高中数学人教版必修奇偶性教案(系列五)

1.3.2 奇偶性

整体设计

教学分析

本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的.教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇（偶）函数的概念.因此教学时，充分利用信息技术创设教学情景，会使数与形的结合更加自然.

值得注意的问题：对于奇函数，教材在给出的表格中留出大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇函数的概念.教学时，可以通过具体例子引导学生认识，并不是所有的函数都具有奇偶性，如函数y=x与y=2x1既不是奇函数也不是偶函数，可以通过图象看出也可以用定义去说明.

三维目标

1.理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力.

2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想.

重点难点

教学重点:函数的奇偶性及其几何意义.

教学难点:判断函数的奇偶性的方法与格式.

安排

1

教学过程

导入新课

思路1.同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？（学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……）今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？（学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志）生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，

我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？（学生发现：图象关于y 轴对称.）数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y 轴对称的函数展开研究.

思路2.结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数y=x 2和y=x 3的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性. 推进新课 新知探究 提出问题

①如图1-3-21所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性.

图1-3-21

②那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y 轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？

x 3 2 1 0 1 2 3 f(x)=x 2

表1

x 3 2 1 0 1 2 3 f(x)=|x|

表2

③请给出偶函数的定义？ ④偶函数的图象有什么特征？

⑤函数f(x)=x 2,x ∈［1,2］是偶函数吗？ ⑥偶函数的定义域有什么特征？ ⑦观察函数f(x)=x 和f(x)=

x

1

的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？ 活动：教师从以下几点引导学生: ①观察图象的对称性.

②学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数.

③利用函数的解析式来描述.

④偶函数的性质：图象关于y轴对称.

⑤函数f(x)=x2,x∈［1,2］的图象关于y轴不对称；对定义域［1,2］内x=2，f(2)不存在，即其函数的定义域中任意一个x的相反数x不一定也在定义域内，即f(x)=f(x)不恒成立.

⑥偶函数的定义域中任意一个x的相反数x一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称.

⑦先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质.

给出偶函数和奇函数的定义后，要指明：（1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；（2）由函数的奇偶性定义,可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）；（3）具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称；（4）可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；（5）函数的奇偶性是函数在定义域上的性质是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质是“局部”性质. 讨论结果:

①这两个函数之间的图象都关于y轴对称.

②

表1

表2

这两个函数的解析式都满足：

f(3)=f(3)

f(2)=f(2)

f(1)=f(1).

可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内一个x ，都有f(x)=f(x).

③一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数. ④偶函数的图象关于y 轴对称. ⑤不是偶函数.

⑥偶函数的定义域关于原点轴对称.

⑦一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点轴对称. 应用示例

思路1

例1判断下列函数的奇偶性: （1）f(x)=x 4； （2）f(x)=x 5；

（3）f(x)=x

x 1； （4）f(x)=21

x

.

活动：学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性.先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f(x)=f(x)或f(x)=f(x). 解：（1）函数的定义域是R ，对定义域内任意一个x ，都有f(x)=(x)4=x 4=f(x)， 所以函数f(x)=x 4是偶函数.

（2）函数的定义域是R ，对定义域内任意一个x ，都有f(x)=(x)5=x 5=f(x), 所以函数f(x)=x 4是奇函数.

（3）函数的定义域是(∞,0)∪(0,∞)，对定义域内任意一个x ，都有f(x)=x x -1=(x x

1

)=f(x)， 所以函数f(x)=x

x

1

是奇函数. （4）函数的定义域是(∞,0)∪(0,∞)，对定义域内任意一个x ，都有f(x)=

)(12

x -=21x

=f(x)， 所以函数f(x)=

2

1

x 是偶函数. 点评：本题主要考查函数的奇偶性.函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定