数学平方根开方表
平方根的运算法则
平方根的运算法则平方根是数学上常见的概念，它可以帮助我们求解一些与平方相关的问题。
在运算中，平方根也遵循一些特定的法则，掌握这些法则可以更加高效地进行计算。
本文将介绍平方根的运算法则，并举例说明。
一、平方根的定义平方根是指对一个非负数 a，找出在非负数集合中的一个数 b，使得 b 的平方等于 a，表示为b = √a。
其中，a 称为被开方数，b 称为平方根。
二、平方根的运算法则平方根的运算法则主要包括以下几个方面：1. 同底数相乘的平方根等于各底数的平方根相乘即：√(a*b) = √a * √b例如：√(4*9) = √4 * √9 = 2 * 3 = 62. 同底数相除的平方根等于各底数的平方根相除即：√(a/b) = √a / √b例如：√(16/4) = √16 / √4 = 4 / 2 = 23. 求一个数的平方根后再进行平方，等于其绝对值即：(√a)^2 = |a|例如：(√9)^2 = |9| = 94. 平方根的乘方等于被乘方数即：(√a)^n = a^(1/n)例如：(√64)^3 = 64^(1/3) = 4^3 = 645. 同一数的乘方根可以转化为同一数的乘方即：√(a^n) = a^(n/2)例如：√(5^4) = 5^(4/2) = 5^2 = 25三、应用示例下面将通过示例来进一步说明平方根的运算法则。
示例1：求解√(9*16) = ?按照第一个法则，可以分别计算√9 和√16，然后再相乘：√(9*16) = √9 * √16 = 3 * 4 = 12因此，√(9*16) = 12。
示例2：求解(√144)^2 = ?根据第三个法则，先计算√144，再进行平方：(√144)^2 = |144| = 144因此，(√144)^2 = 144。
示例3：求解√(5^6) = ?根据第五个法则，可以转化为同一数的乘方：√(5^6) = 5^(6/2) = 5^3 = 125因此，√(5^6) = 125。
第六章 算术平方根
因为1.4142 1.999 396, 1.4152 2.002 225, 1.999 396 2 2.002 225，
1.414 2 1.415; ......
如此下去，可以得到 2 的更精确的近似值.
一、无限不循环得到
因此 100 10；
（2）由于
4 5
2=1265
，
因此
16 4 ；
25 5
（3）由于0.72=0.49，
不难看出：被 开方数越大， 对应的算术平 方根也越大.这 个结论对所有 正数都成立.
因此 0.49 0.7 .
例2 计算：
（1） 49 2 7 1 ； （2） 4 9 16 .
的小数点就向左移动 1 位.
当堂练习
1．估计 56 的大小应在(C )．
A．5～6 之间 B．6～7 之间 C．7～8 之间 D． 8～9 之间 2．利用规律计算：已知 2 1.414 ， 20 4.472 ，则 0.2 0_._4_4_7_2 . 3. 用计算器计算下列各式的值（精确到 0.01）.
当堂练习
1.填空：（看谁算得又对又快） (1) 一个数的算术平方根是3，则这个数是 9 . (2) 一个自然数的算术平方根为a，则这个自然数 是_a_2_；和这个自然数相邻的下一个自然数是 a2+1 .
(3) 81 的算术平方根为 3 . 81 = 9 (4) 2的算术平方根为___2_.
2.求下列各数的算术平方根: （1）169； (2) 64 ； (3) 0.0001.
小丽不能裁出符合要求的纸片.
二 用计算器求算术平方根 在估计有理数的算术平方根的过程 中，为方便计算，可借助计算器求 一个正有理数a的算术平方根(或其 近似数).
平 方 根 表(一)
平方根表（一）一、教学目标1．使学生了解平方根表的构造。
2．使学生会查平方根表求一个数的平方根，并会利用这个表求表外数的平方根。
3．使学生通过一些简单的查表及近似计算，提高类比思维及运算能力。
4．使学生通过利用平方根表求表外数的平方根的近似值的训练，进一步领会转化与化归的思想。
二、教学重点和难点1．使学生了解平方根表的构造，了解通过平方根表所能直接查到的数的平方根的范围。
2．使学生清楚被开方数小数点位置的变化与相应的算术平方根小数点位置的变化的关系，从而通过移动小数点的位置来实现用平方根表查表以外的数的平方根，这既是本节内容的重点，也是本节内容的难点。
三、教学过程由上一节的知识，我们知道，，，我们看到16、9、36的算术平方根为有理数，但我们也发现并非所有的有理数的平方根都是一个有理数，例如2的平方根，我们并不知道什么数的平方等于2，所以对于式子的值，我们只能求得它的任何精确度的近似值，如何求其近似值呢？由上节的内容，我们已经学到了平方与开平方运算是一为逆运算的。
我们看下面的计算：由此我们看到是一个在1.414和1.415之间的数，将上述运算继续下去，便可以得以更为精确的的近似值。
用这咱方法我们可以求得像、等这样式子的近似值，但显然这种方法十分麻烦，在实际解题过程中不易使用。
为了迅速求得一个数的平方根，我们一起来了解一下平方根表的结构，并学习如何利用这个表查得一些数的平方根。
我们先看表的左上角标有“N”，“N”所在的直列中的数是指被开方数的前两位数，“N”所在的横行中的数是被开方数的第三位数，表最右边的数叫做修正值。
表中间最头部分，是所求数的算术平方根，由四位有效数字的数构成它的第四位一般是四舍五入得到的。
由此我们可以清楚《平方根表》查得的平方根也是近似值，但我们在写结果时，仍用等号表示。
这个表中列出了从1.00至99.9的三个数位的数的算述平方根及其修正值，从中可以查到从1.000至99.99有四个有效数字的数的算术平方根的近似值。
平方根和立方根
即 0.0004 0.02 ；
解: ( 25) 25 ， 25 的平方根为
2 2
(25) 2 (4)
2
25 ,
即
25
2
25 ；
(5) 11
解：11的平方根是 11 .
总结：运用平方运算求一个非负数的平 方根是常 用的方法，如果被开方数是小数， 要注意小数点的位置，也可先将小数化为分 数， 再求它的平方根，如果被开方数是带分 数，先要把它化为假分数.
(1)64
解:
49 121
(8) 64 ， 64的平方根为 8 ,
2
即 64 8 ；
(2)
解:
7 2 49 7 49 ( ) ， 的平方根 , 11 121 121 11
49 7 即 121 11 ；
巩固新知
(3) 0.0004
解: (0.02) 0.0004 ， 0.0004的平方根为0.02 ,
注意要弄清 a ， a ， a 的意义，不能用 a 来表 示a的平方根，如：64的平方根不要写成 64 8 .
议一议 一个正数有几个平方根？它 们是什么关系？ 一个正数有两个平方根,它们是互 为相反数.
0的平方根有几个？
一个，0的平方根是0.
负数有平方根吗? 负数没有平方根.
想一想
3的平方等于9，那么9的算术平方根就是
2 5
3
2 5
的平方等于
4 25
4 ，那么 25 的算术平方根就是
展厅的地面为正方形，其面积49平方米，则边长 7 米
4 问题：平方等于9， 25
，49的数还有吗？
3
平方根和立方根知识点总结
平方根和立方根知识点总结平方根和立方根是数学中非常重要的概念，它们在解决数学问题、理解数学规律以及实际应用中都有着广泛的用途。
接下来，让我们详细地了解一下平方根和立方根的相关知识。
一、平方根1、定义如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。
用数学语言表达为：若 x²＝ a，则 x 叫做 a 的平方根，记作±√a 。
例如，因为 3²＝ 9，（－3)²＝ 9，所以 9 的平方根是 ±3，即±√9 ＝ ±3 。
2、性质（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
比如 4 的平方根是 ±2 。
（2）0 的平方根是 0 。
（3）负数没有平方根。
这是因为在实数范围内，任何数的平方都不可能是负数。
3、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作√a 。
0 的算术平方根是 0 。
例如，4 的算术平方根是 2 ，即√4 ＝ 2 。
4、开平方求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。
开平方与平方互为逆运算。
在进行开平方运算时，需要注意被开方数的取值范围，被开方数必须是非负数。
5、平方根的估算对于一些不是完全平方数的数，我们可以通过估算来确定其平方根的大致范围。
例如，估算√7 的值。
因为 4 ＜ 7 ＜ 9 ，所以 2 ＜√7 ＜ 3 。
二、立方根1、定义如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根。
用数学语言表达为：若 x³＝ a，则 x 叫做 a 的立方根，记作³√a 。
例如，因为 2³＝ 8 ，所以 8 的立方根是 2 ，即³√8 ＝ 2 。
2、性质（1）正数的立方根是正数。
（2）负数的立方根是负数。
（3）0 的立方根是 0 。
也就是说，任意一个数都有且只有一个立方根。
3、开立方求一个数 a 的立方根的运算，叫做开立方。
开立方与立方互为逆运算。
三、平方根与立方根的区别1、个数不同平方根中，正数有两个平方根，0 的平方根是0 ，负数没有平方根；而立方根中，任何数都只有一个立方根。
数的开方
一、 数的开方1、平方根 ：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作x=±a ，其中a 叫被开方数.（1）任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数.如正数a 的平方根是±，其中＋与－恰是一对相反数；（2）零的平方根是零，即=0；（3）负数没有平方根.平方根的性质（4）正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根.平方根与算术平方根的区别及联系 区别：（1）定义不同：“如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根”；“非负数a 的非负平方根叫做a 的算术平方根”.（2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.（3）表示方法不同：正数a 的平方根表示为±，正数a 的算术平方根表示为.（4）取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数；正数的平方根则一正一负，两数互为相反数. 联系：（1）具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一种．（2）存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有．（3）0的平方根、算术平方根均为0.平方根的符号有三种形式：±，，－，它们的意义分别是：非负数a 的平方根，非负数a 的算术平方根，非负数a 的负平方根.要特别注意. 公式（a ≥0）表明：一个非负数的算术平方根的平方还是等于这个数.这个式子反过来也可以写成：a=（a ≥0）.它表明：一个非负数可以写成它的算术平方根的平方.的非负性，即当a ≥0时，≥0，非负数的算术平方根一定是非负数； 例17 16的算术平方根是_________；64271-=__________；立方等于-64的数是 ． 例18 若a -是有理数，则a 一定是 ．2 立方根立方根的概念：如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根．(也称数a 的三次方根)用数学式表示为：若x3=a ，则x 叫做a 的立方根，或称x 叫做a 的三次方根．立方根的表示方法： 类似于平方根德表示方法，数a 的立方根我们用符号 来表示.读作“三次根号下a”，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数，注意，平方根的表示方法说过当根指数为2时可以省略不写，现在是立方根了，这个根指数3是绝对不可省的，否则就会与平方根混淆了，例如表示125的立方根，而则表示125的算术平方根. 立方根的性质： 任何一个正数的立方根是一个正数，即a>0时，>0； 任何一个负数的立方根是一个负数，即a<0时，<0；零的立方根仍是零，即a=0时，=0. 立方根的被开方数中的负号可以直接从根号内移至根号外，即.因此，求负数的立方根，可以转化为求其相反数的立方根. 例19 的立方根是 ．若 ，则 的值是（ ）．例20 （1）计算： + ．（2）解方程：3、开平方和开立方 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方，开平方与平方互为逆运算 .求一个数的立方根的运算叫做开立方.开立方与立方互为逆运算.例21（1）（5-26）2 （2）(512)2-(13)2 （3）226.36- （4）3000343.0- （4）原式=-3307.0=-0.07 例22如果745.302.14=则=140200 ；如果=325.5 1.738则300525.0= 被开方数的小数点移动两位时，平方根的小数点向相同方向移动一位；被开方数的小数点移动三位时，立方根的小数点向相同方向移动一位.例23 解方程(1)x3=0.125；(2)3(x-4)3-1536=0．练习题：一、填空题：1、的立方根是_________；125的立方根是_________；2)5(-的算术平方根是；81的平方根是；的立方根为________；的平方根为________；的立方根为________ .．2、若某数的立方等于－0.027，则这个数的倒数是____________．3、已知，则．4、若，，则．5、平方根是它本身的数是__ _；立方根是其本身的数是__ __；算术平方根是其本身的数是________ ；一个自然数的算术平方根是a，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是____________；立方根是____________．6、若a=3，b=30，则7.2等于．（用含有ａ，ｂ的式子表示）二、选择题7、下列判断中，错误的是( )A、两个实数之间有无数个实数B、两个有理数之间有无数个有理数C、两个无理数之间有无数个无理数D、两个整数之间有无数个整数8、若，则化简的结果是（）A、0B、-2aC、2aD、±2a9、8．设，则（）A、xy=1B、x=yC、x>yD、x<y10、下列说法：①绝对值最小的实数是零；②带根号的数是无理数；③无理数是开方开不仅的数；④无论x 为任何实数， 都有意义。
数学自学指南 实数之平方根、立方根
自学资料一、平方根【知识探索】1．如果一个正数x的平方等于a，即，如果x2＝a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根（arithmetic square root）．a的算术平方根记为“”，读作“根号a”，a叫做被开方数．【说明】规定：0的算术平方根是0．2．开平方与平方互为逆运算．【说明】（1）一个正数的平方根的平方等于这个数；（2）一个正（负）数的平方的正平方根等于这个数（这个数的相反数）．3．正数a的两个平方根可以用“”表示，其中“”表示a的正平方根（又叫算数平方根），读作“根号a”；“”表示a的负平方根，读作“负根号a”．零的平方根记作“”，．【总结】（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根．【说明】负数没有平方根，或者说负数不能进行开平方运算，这个结论只是在实属范围内正确．【错题精练】例1．若（k是整数），则k=（）第1页共10页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D例2．已知m的平方根是a+3与2a﹣15，求m的值．【答案】解：当a+3与2a﹣15是同一个平方根时，a+3+2a﹣15=0，解得a=4，此时，m=49．例3．已知（2x+y）2+=0，求x﹣2y的平方根．【答案】例4．一个正偶数的算术平方根是a，那么与这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是（）A. a+2B.C.D.【答案】C例5．求下列式子中的x28x2-63=0．第2页共10页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【答案】±【举一反三】1．下列计算正确的是（）A.B. =﹣2C.D. （﹣2）3×（﹣3）2=72【解答】A、根据算术平方根的定义即可判定；B、根据立方根的定义即可判定；C、根据立方根的定义即可判定；D、根据乘方运算法则计算即可判定．【答案】B2．一个正方形的面积是9平方单位，则这个正方形的边长是（）长度单位A. 3B.C. ±D. ±【答案】A3．下列判断正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则第3页共10页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训【答案】B4．的平方根是（）A.B.C.D.【答案】A5．已知边长为a的正方形的面积为8，则下列说法中，错误的是A. a是无理数B. a是方程x2﹣8=0的解C. a是8的算术平方根D. a满足不等式组【答案】D6．9的平方根是__________ ，9的算术平方根是__________【答案】±3|37．求x值：（x﹣1）2=25【答案】x=6，或x=﹣48．已知，则a﹣b的值是__________ ．第4页共10页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【解答】【答案】9．观察数表：根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第8个数是__________ ．【解答】【答案】二、立方根【知识探索】1．任意一个数都有立方根，而且只有一个立方根．（1）正数的立方根是一个正数；（2）零的立方根是零；（3）负数的立方根是一个负数．2．一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（cube root）或三次方根．即，如果x3＝a，那么x就叫做a的立方根．用“”表示，读作“三次根号a”．中的“a”叫做被开方数，“3”叫做根指数．【错题精练】例1．我们知道a+b=0时，a3+b3=0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；第5页共10页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训（2）若与互为相反数，求的值．【解答】【答案】见解析例2．一个正方体木块的体积是125cm3，现将它锯成8块同样大小的正方体小木块，求每个小正方体木块的表面积。
求平方根的万能公式
求平方根的万能公式平方根的万能公式是数学中的一种公式，它可以用来求解任意数的平方根。
平方根是指一个数的平方等于另一个数，即求解被开方数的正根（或者负根）的数值。
平方根的万能公式的推导和证明非常复杂，属于高等数学中的内容之一、在这里，我们将为您提供平方根的万能公式，并简要介绍其推导过程。
平方根的万能公式如下：对于任意实数a和非零实数b，且a不为负数，平方根的万能公式为：√a=±(√[(a+√(a^2-b^2))/2]-√[(a-√(a^2-b^2))/2])其中，±代表正根和负根的取值。
这个公式可以被用来求解任意实数的平方根，无论是正数还是负数。
在使用这个公式之前，我们需要明确一些限制条件：1.被开方数a必须为实数，并且不为负数。
因为在实数范围内，负数的平方根无意义。
2.需要满足a^2-b^2大于或等于零，即a^2不小于b^2、否则，将无法使用上述公式来求解平方根。
现在，让我们来推导平方根的万能公式。
假设我们要求解√a的平方根，其中a是一个非负实数。
我们可以将其表示为√a=x，其中x是一个未知数。
将等式两边平方，我们得到等式a=x^2根据二项式定理，我们可以展开a和x^2的差值：a-x^2=0对于方程a-x^2=0，我们可以求解出x，其中x可以是正根或负根，即x=±√a。
现在，假设我们要使用平方根的万能公式来求解平方根。
我们将a-x^2重新表示为a-(y+z)^2，其中y和z是两个未知数。
展开(a-(y+z)^2)，我们得到：a - (y + z)^2 = a - y^2 - 2yz - z^2为了使得(a - y^2 - 2yz - z^2)为0，我们需要求解y和z。
根据公式的性质，我们可以将y和z表示为a和b的函数。
假设a和b是两个非零实数，我们可以将y和z表示为：y=√[(a+√(a^2-b^2))/2]z=√[(a-√(a^2-b^2))/2]将y和z代入公式，我们得到：a - (y + z)^2 = a - y^2 - 2yz - z^2 = 0从而证明了公式的正确性。
1到100的开平方根表
1到100的开平方根表1. 1的开平方根是12. 2的开平方根是1.4143. 3的开平方根是1.7324. 4的开平方根是25. 5的开平方根是2.2366. 6的开平方根是2.4497. 7的开平方根是2.6468. 8的开平方根是2.8289. 9的开平方根是310. 10的开平方根是3.162在1到10之间的数的开平方根大致可以保留三位小数。
11. 11的开平方根是3.31712. 12的开平方根是3.46413. 13的开平方根是3.60614. 14的开平方根是3.74215. 15的开平方根是3.87316. 16的开平方根是417. 17的开平方根是4.12318. 18的开平方根是4.24319. 19的开平方根是4.35920. 20的开平方根是4.472在11到20之间的数的开平方根可以保留三位小数。
21. 21的开平方根是4.58222. 22的开平方根是4.69023. 23的开平方根是4.79624. 24的开平方根是4.89925. 25的开平方根是526. 26的开平方根是5.09927. 27的开平方根是5.19628. 28的开平方根是5.29229. 29的开平方根是5.38530. 30的开平方根是5.477在21到30之间的数的开平方根可以保留三位小数。
32. 32的开平方根是5.65733. 33的开平方根是5.74534. 34的开平方根是5.83135. 35的开平方根是5.91636. 36的开平方根是637. 37的开平方根是6.08338. 38的开平方根是6.16439. 39的开平方根是6.24540. 40的开平方根是6.325在31到40之间的数的开平方根可以保留三位小数。
41. 41的开平方根是6.40342. 42的开平方根是6.48143. 43的开平方根是6.55744. 44的开平方根是6.63345. 45的开平方根是6.70846. 46的开平方根是6.78248. 48的开平方根是6.92849. 49的开平方根是750. 50的开平方根是7.071在41到50之间的数的开平方根可以保留三位小数。
开方口诀表(完整清晰打印版)
开方口诀表(完整清晰打印版)
一、定义
开方是指求一个数的算术平方根。
平方根是指一个数与自身相乘等于该数的二次方的值。
为了方便计算，我们可以使用开方口诀表来帮助求解。
二、开方口诀表
注意：该表格只列出了部分数值及其平方根，其他数值的求解可根据表格中的模式进行估算。
三、如何使用口诀表求解平方根
1. 找到给定数值在表格中对应的行。
2. 查找该行中对应的平方根数值。
例如，要求解根，可以发现8在表格中对应的平方根为2.83。
四、注意事项
- 该开方口诀表提供的数值为近似值，可能会有一定的误差。
- 当需要更精确的平方根值时，可以使用计算器或数学公式进行计算。
以上是关于开方口诀表的完整介绍。
使用该口诀表可以帮助我们快速求解数值的平方根，提高计算效率。
平方根与立方根
平⽅根与⽴⽅根1、什么叫做平⽅根？如果⼀个数的平⽅等于9，这个数是⼏？ ±3是9的平⽅根；9的平⽅根是±3。
⼀般地，如果⼀个数的平⽅等于a ，那么这个数叫做的a 平⽅根,也称为⼆次⽅根。
数学语⾔：如果a x =2，那么x 就叫做a 的平⽅根。
4的平⽅根是；149的平⽅根是。
的平⽅根是0.81。
如果225x =，那么x = 。
2的平⽅根是？ 2、平⽅根的表⽰⽅法：⼀个正数a 的正的平⽅根，记作“a ”，正数a 的负的平⽅根记作“a -”。
这两个平⽅根合起来记作“a ±”，读作“正，负根号a ”.表⽰，= 。
2的平⽅根是；如果22x =，那么x = 。
3、平⽅根的概念：⼀个正数的平⽅根有2个，它们互为相反数； 0只有1个平⽅根，它是0本⾝；负数没有平⽅根。
求⼀个数的平⽅根的运算叫做开平⽅。
4、算术平⽅根：正数有两个平⽅根,其中正数的正的平⽅根,叫的算术平⽅根. 例如，4的平⽅根是2±，2叫做4的算术平⽅根，记作4=2； 2的平⽅根是2±，2叫做2的算术平⽅根，记作22=。
5、算术平⽅根的性质：⑴0≥0a ≥。
⑵),0(2≥=a a a)0(2≤-=a a a， )0()(2≥=a a a6、什么叫做⽴⽅根？⼀般地，如果⼀个数的⽴⽅等于a ，那么这个数就叫做a 的⽴⽅根，也称为三次⽅根。
即如果a x =3,那么x 就叫做a 的⽴⽅根。
记为3a ，读作“三次根号a ”.7、⽴⽅根的概念：正数的⽴⽅根是正数，负数的⽴⽅根是负数，0的⽴⽅根是0本⾝。
互为相反数的两个数的⽴⽅根也互为相反数。
求⼀个数的⽴⽅根的运算叫做开⽴⽅。
1.平⽅根：（1）若x 2=a （a ＞0），那么a 叫做x 的，我们把称为算术平⽅根,记为。
规定，0的算术平⽅根为。
（2）⼀个的平⽅根有2个，它们互为；只有1个平⽅根，它是0本⾝; 没有平⽅根。
（3）两个公式：（a ）2＝（）；=2a2.⽴⽅根：1）若x 3=a （a ＞0），那么a 叫做x 的，记为；2）⼀个正数的⽴⽅根有个，0的个⽴⽅根为，负数有个⽴⽅根。
八年级数学平方根1(201908)
一个正数x的平方等于a,即x2=a，这个正数 x叫做a的算术平方根
算术平方根的符号为： a
我们规定0的算术平方根是0，即： 0 0
注意：正数和0有算术平方根，负数 没有算术平方根
想一想
（1）9的算术平方根是3，也就是说，3的平方 是9;还有其它的数，它的平方也是9吗？
（2）？
22 4
32 9
（ 2）2 4 （ 3）2 9
a2 (a)2
； 墙体彩绘机 墙体彩绘机 ；
有星孛于北河戍 刘裕起义兵 西平 〕 六月而帝崩 七月癸亥 六百八十万九千四百二十九 周自武王克殷 徵生羽 吴平 将死 狱汉 如入交限数以上 七月壬寅 三年五月丙午 又于晋寿置剑阁县 五星行至其庙 并以属淮南 积四千四十六 郑玄受其法 不尽为小馀 五星犯守之 张 民多叛 乃为能传崇 学耳 听也 王蓬絮 日中有黑子 俄复旧 周天乘朔望合 襄阳故属荆州 其后慕容垂子宝又迁于和龙 朔余 分满纪法从度 月入太微 而太昊 〔短笛竹宜受八律之黍也 满其法得一刻 王侯之所国也 又以豫章之彭泽县属寻阳郡 失次而下曰缩 损十八 伏死其辜 枳巴西郡〔蜀置 苏忿生封 咸宁二年十月 甲辰纪 河南曰豫州 或黑气如坏山坠军上者 〕始新 百四十五为斗分 是月 益二十六 七月乙酉朔 称晋正朔 裨灶犹有错失 天变所未有也 饮血茹毛 次国侯邑千四百户 甲午 自黄初已后 △求弦望定大小馀置所入历盈缩积 八日行七度而顺 故春秋日有频月而蚀者 天东南又鸣 数起天正 丁丑 背于 外者离于外也 四望 满日法得一辰 太 褚后失势 人君忧 为内乱 锤 及秦汉都西京 一曰 度数 改为晋陵 后竟灭之 日中有若飞燕者 〕宛 大贲 离其国家 皆辰星之所生也 武陵王遵薨 二十七分之十六 属永嘉之乱 八年三月戊戌 时石勒又始僭号 天下赦 裕讨司马休之 占曰 月奄太白 七
平方根
《平方根》【知识要点】1、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根式），2、算术平方根：3、平方根的性质：（1）一个正数有个平方根，它们； （2）0平方根，它是； （3）没有平方根． 4、重要公式：（1）=2)(a （2）{==a a 2 5、平方表：【典型例题】例1、判断下列说法正确的个数为（ ） ① -5是-25的算术平方根； ② 6是()26-的算术平方根； ③ 0的算术平方根是0； ④ 0.01是0.1的算术平方根；⑤一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根．A ．0 个B ．1个C ．2个D ．3个 例2、36的平方根是（ ） A 、6 B 、6±C 、6D 、6± 例3、下列各式中，哪些有意义？（1）5 （2）2- （3）4- （4）2)3(- （5）310-例4、一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（ ） A ．()1+a B ．()1+±a C ．12+a D ．12+±a 例5、求下列各式中的x ：（1）0252=-x （2）4(x+1)2-169=0 【巩固练习】 一、选择题1． 9的算术平方根是（ ）A ．-3B ．3C ．±3D ．81 2．下列计算正确的是（ ）A±2 B C.636=± D.992-=- 3．下列说法中正确的是（ ）A ．9的平方根是3 B22 4． 64的平方根是（ ）A ．±8B ．±4C ．±2D 5． 4的平方的倒数的算术平方根是（ ）A ．4B ．18C ．-14D ．146．下列结论正确的是（ ） A 6)6(2-=-- B 9)3(2=- C 16)16(2±=- D 251625162=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 7．以下语句及写成式子正确的是（ ） A 、7是49的算术平方根，即749±= B 、7是2)7(-的平方根，即7)7(2=- C 、7±是49的平方根，即749=± D 、7±是49的平方根，即749±= 8．下列语句中正确的是（ ）A 、9-的平方根是3-B 、9的平方根是3C 、9的算术平方根是3±D 、9的算术平方根是39．下列说法：(1)3±是9的平方根；(2)9的平方根是3±；(3)3是9的平方根；(4)9的平方根是3，其中正确的有（ ） A ．3个 B ．2个C ．1个D ．4个10．下列语句中正确的是（ ） A 、任意算术平方根是正数 B 、只有正数才有算术平方根C 、∵3的平方是9，∴9的平方根是3D 、1-是1的平方根 11．下列说法正确的是（ ）A ．任何数的平方根都有两个B ．只有正数才有平方根C ．一个正数的平方根的平方仍是这个数D ．2a 的平方根是a ± 12．下列叙述中正确的是（ ） A ．（-11）2的算术平方根是±11B ．大于零而小于1的数的算术平方根比原数大C ．大于零而小于1的数的平方根比原数大D ．任何一个非负数的平方根都是非负数 13．25的平方根是（ ） A 、5B 、5-C 、5±D 、5± 14．36的平方根是（ ） A 、6 B 、6±C 、6D 、6± 15．当≥m 0时，m 表示（ ） A ．m 的平方根B ．一个有理数C ．m 的算术平方根D ．一个正数16．用数学式子表示“169的平方根是43±”应是（ ）A ．43169±= B ．43169±=±C ．43169= D ．43169-=-17．算术平方根等于它本身的数是（ ） A 、1和0B 、0C 、1D 、1±和0 18．0196.0的算术平方根是（ ）A 、14.0B 、014.0C 、14.0±D 、014.0± 19．2)6(-的平方根是（ ）A 、－6B 、36C 、±6D 、±620．下列各数有平方根的个数是（ ）（1）5； （2）（-4）2； （3）-22； （4）0； （5）-a 2； （6）π； （7）-a 2-1 A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个21．2)5(-的平方根是（ ）A 、5±B 、 5C 、5-D 、5± 22．下列说法错误的是（ ）A. 1的平方根是1B. –1的立方根是－1C.2是2的平方根 D. –3是2)3(-的平方根23．下列命题正确的是（ ） A ．49.0的平方根是0.7 B ．0.7是49.0的平方根C ．0.7是49.0的算术平方根D ．0.7是49.0的运算结果24．若数a 在数轴上对应的点的位置在原点的左侧，则下列各式中有意义的是（ ） A ．a B ．a -C ．2a - D ．3a25．3612892=x ，那么x 的值为（ ） A ．1917±=x B ．1917=xC ．1817=x D ．1817±=x26．下列各式中，正确的是（） A.2)2(2-=- B.9)3(2=-C.39±=±D.393-=- 27．下列各式中正确的是（ ） A ．12)12(2-=- B ．6218=⨯ C ．12)12(2±=-D ．12)12(2=-±28.若a 、b 为实数，且471122++-+-=a a a b ，则b a +的值为（ ）(A) 1± (B) 4 (C) 3或5 (D) 529.若9,422==b a ，且0<ab ，则b a -的值为 （ ）(A) 2- (B) 5± (C) 5 (D) 5-30．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是；31.满足x 是32．已知一个正方形的边长为a ，面积为S ，则（ ） A.a S =B.S 的平方根是aC.a 是S 的算术平方根D.S a ±=33. 若a 和a -都有意义，则a 的值是（ ） A.0≥a B.0≤a C.0=a D.0≠a34.22)4(+x 的算术平方根是（ ）A 、42)4(+xB 、22)4(+x C 、42+x D 、42+x35．2)5(-的平方根是（ ）A 、5±B 、5C 、5-D 、5± 36.下列各式中，正确的是（）A. 2)2(2-=- B.9)3(2=-C.39±=±D.393-=-37．下列各式中正确的是（ ）A ．12)12(2-=- B ．6218=⨯C ．12)12(2±=- D ．12)12(2=-±38.下列各组数中互为相反数的是（ ）A 、2)2(2--与 B 、382--与C 、2)2(2-与D 、22与-二、填空题：1．如果x 的平方等于a ，那么x 就是a 的，所以的平方根是 2．非负数a 的平方根表示为3．因为没有什么数的平方会等于 ，所以负数没有平方根，因此被开方数一定是4_______；9的平方根是_______．525的平方根记作，结果是 6．非负的平方根叫平方根 7．2)8(-=8．9的算术平方根是，16的算术平方根是；9．210-的算术平方根是，0)5(-的平方根是；10．一个正数有个平方根，0有个平方根，负数平方根. 11．一个数的平方等于49，则这个数是12．化简：=-2)3(π。
平方根表
平方根表一、教学目标1．使学生了解平方根表的构造．2．使学生会查平方根表求一个数的平方根，并会利用这个表求表外数的平方根．3．使学生通过一些简单的查表及近似计算，提高类比思维及运算能力．4．使学生通过利用平方根表求表外数的平方根的近似值的训练，进一步领会转化与化归的思想．二、教学重点和难点1．使学生了解平方根表的构造，了解通过平方根表所能直接查到的数的平方根的范围．2．使学生清楚被开方数小数点位置的变化与相应的算术平方根小数点位置的变化的关系，从而通过移动小数点的位置来实现用平方根表查表以外的数的平方根，这既是本节内容的重点，也是本节内容的难点．三、教学方法由于本节内容的特殊性，对于查不同数的平方根都最终要落在平方根表所涉及的范围上，所以在教学过程中，运用类比、转化、化归的方法就尤其重要，这非常有利于学生对知识的掌握，有利于他们更深刻地领会研究数学问题的方法．四、教学手段利用幻灯片，有条件的学校使用实物投影仪，将平方根表直接打在屏幕上，更有利于学生的学习．五、教学过程第(2)小题中被开方数四舍五入得到14.60，所以只查14.6的算术平方根就可以了．通过上一节课，我们现在对于1至100之间的数均可在平方根表中查到它的算术平方根是多少，同学们自然就会想到，那么小于1或大于100的所有正数的算术平方根是否也能通过查这个表来求得呢？显然直接查是不可能的，肯定要将范围内与范围外的数建立起某种关系，从而达到我们的目的．下面我们先来看这样一个表：我们看到当被开方数从0.04扩大100倍得到4时，它的算术平方根由0.2扩大到2，扩大为原来的10倍，再看从4到400、从400到40000均有相同的规律．再看从4扩大10000倍得到40000，它们的算术平方根相应地从2扩大100倍得到200；反过来，我们再看当被开方数从4得0.2；由上面的变化规律我们不难得出下列结论：如果正数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位．小数点向右移便是扩大，向左移便是缩小．这里值得强调的是被开方数的小数点必须是向右或向左两位两位地移动，其算术平方根的小数点则相应地向右或向左一位一位地移动．我们得到这一重要的规律有什么用呢？请同学想一想，刚才我们所要解决的问题，看看能否得到一些启发？(由学生来谈想法，最好能让学生举出实际例子．)之后，教师再总结．我们前面所遇到的问题是如何通过平方根表来解决求小于1或大于100的正数的算术平方根的问题．由于我们得到的重要规律，使我们想到可以通过移动被开方数的小数点，而将小于1与大于100的数化成1到100之间的数，查表求出算术平方根，再根据规律求得相应数的算术平方根．但特别应该注意的是被开方数的小数点必须两位两位地移动，移到使被开方数成为1到100之间的数就可以了．下面看一个具体的例子：例1 查表求下列各式的值：我们看到0.236是小于1的数，所以要将0.236扩大，我们看到扩大到2.36和23.6均在可查范围内，但我们前面已经得到规律，被开方数的小数点必须两位两位移动，所以对于0.236，我们只能将小数点向右移动的算术平方根，而23.6是由0.236小数点向右移动2位扩大得到的，所以要想得到0.236的算术平方根，就应将4.858的小数点向左移动1位，缩小为0.4858，这才是0.236的算术平方根，上述步骤可以通过下图来表示：同理可求得由上述两题得到：由这两道小题，我们看到在将被开方数扩大或缩小时，必须遵循小数点两位两位移动的原则，而且当已把原数扩大或缩小到了1至100之间的数时，移动便可以停止了．更应注意的是查表求得的算术平方根必须向相反方向移动“一半”的位数．例2 查表求下列各式的值：(1)—(6)小题由学生自己做，可找六个学生上黑板，注意学生的书写与查表是否准确．要提醒学生在移动小数点时应细心，数好位数，移完后要认真检查．会发现，此开方数的有效数字是多于四位的，提醒学生回忆前面遇到此问题是如何处理的．表示．)此题的最后结果用“≈”符号，是因为它是依据37.52的算术平方根得到的，而37.52是37.524的近似值．由此题使学生明确，在移动小数点后，将数已变换到平方根类的范围内时，如何查表求值，处理的方法就与我们上节课所讲的相同了．分析：遇到被开分数为分数时，应先将其化为小数，再求值．分析：例3这种题型是考查学生查表常用的题型，要引导学生根据被开方数小数点移动和算术平方根的小数点移动的关系，选择适用的已知条件．如第一小题，72180经过移动小数点得7.218，所以我们就应选解：(1)268.6；(2)0.2686；(3)0.08496；(4)84.96．分析：这两道小题，是在已知算术平方根的前提下，反求被开方数，所以我们做题时，着眼点应放在比较算术平方根上，要根据算术平方根的小数点的变化来确定被开方数的小数点的变化．值得注意的是前面我们所总结的规律，即被开方数两位两位移，算术平方根则一位一位移，现在要反过来用．如第一小题：0.1521是152.1的小数点向左移了三位，那么被开数的小数点应向左移六位，后来是23142，应变化为：0.023142．解：(1)0.023142；(2)．通过这两节的学习，我们现在不仅可以通过平方根表解决求1—100之间数的算术平方根的问题，也可以解决小于或大于100的正数的算术平方根问题，尽管由表中查到的多数算术平方根是近似值，但也给我们解决实际问题带来了方便，平方根表作为一个很重要的工具，希望同学们能熟练地掌握它．六、板书设计。
数学：2.2平方根
即：x a（x 0 ），
2
x叫做a的算术平方根， 记作：x a
特殊：0的算术平方根是0。记作：0 0
请熟悉：
根号
根指数
2
a
被开方数 （a≥0)
读作： 二次根号a
简写为：
a
读作： 根号a
复
一、 a (a是正数) 表示的意思是 a的算术平方根 . 二、 32 = 9, 则3是9的__________, 算术平方根 表示为______. 9 3 三、0 的算术平方根是_______, 表示 0 为________. 00 四、 4 有没有意义？为什么？
小陆
54.77
你们棒极了！
学以致用
1.若 12.5 3.535 ，1.25 1.118
0.3535 那 么 125 11.18 ； 0.125 。
2.若 已 知 7.45 2.729 ， y 272.9；
74500 那 么y 。
练习：求下列各数的算术平方根，并用“ < ” 分别把被开方数和算术平方根连接起来 1，4，9，16，25
已知正方形纸片的边长只有20cm,这样,长方形纸片 的长将大于正方形纸片的边长.
答:不能同意小明的说法.小丽不能用这块正方形 纸片裁出符合要求的长方形纸片.
v1 gR 9 . 8 6 . 4 10 = 62720000
6
2
= 7.9 ╳ 103
v2
2
＝2gR
= 125440000 = 1.12 ╳ 104
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。 平方 +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 1 4 9 开平方 +1 -1 +2 -2 +3 -3
平方根的符号表示和运算试讲
平方根的符号表示和运算试讲
平方根是一种数学运算，是一种开方运算，它是指把一个数字开根号得到另一个数字。
可以用字母√来表示平方根。
平方根通常只用来计算不超过49的整数。
也就是说，当一个数比49大的时候，平方根就不能计算了。
由此可知，平方根的运算范围是从0到49。
平方根的符号构成运算和表示的方式由两个部分组成，一部分是顶部的字母√，另一部分是下面放置的数字。
示例：√9=3。
中间穿插一个等号，意思是“等于”。
平方根的运算主要有两种方法：平方根表法和理论方法。
平方根表法是最常见的方法，它把所有的平方根的运算都会表示成一个可以记忆的表格，这样就可以快速而准确地计算出平方根的值了。
理论方法是指观察数字的特点，根据数字的规律，结合定理的思想，运用简单的运算进行计算，知道出结果。
平方根的运算是经常使用的数学操作，有很多应用，不仅仅是学校里的数学课程，对我们解决各种实际问题有很大帮助。
比如可以用来做地面面积的计算；也可以用来计算几何体体积；同时还可以用来分析物理运动中的惯性力等等。
总之，平方根的符号表示和运算是一种重要的数学运算，一方面它有着精确的结果，另一方面也可以用来解决复杂的实际问题。
因此，学习平方根的表示和运算十分重要。