K-Hessian方程的一个Liouville型结果
热分析 Icepak V0.3
杨建林 (yangjianlin@)
2010 年 4 月 5 日 Rev. 0.3 beta
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K-Hessian方程的一个Liouville型结果
K-Hessian方程的一个Liouville型结果【摘要】本文研究了K-Hessian方程的一个Liouville型结果，首先介绍了K-Hessian方程的定义和性质，然后讨论了K-Hessian方程解的存在性。
接着我们详细阐述了K-Hessian方程的Liouville型结果以及相关证明方法。
进一步探讨了这一结果的意义，并展望了未来的研究方向。
通过本文的研究，我们得出了K-Hessian方程的一个Liouville型结果对于微分几何领域的重要意义，为相关领域的研究提供了新的思路。
【关键词】K-Hessian方程, Liouville型结果, 正定Hessian矩阵, 解的存在性, 相关证明方法, 研究背景, 研究目的, 研究意义, 结论总结, 未来研究展望1. 引言1.1 研究背景K-Hessian方程是极小曲面理论中一个重要的方程，它在几何分析和偏微分方程领域有着广泛的应用。
研究K-Hessian方程可以帮助我们更好地理解曲面的性质和演化。
在过去的研究中，学者们已经取得了一些有趣的结果，但仍然存在许多未解决的问题。
深入研究K-Hessian方程及其相关的Liouville型结果具有重要的理论意义和实际意义。
1.2 研究目的研究目的: 本文旨在探讨K-Hessian方程的一个Liouville型结果，通过分析K-Hessian方程的性质、解的存在性以及相关证明方法，进一步揭示该方程的特殊性质和数学规律。
我们的研究目的是为了揭示K-Hessian方程在几何分析和微分方程领域中的重要性，并为更深入的研究和应用提供理论基础。
通过研究K-Hessian方程的Liouville型结果，我们希望能够拓展对该方程解的理解，揭示其在几何学和物理学中的应用意义，为解决相关问题提供新的思路和方法。
我们将以严谨的数学推导和分析方法，探讨K-Hessian方程的Liouville型结果及其意义，为深入理解和应用K-Hessian方程奠定理论基础。
浅谈线性方程组的数值解法及其应用
浅谈线性方程组的数值解法及其应用1、相关定义1.1、分形油藏基本概念定义3.1[32]:维数为的分形渗透网嵌入到d(d=2,3)维岩块中,即整个导流系统是一个分形体,称具有这种特性的油藏为分形油藏。
df 3.1.1 分形孔隙度θf和渗透率Kf (r) 假设分形体内流体储集在体积为的座点处(设每个座点体积相同),座点密度为。
分形体中,座点孔隙体积为常数。
用描述某种相应对称性(如, Vs N( r ) Vs B B= A 2π h和4π 分别描述直线对称,圆柱面对称和球对称),a为位置-浓度参数[33], 为岩块的欧几里德维数,定义分形孔隙度d θf有: θf= aBVs rdf ?d (3-1) 这说明分形网格的θf 不再是常数,而是随波及半径r 成幂律关系。
取,则有: w r =r df d f w w r θ θr θw=aVBs rwd f ? d,得到分形孔隙度= ,θw 为r = rw 处的孔隙度。
同样渗透率定义为:Kf( r)= aVsB m rd f ?d ? θ (3-2) ( ) r= rw处的渗透率Kw=aVs Bm r wdf ?d ?θ ,得到渗透率Kf r= Kw rrw d f? d ?θ 。
3.1.2 分形参数的物理意义(1)分形维数df 分形维数df 严格地是一个分形体的几何特征,是分形体复杂程度的重要标志。
一般认为,d f值不同,复杂程度也不一样。
随复杂程度加剧,d f 值会愈高。
151.2、分数阶的基本定义从十七世纪分数阶微积分诞生之日起,数学家们就不断的探讨分数阶算子的理论体系。
后经多位数学家的努力,从不同的角度入手,建立了多种不同形式的分数阶算子定义,现在主要通用的三种定义[1]形式为: (1). Grümwald-Letnikov 定义:对于任意的实数α ,记α 的整数部分为[α ] ([α ] 为小于α 的最大整数),假如函数f ( t ) 在区间[α,t ]上有m+ 1 阶连续的导数,α > 0 时, m 至少取[α ],则定义分数阶α 阶导数为: ( ) li0m 0 ( ) n G aD tα f tΔ nhh→ =t ?a h ?α i =∑ ??? ?iα ??? f t ? ih (1-1) ( )( 1)( 2) ( 1) ! i i i 其中,?α = ?α ?α + ?α + L ?α + ? 。
K-Hessian方程的一个Liouville型结果
K-Hessian方程的一个Liouville型结果1. 引言1.1 K-Hessian方程的背景介绍K-Hessian方程是一个重要的偏微分方程，在几何分析和非线性偏微分方程研究中起着重要的作用。
它最早由美国数学家D.C.中提出，在几何分析中有广泛的应用。
K-Hessian方程是一个高阶非线性椭圆型偏微分方程，它的解与曲率和Hessian矩阵之间的关系密切相关。
K-Hessian方程在几何学、概率论、最优控制理论等领域都有着重要的应用。
研究K-Hessian方程的Liouville型结果对于理解非线性偏微分方程的性质和解的结构具有重要意义。
Liouville型结果是指：满足一定约束条件下的非负解的结构和分类。
通过研究K-Hessian方程的Liouville型结果，可以揭示解的性质、特征和分布规律，进一步推动相关领域的理论研究和应用发展。
探讨K-Hessian方程的Liouville型结果对于推动数学领域的发展具有重要意义。
1.2 Liouville型问题的研究意义1.在微分几何中，Liouville型问题可以帮助我们更深入地理解曲率的性质和几何结构。
通过研究Liouville型问题，可以揭示曲率与几何流形的关系，从而推动微分几何理论的发展。
Liouville型问题在数学领域中扮演着重要的角色，其研究意义不仅限于理论层面，还涉及到实际问题的建模和解决。
深入研究Liouville型问题将有助于推动数学领域的发展并解决实际问题。
2. 正文2.1 K-Hessian方程的定义与性质K-Hessian方程是一类非线性椭圆型偏微分方程，具有重要的数学和物理背景。
它的定义与性质包括以下几个重要方面：1. K-Hessian方程的定义：K-Hessian方程是指具有如下形式的二阶非线性椭圆型偏微分方程：\[ F(D^2u)=f(x,u,Du) \]\( F(D^2u) \)表示Hessian矩阵的K-拉普拉斯算子，由方程中的K 决定，通常表达为对Hessian矩阵的第K大本征值的求和，而\( f(x,u,Du) \)为给定的非线性项。
数理方程Sturm-Liouville问题
在前面几节中，我们讨论过常微分方程 X ''( x) X ( x) 0 的固有值问题 以后，我们还将研究如下的方程
d dy v2 ( x ) ( x ) y 0 dx dx x
d 2 dy (1 x ) y 0 dx dx
第三章 Sturm-Liouville问题
2
d dy ( p ( x) ) ( ( x) q ( x )) y 0 dx dx
S-L型方程附加上齐次的第一类、第二类、第三类边 界条件，或者是自然边界条件，就构成S-L型固有值 问题 称为固有值 满足S-L型方程及相应的边界条件的非零解就是固 有函数
第三章 Sturm-Liouville问题
4
Sturm-Liouville固有值问题的共有性质
d dy ( p( x) ) ( ( x) q( x)) y 0, x [a, b] 加上合适的边界条件 dx dx
性质5 固有函数系 yn ( x)在区间构成一个完备的正交 函数系. 即：函数f(x)如果具有连续一阶导数和逐段连 续二阶导数敛的级数
n
f n (n 1,2,) 叫做 f ( x) 的广义傅里叶系数
b
即
( x) f ( x) y ( x)dx
n
f n ( x)
a
b 2 ( x ) y n ( x ) dx a
.
第三章 Sturm-Liouville问题
6
d d
贝赛尔方程
d sin sin 0 勒让德方程 d
它们都可以归纳为下面的一般形式
d dy ( p ( x) ) ( ( x) q ( x )) y 0 dx dx
liouville函数
liouville函数Liouville函数是数论中的一个重要函数，它是一个周期为1的函数，其定义如下：$$\lambda(n) = (-1)^{\omega(n)}$$其中，$\omega(n)$表示$n$的不同质因数的个数。
Liouville函数最早由法国数学家Liouville在19世纪提出，它在数论中有着广泛的应用。
下面我们来看一下Liouville函数的一些性质。
Liouville函数的值只有两种可能，即$1$和$-1$。
当$n$的不同质因数的个数为偶数时，$\lambda(n)=1$；当$n$的不同质因数的个数为奇数时，$\lambda(n)=-1$。
Liouville函数是一个完全积性函数，即对于任意的正整数$m$和$n$，有$\lambda(mn)=\lambda(m)\lambda(n)$。
这个性质在数论中有着重要的应用，例如在研究数论中的一些问题时，可以通过将一个数分解成若干个质数的积，然后利用Liouville函数的完全积性来简化问题。
Liouville函数还有一个重要的性质，即对于任意的正整数$n$，有$$\sum_{d|n}\lambda(d) =\begin{cases}1 & \text{if } n=1 \\0 & \text{if } n>1\end{cases}$$这个性质被称为Liouville反演公式，它在数论中也有着广泛的应用。
例如，在研究数论中的一些问题时，可以通过利用Liouville反演公式将一个问题转化为求Liouville函数的和的问题，然后再利用Liouville函数的性质来解决问题。
Liouville函数是数论中的一个重要函数，它具有周期性、完全积性和Liouville反演公式等重要性质，这些性质在数论中有着广泛的应用。
因此，研究Liouville函数的性质和应用是数论研究的一个重要方向。
2010下-化工热力学期末考试闭卷A及答案
南京工业大学化工热力学试题（A ）卷资格（闭）2010~2011年度第一学期 使用班级 工0801-08082010.12班级 学号 姓名 成绩1.单项选择题（每题1分，共20分）本题解答（用A 或B 或C 或D ）请填入下表：1. 虚拟临界常数法是将混合物看成一个虚拟的纯物质，从而将纯物质对比态原理的计算方法用到混合物上。
.A ．正确B ．错误2. 对理想气体有A ．()0/<∂∂T P H B. ()0/>∂∂T P H C. ()0/=∂∂T P H D. ()0/=∂∂P T H 3. 熵产生g S ∆是由于 而引起的。
A. 体系与环境之间的热量交换B. 体系与外界功的交换C. 体系内部的不可逆性D. 体系与外界的物质交换4. 以下4个偏导数中只有 是偏摩尔性质。
A ．()jn nv ns i n nU ,,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ B. ()j n p ns i n nH ,,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ C. ()jnP T i n nG ,,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ D. ()jnT nv i n nA ,,⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂5. 分离过程的有效能损失,x L E ∆ 。
A. > 0B. < 0C. = 0D.可正可负6. 超临界流体是下列 条件下存在的物质A. 高于T C 和高于P C B ．高于T C 和低于P C C ．低于T C 和高于P C D ．位于T C 和P C 点7. 纯流体在一定温度下，如压力低于该温度下的饱和蒸汽压，则此物质的状态为 。
A ．饱和蒸汽 B.饱和液体 C ．过冷液体 D.过热蒸汽8. 对理想溶液具有负偏差的体系中，各组分活度系数γi 。
A ． >1 B. = 0 C. = 1 D. < 19. 气体经过稳流绝热过程，对外作功，如忽略动能和位能变化，无摩擦损失，则此过程气体焓值 。
A. 增加 B ． 减少 C ．不变 D. 不能确定10. 对同一朗肯循环装置，在绝热条件下如果提高汽轮机入口蒸汽压力，而温度等其余条件不变，则其热效率 。
溶液热力学性质的计算
=μi
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注意化学位与偏摩尔性质的区别！
化学位的定义 偏摩尔性质的定义 它们的区别就在于下标！
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化学位
偏摩尔性质
i
(nU [
ni
) ]nV
,nS ,n j i
i U i
U
i
[(nU ni
) ]T , P ,n j i
化学位：在V，S和其它组
偏摩尔内能：在T、P和其它
[(nU ni
) ]nV ,nS ,n j i
[
(nH ni
)
]P
,nS ,n j i
(nA) [ ni ]T ,nV ,n j i
[
(nG ni
)
]T
,P
,nj i
( 5
)
化学位的说明： 1. μi是状态函数，
强度性质 2. μi表示物质的逃
逸倾向和相变化或 化学变化的推动力。 变化方向高化学位 低化学位. 3.注意四个定义的重 点在于下标.
17
18
19
上式描述了偏摩尔性质之间的相互依赖关系， 它适用于均相系统中任何热力学函数M
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Gibbs-Duhem方程
T，P一定 （xid M）i T,P 0
二元体系： x1d M1 x2d M 2 0
x（1 ddMx11） x（2 ddMx12） 0 x（1 ddMx11） x（2 ddMx22）
(nG)
d(nG) (nS)dT (nV )dP [ ni ]T ,P,nj i dni (4)
§4.1.3 化学位
定
义
化
学
位 i
k-Hessian方程径向解的存在性与多解性
2021,41A (1):63-68数学物理学报http: // act a k -Hessian 方程径向解的存在性与多解性梁载涛单雪梦(安徽理工大学数学与大数据学院安徽淮南232001)摘要：该文主要研究了 k -Hessian 方程的Dirichlet 问题.利用Leggett-Williams 不动点定 理，得到了一些关于非平凡径向解的存在性与多解性结论.关键词：径向解；Dirichlet 问题；k -Hessian 方程；Leggett-Williams 不动点定理.MR(2010)主题分类：34B15; 35A20; 35J93 中图分类号：O175.8 文献标识码：A文章编号：1003-3998(2021)01-63-061引言与主要结论考虑下列关于k -Hessian 方程的Dirichlet 问题S k (D 2u ) = /(l x l , -u ), x e B (l),(1.1)u = 0, x e d B (1),其中 k e {1, 2 …,n }, B (1) = {x e R n : |x < 1}, f e C ([0,1] x R +, R +), R + = [0, +x ), S k (D 2u )为k -Hessian 算子，它是关于D 2u 的特征值的k 次初等对称函数.具体表达式如下S k (D 2u ) = P k (A )= 卩入讥入力…入冰,1<i i <n 其中A =(入i ，入2，…,A n )为Hessian 矩阵D 2u 的特征值.k -Hessian 方程起源于流体力学、几何问题以及其它应用学科.例如，当k = n 时， k -Hessian 方程可以描述Weingarten 曲率和反光体的形状特征.近年来，许多学者针对k - Hessian 方程Dirichlet 问题的径向解进行了讨论，并取得了一些经典的结果.例如，Wei 在 文献[1]中讨论了问题(1.1)径向解的存在性，其中f (|x |, -u ) = A (-u )p + (-u )q , A 是一个实 参数，p> 0且q> 0•根据文献[2]中的分析方法，得到如下结论.定理1.1[1，Theorem1-3〕假设k<号且0 <p<k<q< i n -^ .则存在一常数人> 0使得(1) 当0 < A < A 时，问题(1.1)至少存在两个负径向滋；(2) 当A =人时，问题(1.1)至少存在一个负径向解；收稿日期：2019-10-09;修订日期：2020-01-03E-mail: liangzai ***********; aus **************基金项目：国家自然科学基金(11901004)和安徽省自然科学基金(1908085QA02)Supported by the NSFC (11901004) and the NSF of Anhui Province(1908085QA02)64数学物理学报Vol.41A(3)当入〉A 时，问题(1.1)不存在径向解.与此同时，Wei 还应用Atkinson 和Peletier 在文献[3]中建立的方法得到了如下结论.定理1.21The°re 沁4]假设2k < n < 4k , k<p<气妒且$ =•则存在一常 数A 〉0使得：(1)当入〉A 时，问题(1.1)至少存在两个负径向解；(2)当0 <\< A 时， 问题(1.1)不存在径向解.此外，Wei 在文献⑷中得到了一些关于问题(1.1)负径向解存在唯一性的结果.为了 更全面地了解问题(1.1)径向解的存在性结果，请参考文献[5-14]及其参考文献.但值得注意的是，上述文献主要研究了问题(1.1) 一个或两个径向解的存在性，而关于 三个或三个以上径向解的存在性研究相当少.在此启发，该文继续研究这一问题.本文将研 究问题(1.1)三个以及任意多个非平凡径向解的存在性.令u (x ) = 3(r ), r = |x |,则问题(1.1) 可化简为下列边值问题C k -K r n -k 3)k )' = kr n -1f (r, —3), r G (0,1),』(0)=0, 3(1) = 0.作变量替换v = -3,则问题(1.2)等价于下列问题C k -1(r ”_k (-V )k )' = kr n -1f (r,v ), r G (0, 1),v '(0)=0, v (1) = 0.(1.2)(1.3)根据Leggett-Williams 不动点定理[15],得到了如下结论.定理(A i )(A 2)(A 3) 1.3假设存在正常数e , a , b 和4且0 <0 < 2和0 < a < b < 6d < d 使得对于任意的(r, v ) G [0,1] x [0, a ]，有 f (r, v ) <对于任意的(r, v ) G [0,1] x [0, d ],有 f (r, v ) <对于任意的(r, v ) G [0,1] x [b, I ]，有 f (r, v ) >2k nC n - 1 a k k2k nC n - \d k nC k((I )k .k k -1n — 1则问题(1.3)至少存在3个正解v i ,v 2,v 3满足||v i|| < a, min v 2(r ) > b, ||v 3〔| > a with min v 3(r ) < b, (1.4)1 e <r <i -e 其中 ||训=sup |v i (r )|, i = 1, 3.r 曰0,1]此外，定理1.3还可以推广到如下结论.定理 1.4 假设存在正常数 0 <e < 2, 0 < a i < b l < ed i < d i <a 2 <b ? < 0d 2 <d 2 < …<a m < b m < ed m < d m , m = 1, 2,…，使得(C l )对于任意的(r, v ) G [0,1] x [0, a i ],有 f (r, v ) < ""[—卅,i = 1, 2, ••• ,m ；(C 2)对于任意的(r, v ) G [0,1] x [0, d i ],有 f (r, v ) < 兰三空,i = 1,2, ••• ,m ；(C 3)对于任意的(r, v ) G [0,1] x [b i ,务]，有 f (r, v ) > k ((i —[—-眄(务)",i = 1, 2, •••, m . 则问题(1.3)至少存在2m +1个正解.最后，值得注意的是，本文首次得到了关于k -Hessian 方程任意多个非平凡径向解的存 在性结论.此夕卜，本文应用Leggett-Williams 不动点定理来研究k -Hessian 方程径向解的存 在性，该方法目前还没有应用到该问题的研究.本文的其余部分结构如下：在第2节中，给出了一些预备知识.定理1.3和1.4的证明 将在第3节中给出.第4节给出了一个例子来验证本文的结论.No.1梁载涛等：k-Hessian方程径向解的存在性与多解性65 2预备知识设X是一个实的Banach空间且K是X中的一个锥，如果y:K t[0,+Q是连续的映射且满足Y(入t+(1—入)s)>入y(t)+(1—入)Y(s),V t,s G K,V A G[0,1],则映射Y是K上的一个非负连续凹函数.对于常数a,b且0<a<b,设K(y,a,b)={v G K:y(v)>a,||训<b},K a={v G K:||v||<a}.引理2.1药]令t厶K d t K d是一个全连续算子，Y是K上的一个非负连续凹泛函且使得Y(v)<||v||,V v G K d.假设存在常数a,b,c,d且0<a<b<c<d使得(H i)对于v G K(y,b,c),有{v G K(y,b,c):y(v)>b}=0和y(T v)>b;(H2)对于||v||<a,有||Tv||<a;(H3)对于v G K(y,b,d)且||Tv||>c，有y(T v)>b.则T至少存在3个不动点v i,v2,v3G K d满足||vi||<a,y(©2)>b,|闷|>a且y(©3)<b.3定理1.3和1.4的证明令X=C[0,1]和||v||=sup|v(r)|.设K是X中的锥r e[0,1]K={v G X:v(r)>0,r G[0,1]且min v(r)>创训}.r e[e,i-e]在K上定义一个线性算子T,如下Tv(r)=f(右s n-1f(s,v(s))d s)k d t,v G K.根据文献[9,引理2.2]知如果v G K是T的一个不动点，则v是问题(1.3)的一个正解，并且对任意v G K，有Tv(r)>0,Tv'(r)<0,Tv"(r)<0且min Tv(r)>0||Tv||.(3.1)r E[&,1~&]因此，T(K)c K.与此同时，根据验证紧连续算子的标准过程，可以很容易地证明T在K 上是紧连续的(详见文献[9]).定理1.3的证明对于v G K,定义v(r).y(v)min&<r<1-e显然，y是K上的一个非负连续凹函数且对于v G K有y(v)<||v||.66数学物理学报Vol.41A令上=|，如果b <如那么d>c .首先证明T : K d -応.根据假设条件(A 2),对任意 的v e K d ,看忆训閱/(石甘"〔s n-1f (s,v (s ))d ^ 切tk ~ns n-1f (s,v (s ))d s) fc d t (右t k -n 1d k k —s k d t类似地，可以证明T : K a - K a .故引理2.1的条件(H 2)成立.接下来，将验证引理2.1的条件(H 1)是否满足.令v = 0(b + c ),则v e K 且c > sup |v (r )| > v (r ) > 呵o ,1]min v (r )e <r <1-e Y (v ) > 0c = b,这意味着{v e K (7, b, c ) : y (v ) > b } = 0.此外，由于v e K (Y,b,c ),则有b < v (r ) < c = b ，对于r e [0,1 - 0].根据假设条件(A 3),有Y (Tv (r ))min Tv (r )e <r <1-e b.d t最后验证引理2.1的条件(H 3).假设v e K (Y,b,d )且||Tv|| > c ,根据(3.1)式，有Y (Tv (r )) = min Tv (r ) > 0||Tv|| > 0c = b.到目前为止，列理2.1的所有条件都已经满足.故引理2.1保证了问题(1.3)至少存在3 个正解v 1,v 2,v 3 e K d 且满足(1.4)式.最后，如果b = 0d ,那么c = d .显然，结论仍然是成立的，因为若c = d ,引理2.1的条 件(H 1)相当于条件(企).定理1.3证毕. _ I定理1.4的证明类似于定理1.3的再明二同样可以证明问题(1.1)在K d i 中至少存 在三个不同的径向解.然叫 只能肯定在K d i /K d i -i , i = 2, 3, •••申中至少存在两个不同的 解，因为第三个解可能在K d… j<i , i = 2, 3, ••• 中•因此，根据归纳法可知，问题(1.1) 至少存在2m +1个不同的径向解.定理1.4证毕.INo.1梁载涛等：k-Hessian方程径向解的存在性与多解性67 4应用在本节中，给出了一个例子来验证本文的结果.例1考虑下面的Dirichlet问题S k(D2v)=adx l j-—爲,x G B(1),v=0,x G dB(1),其中a:[0,1]t(0,x)是一个连续函数，p,q是正常数.结论假设存在正常数0,b且0<0<*使得nc n-1(1+b2q)<ak护b p-k((1—e)n—e n)<a*‘(4.1) (4.2)其中a*=min a(r).若2q+k>p>^.p>2q,则问题(4.1)至少存在3个不同的径向r e[0,1]解.证问题(4.1)可以看作是问题(1.1)的特例，其中v pf(r,v)=a(r)i+v q.根据p>2q,可知/(r,v)在区间v G(0,+x)是单调递增的.由(4.2)式可得f(r，v)>几讪>肖>业1—:n--沪)g几V(r,v)g[0,1]x[砖],这意味着定理1.3的条件(H3)成立•此外，通过计算可知对于r G[0,1],有lim竺工=0和lim竺工=0v t0+v k v t+x v k因此，存在常数a,d且0<a<b<0d<d使得2k nC k-1a fc/(r,v)<------n-_，对任意(r,v)G[0,1]x[0,a];k2k nC k-1d k/(r,v)<——，对任意(r,v)G[0,1]x[0,d].k则根据定理1.3,可知问题(4.1)至少存在3个不同的径向解.参考文献[1]Wei W.Existence and multiplicity for negative solutions of k-Hessian equations.J Differential Equations,2017,263:615-640[2]Ambrosetti A,Garcia J,Peral I.Multiplicity of solutions for semilinear and quasilinear elliptic problems.J Funct Anal,1996,137:219-242[3]Atkinson F V,Peletier L A.Emden-Fowler equations involving critical exponents.Nonlinear Anal,1986,10:755-776[4]Wei W.Uniqueness theorems for negative radial solutions of k-Hessian equations in a ball.J DifferentialEquations,2016,261:3756-377168数学物理学报Vol.41A[5]Covei D P.A necessary and a su伍cient condition for the existence of the positive radial solutions to Hessianequation and systems with weights.Acta Math Sci,2017,37:47—57[6]de Oliveira J F,do(5J M,Ubilla P.Existence for a k-Hessian equation involving supercritical growth.JDifferential Equations,2019,267:1001-1024[7]Dieu N Q,Dung N T.Radial symmetric solution of complex Hessian equation in the unit plexVar Elliptic Equa,2013,58:1261-1272[8]Escudero C,Torres P J.Existence of radial solutions to biharmonic k-Hessian equations.J DifferentialEquations,2015,259:2732-2761[9]Feng M.New results of coupled system of k-Hessian equations.Appl Math Lett,2019,94:196-203[10]He J,Zhang X,Liu L,Wu Y.Existence and nonexistence of radial solutions of the Dirichlet problem fora class of general k-Hessian equations.Nonlinear Anal:Model Control,2018,23:475-492[11]Sanchez J,Vergara V.Bounded solutions of a k-Hessian equation in a ball.J Differential Equations,2016,261:797-820[12]Sanchez J,Vergara V.Bounded solutions of a k-Hessian equation involving a weighted nonlinear source.J Differential Equations,2017,263:687-708[13]Wang C,Bao J.Necessary and sufcient conditions on existence and convexity of solutions for Dirichletproblems of Hessian equations on exterior domains.Proc Amer Math Soc,2013,141:1289-1296[14]Wang X J.The k-Hessian Equation//Change Alice,et al.Geometric Analysis and PDEs.Berlin:Springer,2009:177-252[15]Leggett R W,Williams L R.Multiple positive fxed points of nonlinear operators on ordered Banach spaces.Indiana Univ Math J,1979,28:673-688Multiplicity of Radial Solutions of k-Hessian EquationsLiang Zaitao Shan Xuemeng(School of Mathematics and Big Data,Anhui University of Science and Technology,Anhui Huainan232001) Abstract:This paper concerns with a Dirichlet problem of the k-Hessian equation.By usingthe Leggett-Williams fixed point theorem,we get some results on the existence of triple andarbitrarily many nontrivial radial solutions.Key words:Radial solutions;Dirichlet problem;k-Hessian equations;Leggett-Williams fixed point theorem.MR(2010)Subject Classification:34B15;35A20;35J93。
liouville—hill方程的算子解法及应用
liouville—hill方程的算子解法及应用
算子解法是一种现代计算数学技术，它基于分析力学中伦琴—山梯子方程的一般解。
Louxville - Hill方程的算子解法可以将复杂的动力学系统转换为一系列连续的小步骤，从而拓展出更多的可用解决方案。
算子解法的最先发展是在伦琴，山梯子方程的一般解的基础上，以解决离散微分方程的数值解及多维数值解决实际问题。
算子解法的应用几乎用于所有类型的计算问题，特别活跃在密切接触到自然界、植物学、化学、经济学等领域中。
在互联网技术中，算子解法也发挥着重要作用。
它是安全强度的基础，可以把复杂的计算问题转换为可以使用的步骤。
伦佐维尔—希尔方程的算子解法可以迅速有效地完成计算任务，在多块控制逻辑和快速搜寻数据中扮演着重要的角色。
它可以高效率地处理大规模的数据，帮助企业快速构建数据库，让查询更加快捷高效。
此外，算子解法也被广泛用于业务流程管理和优化。
它是一种强有力的技术，可以帮助企业构建安全、稳定、扩展性强的流程管理系统，并使企业的管理流程变得更加低成本。
伦琴—希尔方程的算子解法有助于优化企业数据和流程，以便更加高效、可靠地完成工作。
总之，算子解法是一种高级技术，也是一种用于解决复杂问题的重要工具，在互联网技术中，算子解法可以为企业提供更高级的工具，从而更好地完成工作。
一类抛物型k-Hessian方程
一类抛物型k-Hessian方程任长宇;牛颖;袁洪君【摘要】考虑抛物型k-Hessian方程-ut+log Sk(λ(D2u))=(φ)(x,t,u)的第一初边值问题.对于一般的光滑区域Ω,在方程存在可容许下解的条件下,建立了可容许解的C2,1(-QT)先验估计,并利用连续性方法得到方程可容许解的存在性.当(φ))u≥0时,解是唯一的.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2013(051)003【总页数】8页(P341-348)【关键词】完全非线性;抛物型;Hessian方程【作者】任长宇;牛颖;袁洪君【作者单位】吉林大学数学学院,长春130012;吉林大学数学学院,长春130012;吉林大学数学学院,长春130012【正文语种】中文【中图分类】O175.260 引言及主要结果Hessian方程属于完全非线性偏微分方程,与几何中的曲率度量问题密切相关. 抛物型Hessian方程是Hessian方程的扩展,物体表面按某种曲率进行形体演变的模型都可以归结为抛物型Hessian方程[1-2]. Ivochkina等[3]研究了抛物型k-Hessian方程的第一初边值问题,这里λ(D2u)=(λ1,…,λn)表示未知函数u(x,t)的Hessian矩阵特征值向量. Sk(λ)为λ的k阶初等对称多项式,即文献[4]将此结果由推广到一般的f(λ(D2u)). 文献[5]讨论了如下更一般形式的抛物型Hessian方程: -Dtu+f(λ(D2u+σ))=ψ(x,t). 文献[6-7]借助如下抛物型k-Hessian方程第一初边值问题解的存在唯一性研究了退化椭圆型k-Hessian方程:(1)文献[7]中,取其中Ω为 Rn中的严格k-1-凸区域. 为了得到解的最大模估计,文献[6-7]对ψ有增长阶的限制:|ψ(x,t,z)|≤C0(1+|z|), ∀(x,t,z)∈QT×R.(2)本文考虑如下抛物型k-Hessian方程第一初边值问题:(3)其中:是 Rn中的有界区域;φ(x,t)和ψ(x,t,p)分别为定义在和R上的函数.本文沿用Hessian方程的写法:等. 类似于文献[8]的定义,记Γk为包含(1,…,1)点的集合{λ∈Rn;Sk(λ)>0}. 显然Γk是顶点在原点、包含正锥{λ∈Rn;λi>0}的开凸锥,并且任意交换两个λi,λj都不变. Γk还可以表示[6]为即∀1<i1<…<ik-1<n.如果λ(D2u)∈Γk,则称一个C2类函数u为可容许函数,也称函数u是k-凸的. 显然,对于可容许函数u,问题(3)中的方程为抛物型完全非线性偏微分方程.基本假设条件如下:(H1) 对α∈(0,1),Ω为 Rn中有界区域,(H2) 存在可容许下解满足(H3) 问题(3)中ψ和φ满足直到二阶为止的衔接条件.本文的主要结果如下:定理1 假设条件(H1)～(H3)成立,则问题(3)存在可容许解u∈K,其中若ψu≥0,则解是唯一的.本文不要求区域Ω的形状是k-1-凸的,也不需要ψ满足式(2)的增长阶条件. 但需要假设问题(3)有一个可容许下解为方便,假设-Dtφ(x,t)+F(D2φ(x,t))=ψ(x,t,φ(x,t)), ∀(x,t)∈Ω×{t=0}.定理1中解的唯一性是极值原理的一个直接结论. 借助度理论方法或隐函数定理和Krylov-Safonov估计,可容许解的存在性证明可归结为解u的先验估计[3-7]. 与定理1假设条件中有关的已知量称为“问题数据”,仅依赖问题数据的量称为“可控的”.1 解的一阶导数估计令v(x,t)为如下以t为参数椭圆方程Dirichlet问题的解：由比较原理,有u(x,t)≤v(x,t),∀由于是u的下解,并且∀(x,t)∈∂Ω×[0,T],显然有: 定理2 设u∈K为问题(3)满足定理1条件的可容许解,则存在仅依赖于问题数据的常数M0>0,使得:定理2蕴含了ψ(x,t,u)在上有界,即存在常数ψ0,ψ1,使得ψ0≤ψ(x,t,u)≤ψ1, ∀(4)对于ut的估计,有如下结论:定理3 设u∈K为问题(3)满足定理1条件的可容许解,则存在仅依赖于问题数据的常数C>0,使得证明: 先估计ut的下界. 由于ut在∂pQT上的值可直接由问题(3)的边值条件得到,因此这里只考虑ut 在QT内部的估计. 令G=ut(M-u)-1,这里则在上M-u≥1.显然,如果G在边界∂pQT上某点P0达到其最小值,则存在一个可控常数C>0,使得ut≥-C. 假设G在QT内部某点P0达到其最小值,不妨设该最小值为负数,则有(5)ujt+(M-u)-1utuj=0,(6)并且矩阵(uijt+(M-u)-1(uituj+ujtui+utuij)+2(M-u)-2uiujut)=(uijt+(M-u)-1utuij)≥0. (7)对问题(3)中的方程关于t微分,有-utt+Fijuijt=ψt+ψuut,(8)其中由式(5),(7),(8)及Fijuij=k得因此,存在可控常数C>0,使得ut≥-C.类似地可估计ut的上界. 令G=ut(M+u)-1. 如果G在边界∂pQT上某点P0达到其最大值,则存在一个可控常数C>0,使得ut≤C. 假设G在QT内部某点P0达到其最大值,则有由式(9),(8),(11)得从而有ut≤C.定理4 设u∈K为问题(3)满足定理1条件的可容许解,则存在仅依赖于问题数据的常数M1>0,使得证明：由定理2,只需估计|Du|在QT内部的界即可. 考虑检验函数W=weav2,其中: 不妨设W在QT内某点P0达到最大值,则有将式(13)两端同时乘以w2Fij,有wFijwij-Fijwiwj+2aw2vFijvij+2aw2Fijvivj≤0.(15)由w的定义,w2=1+,进而(16)于是(17)由式(16)可得从而再由式(17),有(18)为了估计式(18)的右端项,将问题(3)中的方程关于xk微分,两边同乘uk后再求和,得(19)在式(14)中将w,v直接代入计算可得于是,式(19)可转化为(20)由式(12),(16)有(21)将式(20),(21)代入式(15)得即注意到Fijuij=k,并且上式右侧有界,因此存在可控常数C1>0,使得2a(1-2av2)Fijuiuj≤C1. 选择a>0充分小,使得(1-2av2)≥1/2,则有Fijuiuj≤C,(22)这里C>0为可控常数.不失一般性,可以假设矩阵(uij)在P0点是对角矩阵. 因此,在P0点还可以假设在P0点|Du|≤nu1. 由式(12),(16),u11=-2avw2<0. 利用f(λ)的如下性质[9-10]:∀λ ∈Γk, λj<0,这里ν0为依赖于的常数. 由式(22),有从而可得|Du|≤M1.2 解的二阶导数估计定理5 设u∈K为问题(3)满足定理1条件的可容许解,则存在仅依赖于问题数据的常数M2>0,使得定理5的证明可以分为|D2u|在QT抛物边界∂pQT上的先验估计和在QT内部的先验估计两部分.1) |D2u|在∂pQT上的先验估计.由问题(3)的初值条件,u(x,0)=φ(x,0),∀x∈Ω,所以只需做u(x,t)在∂Ω×[0,T]上的估计即可. 对∀x0∈∂Ω,通过适当的坐标平移和旋转,不妨设x0为坐标原点,xn为∂Ω的内法向量. 于是在x0附近,∂Ω可表示[8]为其中κα为∂Ω在x0点的主曲率. 由边值条件u(x,t)=φ(x,t),∀(x,t)∈∂Ω×[0,T]可知,在(x0,t)点,有∀α,β≤n-1,(23)从而得到了u的切向二阶导数估计|uαβ(x0,t)|≤C,∀α,β≤n-1.下面用文献[10]的方法做u的切向和法向混合的二阶导数估计. 设x0为∂Ω上一点,通过平移x0点的直角坐标系,可以选择一个 Rn上的单位正交标架场e1,e2,…,en,en为∂Ω的单位内法向量场. 记ρ(x)为x到x0的距离,并且令Ωδ={x∈Ω;ρ(x)<δ}. 由于可选取充分小的δ>0,使得在Ωδ上,有∀x∈Ωδ.(24)记d(x)为x∈Ω到∂Ω的边界距离函数. 由于∂Ω是C4+α光滑的,则在Ωδ内d(x)也是C4+α光滑的. 记对于问题(3)的可容许解u∈K,在Qδ内考虑线性抛物算子: Lv=-Dtv+FijDijv.引理1 存在充分小的可控正常数s,δ,ε和充分大的可控常数N,使得函数满足:Lv≤-ε(1+∑Fii), (x,t)∈Qδ, v≥0, (x,t)∈∂pQδ.证明：由d(x)的定义,对任意的β<n,Dβd=0,且Dnd=1. 所以Ld2=2dLd+2FijDidDjd=2dLd+2Fnn,Ld=-Dtd+FijDijd=FijDijd.显然存在依赖于∂Ω和δ的可控常数C0>0,使得|Ld|≤C0(1+∑Fii).令由于是可容许下解,并且因此可取ε>0充分小,使得w也是可容许函数,并且Sk(λ(D2w))≥ε0/2于利用F的凹性,有其中C1为依赖于的常数. 再利用式(24),有(25)Lv≤C1+C0(s+Nδ)+(C0(s+Nδ)-3ε)∑Fii-NFnn, (x,t)∈Qδ.不失一般性,可假设f1≥…≥fn,于是有∑Fii=∑fi,Fnn≥fn. 由代数-几何平均不等式,有ε∑Fii+NFnn≥nε(Nf1…fn)1/n≥εnμ0N1/n=c1N1/n,(26)其中第二个不等号用到了f(λ)的另一个性质[9-10]: (f1…fn)1/n≥μ0,λ∈Γk,这里μ0为依赖于的一致正常数. 选取s=ε/(2C0),N充分大,使得c1N1/n≥ C1+2ε,再选取δ≤s/N即可完成引理1的证明.引理2 设假设h满足h≥0于∂Ω×[0,T],h(x0,t0)=0,并且-L h≤β(1+∑Fii), (x,t)∈Qδ.则Dnh(x0,t0)≤C,这里C为依赖于和1/ε的常数.证明：由引理1,可以选择A≫B≫1,使得Av+Bρ2-h≥0于∂pQδ, L(Av+Bρ2-h)≤0于Qδ.由抛物算子的极值原理知,Av+Bρ2-h≥0于Qδ. 注意到在(x0,t0)点,Av+Bρ2-h=0,这蕴含了Dn(Av+Bρ2-h)(x0,t0)≥0,即引理2成立.为了估计可容许解的切、法方向的混合二阶导数,将问题(3)中的方程关于xm微分,得-utm+Fijuijm=ψm+ψuum.显然,对每个m=1,2,…,n,有(27)由于u(x,t)加上一个关于x的线性函数后仍然满足问题(3)中的方程,所以可以假设在(x0,t)点对应用引理2,有|uαn(x0,t)|≤C, ∀α<n.从而建立了可容许解u在∂Ω×[0,T]上的切、法方向二阶混合导数的先验估计.下面做法向的二阶导数Dnnu估计. 由于Δ u>0,只需推导出它的上界即可,即Dnnu≤C于∂Ω×[0,T].(29)仿照文献[10]的方法. 记为Γk到λ′=(λ1,λ2,…,λn-1)上的投影,设,由文献[8]知,可以找到的一个支撑面,即存在μ′=(μ1,μ2,…,μn-1)∈Rn-1,满足⊂又由文献[8]中引理6.2,对于可以视为某种意义下λ′到的距离.与估计切向二阶导数时所用的方法(23)一样,在x∈∂Ω点,有Dξη(u-φ)=-Dν(u-φ)Π(ξ,η),其中: ξ,η为∂Ω在x点的单位切向量;ν为单位内法向量;Π(ξ,η)为∂Ω的第二基本型. 引理3 存在一致的常数c0>0,使得d(x,t)=d(λ′(Dξηφ-Dν(u-φ)Π(ξ,η)))≥c0, ∀(x,t)∈∂Ω×[0,T].证明：考虑d(x,t)在∂Ω×[0,T]上的最小值点(x0,t0),只需证明d(x0,t0)≥c0>0即可. 在x0点选择一个直角坐标系e1,e2,…,en,使得en为∂Ω的内法方向,(Dαβu(x0,t0))(1≤α,β≤n-1)为对角矩阵,并且D11u(x0,t0)≤…≤Dn-1,n-1u(x0,t0). 由d(x,t)的定义知,根据文献[8]中引理6.2,对(x0,t0)点附近的点(x,t)∈∂Ω×[0,T],有(30)于是对于边界∂Ω×[0,T]上(x0,t0)点附近的点,由式(23)有(31)由于,因此可以假设(否则引理成立). 于是再次利用文献[8]中引理6.2,有从而可知存在一致正常数c2和δ′≤δ,使得于其中δ意义同引理1. 于是,式(31)蕴含了于(32)其中是上的光滑函数. 注意到及式(27),对应用引理2可得Dnnu(x0,t0)≤C,即λ(D2u)(x0,t0)位于Γk的一个有界子集中. 再由Γk的定义知,对于又由方程Sk(λ(D2u))=exp{ut+ψ(x,t,u)}的先验估计可知,存在一致的常数c3>0,使得dist(λ(Diju)(x0,t0),∂Γk)≥c3. 即蕴含了存在某个正常数c0,d(x0,t0)≥c0.下面证明式(29). 由引理3知∀(x,t)∈∂Ω×[0,T].假设Dnnu(x,t)没有上界,则由文献[8]中引理1.2及Sk(λ)的严格单调性,有矛盾. 从而式(29)成立.2) |D2u|在上的估计.证明对任意方向导数于令其中a>0为待定常数. 显然只需得到W的上界估计即可.若W的最大值在∂pQT上达到,则由前面的结果知W有一致的上界. 若W在内部某点(x0,t0)对某个单位向量ξ达到其最大值,不妨假设ξ=(1,0,…,0). 通过旋转坐标系,使得{Diju(x0,t0)}是对角矩阵,并且u11≥…≥unn. 令λi=Diiu(x0,t0)(i=1,2,…,n),则Fii=fi. 显然,只需估计λ1.由于在(x0,t0)点达到其最大值,则对每个i=1,2,…,n,有在(x0,t0)处微分问题(3)中的方程两次,再利用先验估计及函数F的凹性,有其中C>0为可控常数. 式(34)两端同时乘以Fiiλ1,对1≤i≤n求和,再利用式(37),(33),(35)及(36)有选取a>0充分小,使得则有(38)注意到Sk(λ)的一个性质[11]:则有f1λ1≥Cn,k,其中Cn,k>0为仅依赖于n,k的常数. 于是由式(38)即可得到λ1的上界.综合1),2),即可完成定理5的证明.参考文献【相关文献】[1] Chow B. 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K-Hessian方程的一个Liouville型结果
K-Hessian方程的一个Liouville型结果K-Hessian方程是一个重要的偏微分方程，它在几何分析和非线性偏微分方程中都有重要的应用。
在数学研究中，人们一直在努力寻找这个方程的各种性质和解的性质。
在这篇文章中，我们将探讨K-Hessian方程的一个Liouville型结果。
我们来简单回顾一下K-Hessian方程的定义。
K-Hessian方程是指形如u_k = F(D^2u)的方程，其中u_k表示u的广义K-Hessian算子，F是一个给定的函数，D^2u表示u的Hessian矩阵。
K-Hessian方程在几何分析中起着重要的作用，它的解与黎曼度量、测地线、曲率等几何概念之间有着密切的联系。
对K-Hessian方程的研究成为了数学领域中的热点问题之一。
在K-Hessian方程的研究中，Liouville型结果是一个非常重要的概念。
Liouville型结果是指一类特殊的解的性质，它指出了一类方程的解在某些条件下只能是常数。
这类结果在数学中有着广泛的应用，因为它揭示了一类方程的解的特殊性质，更进一步揭示了这类方程和其它数学领域的联系。
F(D^2u) = f(x, u, Du)其中F是一个凸函数，f是一个已知函数，u是未知函数，Du表示u的梯度。
我们的目标是证明当f满足一定条件时，方程的解u只能是常数。
我们需要引入Hessian矩阵的逆矩阵，即G = (g^{ij}) = (F^{ij})^{-1}，其中F^{ij}是F的偏导数。
对于凸函数F来说，它的逆矩阵G也是一个凸函数。
接下来，我们可以给出K-Hessian方程的一个Liouville型结果的具体表述：假设u是上面提到的方程的一个有界解，且满足F(D^2u) = f(x, u, Du)。
如果f(x, s, p)关于p 是严格凸的，即对于所有的p_1 \neq p_2有f(x, s, p_1) \neq f(x, s, p_2)，那么u只能是常数。
最著名的金融公式——布莱克-斯科尔斯公式
最著名的金融公式——布莱克-斯科尔斯公式布莱克-斯科尔斯模型是一种模拟金融衍生工具市场动态的数学模型。
自1973年提出并于70年代和80年代加以完善以来，该模型已成为估算股票期权价格的标准。
该模型背后的关键思想是，通过以正确的方式买卖基础资产(如股票)来对冲投资组合中的期权，从而消除风险。
这种方法后来在金融界被称为“不断修订的三角洲对冲”，并被世界上许多最重要的投资银行和对冲基金采用。
本文的目的是解释布莱克-斯科尔斯方程的数学基础，基本的假设和含义。
布莱克-斯科尔斯模型布莱克-斯科尔斯模型是一种模拟金融市场动态的数学模型，其中包含了期权、期货、远期合约和互换合约等衍生金融工具。
该模型的关键性质在于，它表明了一个期权，无论其标的证券的风险和预期收益如何，其价格都是唯一的。
该模型建立在偏微分方程的基础上，即所谓的布莱克-斯科尔斯方程，从中可以推导出布莱克-斯科尔斯公式，该公式从理论上对欧洲股票期权的正确价格进行了估计。
假设条件最初的布莱克-斯科尔斯模型基于一个核心假设，即市场由至少一种风险资产(如股票)和一种(本质上)无风险资产(如货币市场基金、现金或政府债券)组成。
此外，它假定了两种资产的三种属性，以及市场本身的四种属性：对市场资产的假设为：1：无风险资产的收益率是恒定的(因此实际上表现为利率)；2：根据几何布朗运动，假定风险资产价格的瞬时对数收益表现为具有恒定漂移和波动的无穷小随机游动；3：风险资产不支付股息。
对市场本身的假设是：1：不存在套利(无风险利润)机会；2：可以以与无风险资产利率相同的利率借入和借出任何数量的现金；3：可以买卖任何数量的股票(包括卖空)；4：市场上没有交易成本(即没有买卖证券或衍生工具的佣金)。
在对原有模型的后续扩展中，对这些假设进行了修正，以适应无风险资产的动态利率、买卖交易成本和风险资产的股息支出。
在本文中，假设我们使用的是原始模型，除非另有说明。
布莱克-斯科尔斯方程打开看点快报，查看高清大图图1所示，欧洲看涨期权价格相对于执行价格和股票价格的可视化表示，使用布莱克-斯科尔斯公式方程计算。
K-Hessian方程的一个Liouville型结果
K-Hessian方程的一个Liouville型结果1. 引言1.1 背景介绍K-Hessian方程是一类非线性偏微分方程，它在几何分析和微分几何领域中具有重要的应用。
从数学上讲，K-Hessian方程可以被表示为一个高阶非线性椭圆型偏微分方程。
随着几何分析的发展，人们对K-Hessian方程的研究也愈发深入，其中涉及到许多复杂的理论和技巧。
K-Hessian方程的解的性质一直是研究的焦点之一。
Liouville型结果是指关于K-Hessian方程解的性质和分类的一类结果。
通过对K-Hessian方程进行Liouville型结果的研究，可以更好地理解方程的解的结构和特征，为进一步研究和应用奠定基础。
在过去的研究中，已经取得了一些关于K-Hessian方程的Liouville型结果的定理，这些定理对于揭示方程解的性质和特点具有重要的意义。
通过对这些定理的详细讨论和证明，可以进一步加深我们对K-Hessian方程解的理解，并为其在不同领域中的应用提供理论支持。
【内容结束】1.2 问题提出K-Hessian方程的一个Liouville型结果是一个重要的数学问题，它涉及到对K-Hessian方程的研究及其在几何分析中的应用。
在这个问题中，我们将探讨K-Hessian方程的性质，以及通过Liouville型结果得到的一些有趣的结论。
具体来说，我们将研究K-Hessian方程的解的性质，并讨论这些解在不同情况下的表现。
从而揭示K-Hessian 方程的一些新的特征和规律。
通过对K-Hessian方程的研究，我们可以更好地理解其在数学和几何中的应用，并为未来的研究工作提供新的方向和思路。
本文将从K-Hessian方程的定义开始，介绍Liouville 型结果的定理，讨论证明思路和数学推导，最后通过实例分析展示K-Hessian方程的一些具体应用。
通过本文的研究，读者将对K-Hessian方程及其Liouville型结果有一个更全面和深入的了解。
K-Hessian方程的一个Liouville型结果
K-Hessian方程的一个Liouville型结果【摘要】本文介绍了K-Hessian方程的一个Liouville型结果。
我们探讨了此定理的证明思路，然后分析了相关的数学背景知识。
接着我们讨论了这个结果在实际应用领域中的潜在意义，以及对现实生活的影响。
我们对文章进行了总结，并展望了未来可能的研究方向。
这个结论为我们理解K-Hessian方程的解提供了新的视角，有望在微分几何和偏微分方程领域引起更多研究者的关注与探讨。
【关键词】K-Hessian方程, Liouville型结果, 证明思路, 数学背景, 应用领域, 实际意义, 总结, 展望1. 引言1.1 引言K-Hessian方程是一个在微分几何和偏微分方程领域中备受关注的方程。
最近，研究人员在这个方程中取得了一个重要的Liouville型结果，引起了学术界的广泛关注。
本文旨在对这一结果进行详细的介绍和分析。
在本文中，我们将首先简要介绍K-Hessian方程的基本概念和相关知识，然后重点讨论这个Liouville型结果的证明思路。
接着，我们将探讨这一结果在数学背景中的重要意义，并探讨它在实际应用领域中可能发挥的作用。
我们将对这一结果进行总结，并展望未来可能的研究方向。
通过本文的阐述，读者将对K-Hessian方程的一个Liouville型结果有一个全面的了解，同时也将更深入地认识到这一结果在微分几何和偏微分方程领域的重要性和价值。
希望本文能够为相关领域的研究人员提供一些启发，并促进这一领域的进一步发展和探索。
2. 正文2.1 K-Hessian方程的一个Liouville型结果K-Hessian方程的一个Liouville型结果是一个重要的数学领域研究课题。
该结果指出了K-Hessian方程在一定条件下的Liouville性质，即解的有界性和单调性。
这一结果在几何分析和偏微分方程领域有着广泛的应用和深远的意义。
证明思路方面，研究者通常会运用凸分析、微分几何、逼近论等多种数学工具，通过一系列复杂的推导和分析，最终得到该Liouville型结果的严格证明。
K-Hessian方程的一个Liouville型结果
K-Hessian方程的一个Liouville型结果K-Hessian方程是一个具有广泛应用的偏微分方程，它在几何分析、数学物理和其他领域都有重要的意义。
在研究K-Hessian方程的性质时，人们经常会涉及到Liouville型结果，即有关方程解的性质和行为的结果。
在本文中，我们将讨论K-Hessian方程的一个Liouville型结果，以及其在数学和其他学科中的重要性。
让我们来了解一下K-Hessian方程是什么。
K-Hessian方程是一个高阶非线性偏微分方程，它的一个典型形式可以写为：det(Hess(u) + λg) = f(x, u)Hess(u)表示函数u的Hessian矩阵，g为给定的Riemannian度量，λ为常数，f(x, u)为已知函数。
K-Hessian方程的研究涉及到几何分析、微分几何和非线性偏微分方程等领域，它具有复杂的性质和丰富的数学结构。
定理：设u(x)是K-Hessian方程det(Hess(u) + λg) = f(x, u)的一个非负解，且满足一些适当的增长条件，则存在一个正的常数C，使得对于任意的半径为R的球B_R(x_0)，有sup_{B_R(x_0)} u ≤ C(1 + R^2)这个定理告诉我们，对于K-Hessian方程的非负解，其在有界区域内的增长是受到限制的。
换句话说，解不能在有界区域内无限增长，它的增长受到一定的约束。
这个结果对于我们理解K-Hessian方程解的性质和行为具有重要的意义。
这个Liouville型结果的证明涉及到一些复杂的分析技术和几何方法，需要借助于微分几何、偏微分方程和几何分析等多个领域的知识。
在证明过程中，人们常常需要利用到K-Hessian方程的具体结构和常数值等信息，以及相关的不等式和估计等工具。
K-Hessian方程的Liouville型结果还对于几何分析和微分几何等领域具有重要的意义。
通过研究K-Hessian方程解的性质和行为，可以揭示Riemannian度量和几何结构之间的内在联系，以及在流形上的几何流动和曲率调节等重要问题。
[doc]Lee—Kesler方程的快速求解法及其临界：对比温度
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Lee—Kesler方程的快速求解法及其临界：对比温度天然气工业.fi缸xP删ffm呐_z&-~幔.tFLee-Kes1eeesler方程的快速求解法缸P删呐&幔力往¨lr犬愿水胼法曲盐连及其临界对比温度谢太浩.(中国石油天然气总公司四川设计硫)内容提要本文在分析LK方程现有算法的基础上,提出了临界对比温度的概念和推算公式,用E将LK状态方程的定义域分为气液两相区,以此来选用推荐的vj初值,大大地改善j用牛顿迭代法求解LK方程的速度和计算精度.大量的考核计算表明,本法取得令人满意的结果.主题词LK方程LKP方程临界对比温度牛顿迭代法热力学函数汽液平衡在预测流体热力学性质和汽液平衡常数时,经常采用三参数对比状态原理的LK(Lee—Kesler)0方程,以及在LK方程基础上改进的LKP(Lee—Kesler—Pl6eker)0状态方程,需要计算LK方程对比比容V的根.对于LK方程的解法,未曾见国外文献报导,国内可查的文献资料也甚少:1.潘忠孝和许志宏(1982年),参照Pl~cker-Knapp求解BWR,BWRS等状态方程的方法”,将由对比比容V表示的LK状态方程,变形以对比密度DI表示的方程求解,迭代公式和收敛容差公式都显得复杂,不仅要求函数f(D,)的一阶导数,还要求二阶导数}在超临界区,需要分相界.2.刘天增(1985年),先后曾用二分法与牛顿法来求解LK方程.二分法计算步骤冗长,收敛速度慢.牛顿造代法收敛速度快,但对初值的要求苛刻.在所求值L=0.3～问题中的决策变量各点与集气站之问的压降平方差和各井流量直接决定各段管径(直接与费用相关),加之网络中各点,段等的具体约束,该最优化问题将趋于复杂.但在初始撮优树网络形成的前提下,这类问题是最优管径组合问题.对于这一问题,作者拟在下一篇详细论述,解决.参考文献[1]Gibert.E.N.andPotlak.H.O.:”SzeJncr MinimalTrees,’’SlAMJournalonAppliedMathematics V o1.】6.1968t1～20.C23Melzak,A:OntheProblemofst~incr.Canad.Math.Bul1..V o1.,1961:I3～l48.【3]Chang,S~kuo1”11~GenerationofMinimal TreeswithaStcinerTopology.JournaloltheAssocia—ttonforComputingMachinery-V o1.19-No.4-1972:699 ～71I.[d]傅家琪迟成文’实用运筹网络》安徽教育出版杜1986’(本文收到日期I988年4月11日)第9卷第5期天然气工业734.0和一0.01～l0.0范围内,液相时取初值一0.08或更小+气相时取初值V=T,/ Pf,得到了同潘忠孝一许志宏算法一样的结果.3.刘荚蓉和吴永春(1088年),也将LK状态方程表示为对比密度的函数,对纯物质和混合物气液相,分别选用不同的对比密度初值,而后用牛顿迭代法求解.在油气分离温度和压力范围内,刘荚蓉和吴永春验证了此法压缩因子的计算值+满足误差小于10-’的要求.综观上述解法,都存在一个共同的弱点+即需据物流的相态(气相或液相)来选用不同的初值,使得计算程序较为复杂;采用的初值单一,使迭代次数增加,运算速度减慢+甚至于影响到求解的计算精度和适用范围为了加速LK方程牛顿迭代法求解收敛速度,作者提出了临界对比温度的概念和推算公式,只需经简要的判断(见第2节)+选取推荐的V初值,即可加速LK方程牛顿迭代法求解的收敛速度,改善其计算精度.经大量考核计算,此法取得了令人满意的结果: 1.复算了Lee—Kesler的数据表(】075年) 和APITDB—PR(TechnicalDataBook—PetroleumRefining)(1976～】978年)所列LK热力学函数校正项数据表,前者除临界点外(见3)5992个数据全部吻合,后者7684个数据准确一致.2.在LK数据表基础上进行内插和外延,取得了与API数据手册准确一致的结果.3.在临界点(T=I.0,PrI.0),本次计算Z(o=0.2890,同文献.”计算Z如=0,2918比较,与LK数据表列值Z=0,2901的偏差更小f而同APITDB.PRfI976 ～l078年)所列Z一0.289值完全一致(详见第3节)d.对数个天然气嘭胀机致冷分离过程进行了模拟设计计算,其结果与西德Linde等公司设计计算值吻合.以下将对LK方程牛顿迭代算法及有关初值问题,计算结果作详尽地论述和分析. LK方程牛顿迭代解法Lee—K~ler提出+任何流体的压缗困-T-Z可用简单流体的Z.,和参考流体的z来表达:z=z十茅(z.’一z)(1)Z’和Z用修正的BWR方程的对比形式表达为:z[n’一等=++茜++茅匆(+f-~2)e=p(一)(2)式中=～一嘉一亮c=c,～+品D—.十粤其常数值列于表l.Lee—Kesler推荐的混合规则为:I一础/=0.2005—0.085o~,吉∥…+I帆(+)m一∑Po一(0.2005—0.085~o)1~/V.(31天然气工业1989年LK方程常数值?丧1数简单流体参考流体常数简单流体参考流体bt0.I18l1930.2026579c,0.00.0l6901b20.2657280.3316lIc.0.04272{0.041577bj0.17900.027665d.×100.】554880.486bJ0.0303230.203488d2×l0’0.6236890.0740336 c.0.02367440.031338580.653921.226c20.0I809840.05036I8v0.000I670.03764为慢LK方程推厂到不对体fi;Il台物的汽t:一衔和焓的计算中,PlUcker-Knapp对上湿规则进行了修正,得:一+…),厅■?JI(d)当采用牛顿迭代法求解LK状态方程(2)式对比比容Y的报时,其迭_代公式为;一-一㈣收段窑羞;}≤.o×;㈣式申币敬f(V,)和一阶导数f(V)可d】(2)式得:?,r=等一,一一南一等一(+)(一)(7)鲁+砰B+篝+器十C/t+(2一一番)](一南)(8)临界对比温度及V,初值LK方程是一个型杂柏非线性方程.牛顿逃代法是求斛非线性方程的快速收敛法.但牛顿迭代法对初值的婴求苛刻,初值选用不1.蝣他求解不能收敛或产生溢出.因此,作者试图改善LK方程牛顿迭代懈法的初值条件,扩展此法的适用范围,减步迭代法次数,提高算法收敛的速度..用牛顿迭代法求解LK方程对比比容V的根,无论对纯物质,还是混合物,V初值均可据T-和n由表2推荐的公式计算出.对比比客V.初值岱式丧2\.,:BL\P,≤0.80.8<T,,’(i)=z/B(i=1.2)rfV.(1)=T,(3.75×10%xp(7.40589T,)v,(1)[0-001469exp(4?039531)T,) ≥+0.1389481:-’川ⅢP]‚n+0.I181ST,’R]‚v(2)=0.08V(2)=0.08第9卷第5期天然气工业75GOPAL压缩园子计算式表3BZ0№.0.3～1.2P(1.6643T一2.21t4)一O.3647Tt+t.4385t12～1.dP(0.5222T一0.8511)一O.0364TT+1.049O2O.O1～1.21.4～2.0P(0.【39IT一0.2988)+O.0007TT+O.996932.O～P(0.029盯一0.0825)+O.0009TT+O.9967403～12(一1.3570十J.4942)+4.6315T,一d.7009512一～1.dP(0.17l7T一0.3232)+O.5869L+O.122961.2～2.81.4～2.0P(0.098dTl一0.2053)+0.0621T.+O.858072.O～P(0.02LIT一0.0527)+0.O127+O.954980.3～l_2P(一1.3278+O.4752)+1.8223T,一1.9O3691.2～1.4P(一0.2521L+0.387I)+I.6O87L一1.6635lO2.8～5.41.4～2.0P(一0.0284T+O.0625)+O.{7l4TI—O.oo儿l12.0+～P(一0.004l+O.0039)+O.0607L+O.7927125.4～O.3～Pt(O.7l1+3.66T,)_.一1.637/(0.3l9T+O.522)+2.O7tt3 在表2中,T称为临界对比温度,可简单地认为:临界对比温度T:将整个LK方程的定义域分为气液两区.在给定的下,如果T,>,物流处于气相状态;如果T<,物流处于液相状态.经大量计算验证表明,引入临界对比温度来划分相界,是简捷可行的.分析计算得,是对比压力P的函数,即=f(Pt),可据经验数据导出.当—I.0时,=L一1.O.z.为Gopa[法.计算的压缩因子,其通式为:五=Pr(也T,+既)+T+(9)式中常数,,C.和D.可据表3选用.在用Z.计算初值对,作者对表3中变量L和Pf的定义域作了适当外延.计算结果及其分析在开发天然气热物理性质及加工过程模拟系统PS.时,作者依据上述的理论和推荐的v,初值公式,开发了LKP应用程序.在广泛的对比温度T和对比压力Pt范围内,参照实验数据或文献资料,进行了大量地考核计算,取得了令人十分满意的结果:1.首先复算了Lee—Kesler热力学函数校正值数据表z’和z”,[m’一H)/RTt)糟’和C(H.一H)/RT]”,[(S’--S)/R]t0和C(S.一s)/R3,Clog(f/P)]和Etog(f/P)],以及[(一)/R3和[(c-c;)/R3”除临界点外(详见3),5992个数据全部吻合.此外,还复算了APITDB-PR(1976～1978年)所列LK热力学函数校正项数据表. 除上述1所列热力学函数外,还增加了C(C 一c)/R3和[(一口)/R3校正项,共计768,/个数据点.计算结果与表列值准确一致.-2.在Lee—Kesler数据表的基础上,进行了内插和外延,取得了与APITDB-PR表列值准确一致的结果.当T>d.0或(和)Pr>10.0时,计算也能快速收敛在计算高压低温下,吉量子流体H和(或)H.的天然气压缩园子时,仍能满足工程精度的要求.天然气工业临界点热力学函数校正值计算结果比较表4\算\I975)黻(95)19谢太浩许春宏(.”吴之春籍\～I978)(j982)(I988) \Z.0,290l0.2890.28900.29I80.29I8ZZ’.一0.0879—0.073—0.0726H一H[2.5842.6932,59I2TRc]LI.2.47I2.3da2.3466.S一S2.I782.1862.I848R2.3’992.2762,2746‘一0,l76—0.I76—0.1765t[,o4-]”‘一0.03l一0.03I一0.03I2CP—C[]【0|******oo■■■■●$R****’*oo*★***Cv—C降r0.6380.6,384R3.5893.5887挂:空白处原文无数据.3.在临界点处,各类算法计算的热力学函数校正项值比较详见表4.可见本算法计算结果同AP1TDB.PR(】976～J978年)完全一致,与LK数据表的偏差也较其它算法小. 至于在临界点处,APITDB—PR表列数据与LK数据表的整异,尚待查询和研究.4.除与LK数据表比较外,还对若干不同组分天然气的压缩因子,等压(或等容)比热,绝热指数,泡露点,汽液平衡常数,等熵或等焓过程进行了大量地计算,以及对数个天然气膨张机致冷分离过程的模拟设计计算. 均取得与实验数据或者文献资料一致的结I第9卷第5期天然气工业77果.计算表明:本文推荐选取的V初值和算法,大大地改善了用牛顿迭代法求解LK方程对比比容V根的收敛速度和计算柿度. 结论综上所述,本文提出了临界对比锰度的概念和推算公式,并用它将LK状态方程的定义域简要地分为气液两相区,以此来选用经本文改进推荐的对比比容V,初值,是简捷可行的.此算法将大大地改善用牛顿迭代法求解LK方程对比比容根的收敛速度和计算精度.经太批量的考核计算,本算法取得了与实验数据和文献资料一致的结果.采用此法的优点在于:1.保留了LK方程原始形态;2.勿需据物流相态来选用V迭代初位;3.算法简捷,求解造代收敛快;d.适用范围广泛,在L>4.0和(或)P,>10.0范围内均能使求解顺利进行.(注:如需PS系统或LKP程序,请直接与作者联系)符号说明Ad,&,已,D.为GOPAL压缩因子算式常数; B,C,D为状态方程常数;b,c,d为状态方程常数;f——逸度;H——焓;k——二元交互作用参数;n——迭代次数;P——压力{ R——气体常数;s——熵;T——绝对韫度; v——比容;x——摩尔组分;z——压缩因子B——状态方程常数;Y——状态方程常数{ p——密度;..一偏心因子.角标一c——临界状态}i,j,k——混合物第j,j,k组分;r——对比态;(o)——简单流体}(r)——参考流体;(j)——校正因子.参考文献[I]Lee,B.I_,KesLer,M.G.,”GeneralizedTher- modynamJcCorreLationBasedOnThree一∞rmerCorr~ spondingStates”,AIChEJ.Y o[.21,No.3,510(1975).E23Pleckcr,U..Knapp,H,Prausnitz,J?,”Cal- culaflonofHigh—pressureV apor?LuIdEquitibrJafroma Corresponding—StatesCOtrelationwithEmphasisOil AsymrrletrJcMixtures”.Ind.Fang.Chem.ProcessDes. Dev..V o1.i7.No.3,324,i978.(3)潘忠孝,许志宏,Lee-Kesler方程的计算机应用研究”,《化学工程》,No.1,15,1982.(4]Pl~ker,U.,KnapptH.,Prausnitz…J.SaveTJm~JnC omputingDensity”.《Hydrocarbon Prooesstng》.V o[.55,】99-】976~53刘天增,对李一凯斯勒状态方程求解的探讨”,《炼油设计》,No.4,.37,198S.[6]刘芙蓉,吴永春,”L--K方程的快速解法”,《化学工程》.V o[.16,No.3,43,I988.[73AP].”Teehnica[DataBook+PetroleumRe~in—ng(I976～1978)”.E83Oop~i.v.N.,Ky,O.,.GasZ-FactorEqua- tionsDevelopedforComputer”.OGJ,V o1.75,No.32, 58.I977..[0]谢太浩,.天然气热物理性质及加工过程模拟系统PS,《天然气工业》l989年专刊.(本文收到日期1989年3月I7日)。
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K-Hessian方程的一个Liouville型结果
K-Hessian方程是一个非常重要的偏微分方程，它在几何分析和非线性偏微分方程理论中具有重要的应用。
在研究K-Hessian方程的解的性质时，Liouville型结果是非常关键的一个内容。
本文将介绍K-Hessian方程的基本概念和一些相关的Liouville型结果，并对其在数学和几何分析领域的重要性进行讨论。
1. K-Hessian方程的简介
K-Hessian方程是指具有如下形式的二阶非线性椭圆型偏微分方程：
\[ F(D^2 u) = f(x, u, Du) \]
\( D^2 u \)表示Hessian矩阵，\( f(x, u, Du) \)是一个给定的函数，\( F(D^2 u) \)是一个由Hessian矩阵的特征值和特征向量构成的函数。
当\( F \)具有特定的形式时，即可得到K-Hessian方程的特定形式。
K-Hessian方程广泛应用于几何分析、微分几何、非线性偏微分方程等领域，是一个非常活跃的研究方向。
2. Liouville型结果的概念
Liouville型结果是指对于某类特定的偏微分方程，如果其解满足一定的条件，那么这些解必然具有特定的形式。
一般来说，Liouville型结果是指对于椭圆型或拟线性椭圆型方程，在满足一定的增长条件或者衰减条件下，解的形式受到严格的限制，不能自由地增长或衰减。
Liouville型结果通常表明了方程解的全局性质，对于研究方程解的性质具有非常重要的意义。
目前，对于K-Hessian方程的Liouville型结果的研究已经取得了一些进展，但仍然有许多问题有待深入研究。
在K-Hessian方程的Liouville型结果的研究中，涉及到许多重要的数学工具和技术，包括凸几何、凸分析、局部和全局椭圆估计、梯度估计、Harnack不等式等。
通过这些数学工具和技术的运用，人们希望可以得到K-Hessian方程解的严格性质，这对于理解方程解的性质具有非常重要的意义。