大地测量学基础公式

Mm + mω 2 ρ 2 r
γ 0 = γ e (1 + β sin 2 B − β1 sin 2 2 B)
大地高与正常重力的关系： γ = γ 0 − 0.3086H 六、力位 1、重力位 w（引力位 V、离心力位 Q）
W =V +Q =
∫
M
dm ω 2 2 + (x + y2 ) r 2
2、正常重力位
∂l M ∂B = ∂y r ∂x 反算条件： ∂B r ∂l =− ∂y M ∂x
八、大地线：椭球面上两点间的最短程曲线叫大地线。 大地线： 九、五种曲率半径 子午圈曲率半径
M =− N= a W
a (1 − e2 ) W3
卯酉圈曲率半径
任意法截弧的曲率半径
RA =
N MN = 2 2 1 + η cos A N cos A + M sin 2 A
α=
e=
a −b a
椭球的第一偏心率
a2 − b2 a a 2 − b2 b
椭球的第二偏心率
e' =
极曲率半径
a2 c= b d= b2 a
赤道子午曲率半径
辅助量
t = tan B,η 2 = e '2 cos 2 B
W = 1 − e 2 sin 2 B V = 1 + e'2 cos 2 B
b a d W e 1 = = = = '= = 1 − α = 1 − e2 '2 a c b V e 1+ e
2
平均曲率半径 平行圈曲率半径
R = MN
r = N cos B
R=
b c N a = 2 = = 2 1 − e2 2 W V V W
N >R>M
N 90 = R90 = M 90 = c （c=a2/b）
十、地球自转的三个变化 1、地轴方向相对于空间的变化（岁差和章动） 2．地轴相对于地球本体内部结构的相对位置变化（极移） 3. 地球自转速度变化（日长变化）
二十四、 二十四、计算与改正 1、两种弧长计算 子午弧长计算
X = ∫ MdB
0
B
平行圈弧长计算
S = N cos B
l" = bl" ρ" 1
二十五、建立大地坐标系 二十五、建立大地坐标系 的四个内容 ① ② ③ ④ 确定椭球的几何参数(长半径 a 和扁率α ) 确定椭球中心的位置(椭球定位) 确定椭球短轴的指向(椭球定向) 建立大地原点
1 gdh gm ∫ 1 gdh rm ∫
2、正常高高程系统及正常高： H 常 =
3、力高高程系统及力高： H 力 = 4、大地高： H 大 = H 正高 + N 5、正高与正常高的的关系
B H正 =
1 gdh r45 ∫
H 大 = H 正常 +ζ
1 B gm
∫
OAB
gdh
B H常 =
1
B γm
∫ gdh
x = N cos B
y = N (1 − e2 ) sin B
y = ρ sin u
2 子午平面坐标系同归化坐标系的关系
x = ρ cos u
3 大地坐标系同空直坐标系的关系 x= NcosBcosL y= NcosBsinL 4 大地坐标系同天文坐标系的关系 B=φ-ξ L=λ-ηsecφ A=α-(λ-L)sinφ
相互关系
2)基本大地数据(IAG－75 椭球） 地球椭球长半径 a =6 378 140 m 地球地心引力常数
GM =3.986 005×1014 m3s-2 J2 =1.082 63× 10-3
地球外部重力场二阶带球谐系数
地球自转角速度 ω=7.292 115 × 10-5 rad/s 四、椭球 正常椭球面 是大地水准面的规则形状（一般指旋转椭球面）。因此引入正常椭球后，地球重力 位被分成正常重力位和扰动位两部分，实际重力也被分成正常重力和重力异常两部分。 总的地球椭球： 一个和整个大地体最为密合的。 总地球椭球中心和地球质心重合， 总的地球椭球的短轴 与地球地轴相重合， 起始大地子午面和起始天文子午面重合， 总地球椭球和大地体最为密合。 参考椭球： 其大小及定位定向最接近于本国或本地区的地球椭球。这种最接近，表现在两个面最 接近及同点的法线和垂线最接近。 作用： 1）代表地球的数学曲面； 2）大地测量内业计算的基准面； 3）研究大地水准面形状的基准面； 4）地图投影的参考面。 五、六种时间系统 恒星时：以春分点为基本参考点，由春分点周日视运动确定的时间，称为恒星时。 世界时：以格林尼治子夜起算的平太阳时称为世界时。 历书时：自 1960 年起开始以地球公转运动为基准的历书时来量度时间，用历书时系统代替 世界时。 原子时(AT)： 原子时是一种以原子谐振信号周期为标准，并对它进行连续计数的时标。 协调世界时：为了保证时间与季节的协调一致，便于日常使用，建立了以原子时秒长为计量 单位、在时刻上与平太阳时之差小于 0.9 秒的时间系统，称为世界协调时(UTC)。 GPST：GPS 的时间系统采用基于美国海军观测实验室(USNO)维持的原子时，它与 UTC 的关 系 GPST=UTC+n 六、重力和正常重力 1、重力 g（引力 F、离心力 P） g = v + p = f 2、正午面直角坐标系 （L，x , y) 大地坐标系 (B , L , H) 空间直角坐标系 (x , y , z) 高斯平面直角坐标系 (x , y) 另还有大地极坐标系（S，A）、站心坐标系(x , y , z)等坐标系。 二十七、 二十七、六种坐标转换 1 子午平面坐标系同大地坐标系的关系
2、大地线的克莱劳定理：rsinA=C
在旋转椭球面上， 大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于 常数。rsinA=C，式中常数 C 也叫大地线常数。 3、球小三角形面计算的勒让德尔定理： 如果平面三角形和球面三角形的对应边相等， 则平面角等于对应球面角减去三分之一的求买 内角超，就可把球面三角形化为平面三角形来计算。 十六、 十六、电磁波测距的三种误差 1、固定误差：加常数误差 2、比例误差：真空光速值误差，频率误差，大气折射误差； 3、其他误差： 测相误差，对中误差，归心误差等， 周期误差（既不是固定误差，也不是比例误差）。 十七、 十七、水准测量的三种误差来源 1、仪器误差： i 角误差，交叉误差，水准标尺长度误差，基辅差（尺子常数），单水准标尺的 零点误差；一副水准标尺的零点差； 2、外界因素引起的误差： 温度变化对 I 叫的影响，仪器和水准标尺的垂直位移，大气垂直折光，地球磁场的影 响； 3、观测误差： 精密水准测量的观测误差， 主要有水准器气泡居中的误差， 照准水准标尺上分划的误差和读 数误差 十八、 十八、地面观测方向归算至椭球面的三差改正 1、垂线偏差改正 2、标高差改正 3、截面差改正 十九、 十九、地面观测距离归算至椭球面的三项改正 1、斜改平 2、平改弦 3、弦化弧 二十、 二十、精密水准测量观测高差的四项改正 1、水准标尺每米长度误差的改正 (mm) 2、正常水准面不平行的改正(mm)
q U = a[1 − ( µ + ) cos 2 θ ] 2
七、二个微分方程 二个微分方程 1、大地线微分方程：
dB =
cos A dS M
dL =
sin A dS N cos B
dA =
sin A tan BdS N
2、柯西-黎曼条件
∂y r ∂x = ∂l M ∂B 正算条件： ∂x r ∂y =− ∂l M ∂B
x=a0+∑a2nl2n y=∑a2n-1l2n-1
n=1,2,3…
b 正形条件，得到递推函数
mk = (−1) k −1
1 N cos B d M k −1 ⋅ k M dB
k=1,2,3…
c.正长条件。M0=X ,
d M k −1 dB
=M
d.将系数代入基本函数式,得高斯投影正算公式 ⑵ 结论公式 ⑶ 计算带号和中央子午线 6°带:
十一、 十一、高斯投影的三个条件 （1)投影具有正形性质，即正形投影条件
(2)中央子午线投影后为直线,且为投影点的对 称轴，即对称条件； (3)中央子午线投影后长度不变，即正长条件。 十二、 十二、高斯投影正反算公式的几何解释 1、同纬度的各点中底点的 x 最小 2、同 x 的各点中底点的纬度最高 十三、高斯投影坐标正算公式的三个特点 十三、高斯投影坐标正算公式的三个特点 (1) 当 l 等于常数时，随着 B 的增加 x 值增大，y 值减小；又因，所以无论 B 值为正或负， y 值不变。 (2)当 B 等于常数时，随着 l 的增加，x 值和 y 值都增大。所以在椭球面上对称于赤道的纬 圈，投影后仍成为对称的曲线，同时与子午线的投影曲线互相垂直凹向两极。 (3)距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，长度变形也愈大。 十四、 十四、大地坐标系与高斯平面坐标系的关系 ⑴ 推导思想 a 对称性—基本公式
∑δ
f
= f ∑h
m
ε = −0.0000015395 × sin 2φ × ∆φ ' H m
vi = −
3、水准路线闭合差改正(mm) 4、重力异常改正(mGal)
w = H n − H 0 + ∑ h' + ∑ ε
∑s
si
w
二十一、 二十一、地面观测方向化至高斯平面的五项改正 1、归心改正 2、地面观测方向化至椭球面的三差改正 3、椭球面方向化至高斯平面的方向改化 二十二、 二十二、地面观测距离化至高斯平面的十项改正 1、观测距离化算到标石中心（6 项) 气象改正；仪器加常数；乘常数改正；波道曲率改正；归心改正；周期误差改正 2、标石中心化至椭球面 (3 项) 3、椭球面化至高斯平面（1 项） 距离改化 二十三、 二十三、四种高程系统 1、正高高程系统及正高： H 正 =