2019年高考数学上海卷及答案解析

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2019年上海高考试卷+答案解析

2019.6.7上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1. 已知集合 A ( ,3) ，B (2, ) ，则A B 。

12. 已知z C，且满足i3.z 5，求z 。

4. 已知向量 a (1,0,2) ，b (2,1,0) ，则a 与b 的夹角为。

5. 已知二项式 5(2x 1) ，则展开式中含2x 项的系数为。

x 06. 已知x 、y满足y 0 ，求z 2x 3y 的最小值为。

x y 27. 已知函数 f (x) 周期为1，且当0 x 1，f (x) log2 x，则3f ( ) 。

28. 若x, y R，且1x2y 3，则yx的最大值为。

9. 已知数列{ a } 前n 项和为n S ，且满足S a 2，则n n nS 。

510. 过曲线 2 4y x的焦点 F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线2 4y x 交于A、B ，A在B 上方，M 为抛物线上一点，OM OA ( 2)OB ，则。

11. 某三位数密码，每位数字可在0 9 这10 个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是。

12. 已知数列{ a } 满足n a a （n n 1*n N），若P (n, a ) (n 3) 均在双曲线n n2 2x y6 21上，则lim | P n P n 1 | 。

n13. 已知2f (x) | a |x 1（x 1，a 0）， f (x) 与x 轴交点为A，若对于 f (x) 图像上任意一点P，在其图像上总存在另一点Q （P、Q 异于A），满足AP AQ ，且| AP | | AQ |，则a 。

二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）14. 已知直线方程2x y c 0 的一个方向向量 d 可以是（）A. (2, 1)B. (2,1)C. ( 1,2)D. (1,2)15. 一个直角三角形的两条直角边长分别为 1 和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）A. 1B. 2C. 4D. 82019.6.8已知R ，函数2f ( x) ( x 6) sin( x) ，存在常数 a R ，使得 f (x a) 为偶函数，则的值可能为（）A. B. C. D.2 3 4 52019.6.9已知tan tan tan( ) ，有下列两个结论：①存在在第一象限，在第三象限；②存在在第二象限，在第四象限；则（）A. ①②均正确B. ①②均错误C. ①对②错D. ①错②对三. 解答题（本大题共 5 题，共14+14+14+16+18=76 分）2019.6.10如图，在长方体A BCD A B C D 中，M 为1 1 1 1BB 上一点，已知BM 2 ，CD 3，1AD 4，A A15 .（1）求直线A C 与平面ABCD 的夹角；1（2）求点 A 到平面A MC 的距离.112019.6.11已知f (x) ax ，a R .x 1（1）当a 1时，求不等式 f (x) 1 f (x1) 的解集；（2）若 f (x) 在x [1,2] 时有零点，求 a 的取值范围.2019.6.12如图， A B C 为海岸线，AB 为线段，BC 为四分之一圆弧，BD 39.2km，BDC 22 ，CBD 68 ，BDA 58 .（1）求BC 的长度；（2）若AB 40 km，求 D 到海岸线 A B C 的最短距离.（精确到0.001km）2019.6.13已知椭圆2 2x y 8 4 1 ，F1 、F 为左、右焦点，直线l 过2F 交椭圆于A、B 两点.2（1）若直线l 垂直于x 轴，求| AB |；（2）当F1 AB 90 时，A 在x 轴上方时，求A、B 的坐标；（3）若直线A F 交y 轴于M ，直线1 BF 交y 轴于N，是否存在直线l，使得1S S ，F AB F MN1 1若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.*2019.6.14数列{a } (n N) 有100 项，n a a ，对任意n [2,100] ，存在1a a d ，n ii [1,n 1]，若a与前n 项中某一项相等，则称k a 具有性质P.k（1）若a1 1，d 2，求a所有可能的值；4（2）若{ a } 不是等差数列，求证：数列{a } 中存在某些项具有性质P；n n（3）若{ a } 中恰有三项具有性质P，这三项和为c，请用a、d、c 表示n a a a .1 2 100参考答案一、填空题1、(2,3)2、5 i3、25arccos4、405、 66、 17、98（提示：1 13 2y 2 2yx x，∴yx3 92( )2 2 8）8、31169、310、27100（分析：2 1 1C C C 2710 3 2P ，选用到的两个数字×选用一次的数字的位置×310 100选用一次的数字）11、2 33（解析：法一，由条件有22nan8 21 ，得 26na ，则n322n 12 2 22 2n 1 6 n 6 n 1 6 n 6 2| P P | 1 1 ，所以n n 13 3 321 2 3lim | P P | 1+ = ；）n n 1n3 3（解析：法二（极限法），当n 时，P P 与渐近线平行，n n 1 P P 在x 轴投影为1，渐近n n 1线斜角满足：tan331 2 3，∴ 1lim | P P | ）n nn 3cos612、a 2（分析：2f (x) | a |=0x 1，解得x 12a，则A21 ,0a，取1P 1 ,aa，则：1AP ,aa，因为A、P、Q 满足AP AQ ，且| AP | | AQ |，则AQ a ,1a，所以2 1Q 1 a,a a，Q 点在2f (x) | a |x 1图像上，则2 1aa21 a 1a，得2a 1 | a |2 ，a2a 12a 2 a， 2 1 2 2 0a a ，所以2 2a ，a 2 ）a 2 a二. 选择题13、D 14.、B15、C（分析： 2f (x a) ( x a 6) sin[ ( x a)] ，因为 f (x a)为偶函数，所以 a 6 ，且sin[ (x6)] 也为偶函数，所以 6 k ，当k 1时，）2 416、D（分析：特殊值验证，取tan 1，则tan 1 2 ，所以②正确，再取几组验证，①错）三、解答题17、（1）4 ；（2）103 .【解析】（1）连接AC，A A 面ABCD ，则1 ACA 即为直线1AC 与平面ABCD 的夹角。

2019年上海市高考数学试卷【后附：极详细的解析、分析、考点、答案解释等】

2019年上海市高考数学试卷【后附：极详细的解析、分析、考点、答案解释等】一、填空题. 1. 计算：limn→∞n+203n+13=________．2. 设m ∈R ，m 2+m −2+(m 2−1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________．3. 若| x 2y −11|=| x x y −y |，则x +y =________．4. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若3a 2+2ab +3b 2−3c 2＝0，则角C 的大小是________.5. 设常数a ∈R ，若(x 2+a x )5的二项展开式中x 7项的系数为−10，则 a ＝________．6. 方程33x −1+13=3x−1的实数解为________．7. 在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为________．8. 盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是________（结果用最简分数表示）．9. 设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且∠CBA =π4，若AB ＝4，BC =√2，则Γ的两个焦点之间的距离为________.10. 设非零常数d 是等差数列x 1，x 2，x 3，⋯，x 19的公差，随机变量 ξ 等可能地取值x 1，x 2，x 3，⋯，x 19，则方差Dξ=________.11. 若cosxcosy +sinxsiny =12，sin2x +sin2y =23，则sin (x +y )=________.12. 设a 为实常数，y ＝f(x)是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f(x)＝9x +a 2x+7．若f(x)≥a +1对一切x ≥0成立，则a 的取值范围为__________.13. 在xOy 平面上，将两个半圆弧(x −1)2+y 2=1(x ≥1)和(x −3)2+y 2=1(x ≥3)，两条直线y =1和y =−1围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分，记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω．过(0, y)(|y|≤1)作Ω的水平截面，所得截面积为4π√1−y 2+8π．试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为________．14. 对区间I 上有定义的函数g(x)，记g(I)＝{y|yg(x), x ∈I}．已知定义域为[0, 3]的函数y ＝f(x)有反函数y ＝f −1(x)，且f −1([0, 1)）＝[1, 2), f −1((2, 4])＝[0, 1)．若方程f(x)−x ＝0有解x 0，则x 0＝________．二、选择题.15、设常数a ∈R ，集合A ={x|(x −1)(x −a)≥0}，B ={x|x ≥a −1}，若A ∪B =R ，则a 的取值范围为( )A.(−∞, 2)B.(−∞, 2]C.(2, +∞)D.[2, +∞) 16、钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件 17、在数列{a n }中，a n ＝2n −1，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素a ij ＝a i ⋅a j +a i +a j ,(i ＝1, 2,…,7；j ＝1, 2,…,12)，则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（） A.18 B.28 C.48 D.6318、在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 1→、a 2→、a 3→、a 4→、a 5→；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为d 1→、d 2→、d 3→、d 4→、d 5→．若m 、M 分别为(a i →+a j →+a k →)⋅(d r →+d s →+d t →)的最小值、最大值，其中{i, j, k}⊆{1, 2, 3, 4, 5}，{r, s, t}⊆{1, 2, 3, 4, 5}，则m、M满足（）A.m＝0，M>0B.m<0，M>0C.m<0，M＝0D.m<0，M<0三、解答题.19、如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，A1A=1，证明直线BC1平行于平面DA1C，并求直线BC1到平面D1AC的距离．20、甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100(5x+1−3x)元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．21、已知函数f(x)=2sin(ωx)，其中常数ω>0；（1）若y=f(x)在[−π4,2π3]上单调递增，求ω的取值范围；（2）令ω=2，将函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)的图象，区间[a,b] (a,b∈R且a<b）满足：y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a,b]中，求b−a的最小值．22、如图，已知双曲线C1:x22−y2=1，曲线C2:|y|＝|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1−C2型点”（1）在正确证明C1的左焦点是“C1−C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y＝kx与C2有公共点，求证|k|>1，进而证明原点不是“C1−C2型点”；（3）求证：圆x2+y2=12内的点都不是“C1−C2型点”.23、给定常数c>0，定义函数f(x)＝2|x+c+4|−|x+c|．数列a1，a2，a3，…满足a n+1＝f(a n)，n∈N∗．（1）若a1＝−c−2，求a2及a3；（2）求证：对任意n∈N∗，a n+1−a n≥c；（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析2019年上海市高考数学试卷一、填空题.1.【答案】1【考点】数列的极限【解析】此题暂无解析【解答】略2.【答案】−2【考点】复数的运算复数的基本概念虚数单位i及其性质【解析】本题主要考查复数的基本概念．【解答】解：∵复数z＝(m2+m−2)+(m2−1)i为纯虚数，∴m2+m−2＝0，m2−1≠0，解得m＝−2，故答案为：−2.3.【答案】x+y=0【考点】函数值【解析】此题暂无解析【解答】暂无4.【答案】π−arccos1【考点】余弦定理【解析】本题主要考查余弦定理及反三角函数．【解答】解：∵3a2+2ab+3b2−3c2＝0，∴a2+b2−c2=−23ab，∴cosC=a2+b2−c22ab=−23ab2ab=−13．∴C=π−arccos13．故答案为：π−arccos13.5.【答案】−2【考点】二项式定理及相关概念【解析】本题主要考查了二项式系数的性质．【解答】解：(x2+ax)5的展开式的通项为T r+1＝C5r x10−2r(ax)r＝C5r x10−3r a r 令10−3r＝7得r＝1，∴x7的系数是aC51∵x7的系数是−10，∴aC51＝−10，解得a＝−2,故答案为：−2.6.【答案】log34【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值【解析】本题主要考查指数方程的解法，指数函数的值域，一元二次方程的解法．【解答】解：方程33x −1+13=3x−1，即 9+3x −13(3x −1)=3x−1，即 8+3x =3x−1( 3x+1−3)，化简可得 32x −2⋅3x −8=0，即(3x −4)(3x +2)=0．解得 3x =4，或 3x =−2（舍去）， ∴ x =log 34，故答案为： log 34． 7.【答案】√5+12【考点】两点间的距离公式【解析】联立ρ=cosθ+1与ρcosθ=1消掉θ即可求得ρ，即为答案．【解答】解：由ρ=cosθ+1得，cosθ=ρ−1，代入ρcosθ=1得ρ(ρ−1)=1，解得ρ=√5+12或ρ=1−√52（舍），所以曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为√5+12.故答案为：√5+12．8.【答案】1318【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了简单的排列组合知识，考查了对立事件的概率．【解答】解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数为C 92=36种．取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为C 52=10种．则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为1036=518．所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是1−518=1318．故答案为：1318． 9.【答案】4√63【考点】椭圆的标准方程椭圆的离心率【解析】本题考查椭圆的定义、解三角形，以及椭圆的简单性质的应用．【解答】解：如图，设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1，由题意知，2a ＝4，a ＝2． ∵ ∠CBA =π4，BC =√2， ∴ 点C 的坐标为C(−1, 1)，因点C 在椭圆上， ∴(−1)24+12b 2=1，∴ b 2=43，∴c2＝a2−b2＝4−43=83，c=2√63，则Γ的两个焦点之间的距离为4√63．故答案为：4√63．10.【答案】Dξ=√30|d|【考点】等差数列等差数列的前n项和【解析】此题暂无解析【解答】暂无11.【答案】sin(x+y)=2 3【考点】三角函数【解析】此题暂无解析【解答】暂无12.【答案】a≤−8 7【考点】基本不等式及其应用【解析】本题考查函数解析式的求法；考查解决不等式恒成立转化成求函数的最值；利用基本不等式求函数的最值．【解答】解：因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x＝0时，f(x)＝0；当x>0时，则−x<0，所以f(−x)＝−9x−a2x+7因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)＝9x+a2x−7；因为f(x)≥a+1对一切x≥0成立，所以当x＝0时，0≥a+1成立，所以a≤−1；当x>0时，9x+a2x−7≥a+1成立，只需要9x+a2x−7的最小值≥a+1，因为9x+a2x−7≥2√9x⋅a2x−7=6|a|−7，所以6|a|−7≥a+1，解得a≤−87或a≥85，所以a≤−87．故答案为：a≤−87．13.【答案】2π2+16π【考点】进行简单的合情推理【解析】本题考查了简单的合情推理．【解答】解：因为几何体为Ω的水平截面的截面积为4π√1−y2+8π，该截面的截面积由两部分组成，一部分为定值8π，看作是截一个底面积为8π，高为2的长方体得到的，对于4π√1−y2，看作是把一个半径为1，高为2π的圆柱平放得到的，如图所示，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为π⋅12⋅2π+2⋅8π=2π2+16π．故答案为：2π2+16π．14.【答案】2【考点】函数的零点反函数【解析】本题考查函数的零点及反函数，考查学生分析解决问题的能力．【解答】解：因为g(I)＝{y|yg(x), x∈I}，f−1([0, 1)）＝[1, 2), f−1(2, 4])＝[0, 1)，所以对于函数f(x)，当x∈[0, 1)时, f(x)∈(2, 4]，所以方程f(x)−x＝0即f(x)＝x无解；当x∈[1, 2)时，f(x)∈[0, 1)，所以方程f(x)−x＝0即f(x)＝x无解；所以当x∈[0, 2)时方程f(x)−x＝0即f(x)＝x无解，又因为方程f(x)−x＝0有解x0，且定义域为[0, 3]，故当x∈[2, 3]时，f(x)的取值应属于集合(−∞, 0)∪[1, 2]∪(4, +∞)，故若f(x0)＝x0，只有x0＝2，故答案为：2.二、选择题.15、【答案】B【考点】集合关系中的参数取值问题一元二次不等式的解法并集及其运算【解析】当a>1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a<1时，同样求出集合A，列出关于a 的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围．【解答】解：当a>1时，A=(−∞, 1]∪[a, +∞)，B=[a−1, +∞)，若A∪B=R，则a−1≤1，∴1<a≤2；当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；当a<1时，A=(−∞, a]∪[1, +∞)，B=[a−1, +∞)，若A∪B=R，则a−1≤a，显然成立，∴a<1；综上，a的取值范围是(−∞, 2]．故选B.16、【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件．【解答】解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选B.17、【答案】A【考点】数列的函数特性【解析】本题考查函数的特性．【解答】解：该矩阵的第i行第j列的元素a ij＝a i⋅a j+a i+a j＝(2i−1)(2j−1)+2i−1+2j−1＝2i+j−1(i＝1, 2,…,7；j＝1, 2,…,12)，当且仅当：i+j＝m+n时，a ij＝a mn(i, m＝1, 2,…,7；j, n＝1, 2,…,12)，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，其和为2，3，…，19，共18个不同数值．故选A．18、【答案】D【考点】进行简单的合情推理平面向量数量积的性质及其运算【解析】本题考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力．【解答】解：由题意，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 1→、a 2→、a 3→、a 4→、a 5→；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为d 1→、d 2→、d 3→、d 4→、d 5→，∴ 利用向量的数量积公式，可知只有AF →⋅DE →=AB →⋅DC →>0，其余数量积均小于等于0，∵ m 、M 分别为(a i →+a j →+a k →)⋅(d r →+d s →+d t →)的最小值、最大值， ∴ m <0，M <0，故选D ．三、解答题.19、【答案】证明：因为ABCD −A 1B 1C 1D 1为长方体，故AB//C 1D 1，AB =C 1D 1，故ABC 1D 1为平行四边形，故BC 1//AD 1，显然B 不在平面D 1AC 上，于是直线BC 1平行于平面DA 1C ；直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为ℎ考虑三棱锥ABCD 1的体积，以ABC 为底面，可得V =13×(12×1×2)×1=13，而△AD 1C 中，AC =D 1C =√5，AD 1=√2，故S △AD 1C =32，所以，V =13×32×ℎ=13⇒ℎ=23，即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23．【考点】点、线、面间的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】证明：因为ABCD −A 1B 1C 1D 1为长方体，故AB//C 1D 1，AB =C 1D 1，故ABC 1D 1为平行四边形，故BC 1//AD 1，显然B 不在平面D 1AC 上，于是直线BC 1平行于平面DA 1C ；直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为ℎ考虑三棱锥ABCD 1的体积，以ABC 为底面，可得V =13×(12×1×2)×1=13，而△AD 1C 中，AC =D 1C =√5，AD 1=√2，故S △AD 1C =32，所以，V =13×32×ℎ=13⇒ℎ=23，即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23．20、【答案】解：（1）生产该产品2小时获得的利润为100(5x +1−3x )×2＝200(5x +1−3x ) 根据题意，200(5x +1−3x )≥3000，即5x 2−14x −3≥0 ∴ x ≥3或x ≤−15 ∵ 1≤x ≤10， ∴ 3≤x ≤10；（2）设利润为 y 元，则生产900千克该产品获得的利润为y ＝100(5x +1−3x )×900x＝90000(−3x 2+1x +5)＝9×104[−3(1x −16)2+6112] ∵ 1≤x ≤10，∴ x ＝6时，取得最大利润为9×104×6112=457500元故甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】本题考查函数模型的建立，考查解不等式，考查函数的最值．【解答】解：（1）生产该产品2小时获得的利润为100(5x +1−3x )×2＝200(5x +1−3x ) 根据题意，200(5x +1−3x )≥3000，即5x 2−14x −3≥0 ∴ x ≥3或x ≤−15 ∵ 1≤x ≤10， ∴ 3≤x ≤10；（2）设利润为 y 元，则生产900千克该产品获得的利润为y ＝100(5x +1−3x )×900x＝90000(−3x 2+1x +5)＝9×104[−3(1x −16)2+6112] ∵ 1≤x ≤10，∴ x ＝6时，取得最大利润为9×104×6112=457500元故甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元．21、【答案】解：（1）因为ω>0，根据题意有{−π4ω≥−π22π3ω≤π2⇒0<ω≤34 （2）f(x)=2sin(2x)，g(x)=2sin[2(x +π6)]+1=2sin(2x +π3)+1 g(x)=0⇒sin(2x +π3)=−12⇒x =kπ−π3或x =kπ−712πk ∈Z ，即g(x)的零点间隔依次为π3和2π3，故若y =g(x)在[a,b]上至少含有30个零点，则 b −a 的最小值为14×2π3+15×π3=43π3．【考点】三角函数综合【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）因为ω>0，根据题意有{−π4ω≥−π22π3ω≤π2⇒0<ω≤34 （2）f(x)=2sin(2x)，g(x)=2sin[2(x +π6)]+1=2sin(2x +π3)+1 g(x)=0⇒sin(2x +π3)=−12⇒x =kπ−π3或x =kπ−712πk ∈Z ，即g(x)的零点间隔依次为π3和2π3，故若y =g(x)在[a,b]上至少含有30个零点，则 b −a 的最小值为14×2π3+15×π3=43π3．22、【答案】（1）解：C 1的左焦点为(−√3,0)，写出的直线方程可以是以下形式： x =−√3或y =k(x +√3)，其中|k|≥√33．（2）证明：因为直线y ＝kx 与C 2有公共点，所以方程组{y =kx |y|=|x|+1有实数解，因此|kx|＝|x|+1，得|k|=|x|+1|x|>1．若原点是“C 1−C 2型点”，则存在过原点的直线与C 1、C 2都有公共点．考虑过原点与C 2有公共点的直线x ＝0或y ＝kx(|k|>1)．显然直线x ＝0与C 1无公共点．如果直线为y ＝kx(|k|>1)，则由方程组{y =kx x 22−y 2=1，得x 2=21−2k 2<0，矛盾．所以直线y ＝kx(|k|>1)与C 1也无公共点．因此原点不是“C 1−C 2型点”．（3）证明：记圆O:x 2+y 2=12，取圆O 内的一点Q ，设有经过Q 的直线l 与C 1，C 2都有公共点，显然l 不与x 轴垂直，故可设l:y ＝kx +b ．若|k|≤1，由于圆O 夹在两组平行线y ＝x ±1与y ＝−x ±1之间，因此圆O 也夹在直线y ＝kx ±1与y ＝−kx ±1之间，从而过Q 且以k 为斜率的直线l 与C 2无公共点，矛盾，所以|k|>1．因为l 与C 1由公共点，所以方程组{y =kx +bx 22−y 2=1 有实数解，得(1−2k 2)x 2−4kbx −2b 2−2＝0．因为|k|>1，所以1−2k 2≠0，因此Δ＝(4kb)2−4(1−2k 2)(−2b 2−2)＝8(b 2+1−2k 2)≥0，即b 2≥2k 2−1．因为圆O 的圆心(0, 0)到直线l 的距离d =2，所以b 21+k 2=d 2<12，从而1+k 22>b 2≥2k 2−1，得k 2<1，与|k|>1矛盾．因此，圆x 2+y 2=12内的点不是“C 1−C 2型点”．【考点】直线与椭圆结合的最值问题双曲线的离心率点到直线的距离公式【解析】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系．【解答】（1）解：C 1的左焦点为(−√3,0)，写出的直线方程可以是以下形式： x =−√3或y =k(x +√3)，其中|k|≥√33．（2）证明：因为直线y ＝kx 与C 2有公共点，所以方程组{y =kx |y|=|x|+1 有实数解，因此|kx|＝|x|+1，得|k|=|x|+1|x|>1．若原点是“C 1−C 2型点”，则存在过原点的直线与C 1、C 2都有公共点．考虑过原点与C 2有公共点的直线x ＝0或y ＝kx(|k|>1)．显然直线x ＝0与C 1无公共点．如果直线为y ＝kx(|k|>1)，则由方程组{y =kx x 22−y 2=1，得x 2=21−2k 2<0，矛盾．所以直线y ＝kx(|k|>1)与C 1也无公共点．因此原点不是“C 1−C 2型点”．（3）证明：记圆O:x 2+y 2=12，取圆O 内的一点Q ，设有经过Q 的直线l 与C 1，C 2都有公共点，显然l 不与x 轴垂直，故可设l:y ＝kx +b ．若|k|≤1，由于圆O 夹在两组平行线y ＝x ±1与y ＝−x ±1之间，因此圆O 也夹在直线y ＝kx ±1与y ＝−kx ±1之间，从而过Q 且以k 为斜率的直线l 与C 2无公共点，矛盾，所以|k|>1．因为l 与C 1由公共点，所以方程组{y =kx +bx 22−y 2=1 有实数解，得(1−2k 2)x 2−4kbx −2b 2−2＝0．因为|k|>1，所以1−2k 2≠0，因此Δ＝(4kb)2−4(1−2k 2)(−2b 2−2)＝8(b 2+1−2k 2)≥0，即b 2≥2k 2−1．因为圆O 的圆心(0, 0)到直线l 的距离d =√1+k 2，所以b 21+k2=d 2<12，从而1+k 22>b 2≥2k 2−1，得k 2<1，与|k|>1矛盾．因此，圆x 2+y 2=12内的点不是“C 1−C 2型点”．23、【答案】（1）解：a 2＝f(a 1)＝f(−c −2)＝2|−c −2+c +4|−|−c −2+c|＝4−2＝2， a 3＝f(a 2)＝f(2)＝2|2+c +4|−|2+c|＝2(6+c)−(c +2)＝10+c ．（2）证明：由已知可得f(x)={x +c +8,x ≥−c3x +3c +8,−c −4≤x <−c −x −c −8,x <−c −4当a n ≥−c 时，a n+1−a n ＝c +8>c ；当−c −4≤a n <−c 时，a n+1−a n ＝2a n +3c +8≥2(−c −4)+3c +8＝c ；当a n <−c −4时，a n+1−a n ＝−2a n −c −8>−2(−c −4)−c −8＝c ． ∴ 对任意n ∈N ∗，a n+1−a n ≥c ；（3）解：假设存在a 1，使得a 1，a 2，…，a n ，…成等差数列．由（2）及c >0，得a n+1≥a n ，即{a n }为无穷递增数列．又{a n }为等差数列，所以存在正数M ，当n >M 时，a n ≥−c ，从而a n+1＝f(a n )＝a n +c +8，由于{a n }为等差数列，因此公差d ＝c +8．①当a 1<−c −4时，则a 2＝f(a 1)＝−a 1−c −8，又a 2＝a 1+d ＝a 1+c +8，故−a 1−c −8＝a 1+c +8，即a 1＝−c −8，从而a 2＝0，当n ≥2时，由于{a n }为递增数列，故a n ≥a 2＝0>−c ，∴ a n+1＝f(a n )＝a n +c +8，而a 2＝a 1+c +8，故当a 1＝−c −8时，{a n }为无穷等差数列，符合要求；②若−c −4≤a 1<−c ，则a 2＝f(a 1)＝3a 1+3c +8，又a 2＝a 1+d ＝a 1+c +8，∴ 3a 1+3c +8＝a 1+c +8，得a 1＝−c ，应舍去；③若a 1≥−c ，则由a n ≥a 1得到a n+1＝f(a n )＝a n +c +8，从而{a n }为无穷等差数列，符合要求．综上可知：a1的取值范围为{−c,−8}∪[−c, +∞)．【考点】数列与函数的综合等差数列的性质数列的函数特性【解析】本题综合考查了分类讨论的思方法、递增数列、等差数列等基础知识与方法，考查了推理能力和计算能力．【解答】（1）解：a2＝f(a1)＝f(−c−2)＝2|−c−2+c+4|−|−c−2+c|＝4−2＝2，a3＝f(a2)＝f(2)＝2|2+c+4|−|2+c|＝2(6+c)−(c+2)＝10+c．（2）证明：由已知可得f(x)={x+c+8,x≥−c3x+3c+8,−c−4≤x<−c −x−c−8,x<−c−4当a n≥−c时，a n+1−a n＝c+8>c；当−c−4≤a n<−c时，a n+1−a n＝2a n+3c+8≥2(−c−4)+3c+8＝c；当a n<−c−4时，a n+1−a n＝−2a n−c−8>−2(−c−4)−c−8＝c．∴对任意n∈N∗，a n+1−a n≥c；（3）解：假设存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列．由（2）及c>0，得a n+1≥a n，即{a n}为无穷递增数列．又{a n}为等差数列，所以存在正数M，当n>M时，a n≥−c，从而a n+1＝f(a n)＝a n+c+8，由于{a n}为等差数列，因此公差d＝c+8．①当a1<−c−4时，则a2＝f(a1)＝−a1−c−8，又a2＝a1+d＝a1+c+8，故−a1−c−8＝a1+c+8，即a1＝−c−8，从而a2＝0，当n≥2时，由于{a n}为递增数列，故a n≥a2＝0>−c，∴a n+1＝f(a n)＝a n+c+8，而a2＝a1+c+8，故当a1＝−c−8时，{a n}为无穷等差数列，符合要求；②若−c−4≤a1<−c，则a2＝f(a1)＝3a1+3c+8，又a2＝a1+d＝a1+c+8，∴3a1+3c+8＝a1+c+8，得a1＝−c，应舍去；③若a1≥−c，则由a n≥a1得到a n+1＝f(a n)＝a n+c+8，从而{a n}为无穷等差数列，符合要求．综上可知：a1的取值范围为{−c,−8}∪[−c, +∞)．。

2019年上海市高考数学试卷+参考答案+详情解析

2019年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）. 1．（4分）已知集合A＝（﹣∞，3），B＝（2，+∞），则A∩B＝．2．（4分）已知z∈C，且满足＝i，求z＝．3．（4分）已知向量＝（1，0，2），＝（2，1，0），则与的夹角为．4．（4分）已知二项式（2x+1）5，则展开式中含x2项的系数为．5．（4分）已知x，y满足，则z＝2x﹣3y的最小值为．6．（4分）已知函数f（x）周期为1，且当0＜x≤1时，f（x）＝log2x，则f（）＝．7．（5分）若x，y∈R+，且+2y＝3，则的最大值为．8．（5分）已知数列{a n}前n项和为S n，且满足S n+a n＝2，则S5＝．9．（5分）过曲线y2＝4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2＝4x交于A，B，A 在B上方，M为抛物线上一点，＝λ+（λ﹣2），则λ＝．10．（5分）某三位数密码，每位数字可在0﹣9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是．11．（5分）已知数列{a n}满足a n＜a n+1（n∈N*），P n（n，a n）（n≥3）均在双曲线﹣＝1上，则|P n P n+1|＝．12．（5分）已知f（x）＝|﹣a|（x＞1，a＞0），f（x）与x轴交点为A，若对于f（x）图象上任意一点P，在其图象上总存在另一点Q（P、Q异于A），满足AP⊥AQ，且|AP|＝|AQ|，则a＝．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）已知直线方程2x﹣y+c＝0的一个方向向量可以是（）A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（1，2）14．（5分）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）A．1 B．2 C．4 D．815．（5分）已知ω∈R，函数f（x）＝（x﹣6）2•sin（ωx），存在常数a∈R，使f（x+a）为偶函数，则ω的值可能为（）A．B．C．D．16．（5分）已知tanα•tanβ＝tan（α+β）．有下列两个结论：①存在α在第一象限，β在第三象限；②存在α在第二象限，β在第四象限；则（）A．①②均正确B．①②均错误C．①对②错D．①错②对三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BB1上一点，已知BM＝2，CD ＝3，AD＝4，AA1＝5．（1）求直线A1C和平面ABCD的夹角；（2）求点A到平面A1MC的距离．18．（14分）已知f（x）＝ax+，a∈R．（1）当a＝1时，求不等式f（x）+1＜f（x+1）的解集；（2）若f（x）在x∈[1，2]时有零点，求a的取值范围．19．（14分）如图，A﹣B﹣C为海岸线，AB为线段，为四分之一圆弧，BD＝39.2km，∠BDC＝22°，∠CBD＝68°，∠BDA＝58°．（1）求的长度；（2）若AB＝40km，求D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离．（精确到0.001km）20．（16分）已知椭圆+＝1，F1，F2为左、右焦点，直线l过F2交椭圆于A，B两点．（1）若直线l垂直于x轴，求|AB|；（2）当∠F1AB＝90°时，A在x轴上方时，求A、B的坐标；（3）若直线AF 1交y轴于M，直线BF1交y轴于N，是否存在直线l，使得S＝S，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21．（18分）数列{a n}（n∈N*）有100项，a1＝a，对任意n∈[2，100]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]，若a k与前n项中某一项相等，则称a k具有性质P．（1）若a1＝1，d＝2，求a4所有可能的值；（2）若{a n}不为等差数列，求证：数列{a n}中存在某些项具有性质P；（3）若{a n}中恰有三项具有性质P，这三项和为c，使用a，d，c表示a1+a2+…+a100．2019年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）. 1．（4分）已知集合A＝（﹣∞，3），B＝（2，+∞），则A∩B＝（2，3）．【分析】根据交集的概念可得．【解答】解：根据交集的概念可得A∩B＝（2，3）．故答案为：（2，3）．【点评】本题考查了交集及其运算，属基础题．2．（4分）已知z∈C，且满足＝i，求z＝5﹣i．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由＝i，得z﹣5＝，即z＝5+＝5﹣i．故答案为：5﹣i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．（4分）已知向量＝（1，0，2），＝（2，1，0），则与的夹角为．【分析】直接利用向量的夹角公式的应用求出结果．【解答】解：向量＝（1，0，2），＝（2，1，0），则，，所以：cos＝，故：与的夹角为．故答案为：【点评】本题考查的知识要点：向量的夹角公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．4．（4分）已知二项式（2x+1）5，则展开式中含x2项的系数为40 ．【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得含x2项的系数值．【解答】解：二项式（2x﹣1）5的展开式的通项公式为T r+1＝C5r•25﹣r•x5﹣r，令5﹣r＝2，求得r＝3，可得展开式中含x2项的系数值为C53•22＝40，故答案为：40．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．5．（4分）已知x，y满足，则z＝2x﹣3y的最小值为﹣6 ．【分析】画出不等式组表示的平面区域，由目标函数的几何意义，结合平移直线，可得所求最小值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，由z＝2x﹣3y即y＝，表示直线在y轴上的截距的相反数的倍，平移直线2x﹣3y＝0，当经过点（0，2）时，z＝2x﹣3y取得最小值﹣6，故答案为：﹣6．【点评】本题考查线性规划的运用，考查平移法求最值的方法，数形结合思想，考查运算能力，属于基础题．6．（4分）已知函数f（x）周期为1，且当0＜x≤1时，f（x）＝log2x，则f（）＝﹣1 ．【分析】由题意知函数f（x）周期为1，所以化简f（）再代入即可．【解答】解：因为函数f（x）周期为1，所以f（）＝f（），因为当0＜x≤1时，f（x）＝log2x，所以f（）＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查函数的周期性，属于简单题．7．（5分）若x，y∈R+，且+2y＝3，则的最大值为．【分析】根据基本不等式可得．【解答】解：3＝+2y≥2，∴≤（）2＝；故答案为：【点评】本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．8．（5分）已知数列{a n}前n项和为S n，且满足S n+a n＝2，则S5＝．【分析】由已知数列递推式可得数列{a n}是等比数列，且，再由等比数列的前n项和公式求解．【解答】解：由S n+a n＝2，①得2a1＝2，即a1＝1，且S n﹣1+a n﹣1＝2（n≥2），②①﹣②得：（n≥2）．∴数列{a n}是等比数列，且．∴．故答案为：．【点评】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了等比数列前n项和的求法，是中档题．9．（5分）过曲线y2＝4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2＝4x交于A，B，A 在B上方，M为抛物线上一点，＝λ+（λ﹣2），则λ＝ 3 ．【分析】直接利用直线和抛物线的位置关系的应用求出点的坐标，进一步利用向量的运算求出结果．【解答】解：过y2＝4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与y2＝4x交于A，B，A在B 上方，依题意：得到：A（1，2）B（1，﹣2），设点M（x，y），所以：M为抛物线上一点，＝λ+（λ﹣2），则：（x，y）＝λ（1，2）+（λ﹣2）（1，﹣2）＝（2λ﹣2，4），代入y2＝4x，得到：λ＝3．故答案为：3【点评】本题考查的知识要点：直线和抛物线的位置关系的应用，向量的坐标运算的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．10．（5分）某三位数密码，每位数字可在0﹣9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是．【分析】分别运用直接法和排除法，结合古典概率的公式，以及计数的基本原理：分类和分步，计算可得所求值．【解答】解：方法一、（直接法）某三位数密码锁，每位数字在0﹣9数字中选取，总的基本事件个数为1000，其中恰有两位数字相同的个数为C C＝270，则其中恰有两位数字相同的概率是＝；方法二、（排除法）某三位数密码锁，每位数字在0﹣9数字中选取，总的基本事件个数为1000，其中三位数字均不同和全相同的个数为10×9×8+10＝730，可得其中恰有两位数字相同的概率是1﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查古典型概率的求法，注意运用直接法和排除法，考查排列组合数的求法，以及运算能力，属于基础题．11．（5分）已知数列{a n}满足a n＜a n+1（n∈N*），P n（n，a n）（n≥3）均在双曲线﹣＝1上，则|P n P n+1|＝．【分析】法一：根据两点之间的距离和极限即可求出，法二：根据向量法，当n→+∞时，P n P n+1与渐近线平行，P n P n+1在x轴的投影为1，渐近线倾斜角为θ，则tanθ＝，即可求出．【解答】解：法一：由﹣＝1，可得a n＝，∴P n（n，），∴P n+1（n+1，），∴|P n P n+1|＝＝∴求解极限可得|P n P n+1|＝，方法二：当n→+∞时，P n P n+1与渐近线平行，P n P n+1在x轴的投影为1，渐近线倾斜角为θ，则tanθ＝，故P n P n+1＝＝故答案为：．【点评】本题考查了双曲线的简单性质和点与点的距离公式，极限的思想，向量的投影，属于中档题．12．（5分）已知f（x）＝|﹣a|（x＞1，a＞0），f（x）与x轴交点为A，若对于f（x）图象上任意一点P，在其图象上总存在另一点Q（P、Q异于A），满足AP⊥AQ，且|AP|＝|AQ|，则a＝．【分析】本题根据题意对函数f（x）分析之后可画出f（x）大致图象，然后结合图象可不妨设点P在左边曲线上，点Q在右边曲线上．设直线AP的斜率为k，联立直线与曲线的方程可得P点坐标，同理可得Q点坐标．再分别算出|AP|、|AQ|，再根据|AP|＝|AQ|及k的任意性可解得a的值．【解答】解：由题意，可知：令f（x）＝|﹣a|＝0，解得：x＝+1，∴点A的坐标为：（+1，0）．则f（x）＝．∴f（x）大致图象如下：由题意，很明显P、Q两点分别在两个分段曲线上，不妨设点P在左边曲线上，点Q在右边曲线上．设直线AP的斜率为k，则l AP：y＝k（x﹣﹣1）．联立方程：，整理，得：kx2+[a﹣k（+2）]x+k（+1）﹣a﹣2＝0．∴x P+x A＝﹣＝+2﹣．∵x A＝+1，∴x P＝+2﹣﹣x A＝1﹣．再将x P＝1﹣代入第一个方程，可得：y P＝﹣a﹣．∴点P的坐标为：（1﹣，﹣a﹣）．∴|AP|＝＝＝．∵AP⊥AQ，∴直线AQ的斜率为﹣，则l AQ：y＝﹣（x﹣﹣1）．同理类似求点P的坐标的过程，可得：点Q的坐标为：（1﹣ak，a+）．∴|AQ|＝＝＝∵|AP|＝|AQ|，及k的任意性，可知：＝a2，解得：a＝．故答案为：．【点评】本题主要考查对函数分析能力，根据平移对称画出符合函数的图象，采用数形结合法分析问题，以及用平面解析几何的方法进行计算，以及设而不求法的应用．本题是一道较难的中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）已知直线方程2x﹣y+c＝0的一个方向向量可以是（）A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（1，2）【分析】先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量．【解答】解：依题意，（2，﹣1）为直线的一个法向量，∴方向向量为（1，2），故选：D．【点评】本题考查了直线的方向向量，空间直线的向量，属基础题．14．（5分）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】直接利用圆锥的体积公式求得两个圆锥的体积，作比得答案．【解答】解：如图，则，，∴两个圆锥的体积之比为．故选：B．【点评】本题考查圆锥的定义，考查圆锥体积的求法，是基础题．15．（5分）已知ω∈R，函数f（x）＝（x﹣6）2•sin（ωx），存在常数a∈R，使f（x+a）为偶函数，则ω的值可能为（）A．B．C．D．【分析】直接利用三角函数的性质的应用和函数的奇偶性的应用求出结果．【解答】解：由于函数f（x）＝（x﹣6）2•sin（ωx），存在常数a∈R，f（x+a）为偶函数，则：f（x+a）＝（x+a﹣6）2•sin[ω（x+a）]，由于函数为偶函数，故：a＝6，所以：，当k＝1时．ω＝故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．16．（5分）已知tanα•tanβ＝tan（α+β）．有下列两个结论：①存在α在第一象限，β在第三象限；②存在α在第二象限，β在第四象限；则（）A．①②均正确B．①②均错误C．①对②错D．①错②对【分析】考虑运用二次方程的实根的分布，结合导数判断单调性可判断①；运用特殊值法，令tanα＝﹣，结合两角和的正切公式，计算可得所求结论，可判断②．【解答】解：由tanα•tanβ＝tan（α+β），即为tanα•tanβ＝，设m＝tanα，n＝tanβ，可得n2m2+n（1﹣m）+m＝0，若m＞0，可得上式关于n的方程有两个同号的根，若为两个正根，可得n＞0，即有m＞1，考虑△＝f（m）＝（1﹣m）2﹣4m3，f′（m）＝2m﹣2﹣8m2＝﹣8（m﹣）2﹣，当m＞1时，f（m）递减，可得f（m）＜f（1）＝﹣4＜0，则方程无解，β在第三象限不可能，故①错；可令tanα＝﹣，由tanα•tanβ＝tan（α+β），即为tanα•tanβ＝，可得﹣tanβ＝，解得tanβ＝﹣6±，存在β在第四象限，故②对．故选：D．【点评】本题考查三角函数的正切公式，以及方程思想、运算能力，属于基础题．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BB1上一点，已知BM＝2，CD ＝3，AD＝4，AA1＝5．（1）求直线A1C和平面ABCD的夹角；（2）求点A到平面A1MC的距离．【分析】（1）由题意可得A1C与平面ABCD所成夹角为∠A1CA，判断△A1CA为等腰三角形，即可求出，（2）如图建立坐标系，根据向量的关系可得点A到平面A1MC的距离d＝，求出法向量即可求出．【解答】解：（1）依题意：AA1⊥平面ABCD，连接AC，则A1C与平面ABCD所成夹角为∠A1CA，∵AA1＝5，AC＝＝5，∴△A1CA为等腰三角形，∴∠A1CA＝，∴直线A1C和平面ABCD的夹角为，（2）（空间向量），如图建立坐标系，则A（0，0，0），C（3，0，0），A1（0，0，5），M（3，0，2），∴＝（3，4，0），＝（3，4，﹣5），＝（0，4．﹣2），设平面A1MC的法向量＝（x，y，z），由，可得＝（2，1，2），∴点A到平面A1MC的距离d＝＝＝．【点评】本题考查了线面角的求法和点到平面的距离，考查了运算求解能力和转化与化归能力，空间想象能力，属于中档题．18．（14分）已知f（x）＝ax+，a∈R．（1）当a＝1时，求不等式f（x）+1＜f（x+1）的解集；（2）若f（x）在x∈[1，2]时有零点，求a的取值范围．【分析】（1）直接利用转换关系，解分式不等式即可．（2）利用分离参数法和函数的值域的应用求出参数的范围．【解答】解：（1）f（x）＝ax+（a∈R）．当a＝1时，f（x）＝x+．所以：f（x）+1＜f（x+1）转换为：x++1，即：，解得：﹣2＜x＜﹣1．故：{x|﹣2＜x＜﹣1}．（2）函数f（x）＝ax+在x∈[1，2]时，f（x）有零点，即函数在该区间上有解，即：，即求函数g（x）在x∈[1，2]上的值域，由于：x（x+1）在x∈[1，2]上单调，故：x（x+1）∈[2，6]，所以：，故：【点评】本题考查的知识要点：分式不等式的解法及应用，分离参数法的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．19．（14分）如图，A﹣B﹣C为海岸线，AB为线段，为四分之一圆弧，BD＝39.2km，∠BDC＝22°，∠CBD＝68°，∠BDA＝58°．（1）求的长度；（2）若AB＝40km，求D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离．（精确到0.001km）【分析】（1）由题意可求BC，及弧BC所在的圆的半径R，然后根据弧长公式可求；（2）根据正弦定理可得，，可求sin A，进而可求A，进而可求∠ABD，根据三角函数即可求解．【解答】解：（1）由题意可得，BC＝BD sin22°，弧BC所在的圆的半径R＝BC sin＝，弧BC的长度为＝＝＝16.310km；（2）根据正弦定理可得，，∴sin A＝＝0.831，A＝56.2°，∴∠ABD＝180°﹣56.2°﹣58°＝65.8°，∴DH＝BD×sin∠ABD＝35.750km＜CD＝36.346km∴D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离为35.750km【点评】本题主要考查了利用三角函数，正弦定理求解三角形，还考查了基本运算．20．（16分）已知椭圆+＝1，F1，F2为左、右焦点，直线l过F2交椭圆于A，B两点．（1）若直线l垂直于x轴，求|AB|；（2）当∠F1AB＝90°时，A在x轴上方时，求A、B的坐标；（3）若直线AF 1交y轴于M，直线BF1交y轴于N，是否存在直线l，使得S＝S，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意方程求得右焦点坐标，进一步求得A，B的坐标，则|AB|可求；（2）设A（x1，y1），由∠F1AB＝90°（∠F1AF2＝90°），利用数量积为0求得x1与y1的方程，再由A在椭圆上，得x1与y1的另一方程，联立即可求得A的坐标．得到直线AB 的方程，与椭圆方程联立即可求得B的坐标；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y3），N（0，y4），直线l：x＝my+2（斜率不存在时不满足题意），联立直线方程与椭圆方程，结合S＝S，得2|y 1﹣y2|＝|y3﹣y4|，再由直线AF1的方程：，得M纵坐标，由直线BF1的方程：，得N的纵坐标，结合根与系数的关系，得||＝4，解得m值，从而得到直线方程．【解答】解：（1）依题意，F2（2，0），当AB⊥x轴时，则A（2，），B（2，﹣），得|AB|＝2；（2）设A（x1，y1），∵∠F1AB＝90°（∠F1AF2＝90°），∴＝，又A在椭圆上，满足，即，∴，解得x1＝0，即A（0，2）．直线AB：y＝﹣x+2，联立，解得B（，﹣）；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y3），N（0，y4），直线l：x＝my+2（斜率不存在时不满足题意），则，．联立，得（m2+2）y2+4my﹣4＝0．则，．由直线AF1的方程：，得M纵坐标；由直线BF1的方程：，得N的纵坐标．若S＝S，即2|y 1﹣y2|＝|y3﹣y4|，|y3﹣y4|＝||＝||＝||＝2|y1﹣y2|，∴|（my1+4）（my2+4）|＝4，|m2y1y2+4m（y1+y2）+16|＝4，代入根与系数的关系，得||＝4，解得m＝．∴存在直线x+或满足题意．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属难题．21．（18分）数列{a n}（n∈N*）有100项，a1＝a，对任意n∈[2，100]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]，若a k与前n项中某一项相等，则称a k具有性质P．（1）若a1＝1，d＝2，求a4所有可能的值；（2）若{a n}不为等差数列，求证：数列{a n}中存在某些项具有性质P；（3）若{a n}中恰有三项具有性质P，这三项和为c，使用a，d，c表示a1+a2+…+a100．【分析】（1）根据a1＝1，d＝2逐一求出a2，a3，a4即可；（2）{a n}不为等差数列，数列{a n}存在a m使得a m＝a m﹣1+d不成立，根据题意进一步推理即可证明结论；（3）去除具有性质P的数列{a n}中的前三项后，数列{a n}的剩余项重新排列为一个等差数列，且该数列的首项为a，公差为d，求a1+a2+…+a100即可．【解答】解：（1）∵数列{a n}有100项，a1＝a，对任意n∈[2，100]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]，∴若a1＝1，d＝2，则当n＝2时，a2＝a1+d＝3，当n＝3时，i∈[1，2]，则a3＝a1+d＝3或a3＝a2+d＝5，当n＝4时，i∈[1，3]，则a4＝a1+d＝3或a4＝a2+d＝5或a4＝a3+d＝（a1+d）+d ＝5或a4＝a3+d＝（a2+d）+d＝7∴a4的所有可能的值为：3，5，7；（2）∵{a n}不为等差数列，∴数列{a n}存在a m使得a m＝a m﹣1+d不成立，∵对任意n∈[2，10]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]；∴存在p∈[1，n﹣2]，使a m＝a p+d，则对于a m﹣q＝a i+d，i∈[1，n﹣q﹣1]，存在p＝i，使得a m﹣q＝a m，因此{a n}中存在具有性质P的项；（3）由（2）知，去除具有性质P的数列{a n}中的前三项，则数列{a n}的剩余项均不相等，∵对任意n∈[2，100]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]，则一定能将数列{a n}的剩余项重新排列为一个等差数列，且该数列的首项为a，公差为d，∴a1+a2+…+a100＝＝97a+4656d+c．【点评】本题考查了等差数列的性质和前n项和公式，考查了逻辑推理能力和计算能力，关键是对新定义的理解，属难题．。

完整版)2019上海高考数学试卷及答案

完整版)2019上海高考数学试卷及答案2019年上海市高考数学试卷一、填空题1.已知集合A=(-∞,3)，B=(2,+∞)，则A∩B的区间表示为__________。

2.已知z∈C，且满足|z-5|=1，则z的取值范围为__________。

3.已知向量a=(1,0,2)，b=(2,1,0)，则a与b的夹角为__________°。

4.已知二项式展开式(2x+1)^5，则展开式中含x^2项的系数为__________。

5.已知x、y满足x+y≤2，求z=2x-3y的最小值为__________。

6.已知函数f(x)周期为1，且当0<x≤1，f(x)=log2x，则f(1/4)=__________。

7.若x,y∈R+，且x+y=2，则xy的最大值为__________。

8.已知数列{an}前n项和为Sn，且满足Sn+an=2，则S5=__________。

9.过曲线y^2=4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y^2=4x交于A、B，A在B上方，M为抛物线上一点，OM=λOA+(λ-2)OB，则λ=__________。

10.某三位数密码，每位数字可在-9到9这19个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是__________。

11.已知点Pn(n,an)在双曲线x^2-y^2=1上，an=3n/2，则lim|PnPn+1|=__________。

12.已知f(x)=|2-a|(x-1)，f(x)与x轴交点为A，若对于f(x)图像上任意一点P，在其图像上总存在另一点Q（P、Q异于A），满足AP⊥AQ，且|AP|=|AQ|，则a=__________。

二、选择题13.已知直线方程2x-y+c=0的一个方向向量d可以是（）。

A。

(2,-1) B。

(2,1) C。

(-1,2) D。

(1,2)14.一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）。

2019年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(上海.理)含详解

上海市教育考试院保留版权数学（理）2019第1页（共10页）2 0 19年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷(理工农医类)考生注意：1. 答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚.2. 本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟. 请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.一. 填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．不等式11<-x 的解集是 .2．若集合{}2≤=x x A 、{}a x x B ≥=满足{}2=B A ，则实数a =_____________.3．若复数z 满足)2(i z z -=（i 是虚数单位），则z =_____________.4．若函数)(x f 的反函数为21)(x x f =-（0>x ），则=)4(f .5．若向量a 、b 满足1=a ，2=b ，且a 与b 的夹角为3π，则b a +=__________. 6．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x x x f 2πsin sin 3)(的最大值是 . 7．在平面直角坐标系中，从六个点：)0,0(A 、)0,2(B 、)1,1(C 、)2,0(D 、)2,2(E 、 )3,3(F 中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 (结果用分数表示).8．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数. 若当),0(∞+∈x 时，x x f lg )(=，则满足 0)(>x f 的x 的取值范围是 .9．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为5.10. 若要使该总体的方差最小，则b a 、的取值分别是 .数学（理）2019第2页（共10页）10．某海域内有一孤岛. 岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为a 2、短轴长为b 2的椭圆. 已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为、1h 2h ，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上. 现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为21θθ、，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 .11．方程122-+x x 0=的解可视为函数2+=x y 的图像与函数xy 1=的图像交点的横坐标. 若方程044=-+ax x 的各个实根)4(,,,21≤k x x x k 所对应的点(ii x x 4,)（i =k ,,2,1 ）均在直线x y =的同侧，则实数a 的取值范围是 .二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分． 12. 组合数r n C )Z ,1(∈≥>r n r n 、恒等于 [答] ( )(A) 1111--++r n C n r . (B) 11)1)(1(--++r n C r n . (C) 11--r n nrC . (D) 11--r n C rn . 13. 给定空间中的直线l 及平面α. 条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的 [答] ( )(A) 充要条件. (B) 充分非必要条件.(C) 必要非充分条件. (D) 既非充分又非必要条件.14. 若数列{}n a 是首项为1，公比为23-a 的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是 [答] ( ) (A) 1. (B) 2. (C)21. (D) 45. 15. 如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点 C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），D C B A 、、、是该圆的四等分点. 若点),(y x P 、点()y x P ''',满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '. 如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧 [答] ( )(A) . (B) . (C) (D) .数学（理）2019第3页（共10页）三. 解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16.（本题满分12分）如图，在棱长为 2 的正方体1111D C B A ABCD 中，1BC E 是的中点. 求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.[解]数学（理）2019第4页（共10页）17.（本题满分13分）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120的扇形AOB . 小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD . 已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟. 若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）.[解]数学（理）2019第5页（共10页）18.（本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第 2小题满分9分．已知双曲线14:22=-y x C ，P 是C 上的任意点. （1）求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点A 的坐标为)0,3(，求||PA 的最小值.[证明]（1）[解]（2）数学（理）2019第6页（共10页）19.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2 小题满分8分．已知函数||212)(x x x f -=. （1）若2)(=x f ，求x 的值；（2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于]2,1[∈t 恒成立，求实数m 的取值范围.[解]（1）（2）数学（理）2019第7页（共10页）20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．设)0(),(≠b b a P 是平面直角坐标系xOy 中的点，l 是经过原点与点),1(b 的直线.记Q 是直线l 与抛物线py x 22=)0(≠p 的异于原点的交点.（1）已知2,2,1===p b a . 求点Q 的坐标；（2）已知点)0(),(≠ab b a P 在椭圆1422=+y x 上，abp 21=. 求证：点Q 落在双曲线14422=-y x 上；（3）已知动点),(b a P 满足0≠ab ，abp 21=. 若点Q 始终落在一条关于x 轴对称的抛物线上，试问动点P 的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由.[解]（1）[证明]（2）[解]（3）数学（理）2019第8页（共10页）数学（理）2019第9页（共10页）21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．已知以1a 为首项的数列{}n a 满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=+.3,,3,1n n n n n a da a c a a （1）当11=a ，3,1==d c 时，求数列{}n a 的通项公式；（2）当101<<a ，3,1==d c 时，试用1a 表示数列{}n a 前100项的和100S ；（3）当m a 101<< （m 是正整数），mc 1=，正整数md 3≥时，求证：数列m a 12-, m a m 123-+，m a m 126-+，ma m 129-+成等比数列当且仅当m d 3=. [解]（1）（2）[证明]（3）数学（理）2019第10页（共10页）2 0 0 8 年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷(理工农医类)答案要点及评分标准说明1.本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．解答一、（第1题至第11题）1.)2,0(.2. 2.3. +1i .4. 2.5. 7.6. 2.7. 43. 8. ),1()0,1(∞+- . 9. 5.10,5.10==b a . 10. a h h 2cot cot 2211≤⋅+⋅θθ. 11. ),6()6,(∞+-∞- .16．[解] 过E 作BC EF ⊥，交BC 于F ，连接DF .A B C D EF 平面⊥，E DF ∠∴是直线DE 与平面ABCD 所成的角. …… 4分由题意，得1211==CC EF . 121==CB CF , 5=∴DF . …… 8分 DF EF ⊥， ∴ 55tan ==∠DF EF EDF . …… 10分故直线DE 与平面ABCD 所成角的大小是55arctan . …… 12分 17. [解法一] 设该扇形的半径为r 米. 连接CO . …… 2分由题意，得CD =500（米），DA =300（米），︒=∠60CDO . …… 4分数学（理）2019第11页（共10页）在△CDO 中，22260cos 2OC OD CD OD CD =︒⋅⋅⋅-+， …… 6分即22221)300(5002)300(500r r r =⨯-⨯⨯--+， …… 9分解得445114900≈=r （米）. 答：该扇形的半径OA 的长约为445米. …… 13分 [解法二] 连接AC ，作AC OH ⊥，交AC 于H . …… 2分由题意，得CD =500（米），AD =300（米），︒=∠120CDA . …… 4分在△ACD 中，︒⋅⋅⋅-+=120cos 2222AD CD AD CD AC21300500230050022⨯⨯⨯++=2700=， ∴ 700=AC （米）， …… 6分14112cos 222=⋅⋅-+=∠AD AC CD AD AC CAD . …… 9分在直角△HAO 中，350=AH （米），1411cos =∠HAO ， ∴ 445114900cos ≈=∠=HAO AH OA （米）.答：该扇形的半径OA 的长约为445米. …… 13分 18. [解] （1）设()11,y x P 是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是02=-y x 和02=+y x . …… 2分点()11,y x P 到两条渐近线的距离分别是5211y x -和5211y x +， …… 4分它们的乘积是5454525221211111=-=+⋅-y x y x y x . ∴ 点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. …… 6分（2）设P 的坐标为),(y x ，则222)3(||y x PA +-= …… 8分数学（理）2019第12页（共10页）14)3(22-+-=x x54512452+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x . …… 11分2||≥x ， …… 13分∴ 当512=x 时，2||PA 的最小值为54，即||PA 的最小值为552. …… 15分19. [解] （1）当0<x 时，0)(=x f ；当0≥x 时，x x x f 212)(-=. …… 2分由条件可知 2212=-x x ，即 012222=-⋅-x x ，解得 212±=x . …… 6分02>x ，()21log 2+=∴x . …… 8分（2）当]2,1[∈t 时，021*******≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t t t t m ， …… 10分即 ()()121242--≥-t t m .0122>-t ， ∴ ()122+-≥t m . …… 13分 ()]5,17[21],2,1[2--∈+-∴∈t t ，故m 的取值范围是),5[∞+-. …… 16分 20. [解]（1）当2,2,1===p b a 时，解方程组⎩⎨⎧==,2,42x y y x 得 ⎩⎨⎧==,16,8y x即点Q 的坐标为()16,8. …… 3分[证明]（2）由方程组⎪⎩⎪⎨⎧==,,12bx y y abx 得 ⎪⎩⎪⎨⎧==,,1a b y a x即点Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛a b a ,1. …… 5分数学（理）2019第13页（共10页）P 是椭圆上的点，即 1422=+b a ，∴ ()1144142222=-=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛b a a b a .因此点Q 落在双曲线14422=-y x 上. …… 8分（3）设Q 所在抛物线的方程为 )(22c x q y -=，0≠q . …… 10分将Q ⎪⎭⎫⎝⎛a b a ,1代入方程，得 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=c a q a b 1222，即2222qca qa b -=. …… 12分当0=qc 时，qa b 22=，此时点P 的轨迹落在抛物线上；当21=qc 时，2224121c b c a =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-，此时点P 的轨迹落在圆上；当0>qc 且21≠qc 时，124121222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-c q b c c a ，此时点P 的轨迹落在椭圆上；当0<qc 时，124121222=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-c q b c c a ，此时点P 的轨迹落在双曲线上. …… 16分21. [解]（1）由题意得()+∈⎪⎩⎪⎨⎧=-=-==Z k k n k n k n a n ,3,3,13,2,23,1 .…… 3分（2）当101<<a 时，112+=a a ，213+=a a ，314+=a a ，1315+=a a ，2316+=a a ，3317+=a a ，…，131113+=--k k a a ，23113+=-k k a a ，331113+=-+k k a a ，… …… 6分数学（理）2019第14页（共10页）()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=++++++++++=∴6363663311111110099987654321100a a a a a a a a a a a a a a a S3363131133111⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++= a a198311121131+⎪⎭⎫⎝⎛-=a . …… 10分（3）当m d 3=时，ma a 112+=； 131113333113+=+<<+-=-+=m m a a m a m m a a ，mm a a m 13123+=∴+；16116333313+=+<<+-=m ma m a m m a a ，m m a a m 192126+=∴+；1921219393319+=+<<+-=m m a m a m m a a ，m ma a m 1273129+=∴+. ∴ 121a m a =-，ma m a m 31123=-+，212691m a m a m =-+，3129271m a m a m =-+.综上所述，当m d 3=时，数列m a 12-，m a m 123-+，m a m 126-+，ma m 129-+是公比为m31的等比数列. ……13分当13+≥m d 时， ⎪⎭⎫⎝⎛∈+=+m d a a m 1,03123， ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈++=+m d a a m 13,333126，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈++=+m d d a a m 1,033136， ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈-+++=+3,131333129m m m d d a a m . ……15分由于0123<-+m a m ，0126>-+m a m ，0129>-+ma m ，故数列m a 12-，m a m 123-+，m a m 126-+，ma m 129-+不是等比数列.所以，数列m a 12-，m a m 123-+，m a m 126-+，ma m 129-+成等比数列当且仅当m d 3=. ……18分数学（理）2019第15页（共10页）1.不等式|1|1x -<的解集是 . 【答案】(0,2)【解析】由11102x x -<-<⇒<<.2.若集合A ＝{x |x ≤2}、B ＝{x |x ≥a }满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝ . 【答案】2 【解析】由{2}, 22AB A B a =⇒⇒=只有一个公共元素.3.若复数z 满足z ＝i (2-z)（i 是虚数单位），则z ＝ . 【答案】1i +【解析】由2(2)11iz i z z i i=-⇒==++. 4.若函数f (x )的反函数为f －1(x )＝x 2（x ＞0），则f (4)＝ . 【答案】2【解析】令12(4)()44(0)2f t ft t t t -=⇒=⇒=>⇒=.5.若向量→a 、→b 满足|→a |＝1，|→b |＝2，且→a 与→b 的夹角为π3，则|→a +→b |＝ .【解析】222||()()2||||2||||cos7||73a b a b a b a a b b a b a b a b a b π+=++=++=++=⇒+=. 6.函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )的最大值是 .【答案】2【解析】由max ()cos 2sin()()26f x x x x f x π=+=+⇒=.7.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）. 【答案】34【解析】已知 A C E F B C D 、、、共线；、、共线；六个无共线的点生成三角形总数为：数学（理）2019第16页（共10页）36C ；可构成三角形的个数为：33364315C C C --=，所以所求概率为：3336433634C C C C --=； 8.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值范围是 .【答案】(1,0)(1,)-+∞【解析】 0 ()0 1 ()00 1 x f x x f x x >>⇔><⇔<<当时，；；由f (x )为奇函数得： 0 ()010 ()0 1 x f x x f x x <>⇔-<<<⇔<-⇒当时，；结论；9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a ,b ,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是 . 【答案】10.5,10.5a b ==【解析】根据总体方差的定义知，只需且必须10.5,10.5a b ==时，总体方差最小； 10.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h 1、h 2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 . 【答案】1122cot cot 2h h a θθ⋅+⋅≤ 【解析】依题意， 12||||2MF MF a +≤1122cot cot 2h h a θθ⇒⋅+⋅≤；11.方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1x的图像交点的横坐标，若x 4+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4x i)（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(,6)(6,)-∞-+∞【解析】方程的根显然0x ≠，原方程等价于34x a x+=，原方程的实根是曲线数学（理）2019第17页（共10页）3y x a =+与曲线4y x=的交点的横坐标；而曲线3y x a =+是由曲线3y x =向上或向下平移||a 个单位而得到的。

2019上海高考数学试卷及答案(K12教育文档)

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2019年上海市高考数学试卷2019。

06。

07一。

填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分,第7～12题每题5分） 1. 已知集合(,3)A =-∞，(2,)B =+∞,则A B = 2. 已知z ∈C ,且满足1i 5z =-,求z = 3。

已知向量(1,0,2)a =,(2,1,0)b =,则a 与b 的夹角为 4. 已知二项式5(21)x +,则展开式中含2x 项的系数为5. 已知x 、y 满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，求23z x y =-的最小值为6。

已知函数()f x 周期为1，且当01x <≤，2()log f x x =,则3()2f =7. 若,x y +∈R ,且123y x +=，则y x的最大值为8。

已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足2n n S a +=，则5S =9。

过曲线24y x =的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线24y x =交于A 、B ，A 在B 上方,M 为抛物线上一点，(2)OM OA OB λλ=+-，则λ=10。

某三位数密码，每位数字可在0-9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是11。

2019年高考数学上海卷-答案

2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学答案解析1.【答案】{3,5}【解析】解：集合{1,2,3,4,5}A =，{356}B =，，，{3,5}A B ∴=．故答案为：{3,5}． 2．【答案】2【解析】解：2222312231lim lim 241411n n n n n n n n n n→∞→∞-+-+==-+-+．故答案为：2． 3．【答案】{6,4}-【解析】解：由15x +<得515x -<+<，即64x -<<. 故答案为：{6,4}-．4．【答案】1()0)f x x -=> 【解析】解：由2(0)y x x =>解得x =1()0)f x x -∴=>故答案为1()0)f x x -∴=> 5．【答案】【解析】解：由365z i i -=+，得366z i =+，即22z i =+，||||z z ∴==故答案为： 6．【答案】2-【解析】解：由题意，可知：方程有无穷多解，∴可对①，得：442x y +=-．再与②式比较，可得：2a =-．故答案为：2-． 7．【答案】15【解析】解：6x ⎛ ⎝展开式的通项为36216r r r T C x -+=令3902r -=得2r =，故展开式的常数项为第3项：2615C =．故答案为：15． 8．【解析】解：3sin 2sin A B =，∴由正弦定理可得：32BC AC =， ∴由3AC =，可得：2BC =，1cosC 4=，∴由余弦定理可得：2221324232AB +--=⨯⨯， ∴解得：AB9．【答案】24【解析】解：在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有33424A =种，故答案为：24． 10．【解析】解：由题意得：点坐标为a ⎫⎪⎪⎭，点坐标为a ⎛ ⎝，11||||23AQ CP +=，当且仅当a =时，取最小值，2⨯P Q11．【答案】1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】解：设(,)P x y ，则Q 点(,)x y -，椭圆22142x y +=的焦点坐标为(，(， 121F P F P ⋅， 2221x y ∴-+≤，结合22142x y += 可得：2[1,2]y ∈故1F P 与2F Q 的夹角θ满足：(2221222122381cos 31,223F P F Qy y y F P F Q x θ⋅-⎡⎤====-+∈--⎢⎥++⎣⎦⋅故1arccos ,3θππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故答案为：1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12．【答案】1或3-【解析】解：当0t >时，当[,1]a t t ∈+时，则[4,9]t t aλ∈++，当[4,9]a t t ∈++时，则[,1]t t aλ∈+，即当a t =时，9t aλ+；当9a t =+时，t aλ，即(9)t t λ=+；当1a t =+时，4t aλ+，当4a t =+时，1t aλ+，即(1)(4)t t λ=++，(9)(1)(4)t t t t ∴+=++，解得=1t ．当104t t +<<+时，当[,1]a t t ∈+时，则[,1]t t aλ∈+．当[4,9]a t t ∈++，则[4,9]t t aλ∈++，即当a t =时，1t aλ+，当1a t =+时，t aλ，即(1)t t λ=+，即当4a t =+时，9t aλ+，当9a t =+时，4t aλ+，即(4)(9)t t λ=++，(1)(4)(9)t t t t ∴+=++，解得3t =-．当90t +<时，同理可得无解．综上，的值为1或3-．故答案为：1或3-． 13．【答案】B【解析】解：A ，2xy =的值域为(0,)+∞，故A 错B，y =[0,)+∞，值域也是[0,)+∞，故B 正确 C ，tan y x =的值域为(,)-∞+∞，故C 错tD ，cos y x =的值域为[1,1]-+，故D 错故选：B 14．【答案】C【解析】解：22a b >等价，22|||a b >，得“||||a b >”，∴“22a b >”是“||||a b >”的充要条件，故选：C 15．【答案】B【解析】解：如图1，可得,,a b c 可能两两垂直；如图2，可得,,a b c 可能两两相交；如图3，可得,,a b c 可能两两异面；故选：B 16．【答案】A【解析】解：因为111r a =-21112y a =-，同理可得22212y a =-，又因为12ln ln 0y y +=，所以121y y =，则()()1212121a a --=，即12122a a a a =+，则12112a a +=，设1211x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2x y +=为直线，故选：A17．【答案】解：（1）,M N 分别为,PB BC 的中点，//MN PC ∴，则PCA ∠为AC 与MN 所成角，在PAC △中，由2,PA PC AC ==可得222cos 24PC AC PA PCA PC AC +-∠===⋅，AC ∴与MN的夹角为arccos4；（2）过P 作底面垂线，垂直为O ，则O 为底面三角形的中心，连接AO 并延长，交BC 于N ，则32123AN AO AN ===，．PO ∴=11333224P ABC V -∴=⨯=．18．【答案】解：（1）4133315,4a a d d d =+=+=∴=，2(1)3422n n n S n n n -∴=+⨯=+；（2）()31,lim 1n n n n q S S q→∞-=-存在，11q ∴-<<，lim n n S →∞∴存在，11q ∴-<<且0q ≠，()313lim lim11n n n n q S qq→∞→∞-∴==--， 3121q ∴<-，34q ∴<，10q ∴-<<或304q <<，∴公比q 的取值范围为3(1,0)0,4⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭．19．【答案】解：（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多．（2）6.44200.1136t y e -=是减函数，且 6.44200.11360t y e -=>，6.44200.1136357876.6053()1tf t e -∴=+在N 上单调递增，令 6.4200.1136357876.60531200001t e ->+，解得50.68t >，当51t 时，我国卫生总费用超过12万亿，预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．20．【答案】解：（1）抛物线方程24y x =的焦点8(1,0),1,3F P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，84323PFk ==，PF 的方程为4(1)3y x =-，代入抛物线的方程，解得14Q x =，抛物线的准线方程为1x =-，可得103PF ==， 15||144QF =+=，||8()||3PF d P QF ==；（2）证明：当(1,0)P -时，2()||2222a d P PF =-=⨯-=，设()1,P P y -，0P y >，:1PF x my =+，则2P my =-，联立1x my =+和24y x =，可得2440y my --=，2Q y m ==+，2()||22P P Q y d P PF y -==22=-=，则存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；（3）设()()()1122331,,1,,1,P y P y P y ---，则()()()132132242d P d p d P PF P F P F ⎡+⎤-=+-=⎣⎦∴∴=由()2213131628y y y y⎡⎤-++=-⎣⎦，()()()()(22222213131313134444840y y y y y y y y y y++-+=+-=->，则()()()1322d P d P d P+>．21．【答案】解：（1）等差数列{}n a的公差(0,]dπ∈，数列{}n b满足()sinn nb a=，集合{}*|,nS x x b n N==∈．当120,3a dπ==，集合S⎧⎪=⎨⎪⎪⎩⎭．（2）12aπ=，数列{}n b满足()sinn nb a=，集合{}*|,nS x x b n N==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a的终边落在y轴的正负半轴上时，集合S恰好有两个元素，此时dπ=，②1a终边落在OA上，要使得集合S恰好有两个元素，可以使2a，3a的终边关于y轴对称，如图OB，OC，此时23dπ=，综上，23dπ=或者dπ=．（3）①当3T=时，3n nb b+=，集合{}123,,S b b b=，符合题意．②当4T=时，4n nb b+=，()sin4sinn na d a+=，42n na d a kπ+=+，或者42n na d k aπ+=-，等差数列{}n a的公差(0,]dπ∈，故42n na d a kπ+=+，2kdπ=，又1,2k∴=当1k=时满足条件，此时{,1,1}S=--．∴③当5T =时，5n n b b +=，()sin 5sin ,52n n n n a d a a d a k π+=+=+，或者52n n a d k a π+=-，因为(0,]d π∈，故1,2k =．当1k =时，sin ,1,sin 1010S ππ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭满足题意．④当6T =时，6n n b b +=，()sin 6sin n n a d a +=，所以62n n a d a k π+=+或者62n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =．当1k =时，S =⎪⎪⎩⎭，满足题意．⑤当7T =时，()7,s i n 7s i n s i n n nn n n b b a d a a +=+==，所以72n n a d a k π+=+，或者72n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =当1k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，227d m n ππ==-，7,7m n m -=>，不符合条件．当2k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，247d m n ππ==-，m n -不是整数，不符合条件．当3k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=或者4π，267d m n ππ==-，或者467d m n ππ==-，此时，m n -均不是整数，不符合题意．综上，3,4,5,6T =．。

2019年上海高考数学试卷及标准答案.docx

一 . 填空题（本大题共12 题，满分54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分）1. 已知集合 A (,3) ， B(2, ) ，则 A I B2. 已知 z C ，且满足1 i ，求 zz 5rr r3.r已知向量 a (1,0,2) ， b(2,1,0) ，则 a 与 b 的夹角为4. 已知二项式 (2 x 1) 5 ，则展开式中含 x 2 项的系数为x 05. 已知 x 、 y 满足y，求 z2x3y 的最小值为x y 26. 已知函数 f (x) 周期为 1，且当 0x 1 ， f (x)log 2 x ，则 f ( 3)27. 若 x, y R ，且1 2y 3，则 y的最大值为x x8. 已知数列{ a n项和为SSan2，则Sn } 前 n，且满足n59. 过曲线 y 24x 的焦点 F 并垂直于 x 轴的直线分别与曲线y 24x 交于 A 、 B ， A 在 B 上uuuuruuur uuur方， M 为抛物线上一点， OMOA (2) OB ，则10. 某三位数密码，每位数字可在 0 9 这 10 个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是11. 已知数列 { a n } 满足 a n a n 1 （ nN * ），若 P n (n, a n ) (n 3) 均在双曲线 x 2y 2 1上，6 2则 lim | P n P n 1 |n12. 已知 f (x) |2a | （ x 1 ， a 0 ）， f (x) 与 x 轴交点为 A ，若对于 f (x) 图像x1上任意一点 P ，在其图像上总存在另一点 Q （ P 、 Q 异于 A ），满足 AP AQ ，且| AP || AQ |，则 a二 . 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13. 已知直线方程 2xy c 0 的一个方向向量urd 可以是（）A.(2, 1)B.(2,1)C.( 1,2)D.(1,2)14.一个直角三角形的两条直角边长分别为1 和 2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）A. 1B. 2C. 4D. 815.已知R ，函数 f ( x) ( x 6) 2 sin(x) ，存在常数a R ，使得 f (x a) 为偶函数，则的值可能为（）A. B. C. D.523416. 已知tan tan tan() ，有下列两个结论：①存在在第一象限，在第三象限；②存在在第二象限，在第四象限；则（）A. ①②均正确B.①②均错误C.①对②错D.①错②对三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17.如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中， M 为 BB1上一点，已知B M 2 ， CD 3 ， AD 4 ， AA1 5 .（ 1）求直线AC 与平面 ABCD 的夹角；1（ 2）求点A到平面A1MC的距离 .18. 已知f (x) ax1， a R .x1（ 1）当a1时，求不等式 f (x) 1 f ( x 1) 的解集；（ 2）若f ( x)在x[1,2] 时有零点，求 a 的取值范围.19. 如图，A B C 为海岸线， AB为线段，?BD39.2km BDC22CBD 68为四分之一圆弧，，，，BDA 58 .（ 1）求BC的长度；（ 2）若AB40km，求D到海岸线A B C 的最短距离.（精确到）20. 已知椭圆x2y21， F1、 F2为左、右焦点，直线l 过 F2交椭圆于A、B两点.84（ 1）若直线l垂直于x轴，求| AB |；（ 2）当F1AB90 时，A在x轴上方时，求A、 B 的坐标；（ 3）若直线AF1交 y 轴于 M，直线BF1交 y 轴于 N，是否存在直线l ，使得 S V F AB SV F MN，11若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.21.数列{ a n} ( n N * ) 有100项， a1 a ，对任意 n [2,100] ，存在 a n a i d ，i[1,n1] ，若 a k与前 n 项中某一项相等，则称a k具有性质P.（ 1）若a11， d 2 ，求 a4所有可能的值；（ 2）若{a n} 不是等差数列，求证：数列{ a n}中存在某些项具有性质P；（ 3）若{a n} 中恰有三项具有性质P，这三项和为c，请用 a、 d、 c 表示a1a2a100.参考答案一 .填空题1.(2,3)2. 5 i ， z 15 5 iir r3. arccos 2， cosrab r52 25| a | | b |554. 40 ， x 2 的系数为 C 53 22 405. 6 ，线性规划作图，后求出边界点代入求最值，当 x 0 ， y 2 时， z min66.1 ， f (3)f (1)log 2 1 12227.9，法一： 3 1 2 y 2 12y ，∴ y( 3 )2 9 ；8x x x 2 2 8法二：由13y(3 2 y) y2y 23y （ 0 y3( y)max9x2 y ， x2 ），求二次最值 x88.31，由S n a n 2得： a n1 a n 1 （ n2 ），∴ { a n } 为等比数列，且 a 1 1，16 Sn 1a n2(n2 12)11 [1 ( 1)5 ]31q2，∴ S 51162129. 3 ，依题意求得： A(1,2) ， B(1, 2) ，设 M 坐标为 M (x, y) ，有： (x, y)(1,2) ( 2) (1, 2) (22,4) ，带入 y 24x 有： 16 4 (22) ，即310.27 ，法一： P C 101 C 32 C 9127选位置选第三个数字）；100103（分子含义：选相同数字100法二：C 101 P 10327+三位数字都不同）P 1（分子含义：三位数字都相同10310011.23，法一：由 n 2a n 21得： a n2( n 21) ，∴ P n (n,2( n 21)) ， P n 1 (n1, 2( (n 1)21)) ，382666利用两点间距离公式求解极限：lim | P n P n 1 |2 3 ；n3法二（极限法）：当 n时， P n P n 1 与渐近线平行， P n P n 1 在 x 轴投影为 1，渐近线斜角满足： tan3 ，3∴ P n P n 11 2 3cos36 12. a2二 . 选择题13. 选 D ，依题意： (2, 1) 为直线的一个法向量，∴方向向量为(1,2)14. 选 B ，依题意： V 1122 14 ， V 2 1 12 2233 3315. 选 C ，法一：依次代入选项的值，检验 f (x a) 的奇偶性；法二： f ( x a) ( x a 6) 2sin[( x a)] ，若 f (x a) 为偶函数，则 a6 ，且sin[ ( x 6)] 也为偶函数（偶函数偶函数 =偶函数），∴ 6k ，当 k 1时，2416. 选 D ，取特殊值检验法：例如：令tan1和 tan1，求 tan是否存在（考试中，33若有解时则认为存在，取多组解时发现没有解，则可认为不存在）三 . 解答题17. （ 1）；（ 2）10.4318. （ 1） x( 2, 1) ；（ 2） a [ 1 , 1] .2 619.R22BD sin 2216.310 km ；（ 2） .（ 1） BC2 BC42220. （） 2 2 ；（） A(0,2) ，B( 8 , 2) ；（ 3） x 3 y 2 0 .123 321. （ 1） 3、 5、7；（ 2）略；（ 3） 97a 4656d c .。

2019年上海高考数学试卷(参考答案)

绝密★启用前2019年普通高等学校招生上海统一考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1.已知集合，则________2.已知，且满足，求________3.已知向量，则与的夹角为________4.已知二项式，则展开式中含项的系数为________5.已知、满足，求的最小值为________6.已知函数周期为1，且当，则________7.若，且，则的最大值为________8.已知数列的前项和为，且满足，则________9.过曲线的焦点并垂直于轴的直线分别与曲线交于，在上方，为抛物线上一点，，则________10.某三位数密码，每位数字可在0—9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是________11.已知数列满足，若均在双曲线上，则________()(),3,2,A B =-∞=+∞AB =zC ∈15i z =-z =()()1,0,2,2,1,0a b ==a b ()521x +2x x y 002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩23z x y =-()f x ()201,log x f x x <≤=32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,R x y +∈123y x +=y x{}n a n n S 2n n S a +=5S =24y x =F x 24y x =A B 、A B M ()2OM OA OB λλ=+-λ={}n a ()1N *n n a a n +<∈()(),3n n P n a n ≥22162x y -=1lim n n n P P +→∞=12.已知与轴交点为，若对于图像上任意一点，在其图像上总存在另一点（异于），满足，且，则________ 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.已知直线方程的一个方向向量可以是（）A. B. C. D.14.一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）A.1B.2C.4D.815.已知，函数，存在常数，使得为偶函数，则的值可能为（）A. B. C. D. 16.已知，有下列两个结论：①存在在第一象限，在第三象限；②存在在第二象限，在第四象限；则（）A.①②均正确B.①②均错误C.①对②错D.①错②对三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图，在长方体中，M 为上一点，已知.（1）求直线与平面的夹角；（2）求点到平面的距离.18.已知. （1）当时，求不等式的解集；（2）若在时有零点，求的取值范围.()()()21,0,1f x a x a f x x =->>-x A ()f x P Q P Q 、A AP AQ ⊥AP AQ =a =20x y c -+=d ()2,1-()2,1()1,2-()1,2R ω∈()()()26sin f x x x ω=-⋅R a ∈()f x a +ω2π3π4π5π()tan tan tan αβαβ⋅=+αβαβ1111ABCD A B C D +1BB 12,3,4,5BM CD AD AA ====1A C ABCD A 1A MC ()1,R 1f x ax a x =+∈+1a =()()11f x f x +<+()f x []1,2x ∈a19.如图，为海岸线，为线段，为四分之一圆弧，，.（1）求的长度；（2）若，求D 到海岸线的最短距离.（精确到0.001km ）20.已知椭圆为左、右焦点，直线过交椭圆于两点. （1）若直线垂直于轴，求；（2）当时，在轴上方时，求的坐标；（3）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.21.数列有100项，，对任意，存在，，若与前项中某一项相等，则称具有性质.（1）若，求所有可能的值；（2）若不是等差数列，求证：数列中存在某些项具有性质；（3）若中恰有三项具有性质，这三项和为，请用表示.A B C --AB BC 39.2km BD =22,68,58BDC CBD BDA ∠=︒∠=︒∠=︒BC 40km AB =A B C --22121,84x y F F +=、l 2F A B 、l x AB 190F AB ∠=︒A x A B 、1AF y M 1BF y N l 11F AB F MN S S ∆∆=l {}()N *n a n ∈1a a =[]2,100n ∈1n a a d =+[]1,1i n ∈-k a n k a P 11,2a d ==4a {}n a {}n a P {}n a P c a d c 、、12100a a a +++参考答案一.填空题1.（2,3）2. 3. 4.40，的系数为5.-6，线性规划作图，后求出边界点代入求最值，当时，6.-1，7.，法一：法二：由，求二次最值 8. 9.3 10.12.二.选择题13.选D14.选B15.选C16.选D三.解答题17.（1）（2） 18.（1）；（2） 19.（1）；（2）35.752km 15,55i z i i-=+=-222arccos ,cos 555a b a bθ⋅===⋅⋅2x 325240C ⋅=0,2x y ==min 6z =-2311log 1222f f ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭98219328y y x x =+≥≤=()21332,322302y y y y y y y x x ⎛⎫=-=-⋅=-+<< ⎪⎝⎭max 98y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭311627100a =4π103()2,1x ∈--11,26a ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦sin 2216.310km 22BC R BD ππ===⋅︒≈20.（1）；（2）；（3） 21.（1）3、5、7；（2）略；（3）()820,233A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，20x ±-=974656a d c ++大题解析。

2019年高考数学上海卷-答案

2019年上海市秋季高考数学试卷word版含参考答案与解析

上海市2019届秋季高考数学考试卷、选择题：(本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分)1. 已知集合A ,3、B 2, ，则AB _______________________ .12. 已知z C 且满足—5 i ，求z ______________ .z3. 已知向量a (1,0,2) , b (2,1,0)，则a 与b 的夹角为 ______________ .54. 已知二项式 2x 1 ，则展开式中含X 2项的系数为 ______________ .x 05. 已知x 、y 满足 y 0 ，求z 2x 3y 的最小值为 ____________________ .x y 236. 已知函数f x 周期为1，且当0 x 1， f x log 2x ，则f(?) ______________________ .7. 若x 、y R ，且-2y 3，则y 的最大值为 ______________________ .xx8. 已知数列a n 前n 项和为S n,且满足S na n 2，则S 5_______ .229. 过y 4x 的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与y 4x 交于A 、B ，A 在B 上方，M 为抛物线上一点， OM OA 2 OB ，贝y ________ .10. 某三位数密码锁，每位数字在0 9数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是2 211. 已知数列a n满足a na n 1 ( n N ), R n,a n 在双曲线 x y1上，则6 2limP n P n 1n12. 已知f x2 ax 1,a 0，若 a a 0 , f x 与 x 轴交点为 A , f x 为曲x 1线L ，在L 上任意一点P ，总存在一点Q ( P 异于A )使得AP AQ 且AP AQ ，则a 。

________________4题，每题5分，共20分)y c 0的一个方向向量d 可以是((2,1) C. ( 1,2) D.1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得x ，存在常数a R ，使得f x a 为偶函D. —5①对，②错； D. ①错，②对;14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为到的两个圆锥的体积之比为()A. 1B. 2 C .4 D. 815. 已知 R ，函数 f x2x 6sin数, 则可能的值为()A.2B.3C.4 16. 已知 tan tantan().①存在在第一象限，角在第三象限；②存在在第二象限，角在第四象限;二.选择题(本大题共 13.已知直线方程2x A. (2, 1) B.)(1,2)A.①②均正确；B.①②均错误；C.三•解答题（本大题共 5题，共76分）17.（本题满分 14分）如图，在长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为BB ,上一点，已知BM 2，AD 4，CD 3，AAA 5.（1）求直线AQ 与平面ABCD 的夹角；（2）求点A 到平面AMC 的距离.19.（本题满分14分）如图，A B C 为海岸线，AB 为线段，B C 为四分之一圆弧, BD 39.2km ，BDC 22°， CBD 68°， BDA 58o .（1）求Be 长度；（2）若AB 40km ，求D 到海岸线 ABC 的最短距离.（精确到0.001km ）椭圆于A 、B 两点. （1 ）若AB 垂直于x 轴时，（2 ）当 F 1AB 90° 时，（3）若直线AF 1交y 轴于M 直线BF 1交y 轴于N 是否存在直线I 若存在，求出直线I 的方程；若不存在，请说明理由 . 21.（本题满分18分）数列4有100项，a 1 a ，对任意n 2,100 ,存在a n q d,i 1,n 1，若a k 与前n 项中某一项相等，则称 a k 具有性质P . （1 ）若a 1 1，求a 4可能的值；（2）若a n 不为等差数列，求证： a n 中存在满足性质 P ；18.（本题满分14分）已知f x（1 ）当a 1时，求不等式f x 1 f x 1的解集；（2）若x 1,2时，f x 有零点，求a 的范围.ax—(aR).16分） 2已知椭圆—（本题满分 2—1 , F 1, F 2 为左、4右焦点，直线I 过F 2交AB ；A 在x 轴上方时，求A,B 的坐标;，使S A F 1AB S A F 1MN ,20.(3)右a n 中恰有二项具有性质 P ，这二项和为C ，使用a, d, c 表示a ia ? La ioo.上海市2019届秋季高考数学考试卷参考答案与试题解析一、选择题：(本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54 分) 1.已知集合A ,3、B 2, ，则A B _______________________.【思路分析】然后根据交集定义得结果. 【解析】：根据交集概念，得出：(2,3). 【归纳与总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础.12.已知z C 且满足—5 i ，求z ______________ .z【思路分析】解复数方程即可求解结果.5 i 5 1 .i (5 i)(5 i) 26 26【归纳与总结】本题主要考查复数的基本运算，比较基础.. ° r r3.已知向量a (1,0,2) , b (2,1,0)，则a 与b 的夹角为 ______________1【解析】：—【思路分析】根据夹角运算公式cosab 求解【解析】：cos 【归纳与总结】本题主要考查空间向量数量积，比较基础.5 4.已知二项式 2x 1 ，则展开式中含x 2项的系数为【思路分析】根据二项式展开式通项公式求出取得含【解析】：T r 1 C 5r (2x)5 r 1r C 5r 25 r x 5 r 令 5 r 2，则 r 3, x 2 系数为 C ； 22 40.2 x 项的的项，再求系数. 【归纳与总结】本题主要考查项式展开式通项公式的应用， x 0 5.已知x 、y 满足 y 0 ，求z 2x 3y 的最小值为 x y 2 【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.【解析】：线性规划作图：后求出边界点代入求最值，当x 0 , yZ min 6.【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.3 log 2x ，则 £) _ 6.已知函数f x 周期为1,且当0 x 1 , f x 比较基础. J •2时， n3 【思路分析】直接利用函数周期为 1，将转2到已知范围0 x 1内，代入函数解析式即可. 2.，3 2 2 【归纳与总结】本题考查函数图像与性质，是中档题. 7.若x 、y R ，且丄2y 3，则-的最大值为 x x 【解析】：f (-) f (-) log 2- 1 2 【思路分析】利用已知等式转化为一个变量或者转化为函有 y的式子求解x【解析】：法一:1 1 y 3 ；2y 2 x2y 」；3 22 1 法二：由一3x 【归纳与总结】本题考查基本不等式的应用，是中档题.8.已知数列a n 前n 项和为S n ,且满足S n a n 2，则S【思路分析】将和的关系转化为项的递推关系，得到数列为等比数列S n a n 21【解析】：由 n n得：a n一 a n 1 ( n 2)S n 1 a n 12( n 2) n2 n1 V丿2y , - (3 2y) y 2y 2 x 3y ( 0 9 ； 8-)，求二次最值2y xmaxa 。