2020年高考数学一轮教案：第3章-一元函数的导数及其应用第三章 第2节 第1课时

第2节导数在研究函数中的应用

考试要求 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间；2.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；3.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.

知识梳理

1.函数的单调性与导数的关系

函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：

(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；

(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；

(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.

2.函数的极值与导数

3.函数的最值与导数

(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件

如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.

(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤

①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.[微点提醒]

1.函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.

2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.

3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.

4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.

基础自测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.()

(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.()

(3)函数的极大值一定大于其极小值.()

(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件.()

(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.()

解析(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0.

(3)函数的极大值也可能小于极小值.

(4)x0为f(x)的极值点的充要条件是f′(x0)＝0，且x0两侧导函数异号.

答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√

2.(选修2－2P32A4 改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()

A.1

B.2

C.3

D.4

解析由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正. 答案 A

3.(选修2－2P32A5(4)改编)函数f(x)＝2x－x ln x的极值是()

A.1

e B.

2

e C.e D.e

2

解析因为f′(x)＝2－(ln x＋1)＝1－ln x，令f′(x)＝0，所以x＝e，当f′(x)>0时，解得0e，所以x＝e时，f(x)取到极大值，f(x)

极大值

＝f(e)＝e.

答案 C

4.(2019·青岛月考)函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是()

A.先增后减

B.先减后增

C.单调递增

D.单调递减

解析易知f′(x)＝－sin x－1，x∈(0，π)，

则f′(x)<0，所以f(x)＝cos x－x在(0，π)上递减.

答案 D

5.(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()

解析设导函数y＝f′(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导函数y＝f′(x)的图象易得当x∈(－∞，x1)∪(x2，x3)时，f′(x)<0；当x∈(x1，x2)∪(x3，＋∞)时，f′(x)>0(其中x1<0

答案 D

6.(2019·豫南九校考评)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为

( ) A.4 B.2或6 C.2

D.6

解析 函数f (x )＝x (x －c )2的导数为f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2，

由题意知，在x ＝2处的导数值为12－8c ＋c 2＝0，解得c ＝2或6，

又函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极小值，故导数在x ＝2处左侧为负，右侧为正，而当e ＝6时，f (x )＝x (x －6)2在x ＝2处有极大值，故c ＝2. 答案 C

第1课时 导数与函数的单调性

考点一 求函数的单调区间

【例1】 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－4

3处取得极值. (1)确定a 的值；

(2)若g (x )＝f (x )e x ，求函数g (x )的单调减区间. 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，

因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫

－43＝0，

即3a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－432

＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－8

3＝0，解得a ＝

12. (2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12x 3＋x 2e x ，

故g ′(x )＝1

2x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )<0，即x (x ＋1)(x ＋4)<0， 解得－1

所以g (x )的单调减区间为(－1，0)，(－∞，－4). 规律方法 1.求函数单调区间的步骤：

(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )；(3)在定义域内解不等式f ′(x )>0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f ′(x )<0，得单调递减区间.