一条直线是否为切线；第四章：切线的性质4.1 教学内容本节课我们将学习切线的性质。
我们通过几何图形引导学生理解切线的性质。
给出切线的性质定理，并解释其含义。
通过实例讲解如何运用切线的性质。
4.2 教学活动（1）通过几何图形，引导学生理解切线的性质，如切线与函数图像的切点处的导数为切线的斜率，切线与函数图像的交点为切点等；（2）给出切线的性质定理，让学生掌握切线的性质；第五章：运用切线解决实际问题5.1 教学内容本节课我们将学习如何运用切线解决实际问题。
我们通过具体例子引导学生理解切线在实际问题中的应用。
给出运用切线解决实际问题的方法，并解释其原理。
通过实例讲解如何运用切线解决实际问题。
5.2 教学活动（1）展示几个实际问题，引导学生观察并发现其中涉及到的切线；（2）给出运用切线解决实际问题的方法，让学生理解切线在实际问题中的作用；第六章：切线方程的求法6.1 教学内容本节课我们将学习如何求解切线的方程。
华东师大版九年级数学下册教案：27.2.3 切线第1课时
27．2.3切线第1课时切线的性质和判定知识与技能1．能判定一条直线是否为圆的切线．2．会过圆上一点画圆的切线．3．能运用圆的切线的判定和性质解决问题．过程与方法通过复习直线和圆的位置关系，以直线和圆的位置关系中的“d＝r⇔直线和圆相切”为依据，探究切线的判定定理和性质定理．情感、态度与价值观1．经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己观点．2．经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题．重点探索圆的切线的判定和性质，并能运用．难点探索圆的切线的判定方法．一、创设情境，导入新课1．复习、回顾直线与圆的三种位置关系.2．根据几何画板所示图形，请学生判断直线和圆的位置关系．学生判断的过程，提问：你是怎样判断出图中的直线和圆相切的？根据学生的回答，继续提出问题：如何界定直线与圆是否只有一个公共点？(画板演示)教师指出，根据切线的定义可以识别一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义识别很不方便，为此我们还要学习识别切线的其他方法．(板书课题)二、合作交流，探究新知1．探究切线的判定定理(1)由上面的复习，我们可以把上节课所学的切线的定义作为识别切线的方法1——定义法：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．(2)当然，我们还可以由上节课所学的用圆心到直线的距离d与半径r之间的关系来判断直线与圆是否相切，即：当d＝r时，直线与圆的位置关系是相切．以此作为识别切线的方法2——数量关系法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线．(3)继续观察复习时的图形，如图，圆心到直线l的距离d等于半径r，直线l是⊙O 的切线，这时我们来观察直线l与⊙O的位置，可以发现：(1)直线l经过半径OA的外端点A；(2)直线l垂直于半径OA.这样我们就得到了从位置上来判断直线是圆的切线的方法3——位置关系法：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(4)思考：现在，任意给定一个圆，你能不能作出圆的切线？应该如何作？请学生回顾作图过程，切线l是如何作出来的？它满足哪些条件？引导学生总结出：①经过半径外端；②垂直于这条半径．请学生继续思考：这两个条件缺少一个行不行？ (学生画出反例图)图①图②图③图①中直线经过半径外端，但不与半径垂直；图②中直线与半径垂直，但不经过半径外端. 从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线.最后引导学生分析，方法3实际上是从前一节所讲的“圆心到直线的距离等于半径时直线和圆相切”这个结论直接得出来的，只是为了便于应用把它改写成“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这种形式.2．探究切线的性质定理已知：如图，直线CD是⊙O的切线，切点为A，那么，半径OA与直线CD是不是一定垂直呢？由于CD是⊙O的切线，圆心O到直线CD的距离等于半径，所以半径OA就是圆心O到直线CD的垂线段，即CD⊥OA.因此得到切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．教师点拨：实际上，上图中，CD是切线，A是切点，连接AO与⊙O交于B，那么AB是对称轴，所以沿AB对折图形时，AC与AD重合，因此，∠BAC＝∠BAD＝90°.教师分析：直接证明比较困难，可用反证法．学生先自主、再合作，完成证明过程．养成良好的分析问题、解决问题的能力和习惯．三、运用新知，深化理解例1 如图，已知点O 是∠APB 平分线上一点，ON ⊥AP 于N ，以ON 为半径作⊙O.求证：BP 是⊙O 的切线．【分析】该例与上例不同，上例已知BC 经过圆上一点D ，所以思路是连接半径证垂直．该例BP 与⊙O 是否有公共点还不能确定，而要证BP 是⊙O 的切线，需用证明切线的另一种方法，即“作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径”．证明：作OM⊥B P 于M.∵OP 平分∠APB，且ON⊥AP，OM ⊥BP ，∴OM ＝ON ，又ON 是⊙O 的半径，∴OM 也是⊙O 的半径，∴BP 是⊙O 的切线．【教学说明】证明直线是圆的切线常有三种方法．(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)圆心到直线距离等于半径的直线是圆的切线；(3)经过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线．例2 如图，AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，AC 交 ⊙O 于点E ，D 为AC 上一点，∠AOD ＝∠C.(1)求证：OD 丄AC ；(2)若AE ＝8，tan A ＝34，求OD 的长．【分析】(1)∵ BC 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，∠A ＋∠C＝90°.又∵∠AOD＝∠C，∴∠AOD ＋∠A＝90°.∵∠ADO ＝90°，.∴OD ⊥AC.(2)∵OD⊥AE，O 为圆心，∴D 为AE 的中点，∴AD ＝12AE ＝4， 又tan A ＝OD AD ＝34，∴OD ＝3. 四、课堂练习，巩固提高1．教材P 52练习．2．教师指导学生完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．五、反思小结，梳理新知1．提问：这节课主要学习了哪些内容？需要注意什么问题？在学生回答的基础上，教师总结：主要学习了切线的识别方法，着重分析了方法3成立的条件，在应用方法3时，注意两个条件缺一不可.识别一条直线是圆的切线，有三种方法：(1)根据切线定义判定，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线；(3)根据直线的位置关系来判定，即经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，说明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线，如果已知直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径即可．2．圆中经常作的辅助线——连接切点和圆心，是构造直角三角形解决问题的常见思路与方法．六、布置作业1．学生完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”．2．教材P56习题27.2第6～8题．。
九年级数学下册《切线的性质和判定》教案、教学设计
4.设计不同难度的例题和练习题，由浅入深，让学生逐步掌握切线相关知识，培养逻辑推理能力和数学运算能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对几何图形的审美情趣，激发他们对数学学科的兴趣和热爱。
2.培养学生勇于探索、严谨治学的学习态度，让他们在解决问题的过程中体验成功的喜悦。
九年级数学下册《切线的性质和判定》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握切线的定义，能够准确判断一个直线是否为给定圆的切线。
2.掌握切线的性质，如切线与半径垂直、切线段为半径的外切三角形的一条边等。
3.学会使用判定定理判断一个直线是否为圆的切线，如通过圆心到直线的距离等于圆的半径来判断。
4.能够运用切线相关知识解决实际问题，如求圆的切线长度、切线与弦的交点等。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，学生将通过以下方法培养数学思维与解题能力：
1.通过实际操作和观察，引导学生发现切线的性质，培养观察能力和动手能力。
2.引导学生运用几何画板等教学软件，进行动态演示，激发学生的学习兴趣，提高直观想象能力。
6.开展课堂小结活动，鼓励学生分享自己在学习过程中的收获和困惑，及时反馈教学效果，为后续教学提供参考。
7.教学评价方面，注重过程性评价与终结性评价相结合，关注学生在课堂上的表现、作业完成情况以及解决问题的能力。
8.加强课后辅导，针对学生在学习过程中遇到的问题，提供个性化指导，帮助他们克服难点，提高学习效果。
（2）在平面直角坐标系中，已知圆心为(3,4)，半径为5，求过点A(1,1)的切线方程。
3.拓展练习题：
新华师版初中数学九年级下册【学案】 切线
切线一、学习目标1.理解切线的判定定理和性质定理。
2.熟练掌握以上内容解决一些实际问题。
3.提升数学学习能力。
二、自主探究请你先阅读课本，然后解决下面的问题：（一）引入新知1 、【画一画】请你自己动手画一个圆的切线，你怎么知道它是圆的切线？作法：（1）（2）（3）2、【想一想】为什么：圆的切线垂直于经过切点的半径？下面的证法对吗？已知：直线a 切⊙O 于点A.求证：OA ⊥直线a证明：假设不垂直,作OM ⊥a因“垂线段最短”,故OA>OM,即圆心到直线距离小于半径.这与线圆相切矛盾.故：圆的切线垂直于经过切点的半径.3、【说一说】通过以上两个问题的交流，在阅读课本P 95的基础上，你能用一句话描述什么是圆的切线吗？（1）· · M A O a（2）（3）4、【议一议】（1）.如图，点D 是∠AOB 的平分线OC 上任意一点，过D 作DE ⊥OB 于E ，以DE 为半径作⊙D ，判断⊙D 与OA 的位置关系， 并证明你的结论。
（2）如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB,CA=CB,求证直线AB 是⊙O 的切线。
（二）尝试运用1、【动动笔】请你阅读课本，将上面两题中任选一题证出来。
2、【动动手】在理解概念的基础上，请你自己动手来画图，说明圆的切线与判定，再用数学语言描述出来，然后跟你的同学进行交流。
3、【动动脑】已知:如图,A 是⊙O 外一点,AO 的延长线交⊙O 于点C,点B 在圆上,且AB=BC, ∠A=30.求证:直线AB 是⊙O 的切线.AB E O （1） （2） · O AC B三、归纳小结本节课你的收获有哪些？。
数学初三下华东师大版28.2切线教案(1)
数学初三下华东师大版28.2切线教案（1）教学目标1.使学生掌握切线的识别方法，并能初步运用它解决有关问题；2.通过切线识别方法的学习，培养学生观看.分析.归纳问题的能力。
教学重点切线的识别方法教学难点方法的理解及实际运用教学过程〔一〕复习情境导入1.复习、回忆直线与圆的三种位置关系2.请学生判断直线和圆的位置关系学生判断的过程，提问：你是怎么样判断出图中的直线和圆相切的？依照学生的回答，接着提出问题：如何界定直线与圆是否只有一个公共点？教师指出，依照切线的定义能够识别一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义识别特别不方便，为此我们还要学习识别切线的其它方法、〔板书课题〕〔二〕实践与探究1：圆的切线的判断方法1.由上面的复习，我们能够把上节课所学的切线的定义作为识别切线的方法1——定义法：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；2.所以，我们还能够由上节课所学的用圆心到直线的距离d与半A径r 之间的关系来判断直线与圆是否相切，即：当d r 时，直线与圆的位置关系是相切，以此作为识别切线的方法2——数量关系法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；3.实验：作⊙O 的半径OA ，过A 作l ⊥OA 能够发明：〔1〕直线l 通过半径OA 的外端点A ；〔2〕直线l 垂直于半径OA 、如此我们就得到了从位置上来判断直线是圆的切线的方法3——位置关系法：通过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
〔三〕课堂练习思考：现在，任意给定一个圆，你能不能作出圆的切线？应该如何作？请学生回忆作图过程，切线l 是如何作出来的?它满足哪些条件?引导学生总结出：①通过半径外端；②垂直于这条半径、请学生接着思考：这两个条件缺少一个行不行?〔学生画出反例图〕〔图1〕〔图2〕 图〔3〕图〔1〕中直线l 通过半径外端，但不与半径垂直；图〔2〕中直线l 与半径垂直，但不通过半径外端，从以上两个反例能够看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线。
27.2.3 第1课时 切线的判定与性质(课件)九年级数学下册(华东师大版)
OC＝ OB2＋CB2＝ 32＋62＝3 5.
例3 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，O 是 BC 的中点，
⊙O 与 AB 相切于 E.求证：AC 是⊙O 的切线．
A
分析：根据切线的判定定理，要证
明 AC 是⊙O 的切线，只要证明由
点 O 向 AC 所作的垂线段 OF 是⊙O B
交AB 的延长线于点D，且∠ D=2 ∠ CAD.
(1)求∠ D 的度数.
解：如图27.2-19，连结OC.
∵ AO=CO，∴∠ OAC= ∠ ACO.
∴∠ COD=2 ∠ CAD.又∵∠ D=2 ∠ CAD，∴∠ D= ∠ COD.
∵ PD 切⊙ O 于点C，∴ OC ⊥ PD，即∠ OCD=90° .
解：∵∠OBC＝∠OEC，∠BCO＝∠ACO，OC＝OC，
∴△OBC≌△OEC，∴BC＝EC＝6.
在 Rt△ABC 中，
AC＝ AB2＋CB2＝ 82＋62＝10，
∴AE＝AC－EC＝10－6＝4.
设⊙O 的半径为 r，在 Rt△AOE 中，
∵AE2＋OE2＝OA2，
∴42＋r2＝(8－r)2，∴r＝3，
又∵ OD 是⊙ O 的半径，∴ DE 是⊙ O 的切线.
5-1. 如图，在△ ABC 中，AB=AC，D 为AC 上一点，以CD
为直径的⊙ O 与AB 相切于点E，交BC于点F，FG ⊥ AB，
垂足为G．
(1)求证：FG 是⊙ O的切线；
证明：连结OF.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OF＝OC，
∴OE⊥AB.
又∵AB⊥GF，OF⊥GF，
∴四边形 GFOE 是矩形，∴OE＝GF＝2 2.
∴OF＝OC＝2 2.
27.2.3 第1课时 切线的判定与性质定理课件2023-2024学年华东师大版九年级数学下册
预习导学
(1)用一根细线系一个小球，当你快速转动细线时，小球运
动形成一个圆，突然这个小球脱落，沿着圆的边缘飞出去，你
知道小球顺着什么方向飞出去吗？(2)下雨天，快速转动雨伞，
雨伞上的水珠是顺着什么方向飞出去的？
预习导学
切线的判定定理
阅读课本本课时前5段的内容，完成下面问题.
如图，OA是☉O的半径，记为r，过点A作直线l⊥OA.
共点，应该“作垂线”.
合作探究
变式演练 在上题中，如果已知OA、OB是☉D的切线，切
点分别是E，F，试说明OD是∠AOB的平分线.
证明:连接DE，DF，图略.
∵OA，OB是☉D的切线，
∴DE⊥OA，DF⊥OB.
在Rt△EOD与Rt△FOD中，
∵DE＝DF，OD＝OD，
∴Rt△EOD≌Rt△FOD，
第27章 圆
27.2 与圆有关的位置关系
27.2.3 切线
第1课时 切线的判定与性质定理
素养目标
1.通过探究，得出切线的判定定理，能够运用切线的判定定
理解决问题.
2.知道切线的性质定理，并能运用切线的性质定理解决问题.
◎重点:运用圆的切线的判定定理和性质定理进行证明与计
算.
◎难点:灵活运用所学知识解决有关切线问题.
∴∠EOD＝∠FOD，
∴OD是∠AOB的平分线.
合作探究
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分
线AD交BC边交于点D.以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作
☉O(不写作法，保留作图痕迹)，再判断直线BC与☉O的位置关
系，并说明理由.
合作探究
解:如图，BC是☉O的切线.
理由如下:连接OD，
华师版九年级数学下册27.2.3 第1课时 切线的判定教案与反思
原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！玉壶存冰心,朱笔写师魂。
——冰心《冰心》原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！落红不是无情物，化作春泥更护花。
出自龚自珍的《己亥杂诗·其五》1．掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明．（重点）2．能灵活选用切线的三种判定方法判定一条直线是圆的切线.(难点)一、情境导入下雨天，当你转动雨伞，你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出．仔细观察一下，珠是顺着什么样的方向飞出的？这就是我们所要研究的直线与圆相切的情况．二、合作探究探究点：切的判定【类型一】已知直线过圆上的某一个点，证明圆的切线如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D ＝30°，求证：CD是⊙O的切线．解析：要证明CD是⊙的切线，即证明OC⊥CD．连接OC，由AC=CD，∠D=30°，则∠A =∠D =30°，得到∠CD =60°，∴∠OC =90°．证明：如图，连接OC .∵AC ＝CD ，∠D ＝30°，∴∠A ＝∠D ＝30°.∵OA ＝C ，∴∠2＝∠A ＝30°，∴∠1＝60°，∴∠OCD ＝90°，∴OC ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线．方法总结：切线的判定方法有三种：①利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的线是圆的切线；②到圆距离等于半径的直线是圆的切线；③经过半径的外端，并且垂直于这条半径的线是圆的切线． 【类二】到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线如图，在△OAB 中，OA =52，OB =54,OA ⊥OB ，以O 为圆心，4为半径作⊙O ，求证：AB 是⊙O 的切线．解析：作OC ⊥AB 于点C ，先利用勾股定理计算出AB =10，再利用面积法求出OC =4，而⊙O 的半径为4，则根据切线的判定方法可判断AB 是⊙O 的切线．证明：作OC ⊥AB 于点C .∵OA ⊥OB ，∴∠AOB =90°.在Rt △OAB 中，AB =22=+OB OA •AB OB •OA ，∴OC 的半径为4，∴OC 为⊙O 的半径.而OC ⊥AB ，∴AB 是⊙O 的切线．方法总结：在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．【类型三】 直线与圆的公共点没有确定时，证明圆的切线如图，△ABC 中，AB =AC ，D 为BC 的中点，以D 为圆心的圆与AB 相切于点E ．求证：AC 与⊙D 相切.解析：过点D作DF⊥AC，根据△ABC是等腰三角形，D是BC边的中点，以及AB是⊙D的切线，得到DF=DE，说明DF是⊙D的一条半径，根据切线的判定定理证明AC是⊙D的切线．证明：作DF⊥AC于点F，连接AD、DE．∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD平分∠BAC.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF=DE，∴AC是⊙D的切线．方法总结：如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径．【类型四】切线的判定和有关计算如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB.(1)求证：AC是△BDE的外接圆的切线；(2)若AD＝23，AE＝6，求EC的长．解析：(1)取BD的中点O，连接OE，如图，由∠BED＝90°，可得BD为△BDE 的外接圆的直径，点O为△BDE的外接圆的圆心，再证明OE∥BC，得到∠AEO＝∠C＝90°，可得结论；(2)设⊙O的半径为r，根据勾股定理和平行线分线段成比例定理，可求答案．(1)证明：取BD的中点O，连接OE，如图所示，∵DE⊥EB，∴∠BED＝90°，∴BD为△BDE的外接圆的直径，点O为△BDE的外接圆的圆心．∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE.∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴OE⊥AE，∴AC是△BDE的外接圆的切线；(2)解：设⊙O的半径为r，则OA＝OD＋DA＝r＋23，OE＝r.在Rt△AEO中，有AE2＋OE2＝AO2，即62＋r2＝(r＋23)2，解得r＝2 3.∵OE∥BC，∴AECE＝AOOB，即6CE ＝4323，∴CE＝3.方法总结：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某直线是圆的切线，已知此直线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．三、板书设计教学过程中，强调只要出现切线就要想到半径，就要想到有垂直的关系，要形成一个定势思维.【素材积累】驾驭命运的舵是奋斗。
华东师大版九年级数学下册同步教案 第27章圆 切线的性质定理与判定定理
3．切线第1课时切线的性质定理与判定定理1．理解切线的性质定理．2．通过学生动手实践,使学生理解切线的判定定理．重点理解切线的判定定理．难点切线的性质定理、判定定理的综合应用．一、创设情境,引入新课当你在下雨天快速转动雨伞(圆)时雨水飞出,让你感受到直线与圆的哪种位置关系？上节课我们学习了直线与圆的三种位置关系．这节课我们来学习切线的判定定理和性质定理．二、探究问题,形成概念探究1：切线的判定定理(1)已知圆O上一点A,怎样根据圆切线的定义,过点A作圆O的切线l？(请你自己动手完成)(2)观察：①圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么数量关系？②二者位置有什么关系？为什么？(3)由此你发现了什么？归纳结论：切线的判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．探究2：切线的性质定理：如果直线l是⊙O的切线,切点为A,那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？归纳结论：切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．例1 如图,直线AB经过⊙O上的点A,且AB＝OA,∠OBA＝45°,直线AB是⊙O的切线吗？为什么？例2 如图,线段AB经过圆心O,交⊙O于点A,C,∠BAD＝∠B＝30°,边BD交圆于点D,BD是⊙O的切线吗？为什么？分析欲证BD是⊙O的切线,由于BD过圆上点D,若连结OD,则BD过半径OD的外端,因此只需证明BD ⊥OD,因OA＝OD,∠BAD＝∠B,易证BD⊥OD.教师板演,给出解答过程及格式．三、练习巩固1．见教材P52例2.2．在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝3 cm,BC＝4 cm,以C为圆心,r为半径作圆,若圆C与直线AB相切,则r的值为( )A．2 cm B．2.4 cmC．3 cm D．4 cm3．如图,Rt△ABC的斜边AB＝8 cm,AC＝4 cm,以点C为圆心作圆,当半径为多长时,AB与⊙C相切？4．如图,AB为⊙O的直径,C是⊙O上一点,D在AB的延长线上,且∠DCB＝∠A.(1)CD与⊙O相切吗？如果相切,请你加以证明,如果不相切,请说明理由；(2)若CD与⊙O相切,且∠D＝30°,BD＝10,求⊙O的半径．四、小结与作业小结1．切线的判定定理是什么？2．切线的性质定理是什么？作业1．布置作业：教材P52“练习”．2．完成同步练习册中本课时的练习．本节课是让学生由图形观察直线与圆的位置关系,从而直观形象地得出直线与圆相切时切线的判定定理和切线的性质定理,教学效果较好．。
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第二十七章圆
27.2 与圆有关的位置关系
3.切线
课时1 切线的判定和性质定理
1、理解切线的判定定理和性质定理；
2、能够利用切线的性质定理构造直角三角形.
理解切线的判定定理和性质定理.
能够利用切线的性质定理构造直角三角形.
下雨天，当你转动雨伞，你会发现雨伞上的水珠顺着雨伞的边缘飞出，仔细观察一下，水珠是顺着什么样的方向飞出的？
这就是我们所要研究的直线与圆相切的情况。
1、小组活动。
（4人一组）
2、班级展示；
3、老师总结。
对直线l除点A以外的任一点P，必有OP>OA，即点P位于圆外，从而可知
直线与圆只有一个公共点，所以直线l是圆的切线。
l
四、学习切线的判定定理
1、定理的内容：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2、图形语言。
l
3、符号语言。
∵OA是⊙O的半径，OA⊥直线l（已知），
∴直线l是⊙O的切线（切线的判定定理）。
五、切线的性质定理
1、定理的内容：圆的切线垂直于经过切点的半径。
2、图形语言
l
3、符号语言
∵OA是⊙O的半径，过点A的直线l是圆的切线（已知），
∴OA⊥直线l（切线的性质定理）。
例如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC 的延长线于点E。
（1）求证：∠1=∠BAD；
（2）求证：BE是⊙O的切线。
证明：（1）∵BD=BA，
∴∠BDA=∠BAD。
∵∠1=∠BDA，
∴∠1=∠BAD。
（2）如图，连接BO，
∵∠ABC=90°，
又∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BCO+∠BCD =180°。
∵OB=OC，
∴∠BCO =∠CBO，
∴∠CBO +∠BCD =180°，
∴OB∥DE。
∵BE⊥DE，
∴BE⊥OB。
∵OB是⊙O的半径，
∴BE是⊙O的切线。
本节课应掌握：
切线的判定定理和性质定理.
1、课本练习第3题。
2、课本习题27.2第7、8题.。