三角形梯形中位线定理教师版
八年级春季班-12-梯形及中位线-教师版
初二数学春季班（教师版）梯形及中位线内容分析本章节主要讲述了两部分内容，梯形和中位线，从直角梯形和等腰梯形的性质出发，求解相关的边与角的关系，在求解的过程中，部分题目需要添加辅助线．中位线主要包括两个方面，三角形和梯形，在解题的过程中，要做到灵活应用．知识结构模块一：梯形及等腰梯形知识精讲一、梯形及梯形的有关概念（1）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．底：平行的两边叫做底，其中较长的是下底，较短的叫上底．腰：不平行的两边叫做腰．高：梯形两底之间的距离叫做高．（2）特殊梯形直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形．特殊梯形等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．思考讨论：若上面两个条件同时成立是否是梯形?交流：如果同时具备直角梯形和等腰梯形的特征，那么该图形是矩形． 【等腰梯形性质】等腰梯形性质定理1等腰梯形在同一底上的两个内角相等． 等腰梯形性质定理2等腰梯形的两条对角线相等． 另外：等腰梯形是轴对称图形； 【等腰梯形判定】等腰梯形判定定理1在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形． 等腰梯形判定定理2对角线相等的梯形是等腰梯形．【例1】 （1）在周长为30cm 的梯形ABCD 中，上底CD =5cm ，DE ∥BC 交AB 于点E ，则△ADE 的周长为___________cm ；（2）如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ACB =90°，且AC 平分∠BAD ，∠D =120°，CD =3cm ，则梯形的周长是_________cm ． 【难度】★【答案】（1）20 ； （2）15． 【解析】（1）∵DE //BC ，CD //EB ，∴四边形DCBE 是平行四边形，∴EB =CD =5，BC =DE ，∴ C △ADE = AD +DE +AE = AD +BC +AE = AD +BC +AB -EB = AD +BC +AB -CD =AD +BC +AB +CD -2CD = 30-10 = 20； （2）∵∠D =120°，∴∠DAB =60°， ∴∠DAC =∠CAB =30°，∴∠B =60°∴BC =AD =CD =3，AB =2BC =6∴C 梯形ABCD = AD +CD +CB +AB = 3+3+3+6 = 15． 【总结】本题考查利用等腰梯形的性质求梯形的周长．例题解析A BC DEDCB AEDCBA【例2】 直角梯形一腰长为12cm ，这条腰和一个底边所成的角为60°，则另一腰长为 ___________cm ，若上底为3cm ，则梯形的面积为__________． 【难度】★【答案】2cm ．【解析】设直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，∠C =60°，CD =12，作DE ⊥BC 于点E ，得矩形ABED ，则AD =BE =3，∵∠C =60°，∴∠CDE =30°，∴CE =12CD =6，DE =AB=，∴S =12（AD +BC ）×AB=2cm ． 【总结】本题考查梯形性质与面积公式的综合运用．【例3】 （1）等腰梯形的两底之差为12cm ，高为6cm ，则其锐角为________；（2）等腰梯形的对角线为17，底边分别为10和20，则梯形的面积是_________． 【难度】★【答案】（1）45°；（2）120．【解析】（1）设等腰梯形ABCD ，AD =BC ，AB //CD ，AB ＜CD作AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，在矩形ABFE 中，AB =EF∵CD -AB =12，∴CD -EF =DE +CF =12．∵等腰梯形ABCD ，∴DE =CF =6． 又∵AE =BF =6，∴等腰直角△ADE 中，∠D =45°； （2）如图所示，过点A 作AE ⊥BC 于点E ， 由题知，AD =10，BC =20，AC =17． 由等腰梯形性质结合全等性质，易得52BC ADBE -==， ∴CE =15，∴8AE ==，∴11()(1020)812022S AD BC AE =⨯+⨯=⨯+⨯=．【总结】本题考查梯形常见辅助线的添加及应用．【例4】 等腰梯形的高是腰长的一半，则其中的一个底角是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【难度】★★ 【答案】A【解析】设等腰梯形ABCD 中，AB //CD ，作AE ⊥CD∵12AE AD ，∴∠D =30°，故选A ．【总结】本题考查梯形性质与直角三角形性质的综合运用．【例5】 如右图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ，BD 相交于点O ，有下列四个结论：（1）AC =BD ；（2）梯形ABCD 是轴对称图形；（3）∠ADB =∠DAC ； （4）△AOD ≌△ABO ．其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★★ 【答案】C【解析】（1）正确；（2）正确；（3）正确；（4）错误，故正确的有三个，选C ． 【总结】本题考查等腰梯形性质的运用．【例6】 下列图形中，两条对角线一定不相等的是（） A ．正方形 B ．矩形 C ．等腰梯形D ．直角梯形【难度】★★ 【答案】D【解析】正方形，矩形，等腰梯形的对角线都相等． 【总结】本题考查几种特殊四边形对角线性质．【例7】 下列四边形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．梯形B ．等腰梯形C ．平行四边形D ．矩形【难度】★★ 【答案】D【解析】B 中等腰梯形是轴对称图形；C 中平行四边形是中心对称图形； D 中矩形既是轴对称图形又是中心对称．【总结】本题考查几何图形的对称性，要熟知每一个图形的性质．ABCDO【例8】 如右图，已知梯形ABCD 中，BC 是下底，∠ABC =60°，BD 平分∠ABC ，且BD ⊥CD ，若梯形周长是30cm ，求此梯形的面积． 【难度】★★【答案】2cm ．【解析】∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD =∠DBC =12∠ABC =30°． ∵AD //BC ，∴∠ADB =∠DBC =30°，∴AB =AD∵BD ⊥CD ，∴∠DCB =60°，∴∠ABC =∠DCB ， ∴AB =CD ． 设AB = CD = AD = x ，Rt △BCD 中，∵∠DBC =30°，∴BC = 2CD = 2x ， ∴30 = x +x +x +2x ，解得：x =6． 作AE ⊥BC ，Rt △ABE 中，∵∠BAE =30°， ∴BE =3，AE= ∴S =12（AD +BC ）AE=2cm ． 【总结】本题考查梯形面积公式及等腰梯形性质的综合运用．【例9】 如图，直角梯形ABCD 中，∠A =90°，AD ∥BC ，AD =5，∠D =45°，CD 的垂直平分线交AD 于点E ，交BA 的延长线于点F ，求BF 的长． 【难度】★★ 【答案】5 【解析】联结CE∵EG 垂直平分CD ，∴EC =ED ，∠ECD =∠D =45°，∴∠CED =90°， ∵∠A =90°，AD ∥BC ， ∴四边形BAEC 是矩形， ∴BC = AE ．设BC =x =AE ，∴ED =EC =AB =5-x∵∠FEA =∠GED =45°，∴△AEF 是等腰直角三角形， ∴AF =AE =x∴BF =BA +AF =5-x +x =5．【总结】本题考查中垂线的性质，等腰直角三角形，直角梯形的性质的综合运用，注意用整体思想求出线段BF 的长．ABCDOEABCEF G【例10】 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AD =DC ，∠B =60°， （1） 求证：AB ⊥AC ；（2） 若DC =6，求梯形ABCD 的面积． 【难度】★★【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）∵AB =CD ，∴∠B =∠DCB =60°，∠BAD =∠D =120°∵AD =DC ，∴∠DAC =∠DCA =30° ∴∠BAC =∠BAD -∠DAC =120°- 30°=90° ∴BA ⊥AC ；（2）∵AB =AD =DC ，DC =6， ∴CD =AD =AB =6 在直角三角形ABC 中，∵∠ACB =30°， ∴BC =2AB =12 作AE ⊥BC ，则AE=∴S 梯ABCD=1()2AD BC AE +=【总结】本题主要考查含30°的直角三角形性质与梯形面积公式的综合运用．【例11】 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CA 平分∠BCD ，DE ∥AC ，交BC 的延长线于点E ，∠B =2∠E ． 求证：AB =DC ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】∵AC 平分∠BCD∴∠BCA =∠ACD =12∠DCB∵DE //AC ，∴∠E =∠ACB =12∠DCB ∵∠B =2∠E ，∴∠B =∠DCB ∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴AB =CD【总结】本题考查等腰梯形性质与角平分线的综合运用，注意对基本模型的总结运用．ABDCEABDCE【例12】 如图，在等腰三角形ABC 中，点D 、E 分别是两腰AC 、BC 上的点，联结BE 、CD相交于点O ，∠1=∠2． 求证：梯形BDEC 是等腰梯形． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】∵AB AC =， ∴∠DBC =∠ECB在△BCD 与△ECB 中，∠1=∠2，BC =BC ∴△BCD ≌△ECB ，∴BD =CE∵AB =AC ， ∴AD =AE ，∴∠ADE =∠AED =1(180)2A ︒-∠=∠ABC =∠ACB∴DE //BC ， 又∵BD 与CE 不平行∴四边形BDEC 是梯形，且BD =CE ，∴梯形BDEC 是等腰梯形 【总结】本题考查等腰梯形判定定理的运用，注意证明梯形的方法的总结．【例13】 如图，梯形OABC 中，O 为直角坐标系的原点，A 、B 、C 的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）．点P 、Q 同时从原点出发，分别作匀速运动，点P 沿OA 以每秒1个单位向终点A 运动，点Q 沿OC 、CB 以每秒2个单位向终点B 运动．当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．（1）设从出发起运动了x 秒，当x 等于多少时，四边形OPQC 为平行四边形? （2）四边形OPQC 能否成为等腰梯形?说明理由． 【难度】★★【答案】（1）x =5； （2）不能．【解析】（1）由题可知：OC =5，BC =10，OA =14．∵BC //OA∴当Q 点在BC 上，且OP =CQ 时，四边形OPQC 是平行四边形 即2x -5= x ，解得：x = 5；（2）作点C 作CE ⊥OA 于点E ，过点Q 作QF ⊥OP 与点F ∵AO //BC ，∴CE =QF当OE =PF =4时，△OCE ≌△PQF ，此时四边形OPQC 为等腰梯形， 即OP =OE +CQ +PF ，∴x =4+（2x -5）+4，解得：x =-3（舍）， ∴四边形OPQC 不能成为等腰梯形．【总结】本题考查梯形的性质，平行四边形的判定与性质以及等腰梯形的判定与性质的综合运用，注意掌握辅助线的做法，以及数形结合思想与方程思想的综合运用．ABDCEO 12【例14】 如图，等腰梯形花圃ABCD 的底边AD 靠墙，另三边用长为40米的铁栏杆围成，设该花圃的腰AB 的长为x 米．（1）请求出底边BC 的长（用含x 的代数式表示）；（2）若∠BAD =60°，该花圃的面积为S 米²，求S 与x 之间的函数关系式，指出自变量x 的取值范围，并求当S=时x 的值． 【难度】★★★【答案】（1）BC =40-2x ；（2）2S =+（020x <<），x =4．【解析】（1）等腰梯形ABCD 中，AB =CD =x ，∴BC =40-x -x =40-2x ；（2）作BE ⊥AD ，CF ⊥AD在Rt △ABE 中，∵∠ABE =30°， ∴AE =12x ．同理FD =AE =12x ， ∴BE =CF．∴EF =BC =40-2x ， ∴AD =40-x∴()1(4024022BC AD BE S x x +==-+-=（020x <<），当S =x =4或683x =（舍）∴当S=时x 的值为4．【总结】本题考查等腰梯形性质与函数解析式的结合，注意面积公式中各个量的含义．【例15】 已知，一次函数144y x =-+的图像与x 轴，y 轴，分别交于A 、B 两点，梯形AOBC（O 是原点）的边AC =5，（1）求点C 的坐标；（2）如果一个一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图像经过A 、C 两点，求这个一次函数的解析式． 【难度】★★★【答案】（1）C （13，4）或（19，4）或（16，5）； （2）46433y x =-+或46433y x =-．【解析】由题可知：A （16，0），B （0，4）．当OB ∥AC 时，点C 坐标为（16，5），当BC ∥AO 时，点C 坐标为（13，4）或（19，4）；（2）∵一次函数的图像经过A 、C 两点，∴C 点坐标不能为（16，5），当A （16，0），C （13，4）时，利用待定系数法可得解析式为：46433y x =-+；当A （16，0），C （19，4）时，利用待定系数法可得解析式为：46433y x =-． 【总结】本题考查直角梯形性质及一次函数的综合运用，注意分类讨论，综合性较强．EA B DF【例16】 如图，直角梯形ABCD 中，AB //CD ，∠A =90°，AB =6，AD =4，DC =3，动点P 从点A 出发，沿A →D →C →B 方向移动，动点Q 从点A 出发，在AB 边上移动．设点P 移动的路程为x ，线段AQ 的长度为y ，线段PQ 平分梯形ABCD 的周长． （1）求y 与x 的函数关系式，并求出这个函数的定义域； （2）当P 不在BC 边上时，线段PQ 能否平分梯形ABCD 的面积?若能，求出此时x 的值；若不能，请说明理由． 【难度】★★★【答案】（1）9(39)y x x =-+≤≤； （2）x =3时，PQ 平分梯形面积．【解析】（1）过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则CD =AE =3，CE =4， 可得：BC =5，所以梯形ABCD 的周长是18．∵PQ 平分梯形ABCD 的周长， ∴x +y =9， ∵06y ≤≤， ∴39x ≤≤， ∴9(39)y x x =-+≤≤；（2）由题可知，梯形ABCD 的面积是18． 因为P 不在BC 上，所以37x ≤≤． 当3≤x ＜4时，P 在AD 上，此时12APQ S xy ∆=， ∵线段PQ 能平分梯形ABCD 的面积，则有192xy =可得方程组918x y xy +=⎧⎨=⎩，解得：36x y =⎧⎨=⎩或63x y =⎧⎨=⎩（舍）；可得方程组92217x y x y +=⎧⎨+=⎩，方程组无解，∴当x =3时，线段PQ 能平分梯形ABCD 的面积．【总结】本题利用梯形的性质，三角形的面积公式，建立方程和方程组求解，注意针对不同情况讨论，利用数形结合的思想进行计算．QP DCBA解决梯形问题常用的方法① 作高法：使两腰在两个直角三角形中；②移腰法：使两腰在同一个三角形中，梯形两个下底角是互余的，那么一般会用到这种添辅助线的方式，构造直角三角形；③延腰法：构造具有公共角的两个等腰三角形；④等积变形法：联结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形；⑤移对角线法：平移对角线，可以构造特殊的图形，如平行四边形，如果是对角线互相垂直 的等腰梯形，那么在平移的过程中，还可构造等腰直角三角形，结合三线合一，求梯形的高 等．【例17】 如图，已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，13AB AD CD ===，AE BC ⊥，垂足为E ，12AE =，则BC 边的长等于（ ）A ．20B ．21C ．22D ．23 【难度】★★ 【答案】D【解析】∵AE BC ⊥，13AB =，12AE =， ∴BE = 5．∵梯形ABCD 中，//AD BC ，AB CD =，AE BC ⊥， ∴2132523BC AD BE =+=+⨯=， 故选D ． 【总结】本题主要考查等腰梯形性质的综合运用．模块二：辅助线知识精讲例题解析 A BCDE【例18】 已知梯形ABCD 中，//AD BC ，70B ∠=，40C ∠=，2AD =，10BC =．求DC 的长． 【难度】★★ 【答案】CD = 8．【解析】作DE //AB ，则四边形ABED 是平行四边形．∴AD =BE =2，∠DEC =∠B =70°．在△DEC 中，∠C =40°，∴∠EDC =180°-40°-70°=70°，∴CD =CE =BC -BE =10-2=8． 【总结】本题考查辅助线——做一边的平行线，构造平行四边形．【例19】 如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，90A B ∠+∠=，AB b =，CD a =，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，则EF 的长等于（ ）A ．2b a +B ．3b a +C ．2b a -D ．3b a -【难度】★★ 【答案】C【解析】分别过点F 做FG //AD ，FH //BC ，分别交BA 于点G ，H可得平行四边形DFGA 与平行四边形FCBH∴AG =FD =CF =BH =1122CD a =，∴GH =b -a∵∠A +∠B =90°， ∴可得直角△FGH ，E 是GH 中点∴EF =11()22GH b a =-， 故选C ．【总结】本题考查直角三角形中线性质与梯形辅助线的添加．【例20】 已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AC ，∠BAC =90°，BD =BC ，BD 交AC 于O ．求证：CO =CD ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】作AF ⊥BC ，DE ⊥BC ，∵AD //BC ，∴AF =DE ．在Rt △ABC 中，AB =AC ， ∴AF =12BC ．∵BC =BD ， ∴DE =12BD ．∴在Rt △BDE 中，∠DBC =30°，∴∠BCD =∠BDC =75°∴∠DOC =∠DBC +∠ACB =75°，∴∠CDO =∠COD =75°， ∴CD =CO ．【总结】本题考查梯形的常用辅助线—做梯形的高，把梯形问题转化成三角形，矩形的问题，然后根据已知条件和三角形性质解题．ABCDEG ABCDFHOABCDEF【例21】 如图所示，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC BD ⊥，若两底长分别为a b 、，试列出这个梯形的面积S 用a b 、表示的等式．【难度】★★【答案】21()4a b +．【解析】过点D 作DE //AC 交BC 延长线于点E ， 则可得平行四边形ADEC ．∵等腰梯形ABCD 中，AC =BD ， ∴△BDE 是等腰三角形， ∴BE =BC +CE =BC +AD =a +b ．过D 作DF ⊥BC 于点F ，等腰直角△DBE 中，DF =11()22BE a b =+，∴BDE ABCD S S ∆=梯形=211()24BE DF a b ⋅=+．【总结】本题考查梯形辅助线的作法，通过平移对角线将等腰梯形转化为等腰三角形的问题．【例22】 在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠BOC =60°，AC =10cm ，求梯形的高DE 的长． 【难度】★★【答案】．【解析】等腰梯形ABCD 中，∵OB =OC ，∠BOC =60°，可得等边△OCB ， ∴∠DBC =∠ACB =60°∵AC =BD =10，∴在直角△BDE 中，BE =152BD =，∴DE =．【总结】本题考查梯形的相关计算，注意方法的运用．ABCDEO EF【例23】 如图，在梯形ABCD 中，()0//9012AD BC BC AD D BC CD >∠===，，，045ABE ∠=，若AE =10，则CE =__________．【难度】★★★ 【答案】4或6．【解析】过点B 作DA 的垂线交DA 延长线于M ，M 为垂足,延长DM 到G ，使得MG =CE ，联结BG ， 可得四边形BCDM 是正方形．∴BC =BM ，∠C =∠BMG =90°，EC =GM ， ∴△BEC ≌△BMG ， ∴∠MBG =∠CBE ∵∠ABE =45°，∴∠CBE +∠ABM =45°，∴∠GBM +∠ABM =45°， ∴∠ABE =∠ABG =45°，∴△ABE ≌△ABG ，AG =AE =10设CE =x ，则AM =10-x ，∴AD =12-（10-x ）=2+x ，DE =12-x ． 在Rt △ADE 中，由AE 2=AD 2+DE 2，解得：x =4或x =6． 故CE 的长为4或6．【总结】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了全等三角形的判定和对应边相等的性质，注意辅助线的添加方法，将问题转化为解直角三角形的问题．三角形中位线的定义和性质：1. 定义三角形的中位线：联结三角形两边中点的线段，(强调它与三角形的中线的区别)；2. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半. 3. 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半.【要点点拨】经过三角形的一边中点作另一边的平行线，也可以证明得到的平行线段为中位线.同样地，从梯形的一腰中点作底的平行线，可以证明得到的平行线段为中位线.如果把三角形看成是一个上底长度为零的特殊的梯形的话，那么三角形中位线定理就成为梯形中位线定理的特例了．模块三：中位线知识精讲A BCD E MG【例24】 （1）顺次联结四边形各边中点所组成的四边形是；（2）顺次联结平行四边形各边中点所组成的四边形是； （3）顺次联结矩形各边中点所得到的四边形是； （4）顺次联结正方形各边中点所得到的四边形是； （5）顺次联结菱形各边中点所得到的四边形是；（6）顺次联结对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是； （7）顺次联结等腰梯形各边中点所得到的四边形是；（8）顺次联结对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是；（9）顺次联结对角线相等且互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是． 【难度】★【答案】（1）平行四边形；（2）平行四边形；（3）菱形；（4）正方形；（5）矩形； （6）矩形；（7）菱形；（8）菱形；（9）正方形． 【解析】利用三角形中位线性质可证明．【总结】本题考查中位线性质和四边形判定方法，注意对相关规律的总结．【例25】 （1）点D 、E 、F 分别是ABC 三边的中点，DEF 的周长为10cm ，则ABC 的周长为；（2）ABC 三条中位线的长为3cm 、4cm 、5cm ，则ABC 的面积为． 【难度】★【答案】（1）20cm ；（2）242cm ．【解析】（1）2()20ABC C AB BC AC DE EF DF ∆=++=++=cm ．（2）∵三条中位线的长为3cm 、4cm 、5cm ， 且2223+45=， ∴可知△ABC 是直角三角形，∴168242S =⨯⨯=2cm ．【总结】本题考查三角形中位线的性质的综合运用．例题解析【例26】 如图，ABC 中，B ∠，C ∠的平分线BE ，CF 相交于点O ，AG BE ⊥于点G ，AH CF ⊥于点H ．（1）求证：//GH BC ；（2）若9AB =厘米，14AC =厘米，18BC =厘米， 求GH 的长． 【难度】★★【答案】（1）见解析；（2）2.5cm ．【解析】（1）分别延长AH ，AG 交BC 于M ，N 两点∵CH 是角平分线，CH ⊥AM∴可得△ACM 是等腰三角形，同理△ABN 也是等腰三角形． ∴H 、G 分别是AM 、AN 边上的中点， ∴GH //BC ；（2）由（1）得CA =CM =14cm ，BA =BN =9cm∴MN =CM +BN -BC =14+9-18=5， ∴GH =1522MN =， 即GH =2.5cm ．【总结】本题考查了等腰三角形的性质，与三角形的中位线定理的综合运用，注意通过添加辅助线得到等腰三角形是本题的关键．【例27】 如图，在ABC 中，点D 是边BC 的中点，点E 在ABC 内，AE 平分BAC ∠，CE AE ⊥，点F 在边AB 上，EF //BC ．（1） 求证：四边形BDEF 是平行四边形；（2） 线段BF 、AB 、AC 之间有怎么样的数量关系?并证明． 【难度】★★【答案】（1）见解析；（2）2BF +AC =AB ． 【解析】（1）延长CE 交AB 于点G∵AE ⊥CG ，AE 平分∠BAC∴△AEG 与△ACE 中，∠GAE =∠CAE ，AE =AE ，∠AEG =∠AEC∴△AGE ≌△ACE ∴AG =AC ，即△AGC 是等腰三角形，∴E 是GC 的中点． ∵D 是CB 的中点，∴DE //BA ， ∵EF //BD ， ∴四边形BDEF 是平行四边形； （2）∵ED 是△BCG 的中位线， ∴ED =12BG ．又∵平行四边形BDEF ，∴ED =BF ，∴BF =12BG ，即BG =2BF ．∵AG =AC ， ∴2BF +AC =BG +AG =BA ．【总结】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、中位线的性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，用中位线的性质解题．HGOF ECBA MNABC D EFG【例28】 如图所示，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC BD ⊥交于点O ，MN 是梯形ABCD 的中位线，30DBC ∠=，求证：AC =MN ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】∵AD //BC ， ∴∠ADO =∠DBC =30°．∴在Rt △AOD 和Rt △BOC 中，OA =12AD ，OC =12BC ，∴AC =OA +OC =1()2AD BC +．∵MN 是梯形ABCD 的中位线，∴MN =1()2AD BC +， ∴AC =MN ．【总结】本题考查梯形中位线的性质和直角三角形中性质的综合运用．【例29】 如图所示，在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AE 平分BAC ∠，交BC 于点E ，交OB 于点F ，求证：CE =2OF ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】取AE 的中点G ，联结OG∵正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ， ∴OG //CE ，CE =2OG∴∠AOG =∠ACB =45°，∠GOB =∠OBC =45°． ∵AE 平分∠BAC ， ∴∠CAE =22.5°，∴∠EGO =∠EAC +∠AOG =22.5°+45°=67.5°， ∴△OFG 中，∠OFG =180°-67.5°-45°=67.5°， ∴∠OFG =∠EGO ， ∴OG =OF ， ∴CE =2OF ．【总结】本题考查三角形中位线的性质的综合运用，注意利用角度得到等腰三角形．ABCD MN OABCDEF OG【例30】 如图所示，在四边形ABCD 中，CD AB >，E 、F 分别是AC 、BD 的中点．求证：1()2EF CD AB ≥-． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】取AD 中点G ，联结EG ，FG∵E 、F 分别是AC 、BD 的中点，∴12EG CD =，12FG AB =．∵CD ＞AB ，∴EG ＞FG ．在△EFG 中，EF ＞EG -FG =1()2CD AB -，当AB //CD 时，F 、E 、G 三点共线，1()2EF CD AB =-，∴1()2EF CD AB ≥-．【总结】本题考查三角形中位线定理和三角形三边关系的综合运用．【例31】 如图1所示，已知BD 、CE 分别是ABC ∆的外角平分线，过点A 作AF BD ⊥，AG ⊥CE ，垂足分别为F 、G ，连接FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 相交，易证1()2FG AB BC AC =++．（1）若BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线（如图2）；（2）BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线（如图3），则在图2、图3两种情况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明． 【难度】★★★【答案】（1）1()2FG AB AC BC =+-（2）1()2FG BC AC AB =+-．【解析】（1）图2中，分别延长AG 、AF 交BC 于H 、K ，易证△BAF 与△BKF 全等．∴AF =KF ，AB =KB ，同理可证AG =HG ，AC =HC ，∴FG =12HK又∵HK =BK -BH =AB +AC -BC ，∴1()2FG AB AC BC =+-；A BCDEFGC（2）图3中，分别延长AG 、AF 交BC 或延长线于H 、K易证△BAF 与△BKF 全等∴AF =KF ，AB =KB ，同理可证AG =HG ，AC =HC∴FG =12HK又∵HK =BH -BK =BC +AC -AB∴1()2FG BC AC AB =+-．【总结】本题考查直角三角形性质，等腰三角形性质，角平分线性质以及全等三角形的判定等知识点的综合运用．【例32】 如图，在四边形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，AN ，BN ，DM ，CM 划分四边形所成的7个区域的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ，5S ，6S ，7S ，那么恒成立的关系式是( )．A ．2S +6S =4SB ．1S +7S =4SC ．2S +3S =4SD ．1S +6S =4S【难度】★★★ 【答案】B【解析】过A 作AE ⊥DC 于点E ，过M 作MH ⊥DC 于H ， 过点B 作BQ ⊥CD 于Q ， 则AE //MH //BQ ．∵M 是AB 中点，∴H 是EQ 中点，即MH 是梯形AEQB 的中位线，∴2MH =AE +BQ∵34612MDC S S S S DC MH ∆++==⨯⨯，6712BNC S S S NC BQ ∆+==⨯⨯，1312ADN S S S DN AE ∆+==⨯⨯，又DN =CN∴76131122S S S S NC BQ ND AE +++=⨯⨯+⨯⨯1()2DN AE BQ =⨯+11222DN MH DN MH CD MH =⨯=⨯=⨯∴7613346S S S S S S S +++=++， ∴174S S S +=．【总结】本题考查面积与等积变换的应用，主要考查学生的计算和推理能力．【例33】 如图，在四边形ABCD 中，AD =BC ，E 、F 分别是CD 、AB 的中点，延长AD 、BC ，分别交FE 的延长线于点H 、G ；求证：AHF BGF ∠=∠． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】联结AC ，取AC 中点M ，联结EM 、FM∵E 是CD 的中点，M 是AC 中点∴EM =12AD ，EM //AD∵M 是AC 的中点，F 是AB 的中点∴MF //BC ，MF =12BC∵AD =BC ，∴EM =MF ， ∴∠MEF =∠MFE ∵EM //AH ，∴∠MEF =∠AHF ， ∵FM //BG ，∴∠MFE =∠BGF ． ∴∠AHF =∠BGF【总结】解题此题的关键是掌握分析题中的各种信息条件，此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行第三边且等于第三边的一半．【习题1】 有两个角相等的梯形是（）A ．等腰梯形B ．直角梯形C ．一般梯形D ．直角梯形或等腰梯形 【难度】★ 【答案】D【解析】如果两个相等的角是同一底上，则梯形是等腰梯形， 如果两个相等的角是同旁内角，则梯形是直角梯形． 【总结】本题考查等腰梯形判定方法和梯形性质．随堂检测M【习题2】下列命题中，真命题是（）A．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是矩形B．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形C．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是等腰梯形D．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是直角梯形【难度】★【答案】B【解析】等腰梯形两条对角线相等，可以用三角形中位线性质给予证明．【总结】本题考查中位线性质和菱形判定方法．【习题3】已知梯形的两个对角分别是78°和120°，则另两个角分别是( ) A．78°或120°B．102°或60°C．120°或78°D．60°或120°【难度】★【答案】B【解析】另外两个内角分别是180°-78°=102°，180°-120°=60°．【总结】本题考查平行线的性质的运用．【习题4】下列命题，错误命题的个数是( )①若一个梯形是轴对称图形，则此梯形一定是等腰梯形；②等腰梯形的两腰的延长线与经过两底中点的直线必交于一点；③一组对边相等而另一组对边不相等的四边形是梯形；④有两个内角是直角的四边形是直角梯形.A．1个B．2个C．3个D．4个【难度】★★【答案】B【解析】③、④错误．【总结】本题考查等腰梯形性质，根据四边形以及梯形的性质举例得出是本题解题关键．【习题5】 如图，在ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，且AD AB ⊥，4AD =，6AB =．求AC 的长．【难度】★★【答案】AC =10． 【解析】∵D 、E 分别是中点，∴DE 是△ABC 的中位线∴DE //AB ，12DE AB ==3，∠ADE =90°， ∴AE =5， ∴AC =10．【总结】本题考查中位线性质的运用．【习题6】 等腰梯形两底之差等于一腰长，求它的底角的度数． 【难度】★★【答案】60°、60°或120°、120°．【解析】设四边形ABCD 是等腰梯形，其中AB //CD ，AD =BC ，DC -AB =AD ， 过点A 作AE //BC 交CD 于点E ，可得平行四边形ABCE ．∴AB =CE ，AE =BC ， ∴AD =BC =AE =CD -AB =DE ， ∴△ADE 是等边三角形， ∴∠D =60°， ∴梯形的底角度数为60°、60°或120°、120°．【总结】本题考查等腰梯形性质与等边三角形性质的综合运用．【习题7】 如图，四边形ABCD 中，AD 不平行BC ，现给出三个条件：①CAB DBA ∠=∠，②AC BD =，③AD BC =．请从上述三个条件中选择两个条件，使得本题添上这两个条件后能够推出ABCD 是等腰梯形，并加以证明（只需证明一种情况）． 【难度】★★ 【答案】①②或②③．【解析】由①②或②③均可证明△ADB ≌△BCA ．过点D 作DE //BC 交AB 于点E∴∠DAB =∠CBA =∠DEA ，∴AD =DE =BC又DE //BC ，∴四边形DEBC 是平行四边形，∴CD //AB ∵AD 不平行BC ，∴四边形ABCD 是梯形 ∵AD =BC ，∴梯形ABCD 是等腰梯形【总结】本题主要考查等腰梯形的判定方法，涉及等腰梯形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰梯形的判定方法是解题关键．AB CD EBD CAE【习题8】 如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BD 、BC 、AC 上的中点，5AB =，7CD =．求四边形EFGH 的周长． 【难度】★★ 【答案】12【解析】∵E 、F 、G 、H 分别是AD 、BD 、BC 、AC 上的中点， AB =5，CD =7， ∴EF //AB ，GH //AB ，EH //CD ，FG //CD∴EF =2.5，EH =3.5，∴四边形EFGH 是平行四边形 ∴四边形EFGH 的周长=2（EF +EH ）=12．【总结】本题考查了三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质的综合运用．【习题9】 在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =4，AD =4，CD=B =60°，∠C =30°，E 为AB 上一个动点(与A 、B 不重合)，EF //CD ，交BC 于点F ，联结DE 、CE ． （1）求梯形ABCD 的面积；（2）设BE =x ，四边形CDEF 的面积为y ，求出y 与x 的函数解析式；（3）是否存在这样的点E ，使四边形CDEF 的面积为梯形ABCD 面积的三分之二． 【难度】★★★【答案】（1）；（2）y =++；（3）BE． 【解析】（1）分别过点A 、D 作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，可得：BG =2，GH =4，CH =6，AG =DH=CD=∴1()2ABCD S AD BC AG =+=梯形（2）∵EF //CD ， ∴∠EFB =∠DCB =30°，∵∠B =60°，∴∠BEF =90°． ∴BF =2x ，EF，BEFS ∆= △ADE 中，AE =4-x ，AD =4，作DK ⊥BA 交BA 延长线于K ， ∵∠BAD =120°，∴DK=∴ADE S ∆=， ∴y =ABCD ADEBEF S S S ∆∆--==+（3）由题意，得：23+=⨯解得：x（舍负）， ∴BE． 【总结】本题考查梯形的综合解题，考查知识点较多运用数形结合，分类讨论是解题关键．HFE DCBA GA BCDE F H【习题10】 已知：如图，在直角梯形COAB 中，OC AB ∥，以O 为原点建立平面直角坐标系，A B C ，，三点的坐标分别为(80)(810)(04)A B C ，，，，，，点D 为线段BC 的中点，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD 的路线移动，移动的时间为t 秒．（1）求直线BC 的解析式；（2）若动点P 在线段OA 上移动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的27?（3）动点P 从点O 出发，沿折线OABD 的路线移动过程中，设OPD △的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围． 【难度】★★★ 【答案】（1）344y x =+； （2）167t =； （3）7(08)2244(818)8184(1823)55tt S t t t t ⎧<≤⎪⎪=-+<≤⎨⎪⎪-+<<⎩．【解析】（1）设BC 解析式为y =kx +b ，代入B （8，10），C （0，4），解得直线BC 的解析式为：344y x =+；（2）∵D 是线段BC 中点，∴D （4，7）．∵27OPDC COAB S S =四边形梯形， ∴1121744(104)82272t ⨯+⨯⨯=+⨯⨯，解得：167t =；（3）当P 点在OA 上时，S =17722tt ⨯⨯=(08)t <≤；当P 在AB 上时，OPA BPD OCD COAB S S S S S ∆∆∆=---梯形=1111(410)8448(8)(18)4244(818)2222t t t t +⨯-⨯⨯-⨯⨯---⨯=-+<≤； 当P 在BD 上时，S =OCD OPA ABP COAB S S S S ∆∆∆---梯形=818455t -+（18＜t ＜23）； 当P 在OD 上时，S =0，（舍） ∴7(08)2244(818)8184(1823)55tt S t t t t ⎧<≤⎪⎪=-+<≤⎨⎪⎪-+<<⎩．【总结】本题综合性较强，考查中位线性质与一次函数的综合运用，注意数形结合思想与分类讨论思想的运用．【作业1】能识别四边形ABCD是等腰梯形的条件是（）A．AD//BC，AB=CD B．∠A：∠B：∠C：∠D=3：2：3:2C．AD//BC，AD≠BC，AB=CDD．∠A+∠B=180°，AD=BC【难度】★【答案】C【解析】只有一组对边平行的四边形是梯形，两腰相等的梯形是等腰梯形．【总结】本题考查等腰梯形判定方法．【作业2】（1）在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，下底BC为8cm，上底AD为6cm，∠ADB=60°，那么AC的长为__________；（2）已知梯形的中位线长为9厘米，上底长是下底长的一半，那么下底的长是__________厘米．【难度】★【答案】（1）cm；（2）12．【解析】（1）在Rt△ABD中，∠ABD=30°，∴BA=在Rt△ABC中，AC（2）设上底为x，下底为y，则有9212x yx y+=⨯⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：y=12，∴下底为12厘米．【总结】本题考查梯形性质与中位线定理的综合运用．【作业3】若梯形中位线被它的两条对角线分成三等份，则梯形的两底之比为（）A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．1:5【难度】★【答案】A【解析】设梯形ABCD中，AB//CD，AD和BC的中点分别是E、F，AC，BD分别交EF于点H，G，易证AB=2EG，CD=2GF．∵EG=GH=HF，∴GF=2EG，∴CD=2AB．【总结】本题考查梯形中位线的性质的运用．课后作业【作业4】 如图所示，直角梯形ABCD 的中位线EF 的长为a ，垂直于底的腰AB 的长为b ，则图中阴影部分的面积等于( )A ．abB ．12abC ．14ab D ．2ab【难度】★★ 【答案】B【解析】∵EF 是梯形中位线，∴E 是AB 中点，∴AE =BE =12b∴1111122222DEC DEF EFC S S S S a b a b ab ∆∆∆==+=⋅+⋅=阴．【总结】本题考查梯形中位线定义，性质及面积公式的综合运用．【作业5A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【难度】★★ 【答案】B【解析】①③正确，②④错误，故选B ． 【总结】本题考查梯形中位线的运用．∵BC =BA ，∴∠BCA =∠BAC ，∴∠DCA =∠BCA 可证△ADC ≌△AEC ，∴CD =CE =4，BE =16， ∴AE =AD =12；（2）S =1()1442AD CD AB +=．【总结】本题考查全等三角形判定方法，勾股定理及梯形面积公式的综合运用．A BE A BCDEF。
等腰梯形 三角形中位线 梯形中位线 华东师大版
等腰梯形 三角形中位线 梯形中位线一. 本周教学内容：等腰梯形、三角形中位线、梯形中位线1. 等腰梯形：性质：等腰梯形的同一底边上的两个内角相等。
等腰梯形的两条对角线相等。
判定：同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形，两条对角线相等的梯形是等腰梯形。
2. 三角形的中位线定义：我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
3. 梯形的中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
定理：梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半。
【典型例题】例1. 已知等腰梯形ABCD 中，AB=CD ，∠===B AD cm BC cm 601549°，，，求它的腰长。
A D分析：要求腰长，也就是求AB 的长，通过作辅助线将已知条件集中到一个三角形中，过A 作AE//CD 交BC 于E ，得到一个平行四边形AECD 和△ABE ，易知△ABE 是等边三角形，由BE=BC －AD ，这样问题就解决了。
解：过A 作AE//DC 交BC 于E∵四边形ABCD 是等腰梯形 ∴∠=∠=B C 60°又∵AD//BC ，AE//DC ∴四边形AECD 是平行四边形。
∴====∴=AD EC cm AE DCAB CD AB AE 15，，∴△ABE 是等边三角形。
又 BC cm =49∴=-=∴==BE cm AB BE cm49153434() A D例2. 已知：如图所示，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC=BC+AD ，求∠DBC 的度数。
分析：由等腰梯形的性质得AC=BD ，又题设与对角线有关，考虑平移对角线BD 到AE 的位置，则∠=∠DBC E ，需求∠E ，猜想△ACE 是等边三角形。
解：过A 作AE//BD 交CB 的延长线于E ，则四边形AEBD 是平行四边形。
∴==∴=+=+=AE DB AD BE CE BC BE BC AD AC， ∵梯形ABCD 是等腰梯形。
初中数学-三角形中的中线的用法教师版
三角形中的中线的用法模块一：三角形中位线 1．定义：连接三角形两边中点的线段． 2．定理：三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．若DE 为ABC △的中位线，则DE//BC ，且12DE BC =．3．三角形中位线里隐含重要性质： ①三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形．EF 、GE 、GF 是ABC △的三条中位线，则有：①AEG EBF CFG FGE △△△△≌≌≌②12EFG ABC C C =△△，14EFG ABC S S =△△②三角形的三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形的周长的一半，其面积为原三角形面积的四分之一． 模块二：直角三角形斜边中线 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．若AD 为Rt ABC △斜边上的中线，则12AD BC =．相关结论：（1）AD BD DC ==； （2）ABD △，ACD △为等腰三角形 （3）2ADB C ∠=∠，2ADC B ∠=∠拓展：在由两个直角三角形组成的图中，M 为中点．相关结论：（1）AM MD =；（2）2AMD ABD ∠=∠． 模块三：中点辅助线综合E DCB AMMABCDA BCDDCBAFA B CE G（1）如图1-1，在ABC△中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，若ABC△的周长为20cm，则DEF△的周长为__________．（2）如图1-2，在Rt ABC△中，30A∠=︒，1BC=，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为__________．图1-1 图1-2（3）如图1-3，ABC△中，6AB AC==，8BC=，AE平分BAC∠交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则BDE△的周长是__________．（4）如图1-4，在四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点．求证：1()2EF AC BD<+．图1-3 图1-4【解析】（1）10cm．（2）1．（3）10．（4）证明：取AD的中点M，连结EM和FM．∵E、F是AB、CD中点，∴12EM BD=，12FM AC=．又∵EF EM FM<+，∴1()2EF AC BD<+．【教师备课提示】考察中位线产生的线段长度关系．第（4）题利用中位线构造出长为12AC，12BD的线段并将线段集中；也可以求证1()2EF AD BC<+，方法是取AC 或BD的中点．FEDCBA模块一三角形中位线例题1MAB CDEF（1）如图2-1，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD BC =，18PEF ∠=︒，则PFE ∠的度数是__________度．（2）如图2-2，已知四边形ABCD 的对角线AC BD =，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连结EF 分别交AC 、BD 于M 、N ，求证：AMN BNM =∠∠．（3）已知，如图2-3四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，AD 、EF 、BC 的延长线分别交于M 、N 两点．求证：AME BNE ∠=∠．图2-1 图2-2 图2-3【解析】（1）18．（2）设AB 的中点为G ，连结GE 、GF ，容易证得：GE //BD ，12EG BD =，GF //AC ，12EF AC =，从而GF GE =，GEF GFE ∠=∠， ∴AMN BNM =∠∠．（构造中位线来利用对角线相等的条件，也可以取AC 或BD 的中点．） （3）连接AC ，取AC 中点H ，连接FH 、EH ．∵DF CF =，AH CH =，∴FH//AD ，12FH AD =，同理，12EH BC =，EH//BC ， ∵AD BC =，∴EH FH =，∴HFE HEF ∠=∠， ∵FH//AM ，EH//BC ， ∴AM E HFE ∠=∠，HEF BNE ∠=∠， ∴AME BNE ∠=∠．【教师备课提示】考察中位线的性质，学会通过构造中位线去利用已知的条件．CM FEND B AA CDM FE NB例题2CM FE G NDB AA H C D MF E NB如图，在ABC △中，D 、G 分别为AB 、AC 上的点，且BD CG =，M 、N 分别是BG 、CD 的中点，过MN 的直线交AB 于点P ，交AC 于点Q ，求证：AP AQ =．【解析】连DG ，找DG 的中点E ，连ME 、NE ，∵M 、N 分别是BG 与CD 的中点．∴ME//AB ，12ME BD =，NE//AC ，12NE GC =．∴APQ EMN ∠=∠，AQP ENM ∠=∠．∵BD GC =，∴EM EN =， ∴EMN ENM ∠=∠，∴APQ AQP ∠=∠，∴AP AQ =． 【教师备课提示】还可以取BC 中点．总结：已知四边形对角线中点，则取一边中点，可出两条中位线，学会构造出中位线去利用题目中给出的等量关系．已知：在ABC △中，90ABC ∠=︒，点E 在直线AB 上，ED 与直线AC 垂直，垂足为D ，且点M 为EC 中点，连接BM 、DM ．（1）如图4-1，若点E 在线段AB 上，探究线段BM 与DM 及BM D ∠与BCD ∠所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；（2）如图4-2，若点E 在BA 延长线上，你（1）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并证明．图4-1 图4-2【解析】（1）BM DM =，2BMD BCD ∠=∠；（2）结论不变，由题意知MB MC MD ==，∴2BME BCM ∠=∠，2DME DCM ∠=∠，两式相减，得2BMD BCD ∠=∠．NM PQG D C BAEA BC DG Q PM N 图2图1BEM CDAMEDCBA例题3模块二直角三角形斜边中线例题4如图，90MON∠=︒，ABC△中，90BAC∠=︒，2AB=，1AC=，AB在MON∠上滑动，求OC的最大值．【解析】取AB的中点D，连结OD、DC，则1OD=，2DC=，可得12OC≤+，即OC的最大值为12+（O、D、C三点共线时）．在Rt ABC△中，90BAC∠=︒，AD BC⊥，E、F、G分别是AB、AC、BC的中点，M 是DG的中点，求证：ME MF=．【解析】连结DF、EG，可证DF GE=，MDF MGE∠=∠，MD MG=，则MDF MGE△≌△，得证．例题5模块三中点辅助线综合例题6如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．【解析】方法一：如图1，取AC 中点M ，取AD 中点N ，连BM ，MF ，NF ，EN ． ∵90ABC AED ∠=∠=︒，1122BM AC FN EN AD MF ====，，∴BMF FNE △≌△，∴BF EF =，方法二：如图2，延长CB 到M ，使得MB BC =， 延长DE 到N ，使得NE DE =， 连接AM ，AN ，MD ，CN ． 由90ABC AED ∠=∠=°，AMC △，ADN △是等腰三角形，F 是CD 中点，则BF //MD ，12BF MD =，EF//CN ，12EF CN =，MAD CAN △≌△，MD CN =，∴BF EF =，此题的两种解法中综合了中点的三个基本用法：等腰三角形三线合一；直角三角形斜边中线；中位线，即以下三个模型：图2图1MNN MACBDEF F EDB CA例题7FEDB C A（1）如图1-1，在ABC△中，点D是BC中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，延长BE 交AC于F．若AB=10厘米，AC=16厘米，则DE的长度为__________．（2）如图1-2，已知，在四边形ABCD中，AD BC=，P是对角线BD的中点，N是DC 的中点，M是AB的中点，30DBC∠=︒，70ADB∠=︒．求MNP∠度数．图1-1 图1-2【解析】（1）3厘米；（2）∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，M、N分别是AB、CD的中点，∴NP，PM分别是CDB△与DAB△的中位线，∴12PN BC=，12PM AD=，PN//BC，PM//AD，∴30NPD DBC∠=∠=︒，70MPB ADB∠=∠=︒，∴110DPM∠=︒；∴140NPM∠=︒，∵AD BC=；∴PN PM=，故NMP△是等腰三角形．∵140NPM∠=︒，∴20PMN PNM∠=∠=︒．复习巩固模块一三角形中位线演练1（1）如图2-1,ABC △中，过点A 分别作ABC ∠、ACB ∠的外角平分线．．．．．的垂线．．AD 、AE ，垂足为D 、E ．求证：①//ED BC ；②1()2ED AB AC BC =++．（2）（四川省中考题）如图2-2,已知：AD 是ABC △的中线，AE 是ABD △的中线，且AB BD =，求证：2AC AE =．图2-1 图2-2【解析】（1）①分别延长AD 、AE 与直线BC 交于点F 、G ，∵BD ⊥AD ，且BD 为ABF ∠的角平分线∴AD FD =，且AB BF =（等腰三角形的三线合一） 同理可得AE GE =，AC GC =， ∴DE 为AFG △的中位线，∴ED //BC ，且12DE FG =．②由（1）知12DE FG =，且AB BF =，AC GC =，∴111()()222ED FG=FB BC CG AB BC AC =++=++．（2）取AC 的中点F ，连结DF ，易得DF//AB ，12DF AB =，ADF BAD ∠=∠，而1122DE BD AB ==，故DF DE =．再证ADE ADF △≌△，∴AE AF =，∴2AC AE =．C ED BA演练2CF E D B A（1）如图3-1，四边形ABCD 中，90ADC ∠=︒，取AC 中点O ，BC 中点E ，连接OD 、OE 、DE ，20CAD CAB ∠=∠=︒，则DOE ∠=__________．（2）如图3-2所示，ABC △中，AH BC ⊥于H ，点E 、D 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，10cm HF =，则ED 的长度是__________．图3-1 图3-2【解析】（1）60︒．（2）10cm ．（1）如图4-1，在ABC △中，2B C ∠=∠，M 是BC 中点，AD BC ⊥于D ．求证：12DM AB =．（2）如图4-2，已知：ABD △和ACE △都是直角三角形，且90ABD ACE ∠=∠=︒，BAD CAE ∠=∠．连接DE ，设M 为DE 的中点．求证：MB MC =．【解析】（1）法一：取AB 中点G ，连结GD 、GM ，则12GD AB =，GM AC ∥．则GMD C ∠=∠． 而GD GB B GDB GMD DGM =⇒∠=∠=∠+∠ C DGM =∠+∠，由于2B C ∠=∠，所以DGM C GMD ∠=∠=∠．∴12MD GD AB ==． OEDC B AMEDCBA模块二直角三角形斜边中线演练3模块三中点辅助线综合演练4CAB GNDMC AB D M法二：同理可以取AC的中点N，连接DN，MN．（2）如图，分别取AD、AE的中点P、Q，连接PB、PM、QC、QM，由P、M、Q分别是AD、DE、AE的中点，∴PM//AE，12PM AE=，QM//AD，12QM AD=，∵ABD△、ACE△是直角三角形，∴12PB AD=，12CQ AE=，∴PB QM=，PM QC=，∵BAD CAE∠=∠，∴ADB AEC∠=∠，∴DPB CQE∠=∠，由AD//QM，AE//PM，∴APM AQM∠=∠，∴BPM MQC∠=∠，∴BPM MQC△≌△，∴MB MC=．QPAB CDE M图3。
八年级数学下册22.6三角形梯形的中位线3教学设计沪教版五四制
八年级数学下册22.6三角形梯形的中位线3教学设计沪教版五四制一. 教材分析《三角形梯形的中位线》是沪教版八年级数学下册第22章第6节的内容，本节课主要让学生掌握三角形和梯形的中位线定理，并能够运用该定理解决相关问题。
教材通过引入中位线的概念，引导学生探究中位线的性质，进而推导出中位线的长度等于它所对的边的长度，以及中位线平行于第三边。
这一内容是学生进一步学习几何的基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了平行线、三角形和梯形的基本知识，具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力。
但学生在学习过程中，可能对中位线的概念和性质理解不深，对中位线定理的应用还不够熟练。
因此，在教学过程中，教师需要通过丰富的教学手段，帮助学生理解和掌握中位线定理，提高学生的解题能力。
三. 教学目标1.让学生理解三角形和梯形的中位线定理，掌握中位线的性质。
2.培养学生运用中位线定理解决实际问题的能力。
3.提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.重难点：三角形和梯形的中位线定理的推导和应用。
2.难点：学生对中位线定理的理解和运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究中位线的性质。
2.利用几何画板和实物模型，帮助学生直观地理解中位线定理。
3.通过例题和练习题，让学生巩固中位线定理的应用。
4.分组讨论和合作交流，提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备几何画板和实物模型，用于展示中位线的性质。
2.准备相关的PPT和教学课件，用于辅助教学。
3.准备一系列的例题和练习题，用于巩固学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式复习三角形和梯形的基本知识，引导学生思考中位线的作用和意义。
2.呈现（10分钟）利用几何画板和实物模型，呈现三角形和梯形的中位线，引导学生观察和思考中位线的性质。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组尝试找出三角形和梯形的中位线，并测量中位线的长度，验证中位线定理。
三角形、梯形中位线定理教师版
三角形、梯形中位线定理应用练习课、复习题组1知识要点(1)如图1，三角形中位线性质定理的条件是结论是三角形中位线判定定理的条件是结论是(2)如图2，梯形中位线性质定理的条件是_结论是_ 梯形中位线判定定理的条件是_结论是_2.基本方法三角形、梯形中位线定理不仅反映了线段的相等关系，也反映了线段间的倍半关系。
此外，证明线段相等或倍半关系还有其他方法，你能指出一些其他的常用方法吗？(1)全等三角形对应边相等；(2)等角对等边，等腰三角形“三线合一”性质；(3)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；⑷ 角平分线上的点到角的两边距离相等；(5)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(6)直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半;(7)平行四边形(包括矩形、菱形、正方形)的性质；(8)等腰梯形的两腰相等，两条对角线相等。
二、基本题组1.__________________________________________________ 顺次连结四边形各边中点所得的四边形是_________________________________________ ；2.顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是 _____________________3._________________________________________________ 顺次连结矩形各边中点所得的四边形是___________________________________________ ；4._________________________________________________ 顺次连结菱形各边中点所得的四边形是___________________________________________ ；5.__________________________________________________ 顺次连结正方形各边中点所得的四边形是_________________________________________ ；6._________________________________________________ 顺次连结梯形各边中点所得的四边形是___________________________________________ 。
三角形及梯形中位线定理
要点、考点聚焦
二、三角形、梯形中位线
1.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段. 2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边， 并且等于它的一半. 3.梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段. 4.梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于 两底和的一半. 5.梯形面积公式：S=1/2(a+b)h=m·h(a、b为上、下底， m为中位线,h为高)
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4.如图所示，已知矩形 ABCD，R、P分别是 DC、BC上 的点， E、F分别是 AP、RP的中点，当P在 BC上从 B向C 移 动 而 R 不 动 时 ， 那 么 下 列 结 论 成 立 的 是 ( ) C A.线段EF的长逐渐增大 B.线段EF的长逐渐减少 C.线段EF的长不变 D.线段EF的长不能确定
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【例4】 AB、CD是两条线段，M是AB中点，S1，S2， S3分别表示△DMC、△DAC、△DBC的面积. (1)当AB∥CD时，如图5-5-7(1)所示.求证 S1=1/2 (S2+S3).
证明：(1)∵AB∥DC ∴S△ADC=S△MDC=S△BDC， 即S1=S2=S3 1 ∴S1= (S2+S3) 2 图5-5-7(1)
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5.直角梯形的中位线为 a，一腰长为b，这个腰与底边所 成的角是30°，则它的面积是( B ) A.ab B. 1 ab
1 C. 4 ab 2 D. 1 ab 3
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苏教版《义务教育课程标准实验教科书 数学》八年级(上册)3.6 三角形、梯形的中位线(一)
3.6 三角形、梯形的中位线（一）1 教材分析1.1 教材：苏教版《义务教育课程标准实验教科书数学》八年级（上册）第三章第六节（一）。
1.2 本节教材的地位和作用三角形的中位线是初中几何的一个非常重要的知识点，它具有计算和证明等多种灵活的运用。
它是继四边形性质学习之后的又一个非常重要的几何知识。
学生在学“三角形中位线”前，已经学习了旋转图形、中心对称，并且已经利用中心对称图形性质研究了平行四边形的性质，并在此基础上开展了对矩形、菱形、正方形的研究。
“三角形中位线”作为几何计算和推理论证的重要一环，是初中几何的的一个基础环节，它直接关系到学生对几何计算、几何论证等内容的进一步学习。
初中阶段要培养学生的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力以及让学生根据一些现实模型，把它转化为数学问题的能力。
其中逻辑思维能力的培养主要是在八年级阶段完成的。
学生在探索并掌握三角形中位线的概念及性质这一过程中，发展了他们的观察力和抽象思维能力。
学生在探索过程中，需要通过中心对称变换，将三角形变成之前刚学习过的平行四边形，将三角形中位线性质转换为平行四边形性质的研究。
着要求学生从转换的角度来认识对象，转换也是初中几何中最重要的思想方法之一。
1.3教学内容与教材处理“3.6三角形、梯形的中位线”一节共分两节课，本节课是第一节课，并且讲课时间控制在20分钟左右，因此，讲解的例题与习题都只有一个。
学生探索得到三角形中位线的性质，并会利用三角形中位线的性质解决有关问题。
通过学生的互相合作和师生共同探究，促进学习共同体的形成。
本课体现了转换的思想。
教学中不仅仅关注知识的探究，也要关注学生对思想方法的理解。
教学中国更要注意学生学习方式的多样化。
学生间的合作探讨问题可以增加他们之间的交流，也利于课堂氛围的提升，最终达到共同进步。
在课的最后让学生们交流本堂课的体验及收获，这不仅是个总结的过程，也是个学生反思自身学习、老师反思自身教学的过程，这更是个对本节课思想方法进行领悟的过程。
《三角形中位线定理》人教版教案
多媒体在地理教学中的运用
吉林省柳河县第七中学胡越春
随着经济的发展、科学技术的提高和教育实现现代化。越来越 多的学校配备了多媒体教室，利用最新的多媒体技术进行课堂教 学。多媒体（Ｍｕｌｔｉｍｅｄｉａ）教学是现代教育采用的最先进的教学手段。 对于传统教学中难以表达、学生难以理解的抽象内容、复杂的变化 过程、细微的结构等．多媒体通过动画模拟、局部放大、过程演示等 手段都能予以解决，不但在教学中起到事半功倍的效果，而且有利 于提高学生的学习兴趣和分析、解决问题的能力．大大提高了教学 效率和质量。以下，笔者以初中地理第三册＜中国的河流和湖泊）一 章为例。谈谈运用多媒体优化地理教学的几点看法。
·１４４·
彳＇学篇。
Ｊ．ｃ、ＢＤ相交于０，点层、，、Ｇ、日分别是＾Ｄ、ＢＯ、ＣＯ、ＤＯ的中点．求
证四边形ＥＦＧＩｔ是平行四边形。
（设计意图：从简单的实际闻膊
出发。巩固三角形的中位线定理，让
学生在学习过程中学习并运用数学．
提高分析和解决阈题的能力。）
４．总结
通过学习本节课，你对三角形中
图７
位线定理有什么认识？
八年级数学上册三角形中位线定理说课稿(人教版)
三角形中位线定理说课稿一．教材分析1．地位和作用：本节教材是初二几何§ 4.10三角形、梯形的中位线定理第一课时的内容。
三角形中位线是三角形中重要的线段，三角形中位线定理是三角形的一个重要性质定理，它是前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形、中心对称等知识内容的应用和深化，对进一步学习非常有用，尤其是在判定两直线平行和论证线段倍分关系时常常用到，同时它也是下一节梯形中位线的基础。
在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了化归思想，它是一种重要的思想方法，无论在今后的学习还是在科学研究中都有着重要的作用。
另外，课本在三角形中位线定理的推理过程中应用了同一法思想，这是中学教材第一次出现同一法，要求学生了解这种思想，它对拓展学生的思维有着积极的意义。
2. 教材处理：课本中三角形中位线定理是单刀直入地以探索式推理这种方法提出的，（所谓探索式推理是根据题设和已有知识，经过推理，得出结论，然后总结成定理）定理以这种方式出现，学生接受起来会感觉突然、生硬。
在实际教学中，我采取先让学生经过实验、观察、猜想、归纳、得出结论，然后经推理论证，最后总结形成定理的方式，这样提出的知识具有亲和力，更容易为学生接受和认可，而且从中培养了学生的能力。
在定理证明中，讲解了多种证法，除让学生了解应用同一法思想证明之外，还补充介绍了运用化归思想来证明，强化思维过程的教学，培养求异思维，开发学生的智力。
在例1的教学中增加了变式训练，以培养学生的发散思维。
3. 教学重点和难点：三角形中位线定理是解决有关线与线的平行及线段倍分问题的重要理论依据之一，在教材中占有重要地位，依据教学大纲的要求、教材内容以及学生的认知基础，我确定了本节课的重点是：三角形中位线定理及其应用；化归能力的培养。
从学生知识掌握的现状分析来看，如何适当添加辅助线、如何利用化归思想来解决问题，是学生学习的困难所在，因此本节教学中难点是：三角形中位线定理的证明及应用。
三角形、梯形中位线定理应用教案
三角形、梯形中位线定理应用教学目标掌握三角形中位线、梯形的中位线的性质定理，能灵活运用三角形中位线定理、梯形中位线定理进行计算和论证；通过探索式教学，发挥主观能动性，锻炼自学能力和探究能力以及语言表达能力。
教学重点掌握三角形、梯形中位线定理，能综合运用三角形、梯形中位线定理以及其他有关知识进行计算与证明并落实书写格式。
教学难点 思路的获得。
教学过程 一、引入通过一道填空题复习上节课所学的三角形中位线定理和梯形中位线定理。
如图1，在△ABC 中， D 、E 、F 是AB 的四等分点，D'、E'、F' 是AC 的四等分点，BC=28，则DD'= ，EE' = ，FF' = 。
图1图2 图3二、新授题组一：通过变式训练1渗透方程思想。
1、如图2，在△ABC 中，D 、E 是AB 边的三等分点，D'、E' 是AC 边的三等分点，若BC=18， 则DD'= ，EE' = 。
2、如图3，在梯形ABCD 中，AD//BC ，E 、F 是AB 的三等分点，E'、F'是CD 的三等分点。
若BC=28，AD=10，则EE' = ，FF' = 。
小结：在做几何计算时，往往会用到方程（组），使得解题思路容易化。
题组二：通过变式训练2体现出三角形中位线定理的应用，并将梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形进行有机的串联。
已知，如图4在△ABC 中，E 、D 分别是AB 、BC 的中点， 1、四边形AEDC 是 形；2、若F 为AC 的中点，则四边形AEDF 是 形；3、 若∠A=90°，则四边形AEDF 是 形； 图44、若要使四边形AEDF 是菱形，则在△ABC 中应添加什么条件 （只能添加一个）；5、若四边形AEDF 是正方形，则△ABC 是 三角形；6、联结EF ，若C △DEF =10cm,则C △ABC = cm ；小结：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的转换关系题组三：通过综合应用三角形、梯形中位线定理以及其他有关知识进行计算、证明并落实书C写格式。
八年级数学暑假专题 梯形、梯形中位线、三角形中位线 人教版 知识精讲
八年级数学暑假专题——梯形、梯形中位线、三角形中位线 人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：梯形、梯形中位线、三角形中位线、平行线等分线段定理及其2个推论二. 重点、难点：1. 重点：等腰梯形的性质及判定，平行线等分线段定理的2个推论的应用，三角形、梯形中位线定理的应用。
2. 难点：等腰梯形性质的综合应用，平行线等分线段定理的2个推论的应用，三角形、梯形中位线定理的综合应用。
三. 知识结构四边形平行四边形梯形直角梯形等腰梯形⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪ 等腰梯形性质（）两腰相等（）在同一底上的两角相等（）两条对角线相等基本性质（）两个等腰三角形（）延长两腰形成一等腰三角形（）拔高性质对称：等腰梯形为轴对称图形，不是中心对称图形判定（）两腰相等的梯形为等腰梯形（）在同一底上的角相等的梯形为等腰梯形可直接用（）对角线相等的梯形为等腰梯形——简单证明后可用1234561232⎫⎬⎪⎭⎪=-⎫⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎬⎭⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BE BC AD A D O B D C A D B E平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
推论：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。
推论：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。
12⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪A DEBAEB三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段。
定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
⎧⎨⎩()梯形的中位线定义：连结梯形两腰··中点的线段。
定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
面积：（为中位线）··S a b h l h l=+=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪12【典型例题】例1. 已知一个等腰梯形的高是2m，它的中位线长是5m，一个底角是45°，求这个梯形的面积和上、下底边的长。
三角形、梯形中位线定理应用练习课
《三角形、梯形中位线定理应用练习课》教学设计执教 李裕达【教学内容】人教版初中《几何》第二册 P 176〜P 181【教学目标】1 .进一步熟悉三角形、梯形中位线的性质定理和判定定理;2 •能熟练地运用三角形、梯形中位线的性质定理和判定定理进行有关证明和计算;3 •通过例题和练习，使学生掌握与中点有关的常用辅助线作法;4 •培养学生思维能力和归纳、概括能力，提高解题能力。
【教学重点】三角形、梯形中位线定理的应用 【教学难点】证(解)题思路分析和辅助线的作法 【教学方法】题组教学法【教具准备】三角板、实物投影仪、电脑、自制课件等 【教学设计】一、复习题组1. 知识要点2. 基本方法三角形、梯形中位线定理不仅反映了线段的相等关系，也反映了线段间的倍半关系。
此外，证明线段相等或倍半关系还有其他方法，你能指出一些其他的常用方法吗？(1) 全等三角形对应边相等；(2) 等角对等边，等腰三角形“三线合一”性质； ⑶ 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等; ⑷ 角平分线上的点到角的两边距离相等； (5) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(6) 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半;(1)如图1 , 三角形中位线性质定理的条件是(2)如图2, 梯形中位线性质定理的条件是结论是结论是三角形中位线判定定理的条件是结论是结论是梯形中位线判定定理的条件是BC(图2)(7)平行四边形(包括矩形、菱形、正方形)的性质;(8)等腰梯形的两腰相等，两条对角线相等。
、基本题组1顺次连结四边形各边中点所得的四边形是_______________________ ;2•顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是_______________________ ;3•顺次连结矩形各边中点所得的四边形是 _____________________ ;4•顺次连结菱形各边中点所得的四边形是_____________________ ;5•顺次连结正方形各边中点所得的四边形是_______________________ ;6•顺次连结梯形各边中点所得的四边形是 _____________________ 。
中考数学几何模型重点突破讲练：专题07 三角形中的中位线与中垂线模型(教师版)
性质得出
DG=
1 2
BE=
1 2
（AB-AC），从而得出 DG 的长．
【解析】解：延长 CG 交 AB 于点 E．
∵ AG 平分 BAC ， CG AG 于 G ， CG EG ， AE AC 4 ， BE AB AC 2 ， ∵ CG = EG ， D 为 BC 的中点， DG 1 BE 1．
专题 07 三角形中的中位线与中垂线模型
【模型 1】三角形中位线
如图，已知 D、E 分别为 AB、AC 的中点，根据三角形中位线的性质，可得 DE // BC, 且DE 1 BC , 2
根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，可得 SADE
1 4
SABC 。
【模型 2】梯形中位线
如 图 ， 已 知 AB // CD ， E 、 F 分 别 为 梯 形 两 腰 AD 、 BC 的 中 点 ， 根 据 梯 形 中 位 线 的 性 质 ， 可 得 AB // CD // EF ,且EF 1 ( AB CD) ,
所以 AB=2OE，
因为 OE=2，
所以 AB=4(cm)．
故选 A．
3．如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 边上的中点，若 DE=4，则 BC 等于（ ）
A．2
B．4
C．8
【答案】C
【分析】根据三角形中位线定理计算即可．
【解析】解：∵D、E 分别是 AB、AC 边上的中点，DE=4，
线，利用中位线定理解题即可．
【解析】解：由平行四边形的性质可知 AO=OC，
Hale Waihona Puke 而 E 为 BC 的中点，即 BE=EC，
人教版数学八年级下册18.1.3三角形中位线定理(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了三角形中位线的定义、性质和定理的证明，以及它在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对三角形中位线定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
最后，我也要反思自己在课堂上的语言表达和教学节奏。要确保讲解清晰、简洁，让学生易于理解。同时，要把握好教学节奏，给予学生充分的思考时间和空间，鼓励他们提问和表达自己的观点。通过不断的反思和改进，我相信我能够提高教学质量，帮助学生们更好地学习数学。
2.教学难点
-理解并掌握三角形中位线定理的证明过程，特别是如何利用全等三角形的性质进行证明。
-在解决实际问题时，能够正确识别和应用三角形中位线定理，特别是在图形复杂或信息不完整的情况下。
举例：在证明过程中，学生可能会对全等三角形的判定和应用感到困惑，需要教师通过具体例题和图示，逐步引导学生理解“边-角-计不同难度的题目，如隐藏部分边长、给出多个中位线等，训练学生如何在复杂情况下识别和应用定理。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《三角形中位线定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要通过已知信息来求解三角形未知边长的情况？”（如测量河流宽度等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形中位线定理的奥秘。
人教版数学八年级下册18.1.3三角形中位线定理（教案）
一、教学内容
人教版数学八年级下册18.1.3节，本节课主要围绕三角形中位线定理展开教学。内容包括：
初中人教版三角形中位线教案
初中人教版三角形中位线教案三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。
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初中人教版三角形中位线教案教学建议知识结构重难点分析本节的重点是中位线定理.三角形中位线定理和梯形中位线定理不但给出了三角形或梯形中线段的位置关系，而且给出了线段的数量关系，为平面几何中证明线段平行和线段相等提供了新的思路.本节的难点是中位线定理的证明.中位线定理的证明教材中采用了同一法，同一法学生初次接触，思维上不容易理解，而其他证明方法都需要添加2条或2条以上的辅助线，添加的目的性和必要性，同以前遇到的情况对比有一定的难度.教法建议1. 对于中位线定理的引入和证明可采用发现法，由学生自己观察、猜想、测量、论证，实际掌握效果比应用讲授法应好些，教师可根据学生情况参考采用2.对于定理的证明，有条件的教师可考虑利用多媒体课件来进行演示知识的形成及证明过程，效果可能会更直接更易于理解教学设计示例一、教学目标1.掌握中位线的概念和三角形中位线定理2.掌握定理“过三角形一边中点且平行另一边的直线平分第三边”3.能够应用三角形中位线概念及定理进行有关的论证和计算，进一步提高学生的计算能力4.通过定理证明及一题多解，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力5. 通过一题多解，培养学生对数学的兴趣二、教学设计画图测量，猜想讨论，启发引导.三、重点、难点1.教学重点：三角形中位线的概论与三角形中位线性质.2.教学难点：三角形中位线定理的证明.四、课时安排1课时五、教具学具准备投影仪、胶片、常用画图工具六、教学步骤【复习提问】1.叙述平行线等分线段定理及推论的内容(结合学生的叙述，教师画出草图，结合图形，加以说明).2.说明定理的证明思路.3.如图所示，在平行四边形ABCD中，M、N分别为BC、DA中点，AM、CN分别交BD于点E、F，如何证明 ?分析：要证三条线段相等，一般情况下证两两线段相等即可.如要证，只要即可.首先证出四边形AMCN是平行四边形，然后用平行线等分线段定理即可证出.4.什么叫三角形中线?(以上复习用投影仪打出)【引入新课】1.三角形中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形中位线.(结合三角形中线的定义，让学生明确两者区别，可做一练习，在中，画出中线、中位线)2.三角形中位线性质了解了三角形中位线的定义后，我们来研究一下，三角形中位线有什么性质.如图所示，DE是的一条中位线，如果过D作，交AC于，那么根据平行线等分线段定理推论2，得是AC的中点，可见与DE重合，所以 .由此得到：三角形中位线平行于第三边.同样，过D作，且DEFC，所以DE .因此，又得出一个结论，那就是：三角形中位线等于第三边的一半.由此得到三角形中位线定理.三角形中位线定理：三角形中位城平行于第三边，并且等于它的一半.应注意的两个问题：①为便于同学对定理能更好的掌握和应用，可引导学生分析此定理的特点，即同一个题设下有两个结论，第一个结论是表明中位线与第三边的位置关系，第二个结论是说明中位线与第三边的数量关系，在应用时可根据需要来选用其中的结论(可以单独用其中结论).②这个定理的证明方法很多，关键在于如何添加辅助线.可以引导学生用不同的方法来证明以活跃学生的思维，开阔学生思路，从而提高分析问题和解决问题的能力.但也应指出，当一个命题有多种证明方法时，要选用比较简捷的方法证明.由学生讨论，说出几种证明方法，然后教师总结如下图所示(用投影仪演示).(l)延长DE到F，使，连结CF，由可得AD FC.(2)延长DE到F，使，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得AD FC.(3)过点C作，与DE延长线交于F，通过证可得AD FC.上面通过三种不同方法得出AD FC，再由得BD FC，所以四边形DBCF是平行四边形，DF BC，又因DE ，所以DE .(证明过程略)例求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形.(由学生根据命题，说出已知、求证)已知：如图所示，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.‘分析：因为已知点分别是四边形各边中点，如果连结对角线就可以把四边形分成三角形，这样就可以用三角形中位线定理来证明出四边形EFGH对边的关系，从而证出四边形EFGH是平行四边形.证明：连结AC.∴ (三角形中位线定理).同理，∴GH EF∴四边形EFGH是平行四边形.【小结】1.三角形中位线及三角形中位线与三角形中线的区别.2.三角形中位线定理及证明思路.七、布置作业教材P188中1(2)、4、7九、板书设计初中人教版三角形中位线证明如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
3.6三角形、梯形中位线(1)教案Microsoft Word 文档
第十三课时时间：20091119课题：三角形、梯形的中位线目标：1、探索并掌握三角形中位线中位线的概念、性质。
2、会利用三角形中位线的性质解决有关问题。
3、经历探索三角形中位线性质的过程，体会转化思想方法。
重点：三角形中位线性质及应用。
难点：探索三角形性质及规范的表达。
教程：一、回顾与记忆：1．有一组相等且的平行四边形叫做正方形。
2．正方形的性质：①正方形的平行、相等；②正方形的四个角；③正方形的对角线互相、且，每一条对角线一组对角；④正方形既是对称图形又是对称图形。
3．正方形的判定：（1）以矩形为基础，说明相等、或对角线互相；（2）以菱形为基础，说明有一个角是、或对角线；（3）以平行四边形为基础，说明相等且有一、或对角线互相且；（4）以一般四边形为基础，先说明是平行四边形，再说明既是矩形又是菱形。
二、预习P102~103了解三角形的中位线及性质。
三、探索三角形中位线的性质：1．师生同画：（1）画ΔABC（2）分别取AB、AC的中点D、E，连接DE（3）把ΔADE绕点E旋转180°（画ΔADE关于点E的对称图形），D的对称点为F观察并讨论：四边形BCFE是什么四边形？为什么？分析：平行四边形BCFEìï苄=熊D@DïïïìÜï=蹹@D íïï=íïïï=ïîïî平行1CF BD A ADE CFECF AD ADE CFE CF BDBD AD由此，得DE∥BC，DE=BC21解：延长DE到点M使ME=DE，连结MC 因为AE=CE理由：线段中点定义因为∠AED=∠CEM1FEDBA理由：对顶角相等 又因为DE=ME所以△AED ≌△CEM 所以∠A=∠MCE ，AD=MC 所以AB ∥MC ， MC=BD所以四边形DBCM 是平行四边形理由：一组对边平行且相等的四边行是平行四边形 所以DM ∥BC ，DM=BC所以DE=12BC记法：因为 AD=DB ，AE=CD所以 DE ∥BC ，DE=12BC【点评】：用推理的方法对三角形的中位线的性质进行验证。
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三角形、梯形中位线定理应用练习课一、复习题组1．知识要点A 1，三角形中位线性质定理的条件是，(1) 如图结论是；DE三角形中位线判定定理的条件是，CB结论是。
1）（图AD如图2，梯形中位线性质定理的条件是，(2)结论是；EF梯形中位线判定定理的条件是，CB 2 结论是。
（图）2．基本方法三角形、梯形中位线定理不仅反映了线段的相等关系，也反映了线段间的倍半关系。
此外，证明线段相等或倍半关系还有其他方法，你能指出一些其他的常用方法吗？全等三角形对应边相等；(1)(2) 等角对等边，等腰三角形“三线合一”性质；线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；(3)角平分线上的点到角的两边距离相等；(4)(5) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；30°角所对的直角边等于斜边的一半；(6) 直角三角形中，(7) 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的性质；(8) 等腰梯形的两腰相等，两条对角线相等。
二、基本题组1．顺次连结四边形各边中点所得的四边形是；．顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是；2 ．顺次连结矩形各边中点所得的四边形是；3 4．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是；5．顺次连结正方形各边中点所得的四边形是；．顺次连结梯形各边中点所得的四边形是。
6 7．顺次连结直角梯形各边中点所得的四边形是。
8．顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是。
1 / 8．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是菱形；9 ．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是矩形；10 11．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是正方形。
系统小结，深刻理解的周长比为，面积比为。
各边的中点，则△DEF与△ABCD、E、F是△ABC 12．已知，AC的四等分点，BC=28的四等分点，D'、E'、F' 是13．如图3，在△ABC中，D、E、F是AB FF' = EE' =，。
则DD'=，边的三等分点，若BC=18，边的三等分点，D'、E' 是AC 14．如图4，在△ABC中，D、E是AB ，EE' =。
则DD'= CD于是AB的三等分点，EE' // FF' // BC，分别交．如图155，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F FF' = 。
AD=10，则EE' =，E'、F'。
若BC=28，A AADDD'EDED'E'E'FEFF'E'F'CCCBBB（图5））（图4） 3 （图．直角三角形斜边上的中线与连结两直角边中点的线段的关系是（）16 D．垂直平分且相等．相等且平分B．相等且垂直C．垂直平分 A ）17．以等腰梯形两底中点和两条对角线中点为顶点的四边形是（．正方形．矩形C．菱形 D B A．平行四边形、教练题组三□E为边作AD、AC，ACED，以，在梯形例1．已知：如图6ABCD中，AB//CDEB的延长线交于F。
DC FCD求证：EF = FB。
1 〖注〗本题先由学生讨论，拓宽证题思路，再补充、归纳；BA）6 2 〖注〗本题证法较多，关键是如何添加辅助线，主要方法如下。
（图2 / 8小结AB于点G（如图7）；(1)延长EC，交8）；EC，交BA的延长线于点G（如图(2)延构造三角形中位CD于点G（如图）；9(3)连结AE，交（如图10）；AB于G、H(4)过点E作EG⊥AB，分别交DF、构造梯形中位线11AD的延长线于G（如图）；(5)过点E作EG//CD，交12）；，交AB于G（如图(6)过点F作FG//AD构造全等三角形于G（如图13）；(7)过点F作FG//AC，交AB）。
构造平行四边形B 作BG//AD，交CF的延长线于，连结EG（如图14(8)过点EEEEFF FFCD G CDCCDD GH BAABBBA G A G（图10）97 （图）（图8）（图）G EEEEFFFFCDCDCDDC GG BABA G BAAB 14）11）（图12）（图13）（图（图〖注〗重点研究图7、8、9、11的证法，其他图形的证法仅提一提，以培养学生的发散思维能力。
例2．已知：如图15，在△ABC中，AB=AC，E是AB的中点，延长AB到D，使BD=AB。
求证：CD=2CE。
C16）。
F，连结BF（如图证法一：取AC的中点17）。
AC的延长线于F（如图证法二：过点B作BF//CE，交AEBD证法三：延长CE到F，使EF=CE，连结FA、FB（如图18）。
（图15）F CCC F ABED EABDAEBDF 18））（图17 （图16）（图例3．已知：如图19，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，E是BC的中点。
A AB=2DE求证：DE 一半的线段等于，只需证等于AB要证分析：(1) AB=2DE AB倍的线段等于。
2DE 或等于的3 / 8CEDB．(2) 找等于AB一半的线段有三种方法：一是只取AB的中点，但这不利于问题的证明；（图19）二是构造以AB为斜边的直角三角形中线（因为条件中有垂直），再证此中线长等于DF；三是构造以AB为第三边某三角形的中位线，再证此中位线等于DE。
证法一：取AB的中点F，连结DF、EF AA（如图20）。
F（以下证明略）F EF DF、证法二：取AC的中点F，连结CCEBDEDB 21）。
（如图））（图21 （以下证明略）（图20A CN是△ABC的角平分线，例4．（选讲）已知：如图22，BM、MN，AF⊥CN于F。
于AE ⊥BME EF。
求证：EF // BC CB 22）分析：由“角相等”证“平行”很难实现。
考虑条件中有“角平分线”（图A和“垂直”，因而可采用“补形”的办法试证。
MN。
（以下略）BC于HAE证明：延长AF交BC于G，延长交FE思考：若将两条“内角平分线”改成“外角平分线”（如图23），CPQB）（图23结论是否还成立？如何证明？A四、巩固题组的中点，是AD是△ABC的中线，E，1．已知：如图24AD FE AE的延长线交AC于F。
求证：BE = 3EF。
CBD（图24）AED⊥AC，ABCD，在菱形中，E是AD的中点，EF2．已知：如图25G。
GAB于，交CB延长线于F 交。
求证：GE=GF CFB（图25）N3．（选做）MD BC 、分别是E、FAD，已知：如图26，在四边形ABCD中，AB=CD AE的延长线于CD 的中点，延长BA、，分别交FEM、N。
CBF。
26 （图）CNFBMF= 求证：∠∠一、复习题组A 1，三角形中位线性质定理的条件是，1．如图结论是；DE三角形中位线判定定理的条件是，CB4 / 8结论是。
（图1）AD，梯形中位线性质定理的条件是，2．如图2结论是；EF梯形中位线判定定理的条件是，CB结论是。
（图2）．三角形、梯形中位线定理不仅反映了线段的相等关系，也反映了线段间的倍半关系。
此外，证明线 3 段相等或倍半关系还有其他方法，你能指出一些其他的常用方法吗？二、基础题组1．顺次连结四边形各边中点所得的四边形是；2．顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是；3．顺次连结矩形各边中点所得的四边形是；4．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是；5．顺次连结正方形各边中点所得的四边形是。
6．顺次连结梯形各边中点所得的四边形是；7．顺次连结直角梯形各边中点所得的四边形是；8．顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是。
．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是菱形；9 ．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是矩形；10 ．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是正方形。
11 的周长比为，面积比为。
DEF与△ABCE、F是△ABC各边的中点，则△12．已知D、，的四等分点，BC=28E'、F' 是AC D中，、E、F是AB的四等分点，D'、13．如图3，在△ABC ；，FF' = 则DD'=，EE' =BC=18，E' 是AC边的三等分点，若D、E是AB边的三等分点，D'、ABC14．如图4，在△中，EE' =；则DD'=，于EE' // FF' // BC，分别交CDE，、F是AB的三等分点，15．如图5，在梯形ABCD中，AD//BC 。
，FF' = ，。
若BC=28AD=10，则EE' = E'、F'A AADDD'EDED'E'E'FEFF'E'F'CCCBBB 5（图）（图4） 3（图））16．直角三角形斜边上的中线与连结两直角边中点的线段的关系是（．垂直平分且相等．垂直平分 D C A．相等且平分B．相等且垂直）17．以等腰梯形两底中点和两条对角线中点为顶点的四边形是（ D CB A．平行四边形．矩形．菱形．正方形5 / 8、例题题组三□ACED，AC为边作ABCD中，AB//CD，以AD、例1．已知：如图，在梯形DC的延长线交EB于F。
求证：EF = FB。
EEEFFFCDCDDCBABBAAEEEFFFCDDDCCBAABAB。
到ABD，使BD=AB的中点，延长是中，．已知：如图，在△例2ABCAB=AC，EAB CD=2CE 求证：。
CCCEABBEADDBAEDBCAD，CB=2ABC3例．已知：如图，在△中，∠∠⊥于的中点。
BC是ED，AB=2DE 求证：AAACEBDCCEEDDBB6 / 8例4．（选讲）已知：如图，BM、CN是△ABC的角平分线，AE⊥BM于E，AF⊥CN于F。
A。
求证：EF // BCMNE FCB思考：若将两条“内角平分线”改成“外角平分线”（如图），结论是否还成立？如何证明？AMN FECPQB四、巩固题组。
AC于F的延长线交是是△1．已知：如图，ADABC的中线，EAD的中点，AE A BE = 3EF。
求证：FECBD7 / 82．已知：如图，在菱形ABCD中，E是AD的中点，EF⊥AC，交AB于G，交CB延长线于F。
AED。
求证：GE=GF GCBFBC的中点，分别是，．（选做）已知：如图，在四边形3ABCD中，AB=CDE、FAD、NM的延长线于、。
NFECDBA 延长、，分别交M求证：∠BMF=。
∠CNF DA EBCF8 / 8。