构造法及构造法在中学数学解题中的应用

摘要：构造法就是根据题设条件和结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助它来认识与解决原问题的一种思想方法。构造法是运用数学的适当的数学思想与原理，针对一些数学的问题的特点而采用相应的解决办法，合理地运用构造法一方面可以提高解题效率；同时也能够发展学生的思维能力和创新意识。本文在分析构造法的内涵和研究价值的基础上，对构造法在中学数学中一些典型问题解决中的运用进行了探索和尝试。

关键字：中学数学，解题，构造法

Abstract:According to the problem of construction method is the particularity of the set conditions and conclusion is constructed, some new form of mathematics, and with it to recognize and solution of the original problem a thought method. By using the mathematical method of construction is the proper mathematical idea and principle, in view of some mathematical characteristics and the corresponding solution, reasonable construction method on the one hand may improve by solving efficiency; Also can develop the students' thinking ability and innovative consciousness. Based on the analysis of the connotation and construction method, on the basis of research value of tectonic method in the middle school mathematics in the application of some typical problems probes and try.

Keywords:middle school mathematics,problem-solving,method of construction

目录

1构造法的内涵 (4)

2构造法的研究价值 (4)

3构造法在中学数学解题中的应用 (4)

3.1构造法在不等式中的应用 (4)

3.1.1构造函数 (4)

3.1.2构造方程 (5)

3.1.3构造几何图形 (6)

3.1.4构造向量 (6)

3.1.5构造对偶式 (7)

3.2构造法在函数中的应用 (8)

3.2.1构造坐标系 (8)

3.2.2构造方程 (9)

3.2.3构造复数 (9)

3.2.4构造函数 (10)

3.3构造法在数列中的应用 (11)

3.3.1构造等差数列 (11)

3.3.2构造等比数列 (12)

3.3.3构造三角函数 (12)

结束语 (14)

参考文献 (15)

1 构造法的内涵

构造法，就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造出满足条件或结论的数学模型，借助于该数学模型解决数学问题的方法。构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性作为基础，针对具体问题的特点而采取相应的解决方法。具体的说构造法就是根据题设条件和结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借它认识与解决原来问题的一种思想方法。

2 构造法的研究价值

构造法是非常重要的数学方法，通过对构造法的学习，可以激发学生的解题灵感，培养学生的创新思维和创造性意识及学习热情，提高学生的解题能力。创新思维是整个创新活动的关键，敏锐的观察力，创造性的想象，独特的知识结构及别具匠心的灵感是其基本特征。而构造法正是从这方面训练学生的思维，使学生的思维由单一型转变为多角度，从而培养学生的创新思维能力。因此在中学数学教学中，构造法的研究和学习显得尤为重要。本文试就一些中学数学常见问题，对构造法的应用做初步的系统分析。

3 构造法在中学数学解题中的应用

构造法是一种非常重要的解题方法，其解题思想灵活多变、解题方法新奇灵巧。在

中学数学中，由于知识结构以基础性内容为前提，而以考察试题的灵活多变为主，构造法便显得更加的不可或缺。运用构造法对试题进行解答，往往能够起到事半功倍之效。

3.1 构造法在不等式中的应用

不等式是研究数的性质、方程、函数等的重要工具之一，在求函数的极值及其问题中，不等式的应用非常重要。但在不等式的证明这个问题中，掌握却有一定的难度，而构造法是一种极具创造性的解题方法，体现了数学中类比、化归、建模等数学思想方法，同时也很好的渗透了猜想、归纳、试验等数学方法。下面谈谈怎么用构造法解决有关不等式的题。

3.1.1 构造函数

构造函数法是构造法中最常用的方法，具有较强的灵活性和创新性,在数学解题中运用构造函数法，常常体现为不对问题本身求解，而是构造一个与问题有关的辅助函数求解，最终达到解题目的。

例1 已知不等式

3

2

)1(121212111+->+++++a g l n n n οΛ 对一切大于1的自然数n 都成立，求实数a 的取值范围.

分析：本题要求参数a 的取值范围，题目中为我们提供了有关a n 和的不等式，但仅依靠一个不等式我们很难直接的求出实数a 的取值范围。通过对不等式左边有关n 的多项式构造函数，可以知道该函数)(n f 为增函数，因此)(n f 有最小值，而该最小值必大于不等式的右边部分，从而求出实数a 的取值范围。

解：构造函数),2(21

2111)(N n n n n n n f ∈≥+++++=

Λ， 由01

1

221121)()1(>+-+++=-+n n n n f n f ，

知)(n f 为增函数，最小值为6

5

3121)2(=+=f . 故只须

3

2

)1(12165+->a g l ο成立， 解得2

5

11+<

方程是中学数学中的一个重要解题工具，其与函数等许多知识存在密切的联系。通过对题设中的数量关系和结构特征，可以构造出相应的方程，使问题得到解决。

例2 已知 ，

，，，)2

2(π

πγβα-∈ 求证：

)tan tan 2)(tan 2(tan tan tan 2

γβαγβα--≥-）（ 分析：这是一道有关三角函数的不等式证明题，题设中只给出了γβα,,的取值范围，

通过的取值范围的取值范围求γβαγβαtan ,tan ,tan ,,并不能证出该不等式。而通过构造方程的方法，我们可以把问题转化为方程的问题。

证明：构造方程 0)tan tan 2()tan (tan 2)tan 2(tan 2

=-+---γββααγx x （*）

不等式成立

∴≥-=-0)tan (tan 0

tan 2tan .12βααγΘ

）的根

是方程（时当*10)tan tan 2()tan (tan 2)tan 2(tan ,10

tan 2tan .2-=∴=-+-+--=≠-x x γββααγαγ )

tan tan 2)(tan 2(tan )tan (tan 0)tan tan 2)(tan 2(tan 4)tan (tan 42

2γβαγβαγβαγβα--≥-∴≥----=∆∴